N = {1, 2, 3, 4, 5, 6,... }

Conjuntos numéricos

Objetivo

Aprender os conjuntos numéricos, seus elementos e suas relações. E também aprender a realizar operações com números reais, ou seja, decimais, dízimas, etc.

Se liga

Para essa aula é importante que você tenha um conhecimento prévio sobre as quatro operações da matemática básica (adição, subtração, multiplicação e divisão) e operações com frações e números decimais.

Curiosidade

Você sabia os conjuntos numéricos surgiram da necessidade do homem representar quantidades?

Começaram com a contagem dos naturais e com a intensificação da atividade comercial foram necessários a criação de outros conjuntos, como por exemplos, dos inteiros para tratar de dívidas com valores negativos.

Teoria

Ao estudarmos os conjuntos numéricos, estamos dando um foco num segmento do estudo dos conjuntos.

Assim, todas as operações entre os conjuntos também são aplicáveis nesse segmento.

Conjunto dos Números Naturais (𝑁)

O primeiro conjunto numérico a ser estudado é o conjunto dos naturais, representados por “N” que surgiu a partir do momento que foi sentido a necessidade da contagem de elementos.

𝑁 = {0, 1, 2, 4, 5, 6, . . . } 𝑁

^∗

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . }

Obs: A notação “*” simboliza o conjunto sem o elemento nulo.

Adição de números naturais

Essa é uma operação fechada no conjunto dos naturais, ou seja, a adição de dois números naturais resulta em um número natural.

Exemplo: 17 + 8 = 25, ou seja, somando dois naturais, resultado natural.

Propriedades

•

Associativa: (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = 𝑏 + (𝑎 + 𝑐)

•

Comutativa: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎

•

Elemento Neutro: O zero é o elemento neutro da adição pois ao somarmos zero, o resultado não se altera.

Multiplicação de números naturais

A multiplicação no conjunto dos naturais também é uma operação fechada pois na multiplicação de quaisquer dois naturais, o resultado também é natural.

Exemplo: 15 𝑥 8 = 120, ou seja, multiplicando dois naturais, resultado natural.

Propriedades

•

Comutativa: 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎

•

Associativa: (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c) = b ∙ (a ∙ c)

•

Distributiva: a∙ (b + c) = ab + ac e a∙ (b – c) = ab - ac

•

Elemento Neutro: O elemento neutro da multiplicação é o um pois ao multiplicarmos um número por um, o resultado não se altera.

Divisão de números naturais

Na divisão de números naturais, nem todos os resultados são naturais.

Exemplos: 15 ∶ 5 = 3, porém, 7 ∶ 2 = 3,5 e 3,5 não é natural.

Conjunto dos Números Inteiros (Z)

O conjunto dos números inteiros, representado por “Z”, surgiu a partir do momento que surgiu a ideia de dívida, assim, entrando os números negativos.

𝑍 = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } Alguns subconjuntos são destacáveis:

1. Conjunto Z* dos números inteiros não nulos:

𝑍

^∗

= {

𝑥 ∈ 𝑍

|

𝑥 ≠ 0

}

= {. . . , −3, −2,1,1,2,3, . . . } 2. Conjunto

𝑍

₊^∗

= 𝑁

^∗dos números inteiros positivos não nulos:

𝑍

₊^∗

= 𝑁

^∗

= {

x ∈ Z

|

x > 0

}

= {1,2,3, . . . } 3. Conjunto 𝑍+= 𝑁 dos números inteiros não negativos:

𝑍₊= 𝑁 = {x ∈ Z|x ≥ 0} = {0,1,2,3, . . . } 4. Conjunto Z-*os números negativos não nulos:

𝑍

₋^∗

= {

x ∈ Z

|

x < 0

}

= {. . . , −3, −2, −1}

5. Conjuntos Z-dos números inteiros não positivos:

Operações com Inteiros

As operações com números inteiros funcionam como no conjunto dos naturais. O que difere os inteiros são os números negativos, assim, entramos com a propriedade dos números opostos.

Exemplo: O oposto de 3 = (−1) ∙ 3 = −3 ; O oposto de −4 = (−1) ∙ (−4) = 4.

