Números, O levantar do véu

(1)

Números,

O levantar do

véu

Trabalho realizado no âmbito da disciplina Actividades Matemáticas do 1º Ano do Mestrado em Ensino da Matemática no 3º Ciclo do ensino Básico e no ensino Secundário

(2)

Actividades Matemáticas

Conteúdo

Conteúdo ... 2

Introdução ... 3

História dos Números ... 4

Milhares, Biliões e outros Ziliões ... 4

Como se escrevem os números ... 6

O sistema na Babilónia ... 6

O sistema Grego ... 6

O sistema Romano ... 7

O sistema Egípcio ... 7

Números hindu-árabes ... 8

Números noutras bases ... 8

Espécies de números ... 9

Alguns números “especiais” ... 9

FORMAS DE NÚMEROS: ARITMÉTICA E ÁLGEBRA FEITAS COM GEOMETRIA ... 10

Os padrões geométricos proporcionam bonitas demonstrações ... 10

Noves fora nada ... 10

As cores revelam padrões ... 11

Números quadrados ... 12

Números triangulares... 14

Números poligonais ... 18

Conclusão ... 21

(3)

Introdução

Este trabalho foi realizado no âmbito da disciplina de Actividades Matemáticas com o objectivo de promover conteúdos programáticos relacionados com a história do número, desde o aparecimento da palavra “número” até ao relacionar de outras palavras com números e quantidades, de padrões criados por determinados números e por vezes dos padrões associados aos números quando estes são coloridos. Para além de promover estes conteúdos matemáticos expositivamente também criamos actividades lúdicas para que a recepção desses conteúdos matemáticos por parte dos alunos seja facilitada e realizada da forma mais atractiva possível por todos da forma mais diversa possível.

(4)

História dos Números

Ao longo da história, número e números têm tido uma grande influência na nossa cultura e na nossa linguagem. Há muitas palavras associadas aos números, por exemplo, bicicleta tem duas roas, um tripé tem três pés, um octogenário já viveu 8 décadas, etc.

A história dos números começa antes da nossa própria história. Certas aves são capazes de se aperceber se foi retirado algum ovo do seu ninho. Provavelmente terão uma ideia primária sobre o número de ovos que lá deveria estar. Dantzig descreve uma experiência em que os corvos reconhecem até quatro homens

A palavra “número” é de origem indo-europeia e significa “porção” ou “parte” e parece estar originalmente ligada à divisão da terra.

Actualmente utilizamos o sistema decimal mas há sinais da utilização de base 20 e 60 e existem também muitas palavras associadas a números em diversas línguas como são exemplos “unifica” para 1, “Twilight” para 2, “Trivium” as 3 artes liberais: Gramática, Retórica e Lógica, “Quadrivium” para a Aritmética, a Música, a Geometria e a Astronomia, etc. Destacamos também mais alguns exemplos que nos cativaram tais como os números de 7 a 10, Setembro, Outubro, Novembro e Dezembro que devem os seus nomes ao facto de corresponderem ao sétimo, oitava, nono e décimo mês do antigo calendário romano. Também se sabe que em alguns hotéis não existe o quarto com o número 13 por causa da triscaidecafobia1. Todos nos lembrados do “Centurião” das histórias do Asterix que era composto por cem soldados romanos.

Milhares, Biliões e outros Ziliões

Cerca de 1484 N. Chuquet inventou as palavras bilião, trilião, …, nonilião para denotar a 2ª, 3ª, …, 9ª potência do milhão. Em meados do século XVII outros aritméticos usaram os mesmos nomes mas de forma distinta, para a 3ª, 4ª, … 10ª potência de um milhar. Actualmente os europeus utilizam o sistema de Chuquet o os americanos a outra forma.

Em 1991 a Conferência Geral de Pesos e Medidas recomendou o uso de prefixos numéricos indicados a seguir (onde os nomes dos números estão no sistema americano):

(5)

Designar-se-á por Zilião qualquer uma das palavras terminadas em ilião com o é ilião a valer 10_{no sistema europeu e}₁₀ _{no sistema americano. Os nomes} dos primeiros 9 Ziliões são: Milhão; Bilião; Trilião; Quadrilião; Quintilião; Sextilião; Septilião; Octilião; Nonilião; Centilião (para o 100º Zilião).

Podemos obter os nomes para todos os Ziliões desde o 10º até ao 999º combinando partes das colunas apropriadas da seguinte tabela e substituindo a vogar terminal por ilião.

