COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br FUNÇÃO QUADRÁTICA – 2011 - GABARITO
1) Calcular os zeros das seguintes funções:
a) f(x) = x2 - 3x – 10 b) f(x) = x2 + x – 20 c) f(x) = – x2 – x + 12 d) f(x) = – x2 + 4x – 4 e) f(x) = 36x2 + 12x + 1 f) f(x) = (2x + 3).(x – 2) Solução. Os zeros da função são os valores de “x” que anulam a função. Ou, os pontos onde a parábola intersecta o eixo das abscissas. Basta utilizar a fórmula de resolução da equação de 2º grau.
a)
} 5 , 2 { S 2 2
7 x 3
2 5 7 x 3
2 7 3 2
49 3 2
40 9 3 )
1 ( 2
) 10 )(
1 ( 4 ) 3 ( ) 3 x (
0 10 x 3 x 0 ) x (f
2 1
2 2
.
b)
} 5 , 4 { S 2 4
9 x 1
2 5 9 x 1
2 9 1 2
81 1 2
80 1 1 )
1 ( 2
) 20 )(
1 ( 4 ) 1 ( ) 1 x ( 0 20 x x 0 ) x (f
2 1
2 2
.
c)
} 3 , 4 { S 2 3
7 x 1
2 4 7 x 1
2 7 1 2
49 1 2
48 1 1 )
1 ( 2
) 12 )(
1 ( 4 ) 1 ( ) 1 x (
0 12 x x 0 ) x (f
2 1
2 2
.
d)
2.Nestecasoaparábola tangenciaoeixoXnoponto
2,0
S
2 2 0 4 2
16 16 4 )
1 ( 2
) 4 )(
1 ( 4 ) 4 ( ) 4 x ( 0 4 x 4 x 0 ) x ( f
2 2
.
e)
0 6, ponto 1 no X eixo o gencia tan
parábola a
caso Neste 6 .
S 1
6 1 72
0 12 72
144 144 12
) 36 ( 2
) 1 )(
36 ( 4 ) 12 ( ) 12 x (
0 1 x 12 x 36 0 ) x ( f
2 2
.
f) A função já está da forma fatorada. Lembrando que, dados dois números reais “a” e “b”, se a.b = 0, então
a = 0 ou b = 0, temos:
0 6 , ponto 1 no X eixo o gencia tan
parábola a
caso Neste . 2 2 , S 3
2 x 0 2 x
2 x 3 0 3 x x 2 0 )2 x )(
3 x 2(
0 )x (f
.
2) Calcular m para que:
a) a função f(x) = (m – 3)x2 + 4x – 7 seja côncava para cima.
Solução. Para que a concavidade seja para cima o coeficiente de x² deve ser positivo e diferente de zero.
Logo, m – 3 > 0 m > 3.
b) a função f(x) = (2m + 8)x2 – 2x + 1 seja côncava para baixo.
Solução. Para que a concavidade seja para baixo o coeficiente de x² deve ser negativo e diferente de zero.
Logo, 2m + 8 < 0 2m < -8 m < - 4.
c) a função f(x) = (m2 – 4)x2 – 4x + 3 seja quadrática.
Solução. A função quadrática é da forma ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0. Logo, m² - 4 ≠ 0 m ≠ 2 e m ≠ – 2.
3) Nas funções abaixo, calcule as coordenadas do vértice, dizendo se este é ponto de máximo ou mínimo.
a) f(x) = x2 – 4x + 3 b) f(x) = – x2 – x + 2 c) f(x) = 4x2 + 4x + 1 Solução. O máximo ou mínimo, que serão definidos pelo sinal do coeficiente de grau 2.
a)
,2 1 mínimo
4 12 , 16 2 4 )1(
4 )3 )(1(
4 )4 , ( )1(2 )4 ( a4
ac 4 , b a2 V b 3 c
4 b
0 1 a 3 x4 x )x(
f
2
2 2
.b)
máximo
4 , 9 2 1 4
8 , 1 2 1 )1
(4 )2)(
1(
4 )1 , ( )1 (2
)1 V (
2 c
1 b
0 1 a 2 x x )x(f
2
2
.c)
0, mínimo
2 1 )4(
4 16 , 16 2 1 )4(
4 )1)(
4(4 , )4(
)4(
2 )4(
a4 ac 4 , b a2 V b 1
c 4 b
0 4 a 1 x4 x4 )x(
f
2
2 2
.
