6) ABCD ´e um trap´ezio,

(1)

CEFET/RJ - Campus Petrópolis - Engenharia de Computação - 2017.2

GCOM3017PE - Cálculo a Várias Variáveis - Professor Rafael Saraiva Campos Parte I - Revisão Cálculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica

Lista 1.1 - Vetores, Produto Escalar, Produto Vetorial, Produto Misto

1) A, B e C são três pontos não colineares. X e Y são dois pontos tais que3−−→AX= 5−−→XB e−→Y A=1 3

−→

AC. Faça uma figura representando estes pontos e vetores, e escreva−−→XY em função de −→CAe−−→CB.

2) A, B, C e D s˜ao v´ertices de um paralelogramo. O lado−−→AB foi dividido em4partes iguais e o lado −−→DC em3, conforme a figura a seguir. Pede-se:

a) sendo−−→AB=−→a,−−→AD=−→b ,−→u =−−→DE,−→v =−−→CF e−→w =−−→GH, escreva−→u,−→v e−→w em função de−→a e−→b; b) escreva−→w em função de −→u e−→v.

3) A, B, C e D são vértices de um paralelogramo, conforme a figura a seguir. Os pontos E e G são tais que−→AE= 2 5

−−→ ABe −−→

DG=3₄−−→DC. F é o ponto de encontro de −→AGe−−→DE. Escreva−→AF em função de−−→AB e−−→AD.

4) Sendo−→a =−→OAe−→b =−−→OB dois vetores não paralelos, escreva−→v =−−→OP como combinação linear de −→a e−→b, sabendo que−→AP =2

3

−−→ AB.

5) ABCD é um quadrilátero, onde−−→AD= 3−→v,−−→BC= 2−→v e−−→AB=−→w. Que tipo de quadrilátero é ABCD? Determine o lado −−→

CD e as diagonais−−→BD e−→AC em func¸˜ao de −→v e−→w.

6)ABCD é um trapézio,−−→AB=−→a,−−→DC = 2−→a e−−→DA=−→b. O ponto E é tal que −−→BE=₃1−−→BC. Escreva−→AC e−−→DEem função de−→a e−→b.

7) S˜ao dados−→OA=−→a,−−→OB=→−b,−−→OC =−→c,−→AP = 1 3−→c,

−−→ BQ=4

5−→a. Escreva

−−→

P Qem func¸˜ao de −→a,−→b e−→c.

8) Em um triângulo ABC, o ponto M é tal que3−−→BM= 5−−→M C. Escreva o vetor−−→AM em função dos vetores−−→AB e−→AC. 9) E dado o triângulo ABC e o ponto X sobre a reta AB tal que´ −−→XB= 4−−→XA. Sejam−−→AB=−→b e−→AC=−→c.

a) Determine o vetor−−→CX em func¸˜ao de −→b e−→c;

b) Seja M o ponto médio de−−→CX. Escreva−−→BM em função de −→b e−→c.

10)No triângulo ABC,−→CA=−→a e−−→CB=−→b; X é tal que−−→XB= 3−−→AX e Y é tal que 3−−→Y C= 2−−→Y B. a) Represente o problema graficamente;

b) Escreva−−→CX,−→AY e−−→XY em func¸˜ao de−→a e−→b.

11)Num triˆangulo ABC temos3−−→BP = 4−−→P C e3−−→P Q= 4−→QA. a) Represente o problema graficamente;

(2)

12)ABCD é um paralelogramo de diagonais−→AC e−−→BD. O ponto R é tal que 3−−→DR= 2−−→CDe S é tal que 2−→BS=−→SC. a) Represente o problema graficamente;

b) Escreva−→RS em func¸˜ao de −−→ABe−−→AD.

13)A, B, C e D s˜ao os v´ertices de um paralelogramo. Tem-se−−→AB=−−→CD,−−→CE=1₃−−→CD,−−→CF = 1₂−→CA,−→AG= 1₂−−→AB, −

→_x ₌−−→_EF,−→_y ₌−−→_EG_e−→_z ₌−−→_EB.

a) Escreva −→x,−→y e−→z em função de−−→AB e−→AC; b) Escreva−→z em função de−→x e−→y.

14)No tetraedro OABC, tem-se−→OA=−→a,−−→OB=−→b,−−→OC =−→c,−−→OP =2₃−−→OB, M é o ponto médio de−−→AB, N é o ponto médio de−−→BC, e Q é o ponto médio de−→AC. Pede-se −→s =−−→P M+−−→P Q+−−→P N em função de −→a,−→b e−→c.

15)No trap´ezio da figura abaixo,−−→DC =1₃−−→AB,−−→AN = 1₃AD,−−→ −−→AM= 3₄−−→AB e−−→CF =α−−→CN. Determine α.

