Estados superficiais em sistemas quase-bidimensionais

ESTADOS SUPERFICIAIS EM SISTEMAS

QUASE- BIDIMENSIONAIS

GIL DE AQUINO FARIAS

Departamento

de Física

Universidade Federal de São Carlos

(Tese apresentada ao Instituto de Física e Química de São Carlos - USP, para a obten-ção do tÍtulo de Doutor em Física)

ORIENT ADOR:

prol. !Dr. Oscar geipólito

SÃo. CARLo.S

•

ESTADOS SUPERFICIAIS EM SISTEMAS

QUASE-BIDIMENSIONAIS

GIL DE AQUINO FARIAS

Departamento de Física

Universidade Federal de são Carlos

(Tese apresentada ao Instituto de Física e Química de são

Car-los - USP, para a obtenção do título de Doutor em Física)

ORIENTADOR:

Prof.Dr. Oscar Hipôlito .

SÃO CARLOS

UNI VER

$

I O A O E O E SA O PAU L O, EM 2 8 O E

COMISSAO JULGAOORA:

março OE198 O .

Or. Oscar Hipõlito - Orientador

•

Or. Roberto Leal Lobo e Silva Fil ho

~~

J./AkO~,

-.

,

Or. Bernhard Joachim Mokross

--J~~~'

Ora. Vera Beatriz Freitas de Campos

~ (..(i..IJV~ '\IV

II

.---.'---

..

----4-. _

-_._

..~-_.._---

•

zação deste trabalho;

ã

Angela. pelo apoio durante toda a elaboração;

aos colegas Vera Beatriz. Castilho Alcaraz e Nelson Studart. p~

Ia colaboração atraves de proveitosas discussões;

aos Profs. Milton F. de Souza e Roberto Lobo. pelo impulso ini

cial junto ao Instituto de Física e Química de são

Carlos;

aos colegas e funcionarios do Departamento de Física da UFSCar

e do Instituto de Física e Química de são Carlos

-USP. especialmente do Centro de Computação. que

di-reta ou indidi-retamente contribuiram para o

desenvol-vimento deste trabalho;

ã Angela e Maria Laura. pelo excelente trabalho de datilografia

Neste trabalho estudamos o efeito da rugosidade da

interface isolante-semicondutor, sobre a energia do estado

fun-damental do eletron ligado a uma impureza ionizada, situada pro

xima desta interface, para um sistema MOSFET de Si02-Si @O~.

Para impurezas doadoras situadas no Si, a energia

de ligação e obtida atraves do metodo variacional, e os result~

dos são comparados com os de N.O.Lipari. Com impurezas

situa-das no oxido, a energia de ligação tambem e calculada de modo

variacional, e a blindagem dos eletrons e levada em conta numa

teoria de resposta linear. Os resultados obtidos sao

-

compatí-veis com os experimentais, e indicam que o efeito da rugosidade

e importante na blindagem dos eletrons.

Calculamos tambem a energia de separação entre

sub-bandas eletricas de uma camada de inversão de Si tipo-no

isto, consideramos um potencial "nearly self-consistent"

Para

e

o

efeito da rugosidade e incorporado ao Hamiltoniano do sistema

atraves do potencial imagem e da mudança da barreira de

poten-cial na interface.

Os resultados mostram uma mudança signifi~ativa na

energia de separação entre as sub-bandas, e indicam que a

rugo-sidade da interface isolante-semicondutor não pode ser desprez~

da, num calculo onde os efeitos de troca e correlação são

leva-dos em conta.

•

dos para qualquer campo eletrico aplicado. Tais resultados,qua~

do comparados com os de outras teorias do anion superficial,pe~

mitem-nos inferir os intervalos de campo eletrico em que as mes

We have investigated the effect of surface roughness

on the binding energies of an e1ectron bound to an ionized

impu-•

rity center 10ca1ized near the interface both in the si1icon and

in the si1icon-dioxide of a MOS - Si [001] system. We have a1so

discussed the roughness effects on the e1ectric-subband energy s~

paration in n-type Si inversion 1ayer. The ca1cu1ation reported

here shows that those effects are significant and are in satisfac

tory agreement with experimental data.

ln the case of e1ectrons on 1iquid he1ium surface, we

have ca1cu1ated the effective mass and the formation energy of a

surface anion (e1ectron-ripp10n interaction). We have used the Fey~

man variationa1 method, and the resu1ts we have got gives therange

of va1idity of other approximations •

30

RESUMO

ABSTRACT

INTRODUÇÃO 10

CAPITULO 1 - EL~TRONS EM SISTEMAS

QUASE-BIDIMEN-SIONAIS 13

1.1 - Sistemas MOSFET 13

1.1.1 - Sub-bandas e1~tricas 15

1.1.2 - Estados ligados 19

1.2 - E1~trons sobre uma Superfície

de H~lio Líquido 20

1.2.1 - Efeitos devido

ã

de-formação na

superfí-cie de h~lio 23

CAP1TULO 2 - PRINCIpIO VARIACIONAL 25

2.1 - Metodo ~ Ray1eigh-Ritz 25

2.2 - Metodo de Feynman 27

2.2.1 - Propagador e matriz

densidade 27

2.2.2 - Propagador e matriz

densidade no

forma-1ismo de integrais

3.1 - Potencial de ~ Carga Próxima

~ ~ Interface Rugosa 39

3.2 - Rugosidade ~ Sistemas MOSFET 60

3.2.1 - Impurezas carregadas

no isolante

3.2.2 - Efeito da rugosidade

sobre a blindagem dos

eletrons na camada de

inversão

3.2.3 - Energia de transição

entre sub-bandas

3.3 - Impurezas Doadoras no

Semicon-dutor

3.4 - Resultados e Conclusões

CAPiTULO 4 - ESTADOS SUPERFICIAIS LOCALIZADOS

4.1 - Lagrangeana dos Riplons

4.2 - Interaxão Eletron-Riplon

4.3 - Energia ~ Formação do Anion

Superficial em filmes de He

Líquido

4.4 - Massa Efetiva do Anion

Super-ficial em filmes de He

lígui-do

4.5 - Anion Superficial na

Interfa-61

72

74

76

80

84

85

92

100

111

116

""'" ,

AP~NDICE B

AP~NDICE C

LEGENDA DAS FIGURAS

FIGURAS

REFER~NCIAS BIBLIOGRÁFICAS

126

132

137

140

INTRODUÇÃO

O estudo de sistemas quase-bidimensionais tem despe!

tado grande interesse nos últimos anos, como bem o demonstram

os anais das três conferências internacionais, realizadas nos

Estados Unidos (1975), na Alemanha (1977) e no Japão (1979).

Destes sistemas estudaremos particularmente algumas

propriedades dos elétrons na camada de inversão de um semicondu

tor em sistemas MOSFET (Metal-Oxide-Field-Effect-Transistor) e

de eletrons proximos de uma superfície de hélio 1íqcido.

Elétrons na superfície de hélio líquido formam um

dos mais interessantes sistemas quase-bidimensionais. Como exe~

Para sistemas MOSFET, além

pIo mais marcante podemos citar a formação de um cristal

3

l!

ner numa interface He -He·.

de Wi,a

das

propriedades fundamentais da Física da Matéria Condensada temos

um outro ponto importante a salientar, que é sua aplicação no

processo de miniaturização em inúmeros componentes eletrônicos.

O aspecto fundamental associado aos sistemas

quase-bidimensionais é a quantização dos estados eletrônicos na

dire-ção perpendicular ã superfície, enquanto que o movimento na

di-reção paralela e praticamente livre.

As propriedades gerais associadas a estes sistemas

serão descritas no primeiro capítulo do presente trabalho. No

segundo capítulo apresentaremos os métodos variacionais de

Ray-•• 2. 3

extremamente ~teis para a resoluçio de problemas especIficos

• N N "" • .,.

nos sistemas em questao. Isto porque a soluçao numerlca e

bas-.

