03 02 TLC estimacao

Estatística e Probabilidade para as

Ciências Ambientais

Distribuição das médias amostrais e Teorema do Limite Central

Departamento de Ciências do Mar

Curso de Bacharelado Interdisciplinar em Ciências do Mar – BICTMar

Importância da distribuição normal

1. Normalmente estamos interessados em comparar valores

médios.

2. A distribuição normal também tende a resultar da soma de

outras variáveis, caso estas sejam em quantidade razoável.

Muitas variáveis na natureza são o resultado da atuação de

um grande número de outras, daí uma razão para a

preponderância da distribuição normal em muitos

fenômenos que observamos.

3. Muitos métodos estatísticos pressupõem que as variáveis de

interesse tenham uma distribuição normal.

O Teorema do Limite Central

A média de uma variável, calculada a partir de uma amostra,

tenderá a ter distribuição normal quanto maior for o tamanho

amostral, não importa a distribuição original da variável. Isso é

consequência do teorema central do limite.

  2 2 2 2 1 ) (        x e x f

Amostra

População estatística

𝜇 = ?

𝜎 = ?

𝑋 = 𝑖=1 𝑛 _𝑋 𝑖 𝑛 Inferência Amostragem Parâmetros populacionais 𝑠 = 𝑖=1 𝑛 _𝑋 𝑖 − 𝑋 2 𝑛 − 1 n = 5

Amostra

População estatística

𝜇 =?

𝜎 =?

𝑋 = 45,93 𝑠 = 65,74 n = 5 Amostragem 𝑋 =? 𝑠 =? 𝑋 =? 𝑠 =? 𝑋 =? 𝑠 =? 𝑋 =? 𝑠 =? 𝑋 =? 𝑠 =?

Existem MUITAS outras amostras possíveis

População estatística

𝜇 =?

𝜎 =?

𝑋 = 45,93 𝑠 = 65,74 n = 5 𝑋 =? 𝑠 =? 𝑋 =? 𝑠 =? 𝑋 =? 𝑠 =? 𝑋 =? 𝑠 =? 𝑋 =? 𝑠 =? A b e rt u ra d o b ico Densidade 5 10 15 20 25 30 35 0 50000 100000 150000 P OP UL A ÇÃ O d e m ed ias a m o stra is Histogramas de TODAS as médias amostrais passíveis de obtermos em um experimento

Distribuição das médias amostrais Abertura do bico De nsi da de 5 10 15 20 25 30 35 0 50000 100000 150000

POPULAÇÃO de medias amostrais

O TLC garante que a distribuição de médias amostrais tenderá a

uma distribuição normal à medida que o tamanho amostral n

Distribuição das médias amostrais

Se as variáveis originais tiverem média = µ e desvio padrão = σ

então....

𝜇

= 𝜇

POPULAÇÃO de medias amostrais

𝜎

=

𝜎

𝑛

0 10 20 30 40 0 .0 0 0 .0 2 0 .0 4 0 .0 6 0 .0 8

Distribuição das MÉDIAS AMOSTRAIS

Distribuição das médias amostrais

𝜇

_𝑥

= 𝜇

Erro padrão da média: o

desvio padrão das médias

amostrais

Média das médias amostrais

n

x



20





_x



Distribuição das MÉDIAS AMOSTRAIS

Distribuição das médias amostrais

𝜇

_𝑥

= 𝜇

Erro padrão da média: o

desvio padrão das médias

amostrais

Erro padrão da média: é o

desvio padrão das médias

amostrais

Distribuição das MÉDIAS AMOSTRAIS

Distribuição das médias amostrais

Estima a média da população

𝜇

_𝑥

= 𝜇

50



Erro padrão da média: é o

desvio padrão das médias

amostrais

Distribuição das MÉDIAS AMOSTRAIS

Distribuição das médias amostrais

Estima a média da população

𝜇

_𝑥

= 𝜇

5



Para um tamanho amostral

SUFICIENTEMENTE

GRANDE

, o TCL nos garante que a distribuição das

médias amostrais provém de uma distribuição

normal, MESMO que a distribuição das variáveis

originais não seja normal.