4) Em cada função mostrada, calcule a concavidade, os zeros, as coordenadas do vértice, crescimento e decaimento, esboço do gráfico, o foco e as equações do eixo e diretriz das parábolas.
a) f(x) = x2 – 4x + 3 b) f(x) = – x2 + 4x – 4 c) f(x) = x2 + 3x + 4 d) f(x) = – x2 + 2x – 4 Solução. Em cada item serão utilizadas as fórmulas e as expressões estudadas na parábola.
a)
4 y 5 4
1 16 y 12
a 4
1 b ac y 4 : diretriz ) vi
2 a x
2 x b : simetria de
eixo ) vi
4 , 3 4 2
1 16 ,12 2 4 a
4 1 b ac ,4 a 2 : b foco ) v
[ , 2 [ x : crescente )
x ( f ];
2 , ] x : e decrescent )
x ( f ) iv
mínimo 1
, 4 2
12 , 16
2 4 )
1 ( 4
) 3 )(
1 ( 4 ) 4 , ( ) 1 ( 2
) 4 ( a
4 ac 4 , b
a 2 V b ) iii
3 x e 1 x : Zeros 2 1
2 x 4
2 3 2 x 4
2 2 4 2
4 4 )
1 ( 2
) 3 )(
1 ( 4 ) 4 ( ) 4 x (
0 ) x ( f ) ii
. cima para e concavidad ,
0 1 a Como . 3 x 4 x ) x ( f )i
2 2
2 2
2 2 1
2
.
b)
4 y 1 )
1 ( 4
1 16 y 16
a 4
1 b ac y 4 : diretriz )
vi
2 a x
2 x b : simetria de
eixo ) vi
4 , 1 ) 2
1 ( 4
1 16 ,16 ) 1 ( 2
4 a
4 1 b ac ,4 a 2 : b foco ) v
] , 2 [ x : e decrescent )
x ( f ];
2 , ] x : crescente )
x ( f ) iv
máximo 0
, ) 2
1 ( 4
) 4 )(
1 ( 4 ) 4 , ( ) 1 ( 2
) 4 ( a
4 ac 4 , b
a 2 V b
) iii
2 x x : Zeros 2
0 4 )
1 ( 2
) 4 )(
1 ( 4 ) 4 ( ) 4 x (
0 ) x ( f ) ii
. baixo para e concavidad ,
0 1 a Como . 4 x 4 x ) x ( f ) i
2 2
2 2
2 1 2
2
.
c)
2 3 4 y 6 )
1 ( 4
1 9 y 16
a 4
1 b ac y 4 : diretriz )
vi
2 x 3 a 2 x b : simetria de
eixo ) vi
2 2, 3 )
1 ( 4
1 9 ,16 ) 1 ( 2
3 a
4 1 b ac ,4 a 2 : b foco ) v
2, x 3 : crescente )
x ( f 2 ; , 3 x
: e decrescent )
x ( f ) iv
mínimo 4
,7 2 3 )
1 ( 4
) 4 )(
1 ( 4 ) 3 , ( ) 1 ( 2
) 3 ( a
4 ac 4 , b
a 2 V b
) iii
. IR x há Não : Zeros 2
7 3
) 1 ( 2
) 4 )(
1 ( 4 ) 3 ( ) 3 x ( 0 ) x ( f ) ii
. cima para e concavidad ,
0 1 a Como . 4 x 3 x ) x ( f ) i
2 2
2 2
2 2
.
d)
4 y 11 )
1 ( 4
1 4 y 16
a 4
1 b ac y 4 : diretriz )
vi
1 a x
2 x b : simetria de
eixo ) vi
4 , 13 ) 1
1 ( 4
1 4 ,16 ) 1 ( 2
) 2 ( a
4 1 b ac ,4 a 2 : b foco ) v
, 3 x : e decrescent )
x ( f
; 3 , x
: crescente )
x ( f ) iv
máximo 3
, ) 1
1 ( 4
) 4 )(
1 ( 4 ) 2 , ( ) 1 ( 2
) 2 ( a
4 ac 4 , b
a 2 V b
) iii
. IR x há Não : Zeros 2
12 2
) 1 ( 2
) 4 )(
1 ( 4 ) 2 ( ) 2 x ( 0 ) x ( f ) ii
. baixo para e concavidad ,
0 1 a Como . 4 x 2 x ) x ( f ) i
2 2
2 2
2 2
.
5) Determine a lei da função afim cuja reta que a representa tem coeficiente angular igual a 2 e passa pelo vértice da parábola de equação y x²4.
Solução. A lei pedida é da forma f(x) = ax + b, logo f(x) = 2x + b. Encontrando o vértice da parábola, temos:
4,0
4 ,0 16 )1(4
)4)(1 (4 , 0 )1(2 V 0
, a4 a2 V b
4c 0b 1 a 4 x y
2 2
.
