=( ) × = k k ∈ { } = = = { } = + + ∈ k k = − ∈ { } · ∈ √ − √ = − k × k = k × k = k × k × = × + + = × = −→ ( ) =( − ) =( ) − + ∠ ( )= ( − )= × √ ( ) = − = + = k k −k k ∠ ( )= ∠ ( ) + ∈ ≈ [ ] ( ) ( [ ] − [ ] [ ]) ( [ ] ) ( [ ] ) = × =( − ) =( − ) =( − ) ∈ R

Universidad de La Frontera Facultad de Ingenier´ıa y Ciencias Departamento de Matem´atica y Estad´ıstica

C´alculo Multivariable

Primer semestre 2017 Profesores: Mario Choquehuanca, Mauricio Godoy Molina, Joan Manuel Molina, Mirta Moraga, ´Alex Sep ´ulveda

Reglamento IME186 1. Ejercicios Propuestos

1. Seanu= (1, 0,−¹),v= (−^{2,λ, 3})yw= (2,−^{1, 2}). Determineλ∈ ^Rde modo que el ´angulo entreu×^vywsea igual aπ/3.

Soluci ´on:λ= ⁻¹⁶⁺₄₆^9√6.

2. Se requiere pintar la superficie externa de un tetraedro cuyos v´ertices est´an ubi- cados en los puntos de coordenadas(5[m],−¹[m], 10[m]), (0, 5[m], 0),(5[m], 0, 0) y (0, 0, 0). ¿Cu´antos litros de pintura se necesitan si el rendimiento de la pintura es 10[m²]por litro?

Soluci ´on:^{5√201+5√101}₂₀^+25√5+25 ≈101,019 litros.

3. Seanuyvvectores linealmente independientes enR³. Pruebe que el ´area del para- lel ´ogramo formado por los vectoresuyv+λu,λ∈^R, es igual al ´area formado por los vectoresuyv.

4. Seanu,vywvectores no nulos deR³, tales que∠(u,w) = ∠(v,w). Pruebe quew es ortogonal al vector

x=k^vk^u− k^uk^v.

5. Seanu=ˆı−^{kˆ yv}=ˆ+k. Calcule:^ˆ a) Proyu(v).

b) un vector de norma√

2 que sea perpendicular au×^v.

c) el ´angulo entreuyv.

Soluci ´on:(a)−¹₂^ˆı+¹₂k; (b) por ejemplo^ˆ u; (c)∠(u,v) =arc cos(−¹₂) = ^2π₃ .

6. a) Seau= (1,−^{1, 2})yv= (2,β, 1)¿Existeβtal que la proyecci ´on deva lo largo deu(es decirProyu(v)) sea igual au?

b) Siu,vywson vectores enR³tales queu+v+w=−→

0 , demuestre queu×^v= v×^w = w×^u y, adem´as, d´e una interpretaci ´on geom´etrica de la igualdad k^u×^vk=k^v×^wk=k^w×^uk^.

Soluci ´on:(a)β=−^2.

7. SeanF1 y F2 dos fuerzas tales que: la magnitud de F2 es 2√

17, el ´angulo formado porF1yF2esπ/3 y el vectorF1−^F2es perpendicular aF2. Determine la magnitud de la fuerzaF1.

Soluci ´on:4√ 17.

8. La idea de este ejercicio es, dada una base enRⁿ, construir una nueva base formada por vectores ortonormales (m´etodo de Gram-Schmidt).

a) Considere tres vectoresv1,v2,v3∈^R3linealmente independientes. Pruebe que V=v2−^v1·^v2

k^v1k^{2 v1} ∈^span{^v1,v2} es ortogonal av1y encuentreα,β∈^{Rtales que}

W = v3+αv2+βv1

es ortogonal av1y aV. La nueva basen

v1

kv1k,_k^V_Vk,_k^W_Wko

deR³se llama laorto- normalizaci´onde{^v1,v2,v3}^.

b) Generalice la idea del problema anterior, es decir, dada una base v1, . . . ,vn

de Rⁿ, encuentre una base ortonormalV1, . . . ,Vn de Rⁿ, donde V1 = v1 = v1/k^v1k^yVi ∈^span{^{v1, . . . ,vi}}^.

