ИНФОРМАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКОЙ УЧАЩИХСЯ

ИНФОРМАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ

ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ

ПОДГОТОВКОЙ УЧАЩИХСЯ

УДК 519

ШУПИК Игорь Евгеньевич

доцент, заведующий кафедрой физического воспитания Херсонского национального технического университета.

Научные интересы: информационные технологии.

e-mail: IgorShupik@kntu.net.ua

ВВЕДЕНИЕ

Задача управления физической подготовкой уча-щейся молодежи относится к задачам создания опти-мальных информационно-управляющих систем, при-чем объектом управления является организационная система. Движение в данной системе происходит как результат операции принятия решения [1]. То есть каждый из элементов системы имеет собственную функцию цели и действует таким образом, что бы дос-тичь ее оптимума. Таким образом, моделируя проце-дурой оптимизации «разумность» каждого из элемен-тов системы, получаем возможность формировать модель группы студентов, как объекта управления. При такой постановке открывается возможность оце-нить динамику изменения состояния отдельного члена группы, но и описать изменение состояния всего кол-лектива как движение динамической системы в про-странстве состояний [2].

ОБЗОР СОСТОЯНИЯ ВОПРОСА

Вопросы управления организационными систе-мами занимают важное место в исследованиях соци-альных [3], экономических [4] и автоматизированных систем [5]. Сложная задача построения математиче-ской модели таких систем основывается на использо-вании методов теории искусственного интеллекта [6]. Задача построения математической модели динамики организационной системы является достаточно слож-ной проблемой [7]. В данслож-ной работе использована

абстрактная модель поведения агента в организацион-ной структуре, построенная на последовательности процедур принятия оптимального решения в процессах взаимодействия с внешними источниками информа-ции. При этом рассматривается достаточно узкий круг проблем связанных с функционированием группы, как организационной системы, в процессе занятий по фи-зическому воспитанию в период обучения в универси-тете и используется оценка скорости сходимости гради-ентной процедуры на выпуклой функции цели [8], как оценка динамики объекта.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В работе поставлена цель, основываясь на пред-ставлении о «разумности» элементов системы, как элементов объекта управления, движение которых определяется результатом решения задачи оптимиза-ции, найти оптимальное управление группой студен-тов, как организационной системой. Причем учитывая, что управление в данной системе осуществляется по-средством передачи информации, задача рассматрива-ется в информационном пространстве.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

приня-тия решения реализуется процедура поиска оптималь-ного решения, а следовательно, в системе имеется накопление информации как в контуре распознавания, так и в контуре принятия решения о поведении.

Однако необходимо учитывать, что передача управления в данной системе носит ярко выраженный информационный характер.

Для получения более простого описания поведе-ния объекта возможно использование информацион-ного пространства [9]. Исходя из специфики поведения объекта, заключающейся в том, что всегда выполняют-ся действия, которые наиболее выгодны с точки зрения агента рассмотрим информацию I как причину получе-ния выигрыша по отношению принятой агентом функ-ции цели f:

). (I f

f  ₍₁₎

В таком случае достаточно предположить непре-рывность и ограниченность функции цели или её ана-литичность, чтобы записать связь функции цели и ин-формации в окрестности:

0

0 0

I 2

2 2

I

1 df (I) f (I) f (I ) I

1! dI 1 d f (I)

I ... R. 2! dI

= + D +

+ D + +

(2)

Так как желательно получить линейную связь ме-жду информацией и значением целевой функции, ис-пользуем первое приближение:

)). ( , ( ) (

I f I dI

I

df _

. (3)

Вопрос о правой части уравнения (3)решается или на основе исследований или на основе гипотезы.

В данном случае целесообразно предположить, что чем выгоднее событие, тем больше оно несет ин-формации, тогда

, ) ( _

dI I df

(4) где β константа.

Тогда можно записать связь между информацией и выигрышем

, 1

df dI



 ₍₅₎

или при нулевых начальных условиях получаем простую связь

. 1

f I



 ₍₆₎

Естественно, единица измерения информации, в этом случае, совпадает с единицей измерения полезно-сти. В этом случае константа β может трактоваться, как емкость носителя и тогда получим привычное измере-ние - единиц на бит.

Рассмотрим свойства информации. Поскольку функция цели всегда неотрицательна f≥0 и неотрица-тельна константа β, можно утверждать, что информа-ция всегда неотрицательна I≥0.

