Toda a matemática que você deve aprender antes do cálculo Um guia direto e prático para os seus estudos

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Toda a matemática que você deve

aprender antes do cálculo

Um guia direto e prático para os seus

estudos

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Toda a matemática que

você deve aprender antes

do cálculo

Um guia direto e prático para os seus

estudos

Autor: João Marcos R. Carmo

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Primeira edição, 2021

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Dedicatória

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Para todos que se mantém firmes na tentativa de fazer seus sonhos se tornarem algo real.

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Introdução

“

A percepção humana é assustadoramente limitada; acreditamos estar vendo o todo, quando na ver-dade só vemos uma fração.

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ix O cálculo diferencial pode ser considerado uma das mais impor-tantes e básicas ferramentas matemáticas que um aluno aprenderá durante a sua graduação, em geral as disciplinas de cálculo são ofer-ecidas logo no início do curso, muitas vezes no primeiro semestre, o que causa um choque de cultura nos calouros que acabaram de sair do ensino médio, pois apesar de ser um conhecimento matemático básico, uma disciplina de cálculo exige que o aluno tenha uma boa proficiência em quase todos os conteúdo apren-dido durante toda a sua vida escolar, o que não é uma tarefa tão fácil. O intuito desse livro é fornecer de uma maneira completa e matematicamente correta sem ser muito formal todos os conteúdos necessários para que o aluno consiga aumentar sua proficiência em matemática e dessa forma aproveitar um curso inicial de cálculo de forma eficiente e sem contratempos.

Como a maior parte desse livro são de conteúdos do ensino fundamental e médio, a sua leitura é recomendada também para todas as pessoas que buscam melhorar sua proficiência nessa disciplina, ou seja, se o leitor busca um livro pra auxiliar no seu estudo para um concurso publico, vestibular ou apenas pretende aprender matemática, esse é o livro certo a se usar.

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Dedicatória v Introdução vii Prefácio xiii 1 Conjuntos Numéricos 1 1.1 Números Naturais . . . 3 1.1.1 Exercícios Resolvidos . . . 18 1.2 Números Inteiros . . . 22 1.2.1 Exercícios Resolvidos . . . 22 1.3 Números Racionais . . . 22 1.3.1 Exercícios Resolvidos . . . 22 1.4 Números Reais . . . 22

1.4.1 Progressões Aritméticas e Progressões Ge-ométricas . . . 22 1.4.2 Exercícios Resolvidos . . . 22 2 Funções 25 2.1 Conjuntos . . . 27 2.1.1 Intervalos . . . 27 2.1.2 Exercícios Resolvidos . . . 27 2.2 Funções . . . 27 2.2.1 Gráfico de Funções . . . 27

2.3 Principais Funções de variáveis reais . . . 27

2.3.1 Exercícios Resolvidos . . . 27

3 Polinômios 29 3.1 Funções lineares . . . 31

3.1.1 Funções lineares do tipo f(x) = ax . . . . . 31

3.1.2 Funções lineares do tipo f(x) = ax + b . . 33

3.1.3 Sistemas lineares . . . 33

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3.2 Polinômios . . . 33 3.2.1 Exercícios Resolvidos . . . 33 4 Introdução ao Cálculo 35 4.1 Limite de funções . . . 37 4.1.1 Exercícios Resolvidos . . . 37 4.2 Derivadas . . . 37 4.2.1 Exercícios Resolvidos . . . 37 4.3 Integrais . . . 37 4.3.1 Exercícios Resolvidos . . . 37 Referências Bibliográficas 39 Índice Remissivo 41

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Prefácio

“

A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido e não na vitória propriamente dita.

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xv A ideia de escrever esse livro surgiu após o autor ter passado alguns anos trabalhando como professor universitário e tutor particular de disciplinas de cálculo, durantes essas experiências o autor se inter-essou em criar um livro que reunisse de forma prática e acessível todo conteúdo que é fundamental para um bom desempenho nessas disciplinas e que infelizmente muitos alunos entram nesses cursos sem dominar muito bem.

No primeiro capítulo o autor faz uma breve introdução de conteúdos da teoria dos números e mostrar como construir os números inteiros, racionais e reais a partir dos números naturais, mostrando de forma não tão formal e com bastante exemplo as principais propriedades de cada tipo de número, os conteúdos referentes a esse capítulo no geral ou são trabalhadas de forma bem simplista no ensino fundamental ou são abordados de forma muito formal em cursos que são voltados a formar pesquisadores de matemática, ou seja existe muito poucos materiais que tratam esse conteúdo de forma bem explicativa e acessível.

No segundo capítulo o autor faz uma breve descrição da teo-ria de conjuntos, foca uma seção para trabalhar com intervalos que é o tipo mais comum de conjunto que irá se trabalhar em cálculo, introduz o conceito e os tipos de funções que são mais comumente usadas.

No terceiro capítulo é trabalho em detalhes um tipo específico de função que tem muitas aplicações não só nas disciplinas de cálculo como em todas as áreas da matemática.

O quarto capítulo é introduzido os principais conceitos que são trabalhados numa disciplinas de cálculo diferencial, durante esse capítulo e nas seções de exercícios resolvidos é fornecido algumas dicas importantes de como proceder na resolução de alguns problemas recorrentes.

