Curvatura Escalar, o Operador Linearizado e Aplicações. Ana Lucia Pinheiro Lima

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Curvatura Escalar, o Operador

Linearizado e Aplica¸

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oes

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`

A minha m˜ae L´ucia Maria e ao Prof. Luis Roque

(3)

Agradecimentos

Ao meu querido orientador Prof. Hil´ario Alencar pelo muito que me ensinou e por ser exemplo de profissional a ser seguido, `a Profa_{. Walcy Santos pelas valiosas}

con-tribui¸cões dadas a este trabalho, aos Professores Marco Antônio Fernandes e Enaldo Vergasta pelo incentivo, paciência e apoio, aos meus professores da UNEB, a Vivaldo e Marlene Pinheiro, a George Santos, ao Prof. Benedito Pontes, a Francisco Petrúcio, Aryana Silva e Karoline Cavalcante, e aos colegas de Mestrado, em especial à Juceli Cardoso, Eliana Silva e a Gilmar Veiga.

(4)

´

_Indice

Introdu¸c˜ao 4

1 Preliminares 6

2 L1 - O operador linearizado 13

3 Hipersuperf´ıcie completa, n˜ao-compacta, com curvatura escalar

cons-tante 23

4 Estimativa de altura 27

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Introdu¸

c˜

ao

Nesta disserta¸c˜ao consideraremos M uma hipersuperf´ıcie de dimens˜ao n com cur-vatura escalar constante e imersa isometricamente no espa¸co Euclidiano.

Inicialmente, seja f : Mn _{→ R uma fun¸c˜ao de classe C}2. Assim, definimos o operador linearizado Lr por

Lr(f ) = tr(Tr(Hess(f ))),

onde Tr ´e a transforma¸c˜ao de Newton definida indutivamente por T0 = I,

Tr = SrI − BTr−1, B é a segunda forma fundamental da imersão e Hess é o hessiano

da fun¸c˜ao f .

Vale observar que os operadores Lr apareceram, n˜ao ainda na forma definida

acima, no artigo de K. Voss [V], em 1956.

R. Reilly em 1973, relacionou o operador Lr com a derivada da (r + 1)-´esima

fun¸c˜ao sim´etrica Sr+1 num trabalho sobre problemas variacionais (ver [R1]).

Em 1977, Cheng e Yau [CY1] se restringiram ao caso r = 1 e escreveram o operador L1 como L1(f ) = n X i,j=1 (nHδij − hij)fij,

ou seja, em fun¸c˜ao da curvatura m´edia H = S1

n, dos coeficientes hij da segunda forma

fundamental e dos coeficientes fij da Hessiana de f . Nesse trabalho foram

determina-das importantes propriedades do operador L1 e uma aplica¸c˜ao dessas propriedades.

Rosenberg em [R2], 1993, mostrou que o operador Lr pode ser escrito como

Lr(f ) = div(Tr∇f ).

Com isso, o operador Lr passou a ser visto como uma generaliza¸c˜ao do Laplaciano,

pois para r = 0, L0(f ) = ∆f .

´

E bem conhecido o importante papel do Laplaciano no estudo das variedades m´ınimas (S1

n = H1 = 0), ent˜ao espera-se (e estudos atuais vem confirmando este fato)

que os operadores Lrdesempenhem fun¸c˜ao semelhante no estudo das variedades Hr+1

-est´aveis.

Diante disso, damos aten¸c˜ao especial ao operador L1, pois assim, adquirimos

t´ecnicas para estudarmos as hipersuperf´ıcies com curvatura escalar constante, objeto desse trabalho.

Portanto, o nosso objetivo ´e obter resultados sobre hipersuperf´ıcies com curvatura escalar S2 constante no espa¸co Euclidiano, usando, como principal ferramenta nas

(6)

Mais precisamente, demonstraremos resultados obtidos, em 1977, por Cheng e Yau [CY1] e Rosenberg [R2], em 1993.

Teorema (Cheng-Yau). Seja M uma hipersuperf´ıcie no espa¸co Euclidiano, completa, não-compacta, com curvatura seccional não-negativa. Se a curvatura esca-lar de M é constante, então M é um cilindro generalizado.

Teorema (Rosenberg). Seja M ⊂ Rn+1 _{uma hipersuperf´ıcie mergulhada com}

∂M ⊂ Rn = Rn× 0. Se S2 é constante positiva em M, então a distância máxima de

M ao hiperplano Rn _´_e q2n(n−1) S2 .

A estrutura desta disserta¸cão é a seguinte: no Cap´ıtulo 1, será desenvolvido o conteúdo básico que possibilitará um bom entendimento dos cap´ıtulos posteriores. O operador L1 e suas propriedades são os assuntos tratados no Cap´ıtulo 2 e os

re-sultados deste cap´ıtulo serão fundamentais nas demonstra¸cões dos teoremas acima. No Cap´ıtulo 3, enunciamos e provamos o Teorema de Cheng e Yau e no Cap´ıtulo 4 fazemos a demonstra¸cão, com algumas modifica¸cões da prova original, do Teorema de Rosenberg, uma vez que a nossa escolha da segunda forma fundamental da imersão difere por um sinal da escolha feita por Rosenberg.

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Cap´ıtulo 1

Preliminares

Neste primeiro cap´ıtulo, apresentaremos resultados b´asicos e fundamentais para um melhor entendimento deste trabalho.

Definiremos imers˜ao isom´etrica, segunda forma fundamental, hipersuperf´ıcie con-vexa e curvatura seccional.

Sejam Mn e Mk variedades diferenci´aveis de dimens˜ao n e k = n + m, respecti-vamente. Denotaremos por TpM, p ∈ M , o espa¸co dos vetores tangentes a M em

p.

Uma aplica¸cão diferenciável ϕ : M → M é uma imersão se dϕp : TpM → Tϕ(p)M

´e injetiva para todo p ∈ M . Se M tem uma estrutura Riemanniana, ϕ induz uma estrutura Riemanniana em M por hu, vip = hdϕp(u), dϕp(v)iϕ(p), u, v ∈ TpM . Tal

métrica será denominada métrica induzida por ϕ. Nesta situa¸cão, ϕ passa a ser uma imersão isométrica de M em M .

Consideraremos sempre M uma variedade Riemanniana e usaremos ∇ para deno-tar sua conex˜ao de Levi-Civita.

