Calc 3, Lista 2

(1)

Quest˜ao 1: Resolva as seguintes integrais de linha. (a) ˆ C y ds, x = t2, y = t 0 ≤ t ≤ 2; (b) ˆ C

xy4ds, C ´e a metade direita do c´ırculo x2_{+ y}2 _{= 16;}

(c) ˆ

C

[xy + ln(x)]dy, C ´e o arco da par´abola y = x2 de (1, 1) a (3, 9); (d)

ˆ

C

xeydx, C ´e o arco de curva x = ey _{de (1, 0) a (e, 1);}

(e) ˆ

C

xydx + (x − y)dy, C consiste nos segmentos de reta de (0, 0) a (2, 0) e de (2, 0) a (3, 1); (f) ˆ C x2y√z dz, x = t3, y = t, z = t2, 0 ≤ t ≤ 1; (g) ˆ C

(x + yz)dx + 2xdy + xyzdz, C consiste nos segmentos de reta de (1, 0, 1) a (2, 3, 1) e de (2, 3, 1) a (2, 5, 2). (h) ˆ ~ F · ~dr, ~F (x, y) = x2y3ˆi − y√xˆj, ~r(t) = t2ˆi − t3ˆj, 0 ≤ t ≤ 1; (i) ˆ ~

F · ~dr, ~F (x, y, z) = yzˆi + xzˆj + xyˆk, ~r(t) = tˆi + t2ˆj + t3ˆk, 0 ≤ t ≤ 2; (j)

ˆ ~

F · ~dr, ~F (x, y, z) = sen(x)ˆi+ cos(y)ˆj + xzˆk, ~r(t) = t3ˆi− t2ˆj + tˆk, 0 ≤ t ≤ 1;

(k) ˆ

~

F · ~dr, ~F (x, y, z) = zî + yˆj − xˆk, ~r(t) = tî + sen(t)ˆj + cos(t)ˆk, 0 ≤ t ≤ π. Questão 2: Determine a massa e o centro de massa de um arame fino no formato de um quarto de c´ırculo x2 _{+ y}2 _{= r}2_{, x ≥ 0, y ≥ 0, se a fun¸c˜}_{ao densidade for}

ρ(x, y) = x + y

Questão 3: Determine a massa e o centro de massa de um arame com formato de hélice x = t, y = cos(t), z = sen(t), 0 ≤ t ≤ 2π, se a densidade em qualquer ponto for igual ao quadrado da distância do ponto à origem.

(2)

Questão 4: Determine o trabalho realizado peo campo de for¸ca ~F (x, y) = xî+(y+2)ˆj para movimentar um objeto sobre um arco da ciclóide ~r(t) = (t − sen(t))î + (1 − cos(t))ˆj, onde 0 ≤ t ≤ 2π.

Questão 5: Um homem pesando 160 lb carrega uma lata de pintura de 25 lb por uma escada helicoidal em torno de um silo de raio de 20 pés. Se o silo tem 90 pés de altura e o homem dá três voltas completas em torno do silo, quanto trabalho é feito pelo homem contra a gravidade para chegar ao topo.

Questão 6: Mostre que um campo de for¸ca constante realiza um trabalho nulo sobre uma part´ıcula que dá uma única volta completa uniformemente na circunferência x2_{+ y}2 _{= 1. Isso tamb´}_{em ´}_{e verdadeiro para o campo de for¸ca ~}_{F (~}_{r) = k~}_{r, onde k ´}_e

uma constante e ~r = (x, y)?

Questão 7: Determine se ~F é ou não um campo conservativo. Se for, determine uma fun¸cão f tal que ~F = ∇f .

(a) ~F (x, y) = (6x + 5y)ˆi + (5x + 4y)ˆj; (b) ~F (x, y) = xeyˆi + yexˆj;

(c) ~F (x, y) = (2x cos(y) − y cos(x))ˆi + (−x2sen(y) − sen(x))ˆj; (d) ~F (x, y) = (1 + 2xy + ln(x))ˆi + x2ˆj;

(e) ~F (x, y) = (yex+ sen(y))ˆi + (ex+ x cos(y))ˆj;

(f) ~F (x, y) = (xy cosh(xy) + senh(xy))ˆi + (x2cosh(xy))ˆj.

Quest˜ao 8: Determine uma fun¸c˜ao f tal que ~F = ∇f e use isso para calcular ´

CF · ~~ dr.