9. Sea A = (aij)una matriz de tama ˜no 3×3. Considere vj =



 a_1j a2j

a3j



, j = 1, 2, 3, los vectores correspondientes a las columnas deA.

a) Pruebe que la entrada(i,j)de la matrizA^tAes el producto puntovi·^vj. b) Use (a) para concluir que siA^tA=id, entonces los vectoresv1,v2,v3son orto-

normales. ¿Es verdad que en este casoAA^t=id tambi´en vale?

c) Las matrices cuadradas Atales queA^tA = id y detA = 1 se llamanmatrices de rotaci´on. Estas corresponden a las matrices asociadas a rotaciones enR³con respecto a la base can ´onica. Encuentre expl´ıcitamente las matrices de rotaci ´on correspondientes a las tres rotaciones en las figuras.

x θ

y z

x

θ y z

x

θ

y z

Soluci ´on:





1 0 0

0 cosθ sinθ 0 −^{sinθ cosθ}



,





cosθ 0 sinθ

0 1 0

−^{sinθ 0 cosθ}



,





cosθ sinθ 0

−^{sinθ cosθ 0}

0 0 1





d) Pruebe que siAes una matriz de rotaci ´on yλes un valor propio deA, entonces 1/λtambi´en es un valor propio deA.

10. Definamos un nuevo producto escalar¹enR³

(x,y,z)⋆(α,β,γ) =xα+yβ−^zγ, (x,y,z),(α,β,γ)∈^R3 a) Muestre que siv⋆w=0 para todow∈^{R3, entoncesv}es el vector nulo.

b) Diremos que una base{^v1,v2,v3}^deR3es⋆-ortonormal si v_i⋆v_i =±^{1 y v}i⋆v_j =0,i6= j.

¿Es siempre posible modificar el proceso de Gram-Schmidt para⋆-ortonormalizar una base deR³?

Soluci ´on:En general no. Por ejemplo considere la base{(1, 0, 1),(0, 1, 1),(−^{1, 0, 1})} c) Describa geom´etricamente los conjuntos

A={(x,y,z)∈^R3: (x,y,z)⋆(x,y,z) =0}^. B={(x,y,z)∈^R3: (x,y,z)⋆(x,y,z) =1}^. C= {(x,y,z)∈^R3: (x,y,z)⋆(x,y,z) =−¹}^.

Para un vector no nulov∈^R3dadoD= {(x,y,z)∈^R3: (x,y,z)⋆v=0}^.

¿Es posible quev∈ ^D?

Soluci ´on:Aes un cono.Bes un hiperboloide de una hoja.Ces un hiperboloide de dos hojas.D es el planoαx+βy−^γz = 0 siv = (α,β,γ). Es posible que v∈ D, por ejemplo, para cualquierv∈ ^A.

d) ¿C ´omo cambian los conjuntos anteriores si reemplazamos ⋆ por el producto punto usual?

Soluci ´on:Aconsiste s ´olo del origen.Bes una esfera.Ces vac´ıo.Des el plano αx+βy+γz = 0 siv = (α,β,γ). No existe ning ´un vno nulo tal quev ∈ ^D usando el producto punto usual.

11. SeanΠ₁: 2x+3y−^z=5, yΠ₂: (~r−(2, 1, 3))·(3,−^{5, 2}) =0 dos planos dados.

a) Determine una ecuaci ´on para la rectaL=^Π₁∩^Π2. b) Determine el ´angulo entre los planosΠ₁yΠ₂.

Soluci ´on:(a)(x,y,z) = (1,−^7,−¹⁹)t+ (0, 17, 46), (b) arc cos₂^√11₁₃₃ ≈^61,5162◦. 12. a) DadosP= (1,−^{1, 1})yQ= (2, 3, 1)encuentre una ecuaci ´on param´etrica para

la rectaLque pasa porPyQ.

b) Encuentre la ecuaci ´on del plano Πque pasa por el puntoR = (0, 0, 1)y con- tiene a la rectaLanterior.

Soluci ´on:(a)(x,y,z) = (1, 4, 0)t+ (1,−^{1, 1}), (b)z=1.

13. Dados los planosΠ₁: 2x+y−^z+3=0 yΠ₂: x−^y+2z+1=0

a) Encuentre un vector director para la rectaL1de intersecci ´on de ambos planos.