Regra do “XiliYiliZilião”: designa o (1000000X+1000Y+Z)º usando o é

Zilião quando necessário para marcar posição. Por exemplo, o Zilião de ordem um Milhão e três designa-se por “milinilitrilião”.

(6)

Como se escrevem os números

O sistema na Babilónia

Muitos dos conhecimentos sobre a Mesopotâmia chegaram até nós em placas de barro. Supõe-se que por volta de 2500 a.C. existiam já escolas de escribas, que preparavam os jovens para as diferentes tarefas exigidas por uma burocracia complexa. A matemática da Mesopotâmia tinha fundamentalmente um conteúdo e uma conceptualização que podemos chamar aritmético-algébrica, em termos actuais. Foi evidenciado que as operações envolvidas não podiam ser operações com números, mas operações concretas sobre figuras geométricas, ainda que de carácter intuitivo.

No séc. XXI a.C. começa a ser utilizado nos textos matemáticos o sistema de numeração posicional sexagésimal com os números escritos da direita para a esquerda. Foi por intermédio da placa de Larsa que se pôde concluir que os babilónios usavam um sistema de numeração posicional de base 60. Os babilónios utilizavam a escrita cuneiforme constituída por apenas dois símbolos: (=1) e (=10). Não tinham um símbolo para o zero, deixavam algumas vezes espaços em branco, mas nunca esse espaço em branco aparecia no fim; no período selêucida, em vez de espaços em branco, aparece o símbolo “dois triângulos sobrepostos” mas que também nunca é utilizado no fim da representação do número. Também não tinha vírgula sexagésimal.

O sistema Grego

Os gregos utilizavam as próprias letras do alfabeto para representar os números, o problema inicial é que tinham apenas 24 letras e precisavam de 27 o que levou ao

reaparecimento de três novas letras (para representar o 6, o 90 e o 900). Eles utilizavam o seguinte sistema:

(7)

O sistema Romano

O sistema de numeração romana era baseada num outro sistema semelhante utilizado pelos Etruscos donde provinham originalmente as letras I, V, X, L, C, D e M.

Exemplo:

O sistema Egípcio

Os documentos originais de conteúdo matemático egípcio não são muitos, destacando-se os seguintes: papiro de Rhind, o papiro de Moscovo, papiro de Kahum, papiro de Berlim e o Rolo das Matemáticas Egípcias. O papiro de Rhind, era escrito da direita para a esquerda e na parte interior do rolo. Contém cálculos com números inteiros e fracções unitárias, e problemas (87 problemas). O papiro de Moscovo é anterior ao papiro de Rhind, cerca de 2 séculos antes e contém 25 problemas, quase todos semelhantes com os do papiro de Rhind. O conteúdo do papiro inclui cálculos com números inteiros e fracções unitárias. Dizem respeito à distribuição de broas de pão ou canecas de cerveja. Provavelmente o papiro destinava-se à iniciação dos escribas na arte do cálculo, teria uma função análoga à de um manual escola.

(8)

Os egípcios utilizavam um sistema de numeração de base 10, do tipo repetitivo. Para os números de 1 a 9 repetiam um pequeno traço vertical e depois tinham símbolos para as diferentes potências de 10, desde 10 até

escrevia-se da direita para a esquerda. Observemos a tabela dos hieróglifos.

Exemplo:

Números hindu-árabes

É o sistema de numeração utilizado actualmente. Forma

dígitos, o 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 e é vulgarmente conhecido como sistema de notação árabe. No entanto a sua origem é hindu tendo sido transmitida à Europa por intermédio de académicos árabes.

Números noutras bases

Pode-se definir um sistema de numeração semelhante ao hi

base um outro qualquer número natural N. No sistema de base N, a representação zxyw significa:

Papiro de Rhind

Os egípcios utilizavam um sistema de numeração de base 10, do tipo repetitivo. Para os números de 1 a 9 repetiam um pequeno traço vertical e depois tinham símbolos para as diferentes potências de 10, desde 10 até 10. Estes símbolos eram os hieróglifos e o número

se da direita para a esquerda. Observemos a tabela dos hieróglifos.

