OUTRAS IDEIAS ASSOCIADAS À GEOMETRIA DE SISTEMAS
DE EQUAÇÕES LINEARES
Adriano Rodrigues de Melo – melo.a.rodrigues@gmail.com
PPGMNE – UFPR Curitiba – Paraná
Vanessa Ferreira Sehaber – vsehaber@gmail.com
PPGMNE – UFPR
Av. Cel. Francisco H. dos Santos, s/n – 81530-900 Curitiba – Paraná
Jair Mendes Marques – jair.mendes@utp.com
PPGMNE – UFPR Curitiba – Paraná
Resumo: Tendo em vista que um conceito matemático possui várias formas de representação
e a fim de contribuir com as pesquisas de cunho pedagógico, associadas à geometria de sistemas de equações lineares, este artigo propõe uma interpretação geométrica para o referido tópico distinta da apresentada nos livros de Álgebra Linear. A proposta sugerida baseia-se no fato de que um sistema , qualquer, pode ser reformulado como uma soma de vetores bastando, para isso, tomar combinações lineares das colunas da matriz de coeficientes , de modo que será o vetor resultante da referida soma. A partir desse entendimento, desenvolve-se a proposta.
Palavras-chave: Sistemas de equações lineares, Interpretação geométrica, Combinação
linear, Vetores.
1 INTRODUÇÃO
Os sistemas de equações algébricas lineares e suas soluções desempenham papel importante e motivador no campo da Álgebra Linear (LIPSCHUTZ, 1972, p. 21).
Sabe-se que todo sistema de equações lineares tem ou nenhuma solução, ou exatamente
uma solução, ou então uma infinidade de soluções (ANTON & RORRES, 2001, p. 29). Uma
das principais preocupações quando se trabalha com este tópico, é o seu processo de resolução. Para isso, vários são os métodos para resolvê-lo, variando desde os chamados
tais como a eliminação Gaussiana, o método do Gradiente Conjugado, as fatorações LU, LDU, QR, Cholesky e Crout, até os métodos iterativos, que fornecem soluções aproximadas, como os métodos de Gauss-Seidel e Gauss-Jacob (BURDEN & FAIRES, 2008, p. 332).
Por outro lado, em diversas pesquisas direcionadas ao ensino de Álgebra Linear, de maneira especial, ao tópico de sistemas de equações lineares, o conceito geométrico tem se mostrado de extrema importância e utilidade como caminho para propostas didáticas, produzindo resultados positivamente significativos.
Seja um sistema de duas equações em duas incógnitas e , por exemplo. Dado que os gráficos das equações do sistema são retas as e , uma interpretação geométrica, comumente encontrada nos livros de Álgebra Linear, para as possibilidades do teorema acima é (ANTON & RORRES, 2001, p. 29; KOLMAN & HILL, 2006, p. 5):
As retas e são paralelas e não tem intersecção, donde não existe solução; As retas e se cruzam (portanto, num único ponto), e existe apenas uma solução; As retas e coincidem, caso em que há uma infinidade de soluções.
Conforme anteriormente dito, existem vários trabalhos relacionados a esta temática. Como exemplo, cite-se Carneiro (2007), que constrói através da geometria vetorial, uma proposta didática para o ensino de sistemas de equações lineares no Ensino Médio. O principal objetivo, segundo o autor, é fornecer através da geometria vetorial, uma ferramenta que capacite os alunos a analisar geometricamente sistemas lineares de ordem 3 de modo que o estudo de tal tópico tenha um “maior valor formativo”. Para isso, Carneiro salienta a necessidade de incluir no currículo do Ensino Médio, uma introdução à geometria vetorial.
Jordão (2011) desenvolve uma sequencia didática que aborda a resolução algébrica e gráfica de sistemas de equações lineares quadrados com o auxílio do software denominado
Winplot. A conclusão da pesquisadora aponta para uma relevante importância no uso do
referido software, de modo a contribuir para a visualização e compreensão da resolução de sistemas lineares em 3 dimensões. Na mesma esteira e em um nível menos elementar, Rodrigues (2009) fornece a descrição e criação de um software de apoio ao ensino de base e dimensão de um espaço vetorial, disponibilizando recursos de imagem, vídeo, som e texto. Seus resultados são de melhoria na qualidade do ensino dos referidos tópicos de Álgebra Linear.