Se ϕ : M → M é uma imersão, podemos afirmar que, para cada p ∈ M , existe uma vizinhan¸ca U ⊂ M de p, tal que ϕ(U ) ⊂ M é uma subvariedade de M , isto é, temos uma vizinhan¸ca de ϕ(p), U ⊂ M , onde podemos definir um difeomorfismo que leva ϕ(U ) ∩ U em um aberto do subespa¸co Rn _{⊂ R}k_{. Portanto, simplificaremos a}

nota¸c˜ao identificando cada ponto p ∈ M com sua imagem ϕ(p) e cada vetor v ∈ TpM

com o vetor dϕp(v) ∈ Tϕ(p)M .

Atrav´es do produto interno definido em TpM , podemos decompor o espa¸co

tan-gente de M em p como a soma direta

TpM = TpM ⊕ (TpM )⊥,

(8)

Tomando v ∈ TpM , podemos escrevˆe-lo como

v = vT + vN, onde vT _{∈ T}

pM , vN ∈ (TpM )⊥.

Consideremos X, Y campos locais de vetores em M e X, Y as extens˜oes locais em M , respectivamente. Da´ı, temos a seguinte igualdade

∇XY = (∇XY ) T_.

O nosso objetivo é definir a segunda forma fundamental da imersão ϕ : M → M . Para isto, introduziremos a aplica¸cão bilinear simétrica B : χ(U ) × χ(U ) → χ(U )⊥ dada por

B(X, Y ) = ∇_XY − ∇XY.

Aqui χ(U ) (respectivamente, χ(U )⊥) é o espa¸co dos campos de vetores (respecti-vamente, normais) de classe C∞ em M , e U ⊂ M é uma vizinhan¸ca de p tal que ϕ(U ) ⊂ M é uma subvariedade de M .

Sejam p ∈ M e η ∈ (TpM )⊥. A aplica¸c˜ao Hη : TpM × TpM → R dada por

Hη(x, y) = hB(x, y), ηi, x, y ∈ TpM é também uma forma bilinear simétrica.

Assim, podemos definir a forma quadr´atrica IIη em TpM dada por

IIη(x) = Hη(x, x).

IIη ´e chamada a segunda f orma f undamental de f em p segundo o vetor normal η.

`

A aplica¸c˜ao bilinear Hη associa-se uma aplica¸c˜ao linear auto-adjunta

Qη : TpM → TpM definida por

hQη(x), yi = Hη(x, y) = hB(x, y), ηi.

Qη ´e chamado endomorf ismo de W eingarten.

Uma observa¸cão importante é que também podemos designar a aplica¸cão B como a segunda forma fundamental, tomando valores em (TpM )⊥. Faremos uso desta

nota¸c˜ao no decorrer do nosso trabalho.

A proposi¸cão seguinte nos dá uma rela¸cão entre o endomorfismo de Weingarten e a derivada covariante.

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Proposi¸cão 1.1. Sejam ϕ : Mn→ Mn+m uma imersão isométrica, p ∈ M, v ∈ TpM, η ∈ (TpM )⊥ e N uma extensão local de η normal a M . Então,

Qη(v) = −(∇vN )T.

P rova. Sejam v, w ∈ TpM e V, W extens˜oes locais de v, w, respectivamente, e

tangentes a M . Então, hN, W i = 0 e, portanto, hQη(v), wi = hB(V, W )(p), N i = h∇VW − ∇VW, N i(p) = h∇VW, N ip− h∇VW, N ip = h∇VW, N ip = −hW, ∇VN ip = h(−∇VN )T, W ip , para todo w ∈ TpM. Os teoremas principais deste trabalho tratam do caso particular de imersões cuja codimensão é igual a 1, isto é, ϕ : Mn → Mn+1. Neste caso, ϕ(M ) ⊂ M é chamada de hipersuperf´ıcie.

Sejam p ∈ M e η ∈ TpM⊥ tal que | η |= 1. Assim, o fato do endomorfismo de

Weingarten Qη : TpM → TpM ser sim´etrico, garante a existˆencia de uma base

orto-normal de vetores pr´oprios {e1, ..., en} de TpM com valores pr´oprios reais λ1, ..., λn,

ou seja, Qη(ei) = λiei, 1 ≤ i ≤ n.

Para M = Rn+1 temos uma interessante interpreta¸c˜ao geom´etrica para Qη.

Sejam N extens˜ao local de η, unit´aria e normal a M e Sn_{= {x ∈ R}n+1_{; k x k= 1}}

a esfera unit´_{aria de R}n+1_{. Definimos a aplica¸c˜}_{ao normal de Gauss g : M}n _{→ S}n

transladando a origem do campo N , para a origem do Rn+1 e fazendo g(q) = ponto f inal do transladado de N (q).

Como TqM e Tg(q)(Sn) s˜ao paralelos, podemos identific´a-los. Logo, vemos que

dgq : TqM → TqM ´e dada por dgq(v) = d dt(N ◦ c(t))t=0 = ∇vN = (∇vN ) T _{= −Q} η(v) ,

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onde c : (−, ) → M é uma curva com c(0) = q e c0(0) = v. Portanto, −Qη é a derivada da aplica¸cão normal de Gauss.

Quando M e M estão ambas orientadas, o vetor η é univocamente determinado se exigirmos que {e1, ..., en} e {e1, ..., en, η} sejam bases na orienta¸cão de M e M ,

respectivamente. Quando isto ocorre, denominamos os ei dire¸c˜oes principais e os

λi = ki curvaturas principais de ϕ.

Um fato relevante com rela¸cão as curvaturas principais é que suas fun¸cões simétricas são invariantes da imersão.

Definimos a r-´esima curvatura m´edia Hr, r = 0, 1, ...n, de M como sendo

Hr=

1 cr

Sr,

onde cr = n_r e Sr é a r-ésima fun¸cão simétrica das curvaturas principais (ki) da

imers˜ao ϕ, ou seja,

Sr =

X

i1<...<ir

ki1 · ... · kir .

Observe que, S0 = 1 e S1, S2, e Sns˜ao, a menos de fator constante, as curvaturas

m´edia, escalar e Gauss − Kronecker, respectivamente.

