Geometria das Conexões

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Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matem´atica

Curso de Pós-graduação em Matemática Dissertação de Mestrado

Geometria das Conex˜

oes

Carla Lopes Dias

Salvador-Bahia Dezembro 2004

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Carla Lopes Dias

Disserta¸cão apresentada ao Colegiado do Curso de Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸cão do T´ıtulo de Mestre em Matemática.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Marco Antˆonio Nogueira Fernandes (Orientador)

Prof. Dr. Luiz Antonio Barrera San Martin

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Dias, C.

“A GEOMETRIA DAS CONEX ˜OES” / Carla Lopes Dias. Salvador-Ba, 2004.

Orientador: Dr. Marco Antˆonio Nogueira Fernandes (UFBA).

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao curso de Pós-graduacão em Matemática da UFBA, 30 páginas.

Palavras-Chave: Conex˜ao afim, conex˜ao Riemanniana, fibrado, levanta-mento de caminhos.

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“Nunca pense em desistir, n˜ao/ te aconselho a prosseguir/

o tempo voa, rapaz/ pegue seu sonho, rapaz/ a melhor hora e o momento ´e vocˆe quem faz/ recito poesias/ palavras de um rei: fa¸ca por onde que eu te ajudarei ”.

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A minha mãe, que sempre me apoiou e incentivou os meus estudos. Aos meus irmãos, que me incentivaram carinhosamente encorajando-me a prosseguir e dando-me for¸cas para vencer cada etapa e a meu pai, que infelizmente não pode estar presente neste momento tão importante da minha vida.

`

A professora Rita de Cássia, pela sua paciência e amizade, além de uma singular habil-idade de dizer as palavras certas, nos momentos certos, promovendo sempre for¸ca e motiva¸cão. Ao professor Marco Antônio Nogueira Fernandes pela orienta¸cão e apoio, não só du-rante esta fase, mas em todo percurso.

`

A todos os professores responsáveis por esta jornada e em especial, aos professores: Enaldo Vergasta, Ézio, Isaac Lázaro, José Fernandes, José Nelson, Armando, Vilton Pinheiro, Carlos Bahiano, todos da Universidade Federal da Bahia, os quais estiveram sempre dispostos a ajudar.

Aos grandes amigos: Fabiana Laranjeiras, Gabriela G´oes, Jos´e Alves e Mariana Pin-heiro.

As amigas de sempre: Ana Carolina, Ana Em´ılia, Ana Maria e Carina Lima.

Aos amigos de curso, pelos esclarecimentos e contribui¸cões de informa¸cões durante o curso de pós-gradua¸cão.

Ao LEMA, em especial as professoras: Elinalva, Ednalva, Gra¸ca Passos, Silvia Velloso, Verlane, Cristiana e Eliana Prates, pelos seus conhecimentos e aux´ılio que me fez crescer tanto na vida acadˆemica quanto na pessoal.

Gostaria também de agradecer a todos os colegas e funcionários do Instituto de Matemática e aos professores: Luiz Antonio Barrera San Martin que compôs minha banca examinadora e que verificou com tanto zelo esta disserta¸cão. Um agradecimento especial ao Professor Paulo Ruffino pela ajuda na corre¸cão final. E a CAPES pelo apoio financeiro.

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Introdu¸c˜

ao

A Geometria Riemanniana surgiu a partir de uma desenvolvimento natural da geome-tria das superf´ıcies do R3_{. Muitos dos resultados sobre superf´ıcies foram obtidos por Gauss}

no trabalho intitulado: Disquisitiones Investigations of Curved Surfaces. Nele, Gauss definiu uma forma quadrática chamada primeira forma fundamental a qual nos permite calcular os comprimentos de linhas sobre a superf´ıcie, achar as geodésicas e calcular a curvatura gaussiana - tudo isso sem considerar o espa¸co onde a superf´ıcie se encontra. Em suma, Gauss mostrou como estudar a geometria da superf´ıcie operando exclusivamente sobre a própria superf´ıcie.

Em 1854, Riemann em sua conferˆencia On the Hypotheses which lie at the Foundatios

of Geometry, generalizou as id´eias de Gauss. Usando uma linguagem intuitiva, sem defini¸c˜oes

precisas nem demonstra¸cões cuidadosas, Riemann introduziu o que hoje chamamos uma var-iedade de dimensão n (um objeto que generaliza a no¸cão de superf´ıcie para qualquer dimensão e sem men¸cão a um espa¸co ambiente) e postulou que uma geometria era um modo de medir comprimentos em uma tal variedade. Para cada ponto desta, ele impôs uma distância (métrica) e examinou a no¸cão de curvatura. A audaciosa concep¸cão de Riemann não foi bem entendida em sua época, e só lentamente se desenvolveu o que hoje chamamos Geometria Riemanniana. O conceito formal de variedade só apareceu em 1913 devido a H. Weyl.

Dois pontos importantes no desenvolvimento da Geometria Riemanniana foi a Teoria da Relatividade (1916) que é completamente baseada nas idéias de Riemann e o teorema de Whitney (1935) que prova o seguinte: Toda variedade diferenciável de dimensão n pode ser

im-ersa no R2n−1 _{e mergulhada no R}2n_{. Este resultado mostra que variedades podem ser tratadas}

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Outro extraordinário avan¸co para a Geometria aconteceu quando Levi-Civita (1917) interpretou o cálculo do tensor de Ricci como uma descri¸cão anal´ıtica de um conceito que ele chamou de transporte paralelo. No Rn_{, isto corresponde a mover um vetor para um ponto}

qual-quer ao longo de uma curva, mantendo sua dire¸cão e seu módulo. Neste trabalho estudaremos a rela¸cão entre o transporte paralelo e três estruturas geométricas: a conexão afim, a conexão Riemanniana e a conexão em um fibrado principal.

A conex˜ao afim foi definida primeiro por Christoffel (1869) sendo um conjunto de s´ımbolos {k

ij} ou Γkij associados a um sistema de coordenadas sobre a variedade. O ponto de

vista moderno ´e devido a Koszul. No caso de superf´ıcies em R3 _{existe um conceito equivalente,}

chamado derivada covariante, que pode ser descrito como segue.

