Centro de Ciências Exatas e da Terra
Departamento de Física
Bacharelado em Física
Análise Wavelet em curvas de luz de binárias
eclipsantes da missão Kepler
Igor Hugo Barbosa Pinto
Natal, RN, Brasil 2018
Igor Hugo Barbosa Pinto
Análise Wavelet em curvas de luz de binárias
eclipsantes da missão Kepler
Monogra a de Graduação apresentada ao Curso de Bacharelado em Física do Depar-tamento de Física da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito par-cial para obtenção do grau de Bacharel em Física.
Curso: Bacharelado em Física
Orientador: Prof. Dr. José Renan de Me-deiros
Coorientador: MSc. Suzierly Roque de Lira Araújo
Natal, RN, Brasil 2018
Pinto, Igor Hugo Barbosa.
Análise wavelet em curvas de luz de binárias eclipsantes da missão Kepler / Igor Hugo Barbosa Pinto. - 2018.
50f.: il.
Monografia (graduação) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Departamento de Física Teórica e Experimental, Bacharelado em Física. Natal, 2018.
Orientador: José Renan de Medeiros.
Coorientadora: Suzierly Roque de Lira Araújo.
1. Física - Monografia. 2. Estrelas binárias - Monografia. 3. Transformada wavelet Monografia. 4. Variabilidade
-Monografia. I. Medeiros, José Renan de. II. Araújo, Suzierly Roque de Lira. III. Título.
RN/UF/CCET CDU 53
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Prof. Ronaldo Xavier de Arruda - CCET
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ciências Exatas e da Terra
Departamento de Física
Bacharelado em Física
A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova a Monogra a de
Graduação:
Análise Wavelet em curvas de luz de binárias
eclipsantes da missão Kepler
elaborada por
Igor Hugo Barbosa Pinto
Como requisito parcial para o obtenção do título deBACHAREL EM FÍSICA
COMISSÃO EXAMINADORA:
Prof. Dr. José Renan de Medeiros - Orientador, UFRN Prof. Dr. Izan Castro Leão, UFRN
MSc. Suzierly Roque de Lira Araújo, UFRN
Agradecimentos
Nada seria possível, nem mesmo o meu respirar, se Deus não estivesse no comando da minha vida. Agradeço a Ele por sempre ter sido um bom Pai, cuidando de mim em todas as circunstâncias da minha vida, me dando toda força e sabedoria para continuar lutando no que eu acredito.
Agradeço aos meus pais, por sempre estarem presentes nas minhas decisões e, quando foi preciso, terem se sacri cado para que eu simplesmente pudesse ir para faculdade e estudar. Vocês são os melhores pais do mundo, tive a melhor criação e não me arrependo de sempre compartilhar das minhas a ições e momentos de felicidades. Apesar da distância, sinto vocês no meu coração, torcendo para tudo sair nos conformes.
Agradeço ao meu grande amigo Yuri Messias, sempre ao meu lado, durante todo meu curso, nas iniciações cientí cas, nas discipinas, nas provas, nos estudos, nas agonias e, principalmente, na vida. Você foi o grande irmão que esse tempo me deu. Também, agradeço a Victor Santos, um outro irmão que Deus me deu, desde quando comecei o curso de Física, sempre me ajudando e compartilhando dos momentos chaves da minha vida. Se não fosse por você, por certo não conseguiria passar pelas disciplinas mais difíceis do curso, muitíssimo obrigado.
Muito obrigado ao meu orientador Prof José Renan de Medeiros, por ter me dado a oportunidade de estar junto ao grupo durante quase toda a minha graduação e por fazer ser possível a realização do meu sonho. Também, agradeço a minha co-orientadora Suzierly Roque de Lira Araújo, por tudo que ela fez por mim, pelas correções e pelo capricho que sempre teve ao lidar com minhas prolixidades, além de sempre dedicar tempo para me ensinar a técnica wavelet e sempre ser paciente e doce com esse meu processo de ensino. Muito obrigado, de coração.
Muito obrigado ao meu tão especial Ale Ayrton, por sempre ser a pessoa que pedi a Deus, pela fé depositada na minha capacidade, pelas palavras que, muito bem pensadas, me dizia, como forma de carinho. Muito obrigado pela paciência em certas horas, por entender.
res-do céu, de me fazer sentir parte res-do universo. Muito obrigares-do por tores-dos os momentos juntos, pela alegria que, naturalmente, sai de você, pelo amor que eu consigo sentir e pelo abraço, sempre muito forte e acolhedor, quando nos encontramos. Obrigado por deixar ser minha mamãe. Ademais, ao Planetário Barca dos Céus que, sem dúvidas, foi onde eu fundamentei a minha base em astronomia, com todas as vivências e aprendizados que de lá vieram, o clima de família - obrigado meu barquinho por me acolher como membro e compartilhar o desejo do ensino em astronomia.
Agradeço a todos os meus amigos que, diretamente ou indiretamente, me ajudaram na escrita e saúde mental. Vocês são fantásticos, não pediria amigos melhores.
And as You speak A hundred billion galaxies are born In the vapour of Your breath the planets form If the stars were made to worship so will I So Will I - Hillsong United
As estrelas binárias formam um ótimo laboratório da astronomia observacional para o estudo de variabilidade e evolução estelar. Este trabalho descreve o processo tomado para analisar sistemas binários da missão Kepler, KIC 8111622 e KIC 8197761, previamente reportados na literatura. Ambos os sistemas possuem variabilidade, além dos eclipses. O primeiro sistema apresenta rotação e atividade magnética, com período de rotação de P = 6, 41dias, e o segundo demonstra característica de uma pulsante do tipo γ Doradus, indicando pulsação de P = 0, 95 dias. Para essas binárias eclipsantes, foram realizados os diagramas de fase.
O procedimento wavelet tem se mostrado cada vez mais interessante no estudo da variabilidadede estelar, pois ele nos permite analisar dados com uma riqueza de detalhes e identi car comportamentos distintos para os diferentes fenômenos associados às estrelas. Através desse procedimento, foram calculados os mapas wavelet locais (entendido como sendo a distribuição de energia do sinal no decorrer do tempo) e os espectros globais (integração temporal do mapa local), com o intuito de analisar a variabilidade além dos eclipses e determinar periodicidades relacionadas à rotação e atividade magnética, como também à pulsação desses sistemas. A wavelet Morlet de 6a ordem foi aplicada para gerar
esses mapas, pois ela fornece uma ótima resolução em tempo e frequência. Palavras-chave: estrelas binárias, transformada wavelet, variabilidade.
Abstract
Binary stars form a great observational astronomy lab to the study of stellar variability and stellar evolution. This work describes the process taken to analyse binary systems from the Kepler Mission, KIC 8111622 e KIC 8197761, which have already been reported in literature. Both systems have variability besides the eclipses. The rst system presents rotation and magnetic activity, with a rotation period of P = 6, 41 days, the second one shows characteristics of a pulsating star of the type γ Doradus, indicating a pulsating period of P = 0, 95 days. For those eclipsing binaries, were made the phase diagrams.
The procedure wavelet has become increasingly interesting to the study of stellar va-riability, because it allows us to analyse data with such great details and identify distinct behaviour to the dierent phenomenons associated with the stars. Through this proce-dure, the local wavelet maps (understood as the energy distribution of the signal during the time) and the global spectra (temporal integration of the local map) were computed, in order to analyse the variability besides the eclipses and to determinate periodicities related with rotation and magnetic activity, as well as pulsation of these systems. The Morlet wavelet of 6th order was used to generate those maps, since this order provides a high resolution in time and frequency.
