SolExercsParte1 NA1 9

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SOLUC

¸ ˜

AO DOS EXERC´

ICIOS DE TEORIA DO CONSUMIDOR

Microeconomia – Gradua¸

c˜

ao – Parte 1/3

Departamento de Economia – Universidade de Bras´ılia

Prof. Jos´

e Guilherme de Lara Resende

NOTA DE AULA 2 – RESTRIÇ ÃO ORÇ AMENT ÁRIA

2.1) Assuma que existam apenas dois bens e suponha que o pre¸co do bem 2 aumentou. Represente graficamente essa mudan¸ca. Se sabemos que o consumidor exaure toda a sua renda e prefere consumir mais a menos, esse aumento do pre¸co do bem 2 ir´a afetar o seu bem-estar de que forma? Isso ocorrer´a sempre?

S: A figura ´e representada abaixo.

6 -x2 x1 m p2 m p1 H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H m ¯ p2 c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c Mudanca na RO causada por um aumento no pre¸co p2

(aumenta de p2 para ¯p2)

O aumento no pre¸co do bem 2 piora o bem-estar do indiv´ıduo caso ele consuma esse bem 2. Se ele não consome o bem 2, então o aumento do seu pre¸co não terá consequência no seu bem-estar. Ou seja, dado o aumento do pre¸co de um bem, ou o bem-estar do consumidor diminui (caso ele consuma esse bem) ou permanece o mesmo (caso não consuma o bem), sendo que o bem-estar do consumidor nunca aumentará com o aumento do pre¸co de um bem. 2.2) Suponha que os pre¸cos de todos os bens aumentem na mesma propor¸cão. Isso é equivalente

a uma mudan¸ca na renda? Explique.

S: Sim. Se todos os pre¸cos se alteram na mesma propor¸cão t > 0 (no caso de um aumento de pre¸cos, t > 1), então a nova restri¸cão or¸camentária será:

(tp1)x1+ (tp2)x2+ · · · + (tpn)xn≤ m , que ´e equivalente a:

p1x1+ p2x2+ · · · + pnxn≤ m

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ou seja, a uma mudan¸ca na renda na propor¸cão 1/t. Logo, se t for maior do que 1, temos que esse aumento dos pre¸cos dos bem é equivalente a uma diminui¸cão da renda. Se t for menor do que 1, ocorre uma queda na mesma propor¸cão em todos os pre¸cos, e isso equivale a um aumento da renda.

2.3) Suponha que o bem 1 teve o seu pre¸co quadruplicado e o bem 2 teve o seu pre¸co duplicado. O que ocorre com a inclina¸c˜ao da reta or¸cament´aria? Faz sentido dizermos que o bem 1 se tornou relativamente mais barato do que o bem 2?

S: A inclina¸cão da reta or¸camentária, que antes era −p1/p2, se tornou −4p1/2p2 = −2p1/p2, ou seja, a inclina¸cão da reta or¸camentária dobrou. Isso significa que o bem 1 passou a custar o dobro em termos do bem 2, ou seja, faz sentido dizer que o bem 1 se tornou relativamente mais caro do que o bem 2, e não relativamente mais barato.

2.4) Suponha que o indiv´ıduo consome apenas dois bens, em que o bem 1 é saúde, medido em termos qualidade (ou seja, quanto mais afastado da origem no eixo horizontal, melhor o servi¸co de saúde adquirido). O governo resolve prover gratuitamente o n´ıvel de saúde x1 = ¯s (e apenas esse n´ıvel é provido de modo gratuito). Represente a reta or¸camentária neste caso. S: A reta or¸camentária apresentará uma quebra no n´ıvel de saúde x1 = ¯s, já que o consumidor não precisará pagar nada se quiser consumir esse n´ıvel, e poderá gastar toda a sua renda com os outros bens (logo, a cesta B é uma cesta fact´ıvel, junto com todas cetas que possuem o mesmo n´ıvel x1 = ¯s e x2 ≤ m/p2, cestas na linha abaixo de B).

6 -x2 x1 m p2 m p1 @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @_@ 1

Reta Or¸cament´aria

x1 = ¯s c sB

2.5) Ilustre graficamente a restri¸cão or¸camentária para o caso de três bens. O que ocorre com essa restri¸cão se a renda aumentar? E se o pre¸co de um bem aumentar?

S: Nesse caso, a reta or¸cament´aria ´e:

p1x1+ p2x2+ p3x3 = m ,

e graficamente pode ser representada por um plano em um gráfico tridimensional, ilustrado na figura abaixo. Um aumento de renda levará a um deslocamento paralelo desse plano “para fora”, enquanto uma queda na renda leva a um deslocamento paralelo desse plano “para dentro”. Já uma mudan¸ca de pre¸cos implica um giro no plano. Ilustre graficamente essas altera¸cões.

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6 - x3 x2 x1 m p3 m p2 m p1 @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ 1

Plano Or¸cament´ario

2.6) Suponha que existam apenas dois bens e o governo resolve controlar os pre¸cos desses bens do seguinte modo: o pre¸co é R$ 1,00 até 5 unidades adquiridas, e o pre¸co é R$ 2,00 para unidades adicionais (acima das primeiras 5 unidades adquiridas). Suponha que Carlos tem uma renda de R$ 10,00.

a) Ilustre graficamente a reta or¸cament´aria de Carlos.

S: O Governo cobra R$ 2 apenas para as quantidades superiores a cinco unidades com-pradas de cada bem. Se Carlos decidir comprar 6 unidades de um dos bens, ele pagará R$ 1 pelas cinco primeiras unidades e R$ 2 pela sexta unidade adquirida. Portanto, a reta or¸camentária é descrita pelo gráfico abaixo.

6 -x2 x1 Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q_Q J J J J J J J J J J J s 5 5 7,5 s 7,5 s Inclina¸c˜ao: −p1 p2 = − 1 2 Inclina¸c˜ao: −p1 p2 = −2

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b) Descreva a reta or¸cament´aria em termos alg´ebricos.

S: Na reta or¸camentária abaixo, o número 5 em cada equa¸cão é o custo das cinco primeiras unidades compradas por 1 real. Os termos 2(x2 − 5) e 2(x1 − 5) são as quantidades de x1 e x2 que excedem 5 unidades, multiplicadas pelo pre¸co que, neste caso, é igual a 2.

x₁+ 2(x2 − 5) + 5 = 10, se x2 > 5, 0 ≤ x1 ≤ 5 2(x1− 5) + 5 + x2 = 10, se x1 > 5, 0 ≤ x2 ≤ 5 Essas equa¸c˜oes podem ser reescritas de modo mais simples como:

x₁+ 2x2 = 15, se x2 > 5, 0 ≤ x1 ≤ 5 2x1+ x2 = 15, se x1 > 5, 0 ≤ x2 ≤ 5

2.7) Suponha uma economia com dois bens, denotados por x e y. A reta or¸cament´aria de Maria ´e pM

x x + pMy y = mM e a reta or¸camentária de João é pJxx + pJyy = mJ, onde pMx /pMy 6= pJx/pJy. Ou seja, o custo de mercado entre x e y para Maria é diferente do custo de mercado para João. Maria e João decidem se casar e formar uma fam´ılia onde a renda dos dois é gasta em conjunto, apesar de que os pre¸cos dos bens para cada um deles continuam os mesmos de antes.

a) Defina a restri¸c˜ao or¸cament´aria do casal.

S: A restri¸cão or¸camentária do casal é pxx + pyy = m, onde px = min{pMx , pJx}, py = min{pM_y , pJ_y} e m = mM _{+ m}J_.

b) Haver´a especializa¸c˜ao na compra dos bens?

S: Sim. Quem comprará um determinado bem é quem tem acesso ao menor pre¸co deste bem. Por exemplo, se px = pMx e py = pJy, ou seja, se Maria tem acesso a um pre¸co mais barato para o bem x e João tem acesso a um pre¸co mais barato para o bem y, Maria se especializa na compra do bem x e João se especializa na compra do bem y.

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NOTA DE AULA 3 – PREFERˆENCIAS E UTILIDADE

3.1) Suponha um consumidor que tenha preferˆencias definidas entre cestas compostas por dois bens do seguinte modo: se (x1, x2) ≥ (y1, y2) (ou seja, x1 ≥ y1 e x2 ≥ y2), ent˜ao x y.

a) Mostre como são as rela¸cões de preferência estrita e de indiferen¸ca associadas a . S: A rela¸cão de preferência estrita é definida a partir de como (x1, x2) (y1, y2) significa que (x1, x2) (y1, y2) e que não vale (y1, y2) (x1, x2) (observe que não valer (y1, y2) (x1, x2) significa que ou y1 < x1 ou y2 < x2), então (x1, x2) (y1, y2) significa que x1 ≥ y1 e x2 ≥ y2, com pelo menos uma das desigualdades valendo de modo estrito. A rela¸cão de indiferen¸ca ∼ é definida a partir de como (x1, x2) ∼ (y1, y2) significa que (x1, x2) (y1, y2) e (y1, y2) (x1, x2). No primeiro caso, temos que x1 ≥ y1 e x2 ≥ y2 e no segundo caso temos que x1 ≤ y1 e x2 ≤ y2. Portanto, (x1, x2) ∼ (y1, y2) significa que x1 = y1 e x2 = y2, para a preferência definida neste exerc´ıcio (observe então que a única cesta indiferente à uma cesta (x1, x2) qualquer é ela própria).

b) Essas preferˆencias s˜ao (justifique sua resposta): i) Completas?

S: Não. Duas cestas tais como (x1, x2) e (y1, y2), com x1 > y1 e x2 < y2 não são comparáveis, para o sistema de preferências considerado. Por exemplo, (1, 2) e (2, 1) não são comparáveis: não podemos dizer qual cesta é melhor ou se são indiferentes, usando a preferência definida acima.

ii) Transitivas?

S: Sim. Temos que mostrar que se a cesta x é prefer´ıvel à cesta y e a cesta y é prefer´ıvel à cesta z, então a cesta x é prefer´ıvel à cesta z. Note que se x y então (x1, x2) ≥ (y1, y2) e se y z então (y1, y2) ≥ (z1, z2). Portanto, (x1, x2) ≥ (z1, z2) e, pela defini¸cão dessa preferência, x z. Ou seja, essas preferências são transitivas. iii) Monótonas?

S: Sim, por defini¸c˜ao (“quanto mais, melhor ”). iv) Convexas?

S: Sim, pois se x e y s˜ao duas cestas de bens tais que x y, ent˜ao x1 ≥ y1 e x2 ≥ y2 e, portanto, tx1 + (1 − t)y1 ≥ y1 e tx2+ (1 − t)y2 ≥ y2, para todo t ∈ [0, 1], o que por sua vez significa que tx + (1 − t)y x, para todo t ∈ [0, 1].

3.2) O técnico de volei Bernardo acha que os jogadores devem ter três qualidade: altura, agilidade e obediência. Se o jogador A é melhor que o jogador B em duas dessas três caracter´ısticas, então Bernardo prefere A a B. Para os outros casos, ele é indiferente entre A e B. Carlos mede 2,08m, é pouco ágil e obediente. Luis mede 1,90m, é muito ágil e muito desobediente. Paulo mede 1,85m, é ágil e extremamente obediente.

a) Bernardo prefere Carlos ou Luis? Bernardo prefere Luis ou Paulo? Bernardo prefere Carlos ou Paulo?

b) As preferências do técnico são transitivas?

