Bifurcação de Hopf e seu controle em memórias associativas caóticas

“BIFURCAÇÃO DE HOPF E SEU CONTROLE EM

MEMÓRIAS ASSOCIATIVAS CAÓTICAS”

Por

André Kunio de Oliveira Tiba

Universidade Federal de Pernambuco posgraduacao@cin.ufpe.br www.cin.ufpe.br/~posgraduacao

Centro de Informática

Pós-graduação em Ciência da Computação

André Kunio de Oliveira Tiba

BIFURCAÇÃO DE HOPF E SEU CONTROLE EM MEMÓRIAS

ASSOCIATIVAS CAÓTICAS

Trabalho apresentado ao Programa de Pós-graduação em Ciência da Computação do Centro de Informática da Univer-sidade Federal de Pernambuco como requisito parcial para obtenção do grau de Doutor em Ciência da Computação.

Orientador: Aluízio Fausto Ribeiro Araujo

Recife 2015

Catalogação na fonte

Bibliotecária Jane Souto Maior, CRB4-571 T552b Tiba, André Kunio de Oliveira

Bifurcação de Hopf e seu controle em memórias associativas caóticas / André Kunio de Oliveira Tiba. – Recife: O Autor, 2015.

117 f.: il., fig., tab.

Orientador: Aluizio Fausto Ribeiro Araujo.

Tese (Doutorado) – Universidade Federal de Pernambuco. CIn, Ciência da computação, 2015.

Inclui referências e apêndice.

1. Teoria da bifurcação. 2. Memória associativa. 3. Sistemas não lineares. 4. Inteligência artificial. I. Araujo, Aluizio Fausto Ribeiro (orientador). II. Título.

Ciência da Computação do Centro de Informática da Universidade Federal de Pernambuco, sob o título “Bifurcação de Hopf e seu Controle em Memórias

Associativas Caóticas” orientada pelo Prof. Aluizio Fausto Ribeiro Araújo e aprovada

pela Banca Examinadora formada pelos professores:

________________________________________________ Prof. Silvio de Barros Melo

Centro de Informática/UFPE

_________________________________________________ Prof. Adriano Lorena Inacio de Oliveira

Centro de Informática / UFPE

_________________________________________________ Prof. Zhao Liang

Departamento de Computação e Matemática / USP – Ribeirão Preto

_________________________________________________ Prof. Marcos Napoleão Rabelo

Departamento de Matemática / UFG

__________________________________________________ Prof. Ronaldo Ribeiro Barbosa de Aquino

Departamento de Engenharia Elétrica / UFPE

Visto e permitida a impressão. Recife, 2 de março de 2015.

___________________________________________________

Profa. Edna Natividade da Silva Barros

Coordenadora da Pós-Graduação em Ciência da Computação do Centro de Informática da Universidade Federal de Pernambuco.

Agradecimentos

Ao professor Aluizio F. R. Araujo, por se fazer presente na orientação e por acreditar, mais do eu, às vezes, na qualidade da pesquisa que desenvolvemos.

Ao professor Marcos Napoleão, que validou matematicamente os resultados da Tese e deu importantes contribuições para o melhoramento da pesquisa.

Aos meus pais, Beth e Tiba, pelo amor, pelo apoio e pela dedicação, ao longo da minha vida.

A essa menina Juliana, pelo amor, pela dedicação e pela paciência que teve comigo. Obrigado, meu amor.

Aos meus irmãos, Fernando e Ricardo, que sempre me apoiaram, e à Manu e ao Marciel.

À minha tia Lélia, tio Celso, Marcelo e Eduardo, que me acolheram quando fui me aventurar lá pelas bandas do sul.

À tia Rosa, ao tio Mamor, ao Fábio, à Tati e ao Sandro, que me receberam depois que saí da casa da tia Lélia.

Aos amigos que trago na memória desde que me entendo por gente: Jorge Gregório (Wanessa Celerino), Gustavo Alencar, Sebastião Soares, Luiz Fernando e Marcos Negão.

Aos amigos que fiz durante meu percurso no CIn: Hans, Flávia, Orivaldo, Jeane, Renata, Daniel, Mary, Cícero, Paulo Henrique, Júlio, Marcondes, Tadeu, Juracir, Diego, Monique, Cleice, Ro-berto e Suilan.

Resumo

As Memórias Associativas (MAs) são utilizadas para modelar diversos sistemas dinâmicos, com grande aplicação em armazenamento e recuperação de memórias. Porém, as MAs tradicionais são incapazes de modelar comportamentos caóticos. Por outro lado, a Memória Associativa Caótica (MAC), com neurônios caóticos proposto por Aihara, possui tal capacidade. O neurônio desta rede é formado por dois estados distintos: um externo, que compreende a saída do neurônio; outro interno, formado por um vetor bidimensional simplificado de variáveis de estado, que independe de atrasos temporais. O comportamento caótico ocorre neste estado interno da MAC. Os modelos de MAC, autoassociativos ou heteroassociativos, têm sido fonte de pesquisa, princi-palmente quanto ao estudo do caos e de seu controle. Porém, as MACs são sistemas suficiente-mente complexos, capazes de apresentar diversos outros tipos de comportamentos dinâmicos, tais como periodicidade, convergência assintótica, bifurcações diversas etc...

Um comportamento dinâmico presente com frequência em sistemas não lineares multidimen-sionais é aquele ligado ao surgimento/desaparecimento de ciclos limites, estáveis ou instáveis. Em outras palavras: Bifurcação de Hopf (BH). Muitos trabalhos na literatura tratam do estudo analítico da presença da BH em Memórias Associativas Bidirecionais com atraso, realizando a prova analítica da existência e da estabilidade da BH. Este tipo de tarefa apenas é possível em sistemas de baixa dimensão devido às dificuldades decorrentes da prova analítica.

De forma análoga, esta Tese teve como objetivo principal a realização da prova analítica da existência e da estabilidade da BH em uma MAC de baixa dimensão, treinada para armazenar um conjunto de memórias. Outros trabalhos já realizaram estudos numéricos da BH em modelos de MACs autoassociativas, porém este é o primeiro a realizar uma abordagem analítica. Além do tratamento analítico, este estudo consistiu ainda: na verificação numérica da presença da Bifurcação de Hopf; na análise das mudanças na capacidade de recuperação de memórias, quando a BH esteve presente na rede; e, por fim, na realização do controle da bifurcação para um conjunto de metas pré-estabelecidas, como a translação do ponto crítico e a mudança da estabilidade da bifurcação.

Os resultados deste estudo mostraram ainda que: i) outros parâmetros da MAC, além daquele escolhido como parâmetro de bifurcação, podem ser utilizados como parâmetro de bifurcação; ii) as MACs podem apresentar bifurcações mais complexas, tais como as Bifurcações de Codi-mensão 2; iii) a presença da BH afeta intensamente a capacidade de recuperação das memórias armazenadas na rede; iv) os métodos de controle, Filtro Washout e Controle Polinomial, utili-zados para o controle da BH foram capazes de realizar as metas estabelecidas, porém o Filtro Washoutfoi mais preciso que o Controle Polinomial.

Abstract

The Associative Memories (AMs) are used to model different dynamic systems, with wide application in storing and retrieving memories. But traditional MAs are unable to model chaotic behavior. On the other hand, Chaotic Associative Memory (CAM) with chaotic neurons proposed by Aihara, has such capability. The chaotic neuron of CAM is formed by two distinct states: one external that comprises the network output; another internal, formed by a simplified two-dimensional vector of state variables which no dependency on time delays. The chaotic behavior occurs in this internal state of the CAM.

CAM models, autoassociative or heteroassociative, has been object of research mainly on the study of chaos and its control. However, the CAMs are complex systems able to present several other types of dynamic behavior such as periodicity, asymptotic convergence, various types of bifurcation, etc ...

A common dynamical behavior in multidimensional nonlinear systems is that one linked to the emergence / disappearance of stable or unstable limite cycles. In other words: Hopf Bifurcation. More recently, many studies in the literature dealing with the analytical study of the presence of Hopf Bifurcation in Bidirectional Associative Memories with time delay, performing the analytical proof of the existence and stability of Hopf Bifurcation. This type of study is only possible in low-dimensional systems since the difficulty of analytic proof at high dimension systems.

Similarly, this thesis aimed to realize the analytical proof of the existence and stability of Hopf Bifurcation in a low dimensional CAM trained to store a set of memories. Other studies in CAMs had been performed only the numerical analysis of the Hopf Bifurcation, however this is the first to perform an analytical approach. In addition to the analytical treatment, this study included: the numerical existence of the Hopf Bifurcation; the analysis of changes in the retrieval capability of learned memories in the Hopf Bifurcation presence; and finally, the bifurcation control to a set of established goals, such as the translation of the critical point and the change of the bifurcation stability.

The results of this study also showed that: i) the four free parameters of CAM could be used as the bifurcation parameter; ii) the CAM may have more complex bifurcations Bifurcations such as Codimension 2 bifurcations; iii) the presence of Hopf Bifurcation affects the the retrieval capability of stored memories in the network; iv) Washout Filter and Polynomial Controller were used to translation the critical point goal and for change of stability goal, and Washout Filter was more accurate than Polynomial Controller.