É o sistema de numeração utilizado actualmente. Forma-se por justaposição de dez 4, 5, 6, 7, 8 e 9 e é vulgarmente conhecido como sistema de notação árabe. No entanto a sua origem é hindu tendo sido transmitida à Europa por intermédio de

se definir um sistema de numeração semelhante ao hindu-árabe usando para tro qualquer número natural N. No sistema de base N, a representação zxyw

_,

Os egípcios utilizavam um sistema de numeração de base 10, do tipo repetitivo. Para os números de 1 a 9 repetiam um pequeno traço vertical e depois tinham símbolos para as s símbolos eram os hieróglifos e o número

se por justaposição de dez 4, 5, 6, 7, 8 e 9 e é vulgarmente conhecido como sistema de notação árabe. No entanto a sua origem é hindu tendo sido transmitida à Europa por intermédio de

árabe usando para tro qualquer número natural N. No sistema de base N, a representação zxyw

(9)

onde os dígitos z, x, y e w variam entre 0 e N-1. Hoje em dia, os computadores utilizam o sistema binário mas o sistema octal (de base 8) e o sistema hexadecimal (de base 16) podem ser facilmente convertidos para o sistema binário.

Exemplos de números binários:

Espécies de números

Existem os números naturais 1, 2, 3, …, as fracções ou números racionais, os números irracionais e alguns dos quais não se podem escrevem como fracções, os números algébricos, os números negativos, os números complexos e os números transcendentes.

(10)

FORMAS DE NÚMEROS: ARITMÉTICA E ÁLGEBRA FEITAS COM

GEOMETRIA

Os padrões geométricos proporcionam bonitas demonstrações

Podemos aprender aritmética escrevendo apenas linhas de números. Observemos a figura abaixo.

Fig. 1 - Números e Cores (que revela as classes residuais em colunas)

Se se escreverem linhas apenas com dois números, a coluna à esquerda contém os números pares, enquanto que a coluna à direita contém os números ímpares.

As colunas de números formam conjuntos dos números que deixam o mesmo resto quando divididos pelo número de números de cada linha. A estes conjuntos chamamos de classes residuais.

Na figura apresentada distingue-se as classes residuais pela cor. Por exemplo, a sexta coluna (roxa) na sexta secção, contém os números iguais a um múltiplo de 6 mais 5, isto é, os números que são congruentes com 5 módulo 6.

Uma das muitas contribuições de Carl Friedrich Gauss (1777-1855) para a teoria dos números foi a aritmética das classes residuais. Dois números dizem-se congruentes módulo quando a sua diferença for divisível por .

Noves fora nada

Para fazer a prova dos nove, é preciso somar todos os seus dígitos subtraindo 9 sempre que possível. Para verificar adições, subtracções e multiplicações deitam-se os noves fora, repetidamente e as operações que se pretende verificar devem permanecer válidas.

Por exemplo, deitando noves fora em 239 e 4649, obtém-se 5 em cada caso; então no produto destes dois números dever-se-á obter 5 5 25 2 5 7, o que está de acordo com o resultado 239 4649 1111111 7. De modo semelhante se pode testar a conta 127 9721 1234567, que ficará para exercício.

Suponha-se agora que se pretende verificar que:

(11)

As somas dos dígitos dos dois factores são 11 e 25 e as somas dos dígitos destes são 2 e 7, respectivamente; o produto de 2 por 7 dá o número 14, cujos dígitos somam 5. A soma dos dígitos do número maior é 59, o qual tem dígitos que somam 14, e então, noves fora, 5.

Contudo, esta concordância não garante que o número maior seja realmente igual ao produto dos outros dois. O teste não detecta os erros cometidos, por exemplo, na ordenação dos dígitos. No entanto, fica assegurado que exceptuando uma eventual troca de 0 por 9, e vice-versa, nenhum outro erro de escrita num só dígito pode ter sido cometido.

As cores revelam padrões

Construindo uma das secções da Fig.1 com as peças coloridas de outra secção, obtém-se padrões regulares deobtém-senhados pelas clasobtém-ses residuais. Se o comprimento de uma linha for ímpar, então os números ímpares e os pares formam um padrão axadrezado.

Se o módulo, isto é, o número de colunas, não for um múltiplo de 3, as classes residuais módulo 3 aparecem em tiras diagonais.

As classes residuais módulo 4 formam colunas ou diagonais, ou (quando o comprimento da linha for um número par isolado, da forma 4 2, divisível por 2, mas não por 2, por ex. 6 ou 10) um desenho que faz lembrar o movimento dos cavalos num jogo de xadrez.

