Geometria das Conexões

Universidade Federal da Bahia

Curso de P´os-graduac¸˜ao em Matem´atica Dissertac¸˜ao de Mestrado

Geometria das Conex˜

oes

Carla Lopes Dias

Salvador-Bahia

Carla Lopes Dias

Disserta¸c˜ao apresentada ao Colegiado do Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Marco Antˆonio Nogueira Fernandes (Orientador)

Prof. Dr. Luiz Antonio Barrera San Martin

Prof. Dra

Dias, C.

“A GEOMETRIA DAS CONEX ˜OES” / Carla Lopes Dias. Salvador-Ba,

2004.

Orientador: Dr. Marco Antˆonio Nogueira Fernandes (UFBA).

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao curso de P´os-graduac˜ao em

Matem´atica da UFBA, 30 p´aginas.

Palavras-Chave: Conex˜ao afim, conex˜ao Riemanniana, fibrado,

“Nunca pense em desistir, n˜ao/ te aconselho a prosseguir/ o tempo voa, rapaz/ pegue seu sonho, rapaz/ a melhor hora e o momento ´e vocˆe quem faz/ recito poesias/ palavras de um rei: fa¸ca por onde que eu te ajudarei ”.

A minha m˜ae, que sempre me apoiou e incentivou os meus estudos. Aos meus irm˜aos,

que me incentivaram carinhosamente encorajando-me a prosseguir e dando-me for¸cas para

vencer cada etapa e a meu pai, que infelizmente n˜ao pode estar presente neste momento t˜ao

importante da minha vida. `

A professora Rita de C´assia, pela sua paciˆencia e amizade, al´em de uma singular

habil-idade de dizer as palavras certas, nos momentos certos, promovendo sempre for¸ca e motiva¸c˜ao.

Ao professor Marco Antˆonio Nogueira Fernandes pela orienta¸c˜ao e apoio, n˜ao s´o

du-rante esta fase, mas em todo percurso. `

A todos os professores respons´aveis por esta jornada e em especial, aos professores:

Enaldo Vergasta, ´Ezio, Isaac L´azaro, Jos´e Fernandes, Jos´e Nelson, Armando, Vilton Pinheiro,

Carlos Bahiano, todos da Universidade Federal da Bahia, os quais estiveram sempre dispostos

a ajudar.

Aos grandes amigos: Fabiana Laranjeiras, Gabriela G´oes, Jos´e Alves e Mariana

Pin-heiro.

As amigas de sempre: Ana Carolina, Ana Em´ılia, Ana Maria e Carina Lima.

Aos amigos de curso, pelos esclarecimentos e contribui¸c˜oes de informa¸c˜oes durante o

curso de p´os-gradua¸c˜ao.

Ao LEMA, em especial as professoras: Elinalva, Ednalva, Gra¸ca Passos, Silvia Velloso,

Verlane, Cristiana e Eliana Prates, pelos seus conhecimentos e aux´ılio que me fez crescer tanto

na vida acadˆemica quanto na pessoal.

Gostaria tamb´em de agradecer a todos os colegas e funcion´arios do Instituto de Matem´atica

e aos professores: Luiz Antonio Barrera San Martin que compˆos minha banca examinadora e

que verificou com tanto zelo esta disserta¸c˜ao. Um agradecimento especial ao Professor Paulo

Ruffino pela ajuda na corre¸c˜ao final. E a CAPES pelo apoio financeiro.

Introdu¸

c˜

ao

A Geometria Riemanniana surgiu a partir de uma desenvolvimento natural da

geome-tria das superf´ıcies do R3_{. Muitos dos resultados sobre superf´ıcies foram obtidos por Gauss}

no trabalho intitulado: Disquisitiones Investigations of Curved Surfaces. Nele, Gauss definiu uma forma quadr´atica chamada primeira forma fundamental a qual nos permite calcular os

comprimentos de linhas sobre a superf´ıcie, achar as geod´esicas e calcular a curvatura gaussiana

- tudo isso sem considerar o espa¸co onde a superf´ıcie se encontra. Em suma, Gauss mostrou

como estudar a geometria da superf´ıcie operando exclusivamente sobre a pr´opria superf´ıcie.

Em 1854, Riemann em sua conferˆencia On the Hypotheses which lie at the Foundatios of Geometry, generalizou as id´eias de Gauss. Usando uma linguagem intuitiva, sem defini¸c˜oes precisas nem demonstra¸c˜oes cuidadosas, Riemann introduziu o que hoje chamamos uma

var-iedade de dimens˜ao n (um objeto que generaliza a no¸c˜ao de superf´ıcie para qualquer dimens˜ao

e sem men¸c˜ao a um espa¸co ambiente) e postulou que uma geometria era um modo de medir

comprimentos em uma tal variedade. Para cada ponto desta, ele impˆos uma distˆancia (m´etrica)

e examinou a no¸c˜ao de curvatura. A audaciosa concep¸c˜ao de Riemann n˜ao foi bem entendida

em sua ´epoca, e s´o lentamente se desenvolveu o que hoje chamamos Geometria Riemanniana.

O conceito formal de variedade s´o apareceu em 1913 devido a H. Weyl.

Dois pontos importantes no desenvolvimento da Geometria Riemanniana foi a Teoria

da Relatividade (1916) que ´e completamente baseada nas id´eias de Riemann e o teorema de

Whitney (1935) que prova o seguinte: Toda variedade diferenci´avel de dimens˜ao n pode ser im-ersa no R2n−1

e mergulhada no R2n_{. Este resultado mostra que variedades podem ser tratadas}

Outro extraordin´ario avan¸co para a Geometria aconteceu quando Levi-Civita (1917)

interpretou o c´alculo do tensor de Ricci como uma descri¸c˜ao anal´ıtica de um conceito que ele

chamou de transporte paralelo. NoRn_{, isto corresponde a mover um vetor para um ponto}

qual-quer ao longo de uma curva, mantendo sua dire¸c˜ao e seu m´odulo. Neste trabalho estudaremos

a rela¸c˜ao entre o transporte paralelo e trˆes estruturas geom´etricas: a conex˜ao afim, a conex˜ao

Riemanniana e a conex˜ao em um fibrado principal.

A conex˜ao afim foi definida primeiro por Christoffel (1869) sendo um conjunto de

s´ımbolos {k

ij} ou Γkij associados a um sistema de coordenadas sobre a variedade. O ponto de

vista moderno ´e devido a Koszul. No caso de superf´ıcies emR3 _{existe um conceito equivalente,}

chamado derivada covariante, que pode ser descrito como segue.