Algumas passagens desse livro foram escritas de forma mais

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formal, muitos dos leitores podem não estarem acostumados com todo esse formalismo matemático, se acaso encontre uma passagem com alguma demonstração que lhe pareça de difícil entendimento, aconselho que não desanime, não é necessário entender tudo que está escrito nesse livro, o mais importante é conseguir extrair dessas demonstrações alguns insights que lhe permita executar os cálculos de maneira mais segura e eficaz.

(clique aqui)

João Marcos R. Carmo

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Conjuntos Numéricos

“

O conhecimento é uma ilha cercada por um oceano de mistério. Prefiro o oceano à ilha.

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1.1 NÚmeRos NatuRais 3

1.1 Números Naturais

Nessa primeira seção trabalharemos com os números natu-rais N, que todos nós sabemos que é conjunto dos números

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}, observe que todos os

números naturais são formados pelos 10 dígitos 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, algo que trataremos com mais detalhes no decorrer desse capítulo. Sobre os números naturais temos a operação de adição (+), a adição tem duas propriedades importantes, ela é associativa e comutativa.

A adição é associativa, isso quer dizer se tivermos 3 números naturais a, b, c, temos que (a + b) + c = a + (b + c), por ex-emplo para 6, 11 e 8, temos que (6 + 11) + 8 = 17 + 8 = 25 e 6 + (11 + 8) = 6 + 19 = 25. Como a adição é associativa o uso de parenteses em expressões como (5 + 9) + 23 + (12 + 3) se torna desnecessário.

(clique aqui)

A adição é comutativa, isso quer dizer se tivermos 2 números naturais a, b, temos que a + b = b + a. Por exemplo temos que 5 + 3 = 8 e 3 + 5 = 8, ou seja essa propriedade significa que a ordem dos fatores não alteram a soma.

Observe que os números 745, 62, 2372 são números naturais com mais de um dígito e todos eles podem ser representados por somas do seguinte modo 745 = 700 + 40 + 5, 62 = 60 + 2 e

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4 CapÍtulo 1 Conjuntos NumÉRicos

2372 = 2000 + 300 + 70 + 2, com essas somas em mente observe que se formos somar 745 com 62 é o mesmo que somar 700 + 40 + 5 com 60 + 2, ou seja 745 + 62 = (700 + 40 + 5) + (60 + 2) e usando a associatividade e comutatividade da soma, temos que 745 + 62 = 700 + (40 + 60) + (5 + 2) = 700 + 100 + 7 = 807. Note que o que fizemos agora foi somar esses dois números usando o método de soma que é comumente ensinado nas escolas, faremos outros exemplo para ficar mais claro.

Vamos somar 56 com 29, temos 56 + 29 = (50 + 6) + (20 + 9) = (50 + 20) + (6 + 9) = (50 + 20) + (15) = (50 + 20) + 10 + 5 = (50 + 20 + 10) + 5 = 80 + 5 = 85. Fazendo essa soma no método ensinado na escola temos:

5 6 + 2 9 0 0 0 = 1 5 6 + 2 9 0 0 5 = 1 5 6 + 2 9 0 8 5

Portanto vemos que precisamos apenas saber o resultado da soma de números de um dígito para conseguir somar números de 2 ou mais dígitos, usando as técnicas acima.

A partir da operação de adição podemos definir uma relação de ordem (<) nos naturais, que é dada por, dizemos que a < b, se existe um r ∈ N, tal que b = a + r, por exemplo 3 < 8, pois

8 = 3 + 5, 27 < 34, pois 34 = 27 + 7.

E vemos que se a < b e b < c, temos que a < c, pois c = b + r2e b = a + r1, e portanto c = a + r1+ r2, exemplo 4 < 9 e 9 < 15,

assim 4 < 15.

A partir dessa relação de ordem (<), podemos definir a oper-ação de subtroper-ação (−) nos naturais, definiremos essa operação para ae b naturais, se a < b, então b = a + r, definimos b− a = r, note

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1.1 NÚmeRos NatuRais 5 que se fosse b < a, a operação b− a, não estará definida, mas a − b,

estará, exemplo 2 < 6, e 6 = 2 + 4, assim temos que 6− 2 = 4, mas

2− 6 não está definida nos naturais (na realidade 2 − 6 está bem definida nos inteiros, algo que veremos mais adiante). Um fato a se observar é que a adição é associativa, mas não é comutativa.

(clique aqui)

A subtração pode ser executada do seguinte modo; 347 − 25 =

(300)+(40)+7−(20+5) = (300)+(40−20)+(7−5) = 300+20+ 2 = 322, e 523−8 = (500)+(20)+3−(8) = (500)+(20)+(3−8),

como 3 < 8, temos que a subtração 3− 8 não está definida, assim

fazemos (500) + (20) + (3− 8) = (500) + (10 + 10) + (3 + 8) =

500 + (10) + (10 + 3− 8) = 500 + 10 + 5 = 515, assim vemos que a subtração é uma operação mais complicada de executar que a adição. 7 2 5 − 3 9 0 0 0 0 = 1 15 7 2 5 − 3 9 0 0 0 6 = 6 11 15 7 2 5 − 3 9 0 0 8 6 = 6 11 15 7 2 5 − 3 9 0 6 8 6

Outra operação que pode ser definida através da soma é a mul-tiplicação (×), definimos a multiplicação do seguinte modo,

seja a ∈ N, então 0 × a = a × 0 = 0 e 1 × a = a × 1 = a,

e para todo b∈ N, temos que a×(b+1) = (b+1)×a = (a×b)+a.

