Sequências e Séries
Simone Ribeiro
1
Introdução - motivação
Muitas equações diferenciais não podem ser resolvidas explicitamente usando os
métodos conhecidos. Entre estas, existem equações de aparência bem simples, porém
muito importantes como
y′′−2xy′+y=0,
pois derivam do estudo da equação de Schrödinger da mecânica quântica. Nestes casos, usaremos o método das séries de potência, isto é, procuramos soluções da forma
y= f(x)=
∞ X
n=0
anxn =a0+a1x+a2x2+· · ·+anxn+· · · .
Para fazermos este estudo, estudar sequências de números reais e as séries numéricas.
2
Sequências: conceitos básicos
Definição1 Uma sequência é uma lista infinita de números reais dada na ordem dos seus
índices:
a1,a2,a3, . . . ,an, . . . ,
onde
a1 → primeiro termo
a2 → segundo termo
a3 → terceiro termo
..
. ... ...
an → n-ésino termo
..
. ... ...
Note que, pela definição, para cada n ∈ Z∗
+, corresponde um elemento an. Desta
Notação: A sequência pode ser representadas das seguintes formas:
{a1,a2,a3, . . .}, {an}, {an}∞n=1
Exemplo1
n
n+1
∞
n=1 = 1
2, 2 3,
3 4, . . . ,
n n+1, . . .
Exemplo2
(
(−1)n(n+1) 3n
)∞
n=1
=
−2
3 , 3 9,
−4 27, . . .
Exemplo3 {cos nπ}∞n=0 ={1,−1,1,−1, . . .}
Definição2 A sequência{an}tem o número L como limite, e escrevemos
lim
n→∞an=L ou an→L quando n→ ∞,
quando, para cadaǫ > 0escolhido tão pequeno quanto queiramos, existe um n0suficientemente
grande tal que
|an−L|< ǫ, para todo n>n0. (1)
Neste caso, dizemos que a sequência converge para L ou que a sequência é convergente.
A grosso modo, podemos interpretar a idéia de limite de uma sequência das
se-guintes formas:
• Os termos an da sequência ficam cada vez mais próximos do número real L à medida quencresce.
• O valor de|an−L|(a distância de anparaL) fica cada vez menor à medida quen cresce.
• Para todo ǫ > 0, não importa quão pequeno ele seja, existe um n0 que torna a expressão (1) válida.
• Note que, quanto menor oǫescolhido, maior será on0necessário para funcionar (1).
Definição3 Uma sequência{an}élimitadase existem reais A e B tais que todos os termos de
{an}estejam entre estes dois números, isto é,
A<ai <B, para todo i=1,2,3, . . .
Chamamos A de limite inferior de{an}e B de limite superior de{an}. Uma sequência que não é
limitada é chamada de ilimitada.
Exemplo4 {1}={1,1,1,1,1. . .}é limitada.
Exemplo5
1
n
=
1,1
2, . . .
é limitada.
Exemplo6 {2n}={2,4,8, . . .}é ilimitada.
Teorema1 Uma sequência convergente é limitada, mas nem todas as sequências limitadas são
convergentes.
De fato, a sequência {0,1,0,1,0,1, . . .} é limitada, porém não converge para número
algum.
2.1
Propriedades operatórias de sequências
Sejam{an}e{bn}sequências convergentes eα∈R. Então:
1. lim
n→∞(an+bn)=n→∞liman+n→∞limbn;
2. lim
n→∞(α·an)=α·n→∞liman;
3. lim
n→∞(an·bn)=
lim n→∞an
·
lim n→∞bn
;
4. Sebn,0 para todo one se limn→∞bn,0, então
lim n→∞
an bn
= limn→∞an
limn→∞bn ;
5. Se limn→∞an=ae f é contínua ema, então
lim
6. lim
n→∞α=αe limn→∞1/n=0;
7. Se limx→∞ f(x)=L, então limn→∞ f(n)=L;
8. Se|r|<1, então limn→∞rn =0, e se|r|>1 our=−1, então limn→∞rnnão existe;
9. Se limn→∞|an|=0, então limn→∞an =0.
Exercício1 Usando as propriedades operatórias, calcule cada um dos seguintes limites, caso
exista:
1. lim
n→∞ 3+n 2n+1;
2. lim
n→∞sin
πn 2n+1;
3. lim
n→∞ n
n+1;
4. lim
n→∞ lnn
n ;
5. lim
n→∞(−1) n;
6. lim
n→∞ (−1)n
n ;
Resolução:
1. lim n→∞
3+n
2n+1 =n→∞lim
3/n+n/n
2n/n+1/n =n→∞lim
3/n+1
2+1/n =
limn→∞3/n+1
limn→∞2+1/n = 1 2.