Consideremos S ⊂ R3 _{uma superf´ıcie regular, c: I → S e V : I → R}3 _{um campo de}

vetores tangentes a S ao longo de c. Em geral, o vetor dV

dt(t) n˜ao pertence ao plano tangente Tc(t)S, por isso considera-se o vetor obtido ao projetar ortogonalmente sobre Tc(t)S, que se

de-nota por DV

dt (t). Este vetor se denomina a derivada covariante de V em c(t), e sua importˆancia

est´a no fato que a derivada covariante ´e um conceito intr´ınseco da superf´ıcie, pois s´o depende da 1a

forma fundamental. Seguindo esta linha, dizemos que um campo de vetores V ´e paralelo se dV_dt ≡0.

´

E interessante mencionar que apesar de usarmos o conceito de derivada covariante

para definir o paralelismo, historicamente n˜ao foi isso que aconteceu. Em termos de superf´ıcie

podemos construir geometricamente o transporte paralelo como segue. Considere a fam´ılia de

planos tangentes a S ao longo de c. Esta fam´ılia determina uma superf´ıcie chamada a

envol-vente da fam´ılia de planos tangentes aS ao longo de c. Em uma vizinhan¸ca de c, a envolvente

´e uma superf´ıcie regular Σ a qual ´e tangente aS ao longo dece tem curvatura gaussiana

iden-ticamente nula. O teorema de Minding diz que uma superf´ıcie com curvatura gaussiana igual

a zero ´e isom´etrica a um plano. E uma vez que o paralelismo ´e uma isometria, para obtermos

o transporte paralelo de um vetor ao longo de uma vizinhan¸ca de c, tomamos o transporte

3

Em seu trabalho, Riemann deixou claro que o conceito fundamental em geometria ´e o

que hoje em dia denominamos m´etrica Riemanniana. Esta possibilita definir o comprimento de

uma curva e a ´area de uma regi˜ao contidas em uma variedade. Podemos adicionar uma m´etrica a

qualquer variedade usando a parti¸c˜ao da unidade. Uma variedade Riemanniana ´e uma variedade

diferenci´avel provida de uma m´etrica. Por volta de 1956 o matem´atico americano John Nash

provou que: Toda variedade Riemanniana pode ser mergulhada isometricamente em algum Rn_.

Isto significa que toda variedade Riemanniana pode ser visualizada como uma subvariedade do

espa¸co euclidiano. O Lema Fundamental da Geometria Riemanniana (Levi-Civita) afirma que

a escolha de uma m´etrica determina unicamente uma conex˜ao afim associada a ela chamada a

conex˜ao Riemanniana. E neste caso, como mostraremos, o transporte paralelo ´e uma isometria.

A importˆancia do transporte paralelo foi percebida por Cartan (1928) que elaborou

uma teoria completamente diferente: o m´etodo do referencial m´ovel. Por´em esta teoria s´o ´e

facilmente entendida quando usamos o operador ∇que historicamente apareceu muito depois,

por volta de 1954. A id´eia b´asica da teoria de Cartan ´e expressar os resultados em termos de

campos de vetores arbitr´arios e n˜ao apenas dos “naturais”Xi =∂/∂xi. O livro “The Theory of Groups of Lie”(1946) de Chevalley ajudou no entendimento dos conceitos e nota¸c˜oes dando um efeito not´avel a situa¸c˜ao corrente. Mas a compreens˜ao total do trabalho s´o foi obtida quando

surgiu a no¸c˜ao de conex˜ao em fibrados formulada por volta de 1950 por Ehresmann. Um fibrado

principal pode ser visto localmente como o produto de duas variedades diferenci´aveis sendo uma

delas um grupo de Lie que age sobre uma outra. Esta estrutura de “produto local”legitima

o uso da propriedade de levantamento de caminhos da Topologia. E sob o ponto de vista

geom´etrico determinar uma conex˜ao em um fibrado equivale a determinar uma ´unica dire¸c˜ao

para o levantamento. Temos, ent˜ao que, em um fibrado, a estrutura de transporte paralelo ´e

“substitu´ıda”pela propriedade de levantamento ´unico de caminhos.

A seguir descreveremos o conte´udo de cada cap´ıtulo desta disserta¸c˜ao.

No Cap´ıtulo 1 citaremos algumas defini¸c˜oes, nota¸c˜oes e resultados da Geometria

Rie-manniana. Definiremos um fibrado principal a partir de um exemplo: o fibrado do referenciais.

Pretendemos com isso obter resultados mais rapidamente e facilmente e assim desenvolver nossa

No Cap´ıtulo 2 apresentaremos a conex˜ao afim e o transporte paralelo e mostraremos

que esses dois conceitos s˜ao equivalentes.

No Cap´ıtulo 3 definiremos uma m´etrica Riemanniana sobre uma variedade diferenci´avel.

Veremos que toda m´etrica Riemanniana d´a origem a uma conex˜ao afim chamada conex˜ao

Rie-manniana e neste caso o transporte paralelo ´e uma isometria.

No Cap´ıtulo 4 retornaremos ao m´etodo usado no in´ıcio e mostraremos que a no¸c˜ao de

transporte paralelo em uma variedade ´e equivalente a propriedade de levantamento ´unico de

caminhos equivariante no fibrado dos referenciais. Definiremos uma conex˜ao em um fibrado

principal e provaremos que ela tamb´em ´e equivalente a propriedade de levantamento ´unico de

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Neste cap´ıtulo apresentaremos as principais defini¸c˜oes e as nota¸c˜oes que ser˜ao usadas

ao longo do texto, as variedades consideradas ser˜ao sempre diferenci´aveis, de Hausdorff e com

base enumer´avel. A palavra diferenci´avel significar´a de classeC∞

.

Primeiro algumas nota¸c˜oes:

M: variedade diferenci´avel de dimens˜ao n;

TpM: espa¸co tangente aM no ponto p∈M;

X(M): o espa¸co vetorial de todos os campos de vetores diferenci´aveis emM;

C∞

(M): conjunto das fun¸c˜oes reais diferenci´aveis em M .

Listaremos agora algumas defini¸c˜oes e resultados b´asicos da Geometria Riemanniana.

SejamM eN variedades diferenci´aveis, possivelmente de dimens˜oes diferentes ef uma

aplica¸c˜ao (de um conjunto aberto) deM em N. Sejam (U, φ) e (V, ψ) parametriza¸c˜oes paraM

eN empef(p) respectivamente. Ent˜aof´e ditadiferenci´avelemp, seψ◦f◦φ−1

´e diferenci´avel

em φ(p).