Consideremos S ⊂ R3 _{uma superf´ıcie regular, c : I → S e V : I → R}3 _{um campo de}

vetores tangentes a S ao longo de c. Em geral, o vetor dV

dt(t) n˜ao pertence ao plano tangente

Tc(t)S, por isso considera-se o vetor obtido ao projetar ortogonalmente sobre Tc(t)S, que se

de-nota por DV

dt (t). Este vetor se denomina a derivada covariante de V em c(t), e sua importˆancia

está no fato que a derivada covariante é um conceito intr´ınseco da superf´ıcie, pois só depende da 1a _{forma fundamental. Seguindo esta linha, dizemos que um campo de vetores V é paralelo}

se dV dt ≡ 0.

´

E interessante mencionar que apesar de usarmos o conceito de derivada covariante para definir o paralelismo, historicamente não foi isso que aconteceu. Em termos de superf´ıcie podemos construir geometricamente o transporte paralelo como segue. Considere a fam´ılia de planos tangentes a S ao longo de c. Esta fam´ılia determina uma superf´ıcie chamada a envol-vente da fam´ılia de planos tangentes a S ao longo de c. Em uma vizinhan¸ca de c, a envolenvol-vente é uma superf´ıcie regular Σ a qual é tangente a S ao longo de c e tem curvatura gaussiana iden-ticamente nula. O teorema de Minding diz que uma superf´ıcie com curvatura gaussiana igual a zero é isométrica a um plano. E uma vez que o paralelismo é uma isometria, para obtermos o transporte paralelo de um vetor ao longo de uma vizinhan¸ca de c, tomamos o transporte paralelo usual no plano e o trazemos para Σ.

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3

Em seu trabalho, Riemann deixou claro que o conceito fundamental em geometria é o que hoje em dia denominamos métrica Riemanniana. Esta possibilita definir o comprimento de uma curva e a área de uma região contidas em uma variedade. Podemos adicionar uma métrica a qualquer variedade usando a parti¸cão da unidade. Uma variedade Riemanniana é uma variedade diferenciável provida de uma métrica. Por volta de 1956 o matemático americano John Nash provou que: Toda variedade Riemanniana pode ser mergulhada isometricamente em algum Rn_.

Isto significa que toda variedade Riemanniana pode ser visualizada como uma subvariedade do espa¸co euclidiano. O Lema Fundamental da Geometria Riemanniana (Levi-Civita) afirma que a escolha de uma métrica determina unicamente uma conexão afim associada a ela chamada a conexão Riemanniana. E neste caso, como mostraremos, o transporte paralelo é uma isometria. A importância do transporte paralelo foi percebida por Cartan (1928) que elaborou uma teoria completamente diferente: o método do referencial móvel. Porém esta teoria só é facilmente entendida quando usamos o operador ∇ que historicamente apareceu muito depois, por volta de 1954. A idéia básica da teoria de Cartan é expressar os resultados em termos de campos de vetores arbitrários e não apenas dos “naturais”Xi = ∂/∂xi. O livro “The Theory of

Groups of Lie”(1946) de Chevalley ajudou no entendimento dos conceitos e nota¸c˜oes dando um

efeito notável a situa¸cão corrente. Mas a compreensão total do trabalho só foi obtida quando surgiu a no¸cão de conexão em fibrados formulada por volta de 1950 por Ehresmann. Um fibrado principal pode ser visto localmente como o produto de duas variedades diferenciáveis sendo uma delas um grupo de Lie que age sobre uma outra. Esta estrutura de “produto local”legitima o uso da propriedade de levantamento de caminhos da Topologia. E sob o ponto de vista geométrico determinar uma conexão em um fibrado equivale a determinar uma única dire¸cão para o levantamento. Temos, então que, em um fibrado, a estrutura de transporte paralelo é “substitu´ıda”pela propriedade de levantamento único de caminhos.

A seguir descreveremos o conte´udo de cada cap´ıtulo desta disserta¸c˜ao.

No Cap´ıtulo 1 citaremos algumas defini¸cões, nota¸cões e resultados da Geometria Rie-manniana. Definiremos um fibrado principal a partir de um exemplo: o fibrado do referenciais. Pretendemos com isso obter resultados mais rapidamente e facilmente e assim desenvolver nossa intui¸cão geométrica.

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No Cap´ıtulo 2 apresentaremos a conex˜ao afim e o transporte paralelo e mostraremos que esses dois conceitos s˜ao equivalentes.

No Cap´ıtulo 3 definiremos uma métrica Riemanniana sobre uma variedade diferenciável. Veremos que toda métrica Riemanniana dá origem a uma conexão afim chamada conexão Rie-manniana e neste caso o transporte paralelo é uma isometria.

No Cap´ıtulo 4 retornaremos ao método usado no in´ıcio e mostraremos que a no¸cão de transporte paralelo em uma variedade é equivalente a propriedade de levantamento único de caminhos equivariante no fibrado dos referenciais. Definiremos uma conexão em um fibrado principal e provaremos que ela também é equivalente a propriedade de levantamento único de caminhos.

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Cap´ıtulo 1

Preliminares

Neste cap´ıtulo apresentaremos as principais defini¸cões e as nota¸cões que serão usadas ao longo do texto, as variedades consideradas serão sempre diferenciáveis, de Hausdorff e com base enumerável. A palavra diferenciável significará de classe C∞_.

Primeiro algumas nota¸c˜oes:

M: variedade diferenci´avel de dimens˜ao n; TpM: espa¸co tangente a M no ponto p ∈ M;

X (M): o espa¸co vetorial de todos os campos de vetores diferenciáveis em M; C∞_{(M): conjunto das fun¸cões reais diferenciáveis em M .}

Listaremos agora algumas defini¸cões e resultados básicos da Geometria Riemanniana. Sejam M e N variedades diferenciáveis, possivelmente de dimensões diferentes e f uma aplica¸cão (de um conjunto aberto) de M em N. Sejam (U, φ) e (V, ψ) parametriza¸cões para M e N em p e f (p) respectivamente. Então f é dita diferenciável em p, se ψ ◦f ◦φ−1_{é diferenciável}

em φ(p).

Uma curva em M é uma aplica¸cão diferenciável α : I → M, onde I ⊂ R é um intevalo aberto. O vetor tangente a α em t = t0 será indicado por ˙α(t0). Com frequência consideraremos

curvas com dom´ınio compacto. Neste caso um vetor tangente a α em um extremo ´e o vetor

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tangente a qualquer extens˜ao diferenci´avel de α em um aberto contendo o compacto.

