CÁLCULO II. Lista Semanal 5-20/04/2018. ), com s 0 está 2 parametrizada pelo comprimento de arco.

(1)

Lista Semanal 5 - 20/04/2018

Questão 1. Dizemos que uma curva δ : [a, b] → Rn_{, com derivada contínua, está parametrizada pelo}

comprimento de arco se ||δ0_{(s)|| = 1}_{, para todo s ∈ [a, b]. Verique se δ(s) =}

s √ 2, 2s √ 2 , com s ≥ 0 está parametrizada pelo comprimento de arco.

Solução:

Para vericar se a curva δ(s) está parametrizada pelo comprimento de arco, deve-se primeiro derivar a curva em relação a s, assim: δ0(s) = 1 √ 2, 2 √ 2 E a norma de δ0_(s) _é: ||δ0(s)|| = s 1 √ 2 2 + 2 √ 2 2 = r 1 2+ 4 2 = r 5 2

Desse modo, como ||δ0_{(s)|| 6= 1, tem-se que a curva δ(s) não está parametrizada pelo seu comprimento de}

arco.

(2)

Questão 2. Considere a curva r(t) = 1 t, 1 t, t 2 .

(a) Determine a equação da reta tangente à trajetória da curva no ponto t = 2. Solução:

A equação da reta tangente à curva, para um ponto cujo parâmetro é t0, é da forma:

~ P = r(t0) + r0(t0).λ Assim, r0(t) = −1 t2 , −1 t2 , 2t → r0(2) = −1 4 , −1 4 , 4 Além disso, r(2) = 1 2, 1 2, 4

Logo, a equação da reta tangente à trajetória de r(t), para t = 2, é: ~ P = 1 2, 1 2, 4 + λ −1 4 , −1 4 , 4 , λ ∈ R (b) Faça o esboço da curva, exibindo a reta tangente obtida no item (a).

Solução: Sendo A(1

2, 1

(3)

Questão 3. Dada a função

f (x, y) = 2xy

2

x2_{+ y}4.

(a) Determine o domínio de f. Solução:

O domínio D de f,é o conjunto formado pelos pontos do R2 _{tal que x}2_{+ y}4 _{6= 0}_{, ou seja, D = {(x, y) ∈}

R2; (x, y) 6= (0, 0)}

(b) Esboce as curvas de nível de f.

Para descobrirmos as curvas de nível da função, igualamos f(x, y) à uma constante, logo: 2xy2

x2_{+ y}4 = k → kx

2_{− 2y}2_{x + ky}4 _{= 0}

Assim, explicitando x em função de y, na eguação acima, tem-se: x = 2y 2_±p 4y4_{− 4k.ky}4 2k = 2y2± 2y2√_{1 − k}2 2k → x = y2(1 ±√1 − k2₎ k Para k = 0.5 (linha contínua) e k = −0.5 (linha tracejada), tem-se, no plano yx:

(c) Determine a imagem de f. Solução:

Como k representa os valores da imagem de f(x, y), tem-se, da equação explícita para as curvas de nível, a restrição para k, pois √1 − k2 _{→ 0 ≤ 1 − k}2 _{→ −1 ≤ k ≤ 1}_{. Note que, para a equação}

explícita não está denida para k = 0, logo a equação não se comporta muito bem para tal valor. Contudo, percebe-se que para o ponto (x, y) = (0, 1) a imagem é f(0, 1) = 0, assim, 0 faz parte da imagem de f(x, y). Logo, a imagem de f(x, y) é: If = [−1, 1].

(4)

(d) Esboce gracamente a interseção do gráco de f com o plano x = 1. Solução:

(5)

Questão 4. Associe cada função ao esboço das suas superfícies de nível. Justique sua escolha. (a) f(x, y, z) = x + 3y + 5z

Solução:

Fazendo (x, y, z) = k, tem-se que k = x + 3y + 5z. Assim, as superfícies de níveis dessa função são planos, cujo vetor normal é ~n = (1, 3, 5). Logo, associa-se tal superfície de nível com a gura III. (b) f(x, y, z) = p2 − x2_{− y}2_{− z}2

Solução:

Fazendo f(x, y, z) = k → k = p2 − x2_{− y}2_{− z}2 _{→ x}2_{+ y}2_{+ z}2_{= (}√_{2 − k}2₎2_{. Logo, as superfícies}

de nível dessa função são esferas com centro na origem e raio R = (√2 − k2₎2_{. Assim, associa-se tal}

superfície de nível com a gura IV . (c) f(x, y, z) = y2_{+ z}2

Solução:

Fazendo f(x, y, z) = k → z2_{+ y}2 _{= k → z}2_{+ y}2 _{= (}√_k)2_{. Logo, as superfícies de nível dessa função}

são cilindros concêntricos ao eixo x, com raio R =√k. Assim, associa-se tal superfície de nível com a gura I. (d) f(x, y, z) = x2_{− y}2_{− z}2 Solução: Fazendo f(x, y, z) = k, tem-se: → x 2 k − y2 k − z2 k = 1 → x √ k 2 − y √ k 2 − z √ k 2 = 1

Logo, as superfícies de nível representam um hiperbolóide elíptico. Logo, associa-se tal superfície de nível com a gura II

I)

II)

(6)

III)

(7)

Questão 5. Seja f uma função de duas variáveis reais a valores reais e seja (x0, y0) um ponto no domínio

de f.

(a) Dena a continuidade de f no ponto (x0, y0).

Solução:

De forma análoga à uma função de uma variável, tem-se que a função f é contínua em (x0, y0) ∈ Df

se forem satisfeitas as condições: i) f (x0, y0)Existe.

ii) lim(x,y)→(x0,y0)f (x, y)Existe.

iii) lim(x,y)→(x0,y0)f (x, y) = f (x0, y0).

Dessa forma, para a função ser contínua em um determinado ponto (x0, y0) ∈ Df, tem-se: Por i)

a função deve estar denida no ponto (x0, y0). Por ii) a função deve possuir limite para quando

(x, y) → (x0, y0)e, por iii), o limite deverá ser igual a função aplicada no ponto.

(b) Determine o conjunto de pontos de continuidade da função f (x, y) = xy

1 +ex−y.

Solução:

Para uma função de duas variáveis, a soma, subtração, produto e quociente de funções contínuas resulta em uma função contínua, logo:

Como xy é o produto de duas funções polinominais, logo, xy é contínua. Como 1 + ex−y _{é o quociente}

de duas funções exponenciais (ex

ey) somadas com uma função polinomial, logo, 1 + ex−y é contínua.

Note que 1 + ex−y _{6= 0 ∀ (x, y) ∈ R}2_{. Assim, o conjunto D que descreve os pontos onde a função}

f (x, y)é contínua, é: D = R2