16)A, B e C são vértices de um triângulo onde−−→AB= (2,1,2) e−→AC= (−4,1,1). Calcule o comprimento dos lados do triângulo, o cosseno do maior ângulo e classifique o tipo de triângulo (acutângulo, retângulo ou obtusângulo).

17)Dados os vetores−−→AB= (0,1,1) e−→AC= (2,1,2), calcule:

a) os vetores−→a e−→b, sabendo que−→a é paralelo a −→AC,→−b é ortogonal a−→AC e−→a +−→b =−−→AB.; b) a área do triângulo de vértices A, B e C;

c) a distˆancia de B `a reta−→AC.

18)Sejamk−→xk= 2,k−→yk= 3, e θ= 60graus, ondeθ é o ângulo entre−→x e−→y. Sendo→−a = 2−→x+−→y e−→b =−3−→x +m−→y, calculem de modo que−→a seja ortogonal a−→b. Faça uma figura ilustrando o problema.

19)Os vetores não-nulos−→u,−→v,−→x e−→y satisfazem as equações:k2→−u + 3−→v_k=√13k−→u_k=√13k−→v_k e k2−→x + 3−→y_k=√19k−→x_k=√19k−→y_k. Calcule: a) o ângulo entre −→u e−→v; b) o ângulo entre−→x e−→y;

20)ABCD ´e um paralelogramo, onde k−→a_k= 2e

− →

b

= 3, conforme a figura abaixo. Determine o cosseno do menor

ˆangulo formado pelas diagonais do paralelogramo.

21)Os vetores−→x e−→y formam um ˆangulo de60 graus. Sabendo quek−→x_k= 1,k−→y_k= 2,→−a =−→x + 2−→y e→−b =−→x ₋2−→y, calculek−→a_k,

− →

b

e o ˆangulo entre

−

→_a _e−→_b_{. Represente numa figura os vetores}−→_x_,−→_y_,−→_a _e−→_b_{, al´em do ˆangulo calculado.}

22)Prove que as diagonais de um losango s˜ao perpendiculares. 23)Supondo−→a e−→b n˜ao-nulos, demonstre algebricamente que

−→a +

− →

b

=k−→ak+

− →

b

se, e somente se, −→a e

− →

(3)

24)Demonstre que

− →_a ₊−→_b

=

− →_a ₋−→_b

se, e somente se,

−

→_a _·−→_b _{= 0. Dica:} −→_u _{· −}→_u ₌_k−→_u_k_.

25)Os vetores−→u,(1,0,2)e(4,3,−1) são coplanares. Determinexna equação(1,0,3)× −→u = (x,1,3). 26)Dados−→a = (3,−1,2) e−→b = (2,3,0), determine um vetor−→v tal que→−v _{· −}→a =−2 e→−v _×−→b = (3,−2,−3). 27)Sejam −→u,−→v e−→w três vetores tais que−→u _{· −}→v =−→v _{· −}→w =−→u _{· −}→w = 0,k−→u_k=√2,k−→v_k= 2ek−→w_k= 2. Dados −

→_a _{= 2}−→_u ₊−→_v _{− −}→_w _e→−_b ₌−→_u _{− −}→_v_{, calcule}_k−→_a_k_,

− →

b ,

−

→_a _·−→_b _e

− →_a _×−→_b

.

28)Temosk−→a_k= 2,

− →

b = 1e

−

→_a _×−→_b ₌−→_c_{. Os vetores}−→_a _e−→_b _{s˜ao, respectivamente, paralelos aos vetores} −→_i _e−→_j _e

têm os mesmos sentidos que esses. Calcule a área do triângulo ABC, sendo−−→AB=−→a −−→b + 2−→c e−→AC= 2−→a +−→b −3−→c.

29)Sejam −→OA= (0,3,2),−−→OB= (1,5,1)e−−→OC = (1,2,−1).

a) Demonstre que o quadrilátero de vértices O, A , B e C é um paralelogramo; b) Calcule sua área;

c) Calcule a distˆancia de A `a reta OC.

30)Determine a ´area do paralelogramo ABCD, cujas diagonais s˜ao−→AC= (0,2,3) e−−→BD= (−2,4,1).

31)Seja o tetraedro OABC, onde−→OA= (1,3,−1),−−→OB= (0,2,−1)e−−→OC = (3,4,2), com A, B e C coplanares. a) Calcule a ´area do triˆangulo ABC;

b) Determine um vetor−→x de m´odulo1, perpendicular ao plano ABC.

32)ABCD é um quadrado, M e N são pontos médios dos lados,−−→AB=−→a e−−→AD=−→b, conforme a figura abaixo. Determine em função de −→a e−→b: a) o vetor−→IC; b) a área do triângulo CIN.