Consideremos uma fun¸c˜ao f ∈ C∞(M ) e um campo qualquer X ∈ χ(M ). Defini-mos o gradiente de f como o campo ∇f em M dado por

h∇f, Xi = Xf = df · X, o divergente de X como a fun¸c˜_{ao div : M → R definida por}

divX = tr(Y → ∇YX)

e o Laplaciano de M como o operador ∆ : C∞(M ) → C∞(M ) dado por ∆f = div(∇f ).

Agora, consideremos um referencial geod´esico {e1, ..., en} em um aberto de M e

um campo X escrito neste referencial como X =Pn

i=1aiEi. Ent˜ao, podemos escrever

o gradiente, divergente e o Laplaciano nesse referencial como ∇f = n X i=1 (ei(f ))ei, divX = n X i=1 ei(ai),

(11)

∆f = n X i=1 ei(ei(f )), respectivamente.

Usando as defini¸c˜oes de gradiente, divergente e Laplaciano, obtemos, para toda g ∈ C∞(M ), a equa¸c˜ao

div(gX) = gdivX + h∇g, Xi. (1.1) Consideremos uma variedade compacta M com bordo ∂M e um campo X em M . O Teorema da Divergˆencia (ver [S], p.192) afirma que

Z M divX dM = Z ∂M hX, νidr, (1.2) onde dM e dr são os elementos de volume de M e de ∂M , respectivamente, e ν é o campo de vetor unitário normal exterior ao ∂M , cuja dire¸cão é oposta à do vetor curvatura média. Assim, se tomamos X = f ∇h em (1.1) e usamos (1.2), temos a Fórmula de Green Z M {f ∆h + h∇f, ∇hi}dM = Z ∂M f h∇h, νidr (1.3) para f, h ∈ C∞(M ).

Dizemos que M é uma variedade Riemanniana (geodesicamente) completa se para todo p ∈ M , a aplica¸cão exponencial, expp, está definida para todo v ∈ TpM , isto

é, se as geodésicas γ(t) que partem de p estão definidas para todos os valores do parˆ_{ametro t ∈ R.}

Quando a variedade M ´e fechada e limitada diz-se que M ´e compacta.

Nos resultados deste trabalho encontramos a expressão clássica: “variedades de curvatura constante”. Esta expressão designa as variedades Riemannianas simples-mente conexas, completas, de curvatura seccional constante.

Definamos ent˜ao curvatura seccional. Dados um ponto p ∈ M e um subespa¸co bi-dimensional σ ⊂ TpM , o n´umero real K(x, y) = K(σ) =

hR(x,y)x,yi

|x∧y|2 , onde R representa

o tensor curvatura e {x, y} ´e uma base qualquer de σ, ´e chamado curvatura seccional de σ em p.

Uma interpreta¸cão geométrica da curvatura seccional nos diz que K(p, σ) é a curvatura Gaussiana em p de uma pequena superf´ıcie formada por geodésicas de M que partem de p e são tangentes a σ.

(12)

Para uma hipersuperf´ıcie Mn _{⊂ R}n+1_{, a condi¸c˜}_{ao an´}_{aloga a ter curvatura Gaussiana}

positiva em p é a condi¸cão que toda curvatura seccional em p é positiva; equivalen-temente, toda curvatura principal terá o mesmo sinal, ou ainda, a segunda forma fundamental B é positiva ou negativa definida e isto nos garante o fato, puramente geométrico, que M está situada em um lado do hiperplano tangente de M em p. Dizemos então que o fato de B ser positiva ou negativa definida, implica que M é lo-calmente convexa e argumentos gerais mostram que um conjunto lolo-calmente convexo é, na verdade, convexo.

Dizemos que uma hipersurperf´ıcie mergulhada f : Mn _{→ R}n+1 ´e uma hipersu-perf´ıcie convexa quando ela est´_{a contida no bordo de um corpo convexo C ⊂ R}n+1_.

Por um corpo convexo entendemos um subconjunto C de Rn+1 _{tal que, dados dois}

pontos p, q ∈ C, o segmento que liga p e q est´a contido em C .

Um dos fatos mais importantes para desenvolvimento deste trabalho ´e o operador L1, definido no pr´oximo cap´ıtulo, ser el´ıptico. Antes vamos estabelecer algumas

defini¸c˜oes. Um operador L do tipo Lu = n X i,j=1 aij ∂2_u ∂xi∂xj + n X i=1 bi ∂u ∂xi + cu ,

´e chamado operador diferencial de ordem dois, onde aij, bi, c : U → R, i, j = 1, ...n,

s˜ao fun¸c˜_{oes definidas em aberto U de R}n_.

Quando A(x) = (aij(x)) é simétrica e positiva definida, para todo x ∈ U , isto é, n

X

i,j=1

aij(x)λiλj > 0, ∀x ∈ U e ∀λ = (λ1, ..., λn) ∈ Rn− {0},

a expressão Lu = 0 é chamada equa¸cão el´ıptica de segunda ordem.

O princ´ıpio do módulo máximo para fun¸cões hamônicas foi generalizado por E. Hopf em 1927 para equa¸cões diferenciais parciais el´ıpticas (ver[GT], p. 31).

(13)

Teorema 1.1 (E. Hopf). Seja Lu = n X i,j=1 aij ∂2_u ∂xi∂xj + n X i=1 bi ∂u ∂xi + cu, onde u:U ⊂ Rn_{→ R é uma fun¸cão duas vezes diferenciável e b}

i, c:U → R s˜ao fun¸c˜oes

localmente limitadas com c ≤ 0. Suponhamos que, para todo ponto p ∈ U, existem uma vizinhan¸ca V de p e constantes δ e positivas tais que

δ n X i=1 λ2_i ≤ n X i,j=1 aij(x)λiλj ≤ n X i=1 λ2_i, ∀x ∈ V e todo λ = (λ1, ..., λn) ∈ Rn.

Se Lu ≥0 em U e p é um ponto de máximo local não-negativo, então u é constante em uma vizinhan¸ca de p.