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Da forma como a multiplicação foi definida acima conseguimos mostrar que é uma operação associativa e comutativa como a adição. Outro fato a se notar da multiplicação é que para

a, b ∈ N, temos que a × b é igual a somar a uma quantidade b de vezes ou somar b uma quantidade a de vezes, exemplo

5× 3 = 5 × (1 + 1 + 1) = 5 × (1 + 1) + 5 = 5 + 5 + 5 = 15 e reciprocamente 5× 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15.

Também a partir da definição da multiplicação acima, temos que a multiplicação é distributiva em relação a adição, isto é seja

a, b, c∈ N, temos que a × (b + c) = a × b + a × c e também temos

(b + c)× a = b × a + c × a, exemplo 3 × (4 + 5) = 3 × 9 = 27, mas também 3× (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15 = 27.

Essa propriedade distributiva é usada para criar um método funcional para se calcular a multiplicação de dois números natu-rais, por exemplo temos que 346 × 5 = (300 + 40 + 6) × 5 =

(300× 5) + (40 × 5) + (6 × 5) = (1500) + (200) + (30) = (1000 + 500) + (200) + (30) = (1000) + (500 + 200) + (30) = 1730, como no caso da adição vemos que o método de multiplicar ensi-nado na escola é uma simplificação desse método que acabamos de apresentar, observe 3 4 6 × 5 0 0 0 0 = 3 3 4 6 × 5 0 0 0 0 = 2 3 3 4 6 × 5 0 0 3 0 = 2 3 3 4 6 × 5 1 7 3 0

E para multiplicar 2 números naturais de mais de um dígito, fazemos dessa forma 37× 23 = 37 × (20 + 3) = (37 × 20) + (37 × 3), ou

seja, novamente como no caso da adição, vemos que para efetuar a multiplicação de números naturais precisamos apenas saber multiplicar números de dígitos únicos.

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A partir da multiplicação podemos definir o conceito de divi-sores e múltiplos de um número natural.

Dizemos que um número natural a é divisor de um número

nat-ural b, se existe um q∈ N, tal que b = a × q, por exemplo temos

que 6 = 2×3, então 2 é um divisor de 6, e da igualdade 6 = 2×3,

também vemos que 3 é um divisor de 6.

Dizemos que um número natural b é múltiplo de um número

nat-ural a, se existe q ∈ N, tal que b = a × q, por exemplo por

6 = 2× 3, temos que 6 é um múltiplo de 2 e 3.

Dessas definições vemos que se a é divisor de b, então b é múltiplo de a, exemplo 14 = 7×2, então 7 e 2, são divisores de 14, e também

temos que 14 é um múltiplo de 7 e 2.

(clique aqui)

Note que se a é divisor de b, então b = a× q, se q = 1, temos que a = b, se q̸= 1, temos que q − 1 ̸= 0 e b = a × q = a × (q − 1) + a,

assim a < b, por a× (q − 1) ̸= 0, exemplo 15 = 5 × 3, portanto

15 = 5× 2 + 5 = 10 + 5, ou seja 5 < 15. Usando o mesmo argumento vemos que se b é múltiplo de a, com a̸= b, então a < b.

Uma maneira fácil de saber se um número a não é divisor do número b é encontrar um q ∈ N, tal que a × q < b < a × (q + 1),

por exemplo, temos que 4 não é divisor de 15, pois 4× 3 = 12 < 15 < 16 = 4 × 4 = 4 × (3 + 1).

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Exemplo

Encontre todos os divisores de 12.

Como já sabemos que 1 e 12, são divisores de 12, temos que os outros possíveis candidatos a divisor de 12 estão no conjunto

{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}, vemos que 2 × 6 = 12, 3 × 4 = 12,

assim {2, 3, 4, 6} são divisores de 12, {5, 7, 8, 9, 10, 11}, não

são divisores de 12, pois 5 × 2 = 10 < 12 < 15 = 5 × 3,

7 < 12 < 14 = 7× 2, 8 < 12 < 16 = 8 × 2, 9 < 12 < 18 = 9 × 2, 10 < 12 < 20 = 10× 2, 11 < 12 < 22 = 11 × 2.

Pelas definições acima vemos que é mais fácil encontrar os múltiplos de um número natural, e diferente dos divisores eles não existem em quantidades finitas, exemplo os múltiplos de 3, são todos os naturais que podem ser escritos na forma 3 × n,

com n ∈ N, assim temos que os menores múltiplos de 3 são

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27...

Dizemos que um número natural a é primo se seus únicos

divi-sores são 1 e o próprio a, por exemplo 7 é primo, pois seus únicos divisores são 1 e 7.

Se um número não é primo, então dizemos que ele é um número composto, note que se a é um número composto existe m e n∈ N,

tal que a = n× m, podemos supor que n ≤ m, assim temos que n× n ≤ n × m = a, ou seja, se a é composto então existe um

natural n tal que n× n ≤ a, exemplo 35 é composto e 35 = 5 × 7,

vemos que 5× 5 = 25 < 35, e 49 é composto com 49 = 7 × 7,

e desse resultado vemos que se um número natural composto a é menor que 100, então existe um número natural n menor que 10 tal que é divisor de a.

Uma maneira de encontrar números primos menores que um dado número natural é usarmos o crivo de Eratóstenes, esse técnica consiste em escrever uma lista com n números naturais e riscar

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1.1 NÚmeRos NatuRais 9 todos os que são múltiplos de algum número dessa lista, iremos fazer esse crivo com n = 20.