2. lim n→∞sin
πn
2n+1 =sin
lim n→∞
πn/n 2n/n+1/n
=sin
limn→∞π
limn→∞2+1/n
=sin(π/2)=1.
3. Análogo ao primeiro item.
4. Suponha que f(x)= lnx
x . Então, usando a regra de L’Hôspital para f(x), temos:
lim
x→∞f(x)=x→∞lim lnx
x =x→∞lim
1/x
1 =0⇒n→∞lim f(n)=n→∞lim lnn
n =0.
5. {(−1)n}={−1,1,−1,1, . . .}. Os termos da série oscilam entre 1 e−1 e, portanto, não
se aproximam de número algum. Logo, o limite não existe.
6. lim x→∞
(−1)n n
=x→∞lim 1
n =0 ⇒ x→∞lim
(−1)n
3
Séries infinitas
A expansão decimal de 1
3 =0,333333...é uma representação de 1
3 como uma soma infinita 3
10+ 3 100+
3
1000+· · ·. Esta soma infinita chama-se série e pode ser usada como meio de obter as aproximações para números ou funções. Assim, por exemplo,
ln 2=1− 1
2 + 1 3 −
1
4 +· · · e
sinx=x− x 3
3! + x5 5! − · · ·
Definição4 A soma de uma série: Seja{an}uma sequência de números reais. O número
Sn =
n X
i=1
ai =a1+a2+a3+· · ·+an
é a n-ésima soma parcial dos termos an. Se a sequência S1,S2,S3, . . .de somas parciais converge
para um limite S, então dizemos que a série converge e escrevemos
∞ X
i=1
ai =S,
ou seja,
∞ X
i=1
ai define-se por lim
n→∞ n X
i=1 ai
e chama-se a soma de uma série. Uma série que não converge, ou seja, tal que limn→∞Pni=1ai
não exista, diz-se divergente.
Exercício2 (Série geométrica): Se|r|<1e a é um número qualquer, então ∞ X
i=0
ari converge
para a
1−r. Se|r|>1e a é um número qualquer, então
∞ X
i=0
ari diverge.
Resolução: Vamos Calcular a soma da série geométrica. Sejaa ∈ R e−1 < r < 1. O
númeroré chamado de razão da progressão geométrica, pois é a razão de cada termo da série com o seu antecessor. Nosso objetivo é calcular
∞ X
i=0
Note que ∞ X
i=0
a ri = lim
n→∞Sn, ondeSné a soma parcialSn= Pn
i=0a ri:
s1 = a+ar
s2 = a+ar+ar2
s3 = a+ar+ar2+ar3
..
. ... ...
sn = a+ar+ar2+· · ·+arn.
Note que:
sn = a+ar+ar2+· · ·+arn
rsn = ar+ar2+ar3+· · ·+arn+1.
Subtraindo estes dois termos, obtemos:
sn−rsn = a−arn+1
sn = a(1−r
n+1
1−r . (2)
Portanto, podemos usar a expressão deSnpara calcular a soma da série geométrica:
∞ X
i=0
a ri = lim
n→∞Sn =n→∞lim
a(1−rn+1)
1−r =n→∞lim
alim
n→∞(1−r n+1)
lim n→∞(1−r)
= a
1−r (3)
Exercício3 Ache o número fracionário representado por0,3451515151.....
Resolução: Podemos escrever o número como uma série
34 100 +
51 1002 +
51
1003 +· · · = 34 100 +
∞ X
i=0
51·(0.01)i+2
= 34
100 + ∞ X
i=0
51· 1
100 2 1
100 i
= 34
100 + ∞ X
i=0 51
1002 1 100
i
= 34
100 +
51/10000
1−1/100
= 34
100 + 51 9900 =
3366+51
9900 =
Exercício4 (Série harmônica: ) A série harmônica
∞ X
i=1 1
i = 1+
1 2 +
1 3+
1
4 +· · ·+ 1
n· · · (4)
diverge a+∞.