Lista de Figuras

2.1 Interpretação Geométrica do Teorema 2.2.2 . . . 28

2.2 Diagrama de bifurcação para a bifurcação Sela-nó . . . 32

2.3 Diagrama de bifurcação para a bifurcação Transcrítica . . . 34

2.4 Diagrama de bifurcação para a bifurcação Pitchfork . . . 35

2.5 Diagrama de Bifurcação do mapa logístico . . . 37

2.6 Diagrama de Bifurcação para a Bifurcação de Hopf (supercrítica e subcrítica) . 39 3.1 Neurônio caótico de Aihara . . . 48

3.2 Sequência das saídas temporais de uma Memória Autoassociativa Caótica(ADACHI; AIHARA,1997) . . . 52

4.1 Bifurcação de Hopf subcrítica nos neurônios 2 e 3 . . . 71

4.2 Bifurcação de Hopf supercrítica nos neurônios 2 e 3 (estável) . . . 72

4.3 Bifurcação de Hopf supercrítica (estável) no neurônio 1 . . . 73

4.4 Distância de Hamming da saída da rede . . . 75

5.1 Controle da Bifurcação de Hopf com Filtro Washout para um sistema bidimensional 87 5.2 Controle Polinomial da Bifurcação de Hopf para um sistema bidimensional . . 90

5.3 Três soluções diferentes do Controle Polinomial da Bifurcação de Hopf para um sistema bidimensional . . . 91

5.4 Controle com Filtro Washout da Bifurcação de Hopf para um sistema quadridi-mensional. . . 93

5.5 Três soluções diferentes do Filtro Washout da Bifurcação de Hopf (BH) para um sistema bidimensional . . . 95

5.6 Controle Polinomial em um sistema quadridimensional, para antecipar ou adiar um ponto crítico. . . 98

Lista de Tabelas

2.1 Comportamento dos pontos fixos do mapa logístico em função do parâmetro µ,

com bifurcações em µ = 1 (Transcrítica) e em µ = 3 (Duplicação de Período). 37

4.1 BH em uma Memória Associativa Caótica (MAC): Caso 1, instável nos

neurô-nios 2 e 3 (Figura 4.1); Caso 2, estável nos neurôneurô-nios 2 e 3 (Figura 4.2); e Caso 3, estável no neurônio 1 (Figura 4.3). Na esquerda, as configurações paramétricas e o valor absoluto do par de autovalores conjugado na MA clássica (Modo 1); ime-diatamente antes da bifurcação (Modo 2); e imeime-diatamente depois da bifurcação (Modo 3). Na direita, autovalores do sistema com a configuração paramétrica no Modo 3. . . 70 4.2 Estimativa da estabilidade da BH através da equação (3.29), para os Casos 1, 2 e

3 da Tabela 4.1, com a configuração paramétrica do Modo 3. . . 74

5.1 Condições necessárias do Teorema 5.1.2, para equações características de ordem igual ou inferior a seis. . . 82

Lista de Acrônimos

CP Controle Polinomial . . . 46

CES-C Critérios de Estabilidade de Schur-Cohn . . . 77

BDP Bifurcação de Duplicação de Período . . . 14

BH Bifurcação de Hopf . . . 14

BP Bifurcação Pitchfork . . . 33

BSN Bifurcação Sela-Nó . . . 31

BT Bifurcação Transcrítica . . . 32

EDOs Equações Diferenciais Ordinárias . . . 23

FW Filtro Washout . . . 46

FNs Formas Normais . . . 17

MA Memória Associativa . . . 13

MAB Memória Associativa Bidirecional . . . 14

MAC Memória Associativa Caótica . . . 13

Sumário

1 Introdução 13

2 Preliminares 19

2.1 Sistemas Dinâmicos Unidimensionais . . . 19

2.1.1 Ponto Fixo . . . 20

2.1.2 Estabilidade . . . 21

2.2 Sistema de EDOs Lineares . . . 23

2.2.1 Subespaços Lineares Invariantes . . . 25

2.2.2 Variedade Central Wc. . . 25

2.3 Bifurcações Locais . . . 28

2.3.1 Bifurcações de Estado Estacionário . . . 31

2.3.1.1 Bifurcação Sela-nó . . . 31

2.3.1.2 Bifurcação Transcrítica . . . 32

2.3.1.3 Bifurcação Pitchfork . . . 33

2.3.2 Bifurcação de Duplicação de Período . . . 35

2.3.3 Exemplo: Mapa Logístico . . . 36

2.3.4 Bifurcação de Hopf . . . 38

3 Ocorrência e Controle da Bifurcação de Hopf em Modelos de Memória Associativa 41 3.1 Definição do Problema . . . 41

3.2 Análise de Bifurcação de Hopf em Memórias Associativas . . . 42

3.3 Controle da Bifurcação de Hopf em Memórias Associativas . . . 45

3.4 Redes de Memória Associativa Caótica . . . 47

3.4.1 Memória Autoassociativa Caótica . . . 50

3.5 Bifurcação de Hopf em Sistemas Dinâmicos Discretos . . . 52

3.5.1 Redução à Variedade Central . . . 53

3.5.2 Formas Normais . . . 54

3.5.2.1 Caso 1: θ ∈ R . . . 57

3.5.2.2 Caso 2: θ ∈ Q . . . 58

3.5.3 Estabilidade da Bifurcação de Hopf . . . 58

4 Análise da Bifurcação de Hopf em Memórias Associativas Caóticas 61 4.1 Estudo Analítico de uma Memória Associativa Caótica . . . 62

4.2 Estudo Numérico . . . 68

4.2.1 Comportamento da saída da rede . . . 74

5 Controle de Bifurcação de Hopf em Memórias Associativas 77

5.1 Estabelecendo as Condições para Existência da Bifurcação de Hopf a partir dos

Critérios de Estabilidade de Schur-Cohn . . . 78 5.2 Controle com o Filtro Washout . . . 81 5.3 Controle Polinomial . . . 83

5.4 Resultados Numéricos . . . 84

5.4.1 Controle Sobre o Neurônio 1 . . . 84 5.4.1.1 Filtro Washout . . . 85

5.4.1.2 Controle Polinomial . . . 88

5.4.2 Controle Sobre os Neurônios 2 e 3 . . . 91

5.4.2.1 Filtro Washout . . . 92

5.4.2.2 Controle Polinomial . . . 96

5.4.3 Comparação entre o Filtro Washout e o Controle Polinomial . . . 99

5.5 Resumo e Discussão do Capítulo . . . 100

6 Conclusão e Perspectivas 103

6.1 Trabalhos Futuros . . . 104

Referências 107

Apêndice 111

A Pontos de equilíbrio da equação (4.5) 113

B Cálculo da série de potências h 115

13 13 13

1

Introdução

A Rede Neural de Memória Associativa, ou simplesmente Memória Associativa (MA), é amplamente estudada na literatura, sendo utilizada em diversas aplicações, dentre elas:

mode-lagem do funcionamento cerebral (MAYES; MONTALDI; MIGO,2007), reconhecimento de

padrões (OZTURK; PRINCIPE,2007), extrator de características (CHARTIER et al.,2007),

processamento de imagens (OKU; MAKINO; AIHARA,2013) etc. A MA possui como

princi-pais características: i) a capacidade de relacionar (ou associar) de forma direta duas informações, uma, que é dada como entrada da rede, com outra informação, que está armazenada na própria rede e deve ser recuperada na forma da saída da rede; ii) o armazenamento das informações na rede ocorre de forma distribuída, de forma que todos os neurônios armazenam partes da informação. Quando o objetivo é associar uma informação com ela mesma, diz-se que o modelo é autoassociativo; quando o objetivo é associar duas informações diferentes, diz-se que ele é he-retoassociativo. A simplicidade, tanto no armazenamento das informações na rede (treinamento), quanto na recuperação das informações armazenadas, é o grande trunfo da MA (HAYKIN,1998). Porém, a simplicidade na modelagem matemática comumente utilizada para a descrição da MA impede uma característica muito comum observada em redes neurais biológicas, o

comportamento caótico1. Observações experimentais mostraram o comportamento caótico não

apenas em uma membrana de neurônios biológicos (HODGKIN; HUXLEY,1952), mas em um

úniconeurônio, como de uma lula gigante (HOLDEN; WINDOW; HAYDON,1982). Assim,

vários modelos de redes neurais artificiais capazes de apresentar comportamento caótico foram

propostos (HANSEL; SOMPOLINSKY,1992;POTAPOV; ALI,2000;LU,2002). Dentre eles,

Aihara apresentou um modelo, conhecido como Memória Associativa Caótica (MAC) (AIHARA;

TAKABE; TOYODA,1990), em que a unidade básica é um neurônio caótico formado por dois tipos de variáveis: uma externa, que compreende os sinais de entrada e saída da rede; e outra interna, que caracteriza sua dinâmica. A rede neural proposta por Aihara, denominada a partir deste momento de MAC, é o ponto inicial desta pesquisa.

Estudos subsequentes analisaram o comportamento dinâmico da MAC, principalmente 1_{O comportamento caótico pode ser definido, grosso modo, quando o sistema aparenta apresentar um}

comporta-mento aleatório, porém este comportacomporta-mento não decorre de uma equação estocástica, mas sim, de uma equação determinística (OTT,2002).

com respeito à Bifurcação de Duplicação de Período (BDP) e caos, tanto em memórias

auto-associativas (ADACHI; AIHARA,1997) quanto em memórias heteroassociativas (ARAUJO;

BUENO; CAMPOS,2007). Em ambos os casos (ADACHI; AIHARA,1997;ARAUJO; BUENO; CAMPOS,2007), o objetivo não era apenas entender o comportamento dinâmico da rede em si, mas também compreender como a caotização da dinâmica afetava a capacidade de recuperação das memórias armazenadas pela rede. Porém, este tipo de análise foi pouco abordado para outros comportamentos dinâmicos decorrentes de outros tipos de bifurcações locais. Neste contexto, esta tese tem como um dos seus objetivos, estender este tipo de análise para uma bifurcação especifica: a Bifurcação de Hopf (BH).