S: (a e b) Podemos descrever as caracter´ısticas dos jogadores na tabela a seguir:

Carlos Luis Paulo

Altura 2,08 1,90 1,85

Agilidade P ouco M uito N ormal

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´

E fácil que a regra de preferência de Bernardo implica Carlos Luis (pois Carlos é mais alto e mais obediente do que Luis), Luis Paulo (pois Luis é mais alto e mais ágil do que Paulo) e Paulo Carlos (pois Paulo é mais ágil e mais obediente do que Carlos). Portanto, as preferências de Bernardo não são transitivas (Carlos Luis, Luis Paulo, mas não ocorre Carlos Paulo e sim que Paulo Carlos).

c) Depois de perder vários campeonatos, Bernardo decide mudar sua forma de comparar os jogadores. Agora ele prefere o jogador A ao jogador B se A é melhor do que B nas três caracter´ısticas. Ele é indiferente entre A e B se eles têm todas as três caracter´ısticas iguais. Para todas as outras possibilidades, Bernardo diz que não é poss´ıvel comparar os jogadores. As novas preferências de Bernardo são: completas? transitivas? reflexivas? Justifique.

S: Vamos responder cada caso:

• Completas? Não. Por exemplo, Bernardo não consegue mais se decidir entre Carlos ou Luis, já que Carlos é mais alto e mais obediente, porém menos ágil do Luis. • Transitivas? Sim. Se Bernardo consegue comparar os jogadores A, B e C, e temos

A B e B C, ent˜ao podem ocorrer quatro casos:

i) A ∼ B e B ∼ C: A e B possuem as três qualidades iguais e B e C possuem as três qualidades iguais. Logo, A e C possuem as três qualidades iguais, ou seja, A ∼ C, o que implica A C.

ii) A B e B ∼ C: A é melhor do que B nas três qualidades e B e C possuem as três qualidades iguais. Logo, A será melhor que C nas três qualidades, ou seja, A C, o que implica também A C.

iii) A ∼ B e B C: A e B possuem as três qualidades iguais e B é melhor do que C nas três qualidades. Logo, A será melhor que C nas três qualidades, ou seja, A C, o que implica também A C.

iv) A B e B C: A é melhor do que B nas três qualidades e B é melhor do que C nas três qualidades. Consequentemente, A será melhor que C nas três qualidades, ou seja, A C, o que implica também A C.

• Reflexivas? Sim. Para todo jogador, as qualidades desse jogador s˜ao iguais quando comparado a ele mesmo, o que implica que Bernardo ´e indiferente ao mesmo jogador, ou seja, A A, para qualquer jogador A.

3.3) Suponha uma preferência lexicográfica L por dois bens. a) Mostre que L é completa, reflexiva e transitiva.

S: Vamos mostrar cada um dos axiomas separadamente:

• Completa: Considere as cestas x = (x1, x2) e y = (y1, y2) quaisquer. Se x1 > y1, então x Ly, ou seja, x Ly. Se y1 > x1, então y Lx, ou seja, y Lx. No caso em x1 = y1, olhamos o segundo bem: se x2 > y2, então x L y, ou seja, x Ly. Se y2 > x2, então y L x, ou seja, y L x. Finalmente, se x1 = y1 e x2 = y2, então x ∼L y, ou seja, x L y. Logo, é sempre poss´ıvel comparar as cestas x e y em termos da preferência lexicográfica, o que significa que ela é completa.

• Reflexiva: Evidentemente, como L é completa, podemos concluir que ela será reflexiva. Mas vamos mostrar isso diretamente conferindo se a defini¸cão de reflexivi-dade é satisfeita. Para uma cesta x = (x1, x2) qualquer, temos sempre que x1 = x1 e x2 = x2, ou seja, x ∼L x, logo x Lx, o que mostra que a preferência lexicográfica ´

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• Transitiva: Considere as cestas x = (x1, x2), y = (y1, y2) e z = (z1, z2), com x Ly e y Lz. Vamos dividir a an´alise nos quatro casos poss´ıveis:

i) x ∼L y e y ∼Lz: x ∼L y implica x = y e y ∼Lz implica y = z. Logo x = z, ou seja, x Lz (mais especificamente, x ∼Lz).

ii) x L y e y ∼L z: x Ly implica que ou x1 > y1 ou que x1 = y1 e x2 > y2. J´a y ∼L z implica y = z. Logo ou x1 > z1 ou x1 = z1 e x2 > z2, o que significa x Lz (mais especificamente, x Lz).

iii) x ∼L y e y L z: x ∼L y implica x = y e y L z implica que ou y1 > z1 ou que y1 = z1 e y2 > z2. Logo ou x1 > z1 ou x1 = z1 e x2 > z2, o que significa x Lz (mais especificamente, x Lz).

iv) x L y e y L z: x Ly implica que ou x1 > y1 ou que x1 = y1 e x2 > y2. J´a y L z implica que ou y1 > z1 ou que y1 = z1 e y2 > z2. Logo ou x1 > z1 ou x1 = z1 e x2 > z2, o que significa x L z (mais especificamente, x Lz).

b) Considere a sequência de cestas xn = (1 + 1/n, 0), para todo n = 1, 2, . . . , e a cesta x = (1, 1). Qual a rela¸cão de preferência entre cada xn e x?

S: Como para todo n ∈ N, 1/n > 0, então 1 + 1/n > 1. Logo, para todo n = 1, 2, . . . , a cesta xn tem uma quantidade maior do primeiro bem do que a cesta x. Pela defini¸cão da preferência lexicográfica, temos que xn é estritamente prefer´ıvel a x, para todo n = 1, 2, . . . (xnLx, para todo n ∈ N)

c) Para qual cesta a sequˆencia de cestas xn converge quando n tende a infinito? Denote essa cesta limite por ¯x.

S: É fácil notar que se n tende a infinito, então 1/n tende a zero. Logo, 1 + 1/n tende a 1 quando n tende a infinito. Portanto, a sequência de cestas xn = (1 + 1/n, 0) tende à cesta ¯x = (1, 0).

d) Qual a rela¸cão entre x e ¯x? O que isso diz sobre a preferência lexicográfica satisfazer ou não o axioma de continuidade?

S: Como x = (1, 1) e ¯x = (1, 0) possuem a mesma quantidade do bem 1, mas a cesta x possui uma quantidade maior do bem 2 do que a cesta ¯x, então pela defini¸cão da preferência lexicográfica temos que a cesta x L x. Os itens b), c) e d) mostram que¯ a preferência lexicográfica não satisfaz o axioma de continuidade, pois para ele fosse satisfeito, já que em b) vimos que xn L x (mais especificamente, xn L x) para todo n ∈ N e em c) vimos que xn converge para ¯x, o axioma da continuidade, se válido, implicaria ¯x Lx, o que a solu¸cão deste item mostra que não ocorre.

e) Verifique se L satisfaz os axiomas de monotonicidade e de monotonicidade estrita. S: Vamos mostrar cada um dos axiomas separadamente:

• Monotonicidade: Considere as cestas x = (x1, x2) e y = (y1, y2) quaisquer com x ≥ y. Isso significa que x tem todos os bens em quantidades iguais ou maiores do que y, o que pela defini¸cão da preferência lexicográfica implica x L y. Agora considere as cestas x = (x1, x2) e y = (y1, y2) quaisquer com x y. Isso significa que x tem todos os bens em quantidades maiores do que y, inclusive o primeiro bem. Então pela defini¸cão da preferência lexicográfica, obtemos que x Ly. • Monotonicidade Estrita: Considere as cestas x = (x1, x2) e y = (y1, y2) quaisquer

com x ≥ y. Isso significa que x tem todos os bens em quantidades iguais ou maiores do que y, o que pela defini¸cão da preferência lexicográfica implica x L y. Agora considere as cestas x = (x1, x2) e y = (y1, y2) quaisquer com x ≥ y e x 6= y. Isso significa que x tem todos os bens em quantidades maiores ou iguais do que y, e

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pelo menos um dos bens em quantidade maior. Então pela defini¸cão da preferência lexicográfica, obtemos que x Ly.

f) Verifique se L satisfaz os axiomas de convexidade e de convexidade estrita. S: Vamos mostrar cada um dos axiomas separadamente:

• Convexidade: Considere as cestas x = (x1, x2) e y = (y1, y2) quaisquer com x L y. Pela defini¸cão da preferência lexicográfica isso significa que x tem todos os bens em quantidades iguais ou maiores do que y. Logo, a cesta zt = tx + (1 − t)y, para t ∈ [0, 1] terá todos os bens em quantidades maiores ou iguais comparado aos respectivos bens na cesta y (entenda o porquê disso ser verdade!), o que a defini¸cão da preferência lexicográfica implica zt Ly, para todo t ∈ [0, 1], provando a convexidade de L.

• Convexidade Estrita: Considere as cestas x = (x1, x2) e y = (y1, y2) quaisquer com x L y e x 6= y. Sabemos que x L y significa que x tem todos os bens em quantidades iguais ou maiores do que y e que x 6= y significa que x tem pelo menos um bem em quantidade maior do que y. Logo, a cesta zt = tx + (1 − t)y, para t ∈ (0, 1) terá todos os bens em quantidades maiores ou iguais comparado à cesta y e pelo menos o bem que estava em quantidade maior na cesta x também em quantidade maior na cesta zt do que na cesta y (entenda o porquê disso ser verdade!), o que a defini¸cão da preferência lexicográfica implica ztL y, para todo t ∈ (0, 1), provando a convexidade estrita de L.

3.4) Considere a utilidade u(x1, x2) = x0,51 x 0,5 2 .

a) Calcule as utilidades marginais dos bens 1 e 2. Verifique que s˜ao decrescentes. Qual seria a interpreta¸c˜ao de utilidades marginais decrescentes?

S: As utilidades marginais s˜ao:

Bem 1: U M g1(x1, x2) = ∂u(x1, x2)/∂x1 = 0,5x −0,5 1 x 0,5 2 Bem 2: U M g2(x1, x2) = ∂u(x1, x2)/∂x2 = 0,5x0,51 x −0,5 2 Observe que: ∂U M g1(x1, x2)/∂x1 = ∂2u(x1, x2)/∂x21 = −0,25x −1,5 1 x 0,5 2 < 0, e ∂U M g2(x1, x2)/∂x2 = ∂2u(x1, x2)/∂x22 = −0,25x 0,5 1 x −1,5 2 < 0,

ou seja, as utilidades marginais s˜ao decrescentes. Uma utilidade marginal de um bem ser decrescente era interpretado na teoria cardinal como quanto mais do bem, menor a quantidade de utilidade que ele geraria para o indiv´ıduo.

b) Calcule as utilidades marginais dos bens 1 e 2 para a fun¸c˜ao de utilidade ¯u(x1, x2) = x21x22. Verifique se s˜ao crescentes.