O fato da série divergir não é nada óbvio. Infelizmente não temos uma expressão
fechada para o n-ésimo termo da sequência de somas parciais, como no caso da série
geométrica (2). Isto dificulta o cálculo da soma da série. No entanto, podemos fazer uma estimativa desta soma agrupando os termos da série de forma conveniente:
1+1
2 + 1 3 +
1 4 |{z}
+1
5 + 1 6 +
1 7 +
1 8 | {z }
+· · ·
> 1+1
2 + 1
4 +
1 4 |{z}
+1
8 +
1
8 +
1
8 +
1 8 | {z }
+· · ·
= 1+1
2 + 1 2 +
1 2+· · ·
Agora, fazendonsuficientemente grande, podemos ter tantos 1/2’s quanto quisermos
na soma parcialSn. Daí,Snpode ser tornado arbitrariamente grande, indicando que a
série harmônica ∞ X
i=1
1
i =n→∞limSndiverge.
Exercício5 Outra forma de divergência pode ser vista na série ∞ X
i=0
(−1)i. A sequência das
somas parciais é:
s1 = 1−1=0
s2 = 1−1+1=1
s3 = 1−1+−1=0
..
. ... ...
sn = 1−1+−1+· · ·+1=1, se n é par
ou sn = 1−1+−1+· · ·+1=0, se n é ímpar.
Logo,{Sn}={0,1,0,1,0,1,0, . . .}é divergente e, portanto ∞ X
i=0
(−1)i = lim
3.1
Operações algébricas com séries
1. Soma de duas séries: se ∞ X
i=0 ai e
∞ X
i=0
bi convergem, então ∞ X
i=0
(ai+bi) converge e
∞ X
i=0
(ai+bi) =
∞ X
i=0
ai +
∞ X
i=0 bi.
2. Se ∞ X
i=0
ai converge ecé uma constante, então ∞ X
i=0
c·aiconverge e
∞ X
i=0
c·ai = c·
∞ X
i=0 ai.
Exercício6 Mostre que a série ∞ X
i=0 " 2i − 1 2 2# é divergente.
Resolução: Suponha que a série
∞ X
i=0 " 2i − 1 2 2#
seja convergente. Então a soma de duas
séries convergentes ∞ X
i=0 " 2i − 1 2 2# e ∞ X
i=0 1
2 2
é convergente, mas
∞ X
i=0 " 2i − 1 2 2# + ∞ X
i=0 1 2 2 = ∞ X
i=0 2i,
mas ∞ X
i=0
2idiverge. Contradição! Logo a série ∞ X
i=0
" 2i − 1 2 2# diverge.
3.2
Testes de convergência
3.2.1 Teste do termo geral
É possível obter uma condição necessária muito simples para a convergência de
uma série ∞ X
i=1
ai. De fato, note que:
Sn−Sn−1 = a0+a1+a2+· · ·+an−1+an
−(a0+a1+a2+· · ·+an−1)
= an.
Note também que se ∞ X
i=1
ai converge, então lim
n→∞Sn existe e é igual a limn→∞Sn−1. Logo, lim
Definição5 (Teste do termo geral: teste para divergência)
• Se ∞ X
i=1
ai converge, entãolim
i→∞ai =0.
• Selim i→∞ai
,0, então
∞ X
i=1
aidiverge.
• Selim
i→∞ai = 0, a série pode convergir ou divergir e, neste caso, é necessário uma análise complementar.
Este teste pode ser usado para mostrar que uma dada série diverge, mas não pode ser usado para
concluir que ela converge.
3.2.2 Os testes de comparação e as séries alternadas
Teste da comparação: Sejam
∞ X
i=1 ai e
∞ X
i=1
bi séries tais que |ai| < bi parai = 1,2,3, . . ..
Então se ∞ X
i=1
bi converge, então ∞ X
i=1
|ai|converge e também ∞ X
i=1
aiconverge.
Exercício7 Mosre que ∞ X
i=1 3
2i+4 converge.