Primeiro escrevemos os 20 primeiros números naturais não nulos.

1 − 2 − 3 − 4 − 5 − 6 − 7 − 8 − 9 − 10 −

11 − 12 − 13 − 14 − 15 − 16 − 17 − 18 − 19 − 20

Agora riscamos todos os múltiplos de 2 que são diferentes de 2dessa lista

1 − 2 − 3 − 4/ − 5 − 6/ − 7 − 8/ − 9 − 10// −

11 − 12// − 13 − 14// − 15 − 16// − 17 − 18// − 19 − 20// Em seguida riscamos os múltiplos de 3

1 − 2 − 3 − 4/ − 5 − 6/ − 7 − 8/ − 9/ − 10// −

11 − 12// − 13 − 14// − 15// − 16// − 17 − 18// − 19 − 20// Vemos que após riscar os múltiplos de 2 e 3, sobrou os números

{1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} sem riscar, e vemos que todos os

múltiplos de {5, 7, 11, 13, 17, 19} também foram riscado nessa

lista, assim temos que os primos menores que 20, são os números

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}.

Da discussão acima vemos que se um número natural com-posto a é menor que 400 então é divisível por um número n menor que 20, se n é composto então é divisível por um primo p menor que

nque também é menor que 20, ou seja se um número é composto

e menor que 400 então é divisível por um primo menor que 20 ({2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}). Da mesma forma vemos que se um

número natural menor que 100 é composto, então é divisível por um número primo menor que 10 ({2, 3, 5, 7}).

Temos critérios especias para saber se um natural a é divisível por

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um dos números{2, 3, 5}.

Se um número natural a é divisível por 2, então esse número é par, e o seu último dígito é um dos números {0, 2, 4, 6, 8},

exemplo 354, 200, 1892, 28 são números pares e divisíveis por 2. Se um número a é divisível por 3 então a soma de seus dígi-tos também é divisível por 3, exemplo 567 é divisível por 3 pois 5 + 6 + 7 = 18que é divisível por 3, 207816 é divisível por 3, pois 2 + 8 + 7 + 1 + 6 = 24que é divisível por 3.

Um número natural a é divisível por 5 se o seu último dígito é 0 ou 5, exemplo 8905, 7340, 25 são números divisíveis por 5.

Exemplo

Encontre os números primos que dividem 51, 53.

Temos que 51 < 100, assim se 51 é composto é divisível por 2, 3, 5 ou 7, vemos que 2, 5, 7 não dividem 51, e 3 divide 51, com 51 = 3× 17, e da tabela acima vemos que 17 é primo, assim os únicos primos que dividem 51 é 3 e 17.

(clique aqui)

Temos que 53 < 100, portanto esse número é composto se um dos números 2, 3, 5, 7 o dividem, mas temos que nenhum desses números dividem 53, assim 53 é primo e podemos dizer que o único primo que divide 53 é o próprio 53.

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Seja a um número natural, então existem números primos

p1, p2, p3, ..., pn, tal que a = p1× p2× p3× ... × pn, esse resultado

é conhecido como o Teorema fundamental da aritmética.

Exemplo

Temos que 27 = 3× 3 × 3; 330 = 2 × 3 × 5 × 11; 156 =

3× 3 × 17.

Sejam a e b∈ N, o máximo divisor comum de a e b, mdc(a, b), é

o maior número natural que divide a e b respectivamente.

Exemplo

Temos que os divisores de 18 são {1, 2, 3, 6, 9, 18} e os

di-visores de 12, são {1, 2, 3, 4, 6, 12}, e portanto os divisores

comuns de 18 e 12 são{1, 2, 3, 6}, assim o mdc(18, 12) = 6.

Note que podemos usar a decomposição em fatores primos para en-contrar o máximo divisor comum sem precisar conhecer todos os divisores comum dos dois números, vejamos alguns exemplos.

Exemplo

Temos que 18 = 2× 3 × 3 e 12 = 2 × 2 × 3, assim temos que

2× 3 = 6 é o máximo divisor comum de 18 e 12.

Exemplo

Temos que 240 = 2× 2 × 2 × 5 × 7 e 84 = 2 × 2 × 3 × 7,

assim o máximo divisor comum de 240 e 84 é 2× 2 × 7 = 28.

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Dizemos que dois números naturais a e b são primos entre si

quando o máximo divisor comum de a e b é 1.

Dessa definição vemos que se dois números a e b são primos entre si, então não existe primo p, tal que p é divisor de a e p é divisor de

b, ou seja se a = p1× p2× ... × pné a decomposição em fatores

primos de a e b = q1× q2× ... × qm é a decomposição em fatores

primos de b, temos que nenhum p pode ser igual a algum q, por exemplo 195 = 3×5×13 e 308 = 2×2×7×11 são primos entre si.

Uma propriedade do mdc(a, b) é que todo divisor de a e b é divisor do mdc(a, b), assim como todo divisor do mdc(a, b) é divisor de a e de b, exemplo os divisores comuns de 18 e 12 são

{1, 2, 3, 6}, temos que eles são os divisores de 6.

Sejam a e b ∈ N, o menor múltiplo comum de a e b é o menor

número natural que é múltiplo de a e b.