Umacurva em M ´e uma aplica¸c˜ao diferenci´avel α:I →M, ondeI ⊂R_{´e um intevalo}

aberto. O vetor tangente aαemt=t0 ser´a indicado por ˙α(t0). Com frequˆencia consideraremos

curvas com dom´ınio compacto. Neste caso um vetor tangente a α em um extremo ´e o vetor

tangente a qualquer extens˜ao diferenci´avel deα em um aberto contendo o compacto.

Uma curva integral de um campo de vetoresX ´e uma curva α para qual ˙α(t) =Xα(t)

para todo t. O teorema de existˆencia e unicidade das equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias garante

que para todo p ∈ M, um campo de vetores X tem uma curva integral α definida em algum

intervalo (−ǫ, ǫ) com α(0) = p. E ´e ´unica no sentido que se β : (−δ, δ) → M tamb´em ´e uma

curva integral deX com β(0) =p, ent˜ao α(t) = β(t) para todo t∈(−ǫ, ǫ)∩(−δ, δ).

Para X e Y em X(M), o campo de vetores chamado de colchete de Lie de X e Y, ´e definido por

[X, Y]_pf =Xp(Y f)−Yp(Xf) , ∀f ∈C

∞

(M).

Umcampo de vetores ao longo de uma curva α:I →M ´e uma aplica¸c˜aoY que associa a cadat ∈I um vetor Yα(t) em Tα(t)M tal que para todaf ∈C∞(M),t→Yα(t)f ´e uma fun¸c˜ao

real diferenci´avel emI.

Uma m´etrica Riemanniana h,i para M ´e uma correspondˆencia que associa a cada pontop∈ M um produto interno h,i_p (isto ´e, uma forma bilinear sim´etrica, positiva definida)

no espa¸co tangente TpM, que ´e diferenci´avel no seguinte sentido: para quaisquer campos de

vetores diferenci´aveisX e Y em M, a fun¸c˜aop→ hXp, Ypi_p deM em R´e diferenci´avel .

Destacamos as pr´oximas defini¸c˜oes por elas serem fundamentais para o ´ultimo cap´ıtulo.

1.1 Defini¸c˜ao. Um grupo de Lie´e uma variedade G com uma estrutura de grupo de tal modo que as aplica¸c˜oes:

G×G −→ G e G −→ G

(x, y) 7−→ x·y x 7−→ x−1

7

Decorre imediatamente da defini¸c˜ao que, num grupo de Lie G, as aplica¸c˜oes

Lg : G −→ G e Rg : G −→ G

h 7−→ gh h 7−→ hg,

s˜ao difeomorfismos, para cada g ∈ G. Estas aplica¸c˜oes s˜ao chamadas respectivamente

transla¸c˜ao `a esquerda por g e transla¸c˜ao `a direita por g. Indicaremos por e o elemento identi-dade de G.

Existem muitos exemplos de grupos de Lie, mas um, pelo seu papel de destaque para

a compreens˜ao do conceito de fibrado, nos interessa em particular. Passaremos a decrevˆe-lo.

1.1 Exemplo (Grupo linear geral). Seja G= Gl(n,R_{) o grupo das matrizes reais n×n n˜ao}

singulares. Podemos identificar G com um aberto em Rn2

via a aplica¸c˜ao determinante por:

G={A∈MnR_{; det(A)6= 0}}

Portanto, G´e uma n2_-variedade.

Al´em disso, a estrutura de grupo ´e consistente com a estrutura diferenci´avel: as fun¸c˜oes

(A, B) 7→ AB de G×G em G e B 7→ B−1

de G em G s˜ao aplica¸c˜oes diferenci´aveis entre variedades. Considerando G como um subconjunto de Rn2

, as fun¸c˜oes coordenadas de Rn2

fornecem coordenadas locais para G em uma vizinhan¸ca para qualquer A ∈G. As coordenadas de AB (ou B−1

) s˜ao somas de produtos das coordenadas de A e B (ou fun¸c˜oes racionais apenas das coordenadas de B), portanto todas as derivadas parciais destas aplica¸c˜oes existem e s˜ao cont´ınuas. Assim G´e um grupo de Lie.

1.2 Defini¸c˜ao. ConsidereGum grupo de Lie, P uma variedade e uma aplica¸c˜ao de P×G em

P (denotada por (p, g)7→pg_{). Dizemos que G age em P pela direita (via esta aplica¸c˜ao) se:}

(i) a aplica¸c˜ao Rg :P →P definida por Rg(b) =bg _{´e um difeomorfismo para todo g ∈G.}

(ii) (bg₎h _=bgh_{, para todos b ∈P e g, h∈G.}

Dizemos que G age livremente se bg _{= b,para algum b ∈P, ent˜ao g =e. Dois pontos} a e b em P s˜ao ditos equivalentes sob (a a¸c˜ao de) G se a=bg_{, para algum g ∈G.}

Um exemplo importante de uma a¸c˜ao livre de um grupo de Lie sobre uma variedade

´e a a¸c˜ao de G = Gl(n,R_{) sobre a variedade L(M) chamada fibrado dos referenciais, as quais}

passaremos a descrever.

1.2 Exemplo (Fibrado dos referenciais). Um referencial em M ´e um ponto p∈M (chamado a origem do referencial) juntamente com uma base para TpM. Seja L(M) a cole¸c˜ao de todos

os referenciais emM:

L(M) = {(p, X1, . . . , Xn);p∈M e{Xi}´e uma base paraTpM}

L(M) ´e chamado de fibrado dos referenciais de M. Vamos munir L(M) de uma es-trutura diferenci´avel. Sejaπ :L(M)→M dada por

π[(p, X1, . . . , Xn)] =p

Sejam (Uγ, φγ) uma parametriza¸c˜ao para M e Vγ =π−1(Uγ), isto ´e, Vγ ={(p, X1, . . . , Xn)∈L(M)/ p∈Uγ}

Para qualquer ponto p em Uγ , {_∂x∂₁|p, . . . ,_∂x∂

n|p} ´e uma base para TpM. Uma vez

que dadas duas bases de um espa¸co vetorial (no nosso caso TpM) diferem por uma matriz n˜ao singular, dado qualquer referencial(p, X1, . . . , Xn), existe uma matrizA= [aij] em Gl(n,R) tal

queA leva {_∂x∂

9

Xi =X

j aij ∂ ∂xj ¯ ¯ ¯ ¯ p

Definiremos uma parametriza¸c˜ao para L(M) sendo o par (Vγ,φγe ), onde φγe : Vγ →

Rn+n2

dada por

e

φ[(p, X1, . . . , Xn)] = (x1(p), . . . , xn(p), a11, . . . , ann).

