Realizações equilibradas de sistemas lineares

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

1

P´ag. linha onde se lˆe deve ler-se

3 11 pr´oximo cap´ıtulo terceiro cap´ıtulo

5 25 αk(t1− τ )k αk(t1− τ )

6 2/3 αk(t1− τ )k αk(t1− τ )

8 23 W2

o(0, t1) ´e invert´ıvel Wo2(0, t1) ´e invert´ıvel ∀t1> 0

9 11 W2

o(0, t1) não é invert´ıvel Wo2(0, t1) não é invert´ıvel para um dado t1> 0

9 22 y(t1) = CeAt(xo+ xa) = CeAtxo y(τ ) = CeAt(xo+ xa) = CeAtxo, τ ∈ [0, t1]

9 24 W2

o(0, t1) tem de ser invert´ıvel Wo2(0, t1) tem de ser invert´ıvel ∀t1> 0

10 11 rankhCT _ACT_{· · · A}n−1_CTi _rankh_CT _AT_CT_{· · · A}n−1T_CTi 12 22/24 σk X j=0 tj−1 k! σk X j=1 tj−1 (j − 1)! 17 5/7 G(t) = C(sI − A)−1B G(s) = C(sI − A)−1B 18 13 B =ˆ         1 2 0 4 1 4 1 0         ˆ B =      1 2 1 4 1 0      21 6 N0+ N1+ ... + Nr−1sr−1 N0+ N1s + ... + Nr−1sr−1 24 13/14/15 α i 25 2/3/4 β i 27 9 q × n n × q 28 5 B = T−1B B = T¯ −1B 31 24 rankh_Bˆ _Aˆ₁₁_Bˆ₁ _... _Aˆq1−1 11 Bˆ1 i = q1 rank h ˆ B1 Aˆ11Bˆ1 ... Aˆq111−1Bˆ1 i = q1 32 7 q q1 33 6   ¯ A13 ¯ A23  S₁−1Aˆ12   ¯ A13 ¯ A23  = S−1₁ Aˆ12 34 1 C =¯   S₁−1 0 0 I  T−1CT   S1 0 0 I   C = CT¯   S1 0 0 I   34 4 Cˆ1 C˜1 34 10/12 rankh(...) · · · ˆA11Bˆ1 i rankh(...) · · · ˆAα−1₁₁ Bˆ1 i

(7)

P´ag. linha onde se lˆe deve ler-se 34 13 rankh(...) · · · S₁−1Aˆ11S1−1S −1 1 Bˆ1 i rankh(...) · · · S−1₁ Aˆα−1₁₁ S₁−1S₁−1Bˆ1 i 35 11 Q¯T α1 Q¯α1 35 14      ¯ Aα−1₁₁ 0 A¯13 ∗ A¯α−1₂₂ ∗ 0 0 A¯α−1₃₃           ¯ Aα−1₁₁ 0 ∗ ∗ A¯α−1₂₂ ∗ 0 0 A¯α−1₃₃      37 2 R¯βQ¯α= RS−1T−1(S−1T−1) −1 Qα R¯βQ¯α= Rβ(S−1T−1) −1 S−1T−1Qα 37 3 RS−1T−1T SQα RβT SS−1T−1Qα 38 11 (A11, B1, C1) ( ¯Ak11, ¯B1, ¯C1) 38 13 _R _R+₀ 39 23 A¯k=      ¯ A11 0 ∗ 0 A¯k 22 ∗ 0 0 A¯k 33      ¯ Ak=      ¯ Ak11 0 ∗ ∗ A¯k 22 ∗ 0 0 A¯k 33      40 16 RβQα= Γij = ¯RβQ¯α RβQα= ¯RβQ¯α 48 5 Γ1k Γ1j 48 14 Γβα= n rankΓβα= n

49/50/51 o exemplo em anexo substitui o Ex. 2.2.13.

