A FUNÇÃO LOGARÍTMICA E A QUADRATURA DA HIPÉRBOLE
Eduardo Sebastiani Ferreira IMECC - UNICAMP
ABSTRACT
:One fact that always deeply puzzled me is the link between the logarithmic function and the quadrature of the hyperbole, on account of the analysis of historical books and documents that I have been doing for some time. This fact, although known since the 17th century, was not clear for the mathematicians. I quote Bourbaki:
“Quoi qu´il en soit, J. Gregory, en 1667, donne, sans citer qui que ce soit,..., une règle pour calculer les aires des segments hyperboliques au moyen des logarithmes (décimaux): ce qui implique à la fois la connaissance théorique du lien entre la quadrature de l´hyperbole et les logarithmes, et la connaissance numérique du lien entre logarithmes “naturels” et “décimaux’’. Et c´est à ce dernier point seulement que s´applique la révendication de Huygens, qui conteste aussitôt la nouveauté du résultat de Gergory? Ça n´est pas plus clair pour nous que pour les contemporains; ceux-ci en tout cas ont eu l´impression nette que l´existence d´un lien entre logarithmes et quadrature de l´hyperbole était chose connue depuis longtemps, sans qu´ils puissent là-dessus se référer qu´à des allusions épistolaires ou bien au livre de Grégoire de Saint-Vincent”(Bourbaki, J. – p.214).
I started my research with De Beaune's letter to Roberval dated 16 October 1638 (De Beaune, apud Waard, p.139-150), where he states and tries to find the curve, which was named after him, under conditions on the tangent at any of its points. It is one of the first inverse tangent problems. Descartes' reply, correcting his proof, comes in a letter to Roberval dated 15 November 1638 (Scriba, p.118-122). Eventually, Leibniz in a letter to Oldenburg of August 1676 shows (Scriba, p.122), using his differential calculus and his notation that:
∫
=−c x y dy
,
from which it follows that
c y c
The elucidation came to me when L’Hôspital wrote in the Journal des Sçavans about this curve and cast a challenge for the calculation of its length, which was solved by Varignon 11 years later in the same journal, (L´Hôpital, 1692, p. 401-403), (Varignon. 1703).
L´HÔPITAL'S CHALLENGE TO GEOMETERS FOR THE RECTIFICATION OF DE BEAUNE'S CURVE.
I present L´Hôpital's appeal for the rectification of the curve, suggesting that he already knew it, due to the four properties he attributed to it. The interesting fact is that he does not make use of the logarithmic function despite, I believe, being aware of Leibniz's result. ( Journal des Sçavans – 1691 – I – p.401):
“SOLUTION DU PROBLÈME QUE M. DE BEAUNE proposa autre fois à M. Descartes, & que l´on trouve dans la 79ème de ses lettres, tome 3. Par Mr. G***.
PROBLEME
Une ligne droite quelconque N estant donnée, & ayant mené deux autres lignes indéfinies AC, AI, en sorte que l´angle CAI soit de 45 degres; on demande la manière de decrier la courbe ABB qui soit de telle nature que si l´on mène d´un de ses points quelconques B, l´ordonnée BC & la touchante BT, la raison de BC à CT soit toujours la mesme que celle de la droite N à BI. SOLUTION
I hereby present an analysis of L´Hôpital's appeal which, I believe, made me understand the relation between the logarithmic function and the quadrature of the hyperbole.
