Décimo Segundo Encontro Regional Ibero-americano do CIGRÉ Foz do Iguaçu-Pr, Brasil - 20 a 24 de maio de 2007

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MODELAGEM DA PRIMEIRA RESSONÂNCIA DE TRANSFORMADORES

M. Januário*

P. Kuo-Peng*

N. J. Bastitela*

W. P. Carpes Jr. *

M. G. Vanti **

R. J. Nascimento***

* Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) – Grupo de Concepção e Análise de

Dispositivos Eletromagnéticos (GRUCAD).

** Universidade Regional de Blumenau (FURB) – Grupo de Pesquisa em Energia e

Telecomunicações (GPTEL)

*** Tractebel Energia S. A.

RESUMO

O trabalho apresenta a modelagem da impedância de um transformador monofásico através da sua resposta em freqüência. O comportamento da impedância em função da freqüência é descrito de maneira restrita, apresentando as ressonâncias que ocorrem nos enrolamentos do transformador dentro do espectro de freqüência analisado. O objetivo deste trabalho é a modelagem da primeira ressonância, a qual é oriunda do ramo magnetizante do transformador com as capacitâncias parasitas. A representação do modelo é feita através de um circuito equivalente contendo parâmetros elétricos. O ramo magnetizante possui efeitos não-lineares devido ao comportamento do material ferromagnético juntamente com os efeitos das correntes induzidas, as quais geram perdas e oposição ao fluxo magnetizante. Estes fenômenos são contemplados pelas equações do modelo.

Os resultados são apresentados através da comparação das curvas de resposta em freqüência adquiridas por um analisador de impedância com os resultados do modelo proposto. As respostas são comparadas, apresentando uma boa concordância entre modelo e resultados experimentais.

Esta forma de modelagem pode ser aplicada em transformadores de médio e grande porte, podendo ser utilizada em simulações de transitórios eletromagnéticos, como descrevem e sugerem alguns trabalhos na literatura, tais como estudos de transitórios de chaveamentos, aplicações de surtos, corrente de partida e ferrorressonância. Para este tipo de modelagem, destacam-se os estudos de transformadores de fornos a arco, de sobretensão causada pelo chaveamento de disjuntores a vácuo (VCB) e de tensão de restabelecimento transitória (TRV).

PALAVRAS-CHAVE

Modelagem de Transformadores, Resposta em Freqüência, Diagnóstico, Não-Linearidade, Ressonância, Transitórios.

2

1. INTRODUÇÃO

Alguns trabalhos na literatura destacam que a primeira ressonância dos transformadores é oriunda do ramo magnetizante [1] e [2]. A modelagem da resposta em freqüência da impedância dos transformadores pode, em geral, ser representada por circuitos RLCG (Resistores, indutores, capacitores e admitâncias) para cada ressonância, como descreve [1] e [2]. Entretanto, este método de representação não reflete o exato comportamento da primeira ressonância. Alguns dos efeitos de ressonâncias de transformadores não são comtemplado pelo RLCG, como exemplo, a não-linearidade do material núcleo magnético juntamente com os efeitos não-lineares das correntes induzidas [3]. O fenômeno de histerese magnética e as correntes induzidas provocam interatividade simultânea na geração de perdas e oposição ao fluxo magnetizante. O material ferromagnético possuindo características não-lineares, a sua modelagem com parâmetros elétricos se torna difícil devido à necessidade de um grande número de elementos dependentes da freqüência e dos valores de indução. Os enrolamentos, por sua vez, produzem efeitos não-lineares com o aumento da freqüência devido ao efeito pelicular e de proximidade [4]. Estes são responsáveis por ressonâncias que ocorrem em médias freqüências [2]. Na modelagem apresentada neste trabalho, estes fenômenos não-lineares são comtemplados.