1 Introdução 10
1.1 Atividade Magnética Solar . . . 13
1.2 Motivação e Objetivos . . . 15
2 Estrelas Binárias e suas classi cações 17 2.1 Binárias Visuais . . . 17
2.2 Binárias Astrométricas . . . 18
2.3 Binárias Espectroscópicas . . . 18
2.4 Binárias Eclipsantes . . . 20
2.4.1 Superfícies equipotenciais . . . 20
2.4.2 Moforlogia das Estrelas Binárias Eclipsantes . . . 24
2.4.2.1 Binárias de não-contato . . . 24
2.4.2.2 Binárias de semi-contato . . . 25
2.4.2.3 Binárias de contato . . . 26
3 Transformada wavelet 27 3.1 Transformada de Fourier . . . 27
3.2 Transformada por janelas de Fourier . . . 30
3.3 Transformada Wavelet . . . 31
3.3.1 Transformada wavelet contínua . . . 31
3.3.1.1 Wavelet Morlet . . . 33
3.3.1.2 Wavelet Paul . . . 33
3.3.1.3 DOGs . . . 34
3.3.2 Espectro de frequência wavelet . . . 34
4 Discussão e Resultados 37 4.1 Dados observacionais e pré-tratamento . . . 37
4.2 Sistema binário com modulação rotacional e atividade magnética: KIC 8111622 . . . 40
5 Conclusões e perspectivas 45
1
Introdução
O fascínio sobre as coisas do céu é uma prática muito antiga. Entender o que está ao nosso redor e do que as coisas são feitas, ou até mesmo o porquê delas, são questões fundamentais que perseguem a humanidade há muito tempo. Na época pré-socrática, por exemplo, Demócrito de Abdera (460 - 370 a.C.) buscava o elemento que deveria estar presente em todos os momentos da existência de todas as coisas, ou seja, a essência do mundo, denominada de arché. Para ele, a natureza era composta por in nitas partículas que não podiam se dividir, chamadas de átomos.
Figura 1: O Livro dos Mortos de Nesitanebetashru, Green eld Papyrus, ca. 1025 BC. Retrata a deusa do céu Nut. Representaçãoo do universo como sendo a parte de dentro de uma grande doma. Crédito: http://www.booktryst.com
Outro exemplo: a civilização do Egito Antigo costumava olhar para o céu, baseado em suas observações, desenvolveu um modelo de universo de Terra Plana, a qual era coberta por uma doma sólida [1, p. 5]. Além disso, eles se baseavam nas estrelas como referência para o plantio no Rio Nilo. Em suma, é possível a rmar que sempre estamos buscando relacionar uma causa a uma consequência, além de sempre procurar as razões de alguns fenômenos ocorrerem.
11
As estrelas que podemos observar no céu noturno pode ser encaradas como um desses fenômenos, apresentando-se com brilho constante ao longo do tempo. Contudo, algumas delas apresentam variabilidade, tanto por causa de expansão e contração das camadas super ciais ou, então, por serem, na realidade, sistemas binários eclipsantes, caracteri-zados por terem duas estrelas ligadas gravitacionalmente, tendo o plano orbital próximo da linha de visada de um observador na Terra; dessa forma, uma estrela eclipsa a outra. William Herschel - astrônomo do século XVIII, famoso por descobrir a radiação infra-vermelha - em 1803 foi o primeiro cientísta a estabelecer tal signi cado, que na verdade as estrelas duplas poderiam estar ligadas gravitacionalmente. Esse tipo de sistema será nosso objeto de estudo, por ser relativamente fácil de reconhecer, bastando a curva de luz fotométrica, que mostra a distribuição de brilho ao longo do tempo. Como podemos observar na Figura 2, a curva de luz mostra a mudança de brilho das variáveis pulsantes RR Lyrae e Cefeida, uma com período, em dias, maior do que a outra, quando se trata da variabilidade do brilho. Ao estudar esse tipo de binária, podemos analisar a rotação, pulsação e atividade magnética.
Figura 2: Curvas de luz para (a) variável RR Lyrae, (b) Cefeida (Chaisson & McMillan, Astronomy, g. 14.4, p. 396) [4]
Um dos agumentos que explicaria o fenômeno da variabilidade da luminosidade em estrelas é a expansão e contração das camadas super ciais. Essas estrelas são chamadas de variáveis pulsantes. Como o próprio nome nos leva a crer, essa estrela tem uma lu-minosidade que varia ao longo do tempo, em uma escala menor que 100 anos, decorrente da expansão e contração de suas camadas super ciais. Isso porque durante a sequência principal, as estrelas variam em uma taxa muito pequena sua luminosidade; mas, quando evoluem para estágios mais avançados, elas passam por fases que seu brilho varia enorme-mente com o tempo. Com a contração e expansão da camada super cial da estrela, em uma tentativa de encontrar o equilíbrio entre a forma gravitacional e a pressão, podemos aproximar esse processo à ideia de um oscilador harmônico. Sendo assim, tem-se um pico
maior de brilho quando a pressão vence a gravidade; do contrário, quando tem-se um pico menor de brilho, a gravidade conseguiu vencer a pressão. As variáveis pulsantes podem ser encontradas em diferentes grupos, alguns exemplos são: as Cefeidas (Delta Cephei ou W Virginis), as Delta Scuti, as RR Lyrae(grá co (a) da Figura 2), as RV Tauri, Cefeidas (grá co (b) da Figura 2) semi-regulares e Gamma Doradus (γ Dor). As estrelas variáveis subdividem-se em variáveis intrínsecas, nas quais a razão da variabilidade gira em torno de variáveis internas da estrela, como um exemplo desse tipo temos as variáveis pulsantes, e variáveis geométricas, cuja explicação para tal fato está quando olhamos para variáveis externas à estrela.
As variáveis não periódicas são tipos de variáveis intrínsecas, assim como as eruptivas, sendo as primeiras por razões de explosões termonucleares nas camadas super ciais, e essas últimas por sua vez é causado por erupções e alguns outros processos ditos violentos, na cromosfera1 e coroa2. As variáveis cataclísmicas são ententidas quando há um colapso
estelar.
As variáveis geométricas, mencionadas anteriormente, têm como subdivisão os siste-mas binários eclipsantes e as variáveis rotacionais. As eclipsantes têm como ponto de partida o próprio eclípse para a explicação da variabilidade; por ser um sistema binário, uma delas transita em frente da outra, desse modo, bloqueando a passagem do brilho da estrela que está sendo impedida de ser vista. Já as variáveis rotacionais são estrelas que, essencialmente, têm uma certa distribuição super cial de brilho não uniforme ou com um formato mais elipsoidal, esse brilho é causado pela rotação axial da estrela. Ademais, a variabilidade das rotacionais é, geralmente, causada por manchas estelares que, por sua vez, são grandes o su ciente para afetar o brilho.
1Entendido como uma das camadas constituinte do Sol, se extendendo por 10 mil kilômetros acima
da fotosfera e abaixo da corona.
2É o envoltório luminoso da estrela, basicamente plasma com aproximadamente dois milhões de graus
13
1.1
Atividade Magnética Solar
Desde muito tempo, o Sol tem sido um dos principais objetos celeste estudado pela humanidade. Esse fascínio não é à toa, dependemos diretamente do Sol para os afaze-res diários e determinações dos ciclos do dia. Nesse sentido, muitos dos fenômenos que aconteciam foram atribuídos a estrela mais próxima da Terra.
Os astrônomos da Grécia antiga carregam uma gama de hipóteses que são ligadas ao Sol. Aristóteles de Estagira (384-322 a.C.) explicou as fases da Lua com relação ao Sol, assim como o eclipse do Sol. Aristarco de Samos (310-230 a.C.) foi o primeiro a argumentar que a Terra se movia em volta do Sol, até mesmo antes de Copérnico. Eratóstenes de Cirênia (276-194 a.C.), conseguiu medir o diâmetro da Terra através de um experimento relativamente simples com a sombra que o Sol provocava em um grande poço e em um bastão na vertical, em dois lugares diferentes. Em suma, observamos que em diferentes épocas da antiguidade, a humanidade já tentava explicar certos fenômenos e criar hipóteses em detrimento da existência do Sol. [5]
O Sol é uma estrela cuja atividade magnética é extremamente ativa e um dos indica-dores dessa atividade são as manchas solares nele encontradas. Essas manchas já eram observadas até mesmo antes de Cristo, especula-se de que os chineses foram os primeiros a ilustrá-las. Em 1608, agora tendo ferramentas mais avançadas do que se tinha, o astrô-nomo italiano Galileo Galilei (1564-1642) começou a analisar o conhecimento proveniente das manchas solares , observando-as em 1613 [6]. Através dos seus estudos, ele chegou à conclusão que essas manchas giravam em torno do Sol, não estavam xas em um ponto, e que eram encontradas com mais frequência para o equador solar, ver gura 3.