Uma curva integral de um campo de vetores X ´e uma curva α para qual ˙α(t) = Xα(t)

para todo t. O teorema de existência e unicidade das equa¸cões diferenciais ordinárias garante que para todo p ∈ M, um campo de vetores X tem uma curva integral α definida em algum intervalo (−², ²) com α(0) = p. E é única no sentido que se β : (−δ, δ) → M também é uma curva integral de X com β(0) = p, então α(t) = β(t) para todo t ∈ (−², ²) ∩ (−δ, δ).

Para X e Y em X (M), o campo de vetores chamado de colchete de Lie de X e Y , ´e definido por

[X, Y ]_pf = Xp(Y f ) − Yp(Xf ) , ∀f ∈ C∞(M).

Um campo de vetores ao longo de uma curva α : I → M é uma aplica¸cão Y que associa a cada t ∈ I um vetor Yα(t) em Tα(t)M tal que para toda f ∈ C∞(M), t → Yα(t)f é uma fun¸cão

real diferenci´avel em I.

Uma métrica Riemanniana h, i para M é uma correspondência que associa a cada ponto p ∈ M um produto interno h, i_p (isto é, uma forma bilinear simétrica, positiva definida) no espa¸co tangente TpM, que é diferenciável no seguinte sentido: para quaisquer campos de

vetores diferenciáveis X e Y em M, a fun¸cão p → hXp, Ypi_p de M em R é diferenciável .

Destacamos as próximas defini¸cões por elas serem fundamentais para o último cap´ıtulo.

1.1 Defini¸cão. Um grupo de Lie é uma variedade G com uma estrutura de grupo de tal modo que as aplica¸cões:

G × G −→ G e G −→ G

(x, y) 7−→ x · y x 7−→ x−1

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7

Decorre imediatamente da defini¸c˜ao que, num grupo de Lie G, as aplica¸c˜oes

Lg : G −→ G e Rg : G −→ G

h 7−→ gh h 7−→ hg,

são difeomorfismos, para cada g ∈ G. Estas aplica¸cões são chamadas respectivamente

transla¸cão à esquerda por g e transla¸cão à direita por g. Indicaremos por e o elemento

identi-dade de G.

Existem muitos exemplos de grupos de Lie, mas um, pelo seu papel de destaque para a compreens˜ao do conceito de fibrado, nos interessa em particular. Passaremos a decrevˆe-lo.

1.1 Exemplo (Grupo linear geral). Seja G = Gl(n, R) o grupo das matrizes reais n × n n˜ao singulares. Podemos identificar G com um aberto em Rn2

via a aplica¸c˜ao determinante por:

G = {A ∈ MnR; det(A) 6= 0}

Portanto, G ´e uma n2_-variedade.

Além disso, a estrutura de grupo é consistente com a estrutura diferenciável: as fun¸cões

(A, B) 7→ AB de G × G em G e B 7→ B−1 _{de G em G são aplica¸cões diferenciáveis entre}

variedades. Considerando G como um subconjunto de Rn2

, as fun¸c˜oes coordenadas de Rn2

fornecem coordenadas locais para G em uma vizinhan¸ca para qualquer A ∈ G. As coordenadas de AB (ou B−1_{) s˜ao somas de produtos das coordenadas de A e B (ou fun¸c˜oes racionais}

apenas das coordenadas de B), portanto todas as derivadas parciais destas aplica¸cões existem e são cont´ınuas. Assim G é um grupo de Lie.

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1.2 Defini¸cão. Considere G um grupo de Lie, P uma variedade e uma aplica¸cão de P × G em P (denotada por (p, g) 7→ pg_{). Dizemos que G age em P pela direita (via esta aplica¸cão) se:}

(i) a aplica¸c˜ao Rg : P → P definida por Rg(b) = bg ´e um difeomorfismo para todo g ∈ G.

(ii) (bg₎h _{= b}gh_{, para todos b ∈ P e g, h ∈ G.}

Dizemos que G age livremente se bg _{= b,para algum b ∈ P , ent˜ao g = e. Dois pontos}

a e b em P s˜ao ditos equivalentes sob (a a¸c˜ao de) G se a = bg_{, para algum g ∈ G.}

Um exemplo importante de uma a¸cão livre de um grupo de Lie sobre uma variedade é a a¸cão de G = Gl(n, R) sobre a variedade L(M) chamada fibrado dos referenciais, as quais passaremos a descrever.

1.2 Exemplo (Fibrado dos referenciais). Um referencial em M ´e um ponto p ∈ M (chamado a origem do referencial) juntamente com uma base para TpM. Seja L(M) a cole¸c˜ao de todos

os referenciais em M:

L(M) = {(p, X1, . . . , Xn); p ∈ M e {Xi} ´e uma base para TpM}

L(M) ´e chamado de fibrado dos referenciais de M. Vamos munir L(M) de uma es-trutura diferenci´avel. Seja π : L(M) → M dada por

π[(p, X1, . . . , Xn)] = p

Sejam (Uγ, φγ) uma parametriza¸c˜ao para M e Vγ = π−1(Uγ), isto ´e,

Vγ = {(p, X1, . . . , Xn) ∈ L(M) / p ∈ Uγ}

Para qualquer ponto p em Uγ , {_∂x∂₁|p, . . . ,_∂x∂_n|p} ´e uma base para TpM. Uma vez

que dadas duas bases de um espa¸co vetorial (no nosso caso TpM) diferem por uma matriz n˜ao

singular, dado qualquer referencial (p, X1, . . . , Xn), existe uma matriz A = [aij] em Gl(n, R) tal

que A leva { ∂

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9 Xi = X j aij ∂ ∂xj ¯ ¯ ¯ ¯ p

Definiremos uma parametriza¸c˜ao para L(M) sendo o par (Vγ, eφγ), onde eφγ : Vγ →

Rn+n2 dada por e φ[(p, X1, . . . , Xn)] = (x1(p), . . . , xn(p), a11, . . . , ann). Se Vγ∩ Vδ 6= ∅, temos e φδ◦ eφ−1γ (x1, . . . , xn, a11, a12, . . . , ann) = = eφδ ¡ φ−1 γ (x1, . . . , xn), dφ−1γ (a11, a12, . . . , a1n), . . . , dφ−1γ (an1, an2, . . . , ann) ¢ = =¡φδ◦ φ−1γ (x1, . . . , xn), ¡ dφδ◦ dφ−1γ ¢ (a11, a12, . . . , a1n), . . . , ¡ dφδ◦ dφ−1γ ¢ (an1, an2, . . . , ann) ¢ = =¡φδ◦ φ−1γ (x1, . . . , xn), d ¡ φδ◦ φ−1γ ¢ (a11, a12, . . . , a1n), . . . , d ¡ φδ◦ φ−1γ ¢ (an1, an2, . . . , ann) ¢

e então eφδ◦ eφ−1γ é uma aplica¸cão diferenciável de eφγ(Vγ∩ Vδ) em eφδ(Vγ∩ Vδ).