Conjunto dos Números Racionais (Q):

O conjunto dos racionais surgiram quando houve necessidade de representar uma parte de um inteiro e é todo número da forma 𝑎

𝑏, com 𝑏 ≠ 0. Ou seja, são razões (quocientes) entre dois números inteiros. A definição formal é:

𝑄 = {𝑥 =𝑎

𝑏|𝑎 ∈ 𝑍 𝑒 𝑏 ∈ 𝑍^∗} Alguns exemplos:

• 0 =⁰

1

• −2 =⁻²

1

• ¹

2

Da mesma forma que temos 𝑍^∗, 𝑍₊^∗, 𝑍₊, 𝑍₋^∗, 𝑍₋, temos também 𝑄^∗, 𝑄₊^∗, 𝑄₊, 𝑄₋^∗, 𝑄₋ com definições análogas.

Obs: Lembrando que entre dois números racionais há infinitos números racionais.

Obs2: Dízimas periódicas são racionais pois podem ser escritas sob a forma de fração.

Operações com Racionais

Com os números racionais, além das propriedades já vistas, adicionamos a propriedade do inverso de um número.

Exemplo: O inverso de 4 = 4⁻¹ =¹

4

Operações entre frações

Soma e subtração: Caso os denominadores sejam iguais, bastar somar os numeradores e repetir o denominador.

Exemplo:¹

6

+

⁴

6

=

¹⁺⁴

6

=

⁵

6

Caso os denominadores sejam diferentes, calcula-se o menor múltiplo comum entre os denominadores.

Exemplo:¹

2

+

²

3

=

³

6

+

⁴

6

=

⁷

6 (𝑀𝑀𝐶 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 2 𝑒 3 = 6).

Multiplicação: Multiplica-se numerador com numerador e denominador com denominador, simplificando, se possível, o resultado.

1 2×2

3=(1 × 2) 2 × 3 =2

6=1 3

Divisão: Repete a primeira fração e multiplica pelo inverso da segunda fração ¹

2

:

²

3

=

¹

2

×

³

2

=

³

4

Dízima periódica

Número decimal que possui uma repetição periódica e infinita de termos (período), mas não tem uma representação exata. São classificadas como simples e compostas:

• Simples: o período começa logo após a vírgula. Exemplo: 0,3333... , 0,121212.... e 1,3333...

• Composta: Existe uma parte não periódica entre a vírgula e o período: Exemplo: 0,0222..., 1,125555...

Elas podem ser representas como 0, 3 e 1,125 com a barra indicando onde começa o período. Com a dízima periódica dá para descobrir a fração que a gerou, essa chamada fração geratriz.

• Simples. Exemplo: 0,3333...

Tomemos 𝑥 = 0,333 … (𝐼) , multiplicando por 10, teremos:

10𝑥 = 3,333 … (𝐼𝐼) Fazendo a subtração (𝐼) 𝑒 (𝐼𝐼), temos:

10𝑥 − 𝑥 = 3,333. . . – 0,333. ..

9𝑥 = 3 𝑥 =3

9=1 3 Logo, a fração geratriz é ¹

3

• Composta. Exemplo: 1,12555....

Tomemos 𝑥 = 1,12555 … multiplicando por 100, teremos 100𝑥 = 112,555 … (𝐼) Agora, multiplicando 𝑥 = 1,12555 … por 1000, teremos:

1000𝑥 = 1125,555 … (𝐼𝐼) Fazendo a subtração entre (𝐼) 𝑒 (𝐼𝐼), temos

1000𝑥 − 100𝑥 = 1125,555 … − 112,555 … 900𝑥 = 1013

𝑥 =1013 900 Logo, a fração geratriz é ¹⁰¹³₉₀₀

Conjunto dos Números Irracionais (𝑰 𝒐𝒖 𝑅 − 𝑄 𝒐𝒖 𝑄̅)

Os números irracionais são números que não podem ser escritos sob a forma de fração pois são números decimais infinitos e não periódicos.

Como exemplos de números irracionais podemos ter:

• 𝜋

• √2 ≈ 1,414213562. . .

• √5 ≈ 2,236067977. . .

Operações com Irracionais

Como os números irracionais são números infinitos e não periódicos, não os representamos como decimais.