Resolução: Sabemos que
∞ X
i=1 3
2i converge e temos ainda que 0 < 3
2i+4 < 23i. Daí, a série
converge pelo teste de comparação.
Exercício8 Mostrar que ∞ X
i=1 (−1)i
i·3i+1 converge.
Resolução: Temos que:
(−1)i i·3i+1
= 1
i·3i+1 = 1 3·i·3i <
1
3i, parai≥1.
Como ∞ X
i=1
1
Teste da comparação da razão: Sejam
∞ X
i=1 ai e
∞ X
i=1
bi séries tais que bi > 0 para todo
o i = 1,2,3, . . . e tais que lim
i→∞ |ai|
bi < ∞. Se
∞ X
i=1
bi é convergente, então ∞ X
i=1
ai é também
convergente. Por outro lado, se lim i→∞
ai bi >0 e
∞ X
i=1
bidiverge, então ∞ X
i=1
aitambém diverge.
Observação: Ao esolhermos a série
∞ X
i=1
bi para aplicar o teste, devemos olhar para os
“termos dominantes” deai.
Exercício9 Mostre que ∞ X
i=1
2
4+i diverge.
Resolução: Note que, quando i → ∞, o “termo dominante” no denominador é o i.
Assim, somos levados a escolher:
ai = 2
4+i e bi = 1
i
no teste de comparação da razão. Temos portanto,
lim i→∞
2/(4+i)
1/i =limi→∞ 2i
4+i =2>0 com
∞ X
i=1 1
i divergente.
Logo, o teste de comparação garante a divergência de ∞ X
i=1 2 4+i.
Exercício10 Teste se ∞ X
i=1
1
2i−i converge ou diverge.
Resolução: Note que, quandoi → ∞, o “termo dominante” no denominador é o 2i.
Assim, somos levados a escolher:
ai = 1
2i−i e bi = 1 2i
no teste de comparação da razão. Temos portanto:
lim i→∞
2i
2i−i =limi→∞ 1 1−i/2i =
1
1−0 =1 com
∞ X
i=1 1
2i convergente.
Séries alternadas
Definição6 Uma série ∞ X
i=1
ai diz-se alternada se os termos ai são alternadamente positivos e
negativos e os seus valores absolutos|ai|decrescem com limite zero, isto é,
1. a1 >0,a2 <0,a3 >0, . . .ou a1 <0,a2>0,a3<0, . . .;
2. |a1| ≥ |a2| ≥ |a3| ≥ |a4| ≥ · · ·;
3. lim
i→∞|ai|=0.
Definição7 O teste da série alternada: Toda a série alternada converge e o erro cometido
ao aproximar a soma por Sn =
n X
i=1
aié no máximo|an+1|.
Exercício11 Ache a soma de1− 12 + 1
3− 1
4 +· · · com erro inferior a0,04.
Resolução: A série é alternada, logo convergente. Queremos que o erro seja inferior
a 0,04 = 1
25. Pelo teste da série alternada, devemos aproximar a soma usandoS24, ou seja, pelo número
S24 =1− 1
2+ 1 3 −
1
4+· · · − 1
24 ≈0.6727. . .
Exercício12 Estude a convergência de ∞ X
i=1
(−1)i√i
i+4 .
Resolução: Sejaai = (−1)
i√i
i+4 . Certamente que os sinais são alternados, mas não é claro
que os termos|ai|decrescem.
Note que, pela regra de L’Hôspital, lim
i→∞|ai|=limi→∞ √
i
i+4 =0. De fato,
lim i→∞
√ i
i+4 =limi→∞
1/2√i 1 =limi→∞
1 2√i =0.
Para verificar que|a1| ≥ |a2| ≥ |a3| ≥ |a4| ≥ · · ·, consideremos f(x)=
√ x
x+4 e calculemos
f′(x)=
(x+4) 1
2√x − √
x·1
(x+4)2 =
2 √
x −
√ 2 2 (x+4)2 =
4−x 2√x(x+4)2,
que é negativo parax>4. Logo,|an|= f(n) é decrescente paran>4. Concluímos então
3.2.3 O teste da integral
A soma de uma série pode ser vista como uma integral imprópria. De fato, dada
uma série ∞ X
i=1
ai, definimos a “função em escada” g: [1,+∞[→ R: (veja a figura 1 )
g(x)=a1 se 1≤x<2
g(x)=a2 se 2≤x<3
g(x)=a3 se 3≤x<4
..