Anos depois, a m de encontrar um novo planeta na órbita de Mercúrio, o astrônomo alemão Heinrich Schwabe (1789-1875) notou que essas manchas pareciam variar de uma forma temporal, por ciclos, possivelmente de 10 anos. O astrônomo britânico Richard Carrington (1826-1875) dedicou anos de sua vida para observar as manchas; um dos resultados obtidos por ele foi que elas, assim como Galileo disse, apareciam cada vez mais próximas ao equador do sol durante o ciclo e, também, que as manchas ditas mais baixas, em latitudes, giravam mais rápido do que aquelas com latitude mais altas. Chegando a conclusão que o Sol não tinha um corpo rígido, mas sim com uma rotação diferencial.
Mais adiante, o campo magnético do sol, de aproximadamente 3000 Gauss (G), foi medido por George Hale (1968-1938). Além disso, ele detectou que cada mancha tinha seu próprio campo magnético, de maneira que as manchas maiores apareciam em pares e com
Figura 3: Imagem desenhada à punho pelo próprio Galileo
polaridades de campo magnético opostas, sendo que a polaridade da mancha principal é sempre a mesma em todos os pares do mesmo hemisfério, mas oposta no outro hemisfério. Essa con guração se inverte no próximo ciclo das manchas solares, e, portanto, o ciclo de atividade magnética do Sol tem o período duas vezes maior que o do ciclo solar (22 anos) [10].
Então, está intrínseco que a atividade magnética das estrelas está ligada ao surgimento das manchas. Existem algumas hipóteses que tentam explicar como o campo magnético é gerado no sol, dentre elas temos: a rotação diferencial que, como mostra a Figura 4, alonga as linhas de campo magnético da estela; ainda assim, não seria o su ciente para produzir o campo magnético que temos hoje no Sol. Dessa forma, uma outra ideia que vem sendo aceita pela comunidade cientí ca é o processo do dínamo, no qual o plasma em grande rotação e convecção amplia e mantém campos magnéticos presentes. Então, esse processo seria o su ciente para ampli car o campo causado pela rotação diferencial. Como podemos observar na Figura 4, as linhas de campo saem do sul para o norte, com o equador girando mais rápido do que os pólos, dessa forma, as linhas de campo se juntam, por serem deformadas no equador, se juntando e, nessa região, elas formam uma componente toroidal e, com o campo muito intenso, formam-se as manchas solares nas superfícies.
15
Figura 4: Alongamento das linhas do campo magnético, causado pela rotação diferencial + convecção. Crédito: http://astronomia.blog.br/
1.2
Motivação e Objetivos
O avanço da tecnologia foi o precursor para o estudo de grande número de dados foto-métricos de estreas, favorecendo o surgimento das missões CoRoT (Convecção, Rotação e Trânsito planetário) e Kepler, por exemplo. Essas missões nos permitem fazer diversos estudos envolvendo estrelas binárias. A missão Kepler, lançada em 7 de março de 2009, é um observatório espacial da NASA com intuito de descobrir exoplanetas do tipo Terra que orbitam outras estrelas, pesquisando uma parte da região da Via Láctea. Além disso, buscou determinar a porcentagem desses planetas próximos à zona de habitabilidade, a distribuição de tamanho e o formato das órbitas, determinar algumas propriedades das estrelas que abrigam esses planetas, entre outros objetivos, incluindo a estimativa de quantos planetas existem em sistemas de estrelas múltiplos e suas massas [17].
Com base nos estudos de Latham et al. (1992)[2], foi mostrado que das estrelas es-tudadas na vizinhança solar, 50% delas eram estrelas binárias. Além disso, o estudo de estrelas binárias é muito importante, porque elas são fontes primárias do nosso conheci-mento a cerca das propriedades das estrelas e para a caracterização de alguns fenômenos físicos importantes, tais como o cálculo da massa e raio da estrela, bastando apenas ter dois objetos que estejam em uma interação gravitacional [3]. Através das análises dos dados fotométricos dessas estrelas, podemos também realizar estudos das propriedades físicas delas, tais como: rotação, pulsação e ativiadade magnética.
Escolhemos dois sistemas binários bem discutidos na literatura (KIC 8111622 e KIC 8197761) por Kjurkchiev e Vasileva (2018) [19] e Sowicka et al. (2017) [20], respecti-vamente. Ambos apresentam variabilidade além dos eclipes, que podem ser analisadas
associados com a rotação, a atividade magnética e as pulsações estelares.
No próximo capítulo, será discutido quanto às classi cações das estrelas binárias, além de explicar, também, sobre as estrelas binárias eclipsantes, nosso objeto de estudo, falando sobre como elas são dividivas e a importância do estudo das superfícies equipotenciais. Já no Capítulo 3 será explicada a teoria wavelet, a qual fazemos uso diretamente como método principal para a análise dos dados, no Capítulo 4 os resultados e discussão e no Capítulo 5 as conclusões e perspectivas.
17
2
Estrelas Binárias e suas classificações
Neste capítulo discutiremos, sucintamente, as estrelas binárias e sua classi cação, de acordo com os métodos de detecção [7]. Todo enfoque será para as estrelas binárias eclipsantes, pois como dito na seção 1.2, será o tipo de binárias que estaremos tratando no capítulo 4.
A melhor de nição para estrelas binárias é um par de estrelas ligadas gravitacional-mente orbitando em torno do seu centro de massa. A primeira estrela binária, na época chamada de estrela dupla, a W Usa Maior (Mizar), foi descoberta acidentalmente pelo astrônomo italiano Jean Baptiste Riccioli, em 1650. Desde então, as estrelas duplas se tornaram um grande campo de observações, principalmente para Herschel que, em 1782, publicou o primeiro catálogo de estrelas duplas contendo 269 estrelas, das quais 227 nunca tinham sido obervadas antes [10].
Importante mencionar que, atualmente, o termo estrelas binárias é usado para aquelas estrelas que são ligadas gravitacionalmente, enquanto estrelas duplas está relacionada a um termo bem mais vasto, utilizado para estrelas que parecem estar muito próximas no céu; mas na verdade podem estar bem distantes uma da outra - estrelas assim são chamadas de duplas óticas, já que nada mais são do que uma mera ilusão de ótica dessa aparente aproximidade entre as duas.
As estrelas binárias são classi cadas, quanto ao modo de detecção, da seguinte ma-neira: binárias visuais, binárias astrométricas, binárias espectroscópicas ou binárias eclipsantes.
2.1
Binárias Visuais
Nas binárias visuais, as duas estrelas podem ser vistas separadamente, com as seguin-tes denominações: a estrela mais brilhante é a estrela primária, enquanto que a menos brilhante é a estrela secundária. Nesse sistema, a separação angular é grande o su ciente
para possibilitar a obervação das duas estrelas através de um telescópio. Dessa forma, as duas estrelas podem ser resolvidas de forma independente. Como a separação usual é de centenas de unidades astronômicas, é muito difícil observar tais binárias no diagrama HR
1, pois os períodos orbitais são longos.
2.2
Binárias Astrométricas
Figura 5: Oscilação provocada por Sírius B, que muda a trajetória de Sírus A. Com tal oscilação foi possível inferir sua existência [8]. Crédito: http://oal.ul.pt
Nas binárias astrométricas, uma das duas es-trelas tem um brilho su cientemente grande que impossibilita a obervação da outra estrela do sis-tema. Então, é impossível observar as duas es-trelas diretamente. Contudo, sabemos que uma massa tende a permanecer em seu movimento com velocidade constante, até que sobre ela seja atuada uma força externa para mudar sua dire-ção. Partindo desse princípio básico da Física, podemos aferir uma segunda estrela, que esta-ria perturbando o movimento da estrela muito brilhante. A Figura 5 apresenta um resultado obtido por observações realizadas meados do sé-culo XIX, da estrela de Sírius A, cujo brilho era grande quando comparado a sua companheira Sí-rius B. Portanto, foi entendido uma pertubação no movimento de Sírius A, sendo assim, foi in-ferido por método indireto a existência de uma outra estrela, caracterizando um sistema binário astrométrico.
2.3
Binárias Espectroscópicas
Assim como as binárias visuais, maior parte dos sistemas binários que estão muito distante podem ser resolvidos separadamente, através do telescópio. Em contrapartida,
1Grá co da relação entre a luminosidade (eixo Y) e temperatura (eixo X), onde a temperatura cresce
no decorrer do lado esquerdo do eixo. No Diagrama HR, muitas das estrelas se encontram no que é chamado de sequência principal, basicamente uma faixa diagonal.