Com as cartas dadas, L(M) é uma variedade diferenciável de dimensão n + n2_.

Agora uma a¸cão livre de G sobre L(M) é dada pela aplica¸cão

Φ : L(M) × G −→ L(M) Φ((p, X1, . . . , Xn), A) = Ã p,X j aj1Xj, . . . , X j ajnXj ! onde A = [aij] ∈ G

Para b ∈ L(M) escreveremos bA _{no lugar de Φ(b, A). ´}_{E f´acil ver que para todo b ∈}

L(M),

(bA₎B _{= b}AB_{, ∀ A, B em G e}

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L(M) ´e um tipo especial de fibrado, chamado fibrado principal, o qual definiremos a

seguir.

1.3 Defini¸cão. Um fibrado principal (P, M, G) consiste de duas variedades P (o espa¸co total ou espa¸co fibrado ) e M(o espa¸co base), um grupo de Lie G (o grupo estrutural), e uma aplica¸cão diferenciável π : P → M tal que:

(i) G age livremente em P .

(ii) M é o espa¸co quociente de P sob a a¸cão de G, de forma que π(b) = π(a) se e só se a e b são equivalentes sob a a¸cão de G.

(iii) P ´e localmente trivial, isto ´e: Para cada p ∈ M existe uma vizinhan¸ca U de p e um difeomorfismo ψπ−1_{(U) → U × G da forma :}

ψ(b) = (π(b), FU(b))

onde FU satisfaz FU(bg) = FU(b)g.

Para p ∈ M, π−1_{(p) ´e chamada a fibra sobre p. As fibras s˜ao difeomorfas a G, via}

a aplica¸c˜ao: b : G → π−1_{(π(b)) ⊂ P definida por b(g) = R}

gb. Observe que P ´e

local-mente o produto de M e G, mas em geral, P n˜ao precisa ser difeomorfa a M × G (Em geral,

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11

1.3 Exemplo (Fibrado Principal Trivial). Sejam P = M × G , π : M × G → M a proje¸cão da primeira coordenada, e uma a¸cão de G em P dada por (p, a)b _{= (p, ab). Neste caso a aplica¸cão}

t ´e a identidade e (M × G, M, G) ´e um fibrado principal.

1.4 Exemplo (Fibrado canˆonico C∗ _{sobre CP}n_). _{Sejam P = C}n+1_{− {0} (o (n+1)-espa¸co}

com-plexo menos a origem) e G = C∗_{. O n-espa¸co projetivo complexo CP}n _{´e definido da seguinte}

forma: dizemos que para z1 e z2 em P , z1 ∼ z2 se existe λ ∈ G tal que z1 = λz2. Ent˜ao o

con-junto CPn _{das ∼- classes de equivalˆencia de P ´e uma 2n- variedades e (C}n+1_{− {0}, CP}n_{, C}∗₎

´e um fibrado principal.

1.5 Exemplo (Espa¸cos de Recobrimento). Sejam P o espa¸co de recobrimento universal para M, π : P → M a aplica¸c˜ao de recobrimento, e G o grupo da transforma¸c˜oes de recobrimento (com a toplogia discreta).

O que fizemos acima foi a partir de um exemplo (fibrado dos referenciais) chegar a um conceito (fibrado principal), pretendemos com isso obter resultados mais rapidamente e facilmente. E assim esperamos desenvolver suficientemente a intui¸cão geométrica para que, mais tarde (no cap´ıtulo 4), as generaliza¸cões e defini¸cões pare¸cam naturais.

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Geometria de uma conex˜

ao afim

Neste cap´ıtulo apresentaremos a primeira estrutura geométrica: a conexão afim. Esta nos permite derivar um campo de vetores sobre uma variedade em rela¸cão a um outro. Veremos que os conceitos de conexão afim e de transporte paralelo ao longo de curvas podem ser obtidos um do outro via equa¸cões diferenciais.

2.1 Defini¸cão. Uma conexão afim é uma aplica¸cão:

∇ : X (M) × X (M) −→ X (M)

(X, Y ) 7−→ ∇XY

que satisfaz as seguintes propriedades:

(i) ∇X+YZ = ∇XZ + ∇YZ;

(ii) ∇f XY = f ∇XY ;

(iii) ∇X(Y + Z) = ∇XY + ∇XZ;

(iv) ∇X(f Y ) = f ∇XY + (Xf )Y .

´

E importante notar que dada uma variedade existem muitas conex˜oes afins, do ponto de vista geom´etrico isso quer dizer que um espa¸co pode ter diferentes geometrias sobre ele.

Diremos que um campo de vetores Y ´e um campo de vetores paralelo ao longo de α se

∇˙α(t)Y = 0 para todo t ∈ I.

(19)

13

2.2 Lema. Um campo de vetores Y = P_jfj(∂/∂xj) ao longo de uma curva α ´e paralelo se, e

somente se, Y satisfaz o sistema de n equa¸c˜oes diferenciais d(fk◦ α) dt + X i,j (fj◦ α) dαi dt Γ k ij ◦ α = 0, k = 1, . . . , n

Prova. Se Y =P_jfj(∂/∂xj), ent˜ao ∇˙α(t)Y = 0 se, e somente se,

∇P_iα˙iXi X j fjXj = 0 X i ˙ αi∇Xi X j fjXj = 0 X i,j ˙ αi∇XifjXj = 0 X i,j ˙ αi(fj∇XiXj + Xi(fj)Xj) = 0 X i,j ( ˙αifj∇XiXj+ ˙αiXi(fj)Xj) = 0 X i,j " ˙ αiXi(fj)Xj+ X k ˙ αifjΓkijXk # = 0 X i,j ˙ αiXi(fj)Xj + X i,j " X k ˙ αifjΓkijXk # = 0. Trocando j por k na primeira soma

X i,k ˙ αiXi(fj)Xj + X i,j " X k ˙ αifjΓkijXk # = 0 X k " X i ˙ αiXi(fj)Xj + X i,j ˙ αifjΓkijXk # Xk = 0.

