TESTE DE HIPÓTESES: MA PARA AMOSTRA PEQUENA

AULA 9 – Teste de hipóteses em relação à média aritmética e em relação à proporção

Parte 3

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

ESTATÍSTICA PARA ADMINISTRAÇÃO

TESTE DE HIPÓTESES: MA PARA AMOSTRA PEQUENA

Etapas do Teste de Hipóteses com α dado

1 Declarar a hipótese nula e a hipótese alternativa:

H

: ≤ , ≥ , ≠ ; H

: >, <, =.

2 Selecionar a distribuição a ser utilizada:

Z: Normal, T: T-Student.

3 Determinar as regiões de rejeição e não-rejeição:

Gráfico com α : Bicaudal, à Esquerda/Direita Valor(es) Crítico(s): C

e C

ou C.

4 Calcular o valor da estatística de teste:

5 Tomar uma decisão:

Verificar se o valor Z observado, no item 4, está

fora da região de rejeição, obtida no item 3: se

sim aceitar H

, senão rejeitar H

.

Etapas do Teste de Hipóteses com α dado

1 Declarar a hipótese nula e a hipótese alternativa.

2 Selecionar a distribuição a ser utilizada.

3 Determinar as regiões de rejeição e não-rejeição.

4 Calcular o valor da estatística de teste.

5 Tomar uma decisão.

TESTE DE HIPÓTESES: MA PARA AMOSTRA PEQUENA

Etapas do Teste de Hipóteses com α dado

1 Declarar a hipótese nula e a hipótese alternativa.

TESTE DE HIPÓTESES: MA PARA AMOSTRA PEQUENA

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 1

A média do tempo de atendimento de uma empresa em 2018 foi de 12,44 minutos. A gerência deseja saber se a média aritmética atual é diferente de 12,44 minutos. Uma amostra com 15 valores teve ma 13,71 minutos e dp de 2,65 minutos. Usando α

= 5%, pode-se concluir se atualmente o tempo é diferente?

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 1

A média do tempo de atendimento de uma empresa em 2018 foi de 12,44 minutos. A gerência deseja saber se a média aritmética atual é diferente de 12,44 minutos. Uma amostra com 15 valores teve ma 13,71 minutos e dp de 2,65 minutos. Usando α

= 5%, pode-se concluir se atualmente o tempo é diferente?

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 1

A média do tempo de atendimento de uma empresa em 2018 foi de 12,44 minutos. A gerência deseja saber se a média aritmética atual é diferente de 12,44 minutos. Uma amostra com 15 valores teve ma 13,71 minutos e dp de 2,65 minutos. Usando α

= 5%, pode-se concluir se atualmente o tempo é diferente?

Hipótese nula (H₀):

A média não se alterou, ou seja, µ = 12,44.

Hipótese alternativa (H₁):

A média se alterou, ou seja, µ ≠ 12,44.

H₀: µ = 12,44.

H₁: µ ≠ 12,44.

x C₂

C₁ µ= 12,44

Teste Bicaudal rejeição na cauda esquerda e direita

TESTE DE HIPÓTESES: MA PARA AMOSTRA GRANDE

Etapas do Teste de Hipóteses com α dado

2 Selecionar a distribuição a ser utilizada.

TESTE DE HIPÓTESES: MA PARA AMOSTRA GRANDE

DISTRIBUIÇÕES PARA n ≥ 30 e n < 30

Para n ≥ 30 a distribuição de amostragem de é aproximadamente normal e n < 30 , e aproximadamente t- Student , independentemente do formato da distribuição da população. A média aritmética e o desvio-padrão da distribuição de amostragem são:

n = 4 n = 15 n = 30

µ _̅ µ σ _̅ s _̅ s

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 1

A média do tempo de atendimento de uma empresa em 2018 foi de 12,44 minutos. A gerência deseja saber se a média aritmética atual é diferente de 12,44 minutos. Uma amostra com 15 valores teve ma 13,71 minutos e dp de 2,65 minutos. Usando α

= 5%, pode-se concluir se atualmente o tempo é diferente?

H₀: µ = 12,44.

H₁: µ ≠ 12,44.

x C₂

C₁ µ= 12,44 Supor T-Student

TESTE DE HIPÓTESES: MA PARA AMOSTRA GRANDE

Etapas do Teste de Hipóteses com α dado

3 Determinar as regiões de rejeição e não-rejeição.

Caudas do teste

Um teste bicaudal possui regiões de rejeição em ambas as caudas; com cauda à esquerda possui região de rejeição na cauda esquerda; e cauda à direita rejeição na cauda direita.

x C₂

C₁ µ= 1,75

C₂ tal que α/2 dos valores é t > C₂ C₁ tal que α/2 dos

valores é t < C₁

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

Região de não-rejeição

C₁ e C₂ são chamados de valores críticos

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 1

A média do tempo de atendimento de uma empresa em 2018 foi de 12,44 minutos. A gerência deseja saber se a média aritmética atual é diferente de 12,44 minutos. Uma amostra com 15 valores teve ma 13,71 minutos e dp de 2,65 minutos. Usando α

= 5%, pode-se concluir se atualmente o tempo é diferente?