Assim, normalmente não efetuamos operações com números irracionais, os deixando indicados quando isso ocorre.

Exemplo: 1 + √2 é uma soma que deixamos indicados por não conseguir somar ao certo esses valores.

Conjunto dos Números Reais (𝑅)

Os números reais, representados por R é a união dos conjuntos dos Racionais com os Irracionais. Ou seja,

𝑅𝑒𝑎𝑖𝑠 { 𝑅𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 (𝑄)

𝐼𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 (𝑅 − 𝑄)

Exercícios de fixação

1.

Qual proposição abaixo é verdadeira?

I. Todo número inteiro é racional e todo número real é um número inteiro.

II. A intersecção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais tem 1 elemento.

III. O número 1,83333... é um número racional.

IV. A divisão de dois números inteiros é sempre um número inteiro.

a) I.

b) II.

c) III.

d) IV.

2.

O valor da expressão abaixo, quando a = 6 e b = 9, é:

𝑏

√𝑏 − 𝑎²

3

a) um número natural ímpar

b) um número que pertence ao conjunto dos números irracionais c) não é um número real

d) um número inteiro cujo módulo é maior que 2

3.

João emprestou ao seu irmão R$ 30,00. Após alguns dias ele recebeu R$ 22,50 de volta, mas seu irmão precisou novamente de sua ajuda e ele lhe entregou outros R$ 15,00. Mais tarde, o irmão de João lhe devolveu R$ 19,50. Quanto o irmão ainda lhe deve?

a) R$ 2,00.

b) R$ 5,50.

c) R$ 4,50.

d) R$ 3,00.

4.

O valor de A é igual a

𝐴 = 2 3⋅3

5−1 4 1 5+ 1

10 a) ¹

2

b) ⁷

100

c) ⁷

6

d) ⁵⁰₃₃ e) N.D.A.

5.

Doze amigos foram a uma pizzaria e pagaram juntos R$ 390,48. Sabendo que essa conta foi dividida igualmente entre os doze amigos, quanto cada um deles pagou?

a) R$ 3,25 b) R$ 325,40 c) R$ 65,00 d) R$ 15,44 e) R$ 32,54

Exercícios de vestibulares

1.

Analise as informações abaixo:

I. O conjunto dos Números Naturais é subconjunto dos Números Inteiros.

II. O conjunto dos Números Naturais é subconjunto dos Números Racionais.

III. O conjunto dos Números Naturais é subconjunto dos Números Irracionais.

a) Apenas a afirmação I é verdadeira.

b) Apenas a afirmação II é verdadeira.

c) Apenas a afirmação I é verdadeira.

d) Apenas a afirmação I e II são verdadeiras.

e) Todas as afirmações são verdadeiras.

2.

Pitágoras estabeleceu a seguinte relação entre as sete notas musicais e números racionais:

Dó Ré Mi Fá Sol Lá Si Dó

1 8

9

64 81

3 4

2 3

16 27

128 243

1 2

Para encontrarmos o número ¹⁶

27 , relativo à nota LÁ, multiplicamos o ²

3 (correspondente da nota SOL) por ⁸

9. Assim, para obtermos ³

4(relativo à nota FÁ), devemos multiplicar ⁶⁴

81 (da nota MI) por a)

8 9

b) 9 8

c) 243 256

d) 256 243

e) 192 324

3.

Sobre os números racionais ₁₁¹ , ₃₃⁷ e ¹⁴₅₅, é correto afirmar que

a) Apenas dois desses números, em sua forma decimal, são representados por dízimas periódicas.

b) Apenas um desses números, em sua forma decimal, é representado por uma dízima periódica simples.

c) Os três números, em sua forma decimal, podem ser representados por dízimas periódicas tais que o período de cada uma delas é um número primo.

d) Os três números, em sua forma decimal, podem ser representados por dízimas periódicas tais que o período de cada uma delas é um número divisível por 3.

e) Os três números são irracionais.

4.