O termo Bifurcação abrange uma área de estudo que envolve comportamentos dinâmicos variados, presentes em sistemas dinâmicos lineares ou não. O estudo de bifurcações consiste, grosso modo, em identificar e analisar, a “mudança abrupta” do comportamento dinâmico de um

sistema em função da variação de seus parâmetros (HALE; KOCAK,1991). O termo “mudança

abrupta” é um conceito genérico o suficiente que pode representar uma infinidade de situações dinâmicas, tais como: a criação ou a aniquilação de um ou de mais de um ponto de equilíbrio; a transformação de um ponto de equilíbrio hiperbólico, em outro ponto de equilíbrio hiperbólico, ou ainda em um ponto de equilíbrio não hiperbólico etc ... Nem todos os sistemas dinâmicos apresentam estas “mudanças abruptas”, e os que apresentam podem depender de um único parâmetro, ou de um vetor de parâmetros, chamado genericamente de parâmetro de bifurcação µµµ . O valor de µµµ que define o limiar entre dois comportamentos distintos na dinâmica de um sistema, a “mudança abrupta”, sendo denominado de ponto crítico µµµ_c. As bifurcações de um sistema

dinâmico são encontradas a partir dos autovalores do sistema linearizado (GUCKENHEIMER;

HOLMES, 1983) em torno de um ponto de equilíbrio x∗, e o termo criticalidade (µµµ_c, x∗) é

designado como o ponto exato em que ocorre a bifurcação.

Quando µ é um escalar, o sistema pode apresentar um conjunto de bifurcações locais, tais como: Bifurcações Estacionárias (Bifurcação Sela-Nó, Bifurcação Transcrítica e Bifurcação Pitchfork); Bifurcação de Duplicação de Período (exclusiva para sistemas discretos); ou ainda Bifurcação de Hopf (exclusiva para sistemas multidimensionais). A BH caracteriza-se por separar, de um lado, um comportamento qualquer não periódico (estável ou instável), e de outro, um ciclo limite, estável ou instável. Quando µµµ é um vetor, outras bifurcações mais complexas se formam a partir da interação entre as bifurcações locais mencionadas no inicio deste parágrafo (WEN; XU,2004).

Um conjunto de trabalhos iniciados a partir de 2004 (WANG; ZOU,2004;SONG; HAN;

WEI,2005;WANG; ZOU,2005;ZHANG; ZHENG,2005;YU; CAO,2006;CAO; XIAO,2007;

FAN; WEI,2008;YANG; YE,2009;GAN et al.,2009;SHU; WEI,2011;XU et al.,2011), apresenta, de forma geral, tratamento analítico envolvendo existência e estabilidade da Bifurcação de Hopf em uma Memória Associativa Bidirecional (MAB) de baixa dimensionalidade e com atraso temporal. Nesses trabalhos, não há treinamento para aprendizagem de um conjunto de padrões pela rede neural. A rede não estabelece uma relação de associação espaço-temporal entre

15 um estímulo de entrada e uma memória da rede, visto que não há qualquer memória armazenada

(treinada) na rede. Em uma MAB tradicional (KOSKO,1988), o treinamento de um conjunto

de padrões é responsável pelo estabelecimento da associação entre um estímulo de entrada (memória de entrada) com uma memória armazenada na rede. O foco principal desses trabalhos é a verificação analítica da Bifurcação de Hopf em um sistema dinâmico não-linear que possui arquitetura e Equação de Estados análogas àquelas de uma MAB. As diferentes análises desses trabalhos, tanto para sistemas contínuos quanto para sistemas discretos, variam basicamente em três fatores: quanto ao número de neurônios da rede, com limite superior igual a seis neurônios (XU et al.,2011); quanto à arquitetura da rede, seja completamente conectada (WANG; ZOU,

2004), ou em forma de anel (WANG; ZOU,2005), ou ainda com número diferente de neurônios

em cada camada (SONG; HAN; WEI,2005); e, por fim, quanto ao parâmetro de bifurcação

que sempre está relacionado diretamente com o atraso temporal, em alguns casos é a soma

dos atrasos temporais dos neurônios de cada camada (WANG; ZOU,2004), outras vezes é o

valor médio do atraso. Em alguns artigos, os pesos da rede são parâmetros livres estabelecidos arbitrariamente de forma a garantir a estabilidade local (SUN; HAN,2007), em outros casos, são

escolhidos arbitrariamente (WANG; ZOU,2004). Em nenhum dos casos, os pesos decorreram

de processo de treinamento, que estabelece uma relação entre amostras através de matrizes de correlação.

Como colocado anteriormente, existem poucos estudos sobre a Bifurcação de Hopf em uma MAC, principalmente sob o o ponto de vista analítico (MUSASHI et al.,2008;FUJIMOTO; MUSASHI; YOSHINAGA, 2009). Portanto, o objetivo desta tese é entender este tipo de

comportamento dinâmico, em uma MAC simplificada tal como em (ADACHI; AIHARA,1997)

(modo autoassociativo), e analisar como a presença da Bifurcação de Hopf muda a habilidade

original de recuperação de memórias desta Rede. A MAC simplificada (ADACHI; AIHARA,

1997), é uma rede neural discreta, em que cada neurônio é realimentado com a saída de todos os neurônios (inclusive a sua própria saída), e com um sinal externo. A dinâmica de cada neurônio é descrita por dois estados internos, e são necessários o ajuste de cinco parâmetros. Um estudo

anterior que avaliou a importância de cada parâmetro para a caotização da MAB (BUENO,

2006), foi utilizado para estabelecer um critério de escolha do parâmetro de bifurcação. Devido à complexidade do sistema, a escolha nesta tese foi admitir um parâmetro de bifurcação escalar.

A dificuldade na verificação analítica de propriedades da Bifurcação de Hopf, como existência e estabilidade, cresce com a dimensionalidade do sistema. Por isso, este tipo de análise é normalmente realizado em sistemas de baixa dimensão. O sistema escolhido para análise consiste em uma MAC com três neurônios completamente conectados. A dinâmica ocorre nos estados internos da rede, que tem dimensão seis. A ideia é utilizar um conjunto qualquer de padrões para treinamento, de maneira que os pesos da rede permaneçam literais e todos os neurônios estejam conectados uns com os outros, tornando a análise mais generalista possível. Caso isso não seja possível, o mais indicado é realizar a análise em um estudo de caso. É importante salientar que grande parte dos estudos analíticos que demostram a existência da

BH ocorre em estudos de caso.

O estudo de caso consiste em uma MAC treinada com um conjunto específico de padrões, que resultará em um conjunto específico de relações entre os neurônios da rede. Para este estudo de caso, devem realizar as demostrações analíticas das propriedades fundamentais da BH, e ilustrar com exemplos numéricos, que confirmem as previsões do estudo analítico. Resultados positivos quanto às demonstrações analíticas podem ser considerados como um indicativo de que uma MAC de dimensão maior, treinada com outro conjunto de padrões, também pode apresentar uma BH.

O controle é comumente utilizado para monitorar ou alterar algum comportamento

dinâmico presente no sistema tratado (OTT,2002). Os métodos de controle frequentemente

utilizados para controlar a BH têm diversos objetivos, e podem atuar de forma diferente no

sistema (CHEN; MOIOLA; WANG,2000). Os métodos de controle por realimentação atuam

na Equação de Estados original, no domínio do tempo, modificando os autovalores da matriz

Jacobiana do sistema linearizado (ABED; FU,1986); o Controle das Formas Normais também

atua no domínio do tempo, porém, quando a Equação de Estados do sistema está reduzida na

Variedade Central (KRENER; KANG; CHANG,2004); e os métodos que atuam no domínio das

frequências (XU; TANG; LIAO,2011).

As metas de controle mais comuns consistem: em transladar o ponto crítico µc, onde,

em geral, deseja-se adiar o início do ciclo; ou em mudar a estabilidade da BH, de instável para estável. Neste sentido, as metodologias que modificam os autovalores da matriz Jacobiana são eficientes nestas duas tarefas, e preservam propriedades importantes do sistema original, como por exemplo, os pontos de equilíbrio. Adicionalmente, o controle pode ser realizado considerando uma outra abordagem, baseada em modificações nos critérios de estabilidade de

Schur-Cohn (WEN; XU; HAN,2002). Esta abordagem é vantajosa, uma vez que não necessita

da aplicação da redução de dimensionalidade do sistema para avaliar a existência da BH. Ela pode ser utilizada para avaliar outras bifurcações locais, assim como bifurcações de codimensão 2.