Avaliando o lado esquerdo em xk

X i " ˙ αiXi(fk) + X j ˙ αifjΓkij # = 0. Portanto d(fk◦ α) dt + X i,j fjα˙iΓkij = 0, k = 1, . . . , n d(fk◦ α) dt + X i,j (fj ◦ α) dαi dt Γ k ij ◦ α = 0, k = 1, . . . , n

(20)

t u

Os próximos dois teoremas são essenciais para o último cap´ıtulo. O primeiro é um teorema de existência.

2.3 Teorema. Sejam α uma curva em M e p = α(0). Para cada Xp ∈ TpM, existe um ´unico

campo de vetores Y definido ao longo de α tal que Y ´e paralelo ao longo de α e Xp = Yp.

Prova. Inicialmente suponha que α(I) esteja contida numa vizinhan¸ca coordenada U de α(0).

Podemos escrever

x(α(t)) = (α1(t), . . . , αn(t)) e

˙α(t) = X

i

(dαi/dt)(∂/∂xi).

Podemos tamb´em escrever

∇∂/∂xi∂/∂xj =

X

k

Γk_ij(∂/∂xk)

para as n3 _{fun¸c˜oes Γ}k

ij ∈ C∞(U). Temos ent˜ao que Y =

P

jfj(∂/∂xj) ser´a paralelo se,

e s´o se, d(fk◦ α) dt + X i,j (fj◦ α) dαi dt Γ k ij ◦ α = 0, k = 1, . . . , n (?)

for válida. Mas (?) é um sistema linear de equa¸cões diferenciais ordinárias e sujeito a condi¸cão que os fk◦ α(0) são dados pelas componentes de Xp , teremos (fk ◦ α)(t) para todo t ∈ I.

Portanto existe um ´unico campo de vetores Y com as propriedades desejadas.

Para provar o caso geral observe que, por compacidade, α(I) ⊂ M pode ser coberto por um no _{finito de vizinhan¸cas coordenadas, em cada uma das quais Y pode ser definido, pelo}

que foi provado acima. Pela unicidade, as defini¸cões coincidem nas interse¸cões não vazias, o que permite definir Y para I. tu

Os Γk

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15

2.4 Defini¸c˜ao. Um isomorfismo τα(t) : Tα(0)M −→ Tα(t)M, tal que para todo Xα(0) ∈ Tα(0)M,

temos

(i) a aplica¸cão t → τα(t)Xα(0) é diferenciável e

(ii) para toda A ∈ Gl(n, R),

τα(t)(AXα(0)) = A(τα(t)Xα(0))

´e chamado transporte paralelo ao longo de α.

Nota: Se x1, . . . , xn formam um sistema de coordenadas em uma vizinhan¸ca de

α(t0), podemos escrever τα(t)(Xα(0)) = X i ai(t) ∂ ∂xi |α(t)

para t em uma vizinhan¸ca de t0, onde os ai’s s˜ao fun¸c˜oes reais. Dizer que

t → τα(t)Xα(0)é diferenciável significa que os ai’s são diferenciáveis nesta vizinhan¸ca.

Retornando a campo de vetores paralelos ao longo de α e a nota¸c˜ao do teorema anterior, considere a seguinte aplica¸c˜ao

τα(t) : Tα(0)M −→ Tα(t)M

τα(t)(Xp) = Yα(t)

Veremos a seguir que esta aplica¸c˜ao ´e de fato um transporte paralelo ao longo de α.

2.5 Teorema. τα(t) ´e um isomorfismo de Tα(0)M em Tα(t)M.

Prova. Sejam Yα(t) e Wα(t) em Tα(t)M tais que

Yα(t)= τα(t)(Yp) e Wα(t)= τα(t)(Wp). Podemos escrever Yα(t)= X k (fk◦ α)(t)∂/∂xj,

onde fk◦ α ´e solu¸c˜ao da EDO

d(fk◦ α) dt + X i,j (fj◦ α) dαi dt Γ k ij ◦ α = 0

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com a condi¸c˜ao inicial de fk◦ α(0). Analogamente temos que

Wα(t)=

X

k

(gk◦ α)(t)∂/∂xj,

onde gk◦ α ´e solu¸c˜ao da EDO:

d(gk◦ α) dt + X i,j (gj◦ α) dαi dt Γ k ij ◦ α = 0

com a condi¸c˜ao inicial de gk◦ α(0). Ent˜ao o sistema

   d(hk◦α) dt + P i,j(hj ◦ α)dαdtiΓkij ◦ α = 0 hk◦ α(0) = fk◦ α(0) + gk◦ α(0)

tem como ´unica solu¸c˜ao hj◦ α(t) = (fj+ gj)(α(t)) = fj◦ α(t) + gj ◦ α(t). E uma vez

que fk◦ α(0) + gk◦ α(0) ´e dada pelas coordenadas de Yp+ Wp, conclu´ımos que

τα(t)(Yp+ Wp) = X k (fk+ gk)(α(t))∂/∂xj = X k (fk◦ α(t))∂/∂xj + X k (gk◦ α(t))∂/∂xj = Yα(t)+ Wα(t)

Analogamente podemos provar que τα(t)(λYp) = λYα(t)

Pelo teorema 2.3 τα é injetiva e sua inversa é o transporte paralelo ao longo da por¸cão

de α de t a 0. Portanto τα ´e um isomorfismo. tu

Usando transporte paralelo podemos comparar os espa¸cos tangentes em dois pontos quaisquer de M que possam ser ligados por uma curva α. Explicitamente, podemos definir Πα(t1)

α(t0) = τα(t1)◦ τ

−1

α(t0) : Tα(t0)M → Tα(t1)M que ´e claramente um isomorfismo e, em geral,

de-pende de α. Esta possibilidade de “compara¸cão”entre espa¸cos tangentes em pontos diferentes é que deu origem ao termo conexão.