H₀: µ = 12,44.

H₁: µ ≠ 12,44.

C₂ x C₁

µ= 12,44

t t’

-t’

C₂ tal que 5/2%= 2,5%

dos valores é t > C₂ C₂ tal que 50 - 2,5% =

47,5% dos valores é t ≤ t’

2 1

Supor T-Student

DISTRIBUIÇÃO T-STUDENT BI X UNICAUDAL

IC α 90% 0,10 95% 0,05 99% 0,01

UNICAUDAL

BICAUDAL

α /2

α

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 1

A média do tempo de atendimento de uma empresa em 2018 foi de 12,44 minutos. A gerência deseja saber se a média aritmética atual é diferente de 12,44 minutos. Uma amostra com 15 valores teve ma 13,71 minutos e dp de 2,65 minutos. Usando α

= 5%, pode-se concluir se atualmente o tempo é diferente?

H₀: µ = 12,44.

H₁: µ ≠ 12,44.

C₂ x C₁

µ= 12,44

t t’

-t’

C₂ tal que 5/2%= 2,5%

dos valores é t > C₂ C₂ tal que 50 - 2,5% =

47,5% dos valores é t ≤ t’

t’ = 2,145

2 1

-t’ = -2,145

3

Supor T-Student

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 1

A média do tempo de atendimento de uma empresa em 2018 foi de 12,44 minutos. A gerência deseja saber se a média aritmética atual é diferente de 12,44 minutos. Uma amostra com 15 valores teve ma 13,71 minutos e dp de 2,65 minutos. Usando α

= 5%, pode-se concluir se atualmente o tempo é diferente?

C₂ x C₁

µ= 12,44

t 2,145

-2,145

TESTE DE HIPÓTESES: MA PARA AMOSTRA GRANDE

Etapas do Teste de Hipóteses com α dado

4 Calcular o valor da estatística de teste.

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

Para encontrar o valor de x quando uma área sob a curva da distribuição normal é conhecida, usa-se os seguintes passos.

RELACIONANDO Z E X COM ÁREA SOB A CURVA CONHECIDA

Passo 1: Encontre o valor de t correspondente à x.

Passo 2: Aplique os valores de µ , σ e t na equação:

Passo 3: Resolva a equação para x: x = µ + t σ .

̅ ̅ ̅ ̅ ou

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 1

A média do tempo de atendimento de uma empresa em 2018 foi de 12,44 minutos. A gerência deseja saber se a média aritmética atual é diferente de 12,44 minutos. Uma amostra com 15 valores teve ma 13,71 minutos e dp de 2,65 minutos. Usando α

= 5%, pode-se concluir se atualmente o tempo é diferente?

H₀: µ = 12,44.

H₁: µ ≠ 12,44.

̅ , ,

, = 1,86

= 13,71 = 2,65 s

s

0,6842

= 15

Supor T-Student

TESTE DE HIPÓTESES: MA PARA AMOSTRA GRANDE

Etapas do Teste de Hipóteses com α dado

5 Tomar uma decisão.

x C₂

C₁ µ = 1,75

C₂ tal que α/2 dos valores é t > C₂ C₁ tal que α/2 dos

valores é t < C₁

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

Região de não-rejeição

C₁ e C₂ são chamados de valores críticos

Valor obtido t

z

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 1

A média do tempo de atendimento de uma empresa em 2018 foi de 12,44 minutos. A gerência deseja saber se a média aritmética atual é diferente de 12,44 minutos. Uma amostra com 15 valores teve ma 13,71 minutos e dp de 2,65 minutos. Usando α

= 5%, pode-se concluir se atualmente o tempo é diferente?

H₀: µ = 12,44.

H₁: µ ≠ 12,44.

$ ^{̅ , ,}

, = 1,86

= 13,71 = 2,65 s

s

0, 6842

= 15

Como o valor 1,86 posiciona-se fora da região de rejeição, então, NÃO rejeitamos

a hipótese nula (tempo é igual a 12,44).