19
outros sistemas se encontram perto demais para que seja possível resolvê-las reparada-mente. Então, a pergunta que surge é: qual seria uma forma alternativa para que esses sistemas binários sejam detectados? A resposta para esse questionamento se dá pelo fato de que através do efeito Doppler, podemos observar as linhas espectrais. Então, os sis-temas que são detectados por esse método, são chamados de binárias espectroscópicas. Esse efeito causa um deslocamento nas raias espectrais da estrela para o azul e para o vermelho, visto que ela se move em direção ao observador e contrário a ele, durante seu movimento orbital, como pode ser observado na Figura 6.
Figura 6: O desvio das raias é evidenciado a medida que a estrela orbita uma a outra. As linhas escuras são resultados de absorção da luz por um elemento químico. Crédito: http://www.if.ufrgs.br/
2.4
Binárias Eclipsantes
Esse tipo de sistema binário tem plano orbital orientado aproximadamente ao longo da linha de visada daqui da Terra. Sendo assim, uma estrela pode passar pela outra e, dessa forma, eclipsar. Tal sistema é reconhecido por variações bem regulares de brilho no telescópio.
2.4.1
Superfícies equipotenciais
Estudar as superfícies equipotenciais de sistemas binários é de fundamental importân-cia para caracterização de certos parâmetros, na justi cativa de compreender a natureza das estrelas. Esse estudo será abordado a seguir, de acordo com os trabalhos de [7], [9] e [10].
Antes de prosseguirmos, é importante fazer algumas aproximações acerca das estrelas binárias. Vamos supor que cada estrela se comporta como uma massa pontual, ou seja, sua interação gravitacional respeita as leis básicas de Newton. Mesmo sabendo que as estrelas são compostas por plasma, um uido, vamos considerar que elas rotacionam tal como um corpo rígido, em equilíbrio hidrostático. Considerando, também, uma geometria de fácil entendimento, duas estrelas com massas M1 e M2 separadas por uma distância
a. Para ns de cálculo, colocaremos uma massa de teste m que se encontra a uma certa distância das duas estrelas.
Figura 7: Geometrica simpli cada de um sistema binário, de acordo com as especi cações já listadas. Note que a massa de teste m está a uma distância S1e S2 das massas. [10]
21
Então, temos sobre esse sistema basicamente duas formas atuantes, a centrífuga e a gravitacional.
~
Fc+ ~Fg = −mω2ˆr. (2.1)
Calculando a força centrífuga, temos que ~
Fc = mω2rˆr (2.2)
calculando sua energia potencial devido a força centrífuga, obtermos ∆Uc = − Z rf ri ~ Fc• d~r ∆Uc = − Z rf ri mω2rˆr • d~r ∆Uc = − 1 2mω 2(r2 f − r2i) (2.3)
usando a condição em que a energia vai a zero quando ri = 0, pois não há contribuição
quando não há variação na própria energia, camos com Uc = −
1 2mω
2r2. (2.4)
A outra força é a gravidade. Pela Lei da Gravitação Universal, sabemos que Fg = G
M m
r2 (2.5)
com essa equação, temos que sua energia, quando r tende ao in nito, vai a zero. Então, integrando, obtemos:
Ug = −G
M m
r . (2.6)
Dessa forma, podemos calcular sua energia total de forma a somar tais energias, considerando que é um sistema binário e que m não é nenhuma das duas massas pontuais, mas sim uma massa de prova, camos com
U = −G M1m s1 +M2m s2 − 1 2mω 2r2
dividindo por m, temos o potencial gravitacional efetivo,
Φ = −G M1 s1 + M2 s2 ) −1 2 ω2r2 (2.7)
reescrevendo as coordenadas em termos da origem do sistema M1, temos s1 = r s2 = p (x − a)2+ y2 + z2 =√r2+ 2ax + a2 r = p(x − xcm)2+ y2 (2.8)
usando a 3o lei de Kepler, a que diz respeito aos períodos, camos com
Φ = M1 r + M2 √ r2+ 2ax + a2 − 1 2 G(M1+ M2) a3 2 [(x − xcm)2+ y2]. (2.9)
Essa equação pode ser usada para calcular o potencial gravitacional efetivo em cada ponto do plano orbital de um sistema de estrelas binárias. Fazendo um grá co do valor de Φ ao longo do eixo x, é possível entender a força na compontenente de massa m, que é escrita como Fx = − dU dx = −m dΦ dx (2.10)
Os pontos L1, L2 e L3 desse grá co, que podem ser vistos na Figura 8 são chamados de Pontos de Lagrange, onde a força na massa de teste é nula, já que a derivada primeira de um ponto de máximo é zero. Então, nesses três pontos a força gravitacional é balanceada pela força centrífuga. Os pontos que estão no mesmo potencial formam uma superfície equipotencial [7].
Figura 8: Grá co do potencial efetivo gravitacional versus distância. M1= 0, 85MJ, M2= 0, 15MJ e
a separação das estrelas é de a = 5 × 108m = 0, 718RJ, com seu centro de massa localizado na origem.
23
Na Figura 9, é possível entender melhor as superfícies equipotenciais que são criadas quando temos um sistema binário de estrelas. Quando nos afastamos das massas, é possível ver que elas distorcem as superfícies equipotenciais do sistema. Desse modo, no momento em que uma estrela expandir, de modo que alguns gases podem escapar da atmosfera da estrela através do ponto de Lagrande L1, em direção da outra estrela do
sistema, signi ca que essa estrela atingiu uma região que é chamada de lóbulo de Roche, que é uma superfície equipotencial.
Sendo o descrito, a estrela cuja expansão atingiu o lóbulo de roche começa a transferir massa para a sua companheira, enquanto que há um processo de união entre as duas estrelas quando elas duas ultrapassam tal superfície equipotencial.
2.4.2
Moforlogia das Estrelas Binárias Eclipsantes
Os sistemas binários eclipsantes, quando classi cadas quanto a morfologia, podem ser de não-contato, semi-contato e contato.
2.4.2.1 Binárias de não-contato
São sistemas nos quais a separação entre as estrelas é de ordem muito superior ao raio da maior estrela do sistema, de modo que não há preenchimento dos lóbulos de Roche. Veja que na Figura 10, os lóbulos não estão preenchidos, caracterizando uma binária de não-contato.
Figura 10: Binárias de não-contato, uma representação. [7]
Como são, em geral, encontradas ainda na sequência principal, essas binárias são estáveis e é possível calcular as relações entre massa, raio e a luminosidade das estrelas de forma bem apurada. Na Figura 11 podemos ver um exemplo de uma estrela binária de não-contato, seu diagrama de fase e uma simulação computacional de como as duas estrelas estariam dispostas no espaço.
Figura 11: Esquerda: birárias de não-contato, sua morfologia. Direita: diagrama de fase da curva de luz, o sistema ZZ Boo [14]. Crédito: Base de dados do CALEB
25
2.4.2.2 Binárias de semi-contato
Nesse tipo de binárias, uma das duas estrelas se expande até que preencha totalmente seu lóbulo de Roche, como obervamos na Figura 12; por de nição, os gases dessa estrela podem escapar e serem atraídos pela estrela companheira, que não possui seu lóbulo de Roche preenchido.
Figura 12: Binárias de semi-contato, uma representação. [7]
Essas binárias representam um último sistema para o estudo acerca da troca de massa entre estrelas, o fato de que uma delas está em um estágio evolutivo maior do que a outra, possibilita isso. Na Figura 13, a morfologia e um exemplo de diagrama de fase de uma binária de semi-contato são apresentados.
Figura 13: Esquerda: binárias de semi-contato, sua morfologia. Direita: diagrama de fase da curva de luz, o sistema CZ Aqr [15]. Crédito: Base de dados do CALEB
2.4.2.3 Binárias de contato
Seguindo o raciocínio empregado para os dois tipos de binárias já explicados, as biná-rias de contato diz respeito ao sistema no qual ambas as estrelas preecheram seus lóbulos, como vemos na Figura 14, ou até que já ultrapassaram-no, sendo chamadas de sistema de supercontato. Na Figura 15, observamos o aspecto morfológico e o diagrama de fase das binárias de contato.