. ... ...
g(x)=ai se i≤x<i+1
..
. ... ...
Como Z i+1
i
g(x)dx=
Z i+1
i
ai dx=ai, a soma parcial n X
i=1
ai é igual a:
Figura 1: Função g(x) em escada
n X
i=1
ai =
Z n+1
1
g(x)dx=
Z 2
1
g(x)dx+
Z 3
2
g(x)dx+
Z 4
3
g(x)dx+· · ·+
Z n+1
n
g(x)dx=a1+a2+· · ·+an,
então podemos concluir que:
• a soma ∞ X
i=1
ai = lim
n→∞ n X
i=1
ai existe, se e só se, a integral Z ∞
1
g(x)dx = lim
b→∞ Z b
1
g(x)dx
converge.
• Ou, de forma equivalente, se Z ∞
1
g(x)dx diverge, então a série
∞ X
i=1
ai não pode
Exercício13 Mostre que 1+ 1
2 + 1
3 +· · ·+ 1
n > ln (n+1) e deduza que a série harmônica diverge.
Resolução: Se fizermos f(x)=x, temos que
n X
i=1 1
i ≥
Z n+1
1
f(x)dx=ln (n+1). Portanto,
lim n→∞
n X
i=1 1
i ≥n→∞lim Z n+1
1 dx
x =n→∞limln (n+1)= +∞,
e a série harmônica diverge.
Definição8 O teste da integral: Se{ai}é uma sequência de termos positivos e decrescentes
e, se existir função f(x)positiva e decrescente em[1,+∞[tal que f(i)=ai, então
• SeR1∞ f(x)dx converge, então ∞ X
i=1
aitambém converge.
• SeR1∞ f(x)dx diverge, então ∞ X
i=1
ai também diverge.
Exercício14 Mostre que ∞ X
m=2
1
m√lnm diverge, mas que
∞ X
m=2
1
m(lnm)2 converge.
Resolução: Note que as séries começam comm=2 em vez dem =1. Vamos escolher
a nossa função f(x)= 1
x(lnx)p. No final, faremos a análise parap=2 ep=1/2. Vamos começar calculando a integral
Z ∞
2
f(x)dx:
Z ∞
2
f(x)dx = lim
b→∞ Z b
2 1
x(lnx)pdx
= lim
b→∞ Z b
2
(lnx)−p· 1
x dx=b→∞lim 1
−p+1(lnx)
−p+1 b
2
= lim
b→∞ "
1 1−p ·
1 (lnb)p−1 −
1 1−p ·
1 (ln 2)p−1
#
.
Note que
• Sep=2, o limite acima é finito, e portanto a série
∞ X
m=2
1
m(lnm)2 converge.
• Sep=1/2, o limite é inifinito e portanto a série
∞ X
m=2 1
Convergência da “série-p”: Seja f(x)= 1
xp. É possível mostrar que:
• sep≤1, então a série ∞ X
i=1 1
ip diverge.
• sep>1, então a série
∞ X
i=1 1
ip converge.
Exercício15 Teste a convergência da série ∞ X
i=1 1 1+i2.
Resolução: A idéia é comparar com uma série-p adequada. Fazemos ai = 1
1+i2 e
bi = 1
i2 e observamos que 0<ai <bi. Como ∞ X
i=1
biconverge, vemos que ∞ X
i=1
ai =
∞ X
i=1 1 1+i2 também converge.
Estimando a soma de uma série
Seja ∞ X
i=1
ai uma série convergente e suponhamos que seja possível usar o teste da
integral para provar a sua convergência. Ao usar a soma parcial Sn =
n X
i=1
ai para
aproximar o valor da série ∞ X
i=1
ai, precisamos saber estimar o erro desta aproximação.
