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aLISTA DE ESTAT´ ISTICA Intervalos de Confian¸ca
Profa. Anna Regina Corbo
1. A resistˆ encia ` a quebra de um fio usado na fabrica¸c˜ ao de material mold´ avel necessita ser no m´ınimo 100psi. Experiˆ encia passada indicou que o desvio-padr˜ ao da resistˆ encia
`
a quebra foi 2psi. Uma amostra aleat´ oria de nove esp´ ecimes ´ e testada e a resistˆ encia m´ edia ` a quebra ´ e 98psi. Encontre um intervalo de confian¸ca de 95% para a resistˆ encia m´ edia verdadeira ` a quebra.
2. O rendimento de um processo qu´ımico est´ a sendo estudado. De experiˆ encias pr´ evias com esse processo, sabe-se que o desvio-padr˜ ao do rendimento ´ e igual a 3%. Os ´ ultimos cinco dias de opera¸c˜ ao do processo resultou nos seguintes rendimentos: 91, 6%, 88, 75%, 90, 8%, 89, 95% e 91, 3%. Encontre um intervalo de confian¸ca de 90% para o rendimento m´ edio verdadeiro.
3. Sabe-se que a vida em horas de um bulbo de uma lˆ ampada de 75W ´ e distribu´ıda de forma aproximadamente normal, com desvio-padr˜ ao σ = 25 horas. Uma amostra aleat´ oria de 20 bulbos tem uma vida m´ edia de x = 1014 horas. Construa um intervalo de confian¸ca de 95% para a vida m´ edia da lˆ ampada.
4. Um engenheiro de desenvolvimento de um fabricante de pneu est´ a investigando a vida do pneu em rela¸c˜ ao a um novo componente da borracha. Ele fabricou 16 pneus e testou-os at´ e o final da vida em um teste na estrada. A m´ edia e o desvio-padr˜ ao da amostra s˜ ao 60.139,7 e 3.645,94 km, respectivamente. Encontre um intervalo de confian¸ca de 98% para a vida m´ edia do pneu.
5. Uma m´ aquina produz bast˜ oes met´ alicos usados em um sistema de suspens˜ ao de au- tom´ oveis. Uma amostra aleat´ oria de 15 bast˜ oes ´ e selecionada, sendo o diˆ ametro medido.
Os dados resultantes, em milimetros, s˜ ao mostrados a seguir.
8,24 8,23 8,20 8,21 8,20 8,28 8,23 8,26 8,24 8,25 8,19 8,25 8,26 8,23 8,24
Encontre um intervalo de confian¸ca de 95% para o diˆ ametro m´ edio dos bast˜ oes.
6. Um revista publicou um artigo que descreve v´ arias caracter´ısticas de bast˜ oes com- bust´ıveis usados em um reator pertencente a uma usina nuclear. Medidas da porcen- tagem de enriquecimento de 12 bast˜ oes foram reportados como segue:
2,94 2,75 2,75 2,81 2,90 2,90 2,82 2,95 3,00 2,95 3,00 3,05
Encontre um intervalo de confian¸ca de 99% para o percentual m´ edio de enriquecimento.
Vocˆ e concorda com a afirma¸c˜ ao de que o percentual m´ edio de enriquecimento ´ e de
2, 95%? Por quˆ e?
7. De 1.000 casos selecionados aleatoriamente de pneumonia, 823 resultaram em cura.
Construa um intervalo de confian¸ca de 95% para a taxa de cura de pneumonia.
8. Um fabricante de calculadoras eletrˆ onicas est´ a interessado em estimar a fra¸c˜ ao de unidades defeituosas produzidas. Uma amostra aleat´ oria de 800 calculadoras cont´ em 10 defeitos. Calcule um intervalo de confian¸ca de 99% para a fra¸c˜ ao defeituosa.
9. Certa produ¸c˜ ao de pinos met´ alicos ´ e submetida a um processo de cementa¸c˜ ao, no qual uma camada externa de maior resistˆ encia ´ e formada. Sessenta pinos n˜ ao-cementados tiveram seus pesos medidos em gramas e forneceram a distribui¸c˜ ao de frequˆ encias correspondente ` a tabela que segue:
x
i65,2 65,7 66,2 66,7 67,2 67,7 68,2 68,7
f
i2 6 9 15 16 7 4 1
a) Calcule um intervalo de confian¸ca para o peso m´ edio real dos pinos n˜ ao-cementados, com significˆ ancia de 10%.
b) Supondo que uma amostra de 100 pinos cementados tenha fornecido peso m´ edio 69,20 gramas e desvio-padr˜ ao de 1,8 gramas, calcule um intervalo de 90% confian¸ca para o peso m´ edio real dos pinos cementados.
c) Estime, com 90% de confian¸ca, o aumento m´ edio de peso por pino devido ` a cementa¸c˜ ao.
d) Uma regulamenta¸c˜ ao externa prevˆ e que a camada de cementa¸c˜ ao n˜ ao pode exceder 10% do peso original do pino. Deste modo, com base no intervalo de confian¸ca do item c), ´ e poss´ıvel afirmar que a produ¸c˜ ao analisada atende a regulamenta¸c˜ ao?
10. Perguntou-se para 40 telespectadores se eles assistiram ao ´ ultimo epis´ odio de certa s´ erie televisiva: 33 responderam negativamente e 7 positivamente.
a) Determine um intervalo de 95% de confian¸ca para a propor¸c˜ ao real de telespec- tadores que assistiram ao ´ ultimo epis´ odio desta s´ erie.
b) Com base neste intervalo, se ´ e pol´ıtica do canal cancelar s´ eries com popularidade inferior ` a 40%, a s´ erie dever´ a ser cancelada?
c) Calcule a menor amostra necess´ aria que produza uma margem de erro de 2, 5%
com confian¸ca de 95%, para este estudo de caso.
Gabarito:
1. z
α2
= 1, 96 e P (96, 69 ≤ µ ≤ 99, 31) = 0, 95 2. z
α2
= 1, 64 e P (88, 28 ≤ µ ≤ 92, 68) = 0, 90 3. z
α2
= 1, 96 e P (1003, 04 ≤ µ ≤ 1025, 96) = 0, 95
4. t
α2
= 2, 602 e P (57.768, 02 ≤ µ ≤ 62.511, 38) = 0, 98 5. t
α2
= 2, 145 e P (8, 220 ≤ µ ≤ 8, 248) = 0, 95 6. t
α2
= 3, 106 e P (2, 811 ≤ µ ≤ 2, 989) = 0, 99 Sim, pois o nosso intervalo engloba o 2,95.
7. z
α2
= 1, 96 e P (0, 799 ≤ π ≤ 0, 847) = 0, 95 8. z
α2
= 2, 58 e P (0, 00237 ≤ π ≤ 0, 02263) = 0, 99 9. a) t
α2
= 1, 671 e P (66, 693 ≤ µ ≤ 67, 027) = 0, 90.
b) t
α2
= 1, 658 e P (68, 90 ≤ µ ≤ 69, 49) = 0, 90.
c) P (2, 209 ≤ µ ≤ 2, 471) = 0, 90.
d) Sim, pois 2,471 ´ e inferior a 10% do peso de um pino.
10. a) z
α2
= 1, 96 e P (0, 0572 ≤ π ≤ 0, 2928) = 0, 95.
b) Sim. c) n = 1,96 x
0,175(1−0,175)0,0252