~

.

~ -

-.,.

,'"

tante dlflCll. e o metodo de perturbaçao nao e apllcavel.

No capItulo 3 seri visto o efeito da rugosidade na

interface õxido-semicondutor em sistemas MOSFET e sobre

impure-zas doadoras no semicondutor, próximas

ã

interface. Para isto

apresentaremos inicialmente o potencial de uma carga na

presen-ça de uma interface rugosa.~

Das propriedades dos elétrons na camada de inversão

.

-

...

em slstemas MOSFET serao estudados d01S aspectos: o nlvel de

e-nergia mais baixo para os eletrons ligados às impurezas no

óxi-do, e a energia de transição entre as duas primeiras sub-bandas.

Para a energia de ligação do elétron consideraremos baixas

con-centrações de impurezas no óxido, possibilitando assim

tratar-mos o problema de apenas uma impureza. O potencial levari em

conta a rugosidade na interface óxido-semicondutor. O método va

riacional de Rayleigh-Ritz seri usado para a função de onda do

elétron.

A energia de ligação seri obtida como função da

den-sidade de cargas na camada de inversão, para várias distâncias

da impureza

ã

interface, e da rugosidade da superf[cie.

Além do efeito da rugosidade também será considerada

a blindagem dos elétrons, na aproximação de campo medio.

No cálculo da energia de transição entre as duas pri

mel.ras sub-bandas, usaremos o potencial "nearly self-consistent"

S

Para o caso de impurezas doadoras no semicondutor,na

ausência de campo elétrico externo, a energia de ligação também

será obtida através do método variacional de Rayleigh-Ritz. Os

valores encontrados serão comparados com os obtidos

teoricamen-•• <&

te por N.O.Llparl.

No capítulo 4 discutiremos a interação do elétron

com as oscilações da superfície (riplons) de helio líquido: o

anlon superficial. A massa efetiva e a energia de formação do

anlon superficial serao calculadas para dois tipos de

ce: vácuo-He4 líquido e He3-He4•

interfa-A Lagrangeana que descreve o movimento do sistema

eletron-riplon é análoga ã do sistema eletron-fonon em

materi-ais polares. Desta forma, o método de Feynman

usado para este problema.

também pode ser

Em virtude da forma da interação eletron-riplon, os

resultados obtidos serão válidos para qualquer valor do

elétrico externo aplicado.

campo

Estes resultados serao discutidos e comparados com

os obtidos por V.B.Shikin e Yu.p.Monarkha,' e por L.M.Sander.6

I - ELÉTRONS EM SISTEMAS QUASE-BIDIMENSIONAIS

Elétrons na camada de inversão de um semicondutor,

em sistemas MOSFET, e sobre uma superficie de hélio lIquido, r~

presentam os mais estudados sistemas quase-bidimensionais. Como

os processos envolvidos em cada sistema possuem caracterIsticas

diferentes, apresentaremos conceitos e propriedades gerais ass~

ciadas a estes sistemas,

te trabalho.

e que serão utilizadas no decorrer des

1.1 - Sistemas MOSFET

Em todos os problemas aqui tratados o semicondutor

usado sera o silício tipo-p. Outros semicondutores, tais como o

InSb, Ge, também podem ser utilizados na fabricação de um siste

ma MOSFET.

A estrutura de um sistema MOSFET de Si é mostrada

na figo (1). Numa descrição sucinta, tem-se um cristal de Si

ti-po-p, onde é crescida termicamente uma camada de Si02, de espe~

sura entre 102 a 103

x.

Um metal ( o mais utilizado tem sido

Alumínio ), é depositado sobre o óxido, e o contato ôhmico e es

tabelecido sob o Si, formando o segundo eletrodo. Através

inter-condução

face õxido-semicondutor.

Com um campo elétrico aplicado perpendicularmente

ã

interface óxido-semicondutor, os portadores minoritários (

elé-trons) aproximam-se da interface. Nesta situaçio mostramos, na

fig.(2a),a energia de Fermi EF, o mínimo da banda de

EC' e a energia de valência EV'

A regiio onde os portadores majoritários (buracos)

tem uma concentração menor que a do interior do cristal é chama

da de camada de "depletion".

Para campos elétricos intensos, na região próxima ã

superficie, os portadores minoritirios terão uma concentração

ma~or que os portadores majoritirios, conforme indicado na figo

(2b). Nesta região temos uma inversão na concentraçao de porta

"

dores de carga, caracterizando um semicondutor tipo-no Desta

forma, a camada de inversão tipo-n se constitui em um tipico

sistema eletrônico quase-bidimensional.

Se aplicarmos uma diferença de potencial entre os

pontos a e b (fig.l), haveri uma corrente devido aos elétrons

na camada de inversão. Como a distância entre os pontos de

con-o

tato a e b (fig.l) é da ordem de 1000 A, é possivel a miniaturi

zação de componentes eletrônicos .

1.1.1 - Sub-bandas elétricas

Para descrever o movimento dos elétrons na camada

de inversão do semicondutor, vamos considerar a equação de

mas-sa efetiva

onde T

ê

o operador de energia cinetica, e <jJ(x)-+

(1.1)

e o potencial

eletrostático na camada de inversão, resultante da aplicação de

um campo elétrico perpendicular

ã

interface, dependente apenas

da direção perpendicular z.

vês da equação de Poisson

Este potencial

ê

determinado

atra--4rrp/E

_s

,

(1.2)

onde p e a densidade de cargas dada pela carga fixa na camada

de "dep1etion", somada

ã

carga dos elétrons existentes na

cama-da de inversão,

condutor.

e 'ê. é a constante die1etrica estática do

sem1-s

As condições de contorno para (1.2) serão dadas por

e

<jJ(z)-+ O

'ê.

ox

d<jJ(z)/dz

para

z=O

z-+oo

= 'ê.

s

d<jJ(z)/dz

+

z=O

(1.3a)

onde E_ox

e

a constante dieletrica estatica do oxido.

A barreira de potencial na interface Si02-Si(3.l

eV) ,sendo muito maior que a energia dos eletrons na camada de

inversão, pode ser considerada como infinita. A condição

~(~) na interface será então

para

-+

':I'(r,z)

z=O

= O

(1.4)

Nos problemas que serao estudados tomaremos como nu

Ia a função de onda do eletron na interface. Considerando o pl~

no COOU do Si paralelo ã interface, a equação (1.1) pode ser

escrita como

112

2m

y

112

2m_z

+

'l'(r,z)=

+

= E'l'(r,z)

(1.5)

onde m , m e m representam as componentes principais do

ten-x

y z

sor de massa efetiva do elétron.

Uma vez que o potencial depende apenas de z, a

fun-çao de onda

é

da forma

+

'l'(r,z)

-ik

x

-ik y

x

y

Assim, a energia total do elétron será

E •

_2m

i12

:x:

(1.7)

e a equação de movimento na direção perpendicular ã

será

interface

(1.8)

Com as equaçoes (1.6) e (1.8) temos que na direção

paralela

ã

interface o movimento da part1cula é livre, enquanto

que na direção perpendicular o movimento é quantizado. Desta

forma, os elétrons no plano paralelo ã interface estão situados

em sub-bandas elétricas, onde cada uma corresponde a um

quantizado E

_n

na direção z (fig.3).

A quantização destes n1veis foi prevista por

nivel

J.R.

Schrieff: em 1957, mas a natureza do gas de eletrons bidimensio

nal, onde apenas uma sub-banda é ocupada, foi observada somente

10

em 1966, por A.B.Fowler et ai.

o intervalo de densidades acess1veis

experimental-mente na camada de inversão determina a natureza do gá~ de

elé-trons. A densidade varia entre n_1011 e 1013 cm-2

A energia de Fermi EF para u~ gás de elétrons

bidi-mensional é dada por

E_F _ _-1ff12n

m

•

Assim, EF para a camada de inversão varia entre 1 e 50 meV, ,

e portanto o gás de e1etrons, mesmo a altas temperaturas, obede

ce

ã

estatrstica de Fermi.