O erro desta aproximação será igual ao valorRn que falta somar aSnpara obtermos a
série infinita ∞ X
i=1
ai, ou seja,
Rn =
∞ X
i=1
ai−Sn=
∞ X
i=n+1
ai =an+1+an+2+an+3+· · ·
Supondo que f(x) seja positiva e decrescente em (n,+∞), temos que analisar dois casos
para a nossa função em escadag(x):
1. g(x)≤ f(x) parax∈(n,+∞). Veja a figura 2(a).
2. g(x)≥ f(x) parax∈(n,+∞). Veja a figura 2(b).
No caso da figura 2(a), vemos que:
Rn=an+1+an+2+an+3+· · · ≤ Z ∞
n
(a) g(x)≤ f(x) (b) g(x)≥ f(x)
Figura 2: a) A função em escada g(x)≤ f(x); b) A função em escada g(x)≥ f(x).
Já no caso da figura 2(b), vemos que:
Rn=an+1+an+2+an+3+· · · ≥
Z ∞
n+1
f(x) dx.
Juntando estas duas condições, obtemos a estimativa para o erro da aproximação:
Definição9 Estimativa para o erro usando o teste da integral: Suponha que f(k)= ak,
onde f é uma função contínua, positiva, decrescente para x ≥ n e
∞ X
i=1
ai é convergente. Se
Rn=
∞ X
i=1
ai−Sné o erro obtido ao usar Snpara aproximar a série
∞ X
i=1
ai, então
Z ∞
n+1
f(x) dx≤Rn≤
Z ∞
n
f(x) dx. (5)
Exercício16 a. Aproxime a soma da série ∞ X
i=1 1
i3 usando a soma dos 10 primeiros termos.
Estime o erro envolvido nesta aproximação.
b. Quantos termos são necessários para garantir que a soma tenha precisão de0,0005?
Resolução: Note que para usarmos a estimativa do erro dada em (5), é necessário
calcularmos a integral Z ∞
n 1
x3dx. Assim, temos:
Z ∞
n 1
x3 dx=b→∞lim
−2x12 b
n
= lim
b→∞
−2b12 + 1
2n2
= 1
a.
∞ X
i=1
1
i3 ≈S10=
1 13 +
1 23 +
1 33 +
1 43 +· · ·
1
103 ≈1.1975. De acordo com a estimativa do erro em (5), temos:
R10 ≤
Z ∞
10 1
x3dx=
1 2·102 =
1
200 =0,005.
b. Queremos saber quantos termosn são necessários para obtermos uma precisão
de 0.0005. Neste caso, queremos saber o valor dental que 1
2n2 =0,0005. Fazendo as contas, obtemosn>31,6 e portanton=32 é a resposta desejada.
Outra forma de obter um valor mais preciso para a soma da série s =
∞ X
i=1
ai é
adicionandoSnem cada lado das desigualdades dadas na equação (5):
Sn+
Z ∞
n+1
f(x)dx≤Sn+Rn≤Sn+
Z ∞
n
f(x)dx.
ComoSn+Rn=s, então:
Sn+
Z ∞
n+1
f(x)dx ≤ s ≤ Sn+
Z ∞
n
f(x)dx. (6)
Estas desigualdades fornecem um minorante e um majorante para a somasda série e,
com isso, uma aproximação mais precisa do que com a soma parcialSn.
Exercício17 Use a expressão(6)com n=10para estimar a soma da série ∞ X
i=1 1 i3.
Resolução: Substituindon=10 na expressão (6), obtemos
S10+
Z ∞
11
f(x)dx≤ s ≤S10+
Z ∞
10
f(x)dx
S10+ 1
2·112 ≤ s ≤S10+ 1 2·102 1,201664≤ s ≤1,202532.
Podemos aproximarspelo ponto médio deste intervalo, isto é,
s≈ minorante+2 majorante = 1,201664+1,202532
2 =1,2021.
Resumindo, o valor da série s =
∞ X
i=1 1
i3 está dentro do intervalo [m,M]. Escolhemos o
real des, que está dentro deste intervalo, dista no máximoM−n
2 (metade do intervalo) do valor aproximado. Isto é, o erro será no máximo metade do tamanho do intervalo.
No caso do exercício acima, o erro é no máximo (1,202532−1,201664)/2<0,0005.
Note que, com este exemplo, estamos mostrando que a estimativa dada por (6)
é muito melhor que a estimativa apresentada por Sn usando a expressão (5) para o mesmo número de termos da série (n=10).
