Representa»c~ao posicional de inteiros

Representa»c~

ao posicional de inteiros

Habitualmente os n¶umeros inteiros positivos s~ao representados no sistema (posicional) decimal. Na representa»c~ao de um inteiro positivo no sistema decimal, os d¶³gitos ou algarismos representam m¶ultiplos de pot^encias de10, base do sistema. Esses m¶ultiplos de pot^encias de 10, quando somados, determinam o n¶umero. Por exemplo, ao escrevermos 27 065 estamos representando a quantidade

2 ¢ 104_{+ 7 ¢ 10}3_{+ 0 ¢ 10}2_{+ 6 ¢ 10}1_{+ 5 ¢ 10}0

A raz~ao hist¶orica para a ado»c~ao da base10 na representa»c~ao dos inteiros ¶e provavelmente o fato de termos dez dedos em nossas m~aos. Algumas civiliza»c~oes antigas usaram bases diferentes, como os Babil^onios, que usavam a base 60 (sistema sexagesimal). Uma heran»ca cultural que temos dos Babil^onios est¶a no sistema sexagesimal da contagem de minutos e segundos. J¶a os computadores eletr^onicos usam a base 2 (sistema bin¶ario) para representar os inteiros internamente, nos circuitos el¶etricos, e a base 8 (sistema octal ) ou a base 16 (sistema hexadecimal) para representar os inteiros externamente, nos dispositivos de visualiza»c~ao.

Uma calculadora cient¶³¯ca, como a encontrada em modernos computadores, realiza c¶alculos e exibe resultados nos sistemas decimal, hexadecimal, octal e bin¶ario. Quando o leitor adquirir familiaridade com esses quatro sistemas, poder¶a conferir seus c¶alculos, propostos nos exerc¶³cios, em uma dessas calculadoras.

Como veremos a seguir, qualquer inteiro positivo maior do que 1 pode ser usado como base na representa»c~ao dos inteiros. A representa»c~ao de inteiros de que estamos tratando ¶e chamada representa»c~ao posicional, uma vez que a posi»c~ao de cada d¶³gito ¶e relevante na representa»c~ao do n¶umero.

Teorema 4.1 Seja b > 1 um inteiro positivo ¯xado. Ent~ao qualquer inteiro positivo n

pode ser escrito, de maneira ¶unica, na forma

n = ak¢ bk+ ak¡1¢ bk¡1+ ¢ ¢ ¢ + a2¢ b2+ a1¢ b + a0

na qual os coe¯cientes a_j, para j = 0; 1; : : : ; k, s~ao elementos do conjunto de d¶³gitos f0; 1; : : : ; b ¡ 1g, e ak6= 0 .

Demonstra»c~ao. Para obter a representa»c~ao (ou expans~ao) de n, na base b, constru¶³mos uma seqÄu^encia ¯nita de divis~oes euclidianas por b, cujos restos constituir~ao a seqÄu^encia de d¶³gitos a₀; : : : ; a_k.

Primeiro dividimosn por b, e obtemos

n = bq0+ a0; 0 · a0 < b:

Se q₀ > 0 ent~ao dividimos q₀ porb, obtendo

q0 = bq1+ a1; 0 · a1 < b:

Se q₁ > 0, continuamos o processo, obtendo

q1 = bq2+ a2; 0 · a2 < b (q2 > 0)

q2 = bq3+ a3; 0 · a3 < b (q3 > 0)

.. .

qk¡1 = bqk+ ak; 0 · ak < b (qk¡1 > 0)

at¶e encontrarmos o primeiro quociente q_k = 0.

A garantia de que o processo termina est¶a no fato de que a seqÄu^encia n > q₀ > q1 > q2 > ¢ ¢ ¢ , ¶e uma seqÄu^encia estritamente decrescente de inteiros n~ao negativos,

terminando portanto em algum q_k = 0 (n~ao existe uma seqÄu^encia in¯nita e decrescente de inteiros positivos).