Após este texto introdutório que situa o leitor no contexto desta pesquisa, o objetivo fundamental desta tese pode ser definido, em linhas gerais, como a busca de uma compreensão mais aprofundada, dos comportamentos dinâmicos associados à Bifurcação de Hopf em uma MAC, através de evidências analíticas e numéricas. A realização deste objetivo está associada a quatro metas: i) deduções analíticas para a prova matemática da existência e estabilidade da BH neste tipo de rede; ii) a verificação numérica dos comportamentos associados à BH nas redes MACs; iii) uma avaliação da mudança de comportamento da rede com respeito à capacidade de recuperação de memórias armazenadas por processo de aprendizagem; iv) a utilização de metodologias de controle capazes de realizar um conjunto de metas pré-estabelecidas para o controle da bifurcação. O detalhamento dos objetivos concretos deste estudo está descrito na Seção 3.1, que trata da definição do problema.

con-17 junto de ferramental matemático sobre Equilíbrio e Bifurcações Locais em sistemas dinâmicos, necessários ao entendimento subsequente, é apresentado. Em seguida, o Capítulo 3 traz: a defi-nição do problema; uma revisão bibliográfica de Bifurcação de Hopf em Memória Associativa Caótica, e de controle de BH, com foco em sistemas dinâmicos que representam redes neurais; a descrição de uma rede MAC; e, por fim, as metodologias de Redução à Variedade Central (RVC) e de Formas Normais (FNs) aplicadas a sistemas dinâmicos discretos. O Capítulo 4 apresenta os resultados analíticos quanto à existência e à estabilidade da BH para a MAC do estudo de caso, assim como exemplos numéricos. Este capítulo foi transformado em artigo, publicado no

periódico Neurocomputing (TIBA; ARAUJO; RABELO,2015). O Capítulo 5 aborda as técnicas

de controle escolhidas para controlar a Bifurcação de Hopf. Por fim, o Capítulo 6 aponta as conclusões, as contribuições e os possíveis trabalhos futuros.

19 19 19

2

Preliminares

Este capítulo apresenta o ferramental matemático básico relacionado a sistemas dinâmi-cos discretose bifurcações locais. Ele pode ser dividido em três partes: i) conceitos relacionados a equilíbrio e estabilidade em sistemas dinâmicos unidimensionais discretos, que podem ser estendidos diretamente para sistemas de múltipla dimensão; ii) Variedade Central Invariante, peça chave no estudo das bifurcações locais, pois é nessa região do espaço de estados na qual a dinâmica do sistema pode ser compreendida através da Equação de Estados aproximada, válida apenas naquela localidade; iii) uma visão geral dos conceitos relacionados a bifurcações locais, com ênfase na BH. Caso o leitor tenha familiaridade com estes temas, pode passar diretamente para o Capítulo 3.

2.1

Sistemas Dinâmicos Unidimensionais

Seja um sistema dinâmico discreto unidimensional representado pela variável x que o descreve, x ∈ R, e um parâmetro do sistema designado µ, com µ ∈ R. A evolução temporal deste sistema é representada por uma Equação de Estado f (µ, x), f : R × R 7→ R de forma que

f(µ, x(k)) = x(k + 1) 2.1

onde k é o tempo discreto (a letra k será única e exclusivamente utilizada para representar a variação temporal discreta). O parâmetro µ está ligado ao processo de bifurcação que será tratado ainda neste capítulo. Por hora, considera-se µ como uma constante, e sua presença de forma explícita na equação de estado será omitida em alguns momentos. Porém, é importante que se tenha em mente que o parâmetro µ está sempre presente em f , e que ele terá papel protagonista na descrição da Teoria das Bifurcações.

Definição 2.1.1. O sistema representado por (2.1) é chamado de autônomo, pois a função f não possui dependência explícita do tempo k na forma f (x(k), k), de maneira que a equação de estado f fica inalterada por uma translação temporal k 7→ k + m, m ∈ I.

Sistemas não autônomos são mais complexos de serem descritos e analisados matemati-camente e não serão abordados nesta tese.

A evolução de um estado inicial x(0) = x(k = 0) ao longo do tempo através da equação de estados (2.1) gera uma sequência ordenada de pontos (estados) s = {x(0), x(1), ..., x(k)} na medida em que aumenta-se k tal que

x(0) x(1) = f (x(0)) = f1(x(0)) x(2) = f1(x(1)) = f ( f (x(0))) = f2(x(0)) x(3) = f1(x(2)) = f2(x(1)) = f ( f ( f (x(0)))) = f3(x(0)) .. . x(k) = f1(x(k − 1)) = · · · = fk(x(0))   2.2

onde fk(x(0)) representa a aplicação da função f , k vezes sobre o estado inicial x(0), ou seja, fk(x(k)) ≡ f ◦ f ◦ f ◦ · · · ◦ f (x(0)).

Definição 2.1.2. A sequência ordenada de pontos s = {x(0), x(1), ..., x(k)} tal como em (2.2) é chamada de trajetória ou órbita de (2.1).

Uma maneira simples de entender o comportamento dinâmico discreto do sistema é visualizar a órbita no espaço dos estados. Este tipo de gráfico é chamado de Retrato de Fase. Como cada órbita depende de uma condição inicial, uma visão mais global do comportamento do sistema é obtida com o Campo Vetorial de (2.1), definido a partir das retas tangentes às trajetórias (iniciadas em pontos diferentes). De forma geral, diz-se que (2.1) possui um campo vetorial com fluxo φ (k) que associa o estado inicial x(0) ao estado atual x(k) através do fluxo φ (k) = φ (x(0)) = x(k).

2.1.1

Ponto Fixo

Uma das questões fundamentais em sistemas dinâmicos discretos é encontrar seus pontos fixos, também chamados de pontos estacionários. Um sistema pode ter vários pontos fixos e seu o comportamento dinâmico depende fundamentalmente do tipo de estabilidade associada ao(s) seu(s) ponto(s) fixo(s) (uma definição para estabilidade pode ser vista na Seção 2.1.2). Para o sistema (2.1), diz-se que x∗é ponto fixo, se

f(µ, x∗) = x∗= x(k + 1)   2.3 que é equivalente à sequência definida por (2.2) tal que s = {x(0), x(1), · · · , x(k − 1), x(k) = x_∗, x(k + 1) = x∗, x(k + 2) = x∗, · · · }, onde o equilíbrio foi atingido na iteração k.

Encontrar o ponto fixo x∗de forma analítica é muitas vezes inviável, restando apenas os

2.1. SISTEMAS DINÂMICOS UNIDIMENSIONAIS 21 na forma x(k + 1) = x(k) −f(x(k))−x(k)_f0_(x(k))−1 , para um valor inicial x(0) = x0, desde de que f (x) − x

cruze o eixo-x.

Nos sistemas autônomos, o valor de x∗ é irrelevante para o entendimento da teoria.

Sempre é possível realizar uma translação que leve o ponto fixo x∗para origem, sem que ocorra

uma alteração na equação de estado do sistema. Assim, sem qualquer perda de generalidade, sabendo que ˙x(k) = x(k+1)−x(k)_k+1−k = x(k + 1) − x(k), e aplicando a translação y = x − x∗em (2.1)

tem-se que

y(k) = x(k) − x∗→ y(k + 1) − y(k) = x(k + 1) − x(k) → y(k + 1) = x(k + 1) − x(k) + y(k) →

y(k + 1) = x(k + 1) − x∗.

Portanto, decorre que    x(k + 1) = f (µ, x(k)) x∗= f (µ, x∗) ⇔    y(k + 1) = f (µ, y(k)) − x∗ 0 = f (µ, 0)   2.4

de forma que o equilíbrio x∗= f (µ, x∗) no lado esquerdo de (2.4), equivale a 0 = f (µ, 0), no

lado direito da mesma equação na nova variável y. Esta transformação é comumente utilizada para facilitar as descrições matemáticas subsequentes.

2.1.2

Estabilidade

A estabilidade do ponto fixo x∗em (2.2) depende da resposta à seguinte questão (

KHA-LIL,1996): é possível definir duas regiões r1e r2no espaço de estados, ambas centradas em x∗,

sendo r1com comprimento δ e r2com comprimento ε, tal que qualquer condição inicial x(0)

que esteja dentro de r1, gere uma trajetória s como em (2.2), que permaneça dentro da região

r2para um tempo arbitrário k? A definição a seguir apresenta as possíveis respostas para essa

pergunta, conectando-as com os diferentes tipos de estabilidade que x∗pode ter.

Definição 2.1.3. Seja x∗ponto fixo de (2.1) e x(0) uma condição inicial qualquer. Se for possível

definir dois escalares ε > 0 e δ > 0, tal que |x∗− x(0)| < ε implica em |x∗− x(k)| < δ ∀ k, então

x_∗é estável. Caso contrário x∗é instável.

Os conceitos de repulsor e atrator são apresentados para que, em seguida, seja possível definir estabilidade assintótica.

Definição 2.1.4. Se x∗for instável, então diz-se que o ponto fixo é um repulsor. Se x∗for estável,

e existir um escalar η > 0 tal que |x∗− x(0)| < η implique em limk→∞x(k) = x∗, então x∗é um

atrator local. Se η = ∞, então x∗é um atrator global.

Definição 2.1.5. Se x∗ for atrator local, então x∗ é localmente assintoticamente estável ou

simplesmente assintoticamente estável. Se x∗for atrator global, então x∗é globalmente

Definição 2.1.6. Se f for uma função linear, então x∗é o único ponto fixo do sistema e todas as

considerações sobre o equilíbrio local e global se equivalem.