Множество F, над которым определено информа-ционное поле - это множество интересов агентов, или множество значений целевых функций

.

F

fi (7)

В таком случае норма в информационном поле, для данного случая определится как

. 1

i

f I



 ₍₈₎

При этом выполняются:

1. Требование неотрицательности:

. 0 1 0 

 fi

I

 (9)

2. Равенство нулю (выполняется так как β<∞):

. 0 0 

 fi

I (10)

3. Аксиома однородности:

. 0 ,

0 

 

 I I

I  

 (11)

4. Аксиома треугольника (выполняется в след-ствии неотрицательности информации):

j i j

i I I I

I    _. (12)

Таким образом, использование значения функции цели для оценки информации позволяет определить норму информационного пространства.

Для определения метрики учтем, что в информа-ционном поле важен порядок, сообщение имеет при-емник, и обратная передача информации отсутствует, так как источник, в общем случае, не обладает априор-ной информацией приемника.

1. Аксиома тождества для метрики d(Ii, Ij)=(Ii-Ij)

выполняется

. 0

) ,

(Ii Ij Ii Ij

d    ₍₁₃₎

2. Аксиома симметрии не выполняется в виду не реализуемости обратной передачи информации

). , ( ) ,

(Ii Ij d Ij Ii

3. Аксиома неотрицательности выполняется, так как в случае отрицательности меняется направле-ние передачи информации

. 0 ) , ( 1

1

; 0 ) , ( 1

1

 



 



i j j i

j i j i

I I d f f if

I I d f f if

 

 

(15) 4. Аксиома треугольника выполняется, выро-ждаясь в равенство:

). , ( ) , ( ) ,

(I_i I_j d I_i I_k d I_k I_j

d   ₍₁₆₎

Так как

i j i j

i k i k

k j k j

i k k j i j

1 1 d(I , I ) f f ;

1 1 d(I , I ) f f ;

1 1 d(I , I ) f f ;

1 1 1 1 1 1 f f f f f f .

=

-b b

=

-b b

=

-b b

- + - =

-b b b b b b

(17)

Существенным достоинством представления мо-дели объекта в информационном пространстве

являет-ся простота. Так для описания всего процесса принятия решения достаточно рассмотреть две оптимизацион-ные процедуры

, max

; min

); , (

* * 1

z y

y x

I I

I

А

I I d I

  



 

(18) где Ix– входная информация, Iy – информация,

содержащаяся в принимаемой гипотезе о входном сообщении, Iε – информация об отклонении гипотезы от

входной информации, A-1 _{– оператор восстановления}

входной информации, Iz – информация, поступающая

во внешнюю среду о действии объекта. Структурно получаем последовательность оптимизационных про-цедур, рис. 1.

Следовательно, при построении математической модели принятия решения объектом, достаточно рас-смотреть последовательность двух оптимизационных задач в пространстве состояния – задачи распознава-ния внешнего сообщераспознава-ния и задачи выбора оптималь-ного выходоптималь-ного сообщения.

Рисунок 1 – Структурная схема обработки информации

Однако, при этом получаем последовательность шагов оптимизации, что вызывает необходимость учета динамики процесса.

Рассматривая динамику принятия решения объ-ектом, считаем, что имеем линейную скорость сходи-мости оптимизационных процедур. В этом случае предполагается квадратичный вид функции цели. Дей-ствительно, для градиентной процедуры получаем:

. 2 ) (

; )

( 2

x dx

x df

x x f

 

 

(19) Тогда считая, что шаг по оси x занимает время пропорциональное величине шага

,

 

dt

dx ₍₂₀₎

можем записать

. 2

) (

cx x dt

x df



  (21)

И в этом случае градиентная процедура принима-ет вид:

.

1 i i

i x x

x_   (22)

В таком случае динамика оптимизационной про-цедуры может быть описана как движение инерцион-ного звена первого порядка с передаточной функцией:

. 1 ) (

 

Tp k p

W ₍₂₃₎

Естественно, постоянная времени индивидуальна для каждого объекта, но эта величина вполне иденти-фицируема. Таким образом, движение системы в точку оптимума x* _{принятия решения описывается}

диффе-ренциальным уравнением:

. )

( *

x x dt

x df



 (24)

Переходя к описанию системы в информацион-ном пространстве, можем записать:

. y x

x _{I I}

dt

dI _{ }

(25) A-1*_→mind(I

x, Iy) Iy

*→_maxI z

При этом константа α определяет скорость вос-приятия информации.