Em virtude destas densidades, a interação

e1étron-e1etron deve ser levada em conta no cálculo do potencial ~(z).

modelos de pote~

...

u,t~

Entretanto, o calculo de T.Ando Considerando esta interação,vários

H, 12, f3

sido propostos. cial tem

apresenta os resultados mais próximos dos obtidos

experimenta1-45, HS .••

mente. Para isto, o potencial e calculado de modo

autocon-sistente, levando-se em conta efeitos de troca e correlação

en-tre os e1etrons da camada de inversão.

Os e1etrons desta camada estão situados proximos do

mrnimo da banda de condução.Para o Si esta banda apresenta (fig.

4) seis mínimos em (+k , 0,0), (O, +_{-o -}

k ,

_o O), (0,0, +_-

k )

_o onde

k

_o=

0.85 (2~/a), sendo ~ constante de rede. O tensor de massa

efe-tiva consiste em uma componente mZ= 0.916 m ao longo do eixo do

cristal, e duas componentes iguais com m

t

= 0.190 m, sendo m a

massa do e1etron. Considerando a face [OO~ do Si, teremos

pa-ra os valores (0,0,

_-

+

k ),

_o

m

_z

= mZ e m

_x

= m_y = mt. Deste modo,

as soluções de (1.8) apresentam degenerescência de spin e uma

degenerescência nos dois vales. Para (+_-

k ,

_o 0,0) e (O, +_-

k ,

_o O)

m

z

= mt e portanto as energias E

n

associadas serão maiores. que

as correspondentes E_n para (0,0, +_- k ). Em baixas_o temperaturas,

apenas os vales (0,0, _-+ k ) são ocupados._o

A descontinuidade no potencial produz uma pequena

- 17

separaçao entre (0,0, +_- k )._o As transições entre os vales

1.1.2 - Estados ligados

Na presença d~ impurezas carregadas, pr;ximas

i

in-terface isolante-semicondutor, formam-se, em geral, estados

su-perflcials localizados, e as propriedades de transporte dOI eli

trons paralelos ã interface são alteradas.

A.B.Fowler e A.Hartstein~e difundindo ions Na+ no

óxido, num sistema MOSFET de Si02- Si [OOlJ ' produziram e

ob-servaram estados ligados na interface.

°

primeiro estudo teórico destes estados localizados e

de suas energias de ligação,numa camada de inversão de um

semi-d

f .

19

con utor, 01 apresentado por F.Stern e W.E.Howard. Nesta teo

ria considerou-se a camada de invers~o com espessura nula, e a

blindagem devido aos el~trons foi tomada numa aproximação de res

posta linear.

Eliminando a restriç~o de um sistema bidimensional

puro, e sem considerar a blindagem dos el~trons, foram

calcula-€>, 2.0, Z.t

das em varios trabalhos a energia do estado fundamental e

de estados excitados. Usando um formalismo de densidade

funcio-I V· 22

na , B. 1nter apresentou tamb~m um calculo para a energia de

ligação. Entretanto, os resultados obtidos com estes trabalhos

diferem de modo significativo do resultado experimental.fB

• _ • 2.3

Recentemente, O.H1pol1to e V.B.Campos calcularam

a energia de ligação usando o metodo variacional, levando em

consideração a teoria da resposta linear para a blindagem. Os

Nos trabalhos citados anteriormente, a interface

isolante-semicondutor

i

considerada como sendo um plano ideal.

Todavia isto n~o corresponde

i

realidade, pois

experimentalmen-te sabe-se que esta interface

i

rugosa. Assim, analisaremos com

detalhes, no capItulo 3, o efeito da rugosidade sobre os

esta-dos localizaesta-dos, e sobre a energia de separação entre

sub-ban-das da camada de invers~o. Os resultados obtidos mostram-se com

patlveis com os experimentais, e indicam a importincia do efei

to da rugosidade.

- - ... ,- -.

~.

1.2 - Eletrons sobre ~ Superf~c~e

-

.

- ~- -.

deHel~o L~qu~do

O movimento dos eletrons sobre uma superficie de he

.

.,

.

-

-

-

.

-l~o l~qu~do e analogo ao dos eletrons na camada de ~nversao de

um semicondutor. Entr~tanto, a densidade eletrônica neste caso

varia ~ntre n=105 e 109 cm-2, o que representa a diferença mais

significativa entre estes dois sistemas quase-bidimensionais.

A energia de Fermi (1.9) para as densidades acima

mencionadas varia entre 10-6 e 10-2 me V . Portanto, o gas. de

eletrons na superficie de helio e um gas classico mesmo em

tem-peraturas da ordem de milikelvins.

Uma vez que a densidade de eletrons neste sistema e

pequena, a contribuição devido

ã

interação eletron-eletron pode

contri-buiç;es importantes sio dadas pelo potencial imasem e pelo

cam-po elétrico perpendicular

ã

interface.

Supondo que a superfrcie de helio seja plana,

pode-mos escrever a funçio de onda como

.+ +

'Y(~) -

e1k•r

f

_n

(z)

(1.10)

onde k - (k_~2 +

k

_y2)1/2, e a equaçio de movimento na direçio z

i

dada por

~2

...!:

f

(z) + [-e<p(z) + E ] f (z) - O

2m dz2 n n n

(1.11)

sendo m a massa do eletron. No caso da interface helio-vácuo,

a barreira de potencial

ê

V -1.0_o

,eV;

o. modelo .ais simples

pa-ra o potencial considera a barreira de potencial cOmo sendo

in-finita, e o potencial imagem como o potencial imagem clássico.

Desta forma, para um campo eletrico EL aplicada

perpendicular-mente

ã

superflcie, temos

• (z)

-= - ~ + E..L Z

-= CIO

z

> O

(1.12)

Z

< O

sendo Q = (EHe - 1)/. (EHe + 1), EHe

tática do helio .

a constante die1etrica es

•

barreira de potencial na interface

Vo'

flnita e eliminar a nio

ftsica divergência l/z do potencial imasem clãssico para distân

elas próximas ã interface. Com estas caractertsticas. vãrios mo

I~

as

delos de potencial tem sido propostos. '

Considerando um potencial fenomenológico dado por

cj>(z) - - ~ '*

z+z

= V

o

z > O

z < O

(1.13)

* _

_

. _

.

26

onde z e um parametro aJustave1, H1po11to et a1 calcularam

a separação dos níveis entre o estado fundamental E_o e o primei

-ro estado excitado EI' Os resultados obtidos com este modelo

concordam plenamente com os valores experimentais de e.e.Grimes

2T

e T.R.Brown. Entretanto, até o momento não se tem ainda um

modelo satisfatõrio de potencial, sem parâmetros ajustáveis, pa

.

-

-

..•..

ra a 1nteraçao do e1etron com a superf1c1e .

1.2.1 - Efeitos devido

i

deformaçio na superfície

de helio

Na região de baixa. den.idades eletrônicas, o

movi-mento do. eletrons na direçio paralela

ã

.uperf!cie e lovernado

pelo e.palhamento por átomo. de vapor de helio na inte;face, e

por vibrações da superfície de helio. E.ta. vibraçõe. correspo~

dem classicamente

ã.

onda. de capilaridade. que quando quantiz~

da. são conhecidas como riplons.