Muitas vezes é complicado estabelecer analiticamente as condições descritas nas defini-ções (2.1.3-2.1.6) para avaliar a estabilidade de um ponto fixo x∗. Porém, existe outra maneira

de estabelecer critérios de estabilidade para x∗, como mostrado no teorema a seguir.

Teorema 2.1.1. Seja x∗ponto fixo de f(x(k)) = x(k + 1), onde f : R → R, f é de classe C1 1.

Tem-se que:

i) se|Dxf(x∗)| < 1, então x∗é assintoticamente estável;

ii) se|Dxf(x∗)| > 1, então x∗é instável.

onde D_x= ∂ ∂ x é o operador diferencial e Dxf(x∗) = ∂ f ∂ x   x=x∗.

Definição 2.1.7. O ponto fixo x∗, com estabilidade avaliada pelo Teorema 2.1.1, é chamado de

hiperbólicose |Dxf(x∗)| 6= 1.

Se a função f em (2.1) for linear, então o sistema possui apenas um ponto fixo, caso contrário, o sistema poderá ter mais de um ponto fixo. A interação entre os campos vetoriais de pontos fixos afeta o comportamento dinâmico do sistema como um todo. Como consequência, a análise do comportamento dinâmico do sistema, através do estudo da estabilidade do ponto fixo e de seu campo vetorial, só pode ser realizada localmente, em uma região vizinha a x∗, centrada

em x∗. Quando f é não linear em (2.1), admitindo que f é de classe C1, a estabilidade de x∗é

avaliada expandindo f em torno do ponto fixo x∗

f(x) = f (x_∗) + (x − x_∗)D_xf(x_∗) + 1 2!(x − x∗) 2_D xxf(x∗) + 1 3!(x − x∗) 3_D xxxf(x∗) + · · ·   2.5 e utilizando apenas a componente linear de (2.5), como enunciado no teorema a seguir.

Definição 2.1.8. A função contínua h : R 7→ R com inversa h−1 também contínua, é chamada

de homeomorfismo de R.

Definição 2.1.9. Duas funções diferenciais x = u(x) e x = v(x) são topologicamente equivalentes, se existe um homeomorfismo h de R, que leva cada órbita de u(x) em uma órbita de v(x), preservando as direções das órbitas ao longo do tempo.

Teorema 2.1.2 (Grobman-Hartman). Se x∗ for um ponto fixo hiperbólico de (2.1), então

existe uma vizinhança U em torno de x∗, em que o campo vetorial do sistema original f

é topologicamente equivalente ao campo vetorial de D_xf(x∗). Ou seja, nesta vizinhança

x(k + 1) = Dxf(x∗)x(k).

2.2. SISTEMA DE EDOS LINEARES 23

Quando o ponto fixo x∗ é não hiperbólico, justamente onde ocorrem as bifurcações,

também é possível fazer uma consideração semelhante àquela proposta pelo Teorema 2.1.2. O teorema correspondente será apresentado na próxima seção, uma vez que necessita do conceito de Variedade Central.

2.2

Sistema de EDOs Lineares

Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) são comumente utilizadas para descrever uma infinidade de sistemas dinâmicos, lineares ou não. Porém, encontrar a solução analítica de EDOs de ordem igual ou superior a 2, é em muitos casos inviável, dependendo fundamentalmente de soluções numéricas. Não obstante, sempre é possível transformar uma EDO de ordem n, em um sistema de n EDOs de ordem 1 (KHALIL,1996), bastando para isso, a aplicação de um conjunto de n transformações de variáveis (ou estados).

Exemplo. O oscilador harmônico descrito pela EDO de segunda ordem ¨θ (t) + ω2θ (t) = 0 pode ser descrito por um sistema acoplado de duas EDOs lineares. Aplicando-se as transformações x2= ˙θ ⇒ ˙x2= ¨θ e x1= θ ⇒ ˙x1= ˙θ = x2, tem-se que sistema contínuo ¨ θ + ω2θ = 0 ⇒    ˙ x₁(t) = x2(t) ˙ x2(t) = −ω2x1(t)   2.6

Seja um sistema dinâmico descrito por um vetor de estados n-dimensional x ∈ Rn, com ponto fixo x∗e Equação de Estados f(x). De forma explícita, tem-se que

x(k + 1) =       x₁(k + 1) x₂(k + 1) .. . xn(k + 1)       = f(x(k)) =       f₁(x1(k), x2(k), · · · , xn(k)) f₂(x1(k), x2(k), · · · , xn(k)) .. . fn(x1(k), x2(k), · · · , xn(k))         2.7 equivalente a f(x) = Ax + ˜f(x) =       ∂ f1 ∂ x1 ∂ f1 ∂ x2 · · · ∂ f1 ∂ xn ∂ f2 ∂ x1 ∂ f2 ∂ x2 · · · ∂ f2 ∂ xn .. . · · · . .. ... ∂ fn ∂ x1 ∂ fn ∂ x2 · · · ∂ fn ∂ xn             x1 x₂ .. . x_n       +       ˜ f1(x1, x2, · · · , xn) ˜ f₂(x1, x2, · · · , xn) .. . ˜ f_n(x1, x2, · · · , xn)         2.8

onde A é a matriz Jacobiana calculada em x∗ e ˜f representa um vetor das componentes não

retirado para melhor compreensão).

O Teorema 2.1.1 aplicado a sistemas n-dimensionais é reescrito a seguir.

Teorema 2.2.1. Seja x∗ ponto fixo def(x(k)) = x(k + 1), onde f : Rn→ Rn,f é de classe C1.

Seja aindaA = Dxf(x∗), a matriz Jacobiana de f em x∗ e λii= 1, .., n, os autovalores de A

(complexos e/ou reais). Então:

i) se|λi| < 1 ∀ i = 1, .., n, então x∗é assintoticamente estável (atrator local);

ii) se|λi| > 1 ∀ i = 1, .., n, então x∗é instável (repulsor);

iii) se∃ |λi| < 1 e ∃ |λj| > 1 para i, j ∈ {1, .., n}, então x∗é instável, repulsor em algumas

direções e atrator em outras direções.

Para facilitar a descrição matemática e sem qualquer perda, aplica-se uma transformação de variáveis x 7−→ y, para o espaço definido pelos autovetores do sistema linearizado, de forma a diagonalizar a matriz A (chamado de Decomposição de Jordan ou ainda Forma de Jordan). Seja S a matriz dos autovetores vi, i = 1, .., n escrita na forma

S = [v₁v₂... v_n] 2.9

com inversa S−1. A transformação de variáveis é a seguinte

x = Sy 2.10

assim,

y = S−1x ⇒ ˙y = S−1˙x = S−1Ax + S−1˜f(x) ⇒ ˙y = S−1ASy + S−1˜f(Sy) = g(y) e a equação de estado (2.7) torna-se

y(k + 1) = g(y(k)) = A_λy(k) + ˜g(y(k)) 2.11

onde A_λ é a matriz diagonal com os autovalores da Jacobiana A e ˜g(y) = S−1˜f(Sy) é a compo-nente não linear de g, reescrita explicitamente como

g(y) = A_λy + ˜g(y) =       λ1 0 · · · 0 0 λ2 · · · 0 .. . · · · . .. ... 0 0 · · · λn             y1 y₂ .. . y_n       +       ˜ g1(y1, y2, · · · , yn) ˜ g₂(y1, y2, · · · , yn) .. . ˜ g_n(y1, y2, · · · , yn)         2.12

2.2. SISTEMA DE EDOS LINEARES 25 y_∗= S−1x∗   2.13

2.2.1

Subespaços Lineares Invariantes

Os autovalores λi, i = 1, ..n, da matriz Jacobiana Aλ podem ser divididos em três grupos

distintos: estável, quando |λi| < 1; instável, quando |λi| > 1; e central, quando |λi| = 1. De

forma análoga e sem perda de generalidade, pode-se particionar o espaço de fase2_Rnem três subespaços lineares e independentes: Es(estável, com dimensão ns), Eu(instável, com dimensão

n_u), e Ec (central, com dimensão nc) tal que Rn = Es⊕ Eu⊕ Ec. O parâmetros ns, nu e nc

também representam o número de autovalores de A classificados como estáveis, instáveis, e centrais, respectivamente, onde ns+ nu+ nc= n.

Sejam os autovalores λi, i = 1, ..., n, associados aos respectivos autovetores vii= 1, ..n,

de A, então os subespaços Es, Eue Ecsão definidos da seguinte forma3

Es= span{vi| |λi| < 1} Eu= span{vi| |λi| > 1} Ec= span{vi| |λi| = 1}   2.14

Os subespaços Es, Eue Ecsão invariantes, pois os sistemas dinâmicos aqui considerados são todos autônomos (invariantes explicitamente com respeito ao tempo k). Como a função de estado f e matriz Jacobiana A também são autônomas, os subespaços Es, Eue Ecconstruídos a partir dos autovetores de A também são invariantes, assim como outras estruturas topológicas (campos vetoriais e variedades, por exemplo).

Quando o sistema é linearizado e o ponto fixo y_∗é hiperbólico, o Teorema 2.1.2 garante que em torno de y_∗, existem duas superfícies Ws (variedade estável local) e Wu (variedade instável local) que contém todas as trajetórias de g que passam por y_∗, ao menos localmente. Além disso, Wstangencia o subespaço Es, assim como Wutangencia o subespaço Eu. Mais ainda, que todas as propriedades de Es e Eutambém são válidas para Ws e Wu(localmente). Assim, uma órbita que se inicie em Wspermanece em Ws, se aproximando de y_∗assintoticamente. Por outro lado, uma órbita que se inicie em Wupermanece em Wu, se afastando de y_∗. As variedades Wse Wusão invariantes pelos mesmos argumentos utilizados para explicar a invariância de Es, Eue Ec.