O movimento dos cavalos é visível com a classe residual módulo5 quando o comprimento da linha é congruente com &2 módulo5, como se observa na imagem abaixo.

(12)

Números quadrados

Se juntarmos todas as primeiras colunas das secções da Fig.1, obtém-se a tabela de multiplicação cuja diagonal principal é constituída pelos números quadrados, como se pode observar na figura seguinte:

1111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4444 6 8 10 12 14 16 18 20 3 6 9999 12 15 18 21 24 27 30 4 8 12 16161616 20 24 28 32 36 40 5 10 15 20 2525 2525 30 35 40 45 50 6 12 18 24 30 36363636 42 48 54 60 7 14 21 28 35 42 4949 4949 56 63 70 8 16 24 32 40 48 56 64646464 72 80 9 18 27 36 45 54 63 72 8181 8181 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100100100100

Pode notar-se na figura seguinte que os números quadrados se localizam em

parábolas.

Para os antigos Gregos, gnómon (conhecedor) era uma peça que podia juntar-se a uma figura para produzir uma figura da mesma forma, mas de tamanho maior, o que teve a sua origem na forma do gnómon de de um relógio de sol (conhecedor do tempo).

(13)

Os gnómons da figura abaixo ajustam-se uns aos outros, mostrando que a soma dos primeiros números ímpares é igual ao é número quadrados, . A adição de mais um gnómon ilustra a identidade.

(14)

Números triangulares

Os números triangulares constroem-se com a junção de um gnómon em forma de linha.

Denota-se por Δ_* o n-ésimo número triangular.

Se pusermos dois números triangulares de lado justapostos obtemos um rectângulo de lado e 1.

O Δ_* tem tamanho ' 1(. Vejamos a justificação na seguinte demonstração algébrica, por indução:

Para 1 vem . 1'1 1( . 2 1 e que é verdadeiro. Vamos agora supor que é verdadeiro para 1, ,ã: 1 2 / ' 1( 1_{2 ' 1(}1_{2 .}1

2 Adicionando aos membros obtemos:

01₂1

2 1 12 . 12 12 ' 1(

Como determinar a soma de qualquer progressão aritmética, ou sequência de números equiespaçados 2, 3, 4, … , , , ?

Podemos utilizar o “método de tubo de órgão” onde a soma de números equiespaçados, cujos primeiro e último termos são 2 e , respectivamente, é igual a vezes a sua média aritmética, ou seja:

(15)

A soma dos primeiros números ímpares é .

Exemplo:

622 , , 5 21 8: 7 5 21_{2 81}

Curiosamente, a soma de números ímpares dá números quadrados ou cúbicos.

Podemos verificar através de uma actividade mas também podemos observar na próxima figura que a soma dos primeiros números ímpares a começar por 1 dá números quadrados. Se em cada linha começarmos pelo número ímpar não utilizado na linha anterior obtemos os números cúbicos.

A justificação para este método reside no facto de 2 3 4 /, onde 2 é o primeiro termo, 3 o segundo termo, …, o penúltimo e por último o .

(16)

Actividades Matemáticas Como podemos observar na próxima figura, a soma de dois números triangulares consecutivos é um número quadrado.

Para melhor observarmos, temos o número em versão triângulo colorido com os dois números triangulares coloridos de modo diferente e a versão em que o triângulo é formado por números ímpares consecutivos.

Simbolicamente podemos representar por:

Δ* Δ* 1 2. . 1 2. . ' 1( 1 3 5. . '2 1( Vejamos também as seguintes relações entre números triangulares:

(17)

Facilmente observamos pela figura abaixo que um número quadrado é congruente com 1 módulo 8.

'2 1(_8Δ

* 1 Δ*: 6Δ* Δ* Exercícios: Criar um quadrado de lado 6.

(18)

Números poligonais

Os números poligonais podem ser de vários tipos e obtêm-se adicionando os primeiros termos de uma progressão aritmética apropriada começada por 1. O número de lados do polígono correspondente a cada tipo de números é igual à diferença comum entre dois termos da respectiva progressão somando-lhe dois. Ou seja,

;<'=>( ?* ?*: 2

Vejamos exemplos para os polígonos conhecidos.

Números de contagem, números triangulares e números quadrados, já foram visitados neste trabalho.

1, 2, 3, 4, 5, …

Exemplo 1: Temos a progressão aritmética ?_*: 1, 1, 1, 1, 1…, tomemos 4, então

;<'=>( ?@ ?@: 2 2. Então o polígono tem 2 lados, como facilmente observamos na

imagem em cima (lado esquerdo e direito) bem como os números de contagem.