A modelagem da resposta em freqüência pode ser tratada de diversas maneiras, como descritos nos trabalhos [1] – [5]. Estas referências apresentam a necessidade de modelagem de transformadores para simulações de transitórios eletromagnéticos, tais como chaveamentos, estudos de surtos, correntes de partida, ferrorressonância, destacando os estudos de transformadores de fornos a arco, de sobretensões causadas pelo chaveamento de disjuntores a vácuo (VCB) e da tensão de restabelecimento transitória (TRV). Em alguns trabalhos, como em [6] e [7], são utilizadas as resposta em freqüência para diagnósticos de falhas de transformadores.

2.

TRANSFORMADOR E OBTENÇÃO DOS DADOS EXPERIMENTAIS

Neste trabalho é utilizado um único transformador para o estudo, de 100VA, 220V/30V, núcleo envolvido, apresentado na Figura 1. Ele é caracterizado pela sua resposta em freqüência obtida por meio de um analisador de freqüência.

Figura 1: Transformador utilizado.

A Figura 2 mostra o esquema elétrico de como foram obtidos os ensaios de resposta em frequência. Através de ensaio de caracterização em amostras de aço de mesma especificação realizado no laboratório GRUCAD/UFSC, obteve-se a permeabilidade e a condutividade do material necessárias para a modelagem. As medições da resposta em freqüência da impedância foram realizadas através de um Analisador de Impedância (HP 4284A), cuja faixa de freqüência pode ser variada de (20 Hz a 1 MHz), bem como a sua amplitude de tensão. A Figura 2(a) representa a medição da resposta em freqüência do primário com o terminal secundário em aberto. A Figura 2(b) representa a medição do primário com o secundário em curto-circuito. As medições também foram realizadas excitando o enrolamento secundário com os teminais do primário em aberto e em curto-circuito. A tensão aplicada pelo analisador de impedância foi de 20V.

3

Figura 2: Disposição dos enrolamentos do transformador e seus terminais. Medição da resposta em

freqüência do primário (a) com o secundário em aberto e (b) com o secundário em curto-circuito.

Na Figura 3 são apresentadas as medições das respostas em freqüência. Para o ensaio excitando o primário com o secundário em aberto

( )

open P

Z é vista uma única ressonância em 9,6 kHz provocada pela interação da indutância do ramo magnetizante com as capacitâncias parasitas. Para o ensaio com o secundário em curto-circuito

(

)

short P

Z

, a ressonância que ocorreu no caso anterior não está presente e surge uma ressonância em 100kHz provocada pela interação da indutância de dispersão, resistência dos enrolamentos e das capacitâncias entre enrolamentos. Nesta freqüência de 100kHz, estão presentes o efeito pelicular e de proximidade no valor de resistência elétrica equivalente.

Figura 3: Resposta das medições dos terminais em aberto e em curto-circuito realizados nos enrolamentos primário e secundário. Em (a) a Magnitude [Ohms] e (b) a Fase [Graus].

O outro ensaio realizado aplicando a excitação no secundário com o primário em aberto

( )

open S Z apresenta uma ressonância em aproximadamente 6,5kHz e uma outra em 300kHz (vide Figura 3). Quando o primário é posto em curto-circuito

(

)

short S

Z

, a resposta apresenta uma única ressonância em 300kHz. Quando o ensaio é feito no transformador com o enrolamento oposto ao de excitação curto-circuitado, praticamente a indutância do ramo magnetizante tem pouca influência. Além disso, o parâmetro de maior valor relativo é a indutância de magnetização, estando mais sujeita a ressonâncias de baixa freqüência. Assim a primeira ressonância é provocada pelo ramo magnetizante com as capacitâncias parasitas. Entretanto, analisando o gráfico da Figura 3, nas freqüências de ressonância 6,5kHz e 10kHz (respectivamente e ), alterações da resistência equivalente causadas pelo efeito pelicular e proximidade devem ser considerados. Como o trabalho se dispõe em tratar da modelagem da primeira ressonância, será observado o espectro de freqüência até 100 kHz, desprezando as possíveis ressonâncias para freqüências mais elevadas. (Observação: definem-se os valores das freqüências das ressonâncias quando o valor da fase da impedância for igual a zero).

short S

Z

short P

Z

4

3.

