Teste de hipóteses

(1)

AULA 9 – Teste de hipóteses em relação à média aritmética e em relação à proporção

- VALOR-P - Parte 4

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

ESTATÍSTICA PARA ADMINISTRAÇÃO

(2)

TESTE DE HIPÓTESES - CONCEITOS

Teste de hipóteses

É um procedimento que permite a comparação de médias aritméticas de duas amostras diferentes de modo a testar hipóteses sujeito à ocorrência de dois tipos de erro: Erro Tipo I e Erro do Tipo II .

População ou População-alvo

Amostra 1

Altura: 1,75m Inferência

2018

População ou População-alvo Amostra 2 2019

Altura: 1,77m

Inferência

(3)

TESTE DE HIPÓTESES - CONCEITOS

Hipótese Nula

Corresponde a uma afirmação em relação a um determinado parâmetro da população , que é presumida como verdadeira , até que seja declarada falsa.

Hipótese Alternativa

É uma afirmação em relação a um determinado parâmetro da população que será verdadeira se a hipótese nula for falsa .

Amostra 1

Altura: 1,75m Inferência

Amostra 2 Altura: 1,77m

Inferência

Hipótese nula (H₀):

A média não se alterou, ou seja, µ = 1,75.

Hipótese alternativa (H₁):

A média se alterou, ou seja, µ ≠ 1,75.

(4)

Caudas do teste

Um teste bicaudal possui regiões de rejeição em ambas as caudas; com cauda à esquerda possui região de rejeição na cauda esquerda; e cauda à direita rejeição na cauda direita.

x C₂

C₁ µ

C₂ tal que α/2 dos valores é z > C₂ C₁ tal que α/2 dos

valores é z < C₁

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

Região de não-rejeição

C₁ e C₂ são chamados de valores críticos

(5)

COMO ESCOLHER O VALOR DE α ?

Erro do Tipo II

Ocorre quando uma hipótese nula falsa não é rejeitada :

β

= P(H

₀

não é rejeitada | H

₀

é falsa)

Observação : Se

α

for reduzido, então,

β

cresce, e vice- versa. Porém,

α

e

β

serão reduzidos simultaneamente se o tamanho da amostra aumentar.

Produto perfeito rejeitado

Produto defeituoso

aceito

Erro do Tipo I

Ocorre quando uma hipótese nula verdadeira é rejeitada:

α

= P(H

₀

é rejeitada | H

₀

é verdadeira)

(6)

RELAÇÃO ENTRE REGIÃO DE REJEIÇÃO E α

Relação entre região de rejeição e o valor

α

No teste de hipóteses é importante observar que existe

uma relação entre os valores críticos que definem a

região de rejeição e o

valor do nível de significância α

. Se

α

for

reduzida

, a

região de rejeição também

o

será. Disso decorre a seguinte pergunta: até que

nível de significância

a

amostra é aceita

?

(7)

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 1

A média do tempo de atendimento de uma empresa em 2018 foi de 12,44 minutos. A gerência deseja saber se a média aritmética atual é diferente de 12,44 minutos. Uma amostra com 150 valores teve ma 13,71 minutos e dp de 2,65 minutos. Usando α

= 5%, pode-se concluir se atualmente o tempo é diferente?

(8)

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 1

A média do tempo de atendimento de uma empresa em 2018 foi de 12,44 minutos. A gerência deseja saber se a média aritmética atual é diferente de 12,44 minutos. Uma amostra com 150 valores teve ma 12,98 minutos e dp de 2,65 minutos. Usando α

H₀: µ = 12,44.

H₁: µ ≠ 12,44.

Supor Normal

̅ , ,

, = 2,50

= 13,71 = 2,65 s

_̅

s

,

0,2164

= 150

Como o valor 2,50 é maior que o crítico

posicionando-se na região de rejeição,

então, rejeitamos a hipótese nula.

(9)

TABELA DA NORMAL

Encontrar a área sob a curva da normal padronizada entre z = 0 e z = 2,58: α/2 = 0,05%, pois o teste é bicaudal.

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

(10)

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 1

H₀: µ = 12,44.

H₁: µ ≠ 12,44.

Supor Normal

̅ , ,

, = 2,50

= 13,71 = 2,65 s

_̅

s

,

0,2164

= 150

Como o valor

2,50 é menor que o crítico

posicionando-se na região de rejeição, então,

NÃO

rejeitamos a hipótese nula.

-2,58 2,58

µ=12,44

(11)

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 1

= ??%, pode-se concluir se atualmente o tempo é diferente?

2,50

-2,58 2,58

µ=12,44

Não rejeitar H ₀

α = 1%

Rejeitar H ₀

2,50

α = 5%

(12)

RELAÇÃO ENTRE α E VALOR-P

VALOR-P

É o menor nível de significância no qual a hipótese

nula é rejeitada .

(13)

RELAÇÃO ENTRE α E VALOR-P

VALOR-P

É o menor nível de significância no qual a hipótese nula é rejeitada .