O princ´ıpio da tangência é uma aplica¸cão desse resultado, e pode ser enunciado do seguinte modo:

Sejam Mn

1, M2n hipersuperf´ıcies orientadas em Mn+1, p ∈ M1n ∩ M2n um ponto

de tangˆencia e u1, u2 : U ⊂ TpM1 → R fun¸c˜oes definidas em uma vizinhan¸ca U da

origem do plano tangente TpM1, cujos gr´aficos s˜ao vizinhan¸cas V1 ⊂ M1 e V2 ⊂ M2

de p, respectivamente. Se u1 e u2 satisfazem uma mesma equa¸c˜ao diferencial parcial

el´ıptica e u1 ≤ u2 em U, ent˜ao M1 e M2 coincidem em U .

Para finalizar este cap´ıtulo, enunciaremos um resultado obtido por Hartman e Nirenberg [HN] que ser´a usado na demonstra¸c˜ao do Teorema de Cheng e Yau, no Cap´ıtulo 3.

Teorema 1.2 (Hartman-Nirenberg). Sejam Mn uma variedade Riemanniana com-pleta flat e f : Mn_{→ R}n+1 _{uma imers˜}_{ao isom´}_{etrica. Ent˜}_{ao, f(M) ´}_{e um cilindro sobre}

(14)

Cap´ıtulo 2

L

₁

- O operador linearizado

Neste cap´ıtulo faremos um estudo sobre o operador L1. Inicialmente, usaremos a

defini¸c˜ao dada por Cheng e Yau [CY1] , veremos que L1´e o caso particular, para r = 1,

do operador Lr definido por Rosenberg [R2] e demonstraremos algumas propriedades

desse operador.

Quando Mn´e uma hipersuperf´ıcie completa com curvatura seccional n˜ao-negativa no espa¸co Euclidiano, podemos escolher o campo de vetores normais N : M → Sn+1

de maneira que a segunda forma fundamental B seja positiva semi-definida.

Seja f : Mn _{→ R uma fun¸c˜ao de classe C}2. Definimos o operador L1 por (ver

[CY1], p. 201) L1(f ) = n X i,j=1 (nHδij− hij)fij , (2.1) onde H = S1

n ´e a curvatura m´edia de M , hij os coeficientes da segunda forma

funda-mental, δij delta de Kronecker e fij os coeficientes da matriz Hessiana de f .

Ao estudo das r-ésimas curvaturas médias está relacionada a Transforma¸cão de Newton Tr = SrI −Sr−1B+...+(−1)rBr, que também pode ser definida indutivamente

por Tr = SrI − BTr−1, T0 = I.

Proposi¸cão 2.1. Seja Tr a Transforma¸cão de Newton. Então, são válidas as

seguin-tes propriedades:

a) Tr(ei) = Sr(Bi)ei;

b) (r + 1)Sr+1 = tr(BTr) (F´ormula de Newton);

(15)

d) tr(TrB2) = S1Sr+1− (r + 2)Sr+2;

e) Tr ´e auto-adjunto.

Prova. Ver Lemma 2.1 [BC], p.279 para as quatro primeiras propriedades. O fato do operador Tr ser auto-adjunto é conseqüência dele ser polinômio em B.

Agora, definida a transforma¸c˜ao Tr, a maneira natural de escrever a defini¸c˜ao dada

por Cheng e Yau para o operador L1 ´e

L1(f ) = tr(T1Hess(f ))

= tr((S1I − B)(Hess(f ))).

Em 1993, Rosenberg (ver [R2], Theorem 4.1, p.225) estabeleceu a seguinte ex-press˜ao para o operador diferenci´avel linear de segunda ordem Lr,

Lr(f ) = div(Tr∇f ), r = 0, 1, ..., n.

O operador Lr j´a havia aparecido em artigos de Voss [V] e Reilly [R1], associado

a problemas variacionais e escrito como combina¸cão das fun¸cões simétricas Sr+1. O

trabalho de Rosenberg [R2] teve grande importˆancia, pois o fato do operador Lrpoder

ser escrito como um divergente possiblitou o uso de muitos resultados j´a conhecidos. Quando r = 1,

L1(f ) = div(T1∇f ) (2.2)

coincide com o operador de Cheng e Yau L1(f ) =

n

X

i,j=1

(nHδij − hij)fij.

De fato, sabemos que ∇f =

n

X

i=1

fiei e T1 = S1I − B = nHI − B,

(16)

Da´ı, T1∇f = n X i=1 (nHI − B)fiei = n X i=1 (nHfiei− fiBei) . Como Bei = Pn j=1hjiej, temos T1∇f = n X i=1 nHfiei− fi n X j=1 hjiej ! = n X i,j=1 (nHδij − hji)fiej = n X i,j=1 (nHδij − hij)fiej = n X j=1 n X i=1 (nHδij − hij)fi ! ej . Assim, div(T1∇f ) = n X j=1 n X i=1 nHjδij− hijj ! fi+ n X i,j=1 (nHδij − hij)fij = n X j=1 n X i=1 nHjδij ! fi− n X i,j=1 hijjfi+ n X i,j=1 (nHδij − hij)fij = n X i,j=1 nHjδijfi− n X i=1 nHifi+ n X i,j=1 (nHδij − hij)fij = n X i=1 nHifi− n X i=1 nHifi+ n X i,j=1 (nHδij − hij)fij = n X i,j=1 (nHδij − hij)fij .

(17)

Portanto, conclu´ımos que div(T1∇f ) = n X i,j=1 (nHδij − hij)fij .

Em um certo sentido, os operadores Lr generalizam o operador Laplaciano ∆,

pois, para r = 0,

L0(f ) = div(T0∇f )

= div(∇f ) = ∆f.

Vale observar que esses operadores s˜ao muito usados em estudos de hipersuperf´ıcies com r-´esima curvatura Hr constante.

Os resultados apresentados neste trabalho, a partir de agora, estar˜ao relacionados ao operador L1.

Definindo L1de um campo como sendo o campo cujas coordenadas s˜ao L1aplicado

a cada uma das coordenadas do campo original, vamos agora calcular L1(X) e L1(N ),

onde X e N s˜ao o vetor posi¸c˜ao e o vetor normal de M , respectivamente.

Proposi¸cão 2.2. Sejam X e N o vetor posi¸cão e o vetor normal de M , respectiva-mente. Então,

a) L1(X) = n(n − 1)RN ;

b) L1(N ) = (−S1S2+ 3S3)N −1₂n(n − 1)

Pn

k=1Rkek.