Se Vγ∩Vδ 6=∅, temos

e φδ◦φe−1

γ (x1, . . . , xn, a11, a12, . . . , ann) =

=φδe ¡φ−1

γ (x1, . . . , xn), dφ

−1

γ (a11, a12, . . . , a1n), . . . , dφ

−1

γ (an1, an2, . . . , ann)

¢

=

=¡φδ◦φ−1

γ (x1, . . . , xn),

¡

dφδ◦dφ−1

γ ¢

(a11, a12, . . . , a1n), . . . , ¡

dφδ◦dφ−1

γ ¢

(an1, an2, . . . , ann)

¢

=

=¡φδ◦φ−1

γ (x1, . . . , xn), d

¡

φδ◦φ−1

γ ¢

(a11, a12, . . . , a1n), . . . , d ¡

φδ◦φ−1

γ ¢

(an1, an2, . . . , ann)

¢

e ent˜ao φδe ◦φe−1

γ ´e uma aplica¸c˜ao diferenci´avel de φγe (Vγ∩Vδ) em φδe(Vγ∩Vδ).

Com as cartas dadas, L(M) ´e uma variedade diferenci´avel de dimens˜ao n+n2_.

Agora uma a¸c˜ao livre de G sobre L(M) ´e dada pela aplica¸c˜ao

Φ :L(M)×G−→L(M)

Φ((p, X1, . . . , Xn), A) =

à p,X

j

aj1Xj, . . . ,

X

j

ajnXj !

onde A= [aij]∈G

Para b ∈ L(M) escreveremos bA _{no lugar de Φ(b, A). ´E f´acil ver que para todo b ∈} L(M),

(bA₎B _=bAB_{, ∀ A, B em G e}

L(M) ´e um tipo especial de fibrado, chamado fibrado principal, o qual definiremos a

seguir.

1.3 Defini¸c˜ao. Um fibrado principal(P, M, G) consiste de duas variedades P(o espa¸co total ou espa¸co fibrado ) e M(o espa¸co base), um grupo de Lie G (o grupo estrutural), e uma aplica¸c˜ao diferenci´avel π :P →M tal que:

(i) G age livremente em P.

(ii) M ´e o espa¸co quociente de P sob a a¸c˜ao de G, de forma que π(b) =π(a) se e s´o sea e b

s˜ao equivalentes sob a a¸c˜ao de G.

(iii) P ´e localmente trivial, isto ´e: Para cada p ∈ M existe uma vizinhan¸ca U de p e um difeomorfismo ψπ−1

(U)→U×G da forma :

ψ(b) = (π(b), FU(b))

onde FU satisfaz FU(bg_{) =FU(b)g.}

Para p ∈ M, π−1

(p) ´e chamada a fibra sobre p. As fibras s˜ao difeomorfas a G, via a aplica¸c˜ao: b : G → π−1

(π(b)) ⊂ P definida por b(g) = Rgb. Observe que P ´e

local-mente o produto deM e G, mas em geral, P n˜ao precisa ser difeomorfa a M ×G (Em geral,

11

1.3 Exemplo(Fibrado Principal Trivial). SejamP =M×G, π:M×G→M a proje¸c˜ao da primeira coordenada, e uma a¸c˜ao de Gem P dada por (p, a)b _{= (p, ab). Neste caso a aplica¸c˜ao} t ´e a identidade e (M×G, M, G)´e um fibrado principal.

1.4 Exemplo(Fibrado canˆonicoC∗

sobreC_Pn_{). SejamP =C}n+1_{− {0}(o (n+1)-espa¸co}

com-plexo menos a origem) e G = C∗

. O n-espa¸co projetivo complexo C_Pn _{´e definido da seguinte}

forma: dizemos que para z1 e z2 em P, z1 ∼z2 se existe λ∈G tal que z1 =λz2. Ent˜ao o

con-junto C_Pn _{das ∼- classes de equivalˆencia de P ´e uma 2n- variedades e (C}n+1_{− {0},CP}n_,C∗

)

´e um fibrado principal.

1.5 Exemplo (Espa¸cos de Recobrimento). Sejam Po espa¸co de recobrimento universal para

M, π : P → M a aplica¸c˜ao de recobrimento, e G o grupo da transforma¸c˜oes de recobrimento (com a toplogia discreta).

O que fizemos acima foi a partir de um exemplo (fibrado dos referenciais) chegar a

um conceito (fibrado principal), pretendemos com isso obter resultados mais rapidamente e

facilmente. E assim esperamos desenvolver suficientemente a intui¸c˜ao geom´etrica para que,

Geometria de uma conex˜

ao afim

Neste cap´ıtulo apresentaremos a primeira estrutura geom´etrica: a conex˜ao afim. Esta

nos permite derivar um campo de vetores sobre uma variedade em rela¸c˜ao a um outro. Veremos

que os conceitos de conex˜ao afim e de transporte paralelo ao longo de curvas podem ser obtidos

um do outro via equa¸c˜oes diferenciais.

2.1 Defini¸c˜ao. Uma conex˜ao afim ´e uma aplica¸c˜ao:

∇ : X(M)× X(M) −→ X(M)

(X, Y) 7−→ ∇XY

que satisfaz as seguintes propriedades:

(i) ∇X+YZ =∇XZ+∇YZ;

(ii) ∇f XY =f∇XY;

(iii) ∇X(Y +Z) = ∇XY +∇XZ;

(iv) ∇X(f Y) =f∇XY + (Xf)Y.

´

E importante notar que dada uma variedade existem muitas conex˜oes afins, do ponto

de vista geom´etrico isso quer dizer que um espa¸co pode ter diferentes geometrias sobre ele.

Diremos que um campo de vetores Y ´e um campo de vetores paralelo ao longo deα se

∇α˙(t)Y = 0 para todo t∈I.

13

2.2 Lema. Um campo de vetores Y =P_jfj(∂/∂xj) ao longo de uma curva α ´e paralelo se, e

somente se, Y satisfaz o sistema de n equa¸c˜oes diferenciais

d(fk◦α)

dt + X

i,j

(fj◦α) dαi

dt Γ k

ij ◦α = 0, k= 1, . . . , n

Prova. SeY =P_jfj(∂/∂xj), ent˜ao∇α˙(t)Y = 0 se, e somente se, ∇P_iα˙iXi

X

j

fjXj = 0

X

i

˙

αi∇Xi

X

j

fjXj = 0

X

i,j

˙

αi∇XifjXj = 0

X

i,j

˙

αi(fj∇XiXj +Xi(fj)Xj) = 0

X

i,j

( ˙αifj∇XiXj+ ˙αiXi(fj)Xj) = 0

X

i,j "

˙

αiXi(fj)Xj+ X

k

˙

αifjΓkijXk #

= 0

X

i,j

˙

αiXi(fj)Xj +X

i,j "

X

k

˙

αifjΓk_ijXk #

= 0.