1, 3, 6, 10, 15, …

Exemplo 2: Temos a progressão aritmética ?_*: 1, 2, 3, 4, 5 … tomemos 3, então

;<'=>( ? ?: 2 3 Então o polígono tem 3 lados, como facilmente observamos na

imagem em cima (base, lado superior esquerdo e direito) bem como os números triangulares.

1, 4, 9, 16, 25, …

;<'=>( ?A ?A: 2 9 7 2 4 Então o polígono tem 4 lados, como facilmente

observamos na imagem em cima (lado inferior esquerdo e direito bem como lado superior esquerdo e direito) bem como os números quadrados.

Números pentagonais

1, 5, 12, 22, 35, …

;<'=>( ? ?: 2 5 Então o polígono tem 5 lados, como facilmente observamos na

(19)

Números hexagonais

1, 6, 15, 28, 45, …

Exemplo 5: Temos a progressão '?_*( 1, 5, 9, 13, 17, … tomemos 3, então

;<'=>( ? ?: 2 9 5 2 6 Então o polígono tem 6 lados, como facilmente

observamos na imagem em cima onde também estão os números hexagonais.

Os nomes destes números poligonais resultam dos arranjos feitos pelos desenhos e já eram estudados no tempo de Pitágoras (540 a.C.).

Questão: O terceiro elemento à direita de cada sucessão é divisível por três e o quinto

elemento por cinco, será que o sétimo será divisível por sete?

Podemos construir os números poligonais _<'*( juntando a um número de ordem imediatamente anterior, _'<:('*( e o número triangular Δ_*:. Ou seja:

<'*( '<:('*( Δ*:, B C 1, C 1

Outras formas de construção:

Esta forma foi observada por nós e constituída à com base nos triângulos, ou números triangulares:

<'*( 'B 3('*:( '*(, B C 3, C 1

NOTA: Coloca-se B C 3 por uma questão de uniformização dos nomes, isto é, quando B 4, falamos dos números quadrados, B 5, falamos dos números pentagonais, etc.

Outra forma é: • Δ*: Δ* é o  é número triangular; • Δ* Δ*: 2Δ*: é o  é número quadrado; • _Δ *: 3Δ*:'3 1( é o é número pentagonal; • 4Δ*: '2 1( é o é número hexagonal;

E por aí sucessivamente. O número poligonal com p lados e n bolhas em cada lado é igual a:

(20)

Como podemos ver nas figuras acima e, já tínhamos observado anteriormente que o é número hexagonal pode ser escrito como uma combinação de números triangulares. Contudo, apenas os números triangulares com um número ímpar de “bolhas” de cada lado são também hexagonais.

Também podemos verificar que a cada número pentagonal é igual a um terço de um número triangular.

Alguns autores também falam do “números hexagonais” para representar as figuras das imagens abaixo. (mas para distinguir dos anteriores vamos chamava-lhes como chamava Martin Gardner, os Hexanúmeros).

O  é hexanúmero é:

DEFG 1 6Δ*: 1 3 3 Os hexanúmeros são congruentes com 1 módulo 6.

Os números quadrados centrados são sempre congruentes com 1 módulo 4 pois estes podem-se decompor numa soma de dois quadrados consecutivos, dos quais um é par e o outro é ímpar. (podemos observar os números quadrados centrados nas próximas figuras.

(21)

Conclusão

Este relatório que serviu-nos de base para a realização da apresentação do PowerPoint. Também criamos uma ficha de trabalho/ actividades que foi evoluindo à medida que as ideias e a criatividade fluía e se interligava. Houve exercícios que nos estimularam e despertaram uma curiosidade para saber qual o efeito que produzirá sobre os colegas que resolverão essas actividades e que simultaneamente fomos testando afim de aferir a sua eficácia pedagógica. De uma forma geral estamos extremamente satisfeitos com todas as actividades criadas e de alguma forma surpreendidos com alguns dos resultados produzidos fruto, de alguma da nossa criatividade.

(22)

Bibliografia/ Webgrafia:

http://demonstrations.wolfram.com/PolygonalNumbers/ [12-Fev-2011; 12:47]

http://www.esec-povoa-lanhoso.rcts.pt/ESPLv5/projectos/babylonian_numerals%5B1%5D.jpg [13-Fev-2011; 19:52]