INTRODUÇÃO
Um dos fatos históricos que mais me intrigava era a ligação entre a função logarítmica e a quadratura de hipérbole. Pelas análises que fiz em livros históricos e documentos que consegui arregimentar durante algum tempo, esse fato, apesar de ser conhecido desde o século XVII, não era claro para os matemáticos. Para confirmar esse fato cito Bourbaki:
Para tomar um exemplo mais instrutivo, qual é o autor do teorema
∫
=
x dx x
log , e qual é sua data? A fórmula, tal como acabamos de escrever é de
Leibniz, pois ambos os membros são escritos na sua notação. Leibniz ele mesmo, e Wallis, atribuem o resultado a Grégoire de Sant-Vincent. Esse último, no seu Opus Geometricum (aparecido em 1647, mas redigido, diz ele, muito tempo antes) demonstra somente a equivalência do que se segue: se f(a,b) designa a área de um segmento
hiperbólico a≤x≤b,0≤ y≤ Ax, a relação n a b a b
) (
, ,
= leva a f(a,,b,)=n.f(a,b), ao
qual seu aluno e comentador Sarasa acrescenta, então, quase em seguida, a observação de que as áreas f(a,b) podem, então, “tomar lugar dos logaritmos”. Se ele não disse
mais, e se Grégoire, ele mesmo, não tenha dito nada, não é que, para a maioria dos matemáticos dessa época, os logaritmos eram “ajudas ao cálculo”, sem direito a lugar na matemática? É verdade que Torricelli, em uma carta de 1644 (Torriceli apud Loria – p.75-89) fala dessas pesquisas sobre a curva que nós representaríamos por
0
, ≥
=ae− x
y cx , e acrescenta que, onde Neper (que por sinal cobre de elogios)
hiperbólicos por meio dos logaritmos (decimais): isso implica o conhecimento teórico da ligação entre a quadratura da hipérbole e os logaritmos, e o conhecimento numérico da ligação entre logaritmos “naturais” e “decimais”. É sobre esse último ponto somente que se aplica a reivindicação de Huygens, que contesta logo a novidade do resultado de Gregory ( Huygens, p. 228-230)? Isso ficou mais claro para nós do que para os contemporâneos; em todo caso, tivemos a impressão clara de que a existência de uma ligação entre logaritmos e a quadratura de hipérbole era coisa conhecida há muito tempo, sem que eles pudessem se referir a isso a não ser com alusões epistolares, ou bem ao livro de Gregorii de Saint-Vincent (Gregorii, p. 213).(Bourbaki, N. p. 213)
Iniciei minha pesquisa com a carta de De Beaune à Roberval de 16 de Outubro de 1638 (De Beaune, apud Waard, p.139-150), na qual ele enuncia e tenta achar a curva que recebeu seu nome, a partir de condições sobre a tangente em qualquer de seus pontos. É um dos “primeiros problemas inversos da tangente”. A resposta de Descartes, corrigindo sua demonstração, veio numa carta, também para Roberval de 15 de Novembro de 1638. (Scriba, p.118-122). Finalmente é Leibniz, que numa carta a Oldenburg de Agosto de 1676, mostra (Scriba, p.122), usando seu cálculo diferencial que
∫
= −c x y
dy
, que dá
c y c
x = − log .
A compreensão me veio devido a um desafio de L’Hôspital, (L´Hôpital, 1692, p. 401-403), respondido por Varignon, depois de onze anos, no mesmo jornal, mostrando a construção da retificação de curva de De Beaune e sua ligação com a quadratura da hipérbole. (Varignon. 1703)
DESAFIO DE L´HÔPITAL AOS GEÔMETRAS PARA A RETIFICAÇÃO DA
CURVA DE DE BEAUNE
Apresento minha tradução do apelo de L´Hôpital para a retificação da curva, dando a entender que ele já a conhecia, pelas quatro propriedades que atribui à curva. O interessante é que ele não usa a função logarítmica, mesmo, crendo eu, já conhecendo o resultado de Leibniz.
“Solução do problema de M. De Beaune proposto já algum tempo à M. Descartes e que encontramos nas suas cartas, N 79, tomo 3; por Mr. G***” (Marques de L’Hôspital)
Uma linha reta qualquer N será dada, e tendo traçado duas outras retas indefinidas AC e AI, de maneira que o ângulo CAI seja de 45 ; pergunta-se o modo de descrever a curva ABB, cuja natureza seja de que se traçarmos de um de seus pontos, por exemplo B, a ordenada BC, e
a tangente BT, a razão de BC e CT será sempre a mesma que da reta dada N e BI.( )
Formando o quadrado AG, cujo lado AH seja igual ao N dado, descrevemos as assíntotas GD e GH, pelo ponto A da hipérbôle ALL. Prolongando DA em E, de maneira que AE seja igual a AH = N, tomamos o retângulo EC cuja área é igual ao espaço hiperbôlico AKL. Prolongando, também, as retas LK e FC até que elas se encontrem no ponto M. Tomamos, enfim, IB igual a CM. Eu digo que o ponto B está na curva que queremos determinar.
É evidente que a natureza dessa curva ABB depende da quadratura da hipérbole e, também, que ela é mecânica no sentido de Descartes.(observação a baixo)
Vejamos agora algumas de suas propriedades:
1) Ela tem por assíntota a reta DO, paralela a AI.