S: As utilidades marginais s˜ao:

Bem 1: U M g1(x1, x2) = ∂u(x1, x2)/∂x1 = 2x1x22 Bem 2: U M g2(x1, x2) = ∂u(x1, x2)/∂x2 = 2x21x2 Observe que: ∂U M g1(x1, x2)/∂x1 = ∂2u(x1, x2)/∂x21 = 2x 2 2 > 0, e ∂U M g2(x1, x2)/∂x2 = ∂2u(x1, x2)/∂x22 = 2x 2 1 > 0,

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c) Mostre que u e ¯u representam a mesma preferˆencia. O que isso implica a respeito de a utilidade marginal ser decrescente ou crescente?

S: Note que ¯u = f ◦ u, com f (t) = t4 _{crescente para todo t ≥ 0. Pelo Teorema de} Representa¸cão, isso significa que u e ¯u representam a mesma preferência. Podemos concluir então que a utilidade marginal ser decrescente ou crescente não tem conteúdo econômico algum (teoria puramente ordinal).

d) Calcule a TMS para as duas fun¸cões de utilidade e verifique se são iguais. Isso é esperado? Justifique.

S: Utilizando as solu¸c˜oes dos itens anteriores, temos que: T M Su = −∂u(x1, x2)/∂x1 ∂u(x1, x2)/∂x2 = −0,5x −0,5 1 x 0,5 2 0,5x0,5₁ x−0,5₂ = − x2 x1 = −2x1x 2 2 2x2 1x2 = −∂ ¯u(x1, x2)/∂x1 ∂ ¯u(x1, x2)/∂x2 = T M Su¯, ou seja, as duas TMS s˜ao iguais, como esperado.

3.5) Desenhe as curvas de indiferen¸ca para as seguintes utilidades: a) Utilidade Linear: u(x1, x2) = ax1+ bx2, a, b > 0.

S: A figura ´e (as setas nesta e nas figuras dos itens abaixo indicam a dire¸c˜ao que a utilidade aumenta): 6 -x2 x1 @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ Curvas de Indiferen¸ca u(x1, x2) = ax1+ bx2

b) Utilidade de Leontief: u(x1, x2) = min{ax1, bx2}, a, b > 0. S: A figura ´e: 6 -x2 x1 semi-reta x2 = (a/b)x1 Curvas de Indiferen¸ca u(x1, x2) = min{ax1, bx2}

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c) Utilidades com um Bem Neutro: u(x1, x2) = x1 e u(x1, x2) = x2. S: As figuras s˜ao: 6 -x2 x1 - - -u(x1, x2) = x1 6 -x2 x1 6 6 6 u(x1, x2) = x2

d) Utilidade com um Mal: u(x1, x2) = x1− x2. S: A figura ´e: 6 -x2 x1 - - - -Curvas de Indiferen¸ca u(x1, x2) = x1− x2

3.6) Suponha que uma pessoa esteja consumindo uma cesta de bens tal que a sua utilidade marginal de consumir o bem A é 12 e a sua utilidade marginal de consumir o bem B é 2. Suponha também que os pre¸cos dos bens A e B são R$ 2 e R$ 1, respectivamente, e que as preferências desse consumidor são estritamente convexas.

a) Essa pessoa está escolhendo quantidades ótimas dos bens A e B? Caso não esteja, qual bem ela deveria consumir relativamente mais (não se preocupe com a restri¸cão or¸camentária nesse item)?

S: Denote a cesta de bens que essa pessoa consome por x. Para essas quantidades de bens, temos que:

∂u(x)/∂xA ∂u(x)/∂xB

= 6 6= 2 = pA pB

A TMS entre A e B é maior do que a rela¸cão de pre¸cos entre A e B. Nesse caso, assumindo que xB > 0, o consumidor pode aumentar sua utilidade se consumir mais do bem A e menos o bem B, pois no mercado ele pode trocar 2 unidades de B por uma unidade de A e tal troca vai aumentar sua utilidade em uma razão de seis vezes.

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b) A sua resposta para o item a) depende do valor da utilidade marginal? Explique. S: Não, depende apenas da rela¸cão entre as utilidades marginais, que permanece a mesma qualquer que seja a fun¸cão de utilidade usada para representar as preferências.

3.7) Suponha que Ana consome apenas pão e circo, e que suas preferências são bem-comportadas. Um certo dia o pre¸co do pão aumenta e o pre¸co do circo diminui. Ana continua tão feliz quanto antes da mudan¸ca de pre¸cos (a renda de Ana não mudou).

a) Ana consume mais ou menos p˜aes ap´os a mudan¸ca de pre¸cos? b) Ana consegue agora comprar a cesta que comprava antes?

S: (a e b juntos) Nesse caso, pão se torna mais caro relativamente ao circo. A reta or¸camentária se torna mais inclinada. Essa mudan¸ca na reta or¸camentária é tal que Ana alcan¸ca o mesmo n´ıvel de utilidade de antes (ou seja, a nova reta or¸camentária tangenciará a mesma curva de indiferen¸ca que a reta or¸camentária original tangenciava). O gráfico abaixo mostra que Ana consome menos pães do que antes (equil´ıbrio muda de E para Ê) e que a cesta que ela consumia antes (E) não é mais poss´ıvel de ser adquirida aos novos pre¸cos (pois está fora do conjunto de cestas fact´ıveis para a nova reta or¸camentária).

6 -circo p˜ao Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q T T T T T T T T T T T T T T T T T T ˆ E r E r @ @ I 1

reta or¸cament´aria original

1

reta or¸cament´aria final

3.8) Considere as fun¸cões de utilidade abaixo e usando a defini¸cão de homotetia, verifique quais são homotéticas.

a) Utilidade Cobb-Douglas: u(x1, x2) = xα1x β

2, α, β > 0.

S: Considere neste e nos itens seguintes que x e y são duas cestas quaisquer com u(x) = u(y) e t é um número igual ou maior do que zero. Para mostrar que uma fun¸cão de utilidade u é homotética, precisamos mostrar que u(tx) = u(ty), para todo t ≥ 0. Para a fun¸cão de utilidade descrita no item temos que:

u(x) = u(y) ⇔ xα 1x β 2 = y α 1y β

2 ⇔ (tx1)α(tx2)β = (ty1)α(ty2)β ⇔ u(tx) = u(ty) , em que a terceira igualdade ´e obtida multiplicando a segunda igualdade por tα+β ₌ tα× tβ_{. Isso mostra que u(x}

1, x2) = xα1x β

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b) Utilidade CES: u(x1, x2) = (axρ1 + bx ρ

2)1/ρ, a, b > 0, 0 6= ρ < 1. S: Observe que:

u(x) = u(y) ⇔ (axρ₁ + bxρ₂)1/ρ = (ay₁ρ+ by₂ρ)1/ρ

⇔ (a(tx1)ρ+ b(tx2)ρ)1/ρ = (a(ty1)ρ+ b(ty2)ρ)1/ρ ⇔ u(tx) = u(ty) ,

em que a terceira igualdade ´e obtida multiplicando a segunda igualdade por t ≥ 0. Isso mostra que u(x1, x2) = (axρ1+ bx

ρ

2)1/ρ, a, b > 0, 0 6= ρ < 1, ´e homot´etica. c) Utilidade Linear: u(x1, x2) = ax1+ bx2, a, b > 0.

S: Observe que:

u(x) = u(y) ⇔ ax1+ bx2 = ay1+ by2

⇔ a(tx1) + b(tx2) = a(ty1) + b(ty2) ⇔ u(tx) = u(ty) ,

em que a terceira igualdade é obtida multiplicando a segunda igualdade por t ≥ 0. Isso mostra que u(x1, x2) = ax1+ bx2, a, b > 0, é homotética.

d) Utilidade de Leontief: u(x1, x2) = min{ax1, bx2}, a, b > 0. S: Observe que:

u(x) = u(y) ⇔ min{ax1, bx2} = min{ay1, by2}

⇔ min{a(tx1), b(tx2)} = min{a(ty1), b(ty2)} ⇔ u(tx) = u(ty) ,

em que a terceira igualdade é obtida multiplicando a segunda igualdade por t ≥ 0 e pelo fato que t min{D, E} = min{tD, tE}, para D, E ∈ R quaisquer. Isso mostra que u(x1, x2) = min{ax1, bx2}, a, b > 0, é homotética.

e) Utilidade Quaselinear 1: u(x1, x2) = ln(x1) + x2.

S: Fun¸cões de utilidade quaselineares não são homotéticas. Para mostrar que u não é homotética temos que encontrar um para de cestas x e y tais que u(x) = u(y), mas que não vale u(tx) = u(ty), para algum t > 0. Vamos mostrar isso para o caso desta fun¸cão. Considere as cestas x = (1, 2) e y = (e, 1), em que e denota a constante de Euler. Temos que:

u(x) = u(1, 2) = ln(1) + 2 = 2 = ln(e) + 1 = u(e, 1) = u(y) Por´em, note que:

u(2x) = u(2, 4) = ln(2) + 4 ≈ 4,69 6= 3,69 = ln(2e) + 2 = u(2e, 2) = u(2y) . f) Utilidade Quaselinear 2: u(x1, x2) =

√

x1+ x2.

S: Considere as cestas x = (1, 2) e y = (4, 1). Temos que:

u(x) = u(1, 2) =√1 + 2 = 3 =√4 + 1 = u(4, 1) = u(y) Por´em, note que:

(13)

NOTA DE AULA 4 – O PROBLEMA DO CONSUMIDOR

4.1) Encontre as demandas ´otimas para os seguintes casos, onde α > 0 e β > 0: a) u(x1, x2) = xα1x

β 2;

S: O Lagrangeano deste problema ´e L = xα 1x β 2+ λ(m − (p1x1+ p2x2)). As CPO resultam em: (x1) : αxα−11 x β 2 = λp1 (x2) : βxα1x β−1 2 = λp2 (λ) : m = p1x1+ p2x2 Dividindo a primeira CPO pela segunda CPO, obtemos:

αx2 βx1 = p1 p2 ⇒ x2 = p1 p2 βx1 α

Substituimos agora essa express˜ao para x2 na reta or¸cament´aria (terceira CPO): m = p1x1+ p2 p1 p2 βx1 α ⇒ x1 = α α + β m p1

Substituindo x1 de volta em x2, obtemos as duas fun¸c˜oes de demanda: x1(p1, p2, m) = α α + β m p1 e x2(p1, p2, m) = β α + β m p2 b) u(x1, x2) = x α α+β 1 x β α+β 2 ;

S: O Lagrangeano deste problema ´e L = x

α α+β 1 x β α+β 2 + λ(m − (p1x1 + p2x2)). As CPO resultam em: (x1) : α α + β x α α+β−1 1 x β α+β 2 = λp1 (x2) : β α + β x α α+β 1 x β α+β−1 2 = λp2 (λ) : m = p1x1+ p2x2

Dividindo a primeira CPO pela segunda CPO, obtemos: αx2 βx1 = p1 p2 ⇒ x2 = p1 p2 βx₁ α

Substituimos agora essa express˜ao para x2 na reta or¸cament´aria (terceira CPO): m = p1x1+ p2 p₁ p2 βx₁ α ⇒ x1 = α α + β m p1

Substituindo x1 de volta em x2, obtemos as duas fun¸c˜oes de demanda: x1(p1, p2, m) = α α + β m p1 e x2(p1, p2, m) = β α + β m p2 .