Uma professora de matemática organizou uma atividade associando um ábaco a três dados de diferentes formatos: um cubo com faces numeradas de 1 a 6, associadas à haste C, um octaedro com faces numeradas de 1 a 8, associadas à haste D, e um dodecaedro com faces numeradas de 1 a 12, associadas à haste U. Inicialmente, as hastes do ábaco encontram-se vazias.As letras C, D e U estão associadas a centenas, dezenas e unidades, respectivamente. A haste UM representa unidades de milhar.

Regras do jogo: são jogados os três dados juntos e, a cada jogada, colocam-se bolinhas nas hastes, correspondendo às quantidades apresentadas nas faces voltadas para cima de cada dado, respeitando a condição "nunca dez", ou seja, em cada haste podem ficar, no máximo, nove bolinhas. Assim, toda vez que a quantidade de bolinhas em alguma haste for superior a nove, dez delas são retiradas dessa haste e uma bolinha é colocada na haste imediatamente á

esquerda. Bolinhas, em quantidades iguais aos números obtidos na face superior dos dados, na segunda jogada, são acrescentadas às hastes correspondentes, que contêm o resultado da primeira jogada.

Iniciada a atividade, um aluno jogou os dados duas vezes. Na primeira vez, as quantidades das faces voltadas para cima foram colocadas nas hastes. Nesta jogada, no cubo, no octaedro e no dodecaedro, as faces voltadas para cima foram, respectivamente, 6, 8 e 11 (Figura 1).

Na segunda vez, o aluno jogou os dados e adicionou as quantidades correspondentes, nas respectivas hastes. O resultado está representado no ábaco da Figura 2.

De acordo com a descrição, as faces voltadas para cima no cubo, no octaedro e no dodecaedro, na segunda jogada, foram, respectivamente,

a) 4, 2 e 9.

b) 4, 3 e 9.

c) 4, 3 e 10.

d) 5, 3 e 10.

e) 5, 4 e 9.

5.

No contexto da matemática recreativa, utilizando diversos materiais didáticos para motivar seus alunos, uma professora organizou um jogo com um tipo de baralho modificado, No início do jogo, vira- se uma carta do baralho na mesa e cada jogador recebe em mãos nove cartas. Deseja-se formar pares de cartas, sendo a primeira carta a da mesa e a segunda, uma carta na mão do jogador, que tenha um valor equivalente àquele descrito na carta da mesa. O objetivo do jogo é verificar qual jogador consegue o maior número de pares. Iniciado o jogo, a carta virada na mesa e as cartas da mão de um jogador são como no esquema:

Segundo as regras do jogo, quantas cartas da mão desse jogador podem formar um par com a carta da mesa?

a) 9 b) 7 c) 5 d) 4 e) 3

6.

Em um jogo educativo, o tabuleiro é uma representação da reta numérica e o jogador deve posicionar as fichas contendo números reais corretamente no tabuleiro, cujas linhas pontilhadas equivalem a 1 (uma) unidade de medida. Cada acerto vale 10 pontos.

Na sua vez de jogar, Clara recebe as seguintes fichas:

Para que Clara atinja 40 pontos nessa rodada, a figura que representa seu jogo, após a colocação das fichas no tabuleiro, é:

a) b)

c) d)

e)

7.

Em um aeroporto, os passageiros devem submeter suas bagagens a uma das cinco máquinas de raio- X disponíveis ao adentrarem a sala de embarque. Num dado instante, o tempo gasto por essas máquinas para escanear a bagagem de cada passageiro e o número de pessoas presentes em cada fila estão apresentados em um painel, como mostrado na figura.

Um passageiro, ao chegar à sala de embarque desse aeroporto no instante indicado, visando esperar o menor tempo possível, deverá se dirigir à máquina:

a) 1.

b) 2.

c) 3.

d) 4.

e) 5.

8.

Um grupo de alunos cria um jogo de cartas em que cada uma apresenta uma operação com números racionais. O ganhador é aquele que obtiver um número inteiro como resultado da soma de suas cartas.

Quatro jovens ao jogar receberam as seguintes cartas:

O vencedor do jogo foi:

a) Maria.

b) Selton.

c) Tadeu.

d) Valentina.

9.

Em um teleférico turístico, bondinhos saem de estações ao nível do mar e do topo de uma montanha.

A travessia dura 1,5 minuto e ambos os bondinhos se deslocam à mesma velocidade. Quarenta segundos após o bondinho A partir da estação ao nível do mar, ele cruza com o bondinho B, que havia saído do topo da montanha. Quantos segundos após a partida do bondinho B partiu o bondinho A?

a) 5.

b) 10.

c) 15.

d) 20.

e) 25.

10.

Um executivo sempre viaja entre as cidades A e B, que estão localizadas em fusos horários distintos.

O tempo de duração da viagem de avião entre as duas cidades é de 6 horas. Ele sempre pega um voo que sai de A às 15h e chega à cidade B às 18h (respectivos horários locais). Certo dia, ao chegar à cidade B, soube que precisava estar de volta à cidade A, no máximo, até as 13h do dia seguinte (horário local de A). Para que o executivo chegue à cidade A no horário correto e admitindo que não haja atrasos, ele deve pegar um voo saindo da cidade B, em horário local de B, no máximo à(s)

a) 16h.

b) 10h.

c) 7h.

d) 4h.

e) 1h.

Gabaritos

Exercícios de fixação 1. C

I. Falsa. Realmente todo número inteiro é racional, pois pode ser escrito na forma de fração. Por exemplo, o número - 7, que é inteiro pode ser escrito, na forma de fração, como -7/1. Contudo, nem todo número real é inteiro, por exemplo 1/2 não é um número inteiro.

II. Falsa. O conjunto dos números racionais não possui nenhum número em comum com os irracionais, pois um número real ou é racional ou é irracional. Portanto, a intersecção é um conjunto vazio.

III. Verdadeira. O número 1,83333... é um dízima periódica, pois o algarismo 3 se repete infinitamente.

Esse número pode ser escrito na forma de fração como 11/6, portanto é um número racional.

IV. Falsa. Por exemplo, 7 dividido por 3 é igual a 2,33333..., que é uma dízima periódica, logo não é um número inteiro.

2. D

b

√b − a

²

3

= 9

√9 − 6

²

.3

= 9

√9 − 36

3

= 9

√−27

3

= 9

−3 = −3

• A opção a está errada, pois a resposta é um número negativo que não faz parte do conjunto dos números naturais.

• O número - 3 não é um decimal não periódico infinito, portanto, não é um irracional, logo a letra b também não é a solução correta.

• A letra c também está errada, pois o número - 3 é um número pertencente ao conjunto dos números reais.

• A opção correta só pode ser a letra d e realmente o resultado da expressão é um número inteiro e o módulo de -3 é 3 que é maior que 2.

3. D

Vamos ver cada um dos passos:

Primeiro empréstimo: R$ 30,00 Primeira devolução: R$ 22,50 Segundo empréstimo: R$ 15,00 Segunda devolução: R$ 19,50 Dívida: ?

1º passo: subtrair o valor que foi devolvido do primeiro empréstimo.

30,00 – 22,50 = 7,50

2º passo: somar o segundo empréstimo com o valor que o irmão ainda deve.

15,00 – 7,50 = 22,50

3º passo: subtrair a nova quantia devolvida.

22,50 – 19,50 = 3,00

Portanto, o irmão de João ainda lhe deve R$ 3,00

4. A

A = 2 3⋅3

5−1 4 1 5+ 1

10

= 6 15−1

4 1 5+ 1

10

=

24 − 15 60 2 + 1

10

= 9 60

3 10

= 9 60⋅10

3 = 90 180=1

2

5. E

Para encontrar o valor pago por amigo, é necessário dividir a conta da pizzaria pelo número de pessoas para as quais ela foi dividida. Observe:

𝟑𝟗𝟎, 𝟒𝟖 ÷ 𝟏𝟐 =

Observe que é necessário multiplicar divisor e dividendo por 100 para realizar essa multiplicação. Assim, teremos:

𝟑𝟗𝟎𝟒𝟖 ÷ 𝟏𝟐𝟎𝟎 = 𝟑𝟐, 𝟓𝟒

Logo, a resposta é a alternativa E.