2) Se chamarmos AC =x e BC = y o espaço ABC, compreendido pelas retas AC, CB
e pela porção AB da curva =xy− y2 +nx
2 1
3) A distância do centro de gravidade do espaço ABC da reta
nx y
xy
y xy n
AC
6 3 6
2 3
2 3 2
+ −
− +
= e de
nx y
xy
y y x n
AK
6 3 6
3 2
1
2 3 2
+ −
− +
= , e temos por conseguência
os sólidos, meio sólidos etc. formados pelas revoluções desse espaço ao redor, tanto de AC, de AK ou de BC.
4) É facil determinar os centros de gravidades dos meios sólidos, mas, com precisamos de um endereço particular para retificar a curva, supondo a quadratura da hipérbole, eu proponho esse problema aos Geômetras, lhes assegurando que ele merece ser pesquisado. Eu não coloco aqui a demonstração pois aqueles que entendem essa matéria a encontrarão facilmente e é preciso muita discussão para fazer os outros a compreenderem.
Obs: (L’Encyclopédie de Diderot e d’Alembert)
“Descartes foi o primeiro a pensar em exprimir as linhas curvas pelas equações. Essa idéia, sobre a qual se fundamenta a aplicação da Álgebra à Geometria, é muito feliz e fecunda.
As curvas se dividem em algébricas, que chamamos segundo Descartes de curvas geométricas, e as transcedentes, que para ele são as mecânicas. As algébricas, ou geométricas, são aquelas nas quais a relação entre abscissa e ordenada pode ser expressa por uma equação algébrica, por exemplo: a2 −x2 = y2. As equações de uma curva mecânica só podem ser expressas por equações entre dx e dy. Existem dois tipos desse gênero de curvas. Podemos colocar:
1) As curvas exponenciais, nas quais uma das incôgnitas ou todas duas entram em expoentes, como as curvas de equações: y =ax, ouyx =ay , etc.
2) Ou, as curvas intertranscendentes nas quais as equações são expressas segundo radicais, por exemplo: x= y 2.
Intertranscendente é o termo que Leibniz usou para designar as funções de potências ya
ANALISANDO A PROPOSTA DE L´HOPITAL
Tomando AC como eixo dos x e BC dos y, a razão que define a curva de De Beaune pode ser
escrita como
BI N CT BC =
. Chamando o comprimento do segmento N de a e, usando a semelhança
de triângulos retângulos
CT y dx dy =
, a sub-tangente, pode ser escrita em coordenadas
dy dx y CT = .
Como ACI é um triângulo retângulo isósceles, temos que BI =CI = x. Assim, a razão se escreve
como x y a dy dx y y −
= , ou ainda, (y−x)dy =adx (1). Fazendo uma substituição de coordenadas,
chamando z=a−(y−x)e y= y e derivando temos:
dy dx dy
dz =− +
1 , isso é
a z a x y a a x y dy
dz =−1+ − = − + − =− . Integrando, obtemos
∫
=−∫
a dy dz z 1e, pelo conhecimento
atual, C
a y z =− +
ln , ou então,
a y z K+ln =−
ln , pois z>0. Dessa igualdade podemos escrever
que a
y e
Kz = − , ou ainda, a
y e K
z = 1 − . Como nossa curva passa pelo ponto (0,0), isto é,
a z
y =0→ = , a y ae
z= − . Voltando às coordenadas antigas, a
y ae a y
x= − + − , ou ainda,
a y ae a x
y− = − − (2). Isso mostra, então, que a curva de De Beaune é logarítmica, ou então,
exponencial.
Consideremos, agora, a hipérbole (a−x)(a−y)=a2. Ela passa pela origem e tem as retas:
a
x= e y =a como assíntotas. Sua equação, também, pode ser escrita como
y a a a x − −
= 2 .
Para calcular a área da região ALK temos que calcular a integral entre zero e um ponto K do
eixo y, digamos de coordenadas (0,yK).Como estamos calculando uma área para valores de x
negativos a integral vai ser negativa:
a y a a ay a a a y a ay y a dy a ay xdy K K K K y K
yK K −
− − = + − − − = − − − =
−
∫
∫
2ln 2ln 2ln0 2
0
L´Hôpital impõe que esse valor deve ser igual a ax, a área do retângulo ACEF, para um x dado, ou então: a y a a ay ax K K − − −
= 2ln , ou ainda,
a y a a
x
yK − = − K
−
ln , isso é, a
x y K K ae y a − − = − . Logo: a x y K K ae a y − − − = (3).