2.2.2

Variedade Central W

Quando um ou mais autovalores de A_λ são classificados como não hiperbólicos, o

subespaço Ec deixa de ter o vetor nulo como único elemento, e Ec pode ser associado a uma

2_{O Espaço de Fase é o espaço vetorial onde ocorre a dinâmica do sistema, tipicamente com a mesma dimensão}

do vetor de estados x, então se x ∈ Rn_{, o espaço de fase é o próprio R}n_. 3_span{v

variedade Wc(variedade central) representada agora por uma curva não-nula.

Sem perdas de generalidade, e assumindo que ns> 0, nu> 0 e nc> 0, o vetor de estados

y em (2.11) pode ser reescrito como y = (q₁, q₂), onde q₁∈ Ec_{e q}

2∈ Es⊕ Eu, e a equação de estados (2.11) se torna q₁(k + 1) = Acq1(k) +˜g1(q1(k), q2(k))   2.15a q₂(k + 1) = Asuq2(k) +˜g2(q1(k), q2(k))   2.15b onde Ac é a matriz diagonal nc× nc com os autovalores λi de A tal que |λi| = 1, Asu é a

matriz diagonal (ns+ nu) × (ns+ nu) com os autovalores λjde A tal que |λj| 6= 1, e ˜g1(q1, q2) e

˜g₂(q₁, q₂) são as respectivas componentes não-lineares. É importante salientar que o Teorema 2.1.2 é válido para (2.15b) de forma que o fluxo do campo vetorial de (2.15b) é dado por q₂(k + 1) = Dq2g(y∗)q2(k) = Asuq2(k), na vizinhança em torno do ponto fixo y∗.

Ao separar o espaço de estados em dois subespaços independentes, um associado a Ec, e o outro, ao complemento de Ec, é possível definir o conceito de variedade central Wc, apresentado a seguir.

Definição 2.2.1. Seja uma curva de classe Cmrepresentada por Wcdefinida em uma vizinhança

U em torno do ponto fixo y_∗. Wc é chamada de variedade central, se possuir as seguintes

propriedades:

 Wc é invariante, ou seja, toda trajetória y(k) iniciada Wc permanece em Wc ( ∀ y(0) ∈

Wc7−→ y(k) ∈ Wc_{para qualquer tempo k).}

 Wcé uma curva suave h(q₁) = q₂que tangencia Ec no ponto fixo y_∗, isto é, Wc(y,U ) =

{ y = (q₁, q₂) : q₂= h(q₁), (q₁, q₂) ∈ U }.

Além disso, a função h satisfaz as condições

i) h(q_1∗) = 0 ii) Dq1h(q1∗) = 0   2.16

A função h é um mapeamento h : U ⊂ Ec7→ Es_{⊕ E}u_{, que permite a redução de}

dimensi-onalidade do sistema pelo desacoplamento dos vetores de estados y₁e y₂. Quando h(q₁) = q₂é válido, a Equação de Estados que descreve a dinâmica do sistema na variedade central (2.15a) torna-se q₁(k + 1) = Acq1(k) +˜g1(q1(k), h(q1(k)))   2.17 que independe de q₂, e a curva h é atualizada temporalmente utilizando (2.15b) quando q₂= h, ou seja,

2.2. SISTEMA DE EDOS LINEARES 27 h(k + 1) = Asuh(k) + ˜g2(y1(k), h(k))   2.18 O Teorema apresentado a seguir, uma generalização do Teorema 2.1.2, trata do subespaço central Ece o relaciona com a variedade central Wc.

Teorema 2.2.2 (Shoshitaishvili). Seja φ (y) o fluxo do campo vetorial de (2.11) e Φ(y) o fluxo do campo vetorial do sistema desacoplado (2.15),

   q₁(k + 1) = Acq1(k) + ˜g1(q1(k), h(q1(k))) q₂(k + 1) = Asuq2(k)   2.19

Então existe um homeomorfismo4_{Ψ : R}n_{7→ R}ne uma vizinhança U dey_∗, onde φ (y) = Ψ−1◦ Φ(y) ◦ Ψ(y)

para todoy(k) tal que y(k) ∈ U e φ (y) ∈ U .

A interpretação gráfica do resultado do Teorema 2.2.2 pode ser visto na Figura 2.1. Em a), os subespaços vetoriais lineares Es, Eu e Ec cada um sobre um eixo do referencial, são perpendiculares entre si e representam juntos todo o espaço de estados. O ponto fixo y_∗está no centro deste referencial, e as setas apontam as direções estáveis e instáveis dos subespaços lineares. Cada subespaço vetorial linear está associado a uma variedade W , representada por Ws, Wue Wc, e cada variedade tangencia seu respectivo subespaço linear no ponto fixo y_∗. O fluxo vetorial φ (y) é formado pelas curvas Ws, Wue Wc. O Teorema 2.2.2 garante a existência de uma transformação de coordenadas inversível Ψ , (com inversa Ψ−1), tal que as variedades Ws, Wue Wctornam-se respectivamente paralelas a Es, Eue Ec, na vizinhança U de y_∗(como pode ser visto em b)). A consequência direta é que, sobre a vizinhança U , todas as trajetórias do sistema que estão em Wcpassam a estar também no subespaço linear central Ec.

Assim como o Teorema 2.1.2 garante que a dinâmica de um sistema não-linear é idêntica à dinâmica deste sistema linearizado em uma vizinhança U em torno de um ponto fixo hiperbólico, o Teorema 2.2.2 generaliza este resultado para o caso em que o ponto fixo é não hiperbólico. Na vizinhança U , a linearização é válida e as órbitas do sistema estão confinadas no subespaço linear Ec.

Em geral, a função h(q₁) é aproximada por sua expansão em Série de Taylor em torno

do ponto fixo y_∗, com os termos até ordem 1 nulos (de acordo com as condições de (2.16)).

Apenas como exemplo ilustrativo, suponha um sistema de dimensão 5, de forma que y = (y1, y2, y3, y4, y5) = (q1, q2), onde q1= (u = y1, v = y2) e q2= (y3, y4, y5). Portanto, as variáveis

y₃, y₄, y₅devem ser descritas como funções aproximadas de u e v. Então,

4_{Homeomorfismo é uma aplicação (função ou mapeamento) entre dois espaços topológicos, de forma que esta}

Figura 2.1: Em a), o ponto fixo y_∗está no centro do referencial, e os subespaços lineares invariantes Es, Eu e Ec são representados pelos eixos do referencial. Suas respectivas Variedades Ws_{, W}u_{e W}c_{, indicam a direção do fluxo do campo vetorial φ (y). Em b), a}

transformação de variáveis Ψ (com inversa Ψ−1) que gera o fluxo do campo vetorial Φ(y), garante que Ws, Wue Wcpodem ser aproximadamente paralelas a Es, Eue Ec, em uma vizinhança U do ponto fixo y∗.

h =    y₃ y₄ y₅   =    h₃(u, v) = h₃₁u2+ h₃₂v2+ h₃₃uv+ h₃₄u3+ h₃₅u2v+ h₃₆uv2+ h₃₇u3+ · · · h₄(u, v) = h₄₁u2+ h₄₂v2+ h₄₃uv+ h₄₄u3+ h₄₅u2v+ h₄₆uv2+ h₄₇u3+ · · · h₅(u, v) = h₅₁u2+ h₅₂v2+ h₅₃uv+ h₅₄u3+ h₅₅u2v+ h₅₆uv2+ h₅₇u3+ · · ·      2.20 onde os coeficientes hi j, i = 3, 4, 5 e j = 1, .., 7 são calculados igualando as potências de mesma

ordem dos polinômios dos lados esquerdo e direito de (2.18).

2.3

Bifurcações Locais

A Teoria das Bifurcações é a área do conhecimento, grosso modo, que estuda a mudança do comportamento de um sistema dinâmico devido à variação do valor de um ou mais parâmetros deste sistema. Existe um conjunto de condições bem definidas para que uma bifurcação ocorra, e nem todos os sistemas dinâmicos apresentam estas condições. Quando uma bifurcação ocorre no sistema, uma pequena variação quantitativa no valor do parâmetro causa uma mudança abrupta no comportamento da dinâmica.

As bifurcações são analisadas nos os pontos fixos do sistema, uma vez que estes últimos definem tanto o comportamento dinâmico local, quanto o comportamento global, quando possível.

2.3. BIFURCAÇÕES LOCAIS 29 Uma bifurcação representa uma situação crítica no sistema, no qual o antes e o depois são, em geral, muito diferentes. O parâmetro do sistema cujo valor pode alterar profundamente sua dinâmica, é chamado de parâmetro de bifurcação, representado por µ, e o valor crítico que define o limiar de mudança de comportamento do sistema é chamado de ponto crítico µc(HALE;

KOCAK,1991).

O parâmetro de bifurcação µ pode ser um escalar, ou de forma geral, pode representar um vetor de dimensão m, µµµ = [µ1, µ2, . . . , µm] ∈ Rm, que concatena todos os parâmetros do

sistema que, individualmente ou em conjunto, podem levá-lo a uma bifurcação. Se µ é um escalar, diz-se que o sistema dinâmico tem codimensão 1 (HALE; KOCAK,1991), se µµµ for bidimensional, o sistema dinâmico tem codimensão 2, e assim por diante.