(14)

c) u(x1, x2) = α ln(x1) + β ln(x2);

S: O Lagrangeano deste problema ´e L = α ln(x1) + β ln(x2) + λ(m − (p1x1+ p2x2)). As CPO resultam em:

(x1) : α x1 = λp1 (x2) : β x2 = λp2 (λ) : m = p1x1+ p2x2 Dividindo a primeira CPO pela segunda CPO, obtemos:

αx2 βx1 = p1 p2 ⇒ x2 = p1 p2 βx1 α

Substituimos agora essa express˜ao para x2 na reta or¸cament´aria (terceira CPO): m = p1x1+ p2 p1 p2 βx1 α ⇒ x1 = α α + β m p1

Substituindo x1 de volta em x2, obtemos as duas fun¸c˜oes de demanda: x1(p1, p2, m) = α α + β m p1 e x2(p1, p2, m) = β α + β m p2

Qual a rela¸c˜ao entre as demandas encontradas acima? Justifique a sua resposta. Com base na sua resposta, se a utilidade ´e do tipo u(x1, x2) = xα1x

β

2, ´e poss´ıvel tranform´a-la em uma utilidade do tipo u(x1, x2) = xγ1x

1−γ

2 , com 0 < γ < 1? Se sim, qual a rela¸cão entre α, β e γ? S: As fun¸cões de demanda são as mesmas para os três casos. Mais ainda, a taxa marginal de substitui¸cão é a mesma para as três utilidades (T M S = −(αx2/βx1). Isto ocorre porque as três utilidade representam as mesmas preferências. Observe que a segunda utilidade é igual à primeira elevada a 1/(α + β), o que constitui uma transforma¸cão crescente, pois α > 0 e β > 0. A terceira utilidade é igual à primeira utilidade log-linearizada (lembre-se que a fun¸cão logaritmo é crescente para todo número positivo). Logo, se elevarmos a utilidade u(x1, x2) = xα1x

β

2 `a potˆencia 1/(α + β), obtemos a utilidade u(x1, x2) = x γ 1x

1−γ 2 , com γ = α/(α + β) e, portanto, 1 − γ = β/(α + β), 0 < γ < 1, j´a que α > 0 e β > 0.

4.2) Considere a seguinte fun¸c˜ao de utilidade:

u(x1, x2) = x0,51 + x 0,5 2 .

a) Determine as fun¸cões de demanda marshallianas e a fun¸cão de utilidade indireta. S: O problema do consumidor é: max x1,x2 x0,5₁ + x0,5₂ s.a p1x1+ p2x2 = m O Lagrangeano do problema é: L = x0,5₁ + x0,5₂ + λ [m − (p1x1+ p2x2)] As CPO resultam em:

(x1) : 0,5x −0,5 1 = λp1 (x2) : 0,5x −0,5 2 = λp2 (λ) : m = p1x1+ p2x2

(15)

Dividindo a primeira CPO pela segunda CPO, obtemos: x2 x1 0,5 = p1 p2 ⇒ x2 = p2 1x1 p2 2

Substitu´ımos essa express˜ao para x2 na reta or¸cament´aria (terceira CPO): m = p1x1+ p2 p2 1x1 p2 2 = x1 p1+ p2 1 p2 = x1 p1p2+ p21 p2 Logo, x∗₁ = p2m p1p2+ p21

Substituindo x1 de volta na expressão de x2 em fun¸cão de x1, obtemos as fun¸cões de demanda dos dois bens:

xM₁ (p1, p2, m) = p2m p1p2+ p21 e xM₂ (p1, p2, m) = p1m p1p2+ p22

Substituindo as demandas marshalliandas na fun¸cão de utilidade, podemos mostrar que a fun¸cão de utilidade indireta é:

v(p1, p2, m) = " p2 p1p2+ p21 0,5 + p1 p1p2+ p22 0,5#_√ m

b) Mostre que a fun¸c˜ao de utilidade indireta satisfaz a propriedades de homogeneidade de grau 0 nos pre¸cos e na renda.

S: Temos que para todo t > 0 vale que:

v(tp1, tp2, tm) = " tp2 (tp1)(tp2) + (tp1)2 0,5 + tp1 (tp1)(tp2) + (tp2)2 0,5# √ tm = √1 t " p2 p1p2+ p21 0,5 + p1 p1p2+ p22 0,5# √ t√m = " p2 p1p2+ p21 0,5 + p1 p1p2+ p22 0,5#_√ m = v(p1, p2, m)

4.3) Suponha que existam apenas 2 bens e que a utilidade de um certo indiv´ıduo ´e u(x1, x2) = x0,25₁ + x0,25₂ .

a) Monte o problema do consumidor e derive as demandas ótimas usando o método de Lagrange. S: O problema do consumidor é: max x1,x2 x0,25₁ + x0,25₂ s.a p1x1+ p2x2 = m O Lagrangeano do problema é: L = x0,25₁ + x0,25₂ + λ [m − (p1x1+ p2x2)]

(16)

As CPO resultam em: (x1) : 0,25x −0,75 1 = λp1 (x2) : 0,25x −0,75 2 = λp2 (λ) : m = p1x1+ p2x2 Dividindo a primeira CPO pela segunda CPO, obtemos:

x2 x1 0,75 = p1 p2 ⇒ x2 = p4/3₁ x1 p4/3₂

Substitu´ımos essa express˜ao para x2 na reta or¸cament´aria (terceira CPO): m = p1x1+ p2 p4/3₁ x1 p4/3₂ ! = x1 p1+ p4/3₁ p1/3₂ ! = x1 p1(p 1/3 2 + p 1/3 1 ) p1/3₂ ! Logo, x∗₁ = p 1/3 2 m p1 p1/3₁ + p1/3₂

Substituindo x1 de volta na expressão de x2 em fun¸cão de x1, obtemos as fun¸cões de demanda dos dois bens:

xM₁ (p1, p2, m) = p1/3₂ m p1 p1/3₁ + p1/3₂ e xM₂ (p1, p2, m) = p1/3₁ m p2 p1/3₁ + p1/3₂ b) Verifique as condi¸c˜oes de segunda ordem.

S: Para a utilidade dada, temos que u1 = 0,25x −0,75 1 , u2 = 0,25x −0,75 2 , u12 = u21 = 0, u11 = −0,1875x −1,75 1 , e u22= −0,1875x −1,75

2 . Logo, o sinal da express˜ao: 2u1u2u21− u22u11− u12u22 = −u22u11− u21u22

= 0,01171875 x−1,5₁ x−1,5₂ x−0,25₁ + x−0,25₂ , ´

e sempre positivo, se (x∗₁, x∗₂) > 0, que ´e o caso encontrado no item anterior. Portanto a CSO ´e satisfeita.

c) Mostre que as fun¸c˜oes de demanda satisfazem a propriedade de “adding-up”, ou seja, que p1x1(p1, p2, m) + p2x2(p1, p2, m) ´e de fato igual a m.

S: Usando a solu¸c˜ao do item a), temos que:

p1x∗1+ p2x∗2 = p1   p1/3₂ m p1 p1/3₁ + p1/3₂  + p2   p1/3₁ m p2 p1/3₁ + p1/3₂   = m " p1/3₂ p1/3₁ + p1/3₂ + p 1/3 1 p1/3₁ + p1/3₂ # = m " p1/3₁ + p1/3₂ p1/3₁ + p1/3₂ # = m d) Mostre que as fun¸c˜oes de demanda satisfazem a propriedade de homogeneidade.

S: Temos que para todo t ∈ R vale que: xM₁ (tp1, tp2, tm) = (tp2)1/3(tm) (tp1) ((tp1)1/3+ (tp2)1/3) = xM₁ (p1, p2, m) xM₂ (tp1, tp2, tm) = (tp1)1/3(tm) (tp2) ((tp1)1/3+ (tp2)1/3) = xM₂ (p1, p2, m)

(17)

4.4) Calcule as demandas de um consumidor representado por uma utilidade CES (elasticidade de substitui¸c˜ao constante) dada em sua forma geral por:

u(x1, x2) = [ax ρ 1+ bx ρ 2] 1 ρ _, _{0 6= ρ < 1 .}

Compare a solu¸cão com a solu¸cão das duas questões anteriores. As utilidades descritas nas questões 2 e 3 são do tipo CES? Justifique.

S: O problema do consumidor ´e: max x1,x2≥0 [axρ₁+ bxρ₂]1ρ _s.a _p 1x1+ p2x2 = m O Lagrangeano do problema ´e: L = [axρ₁+ bxρ₂]ρ1 _{+ λ [m − (p} 1x1 + p2x2)] As CPO resultam em:

(x1) : 1 ρ[ax ρ 1+ bx ρ 2] 1 ρ−1_aρxρ−1 1 = λp1 (x2) : 1 ρ[ax ρ 1+ bx ρ 2] 1 ρ−1_bρxρ−1 2 = λp2 (λ) : m = p1x1+ p2x2

Dividindo a primeira CPO pela segunda CPO, obtemos: a b x2 x1 1−ρ = p1 p2 ⇒ x2 = bp1 ap2 _1−ρ1 x1 Substituimos essa express˜ao para x2 na reta or¸cament´aria (terceira CPO):

m = p1x1+ p2 " bp₁ ap2 _1−ρ1 x1 # = p− ρ 1−ρ 1 + b a _1−ρ1 p− ρ ρ−1 2 ! p 1 1−ρ 1 x1 Logo, x∗₁ = m p 1 1−ρ 1 p− ρ ρ−1 1 + ab _ρ−11 p− ρ ρ−1 2 = m p1−r₁ (pr 1+ Kpr2)

onde usamos a seguinte nota¸c˜ao para simplificar a express˜ao acima: K = (b/a)1−ρ1 e r =

−ρ/(1 − ρ) (logo 1 − r = 1/(1 − ρ)). Substituindo x1 de volta na expressão de x2 em fun¸cão de x1, obtemos as fun¸cões de demanda dos dois bens:

xM₁ (p1, p2, m) = m p1−r₁ (pr₁+ Kpr₂) e x M 2 (p1, p2, m) = Km p1−r₂ (pr₁+ Kpr₂)

No caso em que a = b e, em particular, a = b = 1, ent˜ao K = 1 e as demandas se tornam: xM₁ (p1, p2, m) = m p1−r₁ (pr 1+ pr2) e xM₂ (p1, p2, m) = m p1−r₂ (pr 1+ pr2)

As utilidades das questões 4.2) e 4.3) são do tipo CES. No caso da utilidade descrita na questão 4.2, temos que a = b = 1 e ρ = 0,5 (e usamos a transforma¸cão crescente f (t) = t1/2_, t ≥ 0, para obter a utilidade em 4.2). No caso da utilidade descrita na questão 4.3, temos que a = b = 1 e ρ = 0,25 (e usamos a transforma¸cão crescente f (t) = t1/4_{, t ≥ 0, para obter} a utilidade em 4.3).

(18)

4.5) Calcule as demandas de um consumidor representado por uma utilidade quaselinear dada por:

u(x1, x2) = ln x1+ x2, utilizando o m´etodo de Lagrange.

a) Calcule as demandas ´otimas se m < p2. Como fica a demanda do bem 2? O que estamos deixando de considerar neste caso?