Por outro lado, em matemática um mesmo conceito pode assumir diversos registros de representação e a partir dos estudos de Raymond Duval1, a questão do papel de tais registros de representação para a aprendizagem matemática tem sido foco de várias pesquisas em educação matemática (FLORES, 2006, p. 1). Conforme Flores (2006), a contribuição de Duval para o processo de ensino/aprendizagem em matemática está em apontar a restrição de se usar um único registro para representar um mesmo objeto matemático. Continua a mesma autora salientando que uma única via não garante a compreensão, ou seja, a aprendizagem em matemática.
Com efeito, Pantoja (2008), propõe uma sequencia didática para o ensino de sistemas e equações algébricas lineares na qual procura estabelecer uma conexão entre o método da substituição e o método do escalonamento buscando a conversão de representação de registro. As conclusões da pesquisadora apontam para o estabelecimento de uma conexão entre os dois métodos empregados no processo de resolução de sistemas.
Assim, com o fito de contribuir com as pesquisas relativas à interpretação geométrica de sistemas de equações lineares voltada à utilização pedagógica, o presente artigo tem por
1 Raymond Duval é psicólogo e filósofo de formação, autor de vários trabalhos envolvendo a psicologia
objetivo fornecer uma visão geométrica distinta da apresentada em livros de Álgebra Linear, tratando sistemas lineares como soma de vetores, de modo que a proposta é desenvolvida a partir da associação entre importantes conceitos da Álgebra Linear. Objetiva-se, também, contribuir com a formação do estudante de matemática no sentido de incorporar e unificar alguns conceitos da Álgebra Linear, direcionando-os à proposta de interpretação geométrica para sistemas em suas três possibilidades: inexistência de soluções, existência de infinitas soluções e unicidade de solução.
Saliente-se, no entanto, que o que se pretende é uma exposição teórica acerca das ideias geométricas propostas. Espera-se, no entanto, que seja útil para trabalhos futuros em pesquisas de ensino de matemática, seja em nível regular ou superior.
O trabalho será desenvolvido à partir de um sistema de equações lineares de ordem 2 e quadrado, sendo que os argumentos empregados são facilmente estendidos para o caso tridimensional (sistema de ordem 3).
2 DESENVOLVIMENTO
Por simplicidade, seja um sistema de 2 equações algébricas lineares em 2 incógnitas na forma:
{ [
] [ ] [ ] (1)
em que e são números reais para , e .
Então, após algumas operações simples, o sistema linear (1), economicamente representado por , pode ser algébricamente reformulado de modo que o vetor seja uma combinação linear das colunas da matriz de coeficientes (ANTON & RORRES, 2001, p. 44; KOLMAN & HILL, 2006, p. 27):
[
] [
] [ ] (2)
ou ainda, fazendo e , tem-se , onde e são, respectivamente, as primeira e segunda colunas da matriz de coeficientes do sistema. Sem perda de generalidade, considerar-se-á e diferentes do vetor nulo .
A ideia de expressar como uma combinação linear de colunas como em (2), será o ponto de partida para os desenvolvimentos subsequentes e sua principal utilidade é o entendimento de que a Equação (2) representa uma soma de vetores.
Embora todo este bojo possa ser desenvolvido com as ideias básicas oriundas de soma de vetores, com o fito de dar maior elegância e respaldo teórico à proposta apresentada, os conceitos de combinação linear, dependência e independência linear, espaço vetorial, base e dimensão da Álgebra Linear serão grandemente explorados. Não é objetivo deste texto, definir estes conceitos e o leitor interessado em relembrá-los poderá consultar as referências ou qualquer outro livro de Álgebra Linear.
2.1 Solução única
O sistema (1) tem solução única se, e somente se, o determinante da matriz é não nulo ( ), ou, equivalentemente, se as colunas (linhas) da matriz são linearmente
independentes (ANTON & RORRES, 2001, p. 196), implicando que é de posto2 completo, neste caso, posto 2.
Vale à pena lembrar que vetores 's, são ditos linearmente dependentes se existirem constantes 's, nem todas nulas tais que ∑ . Caso contrário, os vetores 's são chamados de linearmente independentes (KOLMAN & HILL, 2006, p. 270). Isto implica, por exemplo, que se dois vetores e pertencentes ao plano bidimensional são linearmente dependentes, então:
(3)
em que na suposição de que , ou seja, dados dois vetores linearmente dependentes em , um é múltiplo do outro, o que implica geometricamente que ambos pertencem à mesma reta (ANTON & RORRES, 2001, p. 171).
Figura 1: Interpretação clássica para um sistema com solução única
Conforme dito acima, quando um sistema tem solução única, as retas que o compõe se interceptam (Figura 1). Entretanto, o fato de ser a soma de e , implica que ele pode ser visto como a diagonal de um paralelogramo, já que esse é o entendimento geométrico de somar dois vetores no plano (BOLDRINI et al., 1980, p. 100; ANTON & RORRES, 2001, p. 102), e essa pode ser uma maneira útil (ao menos do ponto de vista pedagógico interdisciplinar) de reinterpretar o sistema linear (1) como uma soma de vetores, conforme pode ser visto na Figura 2.
É importante salientar, a partir da Figura 2, que:
Os vetores coluna e são linearmente independentes, pois, caso contrário, um seria combinação linear do outro e então, ambos pertenceriam a uma mesma reta, conforme discutido anteriormente;
Do item anterior, tem-se que a matriz é de posto 2, isto é, são necessários dois vetores linearmente independentes para gerar o seu espaço coluna, logo e podem ser uma base que o gera;
2 Posto de uma matriz refere-se à dimensão do seu espaço coluna (linha), isto é, é o número de vetores
Das ideias geométricas de espaço vetorial (BOLDRINI et al., 1980, p. 105), vê-se que pertence ao espaço coluna de que é gerado por e ;
O vetor solução para o sistema (1), é equivalente aos escalares que multiplicam e , respectivamente, a fim de completar o paralelogramo que resulta como diagonal.
Figura 2: Sistema linear como soma de vetores (solução única) 2.2 Infinitas soluções
Por outro lado, quando o sistema (1) possui uma infinidade de soluções, geometricamente é porque as retas e que representam, respectivamente, a primeira e a segunda equação do sistema são coincidentes (Figura 3), ou seja, elas (as equações) são proporcionais. Logo, deve existir tal que (STEINBRUCH & WINTERLE, 1987, p. 117):
(4)
Mais claramente, se o sistema (1) possui solução e estas são infinitas, significa que as colunas (linhas) da matriz são linearmente dependentes, ou dito de outra forma, é de posto incompleto e no presente caso, basta 1 vetor para gerar o espaço coluna. Então, conforme Equação (3), ao considerar , tanto quanto deve ser diferente de , já que se está supondo que e , e então, é possível escrever como combinação linear de , ou seja, , e portanto, da Equação (2), segue-se que:
(5)
Figura 3: Interpretação clássica para um sistema com infinitas soluções
Na verdade, estas ideias são redundantes, uma vez que a Equação (4) já estabelece a proporcionalidade entre , e . Entretanto, o fato de escrever-se como combinação linear de reflete a escolha de como uma base para espaço coluna de . Assim, uma vez que pertence ao referido espaço vetorial (caso contrário não existiria solução), e seja a base que gera todos os vetores a ele pertencentes, é natural o ocorrido na Equação (5).
Por outro lado, pelo fato de se estar considerando e implica que para real, é possível também escolher como base para o espaço coluna de , o que implicaria que dessa vez , e então:
(6)
em que , e assim, seria múltiplo de . Mais uma vez, muito natural pelo fato de pertencer ao espaço coluna de e ser uma base para tal espaço.
Figura 4: Vetores e pertencentes à mesma reta gerada pelo espaço coluna
Estas considerações implicam a Figura 4, donde se observa que:
Tanto quanto podem ser escolhidos como base para o espaço coluna de ; pertence ao espaço coluna de e pode ser obtido por ou (Equações (5) e (6)); também pode ser tomado como uma base para o espaço coluna de (já que o posto
de é 1);
é múltiplo de e de (Equações (5) e (6)), o que por si só, caracteriza duas possíveis soluções: i) fazendo restaria , então pela Equação (5),
; ii) fazendo , restaria , e pela Equação (6), .
Agora, como entender a ideia de infinitas soluções à partir da Figura 4 e do raciocínio apresentado? Como salientado nos itens anteriores, pode ser tomado como uma base para o espaço coluna e então existem e únicos tais que e (BOLDRINI et al., 1980, p. 120). Assim:
(7)
e dessa forma, tomando-se , tem-se que , onde se tem um grau de liberdade para a determinação da solução. Assim, o conjunto solução será .
Exemplificando
Considere por exemplo o sistema linear:
[ ] [ ] [ ] (8)
Vê-se facilmente que as linhas (colunas) da matriz de coeficientes do sistema são linearmente dependentes, caracterizando, portanto a não unicidade de soluções. Para que existam soluções, o vetor deve pertencer ao espaço coluna de e como , segue-se que quando é tal base, o vetor é por ele determinado, implicando a sua pertença no referido espaço.