Supor T-Student

TESTE DE HIPÓTESES UNICAUDAL À DIREITA

EXEMPLO 2

A média dos salários de computação em 2002 foi de $50352 nos EUA. Uma amostra com 20 valores teve ma $51750 e dp de 5240 minutos. Deseja-se saber se a média aritmética atual é maior que $50352. Usando α = 1%, pode-se concluir se atualmente o salário médio é maior?

DISTRIBUIÇÃO T-STUDENT BI X UNICAUDAL

IC α 90% 0,10 95% 0,05 99% 0,01

UNICAUDAL

BICAUDAL

TESTE DE HIPÓTESES UNICAUDAL À DIREITA

EXEMPLO 2

A média dos salários de computação em 2002 foi de $50352 nos EUA. Uma amostra com 20 valores teve ma $51750 e dp de 5240 minutos. Deseja-se saber se a média aritmética atual é maior que $50352. Usando α = 1%, pode-se concluir se atualmente o salário médio é maior?

H₀: µ = 50352.

H₁: µ > 50352.

̅

, = 1,19

= 51750 = 5240 s

s

1171,70

= 20

Como o valor 1,19 é menor que o crítico posicionando-se fora da região de rejeição,

então, NÃO rejeitamos a hipótese nula.

Supor T-Student

2,539

TESTE DE HIPÓTESES UNICAUDAL À ESQUERDA

EXEMPLO 3

Um prefeito afirma que a média de patrimônio líquido das famílias em uma cidade é de $300.000. Uma amostra com 16 valores teve ma $288.000 e dp de $80.000. Usando nível de significância α = 2,5%, pode-se concluir que a afirmação do prefeito é falsa?

DISTRIBUIÇÃO T-STUDENT BI X UNICAUDAL

IC α

90% 0,10 97,5% 0,025

99% 0,01

UNICAUDAL

BICAUDAL

TESTE DE HIPÓTESES UNICAUDAL À ESQUERDA

EXEMPLO 3

Um prefeito afirma que a média de patrimônio líquido das famílias em uma cidade é de $300.000. Uma amostra com 16 valores teve ma $288.000 e dp de $80.000. Usando nível de significância α = 2,5%, pode-se concluir que a afirmação do prefeito é falsa?

H₀: µ ≥ 300000 H₁: µ < 300000

Supor Normal

$ ^̅ = -0,60

= 288000 = 80000 s

s

20000

= 16

O valor -0,60 é maior que o crítico (-2,131) e está na região de não-rejeição, então, NÃO rejeitar H

(afirmativa é verdadeira).

-2,131-

TESTE DE HIPÓTESES: PROPORÇÃO N GRANDE

Etapas do Teste de Hipóteses com α dado

1 Declarar a hipótese nula e a hipótese alternativa:

H

: ≤ , ≥ , ≠ ; H

: >, <, =.

2 Selecionar a distribuição a ser utilizada:

Z: Normal, T: T-Student.

3 Determinar as regiões de rejeição e não-rejeição:

Gráfico com α : Bicaudal, à Esquerda/Direita Valor(es) Crítico(s): C

e C

ou C.

4 Calcular o valor da estatística de teste:

5 Tomar uma decisão:

Verificar se o valor Z observado, no item 4, está fora da região de rejeição, obtida no item 3: se sim aceitar H

, senão rejeitar H

.

Onde:

' ̂

)*

⁄

$ '̂ '

' ̂

ESTIMATIVA PROPORÇÃO: AMOSTRAS GRANDES

Importante: para a proporção, uma amostra é considerada

grande se np ou nq são ambos maiores do que 5. Se p e q

não são conhecidos, então, usa-se, n' e n- .

TABELA DA NORMAL

Encontrar a área sob a curva da normal padronizada entre z = 0 e z = 1,96: 47,50% (usar α/2 = 2,5%, pois é bicaudal).

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 4

Em 2002, 51% das pessoas com 50 anos ou mais afirmaram que o envelhecimento não é tão ruim quanto esperado. Em uma amostra aleatória atual com 400 pessoas de 50 anos ou mais, 54%

afirmaram o mesmo. Com nível de significância de 5%, pode-se concluir que a proporção atual é diferente da de 2002?

' = 0,51

= 400

H₀: p = 0,51.

H₁: p ≠ 0,51.

Supor Normal

- = 0,49

n' 400 ∗ 0,51 204 0 5 n- 400 ∗ 0,49 196 0 5

População

Pode realizar o teste com a Normal!

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 4

Em 2002, 51% das pessoas com 50 anos ou mais afirmaram que o envelhecimento não é tão ruim quanto esperado. Em uma amostra aleatória atual com 400 pessoas de 50 anos ou mais, 54%

afirmaram o mesmo. Com nível de significância de 5%, pode-se concluir que a proporção atual é diferente da de 2002?

H₀: p = 0,51.