Figura 14: Binárias de contato, uma representação. [7]
Figura 15: Esquerda: binárias de contato, sua morfologia. Direita: diagrama de fase da curva de luz, o sistema YY CMi [16]. Crédito: Base de dados do CALEB
27
3
Transformada wavelet
É certo que vivemos em um mundo no qual os sinais podem representar grande parte das coisas, como, por exemplo, sinais de televisão, de rádio e telefônicos. Então, entender o comportamento desses sinais é um estudo bastante importante para a compreensão de características instrínsecas ao que está imanando o sinal. Esse estudo pode ser realizado através de algumas técnicas, dentre elas a Transformada de Fourier, que transforma o si-nal em um domínio da frequência, e uma ferramenta matemática mais recente, a wavelet, que transforma um sinal para o espaço de tempo-escala. Esse método se mostra ser muito promissor quando se trata do estudo de certas características estelar, tais como: deter-minação do período, amplitude e fase, descrevendo de forma satisfatória sinais periódicos [23].
A seguir, discutiremos a Transformada de Fourier como base para a discussão do método que foi utilizado no estudo dos sinais.
3.1
Transformada de Fourier
A Transformada de Fourier, assim nomeada em homenagem ao matemático francês Jean-Bastite Joseph Fourier (1768-1830), é uma técnica amplamente usada no processa-mento de sinais. A TF é de nida como sendo
f (t) = Z ∞
−∞
F (ν)e2πiνtdt (3.1) onde ν é a frequência do sinal. Então, podemos de nir a Transformada Inversa de Fourier, a qual leva a função do domínio de frequência para o domínio temporal, da seguinte forma
F (ν) = Z ∞
−∞
f (t)e−2πiνtdt (3.2) dessa maneira, a equação 3.2 não nos dá a informação sobre a existência de uma frequência ao longo do tempo, mas sim a quantidade de cada frequência existente no sinal estudado.
De forma a entedermos melhor o funcionamento da TF, criamos um sinal estacionário, composto por funções senoidais, com duração de 20 segundos, contendo frequências de 3, 7 e 13 Hz, e então, usando o programa Coroet, desenvolvido pelo Prof. Dr. Izan Leão, geramos um espectro de potências baseado na técnica Lomb-Scargle [32] - a qual usa como base a técnica do periodograma no caso em que os tempos de observação são espaçados de maneira desigual - como pode ser observado nas Figura 16 e 17, onde observamos os três picos que correspondem as frequências do sinal [31].
5 10 15 Tempo (s) -3 -2 -1 0 1 2 3 Amplitude
Figura 16: Sinal arti cial estacionário composto de funções seno com diferentes amplitudes e frequências (3, 7 e 13 Hz).
29
Da mesma forma, zemos um sinal não-estacionário, com as mesmas frequências, como pode ser observado na Figura 18. Podemos perceber as três frequências diferentes até 6,5 s. Entre 6,5 s a 14,2 s, duas dessas frequências compõem o sinal - a saber: 3 e 7 Hz - e, no ultimo intervalo, entre 14,5 s a 20 s, temos as frequências 3 e 13 Hz. Na Figura 19 podemos perceber o espectro de potência para o sinal não-estacionário, e que ele não especi ca que as frequências do sinal estão ocorrendo em tempos diferentes, isso signi ca que com a Transformada de Fourier não podemos determinar quando as frequências existentes no sinal estão ocorrendo, como é possível observar na Figura 20(a).
Figura 18: Sinal arti cial não-estacionário composto de funções seno com diferentes amplitudes e frequências (3, 7 e 13 Hz) em tempos diferentes.
3.2
Transformada por janelas de Fourier
A Transformada por janelas de Fourier (TPJF) é uma forma de estudar sinais não-estacionários, localizando o tempo e a frequência no processo da decomposição do sinal. A TPJF foi criada por Dennis Gabor, no ano de 1946. Basicamente, essa técnica consiste em dividir o sinal em uma sequência de janelas de tempo, igualmente espaçadas, de forma que o comprimento dessas janelas sejam su cientemente pequenas para torná-lo um sinal estacionário. De nimos como:
T P J F )(ν, τ ) = Z ∞
−∞
f (t)g(t − τ )e−2πiνtdt (3.3) onde g é uma função janela, centrada em torno de zero.
Essa equação é capaz de fornecer informações da frequência contida em cada posição τ da função janela ao longo do tempo, na Figura 20(b) podemos perceber esse aspecto de localização no espaço tempo-frequência. Contudo, por mais que essa técnica nos propor-cione tal informação sobre sinais não-estacionários, ela não é capaz de especi car qual é a frequência em um dado tempo, somente em um intervalo de tempo [26].
Figura 20: (a) Transformada de Fourier. (b) Transformada por janelas de Fourier. (c) Transformada wavelet. Crédito: Le (2009)[25]
Esses problemas citados, em decorrência do tratamento de sinais através das técnicas TF e TPJF, nos faz recorrer a uma outra técnica, a Transformada Wavelet. Com essa técnica, somos capazes de obter características que variam no tempo e na frequência, nos possibilitando saber as frequências existentes em um tempo dado, pois ela é baseada na análise de multiresolução, como é possível observar na Figura 20(c), ela oferece um tratamento mais detalhado do sinal, combinada com a transformada de fourier.
31
3.3
Transformada Wavelet
Em 1981, o geofísico francês Jean Morlet desenvolveu uma forma de decompor sinais sísmicos em wavelet de tipo constante, obtendo ótimos resultados. Com o auxílio do físico croata-francês, Alex Grossman, eles desenvolveram uma função matemática capaz de dila-tar e contrair um sinal. Essa função foi chamada de wavelet mãe ψ(t), cuja representação matemática é: ψa,b = 1 √ aψ( t − b a ), a, b ∈ R, a 6= 0 (3.4) sendo a o fator de escala, b o de translação e √1
a o fator de normalização da energia.
De acordo com [22], é necessário levar em consideração alguns fatores chaves para se escolher uma função wavelet, são eles:
• Ortogonalidade e não-ortogonalidade: escolhe-se uma wavelet ortogonal para pro-cessamento de sinais, mas se o interesse concerne em analisar séries temporais, onde variações da amplitude são esperadas, usa-se a não-ortogonal;
• Complexa ou real: enquanto que as funções wavelet complexas proporcionam infor-mações acerca da amplitude do sinal e sua fase, as wavelet reais retornam informa-ções para o estudo de picos isolados ou descontinuidades;
• Largura: quanto maior for a função wavelet, melhor resolução de frequência e uma fraca resolução temporal; caso contrário, mais estreita for a função, menor a resolu-ção de frequência e maior resoluresolu-ção temporal;
• Formato: a forma da função wavelet deve estar associada às propriedades do sinal [10].
As transformadas wavelets podem ser divididas em dois grupos: as discretas e con-tínuas. O uso de uma wavelet ortogonal implica no uso de uma transformada wavelet discreta (TWD) e uma não-ortogonal, o uso de uma transformada contínua (TWC).
3.3.1
Transformada wavelet contínua
A partir da wavelet mãe ψ(t), podemos obter outras funções com intuito de gerar transformações, chamadas de wavelet lhas. À vista disso, elas apresentam uma forma geral proveniente da wavelet mãe, mas com algumas modi cações, já que elas sofreram
algumas mudanças, como translação e mudança de escala. Dessa maneira, a TWC de-pende, em essência, de dois fatores para sua mudança: a varíavel a, parâmetro de escala que carrega informações sobre a ditalação e contração do sinal (é inversamente proporci-nal à frequência, pois ao contrair o siproporci-nal, a frequência aumenta, enquanto que ao dilatar o sinal, a frequência diminui), e a variável b, parâmetro de deslocamento, contém infor-mação temporal. Com isso, a Transformada wavelet contínua de uma dada função f(x) é dada por T W Cf(a, b) = 1 √ a Z f (t)ψa,bdt = 1 √ a Z f (t)ψ(t − b a )dt. (3.5) As wavelets, para uma função integrável, devem ter média zero e estarem bem locali-zadas no espaço do tempo quanto no espaço das frequências, chamamos isso de admissi-bilidade [29]. Então, isso requer que:
Cψ = (2π)
Z
R
| bψ(ν)|2dν
|ν| < ∞ (3.6)
onde | bψ(ν)|2 é a transformada de fourier de ψ(t) e Cψ são chamados de coe cientes
wa-velets. Além disso, se ψ(t) é integrável, essa condição implica que: Z
ψ(t)dt = 0. (3.7)
Então, já que todas as condições de adimissibilidade estão satisfeitas, podemos recu-perar a função f(t) através da TWC inversa, de nida como
f (t) = 1 Cψ Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ T W C(a, b)ψ(t−b a ) a2 dadb. (3.8)
Em suma, algumas das propriedades importantes que se destacam da TWC são:
1. É uma transformação linear; 2. É covariante sob translação; 3. É covariante sob dilatação;
4. Conserva a energia localmente e globalmente;
33
3.3.1.1 Wavelet Morlet
A Wavelet morlet é um tipo de função wavelet que consiste em uma função harmônica e não ortogonal, dessa forma é composta por exponenciais complexas que multiplica uma janela gaussiana, como observa-se na Figura 21.