56 4 − 7 eAT_(t∗_{−τ )} eA(t∗−τ ) 56 5/6 W_a2(0, t∗)−1 W_a2(0, t∗)−1T 57 13 eAt_{= diag{e}J1_{, e}J2_{, · · · , e}Jk_} _eAt_{= diag{e}J1t_{, e}J2t_{, · · · , e}Jkt_} 60 3/5 kxT_eAT_t Bk2 kxT_eAt_Bk2 60 14 x x∗ 60 21 x∗₂ x∗ 61 2 x∗₂ x∗ 61 7 x x∗

67 3 semidefinida positiva sim´etrica e definida positiva

71 5/6/10/11 Σa Σo 71 13 ↓ Pi(i = 1, 2) ↓ Pi−1(i = 1, 2) 74 21 W2 a = VaΣaVaT Wa2= VaΣ2aVaT 74 23 Wo2= VoTΣ˜oVo Wo2= VoΣ˜2oVoT 75 2 de µc(P ) µa(P ) 77 11 µc(P ) µa(P ) 78 21 σ2 i(i = 1, 2, . . . , n) σ4i(i = 1, 2, . . . , n)

(8)

3

P´ag. linha onde se lˆe deve ler-se

79 2 σ2 i(i = 1, 2, . . . , n) σi4(i = 1, 2, . . . , n) 81 4 AT_Σ2_{+ AΣ}2_{A = −C}T_C _AT_Σ2_{+ Σ}2_{A = −C}T_C 81 7/8 AT 12 AT21 81 7/8 AT21 AT12 84 5 subsespa¸co subespa¸co 93 12 W2 c Wa2 95 22 G(s) = C(sI − A)−1+ D G(s) = C(sI − A)−1B + D 96 2 Gr(s) = Cr(sI − Ar)−1+ D Gr(s) = Cr(sI − Ar)−1Br+ D 97 2 σ1> σ2> · · · > σl> · · · > σl+1≥ 0 σ12> σ22> · · · > σ2l > σ 2 l+1> 0 97 4 (Ar, Br, Cr) (Ar, Br, Cr, D) 99 5 B∗_T−1 _T−1_B∗_{(retirar o terceiro ”=”)} 100 3 σ2 s+1 σl+12 101 8 2B2B2T −2B2BT2 102 5 Σ21Ar+ ATrΣ2r= −CrCrT Σ21Ar+ ArTΣ21= −CrCrT 102 16 (−A12+ Σ22− σ4l+1Σ −2 1 AT21) (−A12Σ22− σ4l+1Σ −2 1 AT21)T 102 19 −2B2B2T = −B2B2T + C2C2T −2B2B2T = −B2B2T− C2C2T 103 2 CT 2CT = −B2B2T C2TCT = B2B2T 103 7 CT 2CT −C2TCT 103 9 A ˜˜P + ˜P ˜AT = − ˜B2B˜2T A ˜˜P + ˜P ˜A T _{= − ˜}_{B ˜}_BT 103 12 −σ4 l+1CrΣ−21 CrTCrΣ−21 −σ4l+1Σ −2 1 CrTCrΣ−21 103 12 −B2B2T+ C2C2T −B2BT2 − C2C2T 104 11 BT_{(−sI − A}T₎−1_{+ D}T _B˜T_{(−sI − ˜}_AT₎−1_C˜T_{+ ˜}_DT

104 12 −BT_{(sI − (−A}T₎₎−1_{+ D}T _{− ˜}_BT_{(sI − (− ˜}_AT₎₎−1_C_˜T _{+ ˜}_DT

106 5 CT¯ CS¯

106 12 sI + ˜A sI + ˜AT

107 8 I2sl+1 I2(sl+1)

107 10 σmax(jw) σmaxE(jw)

108 7 E21x0 E21(s)x0 108 18 σ_r2 σ_l2 109 21 σ2 1Is1 > σ 2 2Is2> · · · > σ 2 l > σ2l+1> σl+22 > · · · > σ2N ≥ 0 σ12> σ22> · · · > σl2> σ2l+1> σl+22 > · · · > σ2N > 0 110 16 Ek Er

(9)

(10)