Comparando as equações (2) e (3) temos que
a x y a
y = − K −
− . Podemos concluir que
x y
yK = − , que é a afirmaçao de L´Hôpital, IB=CM.
Creio que com isso mostro a ligação da função logarítmica com a quadratura de hipérbole, por meio da curva de De Beaune.
Vejamos agora as propriedades dessa curva apresentadas por L´Hôpital. Ela tem por
assíntota a reta DO, paralela à AI: De fato, como a equação da curva é a y ae a y
x= − + − , a diferença
entre ela e a reta de equação x= y−a é a y ae
−
, que tende a zero quando y cresce.
2 – Se denominarmos AC de x e BC de y o espaço ABC compreendido pelas retas AC e
CB, e pela porção AB da curva é igual a . 2
1y2 ax xy− +
Para mostrar essa afirmação temos que o espaço ABC pode ser calculado como
∫
x ydx 0
, ou
ainda, como o retângulo de lados AC e BC, menos a área entre a curva e o eixo y.Logo,
∫
= −∫
x y xdy xy ydx 0 0. Da igualdade (1) podemos escrever que:
∫
−∫
=∫
x y y adx xdy ydy 0 0 0 ,ou ax xdy y y = −
∫
0 22 . Substituindo na igualdade acima:
∫
= −∫
= − +x y ax y xy xdy xy ydx 0 0 2
2 , que é a
igualdade dada por L´Hôpital.
3 – A distância do centro de gravidade do espaço ABC à reta AC é
ax y xy y xy a 6 3 6 2 3 2 3 2 + − − +
= e de AK é
ax y xy y y x a + − − +
= 2 2 3
3 6 2 3 2 1
. Então, podemos considerar os sólidos,
Vamos calcular o centro de gravidade da região solicitada, isto é, as coordenadas )
,
(x y desse ponto. Temos que:
∫
∫
= x x dA xdA x 00 , e
∫
∫
= x x dA ydA y 0 0 ,em que dAé o elemento de área da região, ou seja, dA= ydx.
Logo,
∫
∫
= x x ydx xydx x 00 e
∫
∫
= x x ydx dx y y 0 0 2. Calculemos, então, x. O denominador é a área da região,
que já foi determinada no itém 2,
∫
= −∫
= − +x y ax y xy xdy xy ydx 0 0 2
2 . Falta achar o numerador
∫
x xydx 0
. Vamos calcular essa integral pelo processo de ‘integração por partes’: chamando u = ye
dv
xdx= , temos que:
∫
= −∫
x y dy x x y xydx 0 0 2 2 2
2 . Voltemos a equação de definição da curva (1) adx
xdy
ydy− = , que multiplicada pory: y2dy−yxdy=aydx(4), e por
x
: xydy−x2dy =axdx(5).Somando essa duas equações (4)+(5) e integrando no intervalo solicitado tem-se:
2 ) 2 ( 3 2 2 0 2 3 x a ax y xy a dy x y y + + − =
−
∫
. Logo2 2 ) 2 ( 2 6 2 1 2 0 2 3
2dy y a xy y ax a x x y + + − + − = −
∫
.Podemos, então, escrever que:
ax y xy ax as y xy y yx a ax y xy x a y yx a x 4 2 4 3 6 3 2 2 4 6 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 + − + + − − + = + − + − + = ,
Vejamos agora y,
∫
∫
= x x ydx dx y y 0 0 2, o denominador já é conhecido, é a área da região, isto é,
∫
= −∫
= − + x y ax y xy xdy xy ydx 0 0 22 . Temos que calcular o numerador
∫
xdx y 0
2 . Usando, mais uma
vez, a integração por partes: u = y2e dv=dx, temos que
∫
= −∫
= −∫
x y y
xydy x y ydy x x y dx y
0 0 0
2 2
2 2 2 .