Substituindo sucessivamente q₀; q₁; : : : ; q_k¡1 na equa»c~ao n = bq₀+ a₀ obtemos n = bq0+ a0 = b(bq1 + a1) + a0 = q1b2+ a1b + a0 = (bq2+ a2)b2+ a1b + a0 = b3_q 2+ a2b2+ a1b + a0 .. . = (bqk+ ak)bk+ ak¡1bk¡1+ ¢ ¢ ¢ + a2b2+ a1b + a0 = akbk+ ak¡1bk¡1+ ¢ ¢ ¢ + a2b2+ a1b + a0

Para demonstrarmos a unicidade da expans~ao de n na base b, vamos supor que existem duas expans~oes distintas,

n = akbk+ ak¡1bk¡1+ ¢ ¢ ¢ + a2b2+ a1b + a0

n = Akbk+ Ak¡1bk¡1+ ¢ ¢ ¢ + A2b2+ A1b + A0

com os coe¯cientes a_j e A_j, para j = 0; 1; : : : ; k, tomados no conjunto de d¶³gitos f0; 1; : : : ; b ¡ 1g.

Note que, em princ¶³pio, as duas expans~oes n~ao precisam conter o mesmo numero k + 1 de termos. Isto ¶e facilmente contornado somando parcelas com coe¯cientes nulos para for»car a igualdade no n¶umero de coe¯cientes dos dois somat¶orios. Subtraindo o segundo somat¶orio do primeiro, termo a termo, obtemos

(ak¡ Ak)bk+ ¢ ¢ ¢ + (a2 ¡ A2)b2+ (a1¡ A1)b + (a0¡ A0) = 0

Seja j 2 f0; 1; 2; : : : ; kg o primeiro inteiro tal que a_j 6= A_j. Note que tal j existe quando as duas representa»c~oes s~ao realmente distintas.

A igualdade anterior tem ent~ao a forma

(ak¡ Ak)bk+ (ak¡1¡ Ak¡1)bk¡1+ ¢ ¢ ¢ + (aj+1¡ Aj+1)bj+1+ (aj¡ Aj)bj = 0

e podemos ent~ao escrever bj£_(a

k¡ Ak)bk¡j + ¢ ¢ ¢ + (aj+1¡ Aj+1)b + (aj¡ Aj)¤= 0

ou, equivalentemente,

Aj ¡ aj = b£(ak¡ Ak)bk¡j¡1+ ¢ ¢ ¢ + (aj+1¡ Aj+1)¤:

Nestas condi»c~oes b j (A_j¡ a_j).

Por outro lado, como 0 · a_j < b e 0 · A_j < b, segue que ¡b < A_j¡ a_j < b. Assim A_j ¡ a_j ¶e o ¶unico m¶ultiplo de b no intervalo ¡b < A_j ¡ a_j < b, isto ¶e, Aj ¡ aj = 0.

Chegamos ent~ao a uma contradi»c~ao, j¶a que estamos sob a hip¶otese de quea_j 6= A_j.

Alternativamente, podemos demonstrar a exist^encia da expans~ao de n, na base b, por indu»c~ao sobre n, usando o segundo princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita, analogamente ao procedimento usado na demonstra»c~ao do teorema 2.6, cap¶³tulo 1.

Um caso particularmente interessante do teorema 4.1 ocorre quando b = 2, con-forme enunciado a seguir.

Corol¶ario 4.1 Qualquer inteiro positivo pode ser representado, de maneira ¶unica, como

uma soma de pot^encias de dois, distintas entre si.

Demonstra»c~ao. Seja n um inteiro positivo. Segue do teorema 4.1, quando b = 2, que n tem a forma

n = ak¢ 2k+ ak¡1¢ 2k¡1+ ¢ ¢ ¢ + a2¢ 22+ a1¢ 21+ a0¢ 20

com cada d¶³gito a_j igual a 0 ou 1, sendo os d¶³gitos a_j determinados de maneira ¶unica. Logo n pode ser representado, de maneira ¶unica, como uma soma de pot^encias de dois, distintas entre si.

Na representa»c~ao descrita no teorema 4.1, b ¶e chamado de base da representa»c~ao. Expans~oes decimais (b = 10), bin¶arias (b = 2), hexadecimais (b = 16) ou octais (b = 8) s~ao as mais usadas. Os coe¯cientesa_j s~ao chamados de d¶³gitos da representa»c~ao. D¶³gitos bin¶arios tamb¶em s~ao chamados de bits (binary digits).