Conte´

udo

Introdu¸c˜ao iii

1 Propriedades estruturais em sistemas lineares 1

1.1 Atingibilidade e observabilidade . . . 2 1.2 Estabilidade . . . 10

2 Realiza¸c˜ao de sistemas lineares 15

2.1 O problema da realiza¸cão . . . 15 2.2 Constru¸cão de realiza¸cões de ordem m´ınima . . . 22

3 Realiza¸c˜oes equilibradas 53

3.1 Energia m´ınima de controlo . . . 53 3.2 Energia de observa¸c˜ao . . . 62 3.3 Realiza¸c˜oes equilibradas . . . 64

4 Redu¸c˜ao da ordem de um modelo 91

Conclus˜ao 115

Bibliografia 117

(11)

(12)

Introdu¸

c˜

ao

Na Teoria de Sistemas destaca-se a Teoria da Realiza¸cão que consiste na obten¸cão e estudo de modelos de espa¸co de estados para uma dada resposta impulsional ou fun¸cão de transferência. Nesta disserta¸cão será especificamente desenvolvido o estudo de re-aliza¸cões para o caso cont´ınuo e invariante no tempo, pormenorizando-se a análise de realiza¸cões que exibem um certo “equil´ıbrio” entre, por um lado, a influência da entrada no estado e, por outro, a influência do estado na sa´ıda: as realiza¸cões equilibradas.

O “equil´ıbrio” inerente a este tipo de realiza¸cões permite que se proceda à redu¸cão da ordem de um modelo de forma lógica e simples sem que propriedades internas fundamentais do sistema sejam alteradas. Tal redu¸cão possibilita aproximar um modelo complexo por um modelo mais simples que envolva um menor esfor¸co computacional.

No primeiro cap´ıtulo desenvolve-se o estudo de conceitos e propriedades estruturais básicos em Teoria de Sistemas. As no¸cões de atingibilidade, observabilidade e estabi-lidade são definidas e algumas caracteriza¸cões relativas a estes conceitos são apresen-tadas. Os conceitos referenciados neste cap´ıtulo revelam-se importantes no contexto deste trabalho, uma vez que suportam a teoria subjacente às realiza¸cões abordadas nos restantes cap´ıtulos.

No segundo cap´ıtulo esclarece-se o conceito de realiza¸cão e estudam-se várias pro-priedades que envolvem a equivalência e a minimalidade de realiza¸cões. Destaca-se também a conexão existente entre atingibilidade e observabilidade, minimalidade e propriedades da matriz de Hankel e dos parâmetros de Markov correspondentes. No final deste cap´ıtulo é descrito um procedimento para a obten¸cão de uma realiza¸cão de

(13)

ordem m´ınima a partir de uma realiza¸c˜ao inicialmente dada. ´

E no terceiro cap´ıtulo que se desenvolve o estudo das realiza¸cões equilibradas depois de se definirem os conceitos de energia m´ınima de controlo e de energia de observa¸cão. São definidos os gramianos de atingibilidade e de observabilidade. A análise das rea-liza¸cões equilibradas particulariza-se para o caso de realiza¸cões equilibradas relativa-mente ao eixo principal. Apresenta-se também um importante algoritmo para “equili-brar” relativamente ao eixo principal qualquer realiza¸cão e salientam-se propriedades de relevo no estudo deste tipo de realiza¸cões equilibradas que envolvem caracter´ısticas dos seus subsistemas.

O último cap´ıtulo tem por objectivo resolver o problema de se encontrar um modelo de ordem mais baixa que constitua uma boa aproxima¸cão da realiza¸cão inicialmente dada, em termos do erro na respectiva fun¸cão de transferência. Trata-se do problema da redu¸cão da ordem de um modelo. Apresenta-se um majorante para o erro come-tido aquando da aplica¸cão de um processo de redu¸cão, que permite averiguar se a aproxima¸cão encontrada é ou não razoável.

(14)

Cap´ıtulo 1

Propriedades estruturais em

sistemas lineares

O objecto de estudo deste trabalho são os sistemas lineares de espa¸co de estados invariantes no tempo. Tais sistemas são descritