Teoria de Controle
Função de Transferência e
Modelos Matemáticos
UTFPR 2008 – DAELN Teoria de Controle Professor Rafael Sartori
http://sites.google.com/site/sartori
Função de Transferência
COMENTÁRIOS SOBRE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
• A função de transferência de um sistema é uma propriedade do sistema, independendo da natureza e da magnitude da entrada;
• Utilizando-se o conceito de função de transferência, é possível representar um sistema dinâmico em termos de expressões algébricas da variável complexa “S”;
• Embora a função de transferência de um sistema inclua as informações necessárias para relacionar a entrada com a saída, ela não fornece informações a respeito da estrutura física do sistema. Isto significa que a função de transferência de sistemas fisicamente diferentes podem ser idênticas;
• Se a função de transferência de um sistema é conhecida, a resposta do mesmo pode ser analisada para diferentes formas de excitação (entrada), com a finalidade de compreender a natureza e o comportamento do sistema;
Teorema Valor Final
• Teorema do valor final
Quando uma funçãao f(t) tende à um valor constante em regime estacionário, isto é, quando t ! 1, este valor constante pode ser diretamente obtido através do limite:
Exemplo:
Que está de acordo com o esperado
Modelagem Matemática de Sistemas Físicos
• Modelos matemáticos analisar as relações entre as variáveis do sistema.
• Sistemas: mecânicos, hidráulicos, elétricos.
• Sistemas lineares permitem o uso de
• Sistemas lineares permitem o uso de
métodos baseados na transformada de Laplace
– Sistema não Linear: estes sistemas evoluem no domínio do tempo com um comportamento desequilibrado e aperiódico, onde o seu estado futuro é extremamente dependente de seu estado atual, e pode ser mudado radicalmente a partir de pequenas mudanças no presente.
• Sistemas não-lineares linearização
Modelagem Matemática de Sistemas Físicos
• Sistemas mecânicos Leis de Newton
• Sistemas elétricos Lei de Kirchhoff
) ( )
) ( ( )
2
(
t f t
dt Kx t f dx dt
t x
M d +
v+ =
Circuitos complexos: Malhas
1. Substituir os valores dos elementos passivos por suas impedâncias.
2. Substituir as fontes pelas suas respectivas no domínio s.
3. Arbitrar o sentido das correntes.
4. Escrever as leis de Kirchhoff das tensões para cada malha.
5. Resolver o sistema de equações.
6. Elaborar a função de transferência.
Circuito RLC
• Dado o seguinte circuito RLC, encontre a relação entre a
entrada e a saída (Função de Transferência)
Carrinho e mola
4. Considere o sistema mecânico mostra na figura que se segue. Suponha que o sistema é acionado por uma impulso unitário. Determine a oscilação resultante.
Suponha que o sistema está inicialmente em repouso.
x
A ED que representa o sistema é dada por m kx ( t )
dt x
d
+ = δ
2 2
k x
Impulso
δ (t) m
Onde δ (t) é a entrada impulsiva (excitação impulsiva). Note que a transformada
de Laplace do impulso é L [ δ (t) ]=1.
Amp Op
Amplificador Operacionais: Características-
+ A
+V
-V
v0(t) +v1(t)
+v2(t) 1. Entrada diferencial, v2(t)-v1(t).
2. Elevada impedância de entrada.
3. Baixa impedância de saída.
4. Elevado ganho de amplificação A saída v (t) é dada por:
Prof. Marcus Fernandes
A saída vo(t) é dada por: -V
)) ( )
( ( )
(
2 10
t A v t v t
v = −
Amplificador operacional inversor-
+ A
V0(s) V1(s)
gnd
Z2(s) Z1(s)
I1(s)
I2(s) Vi(s)
Pela lei de Kirchhoff,
) ( )
( 0
) ( )
( )
( s I
1s I
2s I
1s I
2s
I
a= + = ⇒ = −
Amp Op
Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
Amplificador operacional inversor-
+ A
V0(s) V1(s)
Z2(s) Z1(s)
I1(s)
I2(s) Vi(s)
Como o ganho A é elevado,
) (
) ) (
( 0
) (
1 1
1
Z s
s s V
I s
V ≈ ⇒ =
iIgualando as duas correntes,
Prof. Marcus Fernandes
Igualando as duas correntes, gnd
) (
) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) (
1 2 0
1 2
0
s Z
s Z s
V s V s
Z s V s
Z s V
i
i
⇒ = −
−
=
Amplificador operacional não inversor-
+ A
V0(s) V1(s)
gnd
Z2(s)
Z1(s) Vi(s)
A tensão de saída Vo(s) é dada por:
)) ( )
( ( )
(
10
s A V s V s
V =
i−
Amplificador Operacional
Sistemas Análogos
Sistemas Análogos
Carrinho e atrito
Carrinho e atrito
Motor
Motor
Exercício
Planta de Nível
• Modelagem por FT
– Sistema com um Tanque
onde R é o número de Reynolds
Função que relaciona vazão de saída com vazão de entrada