(a) ~F (x, y) = x3y4ˆi + x4y3ˆj, C : ~r(t) =√tˆi + (1 + t3)ˆj, 0 ≤ t ≤ 1; (b) ~F (x, y) = y

2

1 + x2ˆi + 2y −1

tg(x)ˆj, C : ~r(t) = t2ˆi + 2tˆj, 0 ≤ t ≤ 1;

(c) ~F (x, y, z) = yzˆi+ xzˆj + (xy + 2z)ˆk, onde C ´e o segmento de reta de (1, 0, −2) a (4, 6, 3);

(d) ~F (x, y, z) = y2cos(z)ˆi + 2xy cos(z)ˆj − xy2sen(z)ˆk, C : ~r(t) = t2ˆi + sen(t)ˆj + tˆk, 0 ≤ t ≤ π;

(3)

Parte II - Teorema de Green

Quest˜ao 9: Utilize o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais: (a)

˛

C

ydx − xdy, C ´e o c´ırculo com centro na origem e raio 1; (b)

˛

C

xydx + x2y3dy, C é o triângulo com vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 2); (c)

˛

C

xdx + ydy, C consiste nos segmentos de reta de (0, 1) a (0, 0) e de (0, 0) a (1, 0) e na par´abola y = 1 − x2 de (1, 0) a (0, 1); (d) ˆ C (y + e √ x

)dx + (2x + cos(y2))dy, C é a fronteira da região limitada pelas parábolas y = x2 _{e x = y}2 _{com orienta¸c˜}_{ao positiva;}

(e) ˆ

C

xe−2xdx + (x4+ 2x2y2)dy, C é a fronteira da região entre as circunferências x2_{+ y}2 _{= 1 e x}2_{+ y}2 _{= 4 com orienta¸c˜}_{ao positiva;}

(f) ˆ

C

sen(y)dx+x cos(y)dy, C ´e a elipse x2+xy +y2 = 1 com orienta¸c˜ao positiva;

(g) ˆ

C

~

F · ~dr, ~F (x, y) = (√x+y3_{, x}2₊√_{y) e C consiste no arco de curva y = sen(y)}

de (0, 0) a (π, 0) e do segmento de reta de (π, 0) a (0, 0); (h) ˆ C ~ F · ~dr, ~F (x, y) = (ex+ x2y, ey − xy2_{) e C ´}_{e a circunferˆ}_{encia x}2_{+ y}2 _{= 25}

orientada no sentido hor´ario; (i)

ˆ

C

~

F · ~dr, ~F (x, y) = (y − ln(x2 + y2), 2 tg−1(y/x)) e C é a circunferência (x − 2)2+ (y − 3)2 = 1 orientada no sentido anti-horário.

Quest˜ao 10: Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela for¸ca ~

F (x, y) = x(x + y)ˆi + xy2_ˆ_{j ao mover uma part´ıcula da origem ao longo do eixo x}

até (1, 0), em seguida ao longo de um segmento de reta até (0, 1), e então de volta à origem ao longo do eixo y.

Questão 11: Use o Teorema de Green para achar a área sob um arco da ciclóide x = t − sen(t), y = 1 − cos(t).

(4)

Quest˜ao 12:

(a) Se C ´e o segmento da reta ligando o ponto (x1, y1) ao ponto (x2, y2), mostre

que _ˆ

C

xdy − ydx = x1y2− x2y1

(b) Se os vértices de um pol´ıgono, na ordem anti-horária, são (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn),

mostre que a ´area do pol´ıgono ´e

A = (x1y2− x2y1) + (x2y3− x3y2) + ... + (xn−1yn− xnyn−1) + (xny1 − x1yn) 2

(c) Determine a área do pentágono com vértices (0,0), (2,1), (1,3), (0,2) e (-1,1). Questão 13: Determine o rotacional e o divergente dos seguintes campos:

(a) ~F (x, y, z) = xyzˆi − x2yˆk;

(b) ~F (x, y, z) = x2yzˆi + xy2zˆj + xyz2ˆk; (c) ~F (x, y, z) = ˆi + (x + yz)ˆj + (xy −√z)ˆk; (d) ~F (x, y, z) = cos(xz)ˆj − sen(xy)ˆk;

(e) ~F (x, y, z) = ezsen(y)ˆi + excos(y)ˆj + zˆk; (f) ~F (x, y, z) = x x2_{+ y}2_{+ z}2ˆi + y x2_{+ y}2_{+ z}2ˆj + z x2 _{+ y}2_{+ z}2ˆk; (g) ~F (x, y, z) = (ln(x), ln(xy), ln(xyz)); (h) ~F (x, y, z) = (xe−y, xz, zey).