Para distinguir representa»c~oes de inteiros em diferentes bases, ¶e h¶abito usar a nota»c~ao

(akak¡1: : : a2a1a0)b

para representar

akbk+ ak¡1bk¡1+ ¢ ¢ ¢ + a2b2+ a1b + a0

Tamb¶em escrevemos abc : : : rs_b em lugar de (abc : : : rs)_b.

Assim, por exemplo, (2102)₃ ou 2102₃ signi¯ca2 ¢ 33+ 1 ¢ 32+ 0 ¢ 31+ 2 ¢ 30, que ¶

e, no nosso sistema decimal, 2 ¢ 27 + 1 ¢ 9 + 2 = 65.

Como de h¶abito, ¯ca subententida a base dez quando n~ao ¯zermos men»c~ao µa base na qual o inteiro est¶a representado. Assim, 2307 ¶e o mesmo que 2307₁₀ ou (2307)₁₀, sendo o inteiro 2 ¢ 103+ 3 ¢ 102+ 7.

Observa»c~ao 4.1 Se n = ak¢ bk+ ak¡1¢ bk¡1+ ¢ ¢ ¢ + a2¢ b2+ a1¢ b + a0 =Pkn=0anbn,

tal como no enunciado do teorema 4.1, este somat¶orio ¶e a sua expans~ao na base b, enquanto que a nota»c~ao simb¶olica (a_ka_k¡1: : : a₂a₁a₀)_b ¶e a sua representa»c~ao na base b. No entanto, os termos expans~ao e representa»c~ao, neste contexto, podem ser usados como sin^onimos.

Note que a demonstra»c~ao do teorema 4.1 fornece um m¶etodo para encontrar a represen-ta»c~ao na baseb de um inteiro qualquer n. N¶os simplesmente aplicamos o algoritmo da divis~ao sucessivamente sempre com o mesmo divisor b, come»cando com o dividendo n, tomando sempre, como novo dividendo, o ¶ultimo quociente obtido, e parando quando o quociente se anular. A leitura dos restos, do ¶ultimo para o primeiro, fornece os d¶³gitos da representa»c~ao procurada.

Exemplo 4.1 Para encontrar a representa»c~ao na base 2 do inteiro 2006 basta fazer

sucessivas divis~oes euclidianas por 2, tal como abaixo:

2006 2 0 1003 1003 2 1 501 501 2 1 250 250 2 0 125 125 2 1 62 62 2 0 31 31 2 1 15 15 2 1 7 7 2 1 3 3 2 1 1 1 2 1 0

Das divis~oes acima, temos: 2006 = 2 ¢ 1003 + 0 1003 = 2 ¢ 501 + 1 501 = 2 ¢ 250 + 1 250 = 2 ¢ 125 + 0 125 = 2 ¢ 62 + 1 62 = 2 ¢ 31 + 0 31 = 2 ¢ 15 + 1 15 = 2 ¢ 7 + 1 7 = 2 ¢ 3 + 1 3 = 2 ¢ 1 + 1 1 = 2 ¢ 0 + 1

Para obter a representa»c~ao de 2006₁₀na base2, anotamos ordenadamente os restos das divis~oes euclidianas efetuadas, iniciando no ¶ultimo e terminando no primeiro, isto ¶e,

(2006)10 = (11111010110)2

Internamente, computadores representam n¶umeros em circuitos el¶etricos usando uma s¶erie de chaves que possuem dois estados: \ligada" (passando corrente el¶etrica) e \desligada" (n~ao passando corrente el¶etrica). Chaves ligadas representam o d¶³gito bin¶ario 1 e chaves desligadas representam o d¶³gito bin¶ario 0. J¶a em seus dispositivos visuais, os computadores representam n¶umeros usando a base hexadecimal, atrav¶es dos d¶³gitos hexadecimais0, 1, 2, 3, 4, 5 ,6 ,7, 8, 9, A, B, C, D, E e F . As letras A, B, C, D, E e F representam os d¶³gitos correspondentes a 10 ,11, 12, 13, 14 e 15 no sistema decimal.