Trocando j pork na primeira soma

X

i,k

˙

αiXi(fj)Xj +X

i,j "

X

k

˙

αifjΓk_ijXk # = 0 X k " X i ˙

αiXi(fj)Xj + X

i,j

˙

αifjΓkijXk #

Xk = 0.

Avaliando o lado esquerdo emxk

X

i "

˙

αiXi(fk) + X

j

˙

αifjΓkij #

= 0.

Portanto

d(fk◦α)

dt + X

i,j

fjα˙iΓkij = 0, k = 1, . . . , n

d(fk◦α)

dt + X

i,j

(fj ◦α)dαi

dt Γ k

⊔ ⊓

Os pr´oximos dois teoremas s˜ao essenciais para o ´ultimo cap´ıtulo. O primeiro ´e um

teorema de existˆencia.

2.3 Teorema. Sejam α uma curva em M e p=α(0). Para cada Xp ∈TpM, existe um ´unico campo de vetores Y definido ao longo de α tal que Y ´e paralelo ao longo de α e Xp =Yp. Prova. Inicialmente suponha que α(I) esteja contida numa vizinhan¸ca coordenadaU de α(0). Podemos escrever

x(α(t)) = (α1(t), . . . , αn(t)) e

˙

α(t) = X

i

(dαi/dt)(∂/∂xi).

Podemos tamb´em escrever

∇∂/∂xi∂/∂xj =

X

k

Γk

ij(∂/∂xk)

para as n3 _{fun¸c˜oes Γ}k ij ∈C

∞

(U). Temos ent˜ao queY =P_jfj(∂/∂xj) ser´a paralelo se,

e s´o se,

d(fk◦α)

dt + X

i,j

(fj◦α)dαi

dt Γ k

ij ◦α= 0, k= 1, . . . , n (⋆)

for v´alida. Mas (⋆) ´e um sistema linear de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias e sujeito a condi¸c˜ao

que os fk◦ α(0) s˜ao dados pelas componentes de Xp , teremos (fk ◦α)(t) para todo t ∈ I.

Portanto existe um ´unico campo de vetoresY com as propriedades desejadas.

Para provar o caso geral observe que, por compacidade, α(I) ⊂ M pode ser coberto

por um no _{finito de vizinhan¸cas coordenadas, em cada uma das quaisY pode ser definido, pelo}

que foi provado acima. Pela unicidade, as defini¸c˜oes coincidem nas interse¸c˜oes n˜ao vazias, o

que permite definir Y para I. ⊔⊓

Os Γk

15

2.4 Defini¸c˜ao. Um isomorfismo τα(t) :Tα(0)M −→Tα(t)M, tal que para todo Xα(0) ∈Tα(0)M,

temos

(i) a aplica¸c˜ao t→τα(t)Xα(0) ´e diferenci´avel e

(ii) para toda A∈Gl(n,R_),

τα(t)(AXα(0)) =A(τα(t)Xα(0))

´e chamado transporte paralelo ao longo de α.

Nota: Sex1, . . . , xn formam um sistema de coordenadas em uma vizinhan¸ca de

α(t0), podemos escrever

τα(t)(Xα(0)) =

X

i

ai(t) ∂

∂xi|α(t)

para t em uma vizinhan¸ca de t0, onde os ai’s s˜ao fun¸c˜oes reais. Dizer que

t →τα(t)Xα(0)´e diferenci´avel significa que osai’s s˜ao diferenci´aveis nesta vizinhan¸ca.

Retornando a campo de vetores paralelos ao longo deαe a nota¸c˜ao do teorema anterior,

considere a seguinte aplica¸c˜ao

τα(t) : Tα(0)M −→ Tα(t)M

τα(t)(Xp) = Yα(t)

Veremos a seguir que esta aplica¸c˜ao ´e de fato um transporte paralelo ao longo de α.

2.5 Teorema. τα(t) ´e um isomorfismo de Tα(0)M em Tα(t)M.

Prova. Sejam Yα(t) eWα(t) em Tα(t)M tais que

Yα(t)=τα(t)(Yp) e Wα(t) =τα(t)(Wp).

Podemos escrever

Yα(t) =

X

k

(fk◦α)(t)∂/∂xj,

ondefk◦α´e solu¸c˜ao da EDO

d(fk◦α)

dt + X

i,j

(fj◦α)dαi

dt Γ k

com a condi¸c˜ao inicial de fk◦α(0). Analogamente temos que

Wα(t)=

X

k

(gk◦α)(t)∂/∂xj,

ondegk◦α ´e solu¸c˜ao da EDO:

d(gk◦α)

dt + X

i,j

(gj◦α) dαi

dt Γ k

ij ◦α= 0

com a condi¸c˜ao inicial de gk◦α(0). Ent˜ao o sistema

 



d(hk◦α)

dt + P

i,j(hj ◦α)dα_dtiΓkij ◦α= 0 hk◦α(0) =fk◦α(0) +gk◦α(0)

tem como ´unica solu¸c˜ao hj◦α(t) = (fj+gj)(α(t)) =fj◦α(t) +gj ◦α(t). E uma vez

quefk◦α(0) +gk◦α(0) ´e dada pelas coordenadas de Yp+Wp, conclu´ımos que

τα(t)(Yp+Wp) =

X

k

(fk+gk)(α(t))∂/∂xj

= X

k

(fk◦α(t))∂/∂xj +X

k

(gk◦α(t))∂/∂xj

= Yα(t)+Wα(t)

Analogamente podemos provar que τα(t)(λYp) = λYα(t)

Pelo teorema 2.3 τα ´e injetiva e sua inversa ´e o transporte paralelo ao longo da por¸c˜ao

deα det a 0. Portantoτα ´e um isomorfismo. ⊔⊓

Usando transporte paralelo podemos comparar os espa¸cos tangentes em dois pontos

quaisquer de M que possam ser ligados por uma curva α. Explicitamente, podemos definir

Πα(t1)

α(t0) = τα(t1)◦τ

−1

α(t0) : Tα(t0)M → Tα(t1)M que ´e claramente um isomorfismo e, em geral,

de-pende de α. Esta possibilidade de “compara¸c˜ao”entre espa¸cos tangentes em pontos diferentes

´e que deu origem ao termo conex˜ao.