O espalhamento por átomos de vapor ê importante na

região de temperatura acima de O.8K. Uma vez que estaremos in

-e

teressados apenas em temperaturas próximas de OOK, elte e8palh~

mento nao será considerado. Para temperaturas menores que

0.6K,

predomina o espalhamento devido

ã

interação eletron-riplon. Ne~

ta região de temperatura, e de campo elétrico EL~

400.0

V/em,

e~te espalhamento e elástico. Logo, a mobilidade do elétron

-

-

18.-calculada atraves da equaçao de Boltzman. Na reg1ao de campos

elétricos intensos

~5

2.0

x 103 V/cm, a superfície dehélio d~

forma-se devido

ã

pressão do elétron contra a superfície. A

de-- -fi' • - •

-pressao da superf1c1e de hel10 em torno de cada eletron

um "dimple" que tende a localizar este 'elétron nO plano.

forma

Elétrons localizados nestes "dimples" são ·chamados

de anion superficial e tem sua massa efetiva, mobilidade e

ou-tras propriedades muito diferentes das de um elétron livre na su

perfície. Como a energia de ligação do eletron nO "dimple" é p!.

quena, este sistema

ê

estável apenas em baixas tempe~aturas T <

24

A teoria de anions superficiais foi inicialmente

~

proposta por V.B.Sbikin e Yu.P.Monarkha. Posteriormente, usando

o m~todo variacional, L.M.Sander8 calculou a energia de

forma-çao para o anion superficial, obtendo resultados diferentes com (,

parados com os de Shikin e Monarkha. Uma discussão mais

deta-lhada destes trabalhos, e a natureza da interação do elétron

com a superfície deformada, serão consideradas no capítulo 4.

A mobilidade do anion superficial foi determinada

Os

re-considerando elétrons sobre filmes de hélio.

experimentalmente por A.P.Volodin et al,~ S.A.Rydbalko e Yu.Z .

. 30

Kovdrla,

sultados obtidos nestes trabalhos diferem de um fator -IO~.

En-tretanto, estas experiências tem recebido críticas em virtude

da espessura do filme de helio nao ser constante .

.

-

~

.

Para altas dens~dades de eletrons na superf~c~e de

helio, a relação de dispersão do riplon

e

modificada devido

-

a

interação eletron-riplon. Para concentrações acima de

n - 2 xl09 cm-z o sistema torna-se instavel.

Recentemente, M.Wanner e P.Leiderer observaram exp~

.

i

r~mentalmente a formação de um cristal de "dimples" na inter

face He3-He4• Este cristal torna-se instavel para altas densida

des.

Para o estudo das propriedades do anion superficial

usaremos o metodo

_

de ~ntegral

.•

de traJetor~a

_.

de Feynman,

3

cons~

derando o limite de temperatura T~O, e baixa densidade de

elé-trons. Assim, os resultados serao validos para o problema de um

elétron e qualquer valor de campo E~ aplicado.

2 - PRINC!PIO VARIACIONAL

Dentre os métodos de solução para inúmeros problemas,

em diversos campos da Física, o método variacional tem sido inten

sivamente usado com bons resultados. Isto ocorre particularmente

nos casos em que a soluçao numérica é bastante diffcil, ou quando

o metodo de perturbação não é aplicável em virtude de não existir

um problema próximo, cuja solução exata seja conhecida.

Em virtude da natureza dos problemas aqui estudados u

saremos dois métodos alternativos para o princIpio variacional,

- _ •• 2 _ .3

que sao o metodo de Raylelgh-Rltz e o metodo de Feynman.

2.1 - Método de Rayleigh-Ritz

Este método é comumente utilizado em Mecânica

Quânti-ca para problemas onde se deseja obter a energia do estado

funda-mental E_o de um sistema.

Vamos considerar a energia deste estado como um

fun-cional E

['i'] ,

definido por

= <'i'l.!!J 'i'> <'i'I'i'>

(2.1)

sendo H o Hamiltoniano do sistema, e 'i' uma função arbitrária

su-jeita

ã

condição

Assim, E[~J satisfaz a duas condições:

a)

E[~J ~

estacioniria com respeito a variaçoes

arbi-tririas del~> em torno da soluçãol~o> de

•.

(H-E _o)1 ~ _o > = O (2.3)

b) Sel~o> representa o autoestado de energia mais bai

xa, temos

(2.4)

Com isto, devemos tomar

I

'l'>

como função de um ou mais

parâmetros que devem ser ajustados para tornar mínimo o funcional

E[~J , isto

ê,

E

['l']=

E(a,b, .•• )

=

de modo que

< 'l' (a,b,

) [..!:!J'l'(a,b,

»

<'l'(a,b,

) !'l'(a,b,

»

(2.5)

d E ₌ d E _{= o (2.6)}

d

a

d b

A escolha del'l'>

é

importante, e deve satisfazer as si

metrias apropriadas do sistema em consideração.

2.2 - Método de Feynman

o forrnalismo de integrais de trajetória de Feynman~

representa uma formulação alternativa para a Mecânica Quântica, ~

quivalente ã de Schrôdinger ou Heisenberg. Como um dos pontos

im-port!ntes desta teoria, podemos salientar o modo simples e direto

de relacionar a Mecânica Quântica ã clássica.

Atrav:s de uma continuação analítica para tempos

ima-ginãrios deste formalismo, podemos calcular a matriz densidade p!

ra um sistema cujo Hamiltoniano não dependa explicitamente do tem

po. Com isto, as propriedades termodinâmicas do sistema podem ser

analisadas.

Uma vez que estamos interessados em estudar as propri

edades termodinâmicas de um sistema de eletrons interagindo com a

superfície de He líquido, cujo Hamiltoniano não depende de spin ,

este formalismo pode ser aplicado com bons resultados.

2.2.1 - Propagador e Matriz Densidade

a) Propagador

Vamos considerar um sistema cuja configuração seja ca

racterizada por um vetor ~, que pode possuir um número arbitrário

de componentes. O propagador associado a este sistema e definido

31

como

onde 'r't') ~ um autoestado do operador r(t') na representaçao

de Heisenberg.

Com esta definição,

P(r",r') • IK(r"t"; r't') 12

_(2.8)

representa a probabilidade do sistema, estando em r' no tempo t',

estar em r" no tempo posterior t".

'*

Uma vez que <r"t"

I

r' t') - <r't'

I

r"t"> ' definimos

K(r"t";

r't')

= K

(r

't ';

r

"t ")

'* para t" <

t '

_(2.9)

o

propagador definido em (2.8) satisfaz as

propriedades:

seguintes

19) Se

I

rt) representa um autoestado de r para um tem

po

t

K{r"t"; r't') =

f

dr K(r"t"; rt) K(rt; r't')

para t" > t > t'

(2.10)

29) Se '(r',

t')

representa o estado de um sistema no

tempo t', este estado evolúi para '(r",t") em t" > t', como

, (r",t") = fdr' K(r"t"; r't') , (r',

t')

(2.11)

39) K{r"t"; r't') satisfaz a equação de Schrodinger

i'ti (

-

d a

t"

- H(r",

p",

t") )

K(r"t"; r't') • O

para

t":>

t',

_(2.12a)

com a condição inicial

lim

,

t"

+

t

+0

K(r"t"; r't') = <5 (r"- r')

(2.12b)

sendo p" o momentum com um numero arbitrário de componentes.

49) Para um sistema cujo Hamiltoniano nao dependa

ex-plicitamente do tempo, e

H cp

_n

(r) = E

_{n n}

cp (r) (2.13)

podemos escrever K(r"t"; r't') em função destes a.utovalores e

au-tovetores como

K(r"t"; r't') = L: e

n

-iEn (t"-t')

*

cp

_n

(r")cp

_n

(r') (2.14)

b) Matriz Densida.de no "Ensemble Canônico"

As propriedades termodinâmicas de um sistema, em equi

líbrio térmico, podem ser descritas no "ensemble canônico"

conhe-cendo-se sua matriz densidade, definida como

-8

H

p(r",

r';

8)=

<r"

!

e

I

r'>

L:

e

n

-8

E

_n

*

onde

1

..

e- k T ' kB e a constante de Boltzman e T a temperatura do

B

sistema.

