Introdução
• Circuitos que contem dois elementos armazenadores de energia.
• Segunda ordem → equações diferencias que incluem derivadas de 2º grau.
Valor Inicial e Valor Final
•
v(0), dv(0)/dt, v(∞)
•
i(0), di(0)/dt, i(∞)
•
Usar sempre a convenção de sinais dos
elementos passivos para v no capacitor e i no
indutor.
• A tensão do capacitor não muda abruptamente: • A corrente no indutor não muda abruptamente:
RLC Série sem Fontes
Solução da ED Homogênea de 2ª Ordem
As raízes s1 e s2 são chamadas de frequências naturais. • ω0 é chamada de frequência de ressonância, expressa em rad/s.Solução da ED Homogênea de 2ª Ordem
As constantes A1 e A2 são determinadas a partir dos valores iniciais de i(0) e di(0)/dt.
Análise de α e ω
0
•
Se α > ω
0temos o caso sobreamortecido:
– As raízes da equação característica do circuito são
diferentes e reais.
•
Se α = ω
0temos o caso criticamente
amortecido:
– As raízes da equação característica do circuito são iguais e reais.
•
Se α < ω
0temos o caso subamortecido:
– As raízes são complexas e conjugadas.•
Se α = 0 e ω
d= ω
0temos o caso sem
amortecimento ou oscilatório puro:
– As raízes são puramente complexas.Circuito Sobreamortecido
Circuito Criticamente Amortecido
•
α = ω
0:
Circuito Subamortecido
•
α < ω
0:
Tanto ω0 quanto ωd são frequências naturais:
• ω0 é chamada de frequência natural sem amortecimento • ωd é chamada frequência natural amortecida
Circuito Subamortecido
Circuito Subamortecido
•
α < ω
0:
A resposta tem uma constante de tempo 1⁄α e um período de 2π/ωd
Características Gerais do Circuito RLC
• O comportamento é caracterizado por amorteci-mento, onde a energia inicial armazenada é gradual- mente dissipada devido à presença de R:
– O fator de amortecimento α determina a taxa na qual a resposta é amortecida.
– Se R=0, então α=0 e temos um circuito LC, com 1/ 𝐿𝐶 como frequência natural sem amortecimento.
• Resposta oscilatória é possível devido à presença de L e C que permitem que a energia seja trocada entre ambos.
• É difícil identificar formas de onda como respostas superamortecidas ou criticamente amortecida.
Exemplo 2
RLC Paralelo sem Fontes
Análise de α e ω
0
•
Se α > ω
0temos o caso sobreamortecido:
•
Se α = ω
0temos o caso criticamente
amortecido:
Análise de α e ω
0
•
Se α < ω
0temos o caso subamortecido:
Resumo RLC sem Fontes
Tipo Condição Critério Resposta Paralelo Sobre amortecido Série Paralelo Criticamente amortecido Série Paralelo Sub amortecido Série
Exemplo 3
•
No circuito RLC paralelo, encontre v(t) para
t>0, assumindo que:
– v(0) = 5 V – i(0) = 0 A – L = 1 H – C = 10 mF•
Considere três casos:
– R=1,923 Ω – R=5 Ω – R=6,25 Ω Obs.: As constantes A1 e A2 são determinadas a partir dos valores iniciaisRLC Série com Fonte Independente
A ED tem a mesma forma característica das equações
vistas anteriormente. Mais especificamente, os
coeficientes são os
mesmos, mas a variável é diferente.
Logo, a equação característica para o circuito RLC-Série não
é afetada pela
presença da fonte cc.
𝑖 = 𝐶 𝑑𝑣 𝑑𝑡
RLC Série com Fonte Independente
• A solução da equação anterior, possui dois componentes: a resposta transitória vt(t) e a resposta em regime permanente vss(t):
• A resposta transitória vt(t) é a componente da resposta total que se extingue com o tempo. A forma dela é mesma do circuito RLC sem fonte, ou seja:
sobreamortecido
criticamente amortecido
RLC Série com Fonte Independente
•
A resposta em regime permanente é o valor
final de v(t) – no capacitor:
•
Portanto:
sobreamortecido
criticamente amortecido
subamortecido
As constantes A1 e A2 podem ser determinadas a partir das condições iniciais para v(0+) e dv(0+)/dt
Exemplo 4
Encontre v(t) e i(t) para t>0. Considere três casos:
• R=5Ω
• R=4Ω (tarefa – plotar o gráfico) • R=1Ω (tarefa – plotar o gráfico)
RLC Paralelo com Fonte Independente
A solução completa consiste na resposta transitória e na
resposta em regime permanente:
• A resposta transitória é mesma vista anteriormente.
• A resposta em regime perma-nente é o valor final de i (indutor). Para o circuito RLC-Paralelo, a resposta é o valor final da corrente através do indutor que é o mesmo da fonte de corrente (IS)
𝑣 = 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡
RLC Paralelo com Fonte Independente
sobreamortecido
criticamente amortecido
subamortecido
As constantes A1 e A2 podem ser determinadas a partir das condições iniciais para i(0) e di(0)/dt
Procedimento Geral
• Dado um circuito de 2ª ordem, determinamos sua resposta
ao degrau x(t) (tensão ou corrente), através dos seguintes passos:
1. Determinar as condições iniciais x(0) e dx(0)/dt e o valor final x(∞).
2. Desligar as fontes independentes e encontrar a forma da resposta transitória xt(t) aplicando a LKC e a LKT. Uma vez obtida a equação diferencial de 2ª ordem, determinar suas raízes características e xt(t) de acordo com as raízes.
3. Obter a resposta em regime permanente como:
4. A resposta total pode ser encontrada pela soma da resposta transitória e da resposta em regime permanente:
5. Determinar as constantes associadas à resposta transitória impondo as condições iniciais x(0) e dx(0)/dt (do passo 1).
Exemplo 5
Referências
Charles K. Alexander; Matthew N. O. Sadiku; Fundamentos de Circuitos Elétricos; 5ª Edição