Exercícios de vestibulares 1. D

Considere a relação hierárquica dos conjuntos numéricos ℕ ⊏ ℤ ⊏ ℚ ⊏ ℝ ⊏ ℂ

ℝ = ℚ ∪ Ι Ι ⊏ ℝ ⊏ ℂ

Analisando as afirmações:

I. Verdadeira, pois ℕ ⊏ ℤ

II. Verdadeira, pois ℕ ⊏ ℤ ⊏ ℚ ⇒ ℕ ⊏ ℚ

III. Falsa. Note que os números irracionais não possuem subconjuntos definidos segundo os conjuntos apresentados.

2. C 3 4 64 81

= 3 4.81

64 = 243 256

3. D

Tem-se que ¹

11 = 0, 09̅̅̅̅,⁷

33 = 0, 21̅̅̅̅ 𝑒 ¹⁴

55 = 0,2545̅̅̅̅. Em consequência, os três números, em sua forma decimal, são representados por dízimas periódicas, com o 0, 09̅̅̅̅ 𝑒 0, 21̅̅̅̅ sendo dízimas periódicas simples e 0,2545̅̅̅̅ uma dízima periódica composta. Ademais, os período dessas dízimas são: 9, 21 e 45, todos divisíveis por 3.

4. A

Calculando: 1ª jogada > 6, 8, 11 Unidade = 11 – 10 = 1

Dezena = 8 + 1 = 9

2ª jogada > x, y, z

Unidade = 1+ z = 10 > z = 9 > 10 – 10 = 0 Dezena = 9 + 1 + y = 12 > y = 2 > 12 – 10 = 2 Centena = 6 + 2 + x = 11 > x = 4 > 11 – 10 = 1

5. E

Analisando, podemos ver que ⁶

8 = ³

4 = 0,75 = 75%. Portanto, a resposta é 3.

6. D

Como 𝑥 = √3 ≅ 1,7; 𝑦 = −¹₂ = −0,5 e 𝑧 = ³₂ = 1,5, tem-se t < y < z < x. Assim, a figura que representa o jogo de Clara é a da alternativa D. Note que na alternativa A, x=3.

7. B

O tempo de espera nas máquinas 1, 2, 3, 4 e 5 são, respectivamente, iguais a 1) 35 ∙ 5 = 175𝑠

2)25 ∙ 6 = 150 𝑠 3)22 ∙ 7 = 154𝑠 4)40 ∙ 4 = 160𝑠 5) 20 ∙ 8 = 160 𝑠

Portanto, o passageiro deverá se dirigir à máquina 2.

8. C

Maria teve a soma: ¹²

9 ( geratriz de 1,333...)+ ⁴

5+¹²

10(1,2 na forma de fração)+ ⁷

3=⁵¹⁰

9

Selton teve a soma: ²

9+¹

5+ ³

10+¹

6= ⁸

9

Tadeu teve a soma: ¹⁰

9 + ³

10+¹⁷

10+⁸

9=³⁶

9 = 4 Valentina teve a soma: ²

3+⁷

2+ ¹

10+¹

2=¹⁴³

90.

O único que teve como resposta um número inteiro foi Tadeu que foi o vencedor.

9. B

A travessia dura 90 segundos (ou 1,5 minutos). Se o bondinho A se colocou por 40 segundos até determinado ponto, isso quer dizer que o bondinho B deve ter se deslocado por 50 segundos, na direção oposta, até cruzar-se com o bondinho A. Ou seja, o bondinho B partiu 10 segundos antes do bondinho A – Alternativa B. Ou ainda:

𝑉_𝐴= 𝑉_𝐵 = 𝑑 𝑡 𝑑_𝐴= 𝑑

90. 40 = 4𝑑 9 𝑑_𝐵= 5𝑑

9 ⇒ 𝑡_𝐵 = 5𝑑

9 𝑑 90

= 50𝑠

10. D

Sabendo que duração da viagem de A para B é de 6 horas, e que saindo da cidade A às 15 horas o voo chega à cidade B às 18 horas, e que a diferença de fusos horários entre A e B é de 3 horas. Desse modo, se na cidade A são 13 horas, na cidade B são 10 horas e, portanto, o executivo deve pegar um voo, na cidade B, que saia, no máximo, às 10 - 6 = 4 horas.

⇒ x, y, z = 4, 2, 9