Por exemplo, para converter(B013CE)₁₆ para a base decimal escrevemos (B013CE)16= B ¢ 165 + 0 ¢ 164+ 1 ¢ 163+ 3 ¢ 162+ C ¢ 16 + E

= 11 ¢ 165_{+ 0 ¢ 16}4_{+ 1 ¢ 16}3_{+ 3 ¢ 16}2_{+ 12 ¢ 16 + 14}

= (11539406)10

A convers~ao hexadecimal-bin¶ario ¶e feita atrav¶es da convers~ao dos d¶³gitos hexade-cimais em blocos de 4 d¶³gitos bin¶arios, conforme mostra a tabela 4.1.

Exemplo 4.2 Para converter (B6AF )16 em bin¶ario basta colocar, em seqÄu^encia, os

respectivos blocos de d¶³gitos bin¶arios de cada um dos d¶³gitos hexadecimais 2, F , B e 3. Assim (46AF )16 = (0100_|{z} B 0110 |{z} 6 1010 |{z} A 1111 |{z} F )2 = (0100011010101111)2 = (100011010101111)2

Tabela 4.1. Convers~ao de d¶³gitos hexadecimais para o sistema bin¶ario.

d¶³gito d¶³gitos hexadecimal bin¶arios

0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 A 1010 B 1011 C 1100 D 1101 E 1110 F 1111

N~ao justi¯caremos este procedimento no seu caso geral. Mostraremos por¶em, passo a passo, a convers~ao de (46AF )₁₆ para a forma (0100011010101111)₂.

(46AF )16= 4 ¢ 163+ 6 ¢ 162+ A ¢ 16 + F = (0100)2¢ 163+ (0110)2¢ 162+ (1010)2¢ 16 + (1111)2 = (0100)2¢ 212+ (0110)2¢ 28+ (1010)2¢ 24+ (1111)2 = (0100)2¢ (1 0000 0000 0000)2+ (0110)2¢ (1 0000 0000)2+ (1010)2¢ (1 0000)2+ (1111)2 = (0100 0000 0000 0000)2+ (0110 0000 0000)2+ (1010 0000)2+ (1111)2 = (0100 0110 1010 1111)2= (100011010101111)2

Exemplo 4.3 Para converter (10110011111000)2 em hexadecimal basta converter, da

direita para a esquerda, os blocos de digitos bin¶arios em hexadecimal. Assim (10110011111000)2 = (0010 1100 1111 1000)2 = (2CF 8)16

Esquema an¶alogo ao da convers~ao bin¶ario-hexadecimal tamb¶em se aplica quando uma das bases ¶e uma pot^encia da outra.

4.1

Exerc¶³cios

1. Seja n um inteiro positivo, e seja n = (a_sa_s¡1: : : a₁a₀)₁₀ sua representa»c~ao deci-mal posicional, isto ¶e,

n = as10s+ as¡110s¡1+ ¢ ¢ ¢ + a110 + a0

sendo a_s; a_s¡1; : : : ; a₀ \algarismos" tomados no conjuntof0; 1; : : : ; 8; 9g. Demonstre os seguintes resultados:

(a) n ¶e divis¶³vel por 2 se e somente se a₀, o d¶³gito das unidades, ¶e par.

(b) n ¶e divis¶³vel por 3 se e somente se a soma dos d¶³gitos de n, a_s+ a_s¡1+ ¢ ¢ ¢ + a1+ a0 ¶e divis¶³vel por 3.

Sugest~ao. Repare primeiramente que10¡1 = 9, 102¡1 = 99, 103¡1 = 999, etc. Escreva

n = as10s+ as¡110s¡1+ ¢ ¢ ¢ + a110 + a0

= as(10s¡ 1) + as+ as¡1(10s¡1¡ 1) + as¡1+ ¢ ¢ ¢ + a1(10 ¡ 1) + a1+ a0

= 9m + (as+ as¡1+ ¢ ¢ ¢ + a1 + a0)

(c) n ¶e divis¶³vel por 5 se e somente se a₀, o d¶³gito das unidades, ¶e 0 ou 5. (d) n ¶e divis¶³vel por 9 se e somente se a soma dos d¶³gitos de n, a_s+ a_s¡1+ ¢ ¢ ¢ +

a1+ a0, ¶e divis¶³vel por 9. Sugest~ao. A mesma sugest~ao dada para o item b.

(e) n ¶e divis¶³vel por 11 se e somente se a soma alternada de seus d¶³gitos, a₀¡ a1+ a2¡ ¢ ¢ ¢ + (¡1)sas, ¶e divis¶³vel por 11.