Como a reta passa pelo ponto (0, -4) temos:
4 0(2 b) 4b bx
2) x(f:
r r4 ,0
V
.
A função pedida é f(x) = 2x + 4.
6) (FGV) Responda as questões:
a) Entre todos os pares de números reais x e y cuja soma é 3
20 , determine aqueles para os quais o produto seja
máximo.
Solução. As condições impostas indicam uma função quadrática cujo máximo será encontrado pelo estudo
do vértice:
3 y 20 x, Logo 3 . 20 6 20 3 y 20 6 20 )1(
2 20 3 a2 x b P
3 x x 20 P 3 x .x 20 P y.x
P
3 x y 20 3 yx 20
Máximo Máximo
2
.
b) Entre todos os pares de números reais x e y, tais que x – y = 10 determine aqueles para os quais a soma de seus quadrados seja mínima.
Solução. As condições impostas indicam uma função quadrática cujo máximo será encontrado pelo estudo
do vértice:
5 y , 5x Logo .5 10 5y )2(2 5
)20 ( a2 x b
SQ
100 x20 x2 SQ 100 x20 x x SQ 10 x x y SQ
x SQ
10 xy 10 yx
Mínimo Mínimo
2 2
2 2
2 2
.
7) (FGV) Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um muro retangular. Para os outros lados iremos usar 400 m de tela de arame, de modo a produzir uma área máxima. Qual o quociente do lado menor pelo maior?
Solução. Há três dimensões restantes, sendo duas de mesma medida. A tela cercará a medida da soma (x + x + y). A área será A = xy. Utilizando as informações, temos:
2 1 200 , 100 Logo .200 )100 (2 400 y )2( 100 2
)400 ( a2 x b A
x 400 x2 A x2 400 .x y.x A
A
x2 400 y 400 y x2
Máximao Máxima
2
.
8) (UFSCAR) Uma bola ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = – 2t² + 8t (t 0), onde t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, após o chute:
a) o instante em que a bola retornará ao solo.
Solução. O instante em que a bola retorna é o tempo em que ficou no ar. O tempo será o ponto onde o
gráfico intersecta o eixo das abscissas (t):
s4t
el incompatív 0)4t 0t
(t20 0)t(h t8t2
t8t2
)t(h 2 2
.
b) a altura máxima atingida pela bola.
Solução. A altura máxima será a ordenada do vértice da parábola:
8 m8 64 )2
(4 )0 )(2 (4 )t(h )8(
)t(h a4
t8 t2
)t(h 2
Máxima Máxima
2
.
9) (Unifesp) De um cartão retangular de base 14cm e altura 12cm, deseja-se recortar um quadrado de lado x e um trapézio isósceles, conforme a figura, onde a parte hachurada será retirada.
Calcule o valor de x, em centímetros, para que a área total removida seja mínima.
Solução. A área removida será a soma das áreas do quadrado menor e do trapézio. Construindo a função de área, temos:
12 1cm2 ) 1 ( a 2 x b
A
81 2 x
A x 2
168 x 2 A x
2
x x 14 x 12 168 x A 2
2
x x 14 x 12 x 168
A ) x 12 2 (
x x 14
A
mínimo Mínima
2 2
2 2
2 2 2
.
10) (UFJF) Uma empresa trabalha com placas de publicidade retangulares, de lados iguais a (x + 3) e (2x – 4) metros.
a) Determine os valores de x, para que a área da placa varie de 12m2 a 28m2. Solução. Estudando a variação da área nos intervalos indicados, temos:
.4 x 3, Logo
4 x m 28 A .el incompatív 2 5
9 x 1
2 4 9 x 1
2 9 1 2
81 1 )1(
2
) 20 )(1 (4 )1(
x 1
0 20 x x 0 40 x2 x2 28 12 x2 x2 )ii
3 x m 12 A .el incompatív 2 4
7 x 1
2 3 7 x 1
2 7 1 2
49 1 )1(
2
) 12 )(1 (4 )1(
x 1
0 12 x x 0 24 x2 x2 12 12 x2 x2 )i
12 x2 x2 A 12 x6 x4 x2 A )4 x2 ).(
3 x(
A
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
.
b) Determine as medidas dos lados da placa de 28m2.
Solução. Para o valor de A = 28m2, resolvemos a equação do 2º grau.
m4 4 )4(2 4 x2
m7 3 4 3 : x Medidas
4 x m 28 A .el incompatív 2 5
9 x 1
2 4 9 x 1
2 9 1 2
81 1 )1(2
)20 )(1(
4 )1(
x 1
0 20 x x 0 40 x2 x2 28 12 x2 x2
2 2
2 2
2
.