Subtraindo (4)-(5) e integrando nos intervalos dados, temos:
2 2 3 2 0 0 2 0 3 x a ydx a dy x xydy
y y y x
− =
+
−
∫
∫
∫
.Por outro lado, já calculamos
2 ) 2 ( 3 2 2 3 0
2dy y a xy y ax ax x y − + − − =
∫
. Então:2 ) 2 ( 2 ) 2 ( 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0
2dx y x y y a xy y ax ax a xy y ax ax y x − + − + + + − + − − =
∫
e assim3 2
2
3 2 2 3
0
2 2
2
0
2
2 3 3 2
3
2 2 2
3 6 3 6
3 3 2 2 x x y
y dx y x
y y x y x y
y a a ( a ),
y xy y ax xy y ax
xy ax ydx − + − + − = = + = + = + − + − + − +
∫
∫
¨que difere duas vezes do valor dado por L´Hôpital. Nesse resultado, y é a ordenada do centro em
relação à reta AC.
Para os sólidos de revolução devemos simplesmente fazer a substituição das coordenadas correspondente. Assim o sólido de revolução da superfície ABC em torno do eixo terá equação:
a z y ae a z y x 2 2 2 2 + − + − + = .
4 – É fácil determinar os centros de gravidade dessas meia-folhas. Mas como precisamos de uma equação particular que retifique a curva, supondo a quadratura da hipérbole, eu proponho esse problema aos Geômetras, lhes assegurando que ele merece sua pesquisa.
Foi esse desafio que levou, onze anos depois, Varignon a escrever seu artigo no Journal des Sçavans, ou seja a retificão da curva de De Beaune (Le Journal des Sçavans,1703, p.117 - 121). Varignon faz uso da quadratura da hipérbole para efetuar algumas integrações, como, por exemplo,
∫
+ − 2 2
2
2
z a z a
dz a
(p.119).
CONCLUSÃO
O uso da quadratura da hipérbole era muito usado nessa época em integrações. Entretanto, quando De Beaune apresentou sua curva, como um problema inverso da tangente, tenta resolvê-lo usando o método de Descartes. Mais tarde, Descartes faz correções a seu processo usando uma série, que já tinha sido usada por Nepier para introduzir o logarítmo, mas nenhum dos dois autores se refere à função logarítmica. A discussão dos errros cometidos por De Beaune e a solução de Descartes são muito bem estudadas na publicação do IREM de Basse-Normadie, Aux Origines du Calcul Infinitésimal (1999).
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
:Bourbaki, N. – Éléments d’Histoire des Mathématiques – Hermann – Paris – 1974.
Descartes, R.- Oeuvres, ed. Adam et P. Tannery, 13 vol. Paris (L. Cerf) 1897 -t. II p. 514 – 517- 1897-1913.
Gregorii, J. A Sancto Vicentio, - Opus Geometricum Quadraturae Circuli et Sectionum Coni,...- 2 vol,- Antverpiae -1647.
Gregory, J. - Vera Circuli et Hyperbolae Quadraturae... Pataviae – 1667-, reproduzido em [Chirstiani Hugenii, Zulichemii Philosophi vere magni, Dum viveret Zelemii Toparchae, Opera... 4 tomes em 1 vol., Lugd. Batav. 1751].
Hugenii, C.- Zulichemii Philosophi vere magni, Dum viveret Zelemii Toparchae, -Opera... 4- tomes em 1 vol.-, Lugd. Batav.- 1751.
IREM de Basse Normandie – Aux originies du calcul infinitésimal. Paris :Ellipses, 1999.
L´Hôpital, G. – Solution du problème que M. De Beaune proposa autrefois à M. Descartes, et que l´on trouve dans la 79 de ses lettres, tome 3 – Le Journal des Sçavants (p. 401-403) – Chez Jean Cusson- Paris – 1692.
Loria, G. -Le ricerche inedite di Evangelista Torricelli sopra la curve logarítmica.- Bibl. Math. (3) t.1,- p. 75-89 – 1900.
Sarasa - P.Alfonso Antonio de - Solutio problematis....,- Antverpiae, - 1649.
Scriba, C. – The Inverse Method of Tangents: A Dialogue between Leibniz and Newton (1675-1677).
Torricelli, E - Opere, 4 vol. t. I- Ed. G. Loria et G. Vassura,- Faenza (Montanari), -1919.
Varignon, P. – Solution du probleme que M. le Marquis de L´Hôpital a proposé aux Géomètres dans le Journal des Sçavans de 1692, p.59- Le Journal des Sçavants- (p.117 - 121) – Chez Jean Cusson- Paris – 1703.