Sugest~ao. Mostre primeiramente que, se m ¶e par ent~ao 10m ¡ 1 ¶e multiplo de 11, e se m ¶e ¶³mpar 10m+ 1 ¶e m¶ultiplo de 11.

2. Determinar todos os inteiros positivos, m¶ultiplos de 5 que, escritos em base 10, s~ao de 3 algarismos cuja soma ¶e 19. Resposta. 595, 685, 775, 865, e 955.

3. Demonstre que o quadrado de um inteiro positivo ¶e da forma 4k ou 4k + 1, sendo k inteiro. Usando este fato, demonstre que nenhum inteiro da seqÄu^encia 11; 111; 1111; 11111; : : : ¶e um quadrado perfeito.

4. Determine um inteiro de quatro algarismos, que somado µa soma de seus algarismos resulta 2603. Resposta. 2584.

5. Demonstre que o quadrado de um inteiro ¶e da forma 5k ou 5k § 1. Com quais algarismos pode terminar um quadrado perfeito?

6. (a) Converta1995 da nota»c~ao decimal µa nota»c~ao em base 7. Resposta. 5550₇. (b) Converta 6104₇ µa nota»c~ao decimal. Resposta. 2111.

(d) Converta 566657₈ µa nota»c~ao decimal. Resposta. 191919.

(e) Converta 10101010₂ e 11111111₂ µa nota»c~ao decimal. Resposta. 170 e 255, respectivamente.

(f) Converta1500 e 819 ao sistema bin¶ario.

Resposta. 10111011100₂ e1100110011₂, respectivamente.

(g) Converta1011011011110111₂ e1100010111100111₂ao sistema hexadecimal (base 16). Resposta. B6F 7₁₆ eC5E7₁₆, respectivamente.

(h) Converta 5BABA₁₆, 45F E₁₆ e9A0B₁₆ ao sistema bin¶ario. Resposta. 1011011101010111010₂, 100010111111110₂, e 10011010000010112, respectivamente.

7. Imagine que voc^e viajou para um planeta, onde os habitantes usam o sistema de numera»c~ao posicional de base 5. Construa tabuadas nesse sistema, para a adi»c~ao e para a multiplica»c~ao.

Realize as seguintes contas, sem converter os n¶umeros para o sistema decimal, como se voc^e estivesse que explic¶a-las a seus alunos nesse planeta.

(a) 1234321₅+ 2030104₅. Resposta. 3314430₅. (b) 4434201₅¡ 434421₅. Resposta. 344230₅.

(c) 1234₅¢ 3002₅. Resposta. 4320023₅.

(d) 14321₅¥ 334₅ (divis~ao euclidiana). Resposta. quociente22₅ e resto 313₅. 8. Nos itens abaixo, imite o procedimento usado no exerc¶³cio anterior, isto ¶e, fa»ca os c¶alculos aritm¶eticos imitando os algoritmos que voc^e aprendeu na escola b¶asica, da aritm¶etica do sistema decimal. Realize as opera»c~oes sem converter os n¶umeros dados para o sistema decimal.

(a) Calcule, dando solu»c~oes no sistema em que os inteiros est~ao representados: i. 101011011₂ + 1100101011₂. Resposta. 10010000110₂. ii. 10101010111101₂ + 11101101011011₂. Resposta. 110011000011000₂. iii. 1111001011₂ ¡ 100101111₂ Resposta. 1010011100₂. iv. 1101101100₂ ¡ 101110101₂ v. 10111₂¢ 11001₂. Resposta. 1000111111₂. vi. 110111₂¢ 1011011₂. Resposta. 1001110001101₂. (b) Encontre o quociente e o resto

i. quando 110010111₂ ¶e dividido por1101₂. Resposta.q = 11111₂, r = 100₂.

ii. quando 110100111₂ ¶e dividido por11101₂. Resposta.q = 1110, r = 10001.

(c) Calcule

ii. F ADA₁₆¡ CAF E₁₆. Resposta. 2F DC₁₆. iii. CACA₁₆¢ B0A₁₆. Resposta. 8BE99E4₁₆.