Tomando-se o traço de p(r"r';

8)

teremos a

partição

Z,

-8

E_n

Z =

í

e

=

J

dr p (r, r; S) J

n

e consequentemente a energia livre F, do sistema dada por

-8

F = Z •

e

Se compararmos

(2.15)

com

(2.14)

temos que

função

(2.16)

(2.17)

p(r",r';8)

=

K(r",

t'-

i81f

r'

t ' )

(2.18)

Com a equaçao (2.18) vemos que o conhecimento do

pro-pagador nos permite calcular a matriz densidade, através de uma

extensao para intervalos de "tempo" imaginários, quando o Hamilto

niano do sistema nio depende explicitamente do tempo.

2.2.2 - Propagador e Matriz Densidade no Formalismo

de Integrais de Trajetoria

Vamos considerar inicialmente o propagador para um

sistema de uma particula, sujeita a um potencial V(x), com apenas

um grau de liberdade. Usando a equação (2.10) podemos subdividir

o intervalo (t",t') em intervalos infinitesimais, ou seja,

K{x"t";

x't')

=

fdX1

dx

n

K{x"t'"

'n

x t )

n •••

...

K(Xj+1

tj+1

x.

J

t. ) ...

J

K(x

1

t ; x't'),

1

(2.19)

onde

t.

_J+ 1 -

t.

_J =

8

ê

um infinitesimal.

Considerando apenas K(x'+l_J t._J+

1;

x.t.),_{J J} ternos que

x.

t.)

=

J J t.>J =

<

xj+1

-i

e:

exp {-- ( p2/2m + V(x) } I x.>

~ J

(2.20)

Embora p2/2m e V(x) não comutem, este fato pode ser

desprezado, porque isto nos leva a um erro da ordem de e:2•

Desta forma, podemos escrever (2.20) corno

-ie:

K(x'+lJ

t. 1:

J+. x.J

t.)

J = <x. J+ 11e

11

2

L

2m Ix.>_J

iEV(x.)

-li

J

e

_(2.21)

o

primeiro fator da direita em (2.21) corresponde ao

~

.

-

~

- ie

~

-~~j+ll~ ~

2m

Ix)

iõ (_ m )1/2 exp

(!

m

J 2TIi~E ~

2

.::.

x.

1 -

x.

( J+ J)2 E} (2.22)

E

Como

(X'+I

_J

-

X.)/E_J é a velocidade média da partícula

entre xj+1 e

Xj'

podemos finalmente escrever

K(x.

t

.

i

1(1.,

i.

t)

J+1

J'+1'

x.

J

t ) _

j -

A

1.M

eU

J

J

t J•

onde

(2.23)

(2.24)

e L(x.,_J ~., t.)_{J J} ê a Lagrangeana do sistema.

Substituindo (2.23) e (2.24) em (2.19) temos que

1

r··!

dXI

K(x"t"; n~co limA= xIt')A

n

L L (x. , •

t.) }

x, ,

j =0 JJ J

onde x_o = x'_'n+lx = x" e E = (t"-t')/(n+l).

dx

_n

A

(2.25)

o

conjunto de pontos (x'

t'

_{1 •...•}

'X

_n

_,

t·"

_n

_•

_x

til) representa no espaço (x,t) uma aproximação para uma

trajetó-r1a do sistema entre os pontos (x', t') e (x", til). Quando

toma-mos n ~ 00 a integração sobre todo o espaço para cada ponto inte~

para este sistema temos que

til

K(x"t";

x't')

x (

t)

exp ( ~ (

1

•

L(x, x, e) de} •

• fDxCtl

onde a ação S, do sistema

ê

dada por

(2.26)

~"

S =

i

dt L(x,

t)

x,

(2.27a)

t '

e

n

dx. lim

TI

1

Dx(t) = A (2.27b)

n+oo

i

=1

sendo A uma constante de normalização.

Para um sistema com diversas variáveis, o propagador

pode ser generalizado como

K(XI", ••• ,

x",

_n

t";

Xl" ••• , X

_n

"

_t')

=

- r

f

~

s (

_ ... DXI(t) ...Dxn (t) efi Xl(t), ... , xn(t»

sendo

(2.28)

Usando (2.18) podemos escrever a matriz densidade no

formalismo de integrais de trajetoria como

p(x"x';

S)

sendo S real dada por

· f

Dx(u)

5/11

e

_(2.30)

~1í

s

=Io

du L(x(u),

•

x(U),

U)

_(2.31)

onde u corresponde a um "tempo" imaginário e x(u) = dx/du.

2.2.3 - Determinação da Energia Livre

A energia livre F para um sistema, em equilíbrio

ter-mico, no formalismo de integrais de trajetória, pode ser

com (2.16), (2.17), (2.30) e (2.31), ou seja,

obtida

e

-SF

f+OO

xl

S/fí

= -00

f

xl

dXI Dx(u) e _(2.32)

onde a primeira integraçao representa a trajetória cujos

inicial e final sao iguais.

pontos

Ê importante observar que o cálculo da integral sobre

as trajetórias para sistemas que apresentam certa complexidade

nem sempre

ê

possível ser realizado exatamente. Em alguns casos,

o método variaciona1 ê útil, e com ele tem-se obtido bons resulta

3~

Vamos considerar um sistema cuja "ação" SI satisfaça

as condições:

19) S'

ê

suficientemente simples, de modo que

expres-sões do tipo

J

Dx ( u) G e S

I

/fl

para funcionais G simples possam ser calculadas.

29) Trajetórias importantes na integral

S /-0

e

e em

~x(u)

S ' / tí

e

são próximas, ou seja, S e

s'

são semelhantes quando são pequenas.

Seja F' a energia livre associada a S', isto

ê,

f+OO

[Xl

e-8F' = dXI Dx(u)

-00 xl

S'/-o

e

(2.33)

Entao,

r

r

Dx(u)

S/fi

-00 = e dXIXl -8(F-F')e

too

[Xl

dXI Dx(u)

S'

/fI.

e

-00 xl

(2.34)

como

S

Uma vez que e e

(S-S') S

e , podemos escrever (2.34)

f

_-00+00

[Xl

_xl

dXl

Dx(u)

e(S-S')/1i

eS'/1f:OO

Ix:'

-

-8

(F-F ') -

-A equaçao anterior nos diz que e e o valor medio de •••

(S-S')/1\

d

- ..

-.

e , sen o esta med1a tomada sobre todas as traJetor1as

com o mesmo ponto inicial e final, comDx (u) eS'/"ft o "peso"

as-sociado a cada trajetória. Então

(S-S')/~

-B(F-F')

<

e

> =

e

_(2.36)

Para introduzir o princípio variacional, podemos

ob-servar que, se Y e uma variável aleatória, com uma densidade de

probabilidade normalizada, temos que

Y < Y>

<

e

> ~

e

(2.37)

Definindo o valor medio de S-8' com o mesmo "peso" u

(S-S')/fi

sado para e em (2.35), temos

{+oo

J:XI

< S-S'> =

-00 Xl

dXI Dx(u) (S-S')

e

S ' /"fi

dXI Dx(u)

(2.38)

Comparando (2.36) e (2.38), atraves de (2.37), temos

e finalmente

< S'-S>/fi -S(F-F')

e

~

e

F ~ F'-cS

•

(2.39)

onde

dXl Dx(u)

e81f'h]-1

(2.41)

A equaçao (2.40) representa o princípio variacional

.3

de Feynman. Nesta equaçao, se calcularmos F'- Ô para várias

"ações" S', o cálculo que nos leva ao menor resultado representa

o valor mais próximo ao da energia livre correta. Se

s'

= S,

te-mos F' = F. Entretanto, se S' difere de S por um valor

infinite-simal, a diferença entre F e F'- ô ê de segunda ordem.

Para usarmos este principio tomamos a "ação"

s'

como

S'=

S'(a,

b,

.•• )

(2.42)

onde a, b, etc., são parâmetros que devem ser ajustados de modo a

fazer com que a energia livre obtida satisfaça a condição

a F'

da

a

F'

=

ai;

o (2.43)

.

.,..