Questão 14: Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se conservativo, determine uma fun¸cão f tal que ~F = ∇f :

(a) ~F (x, y, z) = yzˆi + xzˆj + xyˆk; (b) ~F (x, y, z) = 3z2ˆi + cos(y)ˆj + 2xzˆk;

(c) ~F (x, y, z) = 2xyˆi + (x2+ 2yz)ˆj + y2ˆk; (d) ~F (x, y, z) = ezˆi + ˆj + xezˆk;

(e) ~F (x, y, z) = ye−xˆi + e−xˆj + 2zˆk;

(5)

Quest˜ao 15: Seja f um campo escalar e ~F (x, y, z) e ~G(x, y, z) campos vetorias. Supondo que as derivadas parciais pertinentes a cada alternativa existam e sejam cont´ınuas, prove as seguintes identidades:

(a) ∇ · ( ~F + ~G) = ∇ · ~F + ∇ · ~G; (b) ∇ × ( ~F + ~G) = ∇ × ~F + ∇ × ~G; (c) ∇ · (f ~F ) = f ∇ · ~F + ~F · ∇f ; (d) ∇ × (f ~F ) = f ∇ × ~F + (∇f ) × ~F ; (e) ∇ · ( ~F × ~G) = G · (∇ × ~F ) − ~F · (∇ × ~G); (f) ∇ · (∇f × ∇g) = 0; (g) ∇ × (∇ × ~F ) = ∇(∇ · ~F ) − ∇2F .~

Quest˜ao 16: Seja ~r = xˆi + yˆj + zˆk e |~r| = r. Verifique as seguintes identidades: (a) ∇ · r = 3; (b) ∇ · (r~r) = 4r; (c) ∇2r3 = 12r; (d) ∇r = ~r/r; (e) ∇ × ~r = 0; (f) ∇(1/r) = −~r/r3; (g) ∇ ln(r) = ~r/r2.

Quest˜ao 17: Seja ~F = Pˆi + Qˆj. Demonstre que (a) ˛ C ~ F · ~dr = ¨ D (∇ × ~F ) · ˆk dA; (b) ˛ C ~ F · ~n ds = ¨ D

(6)

Parte III - Parametriza¸

c˜

ao e Integrais de Superf´ıcie

Questão 18: Identifique a superf´ıcie com equa¸cão vetorial dada: (a) ~r(u, v) = u cos(v)î + u sen(u)ˆj + u2k;ˆ

(b) ~r(u, v) = (1 + 2u)ˆi + (−u + 3v)ˆj + (2 + 4u + 5v)ˆk; (c) ~r(x, θ) = xˆi + cos(θ)ˆj + sen(θ)ˆk;

(d) ~r(u, v) = (x, x cos θ, x sen θ).

Questão 19: Determine uma representa¸cão paramétrica para a superf´ıcie:

(a) O plano que passa pelo ponto (1, 2, −3) e cont´em os vetores (1, 1, −1) e (1, −1, 1);

(b) A metade inferior do plano 2x2_{+ 4y}2_{+ z}2 _{= 1;}

(c) A parte do hiperbol´oide x2+ y2− z2 _{= 1 que est´}_{a a direita do plano xz;}

(d) A parte do parabol´oide el´ıptico x + y2+ 2z2 = 4 que est´a em frente ao plano x = 0;

(e) A parte da esfera x2_{+ y}2_{+ z}2 _{= 4 que est´}_{a acima do cone z =} _px2_{+ y}2_;

(f) A parte da esfera x2_{+ y}2_{+ z}2 _{= 16 que est´}_{a entre os planos z = −2 e z = 2;}

(g) A parte do cilindro y2 + z2 = 16 que est´a entre os planos x = 0 e x = 5; (h) A parte do plano z = x + 3 que est´a dentro do cilindro x2_{+ y}2 _{= 1.}

Questão 20: Determine uma representa¸cão paramétrica para a superf´ıcie:

(a) O plano que passa pelo ponto (1, 2, −3) e cont´em os vetores (1, 1, −1) e (1, −1, 1);

(b) A metade inferior do plano 2x2_{+ 4y}2_{+ z}2 _{= 1;}

(c) A parte do hiperbol´oide x2_{+ y}2_{− z}2 _{= 1 que est´}_{a a direita do plano xz;}

(d) A parte do parabol´oide el´ıptico x + y2_{+ 2z}2 _{= 4 que est´}_{a em frente ao plano}

x = 0;

(e) A parte da esfera x2+ y2+ z2 = 4 que est´a acima do cone z = px2_{+ y}2_;

(f) A parte da esfera x2_{+ y}2_{+ z}2 _{= 16 que est´}_{a entre os planos z = −2 e z = 2;}

(g) A parte do cilindro y2 _{+ z}2 _{= 16 que est´}_{a entre os planos x = 0 e x = 5;}

(h) A parte do plano z = x + 3 que est´a dentro do cilindro x2+ y2 = 1.

