As Torres de Hanoi
Resolução por algoritmos de Busca Daniel N. Epitácio Pereira
PESC/COPPE-UFRJ
Disciplina: Inteligência Artificial
Professora Inês Dutra
A Lenda das Torres
A Lenda das Torres
O Quebra-Cabeça
Edouard Lucas, 1883 Forma tradicional:
N discos
3 varas
Solução ótima:
2N-1 movimentos
Variações:
K varas
Liberdade de Objetivo
Problema de Busca
Objetivo estabelecido: N = 15
32.767 movimentos!
Operadores:
Pilhas de origem e de destino
Podem ser inválidos ou infrutíferos
Estados:
Pilha em que se situa cada peça
Ramificação = 3 (*)
Métodos de Busca
A*
Heurística + Custo
Guloso (Greedy Search)
Heurística
Busca em Largura (ou de Custo Uniforme)
Custo
Operadores
Inválidos:
Se tem como pilha de origem uma pilha vazia
Se levam uma peça para cima de outra menor
Infrutíferos
Movimentos nulos:
Operadores
Infrutíferos
Reversão:
Perda Imediata de Otimalidade:
Ramificação:
No máximo 2
Heurística
Deve ser admissível
Deve ser uma estimativa inferior do número de passos até a solução
Caso contrário, a otimalidade não estará garantida
Não deve ser muito subestimada
Ou a performance será prejudicada
Heurísticas que se aproximam da distância real à solução podem garantir complexidade sub- exponencial
Heurística
Baseada no número de peças na posição correta.
Pode ser feita de forma admissível, mas então o segundo critério fica prejudicado
Distâncias “relaxadas” à posição correta
Um pouco mais elaborada. Admissível, mas ainda pouco eficiente
Heurística
Heurística
Por Estágios
Funciona um pouco melhor
Distância do início de cada estágio à solução é
conhecido
Estágios Recursivos
Ideal
Implementação
Em C++ (usando MingW32).
Faz uso de uma fila de prioridades (STL) de configurações do jogo, com base na
heurística e no custo correspondente.
Cada uma dessas configurações aponta para
um nó. Os nós formam uma árvore baseada
em encadeamento.
Implementação
A configuração correspondente a cada nó já expandido é removida da memória
Fila de Estados
Árvore de Nós
Resultados
Busca em Largura
Até 5 peças
Método Guloso
15 ou mais peças (sub-ótimo)
A*
15 ou mais peças (ótimo)
15 peças com pouco mais do que 120.000 nós expandidos.
Amostra e Referências
[1] Tower of Hanoi: Fascinating Facts (LHS):
http://www.lhs.berkeley.edu/Java/Tower/towerhistory.html [2] Russel, S., Norvig, P. – Artificial Intelligence: A Modern Approach [3] Rich, E., Knight, K. – Inteligência Artificial