-o

mesmo pr1nc1p1o pode ser usado para o calculo da

e-nergia do estado fundamental. Para isto, vamos considerar a

fun-ção partifun-ção dada em

(2.17),

ou seja,

-SF

Z =

e

=};

n

-SE

Quando a temperatura do sistema

é

extremamente baixa

8 ~

00 e consequentemente a série

é

dominada pelo termo de

-8

E

energia, e o. Deste modo,

menor

e

lim Z

S~oo

F = E

o

_SE

= e o (2.45a)

(2.45b)

Nesta condição, o principio variacional para o

cãlcu-10 da energia do estado fundamental sera

E_{o "}< E'-o

onde ô

é

dado por (2.41), no limite B -+ 00.

(2.46)

3 - PROPRIEDADES ELETRONICAS NUMA INTERFACE

ISOLANTE-SEMICONDUTOR

Quando uma carga puntiforme está situada na

vizi-nhança de uma interface de dois meios, o potencial num ponto qual

quer deste sistema pode ser calculado atraves do metodo de imagem.

Se neste sistema admitirmos que a interface entre

os meios

é

um plano ideal, o cálculo do potencial imagem e relati

vamente simples Entretanto, se desejarmos tratar o problema de

um modo mais realista, devemos levar em conta o fato de que a

in-terface entre dois meios é rugosa. Desta forma, o cálculo do

po-tencial num ponto qualquer torna-se mais complicado devido às con

dições de contorno na interface.

A rugosidade da superfície modifica de modo

signi-ficativo as propriedades de sistemas de elétrons que com ela inte

32.

f

-·1

d

•.

d

ragem. Desta orma o calcu o o potenc1al dev1 o a uma carga,

próxima a uma interface rugosa, e importante para o estudo destas

propriedades.

3.1 - Potencial ~ ~ Car2a Próxima ~ uma

Interface Rugosa

Consideremos uma carga localizada nas proximidades

da interface de dois materiais dielétricos, de constantes

diele-tri cas E 1 e E2 •

~

sendo ç(r)

-+

Z = z:;(r)

'" ~

.

uma funçao estocastlca de

~

r

=

..•. ..•.

x x + y y

(3.1)

com as

seguintes propriedades:

-+

< I;; (r» = O

-+ -+ -+ -+

< I;;(r) I;;(r'» = B2 w(r-r')

(3.2)

(3.3)

onde

-

desviointerfaceBdoda_quadrâticamedia

rela-e ra1Za com

-,

superfície

-+ a media

çao 1;;representa(r)a> <os plana, sobre

-+

-+ -+

-funçãocorrelação

associa-valores umaw(r-r')1;; (r)

e

deede

da

ã

forma da superfície.

Para este sistema,

- .

-+-campo eletr1co E sào dados por

- • -+

o vetor deslocamento eletr1co D e o

e

-+

D

(x)

E(~)

-+

z > z::(r)

-+

z < z::(r)

(3.4a)

(3.4b)

-çoes

o potencial eletrostático

~

z'

>

ç(r)

~ (~I~')

satisfaz

as

equa--+

z'

< z;;(r)

= O

-+

41TQ

ô(~-~')

z> ç(r)

e: 1

4-Z <

ç~r)

(3.6a)

(3.6b)

Q -+ -+')

= -~

ô(x-x

E:2

-+

Z > z;;(r)

-+

z < z;;(r)

(3.6c)

(3.6d)

Como condições de contorno devemos ter a continuidade

do potencial e do vetor deslocamento elétrico na interface, ou se

]a,

e

-+1-+ '" -+1-+

P

(x

X')I z=r;(r)-+ _ = 't

(x x')

-+ +

z=r;(r)

(3.7a)

-+

-z=z;;(r) z=z;;(r)-+ +

_(3.7b)

onde n é o vetor unitário,

-

....

-+

normal a superflcledado

z

=l;;(r)

por

-~

-+

-+ 2

a -+ 2 1/2

.•.

(

(al;;(r»(-:;),_ ar,:_{( l;;(r» }}+

(3.8)

{I

(r) .₊

.1)

Definindo

q •

e

€ •

(3.3) e (3.7) podem ser escritas como

+

z'

>

~(r)

2 ~

+ 1+

+

-+,

'i/ ~

(x x')

= -4'ITq 6

(x-x )

=0

+

z'

<

~(r)

(3.9)

(3.10)

+

z

>

~(r) (3.11a)

-+

Z <

~(r) (3.11b)

-+

Z >

~(r) (3.11c)

+

Z <

~(r)

(3.11d)

+

-z=~(r)

z=~(r)

-+ +

(3.12a)

(3.12b)

A solução das equações acima

e

dada por:

-+

z'>ç(r):

-+ -+-+

ik.(r-r') 27Tq -klz-z'l

e

(--)

e

+

k

-+

z'</:(r) :

-+ -+

<I>(xlx') ::

-+ -+

C(k)eik•r

- kz

e

kz

e

-kz

e

-+

z>l.:(r)

-+

z>l.:(r)

(3.13a)

(3.13b)

(3.l3c)

-+ -+ -+

I

I

ik.(r-r')

27Tq

-k z-z'

e (--) e +

E

kz

.•

+

+ .)

+

+-onde os coef1c1eutes A(k ), B(k ,C(k) e D(k ) sao determinados

pelas condiç~es de contorno, ou seja, por (3.l2a) e (3.l2b).

Para uma forma qualquer da superficie nem sempre

ê

po~

sivel obter exatamente estes coeficientes. Entretanto, se consid~

rarmos que o desvio da interface com relação a uma superficie pl~

na é pequeno, podemos tratar a rugosidade como uma perturbação.

Assim, se considerarmos as condiç~es dê contorno (3.l2a) e (3.l2b)

e expandirmos o potencial e o campo elétrico em potências de

+

.+

+

~(r) , teremos para os coeficientes A(k ) e B(k )

+

+

Aek)-Bek) _ 27Tq k

d2q

ik.;' e-kz' -

27TqJ

e27T)2

e

+ +

-iq.r

e

-qz'

+ +

e x ~(k-q) q~(k-q)(A(q)

+ +

+

+

+

+ Beq))

+ +

q

e-iq•r'

+

+ + +

1

~eQ)l;(k-q-Q)- q

2

(A(q)-B(q))

+

+

+

+ + +

l;(Q)l;(k-q-Q)

(3.14a)

correspondente a (3.12a) e

AlkJ + E BlkJ :: 27Tq

k

-+ -+

-ik.r' -kz'

e 9

-+ -+ k.q

q

-+ -+, z' -+-+

-iq.r

-q

((k-q)

+

8

8

-+ -+ -+ -+ ~ ~

~(k-q) (k.q) (A(q)- E 8(q))+

-+ -+

-iq.r' -qz'

e

e

J

d2Q -+ -+ 1 -+ -+ -+ -+ -+

q --- (q.Q + - q2)xl;(Q) Ç(k-q-Q) (A(q) +

(21T)2 2

+ E B(q))

(3.14b)

correspondente a (3.12b). Em (3.14a) e (3.14b) tomamos a transfor

-+

mada de Fourier de Ç(r) definida por

-+

Podemos reescrever (3.14a) e (3.14b) como

-+

r

Lq+(-[(Lq-1)

A ( k)

I

__ 1_

f

d2q

-+ -+

q L;(k-q)Ix I

S(k)

I

(+1

(2TI) 2

I

R.q-l-E(K.q-lJ

-+

A(qJ

x

-t

B (q)

1

+

--E+1

1

-+

1

(

( ~ o

1

(

(q.C) + - q) - (q. + -+ -

-

q)

k k 22 22

x

1

(q.ô +

.!

q)

1

E - o

1

1

-

-

- (q. + -+ q)

k

2 2

k 2 2

-+

A(qJ1 -+ -+

I

l-E

2TIq

-ik.r'-kz'

I

I

e e +

B ( ; )1

(t:+lJk

I

2 27T q + -~-E:+1

J

• -+

e-lq.r

rR.éi-E:J

-+ -+ -

z'

~(k-q) e q ~ +

K.q+E:

Sd2q

d2 Q

-+ -+

-qz'

27Tq

J

q

-iq.r'

+ -- ~2

q

e e

E+1

( 27T ) 2

1

- -+1E

-

( q •_{+ -}Q

-

-

_q)

I:; (Q)~

(k-q-Q)

k

2 2

I

1 (- -+

1 1 - _kq.Q + -2+ -2 q)

onde

q

e

t( sao vetores

-

un1tar108

.-

..

na d1reçao

-

de q... e k, respec-tivamente.