3.2.4 O teste da razão
Seja a série ∞ X
i=1
ai e suponhamos que lim i→∞
ai+1
ai
exista. Então:
1. Se lim i→∞
ai+1 ai
<1, então a série converge.
2. Se lim i→∞
ai+1 ai
>1, então a série diverge.
3. Se lim i→∞
ai+1
ai
=1, então o teste é inconclusivo.
Exercício18 Analise a série harmônica usando o teste da razão.
Resolução: Sabemos que a série harmônica
∞ X
i=1 1
i diverge e satisfaz
lim i→∞
1
i+1
1 i
=lim
i→∞ i
i+1 =1,
ou seja, o teste da razão não é suficiente para decidir sua divergência.
Exercício19 Use o teste da razão para testar a convergência de ∞ X
i=1 1 i2.
Esta série satisfaz
lim i→∞
1 (i+1)2
1 i2
=1.
Exercício20 Teste a convergência das séries:
a. ∞ X
i=1
1 i!;
b. ∞ X
i=1 bi
i!, com b constante.
Resolução:
a. Usando o teste da razão:
lim i→∞
ai+1 ai
=limi→∞
1 (i+1)!
1 i!
=lim
i→∞ i!
(i+1)! =limi→∞ 1
i+1 =0.
Portanto, a série converge.
b. Analogamente, lim i→∞
ai+1 ai
=limi→∞
|bi+1| (i+1)!
|bi| i!
=lim
i→∞ |b|
i+1 =0.
Portanto, temos a convergência.
Cálculo do erro na aproximação
Dada ∞ X
i=1
ai, suponhamos que
ai+1
ai
≤r<1 parai>N. Então o erro de aproximação
cometido ao usar N X
i=1
aipara aproximar a soma ∞ X
i=1
aié igual a ∞ X
i=N+1
ai e ∞ X
i=N+1 ai ≤ ∞ X
i=N+1 |ai| ≤
∞ X
i=N+1
|aN| ·ri−N,
porque se |ai+1| ≤ r· |ai| para todos osi′s ≥ N, então|aN+1| ≤ r· |aN|, |aN+2| ≤ r· |aN+1| ≤
r2· |aN|, . . . ,|aN+k| ≤rk· |aN|para qualquerk≥1, e assim
∞ X
i=N+1 ai
≤ |aN| ∞ X
k=1
rk = |aN| r
1−r.
Exercício21 Qual o erro cometido ao usar 4 X
i=1 1
i! para aproximar
∞ X
Resolução: TemosN=4 e
1 (i+1)!
1 i!
= 1
i+1 <
1
5, i>4=N.
Comor=1/5 e|aN|=|a4|= 1
4! = 1
24, obtemos que o erro é menor ou igual a
|aN|1 r −r =
1 24·
1/5
1−1/5 =
1 24 ·
1 4 =
1 96.
4
Exercícios resolvidos
1. Usando as propriedades operatórias, calcule os seguintes limites, caso exista:
(a) lim n→∞
3+n 2n+1;
(b) lim n→∞sin
πn 2n+1;
(c) lim n→∞
n
n+1;
(d) lim n→∞
lnn
n ;
(e) lim n→∞(−1)
n;
(f) lim n→∞
(−1)n
n ;
Para a solução, veja o exercício 1.
2. Faça um estudo sobre a série geométrica. Para a solução, veja o exercício 2.
3. Ache o número fracionário representado por 0,3451515151... Para a solução,
veja o exercício 3.
4. Faça um estudo sobre a série harmônica. Para a solução, veja o exercício 4.
5. Prove a divergência da série ∞ X
i=0
(−1)i. Para a solução, veja o exercício 5.
6. Mostre que a série ∞ X
i=0
" 2i
− 1
2 2#
é divergente. Para a solução, veja o exercício 6.
7. Mosre que ∞ X
i=1 3
8. Mostrar que ∞ X
i=1 (−1)i
i·3i+1 converge. Para a solução, veja o exercício 8.
9. Mostre que ∞ X
i=1
2
4+i diverge. Para a solução, veja o exercício 9.