ψ(t) = e−ak(t−b)2e−i2πk(t−b) (3.9) onde k está relacionado à ordem da wavelet. Neste trabalho será utilizado esse tipo de função wavelet, de 6o ordem, pois ela proporciona uma ótima localização em tempo e
frequência. Também, como podemos ver na Figura, essa função representa uma função se-misenoidal, assim como os dados fotométricos que obtemos para o estudo da variabilidade sem eclipse; dessa forma, o uso desse tipo de wavelet nos proporciona uma aproximação muito boa na obtenção de bons resultados.
Figura 21: (a) Wavelet-mãe Morlet. (b)Transformada de Fourier da wavelet-mãe. O traçado contínuo representa a parte real da função e o traçado pontilhado representa a parte imaginária da função. Crédito: [12]
3.3.1.2 Wavelet Paul
É outro tipo de TWC largamente utilizada na mecânica quântica, tendo sua forma como
ψk=
ik2kk!
pπ(2π)!(1 − ix)
−(k+1) (3.10)
sendo k a ordem da função Paul. A wavelet-mãe de Paul de ordem 1, Figura 22, decai mais rapidamente do que a wavelet Morlet, tendo uma resolução temporal ainda melhor. Contudo, no espaço de Fourier, percebemos que a wavelet Paul não tem um pico simétrico, representando, então uma queda nas altas frquências.
Figura 22: (a) Wavelet-mãe Paul de 1oordem. (b)Transformada de Fourier da wavelet-mãe. Os traçados
contínuos e pontilhados seguem a mesma lógica da gura anterior. Crédito: [12]
Figura 23: (a) Wavelet Marr. (b)Transformada de Fourier da wavelet Marr. Crédito: [22]
3.3.1.3 DOGs
São funções reais derivadas de uma Gaussiana [10]:
ψk = −1k
dk dtk(
−|x2|
2 ) (3.11)
onde k, novamente, representa a ordem da TWC. Quando k for 2, obtem-se a wavelet Marr, amplamente chamada de chapéu mexicano", como mostra a gura 23.
3.3.2
Espectro de frequência wavelet
O espectro de freqência wavelet, também chamado de mapa wavelet local, é entendido por ser um grá co em três dimensões, que, para uma melhor visualização, podemos fazê-lo em duas dimensões, onde o seu eixo horizontal compreende o tempo e o eixo vertical a escala. Também é representada a intensidade relativa do sinal por uma variação de cores, sendo vermelho correspondendo a uma intensidade alta e branco uma intensidade baixa, como pode ser observado nas Figuras 24 e 25. A integração temporal do espectro de frequência local gera o espectro global [10]. De nimos seu espectro local como
35
dessa forma, podemos encarar o mapa wavelet como sendo a distribuição de energia do sinal no espaço tempo-escala.
De forma a exempli car, podemos tratar os sinais estacionário e não-estacionário que foram obtidos com as frequências de 3, 7 e 13 Hz, das Figuras 16 até 19. Analisando as Figuras 24 e 25 é possível notar que as cores respresentam as frequências no decorrer do tempo no mapa. Veja que no mapa do sinal não-estacionário, é possível perceber quando que cada período ocorre no tempo. Dessa forma, é possível entender a Transformada Wavelet como uma poderosa ferramenta que nos possibilita ter acesso as informações quanto às frequências predominantes do sinal e, ainda, quando que elas ocorrem. Com essa técnica, somos capazes de estudar fenômenos físicos de estrelas, tais como período de rotação, identi car regiões ativas na estrelas por causa das manchas ou devido à rotação diferencial e, também, detectar pulsação [11].
O processamento das curvas de luz foi realizado através do programa Coroet, com métodos descritos em [30], e todo processamento que diz respeito a obtenção dos mapas wavelets foi desenvolvido pela Dra. Jenny Paola Bravo, com métodos descritos em [31], ambos utilizando a linguagem de programação IDL (Linguagem Interativa de Dados).
0.0 1.0 Indice de Potencia 0 5 10 15 0.1 1.0 10.0 0 5 10 15 Segundos 0.1 1.0 10.0 Periodo (segundos) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Espectro Global 0.14 0.32 0.08
Figura 24: Tratamento wavelet para o sinal arti cial estacionário. Mapa wavelet local (esquerda) e seu espectro global (direta).
0.0 1.0 Indice de Potencia 0 5 10 15 0.1 1.0 10.0 0 5 10 15 Segundos 0.1 1.0 10.0 Periodo (segundos) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Espectro Global 0.32 0.14 0.08
Figura 25: Tratamento wavelet para o sinal arti cial não-estacionário. Mapa wavelet local (esquerda) e seu espectro global (direta)
37
4
Discussão e Resultados
4.1
Dados observacionais e pré-tratamento
A missão Kepler é um telescópio que orbitou a Terra, lançado em Março de 2009, que teve como o principal objetivo descobrir exoplanetas do tipo terrestre (R < 2.5T erra)
através do trânsito planetário, caracterizado por uma queda de luminosinade na curva de luz da estrela hospedeira, que estão localizados dentro da zona de habitabilidade de estrelas que são semelhantes ao Sol. Essa missão, durante pouco mais de 4 anos, se concentrou em monitorar mais de 150.000 estrelas na região de Cygnus-Lyra, com uma amostragem contínua de 30 ou 1 minuto [18].
Com o grande avanço da tecnologia, que possibilitou missões do tipo Kepler, vem se observando muitos objetos celestes e, com isso, um grande número de dados tem sido disponibilizado para a comunidade cientí ca. Esses dados fotométricos, os quais fornecem informações preciosas das estrelas, são obtidos através da luz que é emitida pelas estrelas e captados pelo telescópio Kepler que, por sua vez, observa as estrelas por quarters; o resul-tado é a curva de luz da estrela observada; dessa forma, podemos estudar a variabilidade luminosa dessa estrela através da curva de luz.
Este trabalho faz uso das curvas de luz da base pública de dados da missão Kepler 1.
As curvas de luz utilizadas foram as reduzidas com módulo PDC (do inglês Pre-Search Data Conditioning) do pipeline de análise de dados do Kepler, onde há uma tentativa de remover descontinuidades e assinaturas experimentais [28].
Inicialmente, tratamos todos os quarters disponíveis para os sistemas binários KIC 8111622 e KIC 8197761. Este tratamento consistiu em: remover os pontos fora da curva que não estivessem abaixo de 0, já que estamos interessados nos eclipses; ver se havia descontinuidade (nesse caso, não havia em nenhum quarter) e, então, aplicar uma correção da tendência linear na curva. Todo esse processo pode ser visto na Figura 26, que ilustra
o tratamento feito para a estrela KIC 8111622. No nal, juntamos todos os quarters a m de formar uma curva de luz completa, Figura 27.
Figura 26: Pré-tratamento de um quarter da curva de luz da estrela KIC 8111622. Painel superior: Curva de luz original. Painel inferior: Redução do numero de pontos e correção da tendência linear.
Após o tratamento das curvas de luz, zemos os diagramas de fases para os períodos orbitais [33] desses sistemas binários, dessa forma, podemos fazer uma estimativa quanto à sua moforlogia, assim como descrito na Seção 2.4.2. O sistema binário KIC 8111622, por exemplo, aparenta ser uma binária de não-contato, como pode ser visualizado no diagrama a direita da Figura 28. Já o sistema binário KIC 8197761 possui eclipses com profundidade tão pequena que se tornam imperceptíveis no diagrama de fase. Como podemos visualizar na Figura 28, a esquerda, o diagrama de fase da binária KIC 8197761 apresenta contribuições apenas da variabilidade além dos eclipses.
39
Figura 27: Painel superior: Curva de luz da esterla KIC 8111622. Painel inferior: Curva de luz da estrela KIC 8197761.
