DETERMINAÇÃO DE POTÊNCIA:

DETERMINAÇÃO DE POTÊNCIA:

Sabemos que ao somarmos parcelas iguais, estamos de fato, fazendo multiplicações. Assim podemos concluir que a determinação da potência de um número é feita pela multiplicação de fatores iguais. Consideremos os seguintes exemplos com produtos de fatores iguais:

Exemplos:

1º exemplo:

Termos da potenciação:

Base=2 Expoente = 4

Potência = 16 [Resultado da operação]

2º exemplo:

5³ = 5.5.5= 125 (3 fatores iguais)

Termos da potenciação:

Base=5 Expoente = 3

Potência = 125 [Resultado da operação]

Lê-se: Cinco elevado à terceira potência.

3º exemplo:

3⁵ = 3.3.3.3.3 (5 fatores iguais)

Este produto de 5 fatores iguais ao número 3 pode ser expresso da seguinte forma 3⁵, onde 3 é chamado de base e indica o fator que está sendo repetido, e 5 é chamado de expoente e indica a quantidade desses fatores, e lido da seguinte maneira:

3 elevado à 5^a potência, ou a 5^a potência de 3. Então: 3.3.3.3.3=3⁵

Termos da potenciação:

Base=3 Expoente = 5

Potência = 243 [Resultado da operação]

EXPLICANDO ALGUMAS PROPRIEDADES.

A potenciação além de economizar nosso trabalho para calcular grandes números, também economiza na escrita.

Vamos ver os seguintes exemplos para entender melhor:

1^º ) Produto de potências de mesma base.

Note que é necessário escrever muitas vezes o número 1 para determinar a potência de 1¹⁵ .

Esta foi fácil, pois sabemos das definições que 1ⁿ=1

(3.3.3).(3.3).(3.3)=3³. 3². 3² =3³⁺²⁺²=3⁷=2187 (3.3.3)=3³

(3.3)= 3² (3.3)= 3²

Note que 3⁷= (3.3.3.3.3.3.3) =2187 Três elevado à sétima potência.

Para escrever o produto de potências de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes

2^º ) Potência de potência.

(2²)³ = 2² . 2² . 2² = 2²⁺²⁺²= 2⁶ = 64

(2²)⁴ = 2² . 2² . 2² . 2² = 2^2+2+2+2= 2⁸ = 256

Para escrever a potência elevada a outro expoente, mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes.

3^º ) Quociente de potências de mesma base.

Sem utilizar dessa propriedade, o cálculo do quociente com potência 128

÷ 126 ficaria da seguinte forma:

12⁸ ÷12⁶ = 429981696 : 2985984 = 144

Utilizando a propriedade do quociente de mesma base, a resolução ficaria mais simplificada. Veja como nessa divisão as bases são iguais, basta repetir a base e diminuir os expoentes.

12⁸ ÷ 12⁶ = 12^{8 – 6} = 12² = 144 (-5)⁶ ÷ (-5)² = (-5)^{6 – 2} = (-5)⁴ = 625

Para escrever o quociente de potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes.

Observação: Quociente significa o resultado de uma divisão

NÚMEROS NATURAIS:

DEFINIÇÕES:

Sejam a 

positivo e n  N

Também podemos definir da seguinte forma:

Dados um número real positivo a e um número natural n diferente de zero, chama-se potência de base a e expoente n o número a

que é igual ao produto de n fatores iguais ao número a.

D1 ) aⁿ = a.a.a.a. ... .a (n vezes), n > 1, onde: aⁿ = a.a^n-1 Da definição anterior decorre que:

D2 ) a¹ = a , (a ≠ 0)

Todo número natural elevado a 1 é igual a ele mesmo, pois não existe produto apenas com um único fator.

D3 ) a⁰ = 1 , (a ≠ 0)

Todo número natural, diferente de zero, elevado a zero é igual a 1.

POTÊNCIAS ESPECIAIS:

1ⁿ = 1 e 0ⁿ =0 para qualquer que seja o valor de n , pois aⁿ = a.a.a.a. ... .a (n vezes), n > 1  1.1.1. ... .1 = 1 e

PROPRIEDADES RELATIVAS ÀS POTÊNCIAS DE MESMA BASE:

Considerando que a base é um número real “a” positivo e o expoente é um número natural “n”, temos que:

Sejam m,n  N* e a,b  R* positivo então:

N1 ) aⁿ .a^m = a^n+m . Intuitivamente é fácil observar que:

Chamamos esta propriedade de “Propriedade fundamental”: Multiplicação de potências de mesma base.

N2 ) aⁿ ÷ a^m = a^n-m ( a ≠ 0 , n … m )

N4 ) ( a.b)ⁿ = aⁿ .bⁿ

EXEMPLOS PRÁTICOS:

a) 3⁰ = 1 b) 5⁰ = 1 c) 2⁰ = 1 d) 56⁰ = 1 e) 5¹ = 5 f) 3¹ = 3

g) 5² = 5.5 = 25 h) 5³ = 5.5.5 = 125 i) 5⁴ = 5.5.5.5 = 625 j) 5⁵ = 5.5.5.5.5= 3125 k) 3² = 9

l) 19⁰ = 1 m) 19¹ = 19 n) 19² = 361 o) 0¹ = 0 p) 0² = 0.0 = 0

q) 0³ = 0.0.0= 0 r) 0⁴ = 0.0.0.0 = 0 s) 0⁵ = 0.0.0.0.0 = 0 t) 151¹ = 151

u) 1⁷ = 1.1.1.1.1.1.1=1

v)

w) 3² . 3³ = 9.27=243

x) 3² . 3³ = (3.3) .(3.3.3) = 3⁵ = 3²⁺³ = 243

y)

z) (2²)³=(2.2)³=4³=64

POTÊNCIA COM EXPOENTE INTEIRO.

EXEMPLO DE SEQUÊNCIAS DE POTÊNCIAS:

Os matemáticos tiveram várias razões para introduzir essas definições.

Por exemplo, a multiplicação de padrões:

Note que ao dividirmos 81 por 3 temos como resultado 27, e da mesma forma ao dividirmos 27 por 3 obtemos como resultado 9, logo concluímos que, a cada divisão os expoentes diminuem sempre uma unidade. O quociente entre os valores sucessivos das potências é constante e igual a 3.

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