O transporte paralelo τα ´e definido em termos de ∇, mas podemos fazer o contr´ario.

De fato, o teorema a seguir diz que o transporte paralelo ´e apenas uma vers˜ao global de conex˜ao

17

2.6 Teorema. Determinar uma conex˜ao afim em uma variedadeM ´e equivalente a determinar para cada curva α um transporte paralelo.

Prova. Vimos no teorema anterior que toda conex˜ao afim d´a origem a um transporte paralelo. Se temos um transporte paralelo, ent˜ao dados X e Y ∈ X(M), seja α uma curva integral de

Xp com α(0) = pe ˙α(0) =Xp. Ent˜ao definimos

(∇XY)(p) = lim t→0

1

t(τ

−1

α(t)Yα(t)−Yp)

Sejam V1, . . . , Vn campos de vetores paralelos ao longo de α os quais s˜ao L.I. em α(0),

e assim em todos os pontos de α. Seja

Yα(t) =

X

i

γi(t)Vi(t)

Ent˜ao

lim

t→0

1

t ³

τ−1

α(t)Yα(t)−Yp

´

= lim

t→0

1

t "

X

i=1

γi(t)τ−1

α(t)Vi(t)−γi(0)Vi(0)

#

= lim

t→0

1

t "

X

i=1

γi(t)Vi(0)−γi(0)Vi(0)

#

= X

i=1

lim

t→0

·

γi(t)−γi(0)

t Vi(0) ¸

= X

i=1

dγi(0)

dt Vi(0)

= ∇XY(p).

⊔ ⊓

Devido ao teorema anterior, podemos dizer que o transporte paralelo ´e uma estrutura

geom´etrica. Vamos usar esta interpreta¸c˜ao de estrutura geom´etrica para motivar a defini¸c˜ao de

Geometria de uma conex˜

ao

Riemanniana

Neste cap´ıtulo adicionaremos a uma variedade M uma estrutura, a m´etrica

Rieman-niana, que torna M um espa¸co m´etrico. A especifica¸c˜ao de uma m´etrica n˜ao ´e unicamente

determinada, contudo uma tal m´etrica tem automaticamente uma ´unica conex˜ao associada a

ela.

Uma variedade diferenci´avel M provida de uma m´etrica Riemanniana ´e chamada

var iedade Riemanniana. Podemos adicionar uma m´etrica Riemanniana a qualquer variedade diferenci´avel usando a parti¸c˜ao da unidade.

A seguir definiremos uma conex˜ao∇ em uma variedade Riemanniana determinando o

produto interno de ∇XpY e Zp para todos campos de vetores X, Y e Z em todos os pontos

p∈M.

3.1 Defini¸c˜ao. Uma conex˜ao∇ Riemanniana ou Levi-Civita em uma variedade Riemanniana

M ´e definida pela express˜ao abaixo

2­∇XpY, Zp

®

p = XphY, Zip+YphX, Zip−ZphX, Yip

+h[X, Y]p, Zp i_p +h[Z, X]p, Yp i_p+h[Z, Y]p, Xp i_p

para todos X, Y, Z ∈ X(M)ep∈M

19

Em uma vizinhan¸ca U de p ∈ M denote por Xi o campo de vetores ∂/∂xi. Ent˜ao

[Xi, Xj] = 0 e a express˜ao anterior torna-se

2h∇XiXj, Xki=XihXj, Xki+XjhXk, Xii+XkhXi, Xji

em U. Pode-se mostrar que ∇ satisfaz a condi¸c˜ao para ser uma conex˜ao afim.

Esta escolha de ∇´e parcialmente justificada pelo seguinte teorema.

3.2 Teorema. Lema Fundamental da Geometria Riemanniana

A conex˜ao ∇ definida acima ´e a ´unica conex˜ao em M satisfazendo

(i) XhY, Zi=h∇XY, Zi+hY,∇XZi.

(ii) [X, Y] =∇XY − ∇YX

para todos X, Y, Z ∈ X(M). Prova. Considere as equa¸c˜oes

(1) 2h∇XY, Zi = XhY, Zi+Y hX, Zi −ZhX, Yi

+ h[X, Y], Z i+h[Z, X], Y i+h[Z, Y], X i

(2) 2h∇XZ, Yi = XhY, Zi+ZhX, Yi −Y hX, Zi

+ h[X, Z], Y i+h[Y, X], Z i+h[Y, Z], X i

Somando (1) e (2), obtemos

2h∇XY, Zi+ 2h∇XZ, Yi= 2XhY, Zi

Portanto(i) ´e satisfeita. E para mostrar (ii) considere

(3) 2h∇YX, Zi = Y hX, Zi+XhY, Zi −ZhY, Xi

+ h[Y, X], Z i+h[Z, Y], X i+h[Z, X], Y i

De (1) e (3), temos

2h∇XY, Zi − 2h∇YX, Zi = h[X, Y], Z i − h[Y, X], Z i

Portanto

h∇XY, Zi − h∇YX, Zi = h[X, Y], Z i

E assim

∇XY, Z− ∇YX = [X, Y]

⊔ ⊓

Uma conex˜ao afim satisfazendo (i)´e chamada umaconex˜ao compat´ıvel com a m´etrica. Ela expressa a derivada direcional da m´etrica em termos da conex˜ao afim, mas isto tem mais

significado. Vimos no cap´ıtulo anterior que o operador transporte paralelo ´e uma parte cr´ıtica

da geometria de uma conex˜ao. Sendo uma m´etrica Riemanniana nada mais que um produto

interno, temos que o operador mais compat´ıvel com a m´etrica Riemanniana ´e uma isometria,

isto ´e, a aplica¸c˜aoτ :TpM →TqM tal quehτ(Xp), τ(Yp)i_q =hXp, Ypi_p. Portanto uma conex˜ao

afim natural em uma variedade Riemanniana deve ter a propriedade que o transporte paralelo

´e uma isometria.

A pr´oxima proposi¸c˜ao nos diz que este ´e de fato o caso para uma conex˜ao Riemanniana.

3.3 Teorema. O transporte paralelo ´e uma isometria se, e somente se, ∇ ´e compat´ıvel com a m´etrica.

Prova. Suponha que ∇´e compat´ıvel com a m´etrica e sejaα uma curva emM. Para Y eZ em

Tα(0)M, denote porYt eZt seus transportes paralelos,τα(t)Y eτα(t)Z respectivamente, emα(t).