H₁: p ≠ 0,51.

Supor Normal

'̂ = 0,54 $ 1,96

= 400

' ̂

'- 3 2 40,515 40,495

3 400 0,0249

$ ^{)6 )}

7

, ,

, 8 = 1,2048

p=0,51

Como o valor 1,20 está fora das regiões críticas, então, NÃO rejeitamos a hipótese

nula de que a proporção é igual a 0,51.

TESTE DE HIPÓTESES UNICAUDAL À DIREITA

EXEMPLO 5

Uma máquina produz não mais do que 4% de chips defeituosos.

Se produzir mais do que 4% precisa de ajustes. O departamento de qualidade extraiu uma amostra de 200 chips que continha 14 chips com defeito. Usando α = 1%, pode-se concluir se a máquina precisa de ajuste ou não?

TESTE DE HIPÓTESES UNICAUDAL À DIREITA

EXEMPLO 5

Uma máquina produz não mais do que 4% de chips defeituosos.

Se produzir mais do que 4% precisa de ajustes. O departamento de qualidade extraiu uma amostra de 200 chips que continha 14 chips com defeito. Usando α = 1%, pode-se concluir se a máquina precisa de ajuste ou não?

' = 0,04

= 200

H₀: p ≤ 0,04.

H₁: p > 0,04.

Supor Normal

- = 0,96

n' 200 ∗ 0,04 8 0 5 n- 200 ∗ 0,96 192 0 5

População

Pode realizar o teste com a Normal!

TABELA DA NORMAL

Encontrar a área sob a curva da normal padronizada entre z = 0 e z = 2,33: 49,00% (usar α = 1%, pois é unicaudal).

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

TESTE DE HIPÓTESES UNICAUDAL À DIREITA

EXEMPLO 5

Supor Normal

Uma máquina produz não mais do que 4% de chips defeituosos.

Se produzir mais do que 4% precisa de ajustes. O departamento de qualidade extraiu uma amostra de 200 chips que continha 14 chips com defeito. Usando α = 1%, pode-se concluir se a máquina precisa de ajuste ou não?

H₀: p ≤ 0,04.

H₁: p > 0,04.

'̂ = 14/200 $ 2,33

= 200

' ̂

'- 3 2 40,045 40,965

3 200 0,01386

$ ^{)6 )}

7

, ,

, = 2,1645

Como o valor 1,20 está fora das regiões críticas, então, NÃO rejeitamos a hipótese nula, ou seja, de que não precisa de ajuste

p=0,04

TESTE DE HIPÓTESES UNICAUDAL À ESQUERDA

EXEMPLO 6

Um E-Commerce afirma que 90% dos pedidos são postados dentro de 72 horas depois de serem recebidos. O departamento de qualidade extraiu uma amostra com 150 pedidos e 129 foram postados dentro de 72 horas. Usando nível de significância α

= 2,5%, pode-se concluir que a afirmação é verdadeira?

TESTE DE HIPÓTESES UNICAUDAL À DIREITA

EXEMPLO 6

' = 0,90

= 150

H₀: p ≥ 0,90.

H₁: p < 0,90.

Supor Normal

- = 0,10

n' 150 ∗ 0,90 135 0 5 n- 150 ∗ 0,10 15 0 5

População

Pode realizar o teste com a Normal!

Um E-Commerce afirma que 90% dos pedidos são postados dentro de 72 horas depois de serem recebidos. O departamento de qualidade extraiu uma amostra com 150 pedidos e 129 foram postados dentro de 72 horas. Usando nível de significância α

= 2,5%, pode-se concluir que a afirmação é verdadeira?

TABELA DA NORMAL

Encontrar a área sob a curva da normal padronizada entre z = 0 e z = 1,96: 47,50% (usar α = 2,5%, pois é unicaudal).

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

TESTE DE HIPÓTESES UNICAUDAL À DIREITA

EXEMPLO 6

Supor Normal H₀: p ≥ 0,90.

H₁: p < 0,90.

'̂ = 129/150 = 0,86 $ 1,96

= 150

' ̂

'- 3 2 40,905 40,105

3 150 0,02449

$ ^{)6 )}

7

, ,8

, 8 =- 1,6333

Como o valor -1,63 está fora das regiões críticas, então, NÃO rejeitamos a hipótese

nula, ou seja, a afirmativa é verdadeira.

p=0,90

Um E-Commerce afirma que 90% dos pedidos são postados dentro de 72 horas depois de serem recebidos. O departamento de qualidade extraiu uma amostra com 150 pedidos e 129 foram postados dentro de 72 horas. Usando nível de significância α

= 2,5%, pode-se concluir que a afirmação é verdadeira?

OBRIGADO !!!