Aplicação da distribuição Normal e do TLC

Suponha que o comprimento de Robalos no estuário do Rio Itanhaém tenha

uma distribuição normal 𝒩 40.8,13.4 , ou seja, média 𝜇 = 40,8 𝑐𝑚 e

desvio padrão 𝜎 = 13,4 𝑐𝑚

Qual a probabilidade de capturar

um Robalo de 133 cm? 𝑥 = 133 𝑐𝑚 𝑧 = 𝑥 − 𝜇 𝜎 = 133 − 40,8 13,4 𝑧 = 92,2 13,4 = 6,93

Aplicação da distribuição Normal e do TLC

Qual a probabilidade de capturar

um Robalo de 133 cm? 𝑥 = 133 𝑐𝑚 𝑧 = 𝑥 − 𝜇 𝜎 = 133 − 40,8 13,4 𝑧 = 92,2 13,4 = 6,88

O valor máximo da tabela é z = 3.99!!!

𝑷(𝒙 ≥ 𝟏𝟑𝟑) = 𝑷(𝒛 ≥ 𝟔, 𝟖𝟖)

Suponha que o comprimento de Robalos no estuário do Rio Itanhaém tenha

uma distribuição normal 𝒩 40.8,13.4 , ou seja, média 𝜇 = 40,8 𝑐𝑚 e

desvio padrão 𝜎 = 13,4 𝑐𝑚

Aplicação da distribuição Normal e do TLC

Qual a probabilidade de capturar

um Robalo de 133 cm? 𝑥 = 133 𝑐𝑚 𝑧 = 𝑥 − 𝜇 𝜎 = 133 − 40,8 13,4

O valor máximo da tabela é z = 3.99!!!

Suponha que o comprimento de Robalos no estuário do Rio Itanhaém tenha

uma distribuição normal 𝒩 40.8,13.4 , ou seja, média 𝜇 = 40,8 𝑐𝑚 e

desvio padrão 𝜎 = 13,4 𝑐𝑚 Pescar um Robalo de 133 cm é ALTAMENTE IMPROVÁVEL? 𝑷 𝒙 ≥ 𝟏𝟑𝟑 = 𝟑, 𝟎𝟒 × 𝟏𝟎−𝟏𝟐 𝑧 = 92,2 13,4 = 6,88 𝑷(𝒙 ≥ 𝟏𝟑𝟑) = 𝑷(𝒛 ≥ 𝟔, 𝟖𝟖) 𝑷 𝒙 ≥ 𝟏𝟑𝟑 = 𝟐, 𝟗𝟖 × 𝟏𝟎−𝟏𝟐

Aplicação da distribuição Normal e do TLC

Aplicação da distribuição Normal e do TLC

Qual a probabilidade de encontrar um Robalo igual ou maior que 50 cm, dada uma distribuição do comprimento 𝒩 40.8,13.4 ?

𝑥 = 50 𝑐𝑚 𝑧 = 𝑥 − 𝜇 𝜎 = 9,2 13,4 𝑧 = 9,2 13,4 = 0,68

Aplicação da distribuição Normal e do TLC

Qual a probabilidade de encontrar um Robalo igual ou maior que 50 cm, dada uma distribuição do comprimento 𝒩 40.8,13.4 ?

Aplicação da distribuição Normal e do TLC

Qual a probabilidade de encontrar um Robalo igual ou maior que 50 cm, dada uma distribuição do comprimento 𝒩 40.8,13.4 ?

𝑥 = 50 𝑐𝑚 𝑧 = 𝑥 − 𝜇 𝜎 = 9,2 13,4 𝑧 = 9,2 13,4 = 0,68 𝑷 𝒙 ≥ 𝟓𝟎 = 𝟏 − 𝟎, 𝟕𝟓𝟏𝟕 = 𝟎, 𝟐𝟒𝟖𝟑 𝑷 𝒙 ≥ 𝟔𝟎 =? 𝑷 𝒙 < 𝟑𝟎 =? 𝑷 𝟑𝟎 < 𝒙 < 𝟓𝟎 =?

http://www.agricultura.sp.gov.br/quem-somos/apta-pesquisa

Aplicação da distribuição Normal e do TLC

Suponha que o comprimento de Robalos no estuário do Rio Itanhaém tenha

uma distribuição normal 𝒩 40.8,13.4 , ou seja, média 𝜇 = 40,8 𝑐𝑚 e

desvio padrão 𝜎 = 13,4 𝑐𝑚

Qual a probabilidade de capturar 5 Robalos e obter um comprimento

médio maior ou igual a 50 cm?