Usando as mesmas aproximações podemos obter os coefici

-+ -+

-entes C(k ) e D(k ), que sao dados por

1

e:+l

f

[Léi+e:

-+ -+

d2q q r;(k-q) .

(2TI)2 R.éi-l _-e:R.éi+e:j-e:R.éi-l

x

1

e:+l

J

2 . -+-+-+

q T,;(O)!;(k-q-Q) x

1

(éj."Q + .!. q)

e:

~ (éj."Q + .!. q)

e: +

-k

2 2 k 2 2

I

x

1

(éj."Q + .!. q)

1 e: - -+ 11

-

-

- (q.Q₊ + - q)

k 2 2 k2 2 -+ C(q) 2TIq (e:+llk -+ -+ -ik.r'

e

e

kz' _ .2TIq

e:+l

x

[

R .q +

1

-+ -+qz' +

I

-+ -+

•

f

d2q -iq.r'T,;(k-q)

e

e

2'ITq

+-E+l

J

,-+ -+

q q-lq,r eqz'

-+ -+ -+ -+

~(QH(k-q-Q) x

1 (-

q,~

*

+ -

1

q) 2

1

-

-+

1

(q,Q + - q)

1

+

-2

1

_(3.17)

k 2

• -+ -+ -+

As equaçoes para os coeflcientes A(k ), B(k ), C(k ) e

-+ - -+

D(k)

contim a transformada de Fourier para a funçao ç(r), que

descreve a rugosidade. Esta função não pode ser conhecida para t~

dos os valores de

t.

Assim, para o cilculo destes coeficientes,

- ••.• (-+)

tomaremos a med1a sobre os poss1ve1s valores de ç r • Para esta

média, admitiremos um processo estocistico estacionirio com as

propriedades

e

-+

< r,;(k» = O

(3.18)

(3.19)

onde g(lk

I)

seri o fator de estrutura da superfície. Este proces

-+

so de tomar a média sobre os valores de Ç(r) restitui a invariân

cia translacional do sistema com respeito a qualquer ponto sobre

a superfície.

• •. ~. A ~

coeflClentes. usando

~(k )

como parametro. Entao. pOdemos

os coeficientes comO

A(k) • A(O)

(k)

+

A(l)

(k)

+ A(2)

(k)

+ •••

tomar

(3.20a)

(3.20b)

+ ••• (3.20c)

(3.20d)

onde o fndice de cada termo indica a ordem em l,;{k-+- ).

Substituindo (3.20a) e (3.20b) em (3.16), e comparando

-+-os term-+-os independentes de Ç(k ), temos

= _{2TI q}

k

1

(E:+1)

.-+- -+-,

-1.k.

r

e

-+--k.

e

(3.21)

Com (3.20a), (3.20b) e (3.21) podemos comparar em

(3.22)

Finalmente, usando (3.20a), (3.20b), (3.21) e (3.22)

+

em (3.16), e comparando os termos de segunda ordem em ~(k ),temos

- 4rrq

_J

_J

+ +

-iQ.r -Qz'

e

e

?;(k-q)

+ +

+ +

r€CE-1l+2Eéi.(0+k)-(Léi)X(éi.O)(E-1) ]

ç(q-Q) x

- ( E -1) - 20. éi+2 €C R •éi ) - (R •éi ) (éi •O ) ( E -1 )

~

De modo análogo podem ser obtidos os coeficientes C(k )

~

e D(k ), e entao teremos

r

2

C (O)

(~)l

~

~,

kz'

-ik.r _e

1

~ _e

(e:+1)

(3.24)

_Ll-l/e:J

=

k

(O)

D

(k )

J

k.q-l

-C(I)D(I)

(k )]

(k )

e

(s-l)

J

= -4TIq 1_-,-1\L

,

~ ~

[

eq·z i;;(k -q )x

.~

~"

-l.q.r

e

I

k.q+l/E: J (3.25)

- 4TIq

( E: -

1)

(E:+l)3

~ -+ -+-+

1:; ( k - q )/;; ( q - O ) x

[ -(E:-l)+2~JE:a-t)-(E:-l)x(R.~)(~.O)

-+ -+

-iO

r'

oz'

x q e e

1 - l/E:- 2 ~ • ( R +O ) - ( E:- 1 ) x { R. ~ ) (~ •O )

Uma vez que estamos interessados em valores midios, p~

-+ -+

demos usar (3.18) e (3.19) e obter os valores de <A(k »,<B(k »,

<C(k »

e

<D(k »,

ou seja,

< A(k » = A(O)(k ) + < A(2)(k »

(3.27a)

< Bci~» = B(O)(i~) + < B(Z)(k»

< C(k » = c(O)(k ) + < c(2)(k »

< D

(k )

> = C (O)

(k )

+ < D(2)

(k )

>

onde os termos de segunda ordem são dados por

(3.27b)

(3.27c)

(3.27d)

(3.27e)

-4nq S2 (E-I)

(E+l)3

+ +

-ik.r'

e e-kz'

e

< C(21

(t»'

=

-+ -+ -ik.r'

8

8

kz'

J

q x

r-C€-1)+2K.qC€-1)-CK.q)2(€-1)

(3.29)

Admitindo uma forma Gaussiana para o fator de

estrutu-ra

g(l"k I),

(3.30)

onde a

ê

a distância de correlação transversal (fig. 5) , e toman

do

teremos

q

(cos e. sen e)

(cose. sene )

(3.3la)

1+k

+,

- •r

e

x

e

(3.32)

-+ -+

-ik.r'

e

e

kz' x

\

_,

I "

3

₂

1

(- l

+

l)

J_o (~)_

2 E

4

E-I

I

com

sendo

J

_n

(~)

f

(3.34)

e I

n

(y) a função de Bessel modificada, cuja representaçao

gral é dada por

(3.35)

inte-1

100

In(Y) = TI o de eycose

cos(ne)

(3.36)

Efetuando a integral em (3.34) (Ap.B), temos

J

_n

(O

=

16

Definindo o potencial médio como

(3.37)

-+ -+

= <I> -+ -+

rrr(xlx')

-+ -~

z'>z;(r), z<~(r)

-+ -+,

z'<ç(r), z>ç(r)

(3.38b)

(3.38c)

(3 • .38d)

e substituindo os resultados {3.21), (3.27a), (3.27b), (3.32) e

(3.24), (3.27c), (3.27d)~ (3.29) em (3.13a), (3.13b), (3.13c)

e

(3.13d),

respectivamente, teremos

1

( q /

a

J (p 2₊d2 ) 1/2

(q/aJ (E-1

E+1

1

( P2+U 2 ) 1/2

(3.39a)

(q/a) 2 E+l

+ 8(q/a) (E-l)2

( E+

1)

3

x

4> -+-

-+-IV (xix')

onde

(q/a)

1

E:

1

+ 8(q/a)

1

(P2+d2)1/2 + (q/a)

(E-I) ₊

(3.39c)

d~J _o(~p) _{[ (E:- .!.)}

_J

_(~)

2 o

+

+ 4E:

E:-1

(3.40a)

r

o

dçJ _o(çp) e-Çu

00

{

dçJ _o (çp) _{[(~ - 1) Jo(ç)+ 4E:}

2 E:-1

Jdç)

+

....