Prova. Seja {e1, ...en} um referencial ortonormal em M . Ent˜ao,

∇eiX = ei. Da´ı, Xij = ∇ej∇eiX = ∇ejei = hijN, ou seja, Xij = hijN . (2.3) Al´em disso, Ni = n X k=1 hNi, ekiek+ hNi, N iN .

(18)

Sabemos que hN, eki = 0 e hN, N i = 1. Dessas igualdades, conclu´ımos que hNi, eki = −hki e hNi, N i = 0. Assim, Ni = − n X k=1 hkiek . Logo, Nij = − n X k=1 hkijek− n X k=1 hki∇ejek = − n X k=1 hkijek− n X k=1 hkihkjN. (2.4)

Calculemos o valor de L1(X). Por (2.1),

L1(X) = n

X

i,j=1

(nHδij − hij)Xij .

Substituindo o valor encontrado em (2.3), temos L1(X) = n X i,j=1 (nHδij − hij)hijN = (nH)2− n X i,j=1 h2_ij ! N = ( n X i=1 ki)2− n X i=1 k_i2 ! N = 2X i<j kikj ! N = (2S2)N . (2.5)

Visto que R = _n(n−1)2 S2, tamb´em podemos escrever L1(X) como

(19)

Analogamente, calculamos o valor de L1(N ), substituindo a express˜ao (2.4) em (2.1), ou seja, L1(N ) = n X i,j=1 (nHδij − hij)Nij = n X i,j=1 (nHδij − hij)(− n X k=1 hkijek− n X k=1 hkihkjN ) = − n X i,j=1 (nHδij − hij)( n X k=1 hkihkj)N − n X i,j,k=1 (nHδij − hij)hkijek.

Usando Codazzi e a bilinearidade de B, L1(N ) = − n X i,j=1 (nHδij − hij)( n X k=1 hikhkj)N − n X k=1 " nH(nH)k− n X i,j=1 hkijhij # ek = − n X i,j=1 (nHδij − hij)( n X k=1 hikhkj)N − n X k=1 1 2n(n − 1)Rkek = − n X i,j,k=1 nHδijhikhkj + n X i,j,k=1 hijhikhkj ! N − 1 2n(n − 1) n X k=1 Rkek = (−nH k B k2 +trB3)N − 1 2n(n − 1) n X k=1 Rkek. Como trB3 = nH k B k2 −1 2n 2_{(n − 1)HR + 3S}

3, ver equa¸c˜ao (1) em [R1], temos

L1(N ) = −1 2n 2 (n − 1)HR + 3S3 N −1 2n(n − 1) n X k=1 Rkek = (−S1S2+ 3S3)N − 1 2n(n − 1) n X k=1 Rkek. Assim, L1(N ) = (−S1S2+ 3S3)N − 1 2n(n − 1) n X k=1 Rkek. (2.7)

(20)

Proposi¸cão 2.3. Sejam X e N o vetor posi¸cão e o vetor normal de M, respectivamente e seja v vetor fixo em Rn+1. Então,

a) L1(hX, vi) = n(n − 1)RhN, vi;

b) L1(hN, vi) = (−S1S2+ 3S3)hN, vi −1₂n(n − 1)

Pn

k=1Rkhek, vi .

Prova. Afirmamos que L1(hX, vi) = hL1(X), vi. Com efeito,

L1(hX, vi) = n X ij=1 (nHδij − hij)hX, viij = n X ij=1 (nHδij − hij)hXij, vi = * _n X ij=1 (nHδij − hij)Xij, v + = hL1(X), vi.

Ent˜ao, usando (2.5) e (2.6),

L1(hX, vi) = h(2S2)N, vi (2.8) = hn(n − 1)RN, vi = n(n − 1)RhN, vi. (2.9) Usando (2.7), temos L1(hN, vi) = (−S1S2+ 3S3)hN, vi − 1 2n(n − 1) n X k=1 Rkhek, vi. (2.10) Uma propriedade importante do operador L1 ´e o fato dele ser auto-adjunto.

Proposi¸cão 2.4 ([CY1], Proposi¸cão 1). Seja M uma variedade Riemanniana com-pacta e orientável. Então, o operador L1 é auto-adjunto.

P rova. Por (2.2) e usando o produto interno definido por hf, gi =R_Mf g dM para f, g : M → R, podemos afirmar que

hL1(f ), gi = hdiv(T1∇f ), gi = hg, div(T1∇f )i = Z M gdiv(T1∇f )dM .

(21)

Fazendo X = T1∇f em (1.1) e usando o Teorema da Divergˆencia (ver p.10), pois

M ´e compacta sem bordo, conclu´ımos que hL1(f ), gi = Z M gdiv(T1∇f )dM = Z M div(gT1∇f )dM − Z M h∇g, T1∇f idM = − Z M h∇g, T1∇f idM .

Agora, usando o mesmo argumento temos que hf, L1(g)i = hf, div(T1∇g)i

= Z M f div(T1∇g)dM = Z M div(f T1∇g)dM − Z M h∇f, T1∇gidM = − Z M h∇f, T1∇gidM .

Como T1 ´e auto-adjunto, isto ´e,

h∇f, T1∇gi = hT1∇f, ∇gi ,

temos a igualdade desejada, ou seja,

hL1(f ), gi = hf, L1(g)i .

O resultado a seguir ´e uma desigualdade, Princ´ıpio do Mini-Max, para o operador L1. A demonstra¸c˜ao desse fato usa uma estimativa para seu primeiro auto-valor (ver

[C], p.16).

Proposi¸c˜ao 2.5 ([CY1], Proposi¸c˜ao 2). Seja L1 um operador el´ıptico auto-adjunto de

segunda ordem , possivelmente degenerado, definido em uma variedade M compacta com bordo. Seja f uma fun¸c˜ao positiva de classe C2_{. Ent˜}_{ao, para qualquer fun¸}_c˜_ao

g ∈ C2 _n˜_{ao-negativa tal que g} ∂M = 0, temos − Z M gL1g ≥ inf M −L1f f Z M g2 −1 . (2.11)

(22)

P rova. Se g é identicamente nula nada temos a demonstrar. Então, suponhamos g 6≡ 0 e notemos que precisamos apenas provar (2.11) assumindo que L1 é el´ıptico

n˜ao-degenerado. Caso contr´ario, podemos substituir L1 por L1+ ∆ e fazer → 0.

Sejam λ o primeiro auto-valor e gλ a primeira auto-fun¸c˜ao de L1 sobre D com a

condi¸c˜ao gλ

∂D = 0.

´

E bem conhecido que λ ≤ − Z M gL1g Z M g2 −1 e gλ ´e positiva no interior de D. Considere a fun¸c˜ao gλ f definida em D (temos gλ f ∂D = 0).

Nos pontos onde gλ

f atinge seu m´aximo, podemos verificar que

λ = −L1gλ gλ

≥ −L1f f . Logo, provamos a seguinte estimativa:

− Z M gL1g Z M g2 −1 ≥ inf M −L1f f . A condi¸cão suficiente para o operador L1 ser el´ıptico é dada pela proposi¸cão

se-guinte (ver[CY1], p.201).

Proposi¸cão 2.6. Se S2 é constante positiva, então L1 é el´ıptico.

P rova. Como L1(f ) =

Pn

i,j=1(nHδij − hij)fij, temos

aij = nHδij − hij.

Visto que a segunda forma fundamental ´e diagonaliz´avel, basta analisarmos aij

para i = j. Assim,

aj = nH − kj

= S1− kj.

(23)

Para cada j, sabemos que S₁2 = n X j=1 k_j2+ 2S2 > kj2, ou seja, S₁2− k2 j > 0. Da´ı, (S1+ kj)(S1− kj) > 0.

Supondo S1 + kj < 0 e S1− kj < 0 e somando essas duas desigualdades,

encon-tramos

2S1 < 0.

Logo, temos um absurdo, pois S1 > 0. Portanto, S1− kj > 0 e, consequentemente,

aj > 0, j = 1, ..., n.

Assim, quando S2 ´e constante positiva, L1 ´e um operador el´ıptico .

Esse resultado ´e fundamental na demonstra¸c˜ao dos teoremas principais deste tra-balho, pois o fato de L1 ser um operador el´ıptico nos permite utilizar o princ´ıpio do

(24)

Cap´ıtulo 3

Hipersuperf´ıcie completa,

n˜

ao-compacta, com curvatura

escalar constante

O objetivo deste cap´ıtulo é provar que, se M é uma hipersuperf´ıcie completa n˜ ao-compacta no espa¸co Euclidiano, com curvatura seccional não negativa e curvatura escalar S2 constante, M é um cilindro generalizado. Este resultado foi obtido por

Cheng e Yau em [CY1].

A idéia central da demonstra¸cão deste resultado é provar que M é flat, isto é, provar que M possui curvatura escalar identicamente nula. Assim, poderemos aplicar o Teorema de Hartman e Nirenberg (Teorema 1.2, p.12) e concluir a demonstra¸cão.

Enunciemos ent˜ao, o resultado de Cheng e Yau.

Teorema 3.1 ([CY1], Teorema 4). Seja Mnuma hipersuperf´ıcie completa não-compacta no espa¸_{co Euclidiano R}n+1 com curvatura seccional não-negativa. Se a curvatura es-calar de M é constante, então M é um cilindro generalizado.

P rova. Como M é completa, com curvatura seccional não-negativa, conclu´ımos que M é convexa (ver p.11).

No cap´ıtulo anterior (ver Proposi¸c˜ao 2.6, p.21) provamos o seguinte fato: se S2

é constante positiva, então L1 é el´ıptico. Então, se tivermos L1 el´ıptico degenerado,

significa que em algum ponto de M ,P

i6=jki = 0 para alguma curvatura principal ki,

ou seja, ki = 0 para todo i 6= j Assim, a curvatura escalar de M neste ponto ´e zero.

Quando a curvatura escalar de M ´e zero, M ´e flat e o resultado segue-se do Teorema de Hartman-Nirenberg (ver Teorema 1.2, p.12).

(25)

O fato da imagem da aplica¸cão normal de Gauss de uma hipersuperf´ıcie convexa completa situar-se num hemisfério aberto, nos permite garantir a existência do vetor unitário a no espa¸co Euclidiano tal que hN, ai ≥ 0, onde N é vetor normal em M (ver [W], p. 279).

Agora, afirmamos que se hN, ai = 0 em algum ponto de M , temos que hN, ai ´e identicamente nula.

Com efeito, calculemos o sinal de L1(hN, ai).

L1(hN, ai) = hL1(N ), ai = − n X j,l=1 (nHδjl− hjl) n X i=1 hjihil ! hN, ai = −n(n − 1)R n X i=1 h2_ijhN, ai . Logo, L1hN, ai ≤ 0.

Assim, nossa afirma¸cão segue-se do princ´ıpio do m´ınimo aplicado à equa¸cão el´ıptica acima, ou seja, como L1hN, ai ≤ 0 e hN, ai ≥ 0, se hN, ai assume seu m´ınimo (que é

zero), ent˜ao hN, ai ser´a constante e igual a zero.

Conclu´ımos que, ou hN, ai ´e sempre positiva ou hN, ai ≡ 0.

No segundo caso, diferenciando a equa¸c˜ao hN, ai ≡ 0, obtemos kihei, ai ≡ 0 para

todas as curvaturas principais kie dire¸c˜oes principais ei. Projetando a em M , obtemos

o campo de vetores unit´arios P

iha, eiiei que ´e paralelo em M . Portanto, podemos

retirar uma linha e continuar por indu¸c˜ao a prova do teorema.

Quando f = hN, ai é estritamente positiva, aplicamos a Proposi¸cão 2.5 (ver p.20), e garantimos que − Z M gL1g Z M g2 −1 ≥ inf M Pn j,l=1(nHδjl− hjl)( Pn i=1hjihil)hN, ai hN, ai ! , ou ainda, − Z D gL1g Z D g2 −1 ≥ min D n X j,l=1 (nHδjl− hjl)( n X i=1 hjihil) ! (3.1) para toda fun¸cão suave g com suporte compacto D.

(26)

Com as propriedades que M possui, é poss´ıvel afirmar (ver [W], Teorema 2, p. 280) que M é essencialmente um gráfico sobre a e com isso, o conjunto

Dr = {X; hX, ai ≤ r} ´e compacto para todo r > 0.

Podemos aplicar a fun¸c˜ao g(p) = r − hX(p), ai em (3.1) substituindo D por Dr.

Assim, −R Dr(r − hX, ai)L1(r − hX, ai) R Dr(r − hX, ai) 2 ≥ min_D_r n X j,l=1 (nHδjl− hjl)( n X i=1 hjihil) ! . Por outro lado, por (2.9), temos

−R Dr(r − hX, ai)L1(r − hX, ai) R Dr(r − hX, ai) 2 = −R Dr(r − hX, ai)(−hn(n − 1)RN, ai) R Dr(r − hX, ai) 2 ≤ R Drrn(n − 1)RhN, ai R Dr(r − hX, ai) 2 = rn(n − 1)R R DrhN, ai R Dr(r − hX, ai) 2 . Seja Dr 2 = {X; hX, ai ≤ r

2}. Ent˜ao, em Dr2 vale a seguinte desigualdade,

r − hX, ai ≥ r − r 2 , ou seja, r − hX, ai ≥ r 2 . Da´ı, rn(n − 1)RR_D rhN, ai R Dr(r − hX, ai) 2 ≤ rn(n − 1)RR_D rhN, ai R Dr 2 (₂r)2 ≤ rn(n − 1)R R Dr r2 4 R Dr 2 = 4n(n − 1)Rvol(Dr) rvol(Dr 2) . Portanto, −R Dr(r − hX, ai)L1(r − hX, ai) R Dr(r − hX, ai) 2 ≤ 4n(n − 1)r −1 Rvol(Dr)[volDr₂]−1. (3.2)

(27)

O fato de M ser convexa tamb´em nos garante a existˆencia de constantes c1 e c2

tais que vol(Dr) ≤ c1rn+ c2 (ver [SY], p. 23-25). Isto implica que

lim inf r→∞ r −_vol(D r)[volDr₂]−1 = 0, ∀ > 0. (3.3) Combinando (3.1), (3.2) e (3.3), temos inf M n X j,l=1 (nHδjl− hjl) n X i=1 hjihil ! = 0. (3.4) Sejam k1 e k2 curvaturas principais tais que k1k2 ≥ R. Ent˜ao,

n X k,l=1 (nHδkl− hkl) n X i=1 hkihil ! ≥ k1k22+ k2k12 ≥ (k1k2)(k1+ k2) ≥ k1k2 p 2k1k2 ≥ √2R3/2. (3.5) Como R é constante, conclu´ımos de (3.4) e (3.5) que R = 0 e o resultado é conseqüência imediata do Teorema de Hartmam-Nirenberg (Teorema 1.2, p.12).

Coment´ario. Em 1978, P. Hartman (ver [H1]) generalizou o resultado de Cheng e Yau para curvatura m´edia Hr constante positiva.

Teorema (Hartman). Seja M = Mn _{uma variedade Riemanniana completa}

conexa com curvatura seccional n˜_{ao-negativa. Seja X : M → R}n+1 uma imersão isométrica de classe C∞ tal que X(M) possui a r-ésima curvatura média satisfazendo Hr = c > 0 para algum r, 1 ≤ r ≤ n. Então, M é um cilindro generalizado.

(28)

Cap´ıtulo 4

Estimativa de altura

O resultado apresentado neste cap´ıtulo é uma estimativa obtida por Rosenberg [R2], para a distância máxima dos pontos de M ao seu bordo, quando M é uma hipersuperf´ıcie mergulhada em Rn+1 _{com curvatura escalar S}

2 constante positiva e

bordo em Rn_.

A demonstra¸cão deste teorema é um bom exemplo de aplica¸cão das propriedades do operador L1.

Inicialmente, vamos demonstrar o resultado seguinte. Proposi¸cão 4.1. Se H1, H2,..., Hi são não-negativas, então

H1Hi+1 ≥ Hi+2, (4.1)

para 0 ≤ i ≤ n − 2. Prova. Sabemos que

Hi−1Hi+1 ≤ Hi2, i = 1, 2, ..., n − 1 e

HiHi+2 ≤ Hi+12 , i = 0, 1, ..., n − 2 (4.2)

s˜ao equivalentes (ver [HLP], p.104).

Para i = 0, temos, por (4.2) e a equa¸c˜ao de Gauss,

H₁2− H2 ≥ 0. (4.3)

Para i = 1, H2 > 0 (isto implica H1 > 0), temos, usando (4.2), que

H1H3 ≤ H22 , isto ´e, H2 ≥

H1H3

H2

(29)

Agora, por (4.3) e (4.4), H1 ≥ H2 H1 ≥ H1H3 H1H2 = H3 H2 , isto ´e, H1H2− H3 ≥ 0. (4.5)

Para i = 2 e H3 > 0 (isto implica H1 > 0, H2 > 0), temos por (4.2),

H2H4 ≤ H32 , isto ´e, H3 ≥

H2H4

H3

. (4.6) Agora, por (4.5) e (4.6), obtemos

H1 ≥ H3 H2 ≥ H2H4 H3H2 = H4 H3 , isto ´e, H1H3− H4 ≥ 0.

Suponhamos que a proposi¸c˜ao vale para i = n − 3, isto ´e,

H1Hn−2− Hn−1 ≥ 0. (4.7)

Ent˜ao, para i = n − 2 e Hn−1 ≥ 0 temos, por (4.2),

Hn−2Hn≤ Hn−12 , ou seja, Hn−1 ≥ Hn−2Hn Hn−1 . (4.8) Por (4.7) e (4.8), temos H1 ≥ Hn−1 Hn−2 ≥ Hn−2Hn Hn−1Hn−2 = Hn Hn−1 . Portanto, H1Hn−1− Hn ≥ 0.

(30)

Teorema 4.1 ([R2], Teorema 6.1). Seja M ⊂ Rn+1 _{uma hipersuperf´ıcie compacta}

mergulhada com ∂M ⊂ Rn = Rn× 0. Se S2 é constante positiva, então a distância

m´_{axima de M ao hiperplano R}n _´_e q2n(n−1) S2 .

Prova. Inicialmente, consideremos uma hipersuperf´ıcie M em Rn+1, compacta, com S2 constante positiva, como sendo o gr´afico de uma fun¸c˜ao Xn+1 definida num

compacto de Rn tal que ∂M ⊂ Rn.

Escolheremos o vetor N normal a M , tal que Nn+1 ≤ 0. Observe que com esta

escolha, o operador L1 ´e el´ıptico positivo definido.