S: O Lagrangeano deste problema ´e L = ax1 + bx2 + λ(m − (p1x1 + p2x2)). As CPO resultam em: (x1) : 1 x1 = λp1 (x2) : 1 = λp2 (λ) : m = p1x1+ p2x2 Dividindo a primeira CPO pela segunda CPO, obtemos:

1 x1 = p1 p2 ⇒ x1 = p2 p1

A demanda para o bem 2 pode ser encontrada substituindo a demanda para o bem 1 na reta or¸cament´aria. Desse modo, obtemos as seguintes fun¸c˜oes de demanda:

xM₁ (p1, p2, m) = p2 p1 e xM₂ (p1, p2, m) = m p2 − 1

Neste caso, estamos deixando de considerar as restri¸cões de não-negatividade das de-mandas (x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0). Observe que se m < p2, então x2 < 0 (por exemplo, se m = p2/2, então pela solu¸cão acima obtemos x2 = −0,5).

b) Resolva agora o problema de maximiza¸cão de utilidade do consumidor usando o método de Kuhn-Tucker, considerando as restri¸cões de não-negatividade das demandas ótimas. S: O problema de maximiza¸cão de utilidade do consumidor, levando em conta que a restri¸cão or¸camentária poderia ser satisfeita com folga (ou seja, tal que na escolha ótima ocorresse p1x∗1+ p2x∗2 < m, o que neste caso sabemos que não irá valer, pois a utilidade ´

e crescente) e também as restri¸cões de não-negatividade do consumo dos bens é: max

x1,x2

ln(x1) + x2 s.a. i) p1x1+ p2x2 ≥ m, ii) x1 ≥ 0 ,

iii) x2 ≥ 0 .

O Lagrangeano estendido para incorporar essas restri¸cões de não-negatividade é L = ln(x1) + bx2+ λ(m − (p1x1+ p2x2)) + µ1x1+ µ2x2

As CPO resultam do problema acima s˜ao: (x1) : 1 x1 − λp1+ µ1 = 0 (x2) : 1 − λp2+ µ2 = 0 (λ) : λ(m − p1x1− p2x2) = 0; λ ≥ 0; m − p1x1− p2x2 ≥ 0 (µ1) : µ1x1 = 0; µ1 ≥ 0; x1 ≥ 0 (µ2) : µ2x2 = 0; µ2 ≥ 0; x2 ≥ 0

(19)

Temos ent˜ao oito combina¸c˜oes poss´ıveis de sinais de λ, µ1 e µ2 para analisar:

1) λ = µ1 = µ2 = 0: a CPO para x1 implica 1/x1 = 0 e a CPO para x2 implica 1 = 0, o que ´e imposs´ıvel. Logo este caso n˜ao pode ocorrer.

2) λ = µ1 = 0 e µ2 > 0: a CPO para x1 implica 1/x1 = 0, o que é imposs´ıvel (x1 teria que tender a infinito, o que com renda limitada e p1 > 0 não satisfaz a restri¸cão or¸camentária). Logo este caso também não pode ocorrer.

3) λ = µ2 = 0 e µ1 > 0: a CPO para x2 implica 1 = 0, o que é imposs´ıvel. Logo este caso também não pode ocorrer.

4) λ = 0 e µ1, µ2 > 0: a CPO para x2 implica µ2 = −1 < 0, o que contradiz µ2 > 0. Logo este caso tamb´em n˜ao pode ocorrer.

5) λ > 0 e µ1 = µ2 = 0: a CPO para x1 implica λ = 1/x1p1 e a CPO para x2 implica λ = 1/p2. Logo, esse caso só pode ocorrer se x∗1 = p2/p1. Como λ > 0, a CPO para λ implica que a reta or¸camentária é satisfeita com igualdade, ou seja, x∗₂ = m/p2−1. Para que a CPO para µ2 seja satisfeita, x∗2 ≥ 0, ou seja, esse caso é satisfeito quando m ≥ p2.

6) λ, µ1 > 0 e µ2 = 0: a CPO para µ1 implica x∗1 = 0. A CPO para x1 não teria como ser válida, pois não é poss´ıvel dividir por zero. Logo este caso também não pode ocorrer.

7) λ, µ2 > 0 e µ1 = 0: a CPO para µ2 implica x∗2 = 0. Como λ > 0 (e usando que x ∗ 2 = 0), p1x∗1 = m, ou seja, x

∗

1 = m/p1. Logo, a CPO para x1 implica λ = 1/x∗1p1 = 1/m e a CPO para x2 implica λ = (1 + µ2)/p2. Como µ2 > 0, este caso ocorre quando 1/m > 1/p2, ou seja, m < p2.

8) λ, µ1, µ2 > 0: a CPO para µ1 implica x∗1 = 0 e a CPO para µ2 implica x∗2 = 0. Mas então p1x∗1+ p2x∗2 = 0 < m (estamos assumindo que m > 0), o que implicaria λ = 0. Logo esse caso também não pode ocorrer.

Resumindo, temos então que quando m < p1, a solu¸cão é x∗1 = m/p1 e x∗2 = 0; e quando m ≥ p2, a solu¸cão é x∗1 = p2/p1 e x∗2 = m/p2− 1.

c) Descreva as demandas ´otimas do consumidor. Calcule o valor da renda que faz com que os dois bens sejam consumidos em quantidades positivas. Para esses valores de renda, o que ocorre com a demanda do bem 1?

S: A solu¸cão do item anterior mostra que os dois bens serão consumidos em quantidade positiva quando a renda for grande o suficiente (ou seja, quando m > p2). Para esses valores de renda, a demanda ótima do bem 1 é x∗₁ = p2/p1, ou seja, o consumo ótimo do bem 1 não depende da renda (dizemos que a demanda do bem 1 não sofre de efeito renda).

4.6) Considere a utilidade linear dada por:

u(x1, x2) = ax1+ bx2, com a, b > 0. Responda os seguintes itens:

a) Tente encontrar as demandas ´otimas utilizando o m´etodo de Lagrange. O que ocorre neste caso?

S: O Lagrangeano deste problema ´e L = ax1 + bx2 + λ(m − (p1x1 + p2x2)). As CPO resultam em:

(x1) : a = λp1 (x2) : b = λp2

(20)

Dividindo a primeira CPO pela segunda CPO, obtemos: a b = p1 p2 ,

igualdade essa que só ocorre para essa rela¸cão particular de pre¸cos, em que p1/p2 = a/b. Neste caso espec´ıfico, qualquer cesta (x1, x2) que satisfa¸ca a restri¸cão or¸camentária (terceira CPO) será solu¸cão. Não podemos dizer nada para os casos em que p1/p2 6= a/b. b) Tente resolver o problema graficamente. O que ocorre se, por exemplo, o valor absoluto

da taxa marginal de substitui¸c˜ao for maior do que p1/p2?

S: O problema do consumidor é atingir o n´ıvel mais alto de utilidade, dada a restri¸cão or¸camentária (ver a Figura 3 no Exemplo 2 da Nota de Aula 5). Como os bens são perfeitamente substitutos, o consumidor comprará o bem que for relativamente mais barato: que tiver menor pre¸co dividido pelo coeficiente da utilidade. As fun¸cões de demanda serão:

xM₁ (p1, p2, m) = m/p1, se p1/a < p2/b 0, se p1/a > p2/b e xM₂ (p1, p2, m) = 0, se p1/a < p2/b m/p2, se p1/a > p2/b No caso em que p1/a = p2/b, o consumidor é indiferente entre qual dos bens comprar, pois a TMS é sempre igual à rela¸cão de pre¸cos dos bens. Nesse caso, o consumidor comprará qualquer cesta (x∗₁, x∗₂) que satisfa¸ca a sua reta or¸camentária, p1x∗1+ p2x∗2 = m. c) Encontre as demandas ótimas utilizando o método de Kuhn-Tucker.

S: O problema de maximiza¸cão de utilidade do consumidor, levando em conta que a restri¸cão or¸camentária poderia ser satisfeita com folga (ou seja, tal que na escolha ótima ocorresse p1x∗1+ p2x∗2 < m, o que neste caso sabemos que não irá valer, pois a utilidade ´

e crescente) e também as restri¸cões de não-negatividade do consumo dos bens é: max

x1,x2

ax1+ bx2 s.a. i) p1x1+ p2x2 ≥ m, ii) x1 ≥ 0 ,

iii) x2 ≥ 0 .

O Lagrangeano estendido para incorporar essas restri¸cões de não-negatividade é L = ax1+ bx2+ λ(m − (p1x1+ p2x2)) + µ1x1 + µ2x2

As CPO resultam do problema acima s˜ao: (x1) : a − λp1+ µ1 = 0 (x2) : b − λp2+ µ2 = 0

(λ) : λ(m − p1x1− p2x2) = 0; λ ≥ 0; m − p1x1− p2x2 ≥ 0 (µ1) : µ1x1 = 0; µ1 ≥ 0; x1 ≥ 0

(µ2) : µ2x2 = 0; µ2 ≥ 0; x2 ≥ 0

Temos ent˜ao oito combina¸c˜oes poss´ıveis de sinais de λ, µ1 e µ2 para analisar:

1) λ = µ1 = µ2 = 0: a CPO para x1 implica a = 0 e a CPO para x2 implica b = 0, o que é imposs´ıvel (por hipótese, a, b > 0). Logo este caso não pode ocorrer.

2) λ = µ1 = 0 e µ2 > 0: a CPO para x1 implica a = 0, o que é imposs´ıvel (por hipótese, a, b > 0). Logo este caso também não pode ocorrer.

(21)

3) λ = µ2 = 0 e µ1 > 0: a CPO para x2 implica b = 0, o que é imposs´ıvel (por hipótese, a, b > 0). Logo este caso também não pode ocorrer.

4) λ = 0 e µ1, µ2 > 0: a CPO para x1 implica µ1 = −a < 0 e a CPO para x2 implica µ2 = −b < 0, o que é imposs´ıvel. Logo este caso também não pode ocorrer.

5) λ > 0 e µ1 = µ2 = 0: a CPO para x1 implica λ = a/p1 e a CPO para x2 implica λ = b/p2. Logo, esse caso só pode ocorrer se a/p1 = b/p2. Neste caso, como µ1 = µ2 = 0, então qualquer par x∗1, x∗2 ≥ 0 tal que p1x∗1 + p2x∗2 = m (de modo que a CPO para λ seja válida) é solu¸cão do problema de maximiza¸cão.

6) λ, µ1 > 0 e µ2 = 0: a CPO para µ1 implica x∗1 = 0. Como λ > 0 (e usando que x∗₁ = 0), p2x∗2 = m, ou seja, x

∗

2 = m/p2 > 0. A CPO para x2 implica λ = b/p2 e a CPO para x1 implica λ = (a + µ1)/p1. Como µ1 > 0, este caso ocorre quando b/p2 > a/p1, ou seja, p1/p2 > a/b (ou ainda, quando p1/a > p2/b).