Em (3.40),

J

_o(~p) e a funçao de Bessel de ordem zero

d =

I

z-z

I

I

Ia

(3.41a)

(3.41b)

(3.41c)

2

-Os termos de ordem B representam a correçao no

poten-cial imagem devido

ã

rugosidade da superfície que depende das fu~

ções GI (u,p) - G1V(u,p). Em geral estas integrais devem ser

fei-tas numericamente. Entretanto, em certos casos limites ~ possível

obter expressões assimpt~ticas. Isto torna mais claro o efeito da

rugosidade. Então vamos considerar p=O eu» 1 para o

~I~

-~ (x x'). De (3.40a) podemos

I

observar que nesta regiao

potencial

apenas

os pequenos valores de

ç

contribuem para a integral. Considerando

- .- 33

o comportamento das funçoes de Bessel I_n

(ç)

nesta reg1ao, temos

I

_o

(O

=

1

ç«l

[,«1

(3.42a)

I

-1

/

2

u;

) • (

3.TI )1/2-

1

~ V2

~«l

(3.42c)

~«l (3.42d)

Substituindo (3.42) em (3.37) ficamos com

(3.43a)

(3.43b)

(3.43c)

Com (3.42) temos para Gr(u,O)

+ 128

(3.44)

AAAim, o ~otêncial na regi;o

-+

z ~

~(r),

z' ~ O e

pa-ra valores de u

»1,

sera dado por

"

~I

(z Iz '} : (Q

I

a) _

E-I

ill.gl -

8

(q /

a)

((-1)'

:x.

d e:+1 u(e:+1)3

8

+

3n1/2

1

(3.45)

...

]

+ ---- (2e:-5) -- + ₆₄ u4

- I

Os termos da expansao aClma correspondem aos de uma ex

pansao em mu1tipo1os para uma distribuição de cargas na

cie. Assim, a rugosidade tem como efeito "espalhar" a

gem (puntual) numa distribuição de cargas.

3.2

-

Rugos idade .~ Si stemasMOSFET

carga

~ma-Para o cálculo da energia de ligação devido a

impure-zas carregadas no isolante, e da separação entre sub-bandas, os

l1,22, 23

modelos citados no capítulo

1

possuem um ponto em comum.

Es-ta identidade refere-se

ã

forma da interface

isolante-semicondu-tor, isto

é,

considera-se que a mesma seja uma superfície plana.

Entretanto, no estudo das propriedades de transporte

em camadas de inversão, um efeito importante tem sido atribuido ã 34

rugosidade da interface. Isto nos leva a analisar este mesmo

3.2.1 - Impurezas carregadas no isolante

Consideremos num sistema MOSFET uma impureza isolada e

carregada positivamente

Z-+l,

situada no 5xido e pr5xima da inter

face isolante-semicondutor. Em particular tomaremos uma camada de

inversão tipo-n na região z ~ O , p ara o s is tema S iO - Si [OO 1]₂

A energia potencial dos elétrons na camada de inversão

é devida basicamente às seguintes contribuições:

a) Carga imagem (V )

_a

b) Rugosidade da barreira de potencial na interface

(Vb)

c) Campo elétrico aplicado (V )

_c

d) Impureza carregada (Vd)

Nos itens acima seri levado em conta, como uma

pertur-bação, o efeito da rugosidade na interface.

Finalmente, usaremos a aproximação de massa efetiva as

sumindo que as transições entre os elips5ides de mais baixa

ener-gia não serão levadas em conta.

Com estas considerações, o Hamiltoniano para este

sis-tema pode ser escrito como

H = 112

2m

_t

onde mZ e mt representam as massas longitudinal e transversal.

Se tomarmos a energia em unidades de Rydberg efetivo e

!9

as distâncias em unidades de raio de Bohr efetivo dados por

e

*

4/

Ry = 2mZ

e

1'i2(e: s+e:ox)2

= ~2 (e: +e:_{s ox})/2m

_t

e2

( 3 .47

a)

(3.47b)

onde E_s e E_ox são as constantes dielêtricas de semicondutor e de

óxido, respectivamente, podemos escrever o Hamiltoniano do

siste-ma como

onde

e

H_o

=-y

+ Ô 4>

a

(z)

+

z ~ O

(3.48)

(3.49a)

•

e

e: -e:

s ox

4E

S

À-1l4(e:+e: _{s ox})3/4m2e5

_t

(3.50a)

(3.50b)

(3.50c)

..

*

Part1cularmente para Si02- S1 temos Ry - 42.3 meV, e

*

ct

aB = 21.8 A.

o termo R_o representa o Ramiltoniano para um elétron

na camada de inversão se~ a impureza e RI para o movimento no pl~

no perpendicular

ã

interface.

As contribuições devido ã imagem (~ ) e ã

_a

impureza

que

são obtidas direta~ente de (3.39a) e (3.39b). Com isto temos

e

~a(z)

-

..!z

16e: e:-e:

s s ox

a

(e: +e:_{s ox}) 2

8

a

(e: -e:

)2

. s

ox

(e: +e:_S

_ox

)2

•

(3.51)

onde a impureza está situada no óxido a uma distância z_o da inter

face

,It'l-

0,

u - z/a

eu-

o

(z+z

o)/cx

Para o potencial devido ao campo elétrico tomaremos o

potencial "nearly self-consistent" usado por F.J. Ohkawa e Y.

Ue-5

(

~

mura Ap.B), que e dado por

E

s

onde

~ (z)=

C

-4ne

Ninv

E

S

-tz 1 2 3

e ( - tz + 2z + - ) +

2

t

41TeNdeP1

z

(3.53)

t

3 = 48mZ7Te2( wN.

l.nv

+Nd·

ep

1)

E:

_s

-l'l' 2

(3.54)

sendo w = 11/32, N._1nv a densidade de el~trons na camada de

inver-sao, e Ndep1 a densidade de cargas na camada de depletion.

A contribuição da rugosidade na barreira de potencial

sera analisada posteriormente, no apêndice C.

Devido ã rugosidade existe uma variação da densidade

de cargas na camada de inversão e do campo el~trico na superfície.

Estes efeitos são importantes no cálculo da mobilidade, uma vez

..

(+)

que devemos tomar os termos de pr1me1ra ordem em ç r .

Entretan-~

-

(+)

2

to, no calculo da energia de ligaçao apenas os termos em

ç

r

são importantes, e consequentemente a variação da densidade de

cargas na camada de inversão e do campo elétrico na superficie

não contribuem.

inver-rugos! sendo são com a impureza e dada atraves da diferença entre a energia as

sociada a H (3.48) e a enerlia alsociada a H_o (3.49a). Embora o e letron esteja sujeito a um potencial estocãstico, devido

ã

dade, podemos considerar energias associadas a H e H_o como

bem definidal. Isto porque a distância media do elétron ã superfí cie é muito maior que o delvio quadrâtico medio desta superfície (8). ASlim, estas energias serão calculadas através do método

va-riacional de Ray1eigh-Ritz (item 2.1). Para ilto devemos

conside--

+

-rar autofunçoes '(x)e fo(z) que minimizem o valor medio de H e Ho relpectivamente.

Como estamos levando em conta os eletrons da camada de

inversão, situados na primeira sub-banda, podemos tomar

35

f (z) a forma variacional

_o

de Fang e Howard dada por

para

-b z!2

_o

z e _{z ~ O}

_(3.55)

onde b

o

i

um parimetro variacional. Como autofunção de H tomare-mos

.•.

'l'(x)

- X(x,

y)

f(z)

(3.56)

onde f(z) tem a mesma forma de

(3.55),

com b • b

_o

como parâmetro

variacional.

Na ausência de impureza, a função X(x,y) serã uma onda

plana.

Para o cálculo do estado fundamental do elétron ligado

ã

impureza, a função X(x,y) consiste numa função de onda

tipo-hi-drogênio correspondente ao nivel 2p •_o 56 Assim~ tomaremos X (x,y)

como

x(x,

y)

.(~)1/2

27r

e-ar!2