O transporte paralelo τα ´e definido em termos de ∇, mas podemos fazer o contr´ario.

De fato, o teorema a seguir diz que o transporte paralelo é apenas uma versão global de conexão afim.

(23)

17

2.6 Teorema. Determinar uma conex˜ao afim em uma variedade M ´e equivalente a determinar para cada curva α um transporte paralelo.

Prova. Vimos no teorema anterior que toda conex˜ao afim d´a origem a um transporte paralelo.

Se temos um transporte paralelo, ent˜ao dados X e Y ∈ X (M), seja α uma curva integral de

Xp com α(0) = p e ˙α(0) = Xp. Ent˜ao definimos

(∇XY )(p) = lim t→0 1 t(τ −1 α(t)Yα(t)− Yp)

Sejam V1, . . . , Vn campos de vetores paralelos ao longo de α os quais s˜ao L.I. em α(0),

e assim em todos os pontos de α. Seja

Yα(t)= X i γi(t)Vi(t) Ent˜ao lim t→0 1 t ³ τ−1 α(t)Yα(t)− Yp ´ = lim t→0 1 t " X i=1 γi(t)τ_α(t)−1Vi(t) − γi(0)Vi(0) # = lim t→0 1 t " X i=1 γi(t)Vi(0) − γi(0)Vi(0) # = X i=1 lim t→0 · γi(t) − γi(0) t Vi(0) ¸ = X i=1 dγi(0) dt Vi(0) = ∇XY (p). t u

Devido ao teorema anterior, podemos dizer que o transporte paralelo é uma estrutura geométrica. Vamos usar esta interpreta¸cão de estrutura geométrica para motivar a defini¸cão de uma conexão em um fibrado principal no último cap´ıtulo.

(24)

Geometria de uma conex˜

ao

Riemanniana

Neste cap´ıtulo adicionaremos a uma variedade M uma estrutura, a métrica Rieman-niana, que torna M um espa¸co métrico. A especifica¸cão de uma métrica não é unicamente determinada, contudo uma tal métrica tem automaticamente uma única conexão associada a ela.

Uma variedade diferenciável M provida de uma métrica Riemanniana é chamada

var iedade Riemanniana. Podemos adicionar uma m´etrica Riemanniana a qualquer variedade

diferenci´avel usando a parti¸c˜ao da unidade.

A seguir definiremos uma conex˜ao ∇ em uma variedade Riemanniana determinando o produto interno de ∇XpY e Zp para todos campos de vetores X, Y e Z em todos os pontos

p ∈ M.

3.1 Defini¸cão. Uma conexão ∇ Riemanniana ou Levi-Civita em uma variedade Riemanniana M é definida pela expressão abaixo

2∇XpY, Zp ® p = XphY, Zip+ YphX, Zip− ZphX, Y ip + h [X, Y ]p, Zp i_p + h [Z, X]p, Yp i_p+ h [Z, Y ]p, Xp i_p para todos X, Y, Z ∈ X (M) e p ∈ M 18

(25)

19

Em uma vizinhan¸ca U de p ∈ M denote por Xi o campo de vetores ∂/∂xi. Ent˜ao

[Xi, Xj] = 0 e a express˜ao anterior torna-se

2 h∇XiXj, Xki = XihXj, Xki + XjhXk, Xii + XkhXi, Xji

em U. Pode-se mostrar que ∇ satisfaz a condi¸c˜ao para ser uma conex˜ao afim.

Esta escolha de ∇ ´e parcialmente justificada pelo seguinte teorema.

3.2 Teorema. Lema Fundamental da Geometria Riemanniana A conexão ∇ definida acima é a única conexão em M satisfazendo

(i) X hY, Zi = h∇XY, Zi + hY, ∇XZi.

(ii) [X, Y ] = ∇XY − ∇YX

para todos X, Y , Z ∈ X (M ). Prova. Considere as equa¸c˜oes

(1) 2 h∇XY, Zi = X hY, Zi + Y hX, Zi − Z hX, Y i + h [X, Y ], Z i + h [Z, X], Y i + h [Z, Y ], X i (2) 2 h∇XZ, Y i = X hY, Zi + Z hX, Y i − Y hX, Zi + h [X, Z], Y i + h [Y, X], Z i + h [Y, Z], X i Somando (1) e (2), obtemos 2 h∇XY, Zi + 2 h∇XZ, Y i = 2X hY, Zi

Portanto (i) ´e satisfeita. E para mostrar (ii) considere

(3) 2 h∇YX, Zi = Y hX, Zi + X hY, Zi − Z hY, Xi

+ h [Y, X], Z i + h [Z, Y ], X i + h [Z, X], Y i De (1) e (3), temos

2 h∇XY, Zi − 2 h∇YX, Zi = h [X, Y ], Z i − h [Y, X], Z i

(26)

Portanto h∇XY, Zi − h∇YX, Zi = h [X, Y ], Z i E assim ∇XY, Z − ∇YX = [X, Y ] t u

Uma conexão afim satisfazendo (i) é chamada uma conexão compat´ıvel com a métrica. Ela expressa a derivada direcional da métrica em termos da conexão afim, mas isto tem mais significado. Vimos no cap´ıtulo anterior que o operador transporte paralelo é uma parte cr´ıtica da geometria de uma conexão. Sendo uma métrica Riemanniana nada mais que um produto interno, temos que o operador mais compat´ıvel com a métrica Riemanniana é uma isometria, isto é, a aplica¸cão τ : TpM → TqM tal que hτ (Xp) , τ (Yp)i_q = hXp, Ypi_p. Portanto uma conexão

afim natural em uma variedade Riemanniana deve ter a propriedade que o transporte paralelo ´e uma isometria.

A próxima proposi¸cão nos diz que este é de fato o caso para uma conexão Riemanniana.

3.3 Teorema. O transporte paralelo é uma isometria se, e somente se, ∇ é compat´ıvel com a métrica.

Prova. Suponha que ∇ ´e compat´ıvel com a m´etrica e seja α uma curva em M. Para Y e Z em Tα(0)M, denote por Yt e Zt seus transportes paralelos, τα(t)Y e τα(t)Z respectivamente, em α(t).