Exemplo

Temos que os múltiplos de 4 são{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28...} e

os múltiplos de 6 são{6, 12, 18, 24, 30...} e os múltiplos

co-muns de 4 e 6 são{12, 24, 36, ...}, e portanto o mmc(4, 6) =

12.

Note que todo múltiplo em comum de a e b é múltiplo do mmc(a, b), assim como todo múltiplo do mmc(a, b) é múltiplo em comum de

ae b.

Veja que se a é múltiplo de b então o mmc(a, b) = a.

Sejam a e b∈ N, se a = b × q + r, com 0 ≤ r < b, então dizemos

que r é o resto da divisão de a por b.

Observe que se a < b, então a = b× 0 + a, ou seja o resto da

divisão de a por b é a.

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Sejam a, b e c ∈ N, sejam r o resto da divisão de b por a e s

o resto da divisão de c por a, temos que o resto da divisão de b + c por a é igual ao resto da divisão de r + s por a, e o resto da divisão de b× c por a é igual ao resto da divisão de r × s por a. Exemplo,

temos que o resto da divisão de 8 por 3 é 2 e o resto da divisão de 13por 3 é 1, vemos que 8 + 13 = 21 = 3× 7, tem resto 0 por 3, e 2 + 1 = 3 tem resto 0 por 3, 8× 13 = 104 = 3 × 34 + 2, tem

resto 2 por 3 e 2 × 1 = 2, tem resto 2 por 3. Vemos que usando

essas propriedades se torna bem mais fácil encontrar alguns restos de divisões.

A partir da operação de multiplicação (×) podemos definir a

operação de divisão (/), essa operação é definida por a/b = c, então

a = b× c, exemplo 8/2 = 4, pois 8 = 2 × 4.

Vemos que a divisão nos naturais é bem definida apenas se a tem resto 0 na divisão por b, assim o processo mais corriqueiro na divisão dos naturais é encontrar q e r, chamamos q de quociente. Exemplo, vamos dividir 7 por 3, primeiro vamos vê alguns múltiplos de 3, que são{3, 6, 9, 12..., daí vemos que 3×2 = 6 < 7 < 9 = 3×3,

dessas desigualdades temos que o quociente da divisão de 7 por 3 deve ser 2 e por 7 = 6 + 1 = 3× 2 + 1, temos que o resto da divisão

de 7 por 3 é 1.

Iremos descrever um método mais geral para executar a di-visão nos números naturais, para ilustrar vamos dividir 359 por 4 e dividir 671 por 3.

Note que 3 < 4, assim escrevemos 359 = 350 + 9, temos que 4× 8 = 32 e 4 × 9 = 36, assim a divisão de 35 por 4 se torna

35 = 32 + 3 = 4× 8 + 3, e daí se tem que 350 = 4 × 80 + 30, assim 359 = (4 × 80 + 30) + 9 = (4 × 80) + 39, como

4× 9 = 36 e 4 × 10 = 40, temos que 39 = 4 × 9 + 3, e então 359 = (4× 80) + (4 × 9) + 3 = 4 × 89 + 3, e portanto o quociente da divisão de 359 por 4 é 89 e o resto é 3.

(32)

Observe que 6 > 3 assim escrevemos 671 = 600 + 71, temos que 6 = 3 × 2, daí temos que 600 = 3 × 200, e portanto

671 = (3 × 200) + 71 = (3 × 200) + 70 + 1, dividindo 7 por 3, temos 7 = 3 × 2 + 1, e daí 70 = 3 × 20 + 10, que gera 671 = (3 × 200) + (3 × 20) + 10 + 1 = (3× 200) + (3 × 20) + (3 × 3) + 2 = 3 × 223 + 2, assim o quociente da divisão de 671 por 3 é 223 e o resto é 2.

Essas contas também podem serem feitas no seguinte modo

359 4 350 - 9 359 4 350 - 9 80 30 - 9 359 4 350 - 9 80 39 9 3 E para 671 e 3, temos 671 3 600 - 71 14

(33)

1.1 NÚmeRos NatuRais 15 671 3 600 - 71 200 0 - 71 671 3 600 - 71 200 70 - 1 20 10 - 1 671 3 600 - 71 200 70 - 1 20 11 3 2

Para efetuar divisões com números de mais um dígitos procedemos de modo similar, por exemplo vamos calcular a divisão de 5374 por 23. 5374 23 5300 - 74 5374 23 5300 - 74 200 700 - 74 15

(34)

16 CapÍtulo 1 Conjuntos NumÉRicos 5374 23 5300 - 74 200 770 - 4 30 80 - 4 5374 23 5300 - 74 200 770 - 4 30 84 3 15

Portanto temos que o quociente da divisão de 5374 por 23 é 200 + 30 + 3 = 233e o resto é 15.

Agora definiremos a operação de potência nos números natu-rais, sejam a e b ∈ N, denotamos ab _{por a}_{× a × a... × a, um}

número total de b vezes, exemplo 23 _{= 2}_{× 2 × 2 = 8}

Temos que a potência não é uma operação comutativa nem associativa, exemplo 23_{= 8}_{̸= 9 = 3}2_{, e (2}2₎3 _{= 4}3 _{= 64}_{̸= 256 =}

28= 2(23).

(clique aqui)

Temos as seguintes propriedades para a potência.

(35)

1.1 NÚmeRos NatuRais 17 1. ab_{× a}c_{= a}(b+c)_. 2. ab_/ac_{= a}(b−c)_. 3. a1 _{= a.} 4. a0 _{= 1} 5. (ab₎c_{= a}(b×c)_.