𝑧 = _𝜎 𝑥 − 𝜇 𝑛 = 50 − 40,8 13,4 5 𝑧 = 9,2 5,99 = 1,53 𝑥 = 50 𝑐𝑚 𝑷 𝒙 ≥ 𝟓𝟎 =? 𝑛 = 5

Aplicação da distribuição Normal e do TLC

Suponha que o comprimento de Robalos no estuário do Rio Itanhaém tenha

uma distribuição normal 𝒩 40.8,13.4 , ou seja, média 𝜇 = 40,8 𝑐𝑚 e

desvio padrão 𝜎 = 13,4 𝑐𝑚

Qual a probabilidade de capturar 5 Robalos e obter um comprimento

médio maior ou igual a 50 cm?

𝑥 = 50 𝑐𝑚 𝑷 𝒙 ≥ 𝟓𝟎 =? 𝑛 = 5 𝑷 𝒙 ≥ 𝟓𝟎 = 𝟏 − 𝟎, 𝟗𝟑𝟕𝟎 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟑 𝑧 = _𝜎 𝑥 − 𝜇 𝑛 = 50 − 40,8 13,4 5 𝑧 = 9,2 5,99 = 1,53

http://www.agricultura.sp.gov.br/quem-somos/apta-pesquisa

Aplicação da distribuição Normal e do TLC

Suponha que o comprimento de Robalos no estuário do Rio Itanhaém tenha

uma distribuição normal 𝒩 40.8,13.4 , ou seja, média 𝜇 = 40,8 𝑐𝑚 e

desvio padrão 𝜎 = 13,4 𝑐𝑚

Qual a probabilidade de capturar 10

Robalos e obter um comprimento médio maior ou igual a 50 cm?

𝑧 = _𝜎 𝑥 − 𝜇 𝑛 = 50 − 40,8 13,4 10 𝑧 = 9,2 4,24 = 2,17 𝑥 = 50 𝑐𝑚 𝑷 𝒙 ≥ 𝟓𝟎 =? 𝑛 = 10 𝑷 𝒙 ≥ 𝟓𝟎 = 𝟏 − 𝟎, 𝟗𝟖𝟓𝟎 ≈ 𝟎, 𝟎𝟏𝟓

Intervalo de confiança

• Suponha que não saibamos o comprimento médio populacional de

Robalos, somente seu desvio padrão 𝜎 = 13,4 𝑐𝑚;

• Capturamos uma amostra de 5 Robalos com os seguintes comprimentos: 𝑥 = {56.90; 42.60; 38.27; 19.21; 59.52} , obtendo uma média amostral de 𝑥 = 43.3 𝑐𝑚.

O que podemos dizer a respeito da média populacional µ?

Amostra

P

opul

aç

ão e

stat

ísti

ca

𝜇 = ?

𝑋 = 𝑖=1 𝑛 _𝑋 𝑖 𝑛 Inferência Amostragem

Intervalo de confiança

De acordo com o TLC a distribuição de médias amostrais segue uma distribuição Normal de probabilidade

-4 -2 0 2 4 0 .0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 Z F un çã o N orma l d e pro ba bi lid ad e 𝜇

-4 -2 0 2 4 0 .0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 Z F un çã o N orma l d e Pro ba bi lid ad e Intervalo de confiança 1 − 𝛼 = 0.95 𝑃 𝑥 − 𝑧_𝛼𝜎_𝑥 < 𝜇 < 𝑥 + 𝑧_𝛼𝜎_𝑥 = 1 − 𝛼 𝛼 2 = 0.025 𝛼 2 = 0.025

De acordo com o TLC a distribuição de médias amostrais segue uma distribuição Normal de probabilidade

𝛼 = 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑒𝑧𝑎 𝑒𝑥. 0.05 𝑧_𝛼 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑧 𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎

𝜇

𝐼𝐶 = 𝑥 ± 𝑧

𝜎

Intervalo de confiança a 95%

• Suponha que não saibamos o comprimento médio populacional de

Robalos, somente seu desvio padrão 𝜎 = 13,4 𝑐𝑚;

• Capturamos uma amostra de 5 Robalos com os seguintes comprimentos: 𝑥 = {56.90; 42.60; 38.27; 19.21; 59.52} , obtendo uma média amostral de 𝑥 = 43.3 𝑐𝑚.