Figura 28: Esquerda: Diagrama de fase da estrela KIC 8197761, onde P é o período orbital (em dias). Direita: Diagrama de fase da estrela KIC 8111622, onde P é o período orbital (em dias). Os períodos orbitais foram extraídos do catálogo de Robert W. Slawson at al. (2011) [33]a.
aEsse catálogo foi atualizado e as informações mais recentes encontram-se no link
4.2
Sistema binário com modulação rotacional e atividade
magnética: KIC 8111622
Kjurkchiev e Vasileva [19] determinaram os parâmetros orbitais da binária eclipsante KIC 8111622, com os dados da curva de luz modelados a partir do pacote PHOEBE (Prsa e Switter 2005 [21]). Através dessa análise, veri cou-se que esse sistema é de fato de não-contato, como apresentado na Seção 2.4.2, e apresenta eclipses totais. Ademais, esse sistema tem excentricidade acima de 0,5 e as temperaturas das estrelas primária e secundária são 5665K e 3681K, respectivamente. Além disso, sabemos que seu período orbital é de P = 15, 4460592 dias.
Na Figura 29, observamos o mapa wavelet com o espectro global associado. Através da sua curva de luz podemos perceber uma diminuição da luminosidade que se repete no tempo, de forma bem regular, devido aos eclipses do sistema binário. No mapa desse sistema percebemos uma uniformidade de algumas estruturas, tal como o padrão de gotas pontuais, nas e profundas, que são causadas por conta dos eclipses dessa binária eclip-sante. No espectro global é possível identi car dois períodos, destacados em vermelho (de 5,01 e 1,44 dias); contudo, ao remover os eclipses nota-se que esses períodos somem do mapa. Entendemos, por esse comportamento, que esses períodos são ditos alies do pe-ríodo orbital, são uma espécie de imagem do verdadeiro pepe-ríodo orbital, causadas no geral por espaçamentos não regulares, com perídos bem de nidos [10]. Dessa forma, podemos associar esses dois períodos à presença dos eclipses, pois eles não persistem na gura 30. Na Figura 30, observamos a situação em que os eclipses são removidos através do programa Coroet. Com o mapa wavelet é possível identi car dois períodos persistentes, um de 6,41 dias, que está associado ao período de rotação, e o outro de 3,21 dias, sendo esse aproximadamente a metade daquele, período principal, essa é a assinatura de rotação descrita por [31]. Como podemos ver na Figura 31, esses dois períodos são caracterizados na curva de luz através de mudanças semi-regulares, dois padrões que se repetem, uma com amplitude maior do que a outra, apresentando um duplo declive na intensidade do uxo. Em [24], o fato de que o período secundário é a metade do período principal vem da ideia de que essas manchas estão localizadas em longitudes opostas. Ainda no espectro global, é notório dois períodos (de 31,57 e 22,32 dias) que caram mais intensos após a remoção dos eclipses, o que sugere que esses dois períodos estavam sendo mascadaros por eles. Entretanto, há a possibilidade de que tais períodos estejam associados à lacunas (gaps) na curva de luz, tendo em vista que a transformada wavelet é bem sensível a elas. O período de 1010,21 dias parece estar associado com a intensidade da modulação
41
rotacional, enquanto que o período de 14,73 dias deve estar relacionado ao período de 15,178 dias do mapa da binária com eclipse, painel superior, que estão relacionadas ao período orbital do sistema binário eclipsante.
Dessa forma, os períodos encontrados através da nossa análise estão em concordância com os resultados obtidos por Kjurkchiev e Vasileva [19]. Com isso, podemos discorrer que essas assinaturas no mapa wavelet são indicadores de atividade magnética na estrela.
0.0 1.0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1 10 100 1000 200 400 600 800 1000 1200 1400 Dias 1 10 100 1000
0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 15.178 7.081 3.08 5.01 1.44 30.36 Kepler data KIC 008111622 Indice de Potencia Periodo [dias] Fluxo Normalizado
Figura 29: Curva de luz com eclipse (topo), mapa wavelet local (esquerda) e seu espectro global (direta). Os níveis de contorno são 90%, 80%, 70%, ..., 20% e 10% do valor máximo do mapa. A wavelet Morlet de 6o ordem foi utilizada
0.0 1.0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1 10 100 1000 200 400 600 800 1000 1200 1400 Dias 1 10 100 1000
0.980 0.985 0.990 0.995 1.000 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 6.41 31.57 14.73 22.32 1010.21 3.21 Kepler data KIC 008111622 Indice de Potencia Periodo [dias] Fluxo Normalizado
Figura 30: Curva de luz sem eclipse (topo), mapa wavelet local (esquerda) e seu espectro global (direta). Os níveis de contorno são 90%, 80%, 70%, ..., 20% e 10% do valor máximo do mapa. A wavelet Morlet de 6o ordem foi utilizada.
Figura 31: Nesta gura foi dado um zoom entre os dias 1000 e 1100 da curva de luz do KIC 8111622. Esse intervalo de dias foi escolhido com base no mapa wavelet que nos forneceu a informação de quando ocorre um dos máximos em intensidade do período 6,41 dias. Nele, percebemos um pradão semi-regular com leves declives, relacionado às manchas na superfície da estrela.
43
4.3
Sistema binário com pulsação: KIC 8197761
Essa estrela binária foi classi cada como γ Doradus por Uytterhoeven et al. (2011) [34]. Slawson et al. (2011) [35] publicou um catálogo em que classi cava essa binária eclipsante quanto a sua morfologia, de não-contato, com um período orbital de P = 19, 738450dias, a relação entre a temperatura da componente secundária e primária T2T1 = 0, 770. Em 2012, Tenenbaum et al. [36] publicou uma lista de detecções de potencias sinais de trânsito com período de 9,87 dias. Recentemente, [20] analisou esse sistema binário e mostrou que esse período de 9.87 dias está de fato relacionado a um trânsito dos eclipses, entretanto esse período está mascarado pela pulsação da estrela. Além disso, estudos espectroscópicos da KIC 8197761 revelaram variações da velocidade radial senoidal com meia amplitude de 19,75 ± 0, 32 m s−1, enquanto os espectros individuais apresentaram
um alargamento rotacional compatível com νseni = 9 ± 1 km s−1, o que sugere uma
rotação da superfície estelar sincronizada com a órbita.
Para esse sistema analisamos apenas o mapa wavelet da curva de luz com eclipses, pois eles não são muito profundos e, por isso, não afetam a assinatura de pulsação que buscamos identi car. 0.0 1.0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1 10 100 1000 200 400 600 800 1000 1200 1400 Dias 1 10 100 1000
0.96 0.97 0.98 0.99 1.00 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.95 557.90 69.74 278.95 130.14 5.75 0.51 Kepler data KIC 008197761 Indice de Potencia Periodo [dias] Fluxo Normalizado
Figura 32: Curva de luz da estrela binária de tipo γ Doradus Kepler 8197761 (topo), seu mapa wavelet local (esquerda) e seu espectro global (direta). Os níveis de contorno são 90%, 80%, 70%, ..., 20% e 10% do valor máximo do mapa. A wavelet Morlet de 6o ordem foi utilizada.
Na Figura 32, identi camos na sua curva de luz uma modulação de batimento, o que caracteriza uma pulsação. Analisando seu espectro global, percebemos um período de maior amplitude P1 = 0, 95, o harmônico fundamental, associado ao período de pulsação,
onde ele apresenta um comportamento de dunas2 semi-regulares ao longo de todo mapa
[10]. Essa assinatura cou mais evidente quando zemos um zoom na cuva, observado na Figura 33. O período P2 = 557, 90 está associado ao padrão de batimento, e os períodos
P3 = 69, 73, P4 = 278, 95 e P5 = 130, 14 estão afetados pelo gap na curva de luz,
tor-nando difícil a associação desses períodos com a pulsação. O período P6 = 5, 75 parece
estar associado ao padrão de batimento, pois podemos encontrá-lo durante todo tempo no mapa local. Por m, o período P7 = 0, 51é o primeiro harmônico do período fundamental.