7) λ, µ2 > 0 e µ1 = 0: a CPO para µ2 implica x∗2 = 0. Como λ > 0 (e usando que x∗₂ = 0), p1x∗1 = m, ou seja, x∗1 = m/p1. A CPO para x1 implica λ = a/p1 e a CPO para x2 implica λ = (b + µ2)/p2. Como µ2 > 0, este caso ocorre quando a/p1 > b/p2, ou seja, p1/p2 < a/b (ou ainda, quando p1/a < p2/b).

8) λ, µ1, µ2 > 0: a CPO para µ1 implica x∗1 = 0 e a CPO para µ2 implica x∗2 = 0. Mas então p1x∗1+ p2x∗2 = 0 < m (estamos assumindo que m > 0), o que implicaria λ = 0. Logo esse caso também não pode ocorrer.

Resumindo, temos então que quando 1) p1/a < p2/b, a solu¸cão é x∗1 = m/p1 e x∗2 = 0; 2) p1/a > p2/b, a solu¸cão é x∗1 = 0 e x∗2 = m/p2; e 3) p1/a = p2/b, a solu¸cão é qualquer cesta (x∗₁, x∗₂) ≥ 0 tal que p1x∗1 + p2x∗2 = m, exatamente o que encontramos na solu¸cão do item b).

(22)

NA 5 – UTILIDADE INDIRETA E DEMANDA

5.1) Considere a utilidade u(x1, x2) = √

ax1+ bx2.

a) Calcule a TMS entre os dois bens. Desenhe o mapa de indiferen¸ca desta utilidade. S: Uma curva de indiferen¸ca em particular pode ser encontrada fazendo-se u(x1, x2) = ¯u, ou seja, √ax1+ bx2 = ¯u, o que equivale a ax1 + bx2 = ¯u2. Isto quer dizer que o mapa de indiferen¸ca desta utilidade tem a mesma forma do que o mapa de indiferen¸ca para a utilidade ˜u(x1, x2) = ax1 + bx2. Portanto, esta utilidade tamb´em representa bens substitutos perfeitos. A figura abaixo ilustra o mapa de indiferen¸ca.

6 -x2 x1 @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ Curvas de Indiferen¸ca u(x1, x2) = √ ax1+ bx2

Este resultado é esperado, já que ambas as utilidades representam o mesmo sistema de preferência (a utilidade ˜u é obtida elevando-se a utilidade u ao quadrado, uma trans-forma¸cão crescente para todo número não negativo). Observe que, como esperado, a TMS de u é a igual a TMS de ˜u: T M S₁₂u(x1, x2) = − 1/2(ax1+ bx2)−1/2a 1/2(ax1+ bx2)−1/2b = −a b = T M S ˜ u 12(x1, x2)

b) Utilizando o m´etodo de Kuhn-Tucker (revise suas notas de aula de economia quantita-tiva!), resolva o problema de maximiza¸c˜ao de utilidade.

S: A solu¸cão é similar à solu¸cão do item c) da questão 6 da nota de aula 4. O Lagrangeano estendido para incorporar essas restri¸cões de não-negatividade é

L =pax1+ bx2+ λ(m − (p1x1+ p2x2)) + µ1x1 + µ2x2 As CPO resultam do problema acima s˜ao:

(x1) : a(ax1+ bx2)−1/2− λp1+ µ1 = 0 (x2) : b(ax1+ bx2)−1/2− λp2+ µ2 = 0

(λ) : λ(m − p1x1− p2x2) = 0; λ ≥ 0; m − p1x1− p2x2 ≥ 0 (µ1) : µ1x1 = 0; µ1 ≥ 0; x1 ≥ 0

(23)

Dessa vez, para simplificar, vamos usar o fato de que a solu¸cão satisfaz a restri¸cão or¸camentária com igualdade e analisar então as quatro combina¸cões poss´ıveis de sinais para µ1 e µ2:

1) µ1 = µ2 = 0: a CPO para x1implica λ = a(ax∗1+bx ∗ 2)

−1/2_/p

1e a CPO para x2implica λ = b(ax∗₁+ bx∗₂)−1/2/p2. Logo, esse caso só pode ocorrer se a(ax∗1+ bx∗2)−1/2/p1 = b(ax∗₁ + bx∗₂)−1/2/p2, ou seja, se a/p1 = b/p2. Neste caso, como µ1 = µ2 = 0, então qualquer par x∗₁, x∗₂ ≥ 0 tal que p1x∗1 + p2x∗2 = m é solu¸cão do problema de maximiza¸cão.

2) µ1 = 0 e µ2 > 0: a CPO para µ2 implica x∗2 = 0. Como a reta or¸cament´aria ´e satisfeita com igualdade (e usando que x∗₂ = 0), p1x∗1 = m, ou seja, x

∗

1 = m/p1. A CPO para x1 implica λ = a(ax∗1+ bx

∗ 2)

−1/2_/p

1 e a CPO para x2 implica λ = (b(ax∗1+ bx∗₂)−1/2+ µ2)/p2. Como µ2 > 0, este caso ocorre quando a(ax∗1 + bx∗2)−1/2/p1 > b(ax∗₁+ bx∗₂)−1/2/p2, ou seja, a/p1 > b/p2 (que pode ser escrito como p1/p2 < a/b ou como p1/a < p2/b).

3) µ2 = 0 e µ1 > 0: a CPO para µ1 implica x∗1 = 0. Como a reta or¸cament´aria ´e satisfeita com igualdade (e usando que x∗₁ = 0), p2x∗2 = m, ou seja, x∗2 = m/p2. A CPO para x1 implica λ = (a(ax∗1+ bx∗2)−1/2+ µ1)/p1 e a CPO para x2 implica λ = b(ax∗₁+bx∗₂)−1/2/p2. Como µ1 > 0, este caso ocorre quando a(ax∗1+bx

∗ 2)

−1/2_/p 1 < b(ax∗₁+ bx∗₂)−1/2/p2, ou seja, a/p1 < b/p2 (que pode ser escrito como p1/p2 > a/b ou como p1/a > p2/b).

4) µ1, µ2 > 0: a CPO para µ1 implica x∗1 = 0 e a CPO para µ2 implica x∗2 = 0. Mas então ter´ıamos que p1x∗1+ p2x∗2 = 0 < m, o que é imposs´ıvel pois a reta or¸camentária ´

e satisfeita com igualdade. Logo, este caso n˜ao pode ocorrer.

Resumindo, temos então que quando 1) p1/a < p2/b, a solu¸cão é x∗1 = m/p1 e x∗2 = 0; 2) p1/a > p2/b, a solu¸cão é x∗1 = 0 e x

∗

2 = m/p2; e 3) p1/a = p2/b, a solu¸cão é qualquer cesta (x∗₁, x∗₂) ≥ 0 tal que p1x∗1 + p2x∗2 = m (a mesma solu¸cão para a utilidade u(x1, x2) = ax1+bx2, como esperado, já que essas duas utilidades representam as mesmas preferências).

c) Encontre agora as fun¸cões de demanda ótimas do consumidor utilizando a intui¸cão vista na aula. Justifique sua resposta.

S: O problema do consumidor é atingir o n´ıvel mais alto de utilidade, dada a restri¸cão or¸camentária. Se usarmos a transforma¸cão crescente f (t) = t2, para t ≥ 0, vemos que essa utilidade representa as mesmas preferências que ax1+ bx2. Portanto, as demandas ´

otimas ser˜ao as mesmas: o consumidor comprar´a o bem que for relativamente mais barato: que tiver menor pre¸co dividido pelo coeficiente da utilidade:

xM₁ (p1, p2, m) = m/p1, se p1/a < p2/b 0, se p1/a > p2/b e xM₂ (p1, p2, m) = 0, se p1/a < p2/b m/p2, se p1/a > p2/b No caso em que p1/a = p2/b, o consumidor é indiferente entre qual dos bens comprar, pois a TMS é sempre igual à rela¸cão de pre¸cos dos bens. Nesse caso, o consumidor comprará qualquer cesta (x∗₁, x∗₂) que satisfa¸ca a sua reta or¸camentária, p1x∗1+ p2x∗2 = m. d) Verifique que as fun¸cões de demanda sempre exaurem toda a renda do consumidor,

quaisquer que sejam os pre¸cos dos bens e a renda considerados.

S: Para o caso em que p1/a = p2/b, qualquer cesta (x∗1, x∗2) que satisfa¸ca a reta or¸camentária p1x∗1 + p2x∗2 = m é solu¸cão, ou seja, toda solu¸cão exaure a renda do consumidor. Se p1/a < p2/b, então como x∗1 = m/p1 e x2∗ = 0, temos que p1x∗1+ p2x∗2 = m. Finalmente, se p1/a > p2/b, então como x∗1 = 0 e x∗2 = m/p2, temos que p1x∗1+ p2x∗2 = m. Em todos casos, as fun¸cões de demanda sempre exaurem a renda do consumidor.

(24)

e) Agora suponha que a = b = 1 e p1 = 1, p2 = 2, m = 100. Ilustre graficamente a solu¸cão neste caso. Qual a taxa marginal de substitui¸cão na cesta ótima? Para este caso, vale a condi¸cão de igualdade de TMS e rela¸cão de pre¸cos? Discuta intuitivamente sua resposta. S: O gráfico abaixo ilustra a solu¸cão neste caso.

6 -x2 x1 @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @_@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @@rE 50 100 Curvas de Indiferen¸ca u(x1, x2) = x1+ x2 Suponha que p2 = 2, p1 = 1 Solu¸c˜ao: x∗₁= 100, x∗₂ = 0 H H H H H H H H H H H H H_H

Na cesta ótima, x∗₁ = 100 e x∗₂ = 0, não é válida a igualdade entre TMS e rela¸cão de pre¸cos (T M S = −1 6= −1/2 = −p1/p2). Isto ocorre porque estamos em uma solu¸cão de canto: apenas o bem 1 é consumido. Se fosse poss´ıvel, o indiv´ıduo continuaria a trocar bem 2 por bem 1, mas ele já está “no canto”, sem mais bem 2 para trocar por bem 1. A igualdade entre TMS e rela¸cão de pre¸cos é usualmente válida para solu¸cões interiores, ou seja, cestas tais que as quantidades dos bens são todas positivas.

5.2 Considere a utilidade u(x1, x2) = (min{ax1, bx2})2. a) Desenhe o mapa de indiferen¸ca desta utilidade.

S: Procedemos como na quest˜ao anterior: uma curva de indiferen¸ca em particular pode ser encontrada fazendo u(x1, x2) = ¯u, ou seja, (min{ax1, bx2})2 = ¯u, logo min{ax1, bx2} = √

¯

u. Isto quer dizer que o mapa de indiferen¸ca desta utilidade tem o mesmo formato do que o mapa de indiferen¸ca da utilidade ˜u(x1, x2) = min{ax1, bx2}. Portanto, esta utilidade tamb´em representa bens complementares perfeitos. A curva de indiferen¸ca ´e ilustrada na figura abaixo.