Por uma questão de simplicidade e sem perda de generalidade, considera-se que os sistemas dinâmicos que serão descritos nos próximos parágrafos possuem apenas um parâmetro de bifurcação, denotados por µ.

As bifurcações são comumente classificadas entre locais e globais. As bifurcações locais estão associadas a pontos fixos locais e sua validade se limita a uma região finita em torno do ponto fixo local5. As bifurcações locais ocorrem quando um ponto fixo deixa de ser

hiperbólico, sendo descritas com as chamadas Formas Normais6. As principais bifurcações

locais são: Bifurcação Sela-Nó (BSN), Bifurcação Transcrítica (BT), Bifurcação Pitchfork (BP), Bifurcação de Duplicação de Período (BDP), presente apenas em sistemas discretos, e a Bifurcação de Hopf (BH). As bifurcações globais modificam a estrutura das órbitas do sistema por uma extensão muito maior no espaço de fases, e sua análise não pode ser realizada de forma análoga àquela utilizada nas bifurcações locais (WIGGINS,1988). São exemplos de bifurcações globais: Bifurcação Homoclínica (resultante da interação de um ciclo limite com um ponto de sela) e Heteroclínica (resultante da interação de um ciclo limite com mais de um ponto de sela).

As bifurcações globais não são o foco deste trabalho, que trata essencialmente da BH. As discussões a seguir trazem a descrição das principais bifurcações locais que ocorrem em sistemas dinâmicos discretos, uma vez que a análise de bifurcações será aplicada a redes neurais discretas, com realimentação.

As bifurcações locais são divididas em três grupos: as bifurcações de Estado Estacionário ou Estática, a BDP, e a bifurcação Dinâmica. As bifurcações de estado estacionário estão presentes em sistemas unidimensionais e compreendem todas as bifurcações locais citadas anteriormente, com exceção da BDP e da BH, também chamada de bifurcação dinâmica, sendo encontrada apenas em sistemas de dimensão maior ou igual a dois.

Cada bifurcação local possui uma equação polinomial que a caracteriza. Esta família

de polinômios é chamada de Formas Normais (FNs) (HALE; KOCAK,1991). No caso das

bifurcações de Estado Estacionário, as FNs são polinômios de grau menor ou igual a 3. Para a BDP, a FN é um polinômio de grau 3 sem a componente quadrática, enquanto que na BH o

5_{Decorrente do processo de linearização, válido apenas localmente.} 6_{veja a seção 3.5.2 para mais detalhes}

polinômio é bidimensional de grau 3, descrito em coordenadas polares (r, θ ).

A metodologia para o estudo de bifurcações difere para sistemas contínuos e discretos. Dessa forma, toda a análise que será apresentada nos parágrafos que se seguem refere-se a bifurcações em sistemas discretos, uma vez que as redes MAC estudadas também são sistemas discretos.

Sistemas com dimensão maior que dois também podem apresentar a BH. Nestes casos, um sistema n-dimensional deve sofrer uma redução de dimensionalidade de n para 2. O Teorema 2.2.2 garante a existência de uma superfície no subespaço bidimensional, chamada de variedade central, que contém localmente todas as trajetórias do sistema na presença da BH. A descrição de redução de dimensionalidade, passo intermediário necessário para se chegar até a FN da BH, é conhecida como Redução à Variedade Central (RCV), que será tratada na seção 3.5.1.

As bifurcações locais são analisadas nos pontos fixos locais, justamente quando estes últimos deixam de ser hiperbólicos, ou seja, quando um autovalor λ associado ao ponto fixo em questão tem norma 1, |λ | = 1. De forma geral, tem-se que:

 Se λ ∈ R, com λ = +1, trata-se de uma bifurcação de Estado Estacionário;

 Se λ ∈ R, com λ = −1, trata-se de uma BDP;

 Se λ ∈ C, com |λ | = 1 e (λ , ¯λ ) = γ ± iω, trata-se de uma BH.

A verificação da existência de uma bifurcação local em um sistema dinâmico qualquer segue os seguintes passos:

1. Determinar o ponto fixo local e transladá-lo para origem;

2. Se a equação de estado não for polinomial, expandi-la em série de Taylor em torno do ponto de equilíbrio transladado, assumindo os termos do polinômio até terceira ordem;

3. Calcular a matriz Jacobiana no ponto fixo e encontrar seus autovalores em função do parâmetro de bifurcação µ;

4. Variar o valor do parâmetro µ na equação dos autovalores, até encontrar o limiar de bifurcação, onde o ponto de equilíbrio deixa de ser hiperbólico. Em seguida, aplicar uma translação para que o limiar de bifurcação seja o ponto nulo, µc= 0.

5. Para a BH, realizar o procedimento de RVC, projetando a equação de estado no subespaço definido pela variedade central;

6. Reescrever a equação de estado, de forma a se encaixar no formato da respectiva FN associada àquela bifurcação;

2.3. BIFURCAÇÕES LOCAIS 31 7. Uma vez que o sistema esteja descrito na sua FN, podem-se determinar outras características importantes da bifurcação, como o tipo de estabilidade (supercrítica ou subcrítica).

2.3.1

Bifurcações de Estado Estacionário

Seja um sistema unidimensional autônomo, descrito por um estado x, com um parâmetro livre do sistema µ, com Equação de Estado na forma f (µ, x), e um ponto fixo x∗, de forma que

f(µ, x(k)) = x(k + 1) 2.21

onde k é o índice da iteração. Nesta situação, observa-se que (µ, x∗) é ponto fixo de (2.21),

∀ µ ∈ R. Então, assumindo que a bifurcação ocorre na criticalidade7_(µ

c, x∗), sempre é possível

aplicar uma translação que leve a criticalidade (µc, x∗) para a origem (0, 0), uma vez que

este processo é reversível. A partir daqui, toda a análise será realizada sobre a criticalidade (µc, x∗) = (0, 0), com o objetivo de simplificar as deduções.

A condição para que o sistema (2.21) apresente uma bifurcação de estado estacionário é que o autovalor assuma valor real 1, ou seja λ = +1 = ∂ f

∂ x(0, 0).

Definindo a função g(µ, x) = f (µ, x) − x, o ponto (0, 0) permanece sendo ponto fixo de g(µ, x), e neste caso tem-se que g(0, 0) = 0 e ∂ g

∂ x(0, 0) = 0. Expandindo g(µ, x) em série de

Taylor em torno do ponto (µc, x∗) = (0, 0) tem-se que

g(µ, x) = xDxg+ µDµg+ x2 2Dxxg+ µ2 2 Dµ µg+ xµDµ xg+ x3 3!Dxxxg+ ...   2.22 onde Dyf é o operador Dyf = ∂ f_{∂ y}  

y=y∗, f (y) uma função arbitrária com ponto fixo y∗. As

FNs das três bifurcações de estado estacionário, Sela-nó, Transcrítica e Pitchfork decorrem do truncamento seguido de um reescalonamento de (2.22), procedimento apresentado a seguir.

2.3.1.1 Bifurcação Sela-nó

Para a Bifurcação Sela-Nó (BSN), espera-se que Dµg6= 0 e Dxxg6= 0. Os demais termos

de ordem superior podem ser desprezados. A equação de estado do sistema passa a ter a forma:

g(µ, x) = f (µ, x) − x = µDµg+ x2 2Dxxg   2.23 Reescalando as variáveis x =_|D2 xxg|x˜e µ = 2 |DµgDxxg|µ , a FN da BSN é apresentada como:˜ ˜ f( ˜µ , ˜x(k)) = ε1µ + ˜˜ x(k) + ε2x˜2(k) = ˜x(k + 1)   2.24 7_{Criticalidade (µ}

onde ε1e ε2são as funções sinais ε1= Sinal(Dµg) e ε2= Sinal(Dxxg). Verifica-se que o ponto

( ˜µc, ˜x∗) = (0, 0) é uma criticalidade uma vez que ∂ ˜_{∂ ˜x}f(0, 0) = +1.

Os pontos fixos de (2.24) são ˜x±= ±

q −ε1µ˜

ε2 , com respectivos autovalores λ±= 1 ±

2√−ε1ε2µ . Na verdade, ˜˜ x+e ˜x− representam ramos de pontos fixos, uma vez para cada valor ˜µ , existem dois pontos fixos associados (na situação em que Sinal(−ε1µ˜

ε2 ) = 1).

Para analisar o comportamento de um sistema, primeiro considera-se que ε1= ε2. Neste

caso, os ramos de pontos fixos ˜x+( ˜µ ) e ˜x−( ˜µ ) só existem quando ˜µ < 0, e desaparecem quando ˜

µ > 0. Para ˜µ < 0, o ramo ˜x+( ˜µ ) é instável pois |λ+| > 1, enquanto o outro ponto ramo ˜x−( ˜µ ) é estável pois |λ−| < 1. A Figura 2.2 (a) mostra o diagrama de bifurcação com o esboço dos

ramos de pontos fixos estáveis (curva contínua) e instáveis (curva pontilhada).