Assim, das considerações anteriores, pode-se escolher como uma base e então, tem-se e , implicando então:
(9)
e como dito, fornece um grau de liberdade para a escolha da solução e então, .
Fazendo, por exemplo, , tem-se , que claramente é uma possível solução do sistema dado pela Equação (8).
2.3 Inexistência de soluções
Figura 5: Sistemas sem soluções: retas paralelas
Classicamente, quando o sistema (1) não possui soluções é porque as retas e que o compõe são paralelas (Figura 5), ou dito de outra forma, as colunas (linhas) da matriz de coeficientes são linearmente dependentes e o vetor não pertence ao espaço coluna de (ANTON & RORRES, 2001, p. 194), e então, em termos de soma de vetores resulta a Figura 6.
Figura 6: Sistema sem soluções: espaço coluna de
Conforme Figura 6, tem-se que:
Os vetores e são linearmente dependentes, já que estão sobre a mesma reta; Claramente não pertence ao espaço coluna de ;
Observa-se que se e fossem linearmente independentes, seria de posto completo e então se teria dois vetores que gerariam o espaço coluna ( e preferencialmente), de modo que necessariamente pertenceria a este espaço, e, então existiria solução (única, conforme seção 2.1).
3 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste artigo, um sistema de equações lineares quadrado e de ordem 2 foi tomado analítica e geometricamente como uma soma de vetores. Assim, com as ideias de combinação linear, independência e dependência linear, base e dimensão, espaço vetorial e a partir do fato de que um sistema de equações lineares pode ser reformulado, de modo que passa à ser uma combinação linear das colunas de (soma de vetores), foram articuladas a visualização geométrica do referido sistema para os três casos possíveis: existe solução e ela é única, existe solução e ela não é única, não existe solução viável.
No desenvolvimento das ideias, foram feitas comparações na forma de gráficos entre as interpretações clássicas e a proposta sugerida para os três casos possíveis de existência de soluções considerando o caso bidimensional.
Concluímos, então, que houve eficácia no desenvolvimento das ideias no que tange a formular uma interpretação geométrica para sistemas lineares distinta da apresentada em livros de Álgebra Linear, utilizando para isto, a ligação e organização entre os vários conceitos disponíveis num curso regular de Álgebra Linear.
Concluímos ademais que, do ponto de vista pedagógico, a abordagem apresentada é de grande importância e utilidade prática, pois possui o caráter de contribuir na aplicação, fixação e conservação dos conceitos de Álgebra Linear, uma vez que abrange várias ideias desta área que são trabalhadas num curso regular. Não obstante, este trabalho trata-se de uma organização de conceitos de Álgebra Linear que foram direcionados à geometria de sistemas, mas que também estão associados ao ponto de vista da Geometria Analítica, uma vez que se está considerando sistemas lineares como soma de vetores, razão pela qual, também existe neste trabalho uma presença de interdisciplinaridade entre as áreas de Álgebra Linear e Geometria Analítica.
Saliente-se, por fim, que sua principal contribuição é sua simplicidade de organização e inovação (observe-se que o desenvolvimento foi estruturado e conduzido pelas colunas da matriz de coeficientes ), pois os conceitos utilizados representam ferramentas básicas da Álgebra Linear.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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JORDÃO, A. L. I. Um Estudo sobre a resolução algébrica e gráfica de Sistemas Lineares 3x3 no 2º ano do Ensino Médio. São Paulo, 192 p., 2011. Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.
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PANTOJA, L. F. L. A conversão de registros de representações semióticas no estudo de sistemas de equações algébricas lineares. Belém, 105 p., 2008. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Pará.
RODRIGUES, J. R. F. Criação de Um Software de Apoio ao Ensino e à Aprendizagem de Álgebra Linear. Belo Horizonte, 153 p., 2009. Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. S. Geometria Analítica. São Paulo: Ed. Person Makron Books, 1987.
OTHER IDEAS RELATED TO GEOMETRY OF SYSTEMS OF LINEAR
EQUATIONS
Abstract: Considering that a mathematical concept has several forms of representation, and
to contribute to the educational research field associated with the geometry of systems of linear equations, this paper proposes a geometric interpretation for the above topic distinct from that presented in the books of Linear Algebra. This suggestion is based on the fact that a system can be reformulated as a sum of vectors taking linear combinations of the columns of the coefficient matrix , where is the resulting vector of sum of vectors. From this geometric observation, the present article is developed.
Key-words: Systems of linear equations, Geometrical interpretation, Combination linear