Uma coisa que devemos notar é que se a e b ∈ N, temos que os

restos de an_{por b é cíclico de modo que existe um q e um n}

0tal que n > n0temos que an+qe antem o mesmo resto por b e isso implica

que an+q×m _{e a}n_{tem o mesmo resto na divisão por b. Exemplo 8}

tem resto 8 na divisão por 12, 82 _{tem resto 4 na divisão por 12, 8}3

tem resto 8 na divisão por 12, 84_{tem resto 4 na divisão por 12, assim}

vemos que 8n+2_{e 8}n_{tem o mesmo resto na divisão por 12.}

Exemplo

Calcule o resto da divisão de 6230_{por 4.}

Vemos que 6 tem resto 2 na divisão por 4, e 62_{tem resto 0 na divisão}

por 4, e como 6230 _{= 6}2_×6228_{, temos que 6}230_{tem resto 0 na divisão}

por 4.

Exemplo

Calcule o resto da divisão de 8456_{por 5.}

Temos que 8 tem resto 3 por 5, 82_{tem resto 4 por 5, 8}3_{tem resto 2}

(36)

por 5, 84 _{tem resto 1 por 5 e 8}5 _{tem resto 3 por 5, assim temos que}

8n+4×mtem o mesmo resto que 8npor 5, vemos que 456 = 4× 114, assim temos que 8456 _{= 8}4+4×113 _{tem o mesmo resto que 8}4 _na

divisão por 5, ou seja 8456_{tem resto 1 na divisão por 5.}

1.1.1 Exercícios Resolvidos

01 - Resolva a expressão 5 + 3− 4 + 8 − 1 + 13.

Quando aparece uma expressão desse tipo sem parênteses de-vemos resolver da esquerda para direita, ou seja a expressão 5 + 3− 4 + 8 − 1 + 13 se torna (((((5 + 3) − 4) + 8) − 1) + 13), observe que essa notação fica muito carregada, assim não é re-comendado o uso de parênteses nesse tipo de expressão. E temos que 5 + 3− 4 + 8 − 1 + 13 = 8 − 4 + 8 − 1 + 13 = 4 + 8 − 1 + 13 =

12− 1 + 13 = 11 + 13 = 24.

02 - Qual dos dois números são maiores (3 + 5− 7) + (25 − 10 + 3)

ou (3 + 8− 7) + (20 − 10 + 9)?

Temos que 3+5−7 = 8−7 = 1 e 25−10+3 = 15+3 = 18, então

(3 + 5− 7) + (25 − 10 + 3) = 19, 20 − 10 + 9 = 10 + 9 = 19, e por 3 + 8− 7 = 11 − 7 = 4, temos que (3 + 8 − 7) + (20 − 10 + 9) = 4 + 19 > 19 = (3 + 5− 7) + (25 − 10 + 3).

03 - Sejam a, b, c ∈ N se b − c > a, mostre que b > a, e

encontre um exemplo onde b− c > a e c < a.

Se b − c > a, então existe 0 ̸= r ∈ N, com b − c = a + r,

e portanto (b− c)+ c = (a + r)+ c, daí temos que b = a +(r + c), e

0̸= r + c ∈ N, ou seja b > a. Exemplo, observe que 8 − 2 = 6 > 4 e 4 > 2.

(37)

04 - Calcule a expressão 4× 8 − 8 × 3 + 9 × 2.

Em expressões do tipo resolvemos primeiro a multiplicação, assim 4× 8 − 8 × 3 + 9 × 2 = 32 − 24 + 18 = 8 + 18 = 26.

05 - Qual dos três números é maior 5× 8 + 3 × 8, 2 × 8 + 7 × 8 ou

4× 8 + 2 × 8.

Vamos usar a propriedade distributiva da adição com a multi-plicação nesses três números, temos que 5× 8 + 3 × 8 = 8 × 8,

2 × 8 + 7 × 8 = 9 × 8 e 4 × 8 + 2 × 8 = 6 × 8, veja

que 9 × 8 = (8 + 1) × 8 = 8 × 8 + 8 > 8 × 8 e

9 × 8 = (6 + 3) × 8 = 6 × 8 + 3 × 8, assim se tem que 2× 8 + 7 × 8 é o maior dos três números.

06 - Mostre que se a é divisor de b e c é divisor de c, então

a× c é divisor de b × d.

Por a ser um divisor de b e c ser um divisor de d, então ex-iste p e q ∈ N, tal que b = a × p e d = c × q, assim temos que b× d = (a × p) × (c × q) = (a × c) × (p × q), por p × q ∈ N,

temos que a× c é divisor de b × d.

07 - Escreva o número 84 como um produto de números

pri-mos.

Por 84 ≤ 100, temos que 84 é primo ou um dos números

pri-mos {2, 3, 5, 7} divide 84, vemos que 84 é divisível por 2 com

84 = 2× 42, 42 também é divisível por 2 (42 = 2 × 21), assim 84 = 2× 2 × 21, 21 não é divisível por 2, mas é divisível por 3 (21 = 3× 7), assim 84 = 2 × 2 × 3 × 7, e 7 é primo, portanto 84decomposto em produto de números primos se torna 2×2×3×7.

08 - Escreva o número 585 como um produto de números

pri-mos.