10. Teste se ∞ X
i=1 1
2i−i converge ou diverge. Para a solução, veja o exercício 10.
11. Ache a soma de 1− 1 2+
1 3 −
1
4 +· · · com erro inferior a 0,04. Para a solução, veja o exercício 11.
12. Estude a convergência de ∞ X
i=1
(−1)i√i
i+4 . Para a solução, veja o exercício 12.
13. Mostre que 1+1
2+ 1
3+· · ·+ 1
n >ln (n+1) e deduza que a série harmônica diverge. Para a solução, veja o exercício 13.
14. Mostre que ∞ X
m=2 1
m√lnm diverge, mas que ∞ X
m=2 1
m(lnm)2 converge. Para a solução, veja o exercício 14.
15. Teste a convergência da série ∞ X
i=1 1
1+i2. Para a solução, veja o exercício 15.
16. Analise a divergência da série harmônica usando o teste da razão. Para a solução,
veja o exercício 18.
17. Use o teste da razão para decidir a convergência de ∞ X
i=1 1
i2. Para a solução, veja o exercício 19.
Teste a convergência das séries:
a. ∞ X
i=1 1 i!;
b. ∞ X
i=1 bi
i!, combconstante.
Para a solução, veja o exercício 20.
18. Qual o erro cometido ao usar 4 X
i=1 1
i! para aproximar ∞ X
i=1 1
5
Exercicios propostos
1. Dada a sequência com termo geral an = n
1+ √n, determine se ela converge ou diverge. Se ela convergir, calcule seu limite.
2. Dada a sequência com termo geralan= n sin(1/n), determine se ela converge ou
diverge. Se ela convergir, calcule seu limite.
3. Dada a sequência com termo geralan =ln (n+1)−lnn, determine se ela converge
ou diverge. Se ela convergir, calcule seu limite.
4. Dada a sequência com termo geralan =
1+ 2
n 1/n
, determine se ela converge ou
diverge. Se ela convergir, calcule seu limite.
5. Encontre o valor da soma 5− 10 3 +
20 9 −
40 27 +· · ·.
6. Use a série geométrica para concluir a convergência ou divergência da série ∞
X
i=1
22i ·31−i.
7. Use a definição de convergência para provar que a série ∞ X
i=1 1
i(i+1) converge.
8. Use o termo geralaide uma série para mostrar que ∞ X
i=1 i2
5i2+4 diverge.
9. Calcule a soma da série ∞ X
i=1
3
i(i+1) +
1 2i !
.
10. Calcule a soma da série ∞ X
i=1 3
5i + 2
i
, caso a série seja convergente.
11. Calcule a soma da série ∞ X
i=1 ei 3i−1
!
, caso a série seja convergente.
12. Use o teste da integral para determinar se a série ∞ X
i=1
ie−i é convergente ou
diver-gente.
13. Use o teste da integral para determinar se a série ∞ X
i=1 1
3i+1 é convergente ou
14. Use o teste da integral para determinar se a série ∞ X
n=2 1
nlnn é convergente ou divergente.
15. Use o teste de comparação para determinar se a série ∞ X
i=1
5
2i2+4n+3 converge ou diverge.
16. Use o teste de comparação para determinar se a série ∞ X
i=1 lni
i converge ou diverge.
17. Use a soma dos 100 primeiros termos para aproximar a soma da série ∞ X
i=1 1 1+i3. Estime o erro envolvido nesta aproximação.
18. Use a teoria de séries alternadas para concluir que a série harmônica alternada
converge.
19. Use a teoria de séries alternadas para verificar a convergência ou divergência da
série ∞ X
i=1
(−1)i3i 4i−1 .
20. Use a teoria de séries alternadas para verificar a convergência ou divergência da
série ∞ X
i=1
(−1)(i+1)i2
i3+1 .
21. Use o teste da série alternada para estimar a soma da série ∞ X
i=0 (−1)i
i! com precisão de 3 casas decimais.
22. Use o teste da integral e/ou a convergência da série-p para estudar a convergência
da série ∞ X
i=1
i2+2i
i4−3i2. Sugestão: compare com uma série-p adequada.
23. Use o teste da integral e/ou a convergência da série-p para estudar a convergência
da série ∞ X
i=1
3i+ √i