Так как в математической модели определены две последовательные оптимизационные процедуры – распознавание внешней информации и принятия ре-шения о действии, в динамической модели целесооб-разно рассматривать последовательность звеньев:

, 1 1 )

(

2 2 1

1

  

p T

k p T

k p

W ₍₂₆₎

где: k1 – коэффициент восприятия информации,

k2 – коэффициент выполнения решения,

T1 – постоянная времени распознавания,

T2 – постоянная времени принятия решения.

Структурная схема модели динамики объекта приведена на рис. 2.

Рисунок 2 – Модель динамики объекта

Переходя к общей передаточной функции, полу-чаем:

. 1 ) ( ) ( ) (

2 1 2 2 1

2 1

   

p T T p T T

k k p

W _{. (27)}

И соответствующее дифференциальное уравнение в информационном пространстве:

. )

( )

( _{2 1 2 1 2}

2 2

1 x z

x

x _{I kk I}

dt dI T T dt

I d T

T     (28)

Характеристическое уравнение имеет вид:

. 0 1 ) ( )

( 1 2

2 2

1T   T T  

T (29)

Характер движения в данном случае это монотон-ный апериодический процесс с корнями характеристи-ческого уравнения λ1 =-1/T1, λ2=-1/T2. При этом

посто-янная времени в процессе распознавания меньше, чем в процессе принятия решения. Действительно, для того что бы понять указание преподавателя требуется не-много времени, а вот для того что бы выполнить тре-буемые действия в первый раз, необходимо гораздо больше времени. В общем случае воздействия на объ-ект нескольких источников в информационном про-странстве получаем модель динамики в пропро-странстве состояний:

. ;

x z

x x

C B A dt d

I I

U I I

  

(30) При этом матрица объекта А – определяет скоро-сти реакции системы на внешние сообщения, матрица управления; В – приоритеты объекта; вектор управле-ния u – цели и ограничеуправле-ния, являющиеся в организа-ционной системе управлениями; матрица С – степень выполнения решений. Таким образом, динамика объ-екта по отношению к выполнению требований носит не

сложный характер, однако для достижения поставлен-ной цели требуется учитывать не только краткосрочную реакцию объекта, но и длительный процесс изменения состояния объекта. Исходя из существенной разницы в постоянных времени процессов восприятия и решения по отношению к процессу изменения параметров объ-екта, разделим систему на две подсистемы. Первую подсистему формируем из процессов распознавания и принятия решения:

yi i yi i xi

zi i yi

i

i0 i1

i i

i21 i22

I A I B I

;

I C I

0 1

A ;

a a

0 0 0

B ; C

b b 1

üï

= + _ïý

ï

= _ïþ

æ _ö÷

ç _÷

=ç_{çç- - ÷÷}

è ø

æ ö_÷ é ù

ç _{÷ ê ú}

=ç_{ççè ÷÷} =_{ê ú}

ø _{ë û}



. (31)

При этом вектор управления содержит две ком-поненты:

Iix1 – информация о функции цели, предлагаемая

по каналу управления;

Iix2 – информация об ограничениях.

При этом для собственной функции цели fi и

ди-рективной функции цели f информация о функции цели, предлагаемая по каналу управления:

.

1 i

ix f f

I   ₍₃₂₎

А компонент Iix2 информация об ограничениях

оп-ределяется влиянием на функцию цели и по сути дела является множителем Лагранжа:

.