Questão 21: Determine uma equa¸cão do plano tangente à superf´ıcie paramétrica dada no ponto especificado:

(7)

(a) x = u + v, y = 3u , z = u − v; P (2, 3, 0); (b) x = u2, y = v2, z = uv; u = 1, v = 1

(c) ~r(u, v) = u2î + 2u sen(v)ˆj + u cos(v)ˆk; u = 1, v = 0; (d) ~r(u, v) = uvî + u sen(v)ˆj + v cos(u)ˆk; u = 0, v = π. Questão 22: Determine a área da superf´ıcie:

(a) A parte do plano ~r(u, v) = (1 + v, u − 2v, 3 − 5u + v) que ´e dada por 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1;

(b) A parte da superf´ıcie z = 1+3x+2y2 _{que est´}_{a acima do triˆ}_{angulo com v´}_ertices

(0, 0), (0, 1) e (2, 1);

(c) A parte do parabol´oide hiperb´olico z = y2 − x2 _{que est´}_{a entre os cilindros}

x2+ y2 = 1 e x2+ y2 = 4;

(d) A parte do parabol´oide x = y2_{+ z}2 _{que est´}_{a dentro do cilindro y}2_{+ z}2 _{= 9;}

(e) A parte da superf´ıcie y = 4x + z2 _{que est´}_{a entre os planos x = 0, x = 1, z = 0,}

z = 1;

(f) A parte do cilindro x2+ z2 = a2 que est´a dentro do cilindro x2+ y2 = a2; (g) A parte da esfera x2_{+ y}2_{+ z}2 _{= a}2 _{que est´}_{a dentro do cilindro x}2_{+ y}2 _{= ax;}

(h) A helic´oide ~r(u, v) = (u cos(v), u sen(v), v), 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ π; (i) A superf´ıcie x = uv, y = u + v, z = u − v, u2_{+ v}2 _{≤ 1.}

Quest˜ao 23: Determine a ´area da superf´ıcie: (a)

¨

S

xy dS, onde S é a região triangular com vértices (1, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 2);

(b) ¨

S

yz dS, onde S ´e a parte do plano x + y + z = 1 que est´a no primeiro octante;

(c) ¨

S

y dS, onde S é parte do parabolóide y = x2+ z2 que está no interior do cilindro x2+ z2 = 4;

(d) ¨

S

xyz dS, onde S ´e a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 1 que est´a acima do cone z =px2_{+ y}2_;

(8)

(e) ¨

S

z dS, onde S ´e a superf´ıcie cujo lado S1 ´e dado pelo cilindro x2+ y2 = 1,

cujo fundo S2 ´e o disco x2+ y2 ≤ 1 no plano z = 0 e cujo topo S3 ´e a parte

do plano z = 1 + x que est´a acima de S2;

(f) ¨

S

yz dS, onde S ´e a superf´ıcie dada por x = u2, y = u sen(v), z = u cos(v), 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ π/2;

(g) ¨

S

p

1 + x2_{+ y}2 _{dS, onde S ´}_{e o helic´}_{oide ~}_{r(u, v) = u cos(v)ˆi+ u sen(v)ˆ}_{j + vˆ}_k,

0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ π.

Quest˜ao 24: Determine o fluxo de ~F (x, y, z) atrav´es de S:

(a) ~F = xyˆi + 4x2ˆj + yzˆk, onde S ´e a superf´ıcie z = xey_{, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1,}

com orienta¸c˜ao para cima;

(b) ~F = xzeyî− xzeyˆj + zˆk, onde S é a parte do plano x + y + z = 1 no primeiro octante, com orienta¸cão para baixo;

(c) ~F = xˆi + yˆj + z4ˆk, onde S ´e a parte do cone z = px2_{+ y}2 _{abaixo do plano}

z = 1 com orienta¸c˜ao para baixo;

(d) ~F = xzî+ xˆj + yˆk, onde S é o hemisfério x2+ y2+ z2 = 25, y ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 1, orientado na dire¸cão positiva do eixo y positivo;

(e) ~F = yˆj − zˆk, onde S ´e formado pelo paraboil´oide y = x2 _{+ z}2_{, 0 ≤ y ≤ 1, e}

pelo c´ırculo x2_{+ z}2 _{≤ 1, y = 1.}

Questão 25: Um fluido com densidade ρ = 1200kg/m3 flui com velocidade ~v = (y, 1, z), cuja unidade é dada em metro por segundo. Determine a taxa de vazão do flu´ıdo através do parabolóide z = 9 − (x2 + y2)/4, x2 + y2 ≤ 36, isto é, calcule a integral ˜ F · d ~~ S, onde ~F = ρ~v.