MODELAGEM

O modelo do transformador é dividido em 3 partes. A primeira parte representa o circuito equivalente do ramo magnetizante. A segunda parte modela os efeitos de dispersão e efeito pelicular do enrolamento e a última determina a capacitância parasita própria do enrolamento.

3.1

Modelagem do Ramo Magnetizante

O principal efeito que ocorre no ramo magnetizante é o efeito oriundo das correntes induzidas no material ferromagnético. Como apresenta [3] a equação para a impedância relativa às correntes induzidas pode ser dada por (1), onde o número de espiras do enrolamento, seção transversal do núcleo, comprimento do caminho médio, espessura da lâmina,

m

Z

N

A

l d

μ

₀ permeabilidade do vácuo,

μ

_r

permeabilidade relativa do meio,

σ

condutividade e s freqüência complexa de Laplace.

( )

2 2 0 0 2 d s tgh s ld A N s Z r _r m

σ

μ

μ

μ

μ

= (1)

A equação (1), pode ser expandida em frações parciais como é dado em (2), onde número de termos da expansão, a indutância em baixa freqüência e

n dc

L

τ

constante de tempo de difusão.

( )

(

)

∑

∞ = ₊ − = 1 2 2 4 1 2 2 n dc m n s sL s Z

τ

τ

π

(2) dc

L

e

τ

são dadas pelas equações (3) e (4) respectivamente.

l

A

N

L

r dc 2 0

μ

μ

=

(3) 2 2 0

4

π

σ

μ

μ

τ

=

r

d

(4)

A equação (2) pode ser representada por um circuito equivalente Foster paralelo, Figura 4, onde as equações são descritas por (5), (6) e (7), onde é a indutância de baixa freqüência, e são respectivamente, a indutância e a resistência do termo .

0

L

L

_n

R

_n n dc

L

L

₀

=

(5)

2

dc n

L

L

=

(6)

τ

2

2 dc n

L

n

R

=

(7)

5

Para simulações de transitórios eletromagnéticos, as indutâncias da Figura 4 podem ser representadas com a sua curva de magnetização ou histerese [3] e [8], acrescentando as suas não-linearidades.

3.2

Indutância de Dispersão, Efeito Pelicular e de Proximidade dos Enrolamentos.

O efeito da indutância de dispersão e o efeito pelicular e de proximidade dos enrolamentos são, em geral, de baixa magnitude em relação aos efeitos do núcleo, mas devem ser considerados. Como demonstra [9], estes efeitos podem ser estimados no ensaio de resposta em freqüência com os terminais em curto-circuito. A representação destes efeitos é feita através do circuito Foster Série dado em [10], como mostra a Figura 5, onde, é a resistência em nível DC, ou à baixa freqüência, que pode ser estimada pela equação (8). e são as perdas oriundas das correntes induzidas e a indutância de dispersão nos enrolamentos, respectivamente, dadas por (9) e (10). Elas são calculadas para a freqüência denominada . Através da equação (11) são determinados e , respectivamente, a parte real e a parte imaginária da impedância de curto-circuito medida na freqüência .

Rs

Rp

Lp

skin

f

R

_skin

jX

_skin cc

Z

f

_skin

Figura 5: Circuito equivalente Foster Série para a representação dos efeitos nos enrolamentos.

( )

s cc

R

Z

0

=

(8)

(

)

{

}

⎥_⎦⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = skin s skin p jX R R R 1 Re 1 (9)

(

)

{

}

⎥_⎦⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = skin s skin skin p jX R R f L 1 Im 2 1

π

(10)

(

skin

)

skin skin

cc

f

R

jX

Z

=

+

(11)

3.3

Estimação da Capacitância Parasita dos Enrolamentos.