2 _ 

 f

I_ix (33)

W1(p)=k1/(T1p+1)

Распознавание

W2(p)=k2/(T2p+1)

Решение x

При агрегировании объектов в группу из n объек-тов, порядок вектора состояния системы равен N=2n, и для трех объектов в системе, матрица объекта прини-мает вид: . 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 3 30 32 31 23 21 20 21 13 12 11 10                            a a d d d a a d d d a a

A (34)

Тогда дополнив матрицу объекта подсистемы матрицей связи Dij где индекс j указывает какая

подсис-тема влияет на i- тую подсистему

. 0 0 0        ji ji _d D (35)

Тогда матрица объекта всей системы принимает вид блочной матрицы:

10 11 21 31

12 20 21 32

13 23 30 31

1 12 13

21 2 23

31 32 3

0 1 0 0 0 0

a a 0 d 0 d

0 0 0 1 0 0

A

0 d a a 0 d

0 0 0 0 0 1

0 d 0 d a a

A D D

D A D

D D A

æ _ö÷

ç _÷

ç _÷

ç_{- - ÷}

ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç _÷÷ ç _÷ ç

=_{ç ÷÷}=

- -ç _÷ ç ÷ ç ÷ ç _÷÷ ç _÷ ç _÷ ç _÷

ç -

-è ø

æ _ö÷

ç _÷

ç _÷

ç _÷

= ç_ç ÷_÷

ç _÷÷

çè ø

.

(36)

При этом матрица B системы принимает вид диа-гональной блочной матрицы:

121 122 221 222 321 322 1 2 3

0 0 0 0 0 0 b b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B

0 0 b b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b b B 0 0

0 B 0 , 0 0 B

æ _ö÷ ç _÷ ç _÷ ç _÷ ç _÷ ç ÷ ç ÷ ç _÷÷ ç _÷ ç

=_{ç ÷÷}=

ç _÷ ç ÷ ç ÷ ç _÷÷ ç _÷ ç _÷ ç _÷ çè ø æ _ö÷ ç _÷ ç _÷ ç _÷

=ç_{ç ÷÷}

ç _÷÷

çè ø

(37)

и вектор управления имеет вид:

. 3 2 1 32 31 22 21 12 11                                 x x x x x x x x x x I I I I I I I I I

I ₍₃₈₎

Аналогично формируется матрица выхода:

. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 1            c c c C ₍₃₉₎

При этом вектор выхода имеет размерность N. Та-ким образом, математическая модель динамики всей подсистемы, определяется выражением аналогичным (40): .        y z x y

y A B

I C I I I I  (40) Вторая подсистема описывается более просто, так как не содержи подсистем и является просто много-мерной системой порядка N:

.

z s s s

s AI BI

I   ₍₄₁₎

Тогда, с учетом разделения задачи на подзадачу управления восприятием и принятием решения и под-систему изменения параметров объекта, структура системы принимает вид, приведенный на рис. 3.

Подсистема принятия решения связана с решени-ем задачи оптимального управления для каждого объ-екта. Рассмотрим отдельно от группы одного агента, в этом случае порядок системы равен двум и можем использовать модель со скалярным функционалом цели и матрицей выхода, принимающей вид:

. 1 0        C (42)

При выборе функции цели необходимо учитывать специфику задачи. Во-первых, за время принятия ре-шения t1-t0 проходит переходный процесс, связанный с

восприятием информации принятием решения о дей-ствии, естественно, что желательно сократить время переходного процесса, но более существенно сократить потери информации за рассматриваемый период. Учи-тывая, что выходная информация ограничена всегда положительной оценкой действия Im и выполняется

условие Im-CIyi>0, иначе задача теряет смысл, в

Рисунок 3 – Структура системы управления

. ) (

1

0

dt I

J t

t

yi i m

i



Тогда получаем задачу оптимального управления:

. ) (

0 ) (

; min ,

; ) (

* 1 0 * *

1

0

    

     

 

  



yi

I t t I

B A

J dt I

J

yi yi

yi i zi

xi i yi i yi

i xi

yi t

t

yi i m i

CI CI

I C

I I I

I I

I C

 ₍₄₄₎

Функция Гамильтона в данном случае имеет вид [10, 11]:

;. ) (

, ) (

0 m i yi i i yi i xi

i I A B

H  CI  λ I  I (45)

Так как интегрант функционала цели линеен и матрица управления не нулевая, то условие стационар-ности по управлению не выполняется:

) (

, )) (

( ₀

I I I λ I

I C

I  

 

 

    

xi xi i yi i i

xi yi i m

xi

i I A B

H 

(46) При этом каноническая система уравнений Ла-гранжа – Эйлера принимает вид:

, ;

dt d H

dt d H

yi i

i i yi

i

I

λ λ

I

  

   

или

. ;

0 i i T i i

xi i yi i yi

A dt d

B A dt d

C

λ λ

I I I

   

 

Так как матрица объекта по условиям задачи гур-вицева, то для сходимости процесса по множителям Лагранжа с учетом требования неотрицательности множителя Лагранжа в задаче поиска минимума, мо-жем записать:

. 2 , 1 , 0

; 0

 



j

λ

dt d

j i λ

(47) Следовательно, в процессе принятия решения, влияние ограничений должно монотонно уменьшаться.

