a) ln 16 b) ln64 e2 c) ln √e 2 d) ln ( 3 √ 1 2e ) e) ln(2m×3n) 2

MAT1513 - Laborat´orio de Matem´atica - Professor David Pires Dias - 2018 Pequena Lista de Exerc´ıcios sobre Logaritmos e Exponencial

1. Considerando ln 2 como 0,6931 e ln 3 como 1,0986, ache valores aproximados para.

a) ln 16 b) ln64

e² c) ln

√e

2 d) ln

(

3

√ 1 2e

) e) ln(2^m×3ⁿ)

2. Mostre que, se os n´umeros positivos a1, a2, ..., am s˜ao termos de uma progress˜ao geom´etrica, ent˜ao lna₁,lna₂,lna₃, ...,lna_m formam uma progress˜ao aritm´etica.

3. Mostre que para todox >0 e todo h >−x (h n˜ao nulo) tem-se:

ln(x+h)−lnx

h = ln

( 1 +h

x )¹

h

.

4. Dados os n´umeros reais positivos a, b, exprima a ´area da faixa de hip´erbole H_a^b em termos de logaritmos naturais.

5. (Assinale a resposta certa) Se lnx= ln y, podemos concluir que x=y porque:

a) um n´umero n˜ao pode ter dois logaritmos.

b) a fun¸c˜ao ln ´e biun´ıvoca.

c) a fun¸c˜ao ln ´e cont´ınua.

d) nenhuma das respostas acima: de ln x= ln y n˜ao se pode concluir x =y, do mesmo modo como de senx= seny n˜ao se deduz x=y.

6. Ache os valores reais dex que satisfazem cada uma das igualdades abaixo:

a) 1

3lnx+ ln 3 = ln 5 b) ln(x+ 3) + lnx= ln 28

c) ln(x+ 1)−lnx= ln 3 d) ln(x−1) + ln(x+ 2) = ln 6 e) lnx= 3

8 ·ln√ 2 +1

8 ·ln 2−1 4·ln√⁴

2 +1

8ln 8−1 4 ·ln1

2 7. Determine o valor dex em cada uma das equa¸c˜oes abaixo:

a) lnx= ln(a−b) + ln(a+b) b) lnx= 3·ln (a−4)·lnb+ 5·ln c

c) 1

7 ·lnr+ 2·lns= 2

3 ·lnt³+ lnx 8. Qual ´e a ´area da faixa de hip´erboleH₁^x, ondex= 1,359140914229?

9. A faixa de hip´erbole H₁^x tem ´area igual a 5. Qual ´e o valor dex?

10. Simplifiquee^lnx,e^{2 lne} e e^{3 ln 2}.

11. Indique duas raz˜oes pelas quais n˜ao se pode definir logaxcom basea= 1.

12. Sejama, x, y n´umeros reais positivos, com a >1. Prove que:

a) logax+log_1/ax= 0 b) loga

(x y

)

=logax−logay

c) logax=logay implicax=y d) Sea > b >1, ent˜ao log_ba >1 13. Sejama, b, c n´umeros reais maiores do que 1. Mostre que log_ab·log_bc·log_ca= 1 . 14. Em que base o logar´ıtmo de 5 ´e igual a 2?

15. Ache cada um dos logaritmos abaixo:

a) log₁₀0,1 b) log100,01

c) log₂₇3 d) log279

e) log₈16 f) log4

1 2 16. Para quais valores dex valem as igualdades abaixo?

a) log_x16 = 2 b) logx125 = 3

c) logx

√3 = 1 2

d) log₄x=−4 e) log8x= 2

3 f) log^√₂x= 4

g) log₁₀100 =x h) log₂0,5 =x

i) log^√₅25 =x 17. Indique se ´e verdadeira ou falsa cada uma das afirma¸c˜oes abaixo:

a) log₃27^m= 3m b) log8

√4 2 =−1

9

c) log82ⁿ= n 3 d) log16⁴

√2 = 1 16.