A capacitância parasita equivalente C pode ser estimada na freqüência em que ocorre a primeira ressonância, ela é oriunda das capacitâncias entre as espiras e as capacitâncias entre espiras e o material ferromagnético. A ressonância ocorre na freqüência em que a reatância torna-se zero. De acordo com [4], a capacitância pode ser calculada pela soma da impedância do ramo magnetizante e do enrolamento

, dada por em (12). m

Z

cc

Z

Z

_s

( )

s

Z

( )

s

Z

( )

s

Z

_s

=

_cc

+

_m (12)

6

A equação (12) pode ser descrita como em (13), onde é a freqüência de ressonância medida, é parte real e a indutância oriunda da reatância indutiva da impedância na freqüência .

r f Rr r L

Z

_s f_r

(

r

)

r

(

r

)

r s

f

R

j

f

L

Z

2

π

=

+

2

π

(13)

O cálculo da capacitância C entre os terminais é realizado através da equação (14).

(

) ( )

_{( )}

( )

r r r r r r r

f

L

f

R

f

L

f

C

₂ 2

2

1

+

=

π

(14)

Utilizando os parâmetros calculados pelas equações apresentadas, o circuito equivalente final para representar a resposta em freqüência da impedância dos enrolamentos Z

( )

s está mostrado na Figura 6.

Figura 6: Circuito equivalente para representar a resposta em freqüência dos enrolamentos.

3.4

Valores dos Parâmetros e dos Dados Utilizados.

Os dados para a determinação dos parâmetros relativos ao equacionamento estão descritos na Tabela 1. Alguns destes dados são relativos à construção do transformador e outros foram obtidos pelos ensaios realizados.

TABELA 1: Dados para determinação dos parâmetros.

Símbolo Descrição Quantidade

Np

Número espiras primário 851

Ns Número espiras secundário 128

l Comprimento do caminho médio (m)

0

,

275

S Seção transversal (

mm

2) 894

σ

Condutividade (S.m)

5

,

97

×

10

6

d Espessura da lâmina (mm)

0

,

5

P r

μ

Permeabilidade relativa para o primário 7330

S r

μ

Permeabilidade relativa para o secundário 9520

P r

f

Freqüência de ressonância para o primário (kHz)

9

,

615

S r

f

Freqüência de ressonância para o primário (kHz)

6

,

52

P skin

f

Freqüência parâmetros pelicular, proximidade e dispersão primário (kHz) 60

S skin

7

4.

RESULTADOS EXPERIMENTAIS

4.1

As Respostas do Modelo.

Foram feitas simulações para o circuito apresentado na Figura 6. A modelagem do núcleo é feita com igual a 25. Na Tabela 2 são apresentados os parâmetros calculados e utilizados nas simulações. Os resultados são apresentados na Figura 8 e na Figura 9. Nota-se que há uma boa concordância entre os resultados experimentais com os resultados obtidos numericamente com o modelo.

n

TABELA 2: Parâmetros determinados.

Parâmetro Descrição Primário Secundário

C Capacitância (nF)

0,167

8,514

Rs Resistência (

Ω

)

40,65

0,93

Rp

Resistência (kΩ)

14,3

0,303

Lp

Indutância (mH )

13,7

0,223

dc

L

Indutância (

H

)

17,7

0,52

n

L

Indutância (

H

)

8,85

0,26

n

R

Resistência (kΩ)

24,85 n

×

2

0,562 n

×

2

Figura 8: Resposta em freqüências da impedância do primário comparando as respostas experimentais com as do modelo em (a) Magnitude [Ohms] e em (b) Fase [Graus].

Figura 9: Resposta em freqüências da impedância do secundário comparando as respostas experimentais com as do modelo em (a) Magnitude [Ohms] e em (b) Fase [Graus].

8

5.