а

б

Рисунок 4 – Формирование управления (а), и результаты моделирования (б)

Учитывая, что функция Гамильтона линейна по отношению к входной информации и учитывая ограни-ченность входной информации

Подсистема принятия решения

Подсистема развития

Прогноз развития Коррекция

управления

Ix Iy Iz

Izt

,

0IxiIxm (48)

можем записать оптимальное управление в виде трех знакопостоянных управлений:

. ,

; ,

0

; 0 ,

1 2 * *

2 1 *

1 *

t I

I

t I

t I

I

x xi xi

xm xi

 

  

  

  



(49) Это дает интервал повышенного потока информа-ции, как побуждение к действию, интервал ожидания и интервал коррекции управления (рис. 4,а), (рис. 4,б).

Как видно из результатов моделирования, опти-мальное управление позволяет получить переходный процесс со значительно меньшими затратами инфор-мации.

ВЫВОДЫ

1. Использование информационного простран-ства позволяет учитывать особенности функциониро-вания организационных систем.

2. Модель динамики организационной систе-мы базируется на свойствах процедур оптимизации частных функций цели.

3. Линеаризованная модель элемента органи-зационной системы имеет третий порядок.

4. Гипотеза постоянства чувствительности ча-стной функции цели к входной информации позволяют иметь линейную метрику в информационном про-странстве.

5. Оптимальное управление организационной системой основывается на использовании принципа максимума Понтрягина.

6. В задаче оптимального управления студен-ческой группой на занятиях физистуден-ческой подготовкой эффективно использование квазиоптимального управ-ления.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Makarov I.M. Intellektual'nye sistemy avtomaticheskogo upravlenija /Pod red. I.M. Makarova, V.M. Lohina. – M.: Fizmatlit, 2001. – 576 s. 2. Novikov D.A. Kurs teorii aktivnih sistem /D.A. Novikov, S.N. Petrakov. – M.: CYNTU. 1999. – 104 s.

3. Novikov D.A. Mehanizmy upravlenija dinamicheskimi aktivnimi sistemami /D.A. Novikov, I.M. Smirnov, T.E. Shohina. – M.: IPU RAN, 2002. – 124 s.

4. Coj E.B. Modelirovanie i upravlenie v ekonomike (chast' I). Kurs lekcіj /Coj E.B., Samochernov I.V. – Novosibirsk: Izd-vo NGTU, 2003. – 104 s. 5. Ahangel'skij V.I. Integrirovannye ASU v promyshlennosti /V.I. Arhangel'skij, I.N. Bogasenko, N.A. Rjumshin. – K.: NPK «Kievskij institut

avtomatiki», 1995. – 316 s.

6. Bondarev V.N. Iskusstvennyj intellekt: Uch. posobie dlja vuzov /V.N. Bondarev, F.G. Ade. – Sevastopol': izd-vo SevNTU, 2002. – 615 s. 7. Komashinskij V.I. Nejronnye seti i ih primenenie v sistemah upravlenija i svjazi /V.I. Komashinsskij. – M.: Gorjachaja linija-Telekom, 2003. –

94 s.

8. Chernoruckij I.G. Metody optimizacii v teorii upravlenija: Uch. posobie dlja vuzov /I.G. Chernoruckij. – SPb.: Piter, 2004. – 256 s.

9. Brazhnik D.A. Informacionnaja model' invariantnoj sistemy raspoznavanija /D.A. Brazhnik, F.B. Rogal'skij, V.A. Tkach //Problemi іnformacіjnih tehnologіj. – 2009. – №1 (005). – S.31-37.

10. Alekseev V.M. Optimal'noe upravlenie /V.M. Alekseev, V.M. Tihomirov, S.V. Fomin. – M.: Nauka, 1979. – 428 s. 11. Rektoris K. Variacionnye metody v matematicheskoj fizike i tehnike /K. Rektoris. – M.: Mir, 1985. – 590 s.