Temos ˙α(t) hY, Zi =∇˙α(t)Y, Z ® +∇Y, ˙α(t)Z ® = 0 pois Y e Z s˜ao paralelos ao longo de α. Da´ı

0 = ˙α(t) hY, Zi = d

dt hYt, Ztiα(t)

e ent˜ao hYt, Ztiα(t) ´e constante. Em outras palavras

hYt, Ztiα(t) = hY, Ziα(0)

(27)

21

Suponha que τα(t)´e uma isometria para uma curva α qualquer e seja Xpem TpM. Para

verificar (i) em p, seja α uma curva qualquer com α(0) = p e ˙α(0) = Xp. Ambos os lados de

(i) dependem de Y e Z ao longo de α.

Primeiro consideraremos o caso que Y e Z s˜ao campos de vetores paralelos ao longo de α. Ent˜ao XphY, Zi = ˙α(0) hY, Zi = d dt ¯ ¯ ¯ ¯ 0 Yα(t), Zα(t) ® α(t)= 0

uma vez que hY, Zi ´e constante ao longo de α. Temos ent˜ao que o lado esquerdo de

(i) é zero. E o lado direito (i) também é igual a zero pois ∇XpY = 0 e ∇XpZ = 0. Logo, neste

caso, ∇ ´e compat´ıvel com a m´etrica.

Agora consideraremos o caso que Y e Z s˜ao campos de vetores arbitr´arios. Seja {Xi}

uma base ortonormal para TpM e denote por {Xi(t)} seu transporte paralelo ao longo de α(t).

Uma vez que transporte paralelo ´e uma isometria, {Xi(t)} ´e uma base ortonormal para Tα(t)M.

Os campos de vetores diferenci´aveis Y e Z ao longo de α podem ser expressos

Yα(t)= X i ai(t)Xi(t) e Zα(t)= X i bi(t)Xi(t)

onde os ai’s e bi’s são diferenciáveis. Então

XphY, Zi = ˙α(0) hY, Zi = d dt ¯ ¯ ¯ ¯ t=0 Yα(t), Zα(t) ® α(t) = d dt ¯ ¯ ¯ ¯ t=0 * X i ai(t)Xi(t), X j bj(t)Xj(t) + α(t) = d dt ¯ ¯ ¯ ¯ t=0 X i ai(t)bi(t) e ∇XpY, Zp ® p+ Yp, ∇XpZ ® p = * X i · ai(0)∇XpXi+ dai dt ¯ ¯ ¯ ¯ t=0 Xi ¸ ,X j bj(0)Xj + p + * X i ai(0)Xi, X j · bj(0)∇XpXj+ dbj dt ¯ ¯ ¯ ¯ t=0 Xj ¸+ p

(28)

∇XpY, Zp ® p+ Yp, ∇XpZ ® p = * X i dai dt ¯ ¯ ¯ ¯ t=0 Xi, X j bj(0)Xj + p + * X i ai(0)Xi, X j dbj dt ¯ ¯ ¯ ¯ 0 Xj + p

porque ∇XpXi = 0. Desde que {Xi} ´e base ortonormal, isto ´e igual a:

X i dαi dt ¯ ¯ ¯ ¯ 0 bi(0) + ai(0) dbi dt ¯ ¯ ¯ ¯ 0

(29)

Cap´ıtulo 4

Geometria de uma conex˜

ao em um

fibrado principal

Neste cap´ıtulo apresentamos nossa última estrutura geométrica: a conexão em um fi-brado principal. Vimos no cap´ıtulo 2 que o conceito de conexão afim leva naturalmente ao conceito de transporte paralelo de vetores ao longo de uma curva. Veremos agora que em um fibrado principal a no¸cão de transporte paralelo é equivalente a propriedade de levantamento único de caminhos.

Come¸caremos descrevendo as no¸c˜oes b´asicas de um levantamento de caminhos no fi-brado dos referenciais.

4.1 Defini¸c˜ao. Dizemos que uma curva eα : I → L(M) ´e um levantamento de α (α : I → M)

se π ◦ eα = α. Para cada b ∈ π−1_{(α(0)), e}_α

b ´e chamada um levantamento em b se juntamente

e

α(0) = b.

4.2 Defini¸c˜ao. Dizemos que uma fam´ılia de levantamentos eα em b ´e equivariante se satisfaz:

e

αbg(t) = [ eα_b(t)]g, ∀ t ∈ I

A condi¸c˜ao acima significa que o levantamento de α em bg _{´e o levantamento de α em}

b sofrendo a a¸c˜ao de g em cada ponto.

(30)

O próximo teorema diz que a estrutura geométrica em M de transporte paralelo é precisamente a mesma que a de levantamento único de caminhos equivariante de curvas em M para curvas em L(M) com pontos iniciais espec´ıficos.

4.3 Teorema. Determinar um transporte paralelo τα ao longo de cada curva α ´e equivalente a

determinar para cada curva α e cada b ∈ π−1_{(α(0)) um ´unico levantamento equivariante ˜}_α b de

α em b.

Prova. Escrevendo b = (α(0), X1, . . . , Xn) ∈ π−1(α(0)), a correspondˆencia ´e dada por

τα(t) Ã X i ciXi ! =X i ciYi(α(t)) ⇔ ˜αb(t) = (α(t), Y1(α(t)), . . . , Yn(α(t)))

Supondo que cada curva α tem um ´unico levantamento horizontal ˜αb em b, ˜αb(t) tem a

forma da direita, onde {Yi(α(t))} é uma base para Tα(t)M. Então definimos τα pela expressão

da esquerda. ´E fácil checar que τα é independente da escolha de b e que τα é um isomorfismo.

Reciprocamente, dada τα(t) para cada curva α, ˜α ´e definida pelo lado direito.

Cer-tamente ˜αb ´e um levantamento de α em b uma vez que τα(0) ´e a identidade em Tα(0)M. A

equivariˆancia segue da defini¸c˜ao de transporte paralelo. tu

4.4 Defini¸c˜ao. Se b ´e um ponto no espa¸co fibrado P , o conjunto Vb = {X ∈ TbP |π∗(X) = 0}

´e chamado subespa¸co vertical em b.

Veja que a fibra π−1_{(p) ´e uma subvariedade cujo espa¸co tangente em cada ponto b ´e o}

(31)

25

O fato de π−1_{(U) ser difeomorfo (via t) a U × G permite que qualquer caminho na base}

de um fibrado seja levantado para o espa¸co total. De fato, se α é uma curva em U e h uma fun¸cão de U em G então eα(t) = t−1_{(α(t), h ◦ α(t)) é um levantamento de α. A questão é que}

o levantamento poderia se mover ao longo da fibra ou mudar de fibra. Fixaremos, então, uma única dire¸cão para o levantamento, definindo uma conexão em um fibrado principal.