CONCLUSÃO

As respostas em freqüência do modelo apresentaram-se em conformidade com as respostas das medições. A resposta da magnitude do modelo dos terminais do primário teve uma concordância melhor. A sua fase do modelo no início do espectro teve um comportamento diferente do experimental, mas com a mesma tendência da resposta. Para a resposta do modelo dos terminais do secundário, nota-se que seu comportamento seguiu com melhor tendência as respostas, tanto para amplitude quanto para a fase.

A condutividade do material foi estimada através de amostras, e como se sabe, a mesma pode variar por inúmeros fatores (temperatura ambiente, oxidação da amostra, montagem, isolação entre lâminas, etc.). Também os dados geométricos como a seção transversal e o comprimento médio podem variar para diferentes valores de indução do núcleo, afetando os resultados encontrados pelo modelo.

Esta técnica pode ser utilizada na modelagem de transformadores de médio e grande porte e em simulações de transitórios. É necessário que se tenham os dados construtivos do mesmo e que as indutâncias do ramo magnetizante sejam implementadas contendo sua não-linearidade. Em alguns trabalhos que destacam essa modelagem do material ferro magnético, o número de n circuitos para representar o núcleo é muito menor do que a quantidade utilizada neste trabalho.

BIBLIOGRAFIA

[1] O. A. Soysal, “Protection of arc furnace supply systems from switching surges”. Winter Meeting Power Engineering Society, 1999. IEEE Volume 2, 31 Janeiro.- 4 Fevereiro. 1999 Pg.: 1092 – 1095. [2] J. Pleite, E. Olias, A. Barrado, A. Lázaro e J. Vázquez, “Modeling the transformer frequency response

to develop advanced maintenance techniques”. INTERMAG Magnetics Conference, Europe 2002. 28 Abril – 2 Maio 2002.

[3] J. Avila-Rosales e F. L. Alvarado. “Nonlinear frequency dependent transformer model for electromagnetic transient studies in power systems”. IEEE Trans. Power Appar. and Sys. Vol. PAS-101, nº 11 Pg. 4281 – 4288, 1982.

[4] G. Grandi, M. K. Kazimierczuk, A. Massarini, U. Reggiani e G. Sancineto. “Model of laminated iron-core inductors for high frequencies”. IEEE Transactions on Volume 40, nº 4, Parte 1, Julho 2004 Pg(s): 1839 – 1845.

[5] M. Popov, L. van der Sluis e G. C. Paap, “A simplified transformer model for the simulation of fast surges and adequate protection measures”. Power Engineering Society Winter Meeting, 2001. IEEE. Volume 1, 28 Janeiro – 1 Fevereiro 2001. Pg(s): 323 – 328.

[6] J. Pleite, E. Olias, A. Barrado, A. Lázaro e J. Vázquez, “Frequency Response modeling for device analysis”. IECON 02, 28th Annual Conference of the Industrial Electronics Society, IEEE 2002. Volume 2. 5 – 8 Novembro 2002. Pg(s): 1457 – 1462.

[7] E. Rahimpour, J. Christian, K. Feser e H. Mohseni, “Transfer function method to diagnose axial displacement and radial deformation of transformer windings”. IEEE Transactions on Power Delivery, Volume 18, nº 2, Abril 2003. Pg(s) 493 – 505.

[8]E. J. Tarasiewicz, A. S. Morched, A. Narang e E. P. Dick. “Frequency dependent eddy current models for nonlinear iron cores”. IEEE Transactions on Power Systems, Volume 8, nº 2, Maio 1993 Pg(s): 588 – 597.

[9] T. Noda, H. Nakamoto e S. Yokoyama. “Accurate modeling of core-type distribution transformers for electromagnetic transient studies”. IEEE Transactions on Power Delivery, Volume 17, nº 4, Outubro 2002 Pg(s): 969 – 976.

[10] F. de Leon e A.Semlyen. “Time domain modeling of eddy current effects for transformer transients”. IEEE Transactions on Power Delivery, Volume 8, nº 1, Janeiro 1993 Pg(s): 271 – 280.