O que podemos dizer a respeito da média populacional µ?

P

opul

aç

ão e

stat

ísti

ca

𝜇 = ?

𝐼𝐶_{𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟} = 𝑥 − 𝑧_𝛼𝜎_𝑥 𝐼𝐶𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 43.3 − 1.96 ×13.4 _{5 = 31.55} 𝐼𝐶_{𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟} = 𝑥 − 𝑧_𝛼𝜎_𝑥 𝐼𝐶_{𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟} = 43.3 + 1.96 ×13.4 _{5 = 55.05} 𝑋 = 43,3 𝐼𝐶_𝑚á𝑥95% = 55,05 𝐼𝐶_𝑚𝑖𝑛95% = 31,55

Intervalo de confiança a 95%

• Suponha que não saibamos o comprimento médio populacional de

Robalos, somente seu desvio padrão 𝜎 = 13,4 𝑐𝑚;

• Capturamos uma amostra de 5 Robalos com os seguintes comprimentos: 𝑥 = {56.90; 42.60; 38.27; 19.21; 59.52} , obtendo uma média amostral de 𝑥 = 43.3 𝑐𝑚.

O que podemos dizer a respeito da média populacional µ?

𝑋 = 43,3 𝐼𝐶_𝑚á𝑥95% = 55,05 𝐼𝐶_𝑚𝑖𝑛95% = 31,55

Inferência Estatística

Interpretação do intervalo de confiança

Existe uma probabilidade de 95% de que o intervalo entre 31.55 e 55.05 cm contenha o valor da média populacional

Intervalo de confiança

• Suponha que não saibamos o comprimento médio populacional de

Robalos, somente seu desvio padrão 𝜎 = 13,4 𝑐𝑚;

• Capturamos uma amostra de 5 Robalos com os seguintes comprimentos: 𝑥 = {56.90; 42.60; 38.27; 19.21; 59.52} , obtendo uma média amostral de 𝑥 = 43.3 𝑐𝑚.

O que podemos dizer a respeito da média populacional µ?

Calcule agora intervalos de confiança a 90%, 80%, 70%, 60% e 50% Quais as consequências de mudarmos os limites de confiança?

Bases para a fórmula do intervalo de confiança. Seja: 𝛼 = 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑒𝑧𝑎 𝑒𝑥. 0.05 𝑧_𝛼 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑧 𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎

𝐼𝐶 = 𝑥 ± 𝑧

_𝛼

𝜎

_𝑥

𝑃

𝑥 − 𝜇

𝜎

< 𝑧

= 1 − 𝛼

𝑃

𝑥 − 𝜇 < 𝑧

× 𝜎

= 1 − 𝛼

𝑃 −𝑧

× 𝜎

< 𝑥 − 𝜇 < 𝑧

× 𝜎

= 1 − 𝛼

𝑃 − 𝑥 − 𝑧

× 𝜎

< −𝜇 < − 𝑥 + 𝑧

× 𝜎

= 1 − 𝛼

𝑃 𝑥 − 𝑧

× 𝜎

< 𝜇 < 𝑥 + 𝑧

× 𝜎

= 1 − 𝛼

• Triola, M. F. 2011. Introdução à estatística. 10ª Ed. Rio de Janeiro: LTC.

Capítulo 6 – Distribuição de probabilidade Normal (págs. 202 – 263).

Capítulo 7 – Estimativas e tamanhos amostrais (págs. 264 – 313).

• Gotelli, N. J. & Ellison, A. M. 2011. Princípios de estatística em Ecologia.

Porto Alegre: Artimed.

Capítulo 2 – Variáveis aleatórias e distribuições de probabilidades

(págs. 45 – 74).

Capítulo 3 – Estatísticas descritivas: medidas de posição e dispersão

(págs. 75 – 96).

• Morettin, L. G. 2010. Estatística básica: probabilidade e inferência –

volume único. São Paulo: Pearson Prentice Hall.

Capítulo 6 – Aplicações da distribuição normal (págs. 161 – 179).

Capítulo 9 – Distribuição amostral dos estimadores (págs. 206 – 218).

Capítulo 10 – Estimação (págs. 219 – 224).

Capítulo 11 – Intervalos de confiança para médias e proporções

(págs. 225 – 239).