-2,50 2,50

µ=12,44

̅ , ,

, = 2,50

Z da amostra

α /2 % dos valores

Valor-P = α

1 2

3

(14)

TABELA DA NORMAL

Encontrar a área sob a curva da normal padronizada entre z = 0 e z = 2,50: α/2 = (0,5-0,4938), pois o teste é bicaudal.

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

(15)

RELAÇÃO ENTRE α E VALOR-P

VALOR-P

É o menor nível de significância no qual a hipótese nula é rejeitada .

-2,50 2,50

µ=12,44

̅ , ,

, = 2,50

Z da amostra

0,5-0,4938 % dos valores

1 2

3 α /2 = 0,0061 α = 0,0122

Valor-P

0,0122

(16)

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 1

H₀: µ = 12,44.

H₁: µ ≠ 12,44.

Supor Normal

̅ , ,

, = 2,50

= 13,71 = 2,65 s

_̅

s

_,

0,2164

= 150

2,58 2,58

µ=12,44

α /2 = 0,5 - 0,4939 = 0,0061 α = 0,0122 (valor-p)

Como valor-p ≥

α

= 1%, então, não rejeitamos H

₀

.

(17)

TESTE DE HIPÓTESES: USANDO O VALOR-P

Etapas do Teste de Hipóteses com Valor-P

1 Declarar a hipótese nula e a hipótese alternativa:

H

₀

:

≤

,

≥

,

≠

; H

₁

: >, <, =.

2 Selecionar a distribuição a ser utilizada:

Z: Normal, T: T-Student.

3 Calcular o valor da estatística de teste e Valor-P:

4 Tomar uma decisão:

Para o Valor-P calculado no item 3 para quais valores de nível de significância

α

deve-se aceitar H

₀

ou rejeitar H

₀

de acordo com a seguinte regra:

Se

valor-p < α

ou

valor-p > α: rejeitar H₀

;

Se

valor-p ≥ α

ou

α ≤ valor-p: não rejeitar H₀

.

(18)

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 2

Em uma indústria novos trabalhadores levam 50 minutos para aprender uma nova tarefa em uma máquina. Para uma nova máquina deseja-se saber se a ma é diferente de 50 minutos. Uma amostra com 40 valores teve ma 47 minutos e dp de 7 minutos. Encontre o valor-p e conclua com α = 1%.

(19)

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 2

H₀: µ = 50.

H₁: µ ≠ 50.

Supor Normal

̅

, = -2,71

= 47 = 7

s

_̅

s

1,1068

= 40

-2,58 2,58

µ=50

(20)

TABELA DA NORMAL

Encontrar a área sob a curva da normal padronizada entre z = 0 e z = 2,71: α/2 = 0,5-0,4966, pois o teste é bicaudal.

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

(21)

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 2

H₀: µ = 50.

H₁: µ ≠ 50.

Supor Normal

̅

, = -2,71

= 47 = 7

s

_̅

s

1,1068

= 40

-2,58 2,58

µ=50

α /2 = 0,5 - 0,4966 = 0,0034 α = 0,0068 (valor-p)

Como valor-p <

α

= 1%, então, rejeitamos H

₀

.

(22)

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 3

Um novo método de emagrecimento afirma que seus usuários perdem em média 10 quilos ou mais no 1º mês. Uma agência extraiu uma amostra de 36 pessoas e obteve ma 9,2 quilos e dp de 2,4 quilos no 1º mês. Encontre o valor-p e conclua se a afirmativa do método é verdadeira para α = 1% e 5%.

(23)

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 3

Um novo método de emagrecimento afirma que seus usuários perdem em média 10 quilos ou mais no 1º mês. Uma agência extraiu uma amostra de 36 pessoas e obteve ma 9,2 quilos e dp de 2,4 quilos no 1º mês. Encontre o valor-p e conclua se a afirmativa do método é verdadeira para α = 1% e 5%.

H₀: µ ≥ 50.

H₁: µ < 50.

Supor Normal

̅ ,

, = -2,00

= 9,2 = 2,4 s

_̅

s

_,

0,4

= 36

(24)

TABELA DA NORMAL

Encontrar a área sob a curva da normal padronizada entre z = 0 e z = 2,00: α = (0,5-0,4772), pois o teste é unicaudal.

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

(25)

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 3

H₀: µ ≥ 50.

H₁: µ < 50.

Supor Normal

̅ ,

, = -2,00

= 9,2 = 2,4 s

_̅

s

_,

0,4

= 36

α = 0,5 - 0,4772 = 0,0228

α = 0,0228 (valor-p)

(26)

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 3

H₀: µ ≥ 50.

H₁: µ < 50.

Supor Normal

̅ ,

, = -2,00

= 9,2 = 2,4 s

_̅

s

_,

0,4

= 36

α = 0,5 - 0,4772 = 0,0228 α = 0,0228 (valor-p)

Como valor-p ≥

α = 1%,

então, NÃO rejeitamos H

₀

.