(38)

Veja que 5 + 8 + 5 = 18 e 1 + 8 = 9, assim temos que 585 é divisível por 9, temos que 585 = 9× 65 = 3 × 3 × 65, vemos que

65é divisível por 5 (65 = 5× 13), então 585 = 3 × 3 × 5 × 13, por 13ser um número primo, temos que 585 decomposto em números primos é 3× 3 × 5 × 13.

09 - Calcule o mmc e o mdc de 63 e 72.

Para calcular o mmc e o mdc de 63 e 72 primeiro devemos escrever 63 e 72 como produto de números primos, e fazendo isso obtemos 63 = 3 × 3 × 7 e 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3, portanto

temos que mmc(63, 72) = 2 × 2 × ×2 × 3 × 3 × 7 = 504 e mdc(63, 72) = 3× 3 = 9.

10 - Encontre o quociente e o resto da divisão de 3519 por

34. 3519 34 3500 - 19 3519 34 3500 - 19 100 100 - 19 3519 34 3500 - 19 100 119 - 0 3 17

Assim o quociente da divisão de 3519 por 34 é 100 + 3 = 103 e o

(39)

1.1 NÚmeRos NatuRais 21 resto dessa divisão é 17.

11 - Quanto é (4× 3 − 2 × 5)4_{+ (3}_{× 5 − 3)?}

Temos que 4×3−2×5 = 12−10 = 2 e 3×5−3 = 15−3 = 12,

as-sim (4×3−2×5)4₊₍₃_{×5−3) = 2}4_{+12 = 4}2_{+12 = 16+12 = 28.} 12 - Calcule (2 + 3− 1)4_{/(4 + 7}_{− 3)}2_. Temos que 2+3−1 = 5−1 = 4 = 22_{e 4+7}_{−3 = 11−3 = 8 = 2}3_, assim (2 + 3− 1)4_{/(4 + 7}_{− 3)}2 _{= (2}2₎4_/(23₎2 _{= 2}8_/26_{= 2}2 _{= 4.} 13 - Calcule [(23_{− 3) × (2}4_{− 1)]/(4}2_{+ 3}2_). Temos que 23_{− 3 = 8 − 3 = 5, 2}4 _{− 1 = 16 − 1 = 15 = 3 × 5 e} 42+ 32 = 16 + 9 = 25 = 52, note que (23− 3) × (24− 1) = 3 × 52, assim [(23_{− 3) × (2}4_{− 1)]/(4}2_{+ 3}2_{) = 3.}

14 - Qual é o resto da divisão de 235_{por 7?}

Temos que 22 _{tem resto 4 por 7 e 2}3 _{tem resto 1 por 7, assim}

2r+3×qtem resto 2rpor 7, como 235= 22+3×11, temos que 235tem resto 22_{= 4}_{por 7.}

15 - Qual é o resto da divisão de 549_{por 12?}

Temos que o resto da divisão de 5 por 12 é 5, o resto da di-visão de 52 _{= 25} _{por 12 é 1, assim 5}r+2×q _{tem resto 5}r _{por 12,}

como 549_{= 5}1+2×24_{, temos que 5}49_{tem resto 5 por 12.}

16 - Qual é o resto da divisão de 3247_{+ 4}560_{+ 7}628_{por 5.}

Note que 3, 32_{, 3}3 _{e 3}4 _{tem restos 3, 4, 2 e 1, por 5, assim}

3r+4×q _{tem resto 3}r _{por 5, temos que 4, 4}2 _{tem restos 4 e 1 por}

5, assim 4r+2×q _{tem resto 4}r _{por 5, temos que 7, 7}2_{, 7}3 _{e 7}4_{, tem}

(40)

restos 2, 4, 3 e 1 por 5, assim 7r+4×q _{tem resto 7}r _{por 5, assim}

3247+ 4560+ 7628 = 33+4×61+ 40+2×280+ 72+4×154, assim tem o mesmo resto que 33 _{+ 4}0_{+ 7}3_{por 5, ou seja tem o mesmo resto}

que 2 + 1 + 3 = 6, ou seja tem o resto 1 por 5.

(clique aqui)

1.2 Números Inteiros

1.3 Números Racionais

1.4 Números Reais

1.4.1 Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas

(41)

(42)

(43)

Funções

“

Saber que sabemos o que sabemos, e saber que não sabemos o que não sabemos, está é a verdadeira sabedoria.

(44)

(45)

(clique aqui)

2.1 Conjuntos

2.1.1 Intervalos 2.1.2 Exercícios Resolvidos

2.2 Funções

2.2.1 Gráfico de Funções

2.3 Principais Funções de variáveis reais

(46)

(47)

Polinômios

“

Não se sinta constrangido por seus erros. Nada pode nos ensinar tanto quanto compreendê-los.

(48)

(49)

3.1 FunÇÕes lineaRes 31 Clique aqui para adquirir a versão completa desse livro Siga-nos nas redes sociais: Instagram (clique aqui), Facebook

(clique aqui)

3.1 Funções lineares

3.1.1 Funções lineares do tipo f(x) = ax

Seja f : R → R uma função linear do tipo f(x) = ax, sabemos

que f(0) = a· 0 = 0, assim toda função linear desse tipo passa pelo

ponto (0, 0), então uma função linear desse tipo pode ser determi-nada por conhecer o valor dela num ponto x1̸= 0.

Exemplo

Seja f : R→ R uma função linear do tipo f(x) = ax, se f

passa no ponto (3, 9) então determine f.