6 -x2 x1 Curvas de Indiferen¸ca u(x1, x2) = (min{ax1, bx2})2 semi-reta x2 = (a/b)x1

(25)

b) Encontre as fun¸cões de demandas ótimas do consumidor. Justifique sua resposta. S: Como discutimos nesta nota de aula, no caso geral a 6= b, o consumidor iguala os argumentos da fun¸cão de m´ınimo: ax1 = bx2 e, portanto, x2 = (a/b)x1. Substituindo essa expressão para x2 na reta or¸camentária, encontramos as fun¸cões de demanda:

xM₁ (p1, p2, m) = m p1+ a_b p2 e xM₂ (p1, p2, m) = a b m p1+ a_b p2

c) Agora suponha que a = b = 1 e p1 = 1, p2 = 2, m = 100. Calcule e ilustre graficamente a solu¸cão neste caso. Suponha agora que os pre¸cos mudaram para p1 = 2 e p2 = 1, e que a renda não se modificou. Calcule e ilustre graficamente a solu¸cão neste caso. Compare as duas solu¸cões encontradas neste item. Discuta intuitivamente sua resposta.

S: Para o primeiro caso, temos que x∗₁ = x∗₂ = m/(p1 + p2) = 100/3. Para o segundo caso, temos que x∗₁ = x∗₂ = m/(p1+ p2) = 100/3. Logo, a cesta ´otima em ambos os casos ´

e a mesma. Isto ocorre porque, no caso de bens complementares perfeitos com a = b, os dois bens devem sempre ser consumidos na propor¸cão de um bem 1 para um bem 2. Podemos dizer que o bem 1 e o bem 2 formam um único bem, cujo pre¸co é p1+ p2. Os gráficos abaixo ilustram estes dois casos.

6 -x2 x1 50 100 H H H H H H H H H H H H H H H H r(x∗1, x∗2) x2 = x1 r 100 3 100 3 6 -x2 x1 100 50 A A A A A A A A A A A A A A A A (x∗₁, x∗₂) x2 = x1 r 100 3 100 3

5.3) Suponha que a utilidade de Bernardo seja u(x1, x2) = min{x1, x2}. Suponha que os pre¸cos do bem 1 e do bem 2 sejam p1 = R$ 1 e p2 = R$ 1 e que a renda de Bernardo seja R$ 120.

a) Quais s˜ao as quantidades consumidas de cada bem por Bernardo? Qual a utilidade que ele obt´em?

S: Na Nota de Aula 5, vimos que as fun¸c˜oes de demanda para esta utilidade s˜ao: x1(p1, p2, m) = x2(p1, p2, m) =

m p1+ p2

Para os pre¸cos e a renda dados, temos que x∗₁ = x∗₂ = 60. A utilidade obtida ´e U∗ = 60. b) Se o governo instituir um imposto sobre o consumo do bem 1 de modo que o seu pre¸co aumente para p1 = R$ 2, quais ser˜ao as quantidades consumidas por Bernardo dos dois bens? Qual a utilidade de Bernardo agora?

S: Para o novo pre¸co do bem 1, as fun¸cões de demanda descritas na solu¸cão do item anterior mostram que x∗∗₁ = x∗∗₂ = 40. A utilidade obtida agora é U∗∗= 40.

(26)

c) Suponha que o governo abandone a ideia do imposto sobre o consumo do bem 1 e decida taxar a renda do consumidor por um valor que resulte no mesmo montante que obteria com o imposto descrito no item anterior. Quais as novas quantidades consumidas dos dois bens? Qual a utilidade de Bernardo agora?

S: A solu¸cão do item anterior mostra que com o imposto seriam vendidas 40 unidades do bem 1. O governo arrecadaria então R$ 40, já que arrecadaria R$ 1 por unidade vendida. Instituindo um imposto de renda neste valor, a nova renda do consumidor será R$ 80. As demandas dos dois bens serão portanto ¯x1 = ¯x2 = 40, as mesmas quantidades obtidas na solu¸cão do item anterior com o imposto sobre o consumo do bem 1. A utilidade obtida agora é então igual à obtida na solu¸cão do item anterior, ¯U = 40.

d) Explique intuitivamente a raz˜ao do princ´ıpio Lump Sum neste exemplo n˜ao resulta numa utilidade maior para Bernardo no caso do imposto de renda do que no caso do imposto sobre o consumo.

S: Como a utilidade é do tipo Leontief, não há possibilidade de substitui¸cão entre os bens e eles devem ser consumidos em propor¸cões fixas. Quando o governo substitui o imposto sobre o consumo pelo imposto sobre a renda, o consumidor continua tendo que consumir as mesmas quantidades dos dois bens, já que não há possibilidade de substitui¸cão entre eles. Isso implica que os dois tipos de impostos, no caso de uma utilidade de Leontief, levam ao mesmo n´ıvel de bem-estar para o consumidor.

5.4) Suponha uma fun¸c˜ao de utilidade definida por:

u(x1, x2) = min{x2+ 2x1, x1+ 2x2} a) Desenhe a curva de indiferen¸ca para u(x1, x2) = 20.

S: Esta curva de indiferen¸ca é dada por min{x2 + 2x1, x1 + 2x2} = 20. O indiv´ıduo escolherá as quantidades de cada bem de modo a igualar os dois argumentos da fun¸cão de m´ınimo, para evitar desperd´ıcios. Portanto, temos que:

2x1+ x2 = x1+ 2x2 ⇒ x1 = x2

Nos dois argumento da fun¸cão m´ınimo, temos rela¸cões lineares entre os dois bens: 2x1+ x2, no primeiro argumento, e x1+ 2x2, no segundo argumento. A curva de indiferen¸ca dessa fun¸cão, para o caso de u(x1, x2) = 20, é ilustrada na figura a seguir.

6 -x2 x1 semi-reta x2 = x1 x2 > x1 (logo 2x1+ x2 < x1+ 2x2) x2 < x1 (logo x1+ 2x2 < 2x1+ x2) A A A A A A A A A A AA H H H H H H H H H H HH s 20/3 20/3 20 20 * curva de indiferen¸ca ¯u = 20

(27)

b) Para que valores de p1/p2 a solu¸cão ótima consistirá em x1 = 0 e x2 = m/p2?

S: Pela figura podemos observar que, apesar da utilidade ser de Leontief, existe um grau de substitui¸cão entre os bens, dado pelas duas rela¸cões lineares dentro do argumento da fun¸cão m´ınimo. Portanto, as fun¸cões de demandas constituem uma mistura de solu¸cão de canto (consome apenas um bem) com solu¸cão em que os bens são consumidos em propor¸cões fixas (x1 = x2):

x1(p1, p2, m) =    m/p1, se p1 < (1/2)p2, m/(p1+ p2), se (1/2)p2 < p1 < 2p2 0, se p1 > 2p2 x2(p1, p2, m) =    0, se p1 < (1/2)p2, m/(p1+ p2), se (1/2)p1 < p2 < 2p1 m/p2, se p1 > 2p2

Se p1 = 2p2, ent˜ao o consumidor escolhe qualquer cesta (x∗1, x ∗

2) tal que 2x1 + x2 = 20, 0 ≤ x1 ≤ 20/3. Se p1 = (1/2)p2, ent˜ao o consumidor escolhe qualquer cesta (x∗1, x∗2) tal que x1+ 2x2 = 20, 20/3 ≤ x1 ≤ 20.

c) Para que valores de p1/p2 a solu¸cão ótima consistirá em x1 = m/p1 e x2 = 0?

S: Usando a solu¸cão descrita no item anterior, se p2 > 2p1, então as demandas ótimas consistem em não consumir o bem 2 e consumir apenas o bem 1.

d) Para que valores de p1/p2 a solu¸cão ótima será interior (ou seja, x∗1 > 0 e x∗2 > 0)? S: Novamente usando a solu¸cão descrita no item b), se (1/2)p1 < p2 < 2p1, então as demandas ótimas são interiores, com x∗₁ = x∗₂ = m/(p1+ p2).

5.5) Suponha que a utilidade de Ana seja u(x1, x2) = x1x2. Suponha que os pre¸cos do bem 1 e do bem 2 sejam p1 = R$ 2 e p2 = R$ 2 e que a renda de Ana seja R$ 600.

a) Quais s˜ao as quantidades consumidas de cada bem por Ana? Qual a utilidade que ela obt´em?

S: Na solu¸cão da questão 4.1) vimos que as fun¸cões de demanda para esta utilidade Cobb-Douglas são: x1(p1, p2, m) = m 2p1 e x2(p1, p2, m) = m 2p2

Para os pre¸cos e a renda dados, temos que x∗₁ = x∗₂ = 150. A utilidade obtida por Ana ´

e U∗ = 1502 _{= 22.500.}

b) Se o governo instituir um subs´ıdio sobre o consumo do bem 1 de modo que o seu pre¸co diminua para p1 = R$ 1, quais ser˜ao as quantidades consumidas por Ana dos dois bens? Qual a utilidade de Ana agora?

S: Para o novo pre¸co do bem 1, temos que as fun¸cões de demanda descritas na solu¸cão do item anterior mostram que x∗∗₁ = 300 e x∗∗₂ = 150. A utilidade de Ana agora será U∗∗ = 300 × 150 = 45.000.

c) Suponha que o governo abandone a ideia do subs´ıdio sobre o consumo do bem 1 e decida repassar um montante fixo para Ana de modo que resulte no mesmo gasto para o governo que o esquema de subs´ıdio anterior gerava. Quais as novas quantidades consumidas dos dois bens? Qual a utilidade de Ana agora?

S: Usando a solu¸c˜ao do item anterior, seriam consumidas 300 unidades do bem 1 se o subs´ıdio fosse criado. O gasto do governo com o subs´ıdio seria R$ 300, j´a que o

(28)

governo pagaria R$ 1 por unidade vendida do bem 1. Instituindo uma transferˆencia de renda neste valor, a nova renda de Ana seria R$ 900. Usando a solu¸c˜ao do item a), as demandas dos dois bens seriam ¯x1 = ¯x2 = 225. A utilidade de Ana neste caso seria

¯

U = 225 × 225 = 50.625, maior do que a que seria obtida com o programa de subs´ıdio. d) Usando a intui¸c˜ao econˆomica, elabore um argumento a favor de programas de

trans-ferência de renda como o Programa Bolsa Fam´ılia sobre programas do tipo Vale Gás, que subsidiava o pre¸co do gás de cozinha para pessoas carentes. Fa¸ca o racioc´ınio in-verso: discuta as vantagens, caso existam, de um programa de subs´ıdios para o consumo de certos bens sobre um programa de transferência de renda.

S: A solu¸cão dos itens anteriores mostrou que o programa de transferência de renda, com o mesmo valor gasto do que no programa de subs´ıdio do consumo do bem 1, aumenta o bem-estar de Ana mais do que o programa de subs´ıdio, uma vantagem óbvia do programa de transferência de renda. Desvantagens do programa de transferência de renda podem estar relacionadas a poss´ıveis efeitos de desestimular a oferta de trabalho dos recipientes da transferência. Além disso, pode ser que existam externalidades positivas no consumo de certos bens, onde ao subsidiar o consumo deste bens, o governo aumenta o bem-estar geral da popula¸cão. Por exemplo, alguns autores argumentam que programas de vacina¸cão e de educa¸cão possuem efeitos positivos que vão além dos efeitos privados recebidos pelos indiv´ıduos que participam destes programas, beneficiando a sociedade em geral.