Sugest~ao. Fa»ca primeiramente uma tabuada de todas as multiplica»c~oes b¶asicas envolvidas: C £ B = 84, A £ B = 6E, etc.

9. (a) Demonstre que todo inteiro ¶e de uma das formas: 3k ou 3k ¡ 1 ou 3k + 1, com k inteiro.

(b) Demonstre ent~ao que cada inteiro positivon pode ser representado na forma tern¶aria balanceada, ou seja, pode ser representado na forma

n = an¢ 3n+ an¡1¢ 3n¡1+ ¢ ¢ ¢ + a1¢ 3 + a0

com a_i = 0 ou §1, para cada ¶³ndice i.

(c) Um farmac^eutico tem apenas pesos de 1g, 3g, 9g, 27g, 81g, e uma balan»ca de dois pratos (os pesos podem ser colocados em ambos os pratos). Mostre que ele pode pesar qualquer objeto com at¶e 121g.

10. Mostre que qualquer peso n~ao excedendo2k¡ 1 gramas pode ser medido usando pesos de 1, 2, 22, : : : , 2k¡1 gramas, em uma balan»ca de dois pratos, os pesos sendo colocados num ¶unico prato da balan»ca.

11. Decifre a seguinte brincadeira de adivinha»c~ao.

O m¶agico (adivinho) pede a uma pessoa que pense em um n¶umero de 10 a 100. O m¶agico executa ent~ao os seguintes passos:

1. Pergunta µa pessoa se o n¶umero pensado ¶e par ou ¶³mpar. Ouvida a resposta, se for par, pede µa pessoa que divida o n¶umero por 2. Se for ¶³mpar, pede µa pessoa que subtraia 1 e que ent~ao divida o resultado por 2.

2. Pergunta ent~ao se o novo resultado, assim obtido, ¶e par ou ¶³mpar.

3. O procedimento continua com cada novo resultado. Isto ¶e, o m¶agico pergunta se o n¶umero resultante ¶e par ou ¶³mpar e, ouvida a resposta, pede µa pessoa para repetir o procedimento descrito no item 1. O m¶agico pede µa pessoa para avis¶ a-lo quando o resultado tornar-se igual a 1, quando ent~ao os c¶alculos da pessoa terminam.

O m¶agico vai fazendo anota»c~oes enquanto a pessoa lhe passa as informa»c~oes solicitadas e, quando ¶e informado de que o resultado ¶e igual a 1, ele revela imedi-atamente µa pessoa o n¶umero pensado por ela.

Qual ¶e o procedimento adotado pelo m¶agico em suas anota»c~oes ?

12. Explique como converter representa»c~oes de inteiros na base 3 para a base 9 e vice-versa.

13. Mostre que se n = (a_ka_k¡1: : : a₁a₀)_b ent~ao o quociente e o resto, da divis~ao de n por bj _{s~ao, respectivamente, q = (a}

14. Se n = (a_ka_k¡1: : : a₁a₀)_b ent~ao qual ¶e a representa»c~ao de bmn na base b ? 15. Uma expans~ao de Cantor para um inteiro positivo n ¶e uma soma da forma

n = amm! + am¡1(m ¡ 1)! + ¢ ¢ ¢ + a2¢ 2! + a1¢ 1!

sendo cada a_j um inteiro, com0 · a_j · j.

(a) Encontre a expans~ao de Cantor para 14, 56 e 384. Sugest~ao. Se encontrar di¯culdade, veja o algoritmo apresentado no item abaixo.

(b) Mostre que qualquer inteiro positivo tem uma expans~ao de Cantor.

Sugest~ao. Seja n um inteiro positivo. Inicialmente, divida n por 2, obtendo quociente q₁ e resto r₁. Divida ent~ao q₁ por 3, obtendo quociente q₂ e resto r₂. Divida ent~ao q₂ por 4, obtendo quociente q₃ e resto r₃. Prossiga iterativamente. Para cadaj, j ¸ 2, ao dividir q_j¡2 porj, obtemos quociente qj¡1 e resto rj¡1. Como q1 > q2 > q3 > ¢ ¢ ¢ ¶e uma seqÄu^encia decrescente

de inteiros n~ao negativos, se n ¸ 3, existir¶a um inteiro m tal que q_m 6= 0 e qm+1 = 0 (se n · 2, teremos simplesmente n = 1! ou n = 2!). Coletando

as divis~oes euclidianas realizadas, mostre ent~ao que n = r1+ r2¢ 2! + r3¢ 3! + ¢ ¢ ¢ + rm¢ m!