(27)

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 3

H₀: µ ≥ 50.

H₁: µ < 50.

Supor Normal

̅ ,

, = -2,00

= 9,2 = 2,4 s

_̅

s

_,

0,4

= 36

α = 0,5 - 0,4772 = 0,0228 α = 0,0228 (valor-p)

Como valor-p <

α = 5%, então, rejeitamos H₀

.

(28)

TESTE DE HIPÓTESES UNICAUDAL À DIREITA

EXEMPLO 4

A média dos salários de computação em 2002 foi de $50352 nos EUA. Uma amostra com 20 valores teve ma $51750 e dp de 5240 minutos. Deseja-se saber se a média aritmética atual é maior que $50352. Usando α = 1%, pode-se concluir se atualmente o salário médio é maior? Qual o Valor-P?

(29)

TESTE DE HIPÓTESES UNICAUDAL À DIREITA

EXEMPLO 4

A média dos salários de computação em 2002 foi de $50352 nos EUA. Uma amostra com 20 valores teve ma $51750 e dp de 5240 minutos. Deseja-se saber se a média aritmética atual é maior que $50352. Usando α = 1%, pode-se concluir se atualmente o salário médio é maior? Qual o Valor-P?

CUIDADO:

AMOSTRA

PEQUENA!!

(30)

TESTE DE HIPÓTESES UNICAUDAL À DIREITA

EXEMPLO 4

A média dos salários de computação em 2002 foi de $50352 nos EUA. Uma amostra com 20 valores teve ma $51750 e dp de 5240 minutos. Deseja-se saber se a média aritmética atual é maior que $50352. Usando α = 1%, pode-se concluir se atualmente o salário médio é maior?

H₀: µ ≤ 50352.

H₁: µ > 50352.

Supor T-Student

(31)

DISTRIBUIÇÃO T-STUDENT BI X UNICAUDAL

IC α 90% 0,10 95% 0,05 99% 0,01

UNICAUDAL

BICAUDAL

(32)

TESTE DE HIPÓTESES UNICAUDAL À DIREITA

EXEMPLO 4

H₀: µ ≤ 50352.

H₁: µ > 50352.

! ^̅

, = 1,19

= 51750 = 5240 s

_̅

s

1171,70

= 20

Como o valor 1,19 é menor que o crítico posicionando-se fora da região de rejeição,

então, NÃO rejeitamos a hipótese nula.

Supor T-Student

2,539

(33)

DISTRIBUIÇÃO T-STUDENT BI X UNICAUDAL

IC α 90% 0,10 95% 0,05 99% 0,01

UNICAUDAL

BICAUDAL

(34)

TESTE DE HIPÓTESES UNICAUDAL À DIREITA

EXEMPLO 4

H₀: µ ≤ 50352.

H₁: µ > 50352.

! ^̅

, = 1,19

= 51750 = 5240 s

_̅

s

1171,70

= 20

Supor T-Student

2,539

Da tabela: α = 0,1 (valor-p)

Logo, se α > 0,1, rejeitaremos H

₀

.

(35)

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 5

Em 2002, 51% das pessoas com 50 anos ou mais afirmaram que o envelhecimento não é tão ruim quanto esperado. Em uma amostra aleatória atual com 400 pessoas de 50 anos ou mais, 54%

afirmaram o mesmo. Com nível de significância de 5%, pode-se concluir que a proporção atual é diferente da de 2002?

(36)

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 5

# = 0,51

= 400

H₀: p = 0,51.

H₁: p ≠ 0,51.

Supor Normal

% = 0,49

n# 400 ∗ 0,51 204 ) 5 n% 400 ∗ 0,49 196 ) 5

População

Pode realizar o teste com a Normal!

(37)

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 5

H₀: p = 0,51.

H₁: p ≠ 0,51.

Supor Normal

#̂ = 0,54 1,96

= 400

,_{# ̂} #%

.- /0,510 /0,490

.400 0,0249

12 1 3

1 ̂

, ,

, = 1,2048

p=0,51

Como o valor 1,20 está fora das regiões

críticas, então,

NÃO rejeitamos

a hipótese

nula de que a proporção é igual a 0,51.

(38)

TABELA DA NORMAL

Encontrar a área sob a curva da normal padronizada entre z = 0 e z = 1,20: α/2 = (0,5-0,0,3849), pois o teste é bicaudal.

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

(39)

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 5

H₀: p = 0,51.

H₁: p ≠ 0,51.

Supor Normal

#̂ = 0,54 1,96

= 400

,_{# ̂} #%

.- /0,510 /0,490

.400 0,0249

12 1 3

1 ̂

, ,

, = 1,2048

p=0,51

α

/2 = 0,5 - 0,3849 = 0,1151

α

= 0,2302 (valor-p)

Para

α

≤ 23%, então, não rejeitamos H

₀

.

(40)