1Esta operaci ´on aparece al estudiar teor´ıa de la relatividad.

2

b) Encuentre el coseno del ´angulo que forma L1 con una recta normal al plano Π₃: x+y+z=1.

Soluci ´on:(a)(1,−^5,−³), (b) 7/√ 105.

14. a) Encuentre la ecuaci ´on del planoΠdeterminado por las rectasL1yL2de ecua- ciones:

L1: x+1

4 =y+2= ^z+5

2 ; L2: x−³

5 = ^y+1

6 =z+3.

b) EncuentreP0= (x0,y0,z0)punto de intersecci ´on de la rectaL3 :x=1+3t;y= 2−^t;z=3+2tcon el planoΠdeterminado en (a).

Soluci ´on:(a)−^11x+6y+19z=−^{96, (b)P}0= (463,−^{152, 311}).

15. En R³ un punto se mueve describiendo la recta param´etrica L: x = 1−^t;y = 2−^3t;z=2t−^1.

a) Encuentre un vector~vparalelo a la rectaL.

b) Si se considera el planoΠ

1con ecuaci ´on cartesiana 2x+3y+2z+1= 0. ¿En qu´e instantetcorta la rectaLal planoΠ₁? Determine el punto de intersecci ´on.

c) Encuentre la ecuaci ´on de un planoΠ₂paralelo aΠ₁y tal que la rectaLincida enΠ₂en el instantet=3.

d) Encuentre la ecuaci ´on de un plano Π₃ paralelo a la recta L que pase por el puntoq= (1, 1, 1). ¿Es ´unico el planoΠ₃?

e) Dados los planos Π₄: ₁₅¹x+ ₁₀¹y+ ₁₅¹z+1 = 0 y Π₅: ¹₄x+ ¹₄y+ ¹₂z−¹ = 0 determine la distancia m´ınima del planoΠ₁a los planosΠ₄yΠ₅.

Soluci ´on:(a)~v = (−^1,−^{3, 2}), (b)t = 1, (0,−^{1, 1}), (c) 2x+3y+2z+15 = 0, (d) Cualquier planoΠ: (³₂−^5s)x+ (3s−¹2)y+2sz =1 sirve (∀^s∈^{R), (e)d}(^Π1,Π₅) = 0.

16. Dada la rectaLde ecuaciones

(2x+2y−^3z=6

2x−^z=1 yP= (1/2, 1/2,λ). Encuentre λpara que la distancia dePaLsea 1.

Soluci ´on:λ=−¹¹₅^,−^1.

(17*) Hallar la menor distancia entre la rectaL: x=7−^3t,y=−⁵+4t,z =6+2t,t∈^R, y la esferax²+y²+z²=9.

Soluci ´on:6.

2. Ejercicios resueltos

Resolvamos el ejercicio (4) de la lista de arriba. Si queremos ver quewes ortogonal al vectorx, entonces necesitamos verificar quew·^x =0. Para ver si la igualdad se cumple o no, calculamos usando las reglas vistas en clase

w·^x =w·(k^vk^u− k^uk^v)

=k^vk(w·^u)− k^uk(w·^v)

=k^vkk^wkk^uk^cos(∠(w,u))− k^ukk^wkk^vk^cos(∠(w,v))

=k^ukk^vkk^wk^cos(∠(w,u))−^cos(∠(w,v))

Como los ´angulos∠(u,w)y∠(v,w)son iguales por hip ´otesis, vemos quew·^x=0.

Resolvamos el ejercicio (16) de la lista de arriba. Una ecuaci ´on param´etrica para la rectaLes

L:



 x y z



=



 1 2 2



t+



 0 3/2

−¹



. La distancia dePaLest´a dada por

d(P,L) = k(1, 2, 2)×(−¹₂^{, 1,}−¹−^λ)k

k(1, 2, 2)k = k(4+2λ,−^λ,−²)k

3 = ¹

3

p5λ²+16λ+20.

Si queremos qued(P,L)sea igual a 1, entonces tenemos que resolver la ecuaci ´on 5λ²+16λ+11=0,

que tiene como solucionesλ=−¹¹5,−^1.

3