Sejam Hi as i-ésimas fun¸cões curvaturas médias de M , definidas por Si = n_iHi.

´

E conhecido que (ver [HLP]),

Hi−1Hi+1 ≤ Hi2 (1 ≤ i < n), (4.9) H1 ≥ H 1/2 2 ≥ H 1/3 3 ≥ ... ≥ H 1/i i , (4.10) quando H1, H2,..., Hi s˜ao n˜ao-negativas.

Agora, observe que podemos reescrever a desigualdade (4.1) em fun¸c˜ao das Si,

isto ´e,

(n − i − 1)S1Si+1− n(i + 2)Si+2 ≥ 0, (4.11)

i ≤ n − 2.

Assim, como S2 ´e constante positiva em M , temos Hi > 0 para i ≤ 2 e, portanto,

podemos usar a desigualdade (4.11) com i = 1, ou seja,

(n − 2)S1S2− 3nS3 ≥ 0 (4.12)

Definamos a fun¸c˜ao f =S2

c2

1₂

Xn+1+ Nn+1, onde c2 = n₂.

Baseado nos resultados do Cap´ıtulo 2, iremos calcular o valor de L1 aplicado `a

fun¸c˜ao f definida acima.

Podemos escrever f como o produto S2 c2 1₂ X + N, (0, ..., 0, 1) . Assim, L1(f ) = L1 * S2 c2 1₂ X + N, (0, 0, ..., 0, 1) +! = L1 * S2 c2 1₂ X, (0, 0, ..., 0, 1) + + hN, (0, 0, ..., 0, 1)i ! .

(31)

Como L1(hX, vi) = hL1(X), vi e L1(hN, vi) = hL1(N ), vi , obtemos L1(f ) = L1 * S₂ c2 1₂ X, (0, 0, ..., 0, 1) + + hN, (0, 0, ..., 0, 1)i ! = S2 c2 1₂ hL1(X), (0, 0, ..., 0, 1)i + hL1(N ), (0, 0, ..., 0, 1)i.

Substituindo os valores encontrados em (2.8) e (2.10) e observando que Rk = 0

quando S2 ´e constante, obtemos

L1(f ) = S₂ c2 1₂ hL1(X), (0, 0, ..., 0, 1)i + hL1(N ), (0, 0, ..., 0, 1)i = S2 c2 1₂ h2S2N, (0, 0, ..., 0, 1)i + h(−S1S2+ 3S3)N, (0, 0, ..., 0, 1)i = S2 c2 1₂ (2S2Nn+1+ (−S1S2+ 3S3)Nn+1) = " S2 2 S2 c2 1₂ − S1 ! + 3S3 # Nn+1 = " S2 2 S₂ c2 1₂ − S1 ! + n − 2 n S1S2− n − 2 n S1S2+ 3S3 # Nn+1 = " S2 2 S2 c2 1₂ − S1+ S1− 2 nS1 ! − (n − 2)S1S2− 3nS3 n # Nn+1.

Portanto, usando (4.12) e o fato que Nn+1 ≤ 0,

L1(f ) ≥ S2 2 S2 c2 1₂ − 2 nS1 ! Nn+1.

Como S1 e S2 s˜ao n˜ao-negativas, temos, por (4.2), que

S2 c2 1₂ ≤ S1 n. Conclu´ımos ent˜ao que L1(f ) ≥ 0.

Por outro lado, por hip´_{otese, ∂M ⊂ R}n_{= R}n_{× 0. Logo, X} n+1 ∂M = 0 e, portanto, f ∂M ≤ 0.

(32)

Como o operador L1 ´e el´ıptico, o Princ´ıpio do M´aximo nos garante que f atinge

seu máximo no interior de M somente se f for constante, o que não é o caso. Então, o máximo de f é não positivo, da´ı f ≤ 0 em toda M , ou seja,

S2 c2 1₂ Xn+1+ Nn+1 ≤ 0 em M. Portanto, S₂ c2 1₂ Xn+1 ≤ −Nn+1≤ 1, isto ´e, Xn+1 ≤ c2 S2 1₂ .

Consideremos agora, M hipersuperf´ıcie compacta, mergulhada, com ∂M ⊂ Rn_{. A}

conclusão do teorema será uma aplica¸cão da idéia da prova do princ´ıpio de reflexão de Alexandrov a M (ver [A]). Com efeito, consideremos um hiperplano Q paralelo a Rn _{cuja interse¸c˜}_{ao com M ´}_{e vazia. Fazendo Q se aproximar paralelamente da}

hipersuperf´ıcie Rn _{temos um novo plano Q}

1 (transladado de Q) tocando M num

primeiro ponto. Quando fazemos Q1 deslizar (sempre na mesma dire¸c˜ao) para um

posi¸cão Q2, temos que a reflexão em rela¸cão a Q2 da parte de M que se encontra

acima deste hiperplano, localiza-se no interior da região limitada por M e pela região na hipersuperf´_{cie R}nque é limitada pela fronteira de M (isso é conseqüência imediata do princ´ıpio da tangência), ou seja, a parte de M acima de Q2 é um gráfico. Podemos

usar este argumento até que a reflexão da parte acima do hiperplano transladado toque a hipersuperf´ıcie Rn, onde está o bordo de M . Isso ocorre, exatamente, quando o hiperplano transladado divide a altura de M em duas partes iguais. Com isso, garantimos que a parte de M acima de tal hiperplano é gráfico, e pelo resultado acima, com altura máxima

c2

S2

1₂

. Então, a altura máxima de M será 2 c2 S2 1₂ .

(33)

Comentários. Heinz em [H2], 1955, obteve estimativa de altura para gráfico de curvatura m´_{edia constante em R}n+1, além disso, como o objetivo desse trabalho é tra-tar das hipersuperf´ıcies com curvatura escalar constante, particularizamos o Teorema de Rosenberg para r = 1, mas o resultado vale para r = 0, 1, ..., n − 1. Assim,

Teorema (Rosenberg). Seja M ⊂ Rn+1 _{hipersuperf´ıcie compacta, mergulhada,}

com ∂M ⊂ Rn. Se Sr+1 é constante positiva em M , então a distância máxima de M

para o hiperplano Rn ´e 2cr+1

Sr+1

_r+11

(34)

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