Quest˜ao 26: A lei de Gauss diz que a carga total dentro de uma superf´ıcie fechada ´ e dada por: Q = 0 ‹ S ~ E · d ~S

Use a lei de Gauss para encontrar a carga dentro dos seguintes sólidos: (a) O cubo com vértices Pi(±1, ±1, ±1), onde o campo é ~E = (x, y, z);

(9)

Parte IV - Teorema de Stokes e Teorema da Divergˆ

encia

Quest˜ao 27: Use o Teorema de Stokes para calcular ˜_S(∇ × ~F ) · d ~S:

(a) ~F (x, y, z) = x2eyzî + y2exzˆj + z2exyˆk, onde S é o hemisfério x2 _{+ y}2 _{+ z}2 ₌

4, z ≥ 0, com orienta¸c˜ao para cima;

(b) ~F (x, y, z) = x2y3zˆi+ sen(xyz)ˆj + xyzˆk, onde S ´e a parte do cone y2 _{= x}2_{+ z}2

que est´a entre os planos y = 0 e y = 3 e orientado na dire¸c˜ao positiva do eixo y;

(c) ~F (x, y, z) = xyzî + xyˆj + x2yzˆk, onde S é formada pelos 4 lados e pelo topo do cubo com vértices (±1, ±1, ±1), com orienta¸cão para fora;

(d) ~F (x, y, z) = exycos(z)î+ x2zˆj + xyˆk, onde S é o hemisfério x =p1 − y2_{− z}2

orientado na dire¸c˜ao positiva do eixo x.

Questão 28: Use o Teorema de Stokes para calcular ´_CF · d~~ r, onde C é orientado no sentido anti-horário quando visto de cima:

(a) ~F (x, y, z) = e−xˆi+ exˆj + ezk, onde C ´ˆ e a fronteira da parte do plano 2x + y + 2z = 2 no primeiro octante;

(b) ~F (x, y, z) = yzî+ 2xzˆj + exyˆk, onde C é a circunferência x2+ y2 = 16, z = 5; (c) ~F (x, y, z) = xî+ yˆj + (x2+ y2)ˆk, onde C é a fronteira da parte do parabolóide

z = 1 − x2_{− y}2 _{no primeiro octante.}

Quest˜ao 29: Use o Teorema da Divergˆencia para calcular a integral de superf´ıcie ˜

SF · d ~~ S:

(a) ~F (x, y, z) = exsen(y)ˆi + excos(y)ˆj + yz2ˆk, onde S ´e a superf´ıcie da caixa delimitada pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = 2;

(b) ~F (x, y, z) = 3xy2î + xezˆj + z3ˆk, onde S é a superf´ıcie do sólido limitado pelo cilindro y2_{+ z}2 _{= 1 e pelos planos x = −1 e x = 2;}

(c) ~F (x, y, z) = x3yî − x2y2ˆj − x2yzˆk, onde S é a superf´ıcie do sólido limitado pelo hiperbolóide x2_{+ y}2_{− z}2 _{= 1 no pelos planos z = −2 e z = 2;}

(d) ~F (x, y, z) = xy sen(z)î + cos(xz)ˆj + y cos(z)ˆk, onde S é o elipsóide (x/a)2₊

(y/b)2_{+ (z/c)}2 _{= 1;}

(e) ~F (x, y, z) = x2yˆi + xy2ˆj + 2xyzˆk, onde S ´e a superf´ıcie do tetraedro limitado pelos planos x no pelos planos z = −2 e z = 2;

(10)

(f) ~F (x, y, z) = (cos(z) + xy2)î + xe−zˆj + (sen(y) + x2z)ˆk, onde S é a superf´ıcie do parabolóide z = x2_{+ y}2 _{e pelo plano z = 4;}

(g) ~F (x, y, z) = 4x3zˆi4y3zˆj + 3z4ˆk, onde S ´e a esfera com centro na origem e raio R;

(h) ~F (x, y, z) = (x3+ y sen(z))î + (y3+ z sen(x))ˆj + 3zˆk, onde S é a superf´ıcie do sólido limitado pelos hemisférios z =p4 − x2_{− y}2_{, z =} p1 − x2_{− y}2 _{e pelo}

plano z = 0;

(i) ~F (x, y, z) = xyî + (y2 + exz2)ˆj + sen(xy)ˆk, onde S é a superf´ıcie do sólido limitado pelo cilindro parabólico z = 1 − x2 _{no pelos planos z = 0, y = 0 e}