Temos

˙

α(t)hY, Zi=­∇α˙(t)Y, Z

®

+­∇Y,α˙(t)Z

®

= 0

pois Y e Z s˜ao paralelos ao longo de α. Da´ı

0 = ˙α(t)hY, Zi= d

dt hYt, Ztiα(t)

e ent˜ao hYt, Zti_α(t) ´e constante. Em outras palavras

hYt, Zti_α(t) =hY, Zi_α(0)

21

Suponha queτα(t)´e uma isometria para uma curvaαqualquer e sejaXpem TpM. Para

verificar (i) em p, seja α uma curva qualquer com α(0) = p e ˙α(0) = Xp. Ambos os lados de

(i) dependem de Y eZ ao longo de α.

Primeiro consideraremos o caso que Y e Z s˜ao campos de vetores paralelos ao longo

deα. Ent˜ao

XphY, Zi= ˙α(0)hY, Zi= d

dt ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ­

Yα(t), Zα(t)

®

α(t)= 0

uma vez que hY, Zi ´e constante ao longo de α. Temos ent˜ao que o lado esquerdo de

(i)´e zero. E o lado direito (i) tamb´em ´e igual a zero pois ∇XpY = 0 e ∇XpZ = 0. Logo, neste

caso, ∇´e compat´ıvel com a m´etrica.

Agora consideraremos o caso que Y e Z s˜ao campos de vetores arbitr´arios. Seja {Xi}

uma base ortonormal paraTpM e denote por {Xi(t)}seu transporte paralelo ao longo de α(t).

Uma vez que transporte paralelo ´e uma isometria,{Xi(t)}´e uma base ortonormal paraTα(t)M.

Os campos de vetores diferenci´aveis Y eZ ao longo deα podem ser expressos

Yα(t)=

X

i

ai(t)Xi(t) e Zα(t) =

X

i

bi(t)Xi(t)

onde os ai’s e bi’s s˜ao diferenci´aveis. Ent˜ao

XphY, Zi = α˙(0)hY, Zi

= d dt ¯ ¯ ¯ ¯ t=0 ­

Yα(t), Zα(t)

® α(t)

= d dt ¯ ¯ ¯ ¯ t=0 * X i

ai(t)Xi(t), X

j

bj(t)Xj(t) +

α(t)

= d dt ¯ ¯ ¯ ¯ t=0 X i

ai(t)bi(t)

e

­

∇XpY, Zp

® p+

­

Yp,∇XpZ

® p = * X i ·

ai(0)∇XpXi+

dai dt ¯ ¯ ¯ ¯ t=0 Xi ¸ ,X j

bj(0)Xj + p + * X i

ai(0)Xi, X j

·

bj(0)∇XpXj+

­

∇XpY, Zp

® p+

­

Yp,∇XpZ

® p = * X i dai dt ¯ ¯ ¯ ¯ t=0 Xi, X j

bj(0)Xj + p + * X i

ai(0)Xi, X j dbj dt ¯ ¯ ¯ ¯ 0 Xj + p

porque ∇XpXi = 0. Desde que {Xi}´e base ortonormal, isto ´e igual a:

X i dαi dt ¯ ¯ ¯ ¯ 0

bi(0) +ai(0)dbi

dt ¯ ¯ ¯ ¯ 0

Cap´ıtulo 4

Geometria de uma conex˜

ao em um

fibrado principal

Neste cap´ıtulo apresentamos nossa ´ultima estrutura geom´etrica: a conex˜ao em um

fi-brado principal. Vimos no cap´ıtulo 2 que o conceito de conex˜ao afim leva naturalmente ao

conceito de transporte paralelo de vetores ao longo de uma curva. Veremos agora que em um

fibrado principal a no¸c˜ao de transporte paralelo ´e equivalente a propriedade de levantamento

´

unico de caminhos.

Come¸caremos descrevendo as no¸c˜oes b´asicas de um levantamento de caminhos no

fi-brado dos referenciais.

4.1 Defini¸c˜ao. Dizemos que uma curva αe :I →L(M) ´e um levantamento de α (α: I →M)

se π◦α_e = α. Para cada b ∈ π−1

(α(0)), αb_e ´e chamada um levantamento em b se juntamente

e

α(0) =b.

4.2 Defini¸c˜ao. Dizemos que uma fam´ılia de levantamentos αe em b ´e equivariante se satisfaz:

e

αbg(t) = [αbe(t)]g, ∀t∈I

A condi¸c˜ao acima significa que o levantamento de α em bg _{´e o levantamento de α em}

b sofrendo a a¸c˜ao de g em cada ponto.

O pr´oximo teorema diz que a estrutura geom´etrica em M de transporte paralelo ´e

precisamente a mesma que a de levantamento ´unico de caminhos equivariante de curvas emM

para curvas emL(M) com pontos iniciais espec´ıficos.

4.3 Teorema. Determinar um transporte paralelo τα ao longo de cada curva α ´e equivalente a determinar para cada curva α e cada b∈π−1

(α(0)) um ´unico levantamento equivariante αb˜ de

α em b.

Prova. Escrevendo b = (α(0), X1, . . . , Xn)∈π−1(α(0)), a correspondˆencia ´e dada por

τα(t)

à X

i ciXi

!

=X

i

ciYi(α(t))⇔αb˜ (t) = (α(t), Y1(α(t)), . . . , Yn(α(t)))

Supondo que cada curvaαtem um ´unico levantamento horizontal ˜αb em b, ˜αb(t) tem a

forma da direita, onde{Yi(α(t))}´e uma base para Tα(t)M. Ent˜ao definimos τα pela express˜ao

da esquerda. ´E f´acil checar que τα ´e independente da escolha deb e que τα ´e um isomorfismo.

Reciprocamente, dada τα(t) para cada curva α, ˜α ´e definida pelo lado direito.

Cer-tamente ˜αb ´e um levantamento de α em b uma vez que τα(0) ´e a identidade em Tα(0)M. A

equivariˆancia segue da defini¸c˜ao de transporte paralelo. ⊔⊓

4.4 Defini¸c˜ao. Se b ´e um ponto no espa¸co fibrado P, o conjunto Vb = {X ∈TbP|π∗(X) = 0}

´e chamado subespa¸co vertical em b.