(c) Mostre que a escolha dos coe¯cientesa₀; : : : ; a_m, na expans~ao de Cantor de um inteiro positivo, ¶e ¶unica.

Sugest~ao. Suponha que um inteiro positivoa tenha duas expans~oes de Cantor distintas, digamos a = n X k=1 ak ¢ k! = m X k=1 bk ¢ k!. Podemos escrever a = s X k=1 ak¢ k! = s X k=1

bk¢ k!, completando com coe¯cientes nulos o somat¶orio que

tiver menos termos.

Sendo diferentes as duas expans~oes, existir¶a um ¶³ndice `, o maior poss¶³vel, tal que a<sub>`</sub> 6= b_`. Teremos ent~ao

s X k=1 ak¢ k! ¡ s X k=1 bk¢ k! = ` X k=1 ak¢ k! ¡ ` X k=1 bk¢ k! = 0. Da¶³, (a_{`</sub>¡ b<sub>`})`! = (b<sub>`¡1</sub>¡ a<sub>`¡1</sub>)(` ¡ 1)! + ¢ ¢ ¢ + (b₂¡ a₂)2! + (b₁¡ a₁). Explique ent~ao porqu^e

ja` ¡ b`j`! · (` ¡ 1)(` ¡ 1)! + ¢ ¢ ¢ + 2 ¢ 2! + 1! e, fazendo uso da f¶ormula

apresentada no exerc¶³cio 2f, p¶agina 16, cap¶³tulo 1, mostre quea_{`</sub> = b<sub>`}. 16. O Jogo chin^es NIM ¶e jogado em duplas como segue. Inicialmente v¶arios palitos

est~ao dispostos em v¶arias ¯leiras. Cada movimento consiste em retirar um ou mais palitos de apenas uma das ¯leiras. Vence o jogo aquele que retirar o ¶ultimo palito em sua jogada. Uma posi»c~ao ganhadora ¶e uma con¯gura»c~ao de palitos tal que, se voc^e deix¶a-la para seu oponente, voc^e poder¶a continuar jogando de

modo a ganhar, n~ao importa quais sejam as futuras jogadas de seu oponente. Por exemplo, se voc^e deixar somente dois palitos, cada um em uma ¯leira, voc^e est¶a em uma posi»c~ao ganhadora, pois seu oponente ir¶a tirar um dos palitos e voc^e ir¶a tirar o ¶ultimo palito.

(a) Mostre que a con¯gura»c~ao de duas ¯leiras, com dois palitos cada, ¶e uma posi»c~ao ganhadora.

(b) Para cada arranjo de palitos em ¯leiras, podemos escrever o n¶umero de palitos em cada ¯leira no sistema bin¶ario, e dispor esses n¶umeros em uma coluna, alinhando seus d¶³gitos em colunas, acrescentando zeros quando necess¶ario. Por exemplo, se a con¯gura»c~ao de palitos ¶e de tr^es ¯leiras, sendo elas de 10, 8 e 3 palitos, escrevemos

10 = 1 0 1 0 8 = 1 0 0 0 7 = 0 1 1 1

Mostre que uma posi»c~ao ¶e ganhadora se o n¶umero de 1's em cada coluna ¶e par, e ¶e perdedora se o n¶umero de 1's em alguma das colunas ¶e impar. Por exemplo, se tivermos tr^es ¯leiras com 10, 8 e 7 palitos, como acima, temos uma posi»c~ao perdedora.

Sugest~ao. Mostre que

(a) a retirada de palitos, de qualquer ¯leira, a partir de uma posi»c~ao ganha-dora, produz uma posi»c~ao perdedora;

(b) a partir de uma posi»c~ao perdedora, existe uma retirada de palitos, de uma das ¯leiras, que produz uma posi»cao ganhadora. Considere a ¯leira com maior n¶umero de palitos. Mostre que ¶e poss¶³vel subtrair um n¶umero de palitos dessa ¯leira de modo a alterar d¶³gitos previamente escolhidos (transformando os 0's escolhidos em 1's e vice-versa).