Sabemos que f passa nos pontos (0, 0) e (3, 9), assim usando as fórmulas que descrevemos anteriormente temos que a = 9−0

3−0 = 3

e b = 0, assim f(x) = 3x.

Note que f pode ser facilmente determinada, por observar que f(3) = 9, assim a· 3 = 9 que implica em a = 9

3 = 3, e portanto f (x) = 3x.

Os problemas de proporção são resolvidos usando funções lin-eares desse tipo, vejamos um exemplo ilustrativo.

(50)

32 CapÍtulo 3 PolinÔmios

Exemplo

Um pintor trabalhando em ritmo constante consegue pintar 20m2 de parede em 6h, em quanto tempo esse pintor con-segue pintar 75m2_{de parede, trabalhando no mesmo ritmo.}

Como no problema diz que o pintor trabalha em ritmo constante, então a relação entre quantidade de parede pintada em m2 _{e horas}

trabalhada pelo pintor é linear, observe que se o pintor trabalhar 0h, então terá 0m2 _{de paredes pintada, assim a relação entre eles}

será uma função linear com b = 0.

Como no problema devemos encontrar a quantidade de horas trabalhadas para conseguir pintar 75m2_{de parede, então o domínio}

da nossa função deve ser em relação a quantidade de parede pintada em m2_.

Chamamos de x a quantidade de parede pintada em m2_,

en-tão f(x) será a quantidade de horas trabalhadas, como temos que a relação f é uma função linear da forma f(x) = ax, devemos encontrar a. Na questão temos que o pintor consegue pintar 20m2

de parede em 6h de trabalho, assim temos que f(20) = 6, ou seja

f (20) = a· 20 = 6, portanto a = 6 20 = 3 10, e temos que nossa f(x) = 3

10 · x, então o pintor deverá trabalhar f (75) = ₁₀3 · 75 = 22, 5h para pintar 75m2de parede.

Desse exemplo note que toda regra de três simples com grandezas proporcionais podem ser resolvidas desse modo. Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais se o aumento de uma implicará no aumento de outra, nesse exemplo acima note que quanto mais horas o pintor trabalha mais quantidade de parede

(51)

pintada terá, e quanto mais paredes estiverem pintadas significa que o pintor passou mais tempo pintando, vejamos outro exemplo.

(clique aqui)

3.1.2 Funções lineares do tipo f(x) = ax + b 3.1.3 Sistemas lineares

3.2 Polinômios

(52)

(53)

Introdução ao Cálculo

“

Aprenda como se fosse viver para sempre. Viva como se fosse morrer amanhã.

(54)

(55)

(clique aqui)

4.1 Limite de funções

4.2 Derivadas

4.3 Integrais

(56)

(57)

Referências Bibliográficas

[1] T. M. Apostol, Calculus, Vol. 1. 2. ed., John Wiley & Sons, Inc.,

1967.

[2] A. Garcia e Y. Lequain, Elementos de Álgebra, IMPA, 2002.

[3] H. L. Guidorizzi, Um curso de cálculo, vol. 1. 5.ed. Rio de

Janeiro, LTC, 2001.

[4] A. Hefez, Elementos de Aritmética, Textos Universitarios,

SBM 2006.

[5] G. Iezzi, Fundamentos de matemática elementar, 1:

conjun-tos e funções. São Paulo, Atual, 1997.

[6] L. Leithold, O cálculo com geometria analítica, vol. 1. 3.ed.

São Paulo, Harbra, 1994.

[7] E. L. Lima, Análise Real, Vol. 1, Coleção Matemática

Uni-veritária, IMPA, 1989.

[8] E. L. Lima, Curso de Análise, Vol. 1, Projeto Euclides, 14.

ed., IMPA, 2012.

[9] J. P. O. Santos, Introdução à Teoria dos Números, 3. ed. Rio de Janeiro, IMPA, 2006.

[10] J. Stewart, Cálculo, vol.1. 7. ed. São Paulo, Cengage Learning, 2014.

(58)

(59)

Índice Remissivo

adição, 3

crivo de Eratóstenes, 8 divisor, 7

divisão, 13

menor múltiplo comum, 12 multiplicação, 5

máximo divisor comum, 11 múltiplo, 7

número composto, 8

natural, 3 primo, 8 primos entre si, 12 potência, 16 relação de ordem, 4 resto da divisão, 12 subtração, 4 Teorema fundamental da aritmética, 11

(60)

“

Muito obrigado por adquirir esse livro, e muita boa sorte em sua jornada de estudos

Toda a matemática que você deve aprender antes do cálculo Um guia direto e prático para os seus estudos

Toda a matemática que você deve

aprender antes do cálculo

Um guia direto e prático para os seus

estudos

Toda a matemática que

você deve aprender antes

do cálculo

Um guia direto e prático para os seus

estudos

Dedicatória

“

Introdução

“

Contents

Prefácio

“

Conjuntos Numéricos

“

1.1 Números Naturais

1.2 Números Inteiros

1.3 Números Racionais

1.4 Números Reais

Funções

“

2.1 Conjuntos

2.2 Funções

2.3 Principais Funções de variáveis reais

Polinômios

“

3.1 Funções lineares

3.2 Polinômios

Introdução ao Cálculo

“

4.1 Limite de funções

4.2 Derivadas

4.3 Integrais

Referências Bibliográficas

Índice Remissivo

“