Veja que a fibra π−1

(p) ´e uma subvariedade cujo espa¸co tangente em cada ponto b´e o

25

O fato deπ−1

(U) ser difeomorfo (viat) aU×Gpermite que qualquer caminho na base

de um fibrado seja levantado para o espa¸co total. De fato, se α ´e uma curva em U e h uma

fun¸c˜ao de U em G ent˜ao α_e(t) = t−1

(α(t), h◦α(t)) ´e um levantamento de α. A quest˜ao ´e que

o levantamento poderia se mover ao longo da fibra ou mudar de fibra. Fixaremos, ent˜ao, uma

´

unica dire¸c˜ao para o levantamento, definindo uma conex˜ao em um fibrado principal.

A partir de agora denotaremos porξum fibrado principal (P, M, G) e porna dimens˜ao

deM.

4.5 Defini¸c˜ao. Uma conex˜aoH emξ ´e uma aplica¸c˜ao que associa a cadab ∈P um subespa¸co

n-dimensional Hb ⊂TbP, chamado o subespa¸co horizontal em b, tal que para cada b,

(i) TbP =Vb⊕Hb

(ii) (Rg)∗Hb =Hbg, ∀g ∈G

(iii) Seh:TbP →Hb ´e a proje¸c˜ao eX ´e um campo de vetores em P, ent˜aohX ´e tamb´em um

campo de vetores em P (Esta ´e a condi¸c˜ao de diferenciabilidade em H).

Um vetor X ∈TbP ´e chamado de vertical (resp. horizontal) se est´a em Vb (resp. Hb). Uma vez queπ∗(X) = 0 se, e s´o se,X ´e vertical, temos que a restri¸c˜ao deπ∗ a qualquer

subespa¸co horizontalHb ´e injetiva, portanto um isomorfismo (por dimens˜ao) deHb sobreTpM.

4.6 Teorema. Determinar uma conex˜ao em ξ ´e equivalente a determinar para cada curva α

emM um ´unico levantamento equivariante de caminhos emP satisfazendo a seguinte condi¸c˜ao: Se α e β s˜ao curvas em M tais que α(0) =β(0) =p e α˙(0) = ˙β(0) ent˜ao αe˙(0) =βe˙(0)

Prova. Suponha que uma conex˜aoH ´e dada emξe sejaα uma curva simples emM (para uma prova sem essa suposi¸c˜ao sobreα, ver [1] ).

Para cada b∈π−1

(α(t)), sejaXb o ´unico vetor horizontal em b, o qual se projeta sobre

˙

subespa¸co horizontal.

Agora para b∈π−1

(α(0)), sejaα_eb a (´unica) curva integral deX tal queαe(0) =b.

Ob-serve queαbe est´a definida em [0, t0) para algumt0. Masαbe pode ser definida em todoI = [0,1].

Para isto, tome um levantamentoβedefinido em uma vizinhan¸ca de t0 (basta considerarmosβea

curva integral deX com uma condi¸c˜ao inicial qualquer). Escolha t1 < t0 de modo queβeesteja

definida em todo t1 e ent˜ao tome g ∈ G tal que αe(t1) =

h e β(t1)

ig

. Estendemos α_e al´em de t0

fazendoαe(t) =Rg◦βe(t). Obtemos, assim, uma curva diferenci´avelαbe que se projeta sobreα e

cujos vetores tangentes s˜ao horizontais.

Temos

(Rg)∗( ˙αbe (t)) = ˙αbeg(t) ⇒ [αbe (t)]

g _=Rg( e

αb(t)) = αbeg(t)

pela nossa constru¸c˜ao e da segunda condi¸c˜ao para H.

Agora suponha que temos um ´unico levantamento de caminhos. Para definir Hb para

b ∈ P, sejam α1, . . . , αn curvas em M tais que αi(0) = p = π(b) e {αie(0)} formam uma base

para TpM. (Os αi’s podem ser tomados sendo curvas integrais em uma base para TpM). Seja

e

αi o levantamento deαi em b. Defina Hb sendo o espa¸co gerado por{αi_e˙ (0)}.

Mostraremos que Hb ´e a imagem de uma aplica¸c˜ao linear de TpM em TbP, e portanto

um espa¸co vetorial. Para isso considerek :TpM −→TbP

v 7→kv =X

i

aiαie˙ (0), v =X

i

aiαi˙ (0)

27

Para λ∈R_{, temos}

k(λv) =k Ã

λX i

aiαi˙ (0)

!

=k Ã

X

i

λaiαi˙ (0)

!

=X

i

λaiαi_e˙ (0) =λX i

aiαi_e˙ (0) =λk(v)

E para v, w∈TpM, segue

k(v+w) =k(P_iaiαi˙ (0)+P_ibiαi˙ (0)) =k(P_i(ai+bi) ˙αi(0)) =P_iaiαie˙ (0)+P_ibiαie˙ (0) =

k(v) +k(w)

Portanto k ´e linear e k(TpM) = Hb, logo Hb ´e um subespa¸co linear de dimens˜ao

≤dim(M) =n.

Veja que

π∗kαi˙ (0) =π∗αie˙(0) =

˙

\

π◦αi_e(0) = ˙αi(0)

Assim π∗

¯ ¯

Hb ´e a inversa de k, e ent˜ao k ´e um isomorfismo (sobre sua imagem).

Por-tanto, dim(Hb) =n.

Se π∗(Hb) = TpM ent˜ao π∗(TbP) = TpM e j´a vimos que dim(Hb) =n, logo

dim(TbP) = dim(ker(π∗)) +dim(im(π∗))

= dim(Vb) +dim(TpM)

= dim(Vb) +dim(Hb)

Veja que Vb e Hb s˜ao disjuntos, logo dim(Vb ⊕Hb) =dim(Vb) +dim(Hb), segue ent˜ao

queTbP e Vb⊕Hb s˜ao isomorfos, da´ı

Temos que (Rg)∗(Hb) = Hbg, pois

(Rg)∗( ˙αei(0)) =

˙

\

Rg◦αei(0) ⇒(Rg)∗(Hb)⊂Hbg

E uma vez que (Rg)∗ ´e injetiva e dim(Hb) =dim(Hbg), temos

(Rg)∗(Hb) =Hbg

Hb ´e independente da escolha dosαi’s.

Suponha que β1, . . . , βn sejam tamb´em curvas emM tais que {βi˙ (0)} forma uma base

para TpM. Logo existe A= [aij]∈Gl(n,R) tal que

˙

βi(0) =X

j

aijαj˙ (0)

Da´ı

˙

e

β_i(0) =k³βi˙ (0)´=k Ã

X

j

aijαj˙ (0)

!

=X

j

aijk( ˙αj(0)) =X

j

aijαj_e˙ (0)

e uma vez que {αj_e˙ (0)} gera Hb temos que{βe˙_i(0)}tamb´em gera Hb.

Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

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