0.0 1.0 180 200 220 240 1 10 180 200 220 240 Dias 1 10 0.96 0.97 0.98 0.99 1.00 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.920 44.635 5.98 2.27 0.49 12.82 20.82 Kepler data KIC 8197761 Q3 Indice de Potencia Periodo [dias] Fluxo Normalizado
Figura 33: Curva de luz do 3oquarter da estrela binária de tipo γ Doradus Kepler 8197761 (topo), seu
mapa wavelet local (esquerda) e seu espectro global (direta). Percebemos na sua curva de luz uma mo-dulação de batimento, o que caracteriza uma pulsação. Além disso, temos um harmônico predominânte, P1 = 0, 920, que é o período de pulsação fundamental, apresentando um comportamento de dunas
semi-regulares ao longo de todo mapa, e temos os outros períodos, P2 = 44, 63, P3 = 5, 97, P4 = 2, 27,
P6 = 12, 81, onde todos esses parecem estar ligados ao padrão de batimento, e P7 = 20, 82, que pode
está relacionado ao período orbital, equanto que P5= 0, 49é um harmônico do período fundamental. Os
níveis de contorno são 90%, 80%, 70%, ..., 20% e 10% do valor máximo do mapa. A wavelet Morlet de 6o ordem foi utilizada.
2Chamamos de duna o conjunto de diferentes cores que se agrupam em certas regiões do mapa
5
Conclusões e perspectivas
O intuito deste trabalho de conclusão de curso foi analisar dois sistemas binários (KIC 8111622 e KIC 8197761) da missão Kepler que já são conhecidos na comunidade cientí ca pelos trabalhos dos autores Kjurkchiev e Vasileva (2018) [19] e Sowicka et al. (2017) [20], dessa forma foi possível encontrar, analizando pela teoria wavelet, assinaturas de variabilidade estelar, tais como pulsação, atividade magnética e rotação, tendo os trabalhos desses pesquisadores como amparo. Então, o primeiro passo tomado foi o cálculo do diagrama de fase dessas duas binárias, a partir do código do Prof. Izan Leão, e a estimativa quanto à morfologia, ambas de não-contato.
Fazendo uso dos métodos descritos por Bravo et al. (2014) [31], foram analisados as assinaturas dos mapas wavalet, onde indenti camos assinaturas de rotação para a estrela KIC 8111622, indicando o período de rotação principal e um outro período, que é aproximadamente a metade do período principal, a qual indica uma possível mancha em hemisfério oposto à mancha relacinado ao período principal [24].
Para a estrela binária KIC 8197761, a partir do mapa wavelet foi encontrado padrões de pulsação, através da análise do mapa local e espectro global foram identi cados ca-racterísticas que se repetiam e indicavam tal variabilidade, tal como o efeito de dunas. Essa estrela apresentou características de uma γ Doradus [37] com período de pulsação P = 0, 95dias.
Finalmente, como uma possível prospecção de trabalho futuro, será feito a análise, através do procedimento wavelet, de mais estrelas binárias da missão Kepler, focando principalmente naquelas que ainda não foram reportados na literatura. Ademais, além de analisá-las quanto às variabilidades, calcularemos os parâmetros físicos e orbitais (tempe-ratura efetiva, razão de massa, raio relativo, excentricidade e etc), pois assim poderemos ter uma compreenção mais vasta sobre a evolução estelar.
Referências
[1] B. Ryden, Introduction to Cosmology (Ohio, 2006)
[2] Latham, D. W., Mazeh, T., Stefanik, R. P., et al. 1992, Astrophysical Journal, 104, 774
[3] Kallrath, J. e Milone, E. F. 2009, Eclipsing Binary Stars: Modelling and Analysis (Springer)
[4] Chaisson & McMillan, Astronomy: a beginner's guide to the Universe, 7th Edition, 2013, Pearson
[5] ASTRONOMIA ANTIGA. Disponível em: <http://astro.if.ufrgs.br/antiga/antiga.htm>. Acesso em: 5 de abril de 2018
[6] Thomas, J. & Weiss, N. 2008, Sunspots and Starspots (Cambrige University Press) [7] Carroll, B. W. & Ostlie, D. A. 2007, An introduction to Modern Astrophysics
(Pe-arson)
[8] Zeilik, Gregory & Smith 1992. Introductory Astronomy & Astrophysics. 3rd Ed. Saunders HBJ
[9] Maciel, S. C. 2011, PhD thesis, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, De-partamento de Física Teórica e Experimental, Curso de Pós-Graduação em Física, Natal
[10] Lira, S. R. 2015, MSc thesis, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, De-partamento de Física Teórica e Experimental, Curso de Pós-Graduação em Física, Natal
[11] Castrillón, J. P. B. 2014, PhD thesis, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Departamento de Física Teórica e Experimental, Curso de Pós-Graduação em Física, Natal
[12] Castrillón, J. P. B. 2010, MSc thesis, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Departamento de Física Teórica e Experimental, Curso de Pós-Graduação em Física, Natal
[13] Rocha, N. M. N. 2015, MSc thesis, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Departamento de Física Teórica e Experimental, Curso de Pós-Graduação em Física, Natal
[14] Popper, D. M. 1983, The Astronomical Journal, 88, 1242
47
[16] Niarchos, P. G., Mantegazza, L., Poretti, E., & Manimanis, V. 1998, VizieR Online Data Catalog, 413, 30007
[17] MISSION OVERVIEW. Disponível em: < https://goo.gl/ojCY8a>. Acesso em: 6 de maio de 2018
[18] MISSION OBJECTIVES . Disponível em: < https://goo.gl/FgLSJN>. Acesso em: 3 de junho de 2018
[19] Kjurkchieva, Diana L. Vasileva, Doroteya. (2018). Light curve solutions of the eclip-sing eccentric binaries KIC 8111622, KIC 10518735, KIC 8196180 and their out-of-eclipse variability. Astrophysics and Space Science. 363. 10.1007/s10509-017-3239-0 [20] Sowicka, Paulina Handler, Gerald Debski, Bartlomiej Jones, David Van de Sande,
Marie I. Pápics, Péter. (2017). Search for exoplanets around pulsating stars of AF type in Kepler Short Cadence data and the case of KIC 8197761
[21] Prsa, A., Zwitter, T.: A Computational Guide to Physics of Eclipsing Binaries. I. Demonstrations and Perspectives. Astrophys. J., 628, 426 (2005)
[22] Torrence, C. Compo, G. P. 1998, Bulletin of the American Meteorological Society, 79, 61
[23] Foster, G. 1996, The Astronomical Journal, 112, 1709 [24] Lanza, A. F., Pagano, I., Leto, G., et al. 2009, AA, 493, 193 [25] Le, T. H. 2009, Journal of Science (VNU), 25, 74
[26] Hubbard, B. 1996, The world according to wavelets. The Story of a Mathematical Technique in the Making (A. K. Peters Ltd, Wellesley, Massachusetts)
[27] Morlet, J. Grossmann, A. 1984, SIAM Journal of Mathematical Analysis, 15, 723 [28] Twicken, J. D., Chandrasekaran, H., Jenkins, J. M., et al. 2010, in Society of
Photo-Optical Instrumentation Engineers (SPIE) Conference Series, Vol. 7740, Society of Photo-Optical Instrumentation Engineers (SPIE) Conference Series
[29] Farge, M. 1992, Ann. Rev. Fluid Mech, 24, 395
[30] De Medeiros, J. R., Ferreira Lopes, C. E., Leão, I. C., et al. 2013, AA, 555, A63 [31] Bravo, J. P., Roque, S., Estrela, R., Leão, I. C., De Medeiros, J. R. 2014, AA, 568,
A34
[32] Scargle, J. D. Studies in astronomical time series analysis. II - Statistical aspects of spectral analysis of unevenly spaced data. Astrophysical Journal, Part 1, vol. 263, Dec. 15, 1982, p. 835-853
[33] Robert W. Slawson and Andrej Prsa and William F. Welsh and Jerome A. Orosz and Michael Rucker and Natalie Batalha and Laurance R. Doyle and Scott G. Engle and Kyle Conroy and Jared Coughlin and Trevor A. Gregg and Tara Fetherolf and Donald R. Short and Gur Windmiller and Daniel C. Fabrycky and Steve B. Howell and Jon
M. Jenkins and Kamal Uddin and F. Mullally and Shawn E. Seader and Susan E. Thompson and Dwight T. Sanderfer and William Borucki and David Koch . Kepler Eclipsing Binary Stars. II. 2165 Eclipsing Binaries in the Second Data Release. The Astronomical Journal, vol. 142, n. 5, Mar. 2011, p. 160
[34] Uytterhoeven K. et al., 2011, AA, 534, 125 [35] Slawson R. W. et al., 2011, AJ, 142, 160 [36] Tenenbaum P. et al., 2012, ApJS, 199, 24
[37] Percy, J. (2007). Pulsating variable stars. In Understanding Variable Stars (pp. 136-223). Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511536489.008