A partir de agora denotaremos por ξ um fibrado principal (P, M, G) e por n a dimens˜ao de M.

4.5 Defini¸cão. Uma conexão H em ξ é uma aplica¸cão que associa a cada b ∈ P um subespa¸co

n-dimensional Hb ⊂ TbP , chamado o subespa¸co horizontal em b, tal que para cada b,

(i) TbP = Vb⊕ Hb

(ii) (Rg)∗Hb = Hbg, ∀g ∈ G

(iii) Se h : TbP → Hb é a proje¸cão e X é um campo de vetores em P , então hX é também um

campo de vetores em P (Esta ´e a condi¸c˜ao de diferenciabilidade em H).

Um vetor X ∈ TbP ´e chamado de vertical (resp. horizontal) se est´a em Vb (resp. Hb).

Uma vez que π∗(X) = 0 se, e só se, X é vertical, temos que a restri¸cão de π∗ a qualquer

subespa¸co horizontal Hb ´e injetiva, portanto um isomorfismo (por dimens˜ao) de Hb sobre TpM.

4.6 Teorema. Determinar uma conexão em ξ é equivalente a determinar para cada curva α em M um único levantamento equivariante de caminhos em P satisfazendo a seguinte condi¸cão:

Se α e β são curvas em M tais que α(0) = β(0) = p e ˙α(0) = ˙β(0) então ˙eα(0) = ˙eβ(0) Prova. Suponha que uma conexão H é dada em ξ e seja α uma curva simples em M (para uma

prova sem essa suposi¸c˜ao sobre α, ver [1] ). Para cada b ∈ π−1_{(α(t)), seja X}

b o ´unico vetor horizontal em b, o qual se projeta sobre

(32)

subespa¸co horizontal.

Agora para b ∈ π−1_{(α(0)), seja e}_α

b a (´unica) curva integral de X tal que eα(0) = b.

Ob-serve que eαb est´a definida em [0, t0) para algum t0. Mas eαb pode ser definida em todo I = [0, 1].

Para isto, tome um levantamento eβ definido em uma vizinhan¸ca de t0 (basta considerarmos eβ a

curva integral de X com uma condi¸c˜ao inicial qualquer). Escolha t1 < t0 de modo que eβ esteja

definida em todo t1 e ent˜ao tome g ∈ G tal que eα(t1) =

h e

β(t1)

i_g

. Estendemos eα al´em de t0

fazendo eα(t) = Rg◦ eβ(t). Obtemos, assim, uma curva diferenci´avel eαb que se projeta sobre α e

cujos vetores tangentes s˜ao horizontais. Temos

(Rg)∗( ˙eαb(t)) = ˙eαbg(t) ⇒ [eα_b(t)]g = R_g(eα_b(t)) = eα_bg(t)

pela nossa constru¸c˜ao e da segunda condi¸c˜ao para H.

Agora suponha que temos um ´unico levantamento de caminhos. Para definir Hb para

b ∈ P , sejam α1, . . . , αn curvas em M tais que αi(0) = p = π(b) e {eαi(0)} formam uma base

para TpM. (Os αi’s podem ser tomados sendo curvas integrais em uma base para TpM). Seja

e

αi o levantamento de αi em b. Defina Hb sendo o espa¸co gerado por { ˙eαi(0)}.

Mostraremos que Hb ´e a imagem de uma aplica¸c˜ao linear de TpM em TbP , e portanto

um espa¸co vetorial. Para isso considere k : TpM −→ TbP

v 7→ kv =X i ai˙eαi(0), v = X i ai˙αi(0)

(33)

27 Para λ ∈ R, temos k(λv) = k Ã λX i ai˙αi(0) ! = k Ã X i λai˙αi(0) ! =X i λai˙eαi(0) = λ X i ai˙eαi(0) = λk(v) E para v, w ∈ TpM, segue k(v+w) = k(P_iai˙αi(0)+ P ibi˙αi(0)) = k ( P i(ai+ bi) ˙αi(0)) = P iaie˙αi(0)+ P ibie˙αi(0) = k(v) + k(w)

Portanto k é linear e k(TpM) = Hb, logo Hb é um subespa¸co linear de dimensão

≤ dim(M) = n. Veja que π∗k ˙αi(0) = π∗ ˙eαi(0) =π ◦ e\˙αi(0) = ˙αi(0) Assim π∗ ¯ ¯

Hb é a inversa de k, e então k é um isomorfismo (sobre sua imagem).

Por-tanto, dim(Hb) = n.

Se π∗(Hb) = TpM ent˜ao π∗(TbP ) = TpM e j´a vimos que dim(Hb) = n, logo

dim(TbP ) = dim(ker(π∗)) + dim(im(π∗))

= dim(Vb) + dim(TpM)

= dim(Vb) + dim(Hb)

Veja que Vb e Hb s˜ao disjuntos, logo dim(Vb ⊕ Hb) = dim(Vb) + dim(Hb), segue ent˜ao

que TbP e Vb⊕ Hb s˜ao isomorfos, da´ı

(34)

Temos que (Rg)∗(Hb) = Hbg, pois

(Rg)∗( ˙eαi(0)) =R\g◦ e˙ αi(0) ⇒ (Rg)∗(Hb) ⊂ Hbg

E uma vez que (Rg)_∗ ´e injetiva e dim(Hb) = dim(Hbg), temos

(Rg)∗(Hb) = Hbg

Hb ´e independente da escolha dos αi’s.

Suponha que β1, . . . , βn sejam tamb´em curvas em M tais que { ˙βi(0)} forma uma base

para TpM. Logo existe A = [aij] ∈ Gl(n, R) tal que

˙βi(0) = X j aij ˙αj(0) Da´ı ˙eβ_i(0) = k ³ ˙βi(0) ´ = k Ã X j aij˙αj(0) ! =X j aijk ( ˙αj(0)) = X j aij˙eαj(0)

e uma vez que { ˙eαj(0)} gera Hb temos que {˙eβi(0)} tamb´em gera Hb.

t u

(35)

Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

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