Por outro lado, quando ε1= −ε2, a análise é invertida, e os ramos de pontos fixos ˜x+( ˜µ ) e ˜x−( ˜µ ) só existem quando ˜µ > 0. O ramo ˜x+( ˜µ ) continua instável pois |λ+| > 1, enquanto o

ramo ˜x−( ˜µ ) continua estável pois |λ−| < 1, como esboçado na Figura 2.2 (b).

Figura 2.2: a) Diagrama de bifurcação da BSN, para ε1= ε2. Quando ˜µ < 0, o sistema

possui dois ramos de pontos fixos: um estável (curva contínua), associado ao ponto ˜x− ; e

outro instável (curva pontilhada), associado ao ponto ˜x−. Quando ˜µ > 0, o sistema não possui qualquer ponto fixo. b) Análogo para o caso ε1= −ε2. Os dois ramos de pontos

fixos existem apenas quando ˜µ > 0. Os pontos fixos ˜x+e ˜x−não mudam o seu tipo de

estabilidade.

2.3.1.2 Bifurcação Transcrítica

Na BSN, os pontos fixos são criados ou destruídos na medida em que se varia µ. Na Bifurcação Transcrítica (BT), o que ocorre é uma troca de equilíbrio entre os pontos fixos

2.3. BIFURCAÇÕES LOCAIS 33

do sistema, sem que haja de fato, qualquer mudança no equilíbrio do sistema em si (HALE;

KOCAK,1991).

Assume-se que ∂ng

∂ µn(0, 0) = 0 para n = 1, 2, ..., o que implica Dµg= Dµ µg= 0. Além

disso, é possível considerar que Dxµg6= 0 e que Dxxg6= 0. Os outros termos de (2.22) são

desconsiderados.

A Equação de Estado de tal sistema é escrita aproximadamente como

g(µ, x) = f (µ, x) − x = x 2 2Dxxg+ xµDµ xg   2.25 Reescalando as variáveis x e µ de forma que x =_|D2

xxg|x˜e µ =

1

|Dµ xg|µ , tem-se que a FN para a˜

BT é escrita como: ˜ f( ˜µ , ˜x(k)) = ˜x(k)(1 + ε1µ + ε˜ 2x(k)) = ˜˜ x(k + 1)   2.26 onde ε1e ε2são funções sinais ε1= Sinal(Dµ xg) e ε2= Sinal(Dxxg). Verifica-se que o ponto

( ˜µc, ˜x∗) = (0, 0) é uma criticalidade uma vez que ∂ ˜_{∂ ˜x}f(0, 0) = +1.

Existem dois ramos de pontos fixos em (2.26), que são ˜x1( ˜µ ) = 0 e ˜x2( ˜µ ) = −ε_ε1

2µ ,˜

associados aos respectivos autovalores λ1= 1 + ε1µ e λ˜ 2= 1 − ε1µ . Nestas condições, há quatro˜

possibilidades: i) ε1= ε2= 1; ii) ε1= ε2= −1; iii) ε1= −ε2= 1; iv) −ε1= ε2= 1.

Para o caso i), se ˜µ < 0, então |λ1| < 1 e |λ2| > 1, e o ramo ˜x1( ˜µ ) é estável enquanto o

ramo ˜x₂( ˜µ ) é instável. Mas se ˜µ > 0, a situação se inverte e ˜x1( ˜µ ) se torna instável e ˜x2( ˜µ ) se

torna estável. Os ramos estáveis (curva contínua) e instáveis (curva pontilha) estão na Figura 2.3 (a).

Realizando análise semelhante à do parágrafo anterior, no caso ii), o ramo ˜x₁( ˜µ ) é instável (estável) para ˜µ < 0 ( ˜µ > 0), enquanto ocorre o inverso para o ramo ˜x2( ˜µ ), sendo estável

(instável) para ˜µ < 0 ( ˜µ > 0) (Figura 2.3 (b)).

No caso iii) o ramo ˜x₁( ˜µ ) é estável (instável) para ˜µ < 0 ( ˜µ > 0), enquanto o ramo ˜x2( ˜µ )

é instável (estável) quando ˜µ < 0 ( ˜µ > 0) (Figura 2.3 (c)).

Por fim, no caso iv) o ramo ˜x₁( ˜µ ) é instável (estável) para ˜µ < 0 ( ˜µ > 0), enquanto o ramo ˜x₂( ˜µ ) é estável (instável) quando ˜µ < 0 ( ˜µ > 0) (Figura 2.3 (d)).

Como citado no inicio desta seção, na BT não há criação/destruição de pontos fixos, porém os dois pontos fixos se alternam quanto à estabilidade, sendo sempre um deles estável e o outro, instável, na medida em que se varia o parâmetro de bifurcação µ.

2.3.1.3 Bifurcação Pitchfork

A Bifurcação Pitchfork (BP) é semelhante à BT, porém com duas diferenças: i) assume-se que Dxxxg6= 0 em (2.22); ii) assume-se ainda, a existência de uma simetria de reflexão em

(2.22), de forma que g(µ, −x) = −g(µ, x).

Figura 2.3: Diagramas de bifurcação para a BT referente à Equação de Estado do sistema (2.26). Para quatro casos: a) ε1= ε2= 1; b) ε1= ε2= −1; c) ε1= −ε2= 1; d)

−ε1= ε2= 1. Em todos os casos, as curvas contínuas (pontilhadas) representam os ramos

de pontos fixos estáveis (instáveis). Veja mais detalhes no texto.

em (2.22) sejam não nulos, ou não desprezíveis. Neste contexto, a Equação de Estado se reduz a

g(µ, x) = f (µ, x) − x = xµDµ xg+ x3 3!Dxxxg   2.27 Ao reescalar as variáveis x e µ tal que ˜x=q_|D6

xxxg|xe ˜µ = 1 |Dxµg|µ , a FN para a BP é escrita como ˜ f( ˜x(k), ˜µ ) = ˜x(k)(1 + ε1µ + ε˜ 2x˜2(k)) = ˜x(k + 1)   2.28 onde ε1e ε2são funções sinais ε1= Sinal(Dµ xg) e ε2= Sinal(Dxxxg). Verifica-se que o ponto

( ˜µc, ˜x∗) = (0, 0) é criticalidade uma vez que ∂ ˜_{∂ ˜x}f(0, 0) = +1.

Verifica-se que (2.28) possui três ramos de pontos fixos: ˜x₁( ˜µ ) = 0 e x±( ˜µ ) = ± q

−ε1

ε2µ ,˜

com respectivos autovalores λ1= 1 + ε1µ e λ˜ ±= 1 − 2ε1µ .˜

Como na BT, existem quatro casos possíveis: i) ε1 = ε2 = 1; ii) ε1 = ε2= −1; iii)

ε1= −ε2= 1; iv) −ε1= ε2= 1. Porém, na BP haverá a possibilidade da criação/destruição de

pontos fixos (ou dos ramos de pontos fixos), na medida em que o parâmetro de bifurcação ˜µ varia.

Seja o caso i), ε1= ε2= 1, o ramo ˜x1( ˜µ ) é estável (instável) para ˜µ < 0 ( ˜µ > 0). Os ramos x+( ˜µ ) e x−( ˜µ ) existem apenas se ˜µ < 0, sendo ambos instáveis (Figura 2.4 (a)). As curvas contínua e pontilhada, representam os ramos estáveis e instáveis, respectivamente.

2.3. BIFURCAÇÕES LOCAIS 35 ramos x+( ˜µ ) e x−( ˜µ ) existem apenas se ˜µ < 0, porém neste caso, ambos são estáveis (Figura 2.4 (b)).

No caso iii), ε1= −ε2= 1, o ramo ˜x1( ˜µ ) é estável (instável) para ˜µ < 0 ( ˜µ > 0). Os

ramos x+( ˜µ ) e x−( ˜µ ) existem apenas quando ˜µ > 0, sendo ambos os ramos estáveis (Figura 2.4 (c)). Por fim o caso iv), −ε1= ε2= 1, onde o ramo ˜x1( ˜µ ) é instável (estável) para ˜µ < 0 ( ˜µ > 0).

Os ramos x+( ˜µ ) e x−( ˜µ ) existem apenas quando ˜µ > 0, sendo ambos os ramos instáveis (Figura 2.4 (d)).

Figura 2.4: Diagramas de bifurcação da BP referente à Equação de Estado do sistema (2.28), para quatro casos: a) ε1= ε2= 1; b) ε1= ε2= −1; c) ε1= −ε2= 1; d) −ε1=

ε2= 1 (direita inferior). Em todos os casos, as curvas contínuas (pontilhadas) representam

os ramos de pontos fixos estáveis (instáveis). Veja texto para mais detalhes.

2.3.2

Bifurcação de Duplicação de Período

A BDP ocorre em sistemas unidimensionais que tenham simetria por reflexão, ou seja, f(µ, −x) = − f (µ, x). Além disso, assume-se que: i) f (µ, 0) = 0; ii) (µc, x∗) = (0, 0) é

criti-calidade de f e λ =∂ f

∂ x(0, 0) = −1. A expansão de f (µ, x) em torno de x∗= 0 resulta em um

polinômio de potências ímpares com a forma

f(µ, x) = λ (µ)x + α1(µ)x3   2.29 onde as ordens superiores são desconsideradas, e as funções λ (µ) e α1(µ) carregam todas as

dependências do parâmetro µ, com a condição λ (µ = 0) = −1.

Sob estas condições, f (µ, x) deve ter pelo menos um ramo de pontos fixos x∗(µ) que