5.6) Suponha que a utilidade de Rafael seja u(x1, x2) = x0,21 x 0,8

2 , onde x1 é a quantidade de alimentos que Rafael consome e x2é a quantidade de todos os outros bens que Rafael consome (um bem composto, portanto). Suponha que o pre¸co do bem 2 é p2 = R$ 1 e que a renda de Rafael é R$ 1000.

a) Se o pre¸co do bem 1 ´e R$ 2, qual ´e o consumo de alimentos de Rafael?

S: Usando a solu¸cão da questão 4.1), temos que as fun¸cões de demanda de Rafael são: xM₁ (p1, p2, m) = m 5p1 e xM₂ (p1, p2, m) = 4m 5p2

Para os valores de renda e pre¸cos descritos, a demanda por alimentos de Rafael ´e x∗₁ = 100 (e x∗₂ = 800).

b) Se o pre¸co do bem 1 duplicar, qual será o novo consumo de alimentos de Rafael? S: Usando as demandas descritas na solu¸cão do item anterior, o novo consumo de x1 de Rafael será de 50 unidades (o consumo de x2 permanece 800 unidades).

c) Suponha agora que o governo resolva subsidiar alimentos, mantendo o pre¸co igual a R$ 2 – ou seja, concendendo um subs´ıdio de R$ 2 por unidade consumida de x1. Se o governo financia esse subs´ıdio por meio da cobran¸ca de um imposto sobre a renda, qual ´e o novo n´ıvel de consumo de x1 de Rafael?

S: Se a rela¸cão de pre¸cos volta a ser a antiga, o equil´ıbrio do consumidor volta a satisfazer no ótimo a rela¸cão de taxa marginal de substitui¸cão entre os bens igual aos pre¸cos relativos, x∗₂/4x∗₁ = p1/p2 = 2, ou seja, x∗2 = 8x

∗

1. A nova restri¸cão or¸camentária é: 2x1+ x2 = ˆm ,

onde ˆm = m − 2x1 = 1000 − 2x1. Sabendo que x∗2 = 8x ∗

1 no ´otimo, obtemos que o seguinte sistema: 10x1 = ˆm e m = m − 2xˆ 1 ⇒ m =ˆ 5 6 × m = 5 6 × 1000

(29)

Ent˜ao as novas demandas s˜ao:

x∗∗₁ = 500/6 ≈ 83,33 e x∗∗₂ = 2000/3 ≈ 666,67

d) Construa um diagrama comparando as situa¸cões em b) e c) e mostre em qual situa¸cão Rafael está melhor.

S: O diagrama está representado na figura abaixo. A cesta E denota o equil´ıbrio inicial. Quando o pre¸co do bem 1 aumenta, o equil´ıbrio se desloca para a cesta Ê. Quando o governo adota o subs´ıdio, a restri¸cão or¸camentária volta a ter a mesma inclina¸cão de antes, porém ela se encontra à esquerda da restri¸cão or¸camentária original, já que o governo taxa o indiv´ıduo para pagar o subs´ıdio (logo, a nova cesta ótima de consumo no caso em que o governo adota o subs´ıdio, ˜E, se encontra na interse¸cão das duas restri¸cões or¸camentárias). Calculando a utilidade nos dois casos, temos que:

sem subs´ıdio : u(x∗₁, x∗₂) = 500,28000,8 = 459,48

com subs´ıdio : u(x∗∗₁ , x∗∗₂ ) = (500/6)0,2(2000/3)0,8 = 439,84

Logo, o consumidor está melhor na situa¸cão sem o subs´ıdio. Portanto, Rafael estaria melhor se o governo não interferisse no aumento do pre¸co do bem 1.

6 -x2 x1 m p2 m p1 Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q QQ sE e e e e e e e e e e e e e e e e_e m ˆ p1 sEˆ Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q s ˜ E

e) Relacione a sua resposta para esta quest˜ao com o princ´ıpio Lump Sum.

S: A transferˆencia de renda no valor do gasto com o subs´ıdio aumenta a utilidade mais do que o subs´ıdio com o bem aumentaria. Isso ´e o esperado, segundo o princ´ıpio Lump Sum.

5.7) Considere a utilidade u(x1, x2) = max{ax1, bx2}. a) Desenhe o mapa de indiferen¸ca desta utilidade.

S: Esse é um exemplo de preferências “côncavas”, em que o consumidor prefere extremos a médias. A figura abaixo ilustra o mapa de indiferen¸ca gerado por essa utilidade. Para encontrar o formato de uma determinada curva de indiferen¸ca, assuma um valor qualquer ao n´ıvel de utilidade. Por exemplo, max{ax1, bx2} = 10. Note que se a cesta (x1, x2) é tal que ax1 > 10 ou bx2 > 10, então o n´ıvel de utilidade é maior do que 10. Se a cesta

(30)

(x1, x2) é tal que ax1 < 10 e bx2 < 10, então o n´ıvel de utilidade é menor do que 10. Logo, as cestas (x1, x2) que geram o n´ıvel de utilidade 10 são as cestas tais que ou ax1 = 10 e bx2 ≤ 10 ou ax1 ≤ 10 e bx2 = 10. O racic´ıonio continua válido para qualquer n´ıvel de utilidade que considerarmos. Com isso obtemos a figura abaixo.

6 -x1 x2 ¯ u b ¯ u a * curva de indiferen¸ca ¯u

b) Encontre as fun¸cões de demandas ótimas do consumidor. Justifique sua resposta. S: O problema do consumidor é:

max x1,x2

max{ax1, bx2} s.a p1x1+ p2x2 = m

A fun¸cão de utilidade não é diferenciável, logo não podemos usar nem o método de Lagrange nem o de Kuhn-Tucker para resolver esse problema. As curvas de indiferen¸ca acima e o formato da utilidade mostram que o indiv´ıduo irá consumir apenas o bem que for mais relativamente mais barato, já que neste caso uma maior quantidade dele pode ser comprada se nada for comprado do outro bem e o n´ıvel de utilidade obtido será maximizado: se p1/a < p2/b então am/p1 > bm/p2e max{am/p1, 0} > max{x1, x2} para qualquer outra cesta (x1, x2) tal que a restri¸cão or¸camentária seja satisfeita (p1x1+p2x2 ≤ m). Já se p1/a > p2/b então am/p1 < bm/p2 e max{0, bm/p2} > max{x1, x2} para qualquer outra cesta (x1, x2) tal que a restri¸cão or¸camentária seja satisfeita (p1x1+p2x2 ≤ m). Portanto, as fun¸cões de demanda dos dois bens são:

xM₁ (p1, p2, m) = m/p1, se p1/a < p2/b 0, se p1/a > p2/b xM₂ (p1, p2, m) = 0, se p1/a < p2/b m/p2, se p1/a > p2/b

No caso em que p1/a = p2/b, as duas cestas (m/p1, 0) e (0, m/p2) maximizam o bem-estar do consumidor (note que apenas essas duas cestas são ótimas neste caso, ver figura abaixo). Logo, a solu¸cão do problema do consumidor será sempre de canto (isto é, apenas um dos bens será consumido).

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6 -x1 x2 @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ rE rE0 m p2 m p1

No caso p1/a = p2/b: duas solu¸c˜oes: E e E0

A fun¸c˜ao de utilidade indireta ´e:

v(p1, p2, m) =    am/p1, se p1/a < p2/b bm/p2, se p1/a > p2/b am/p1 = bm/p2, se p1/a = p2/b

Podemos reescrever a fun¸c˜ao de utilidade indireta de modo mais simples como: v(p1, p2, m) =

m

min{p1/a, p2/b}

c) Agora suponha que a = b = 1 e p1 = 1, p2 = 2, m = 100. Calcule e ilustre graficamente a solu¸cão neste caso. Suponha agora que os pre¸cos mudaram para p1 = 2 e p2 = 1, e que a renda não se modificou. Calcule e ilustre graficamente a solu¸cão neste caso. Compare as duas solu¸cões encontradas neste item. Discuta intuitivamente sua resposta.

S: Se a = b = 1, então a utilidade é u(x1, x2) = max{x1, x2} e neste caso o indiv´ıduo consome o bem mais barato. Como p1 = 1 < 2 = p2, apenas o bem 1 será consumido. Finalmente, como a renda é R$ 100, as demandas ótimas são x∗₁ = 100 e x∗₂ = 0. A figura abaixo ilustra a solu¸cão graficamente.

6 -x1 x2 H H H H H H H H H H H H H H s(x∗1, x∗2) 50 100

(32)

NA 6 – ELASTICIDADES

6.1) Derive as agrega¸cões de Engel e Cournot para o caso de n bens. Reescreva essas agrega¸cões em termos de elasticidades. Interprete (por exemplo, é poss´ıvel que todos os bens que um indiv´ıduo consuma sejam bens inferiores? Por quê? Se um indiv´ıduo consome n bens, no máximo quantos bens podem ser inferiores? Justifique sua resposta).

S: A Lei de Walras para o caso de n bens ´e:

p1x1(p, m) + p2x2(p, m) + · · · + pnxn(p, m) = m Derivando com rela¸cão à renda, obtemos a agrega¸cão de Engel :

p1 ∂x1(p, m) ∂m + p2 ∂x2(p, m) ∂m + · · · + pn ∂xn(p, m) ∂m = 1

A equa¸cão acima pode ser reescrita como: p1x1 m m x1 ∂x1 ∂m + p2x2 m m x2 ∂x2 ∂m + · · · + pnxn m m xn ∂xn ∂m = 1 Logo, a agrega¸cão de Engel escrita em termos de elasticidades é:

s1η1+ s2η2+ · · · + snηn = 1 ,

onde si = pixi/m é a fra¸cão da renda gasta com o bem i e ηi é a elasticidade-renda do bem i. Podemos concluir que:

(a) Todas as elasticidades-renda podem ser iguais a um. Nesse caso, um aumento da renda leva a um aumento na mesma propor¸c˜ao do consumo de todos os bens (se a renda aumentar em 10%, o consumo de cada bem aumentar´a em 10%).

(b) Se ηi > 1 para algum bem i, então deve existir algum bem j diferente do bem i tal que ηj < 1: se a fra¸cão da renda consumida do bem i aumentou mais do que propor-cionalmente à renda, o consumo de algum outro bem j terá que aumentar menos do que proporcionalmente à renda.

(c) No m´aximo n − 1 bens podem ser inferiores (se todos os bens fossem inferiores, ent˜ao a elasticidade-renda ηi seria negativa para todo bem i = 1, 2, . . . , n. Como si ≥ 0 (si ´

e a fra¸cão da renda gasta com o bem i), então se todas as elasticidades-renda fossem negativas, a condi¸cão de Engel não seria respeitada).

Se derivarmos a Lei de Walras com respeito ao pre¸co do bem i, obtemos a agrega¸c˜ao de Cournot (com rela¸c˜ao ao pre¸co do bem i):

xi(p, m) + n X j=1 pj ∂xj(p, m) ∂pi = 0

Multiplicando a express˜ao acima por pi/m e a reescrevendo, obtemos a agrega¸c˜ao de Cournot em termos de elasticidades: xipi m + n X j=1 pjxj m pi xj ∂xj ∂pi = 0 ⇒ 0 = si+ n X j=1 sjεMji ⇒ 0 = si+ siεMii + X j6=i sjεMji