33)Verdadeiro ou falso? Se verdadeiro, demonstre. Se falso, dˆe um contra-exemplo. a) se−→a +−→b +−→c = 0, ent˜ao −→a _×−→b =−→b _{× −}→c =−→c _{× −}→a;

b) se−→a ×−→b =−→b × −→a, então −→a e−→b são paralelos; c) se−→a ×−→b =−→a × −→c, então−→b =−→c.

34)O vetor −→w é ortogonal aos vetores−→u e−→v, ondek−→uk= 1,k−→vk= 2,k−→wk= 3 e o ângulo formado entre−→u e−→v é de 30graus.

a) Calcule −→u ·(−→v × −→w), sabendo que o resultado ´e positivo;

b) Se−→a = 2−→u,−→b =−→v +−→w e−→c =−→u − −→v +−→w, calcule →−a ·−→b × −→c.

35)Quais dentre as expressões abaixo não têm sentido? Justifique. a)[−→x ·(−→y × −→z)]−→v1× −→v2

b) −→v1×((−→v2× −→v3)· −→v4)

c)−→v1⊥(−→v2·(−→v3× −→v4))

d) ₋_→ 1 x·(−→y×−→z)

− →_v

e) −→a×−→b

− →a·−→b,

−

→_a _·−→_b ₆_{= 0}

f) −→a·−→b

− →a×−→b,

−

→_a _×−→_b ₆_{= 0}

36)Demonstre(−→u +−→v)·[(−→v +−→w)×(−→u +−→w)] = 2→−u ·(−→v × −→w).

(4)

38)Sejam A, B e C pontos não colineares. Prove que a distânciaddo ponto P ao plano πdefinido por A, B e C é dada por d=

−−→

AB·

_−→

AC×−→AP

−−→

AB×−→AC

.

39)Sejam −−→AB= (1,−1,1),−→AC= (−1,3,2) e−−→AD= (2,1,0). Pede-se: a) a área do triângulo ABC e sua altura relativa ao vértice A;

b) o volume do tetraedro ABCD e a distˆancia do ponto D ao plano definido por A, B e C.

(5)

Gabarito

1) −−→XY = 23 24

−→ CA−5

8

−−→ CB

2) a)−→u =1 4−→a −

− →

b,−→v =−1 2−→a −

− →

b,−→w =−5 12−→a +

− →

b; b)−→w =−11 9−→u +

2 9−→v

3) −→AF = 8 23

−−→ AD+ 6

23

−−→ AB

4) −→v =1 3−→a +

2 3

− →

b

5) ABCD ´e um trap´ezio. −−→CD=−→v _{− −}→w,−→AC=→−w+ 2−→v,−−→BD= 3−→v _{− −}→w

6) −→AC= 2−→a −−→b,−−→DE=4 3−→a −

2 3

− →

b

7) −−→P Q=−15−→a +

− →

b −13−→c

8) −−→AM= 3₈−−→AB+5₈−→AC

9) a)−−→CX =−13

− →

b _{− −}→c; b)−−→BM=−76

− →

b +1₂−→c

10) b)−−→CX= 3₄−→a +1₄−→b;−→AY =−−→a ₋2−→b;XY−−→=−34−→a − 9 4

− →

b

11) b)−→AP =3 7−→u +

4 7−→v;

−−→ BQ=−40

49−→u + 12 49−→v

12) b)−→RS= 5₃−−→AB₋2₃−−→AD

13) a)−→x =−13

−−→

AB₋1₂−→AC;−→y = 1₆−−→AB₋−→AC,−→z = 2₃−−→AB₋−→AC; b)→−z =−65−→x + 8 5−→y

14)−→s =−→a −−→b +−→c

15)α=2₅

16) −−→ AB = 3, −→ AC = 3 √ 2e −−→ BC = √

37;cosα=−₉√5

2; obtusˆangulo.

17) a)−→a = 2 3, 1 3, 2 3

,−→b = −2 3, 2 3, 1 3

; b) 3₂; c)1.

18)m= 33₁₅

19) a)90graus; b)60 graus.

20) √5 133

21)k−→ak=√21,

− →

b

= 2,arccos

−√21 14

≈109.1 graus.

25)x=−9

26)(1,3,−1)

27)k−→ak= 4, − → b = √

6,−→a ·−→b = 0,

− →_a _×−→_b

= 4

√ 6

28)√206

29) b)√62; c) √93 3

30)√38

31) a) √₂19; b) (−√3,3,1) 19

32) a)−→IC =1 5−→a +

2 5

− →

b; b) k−→ak

2

20

33) a) V; b) V; c) F

34) a) 3; b) 12.

35) b, c, f

39) a) ´area= √38

2 , altura= q

38

21; b)V = 13

6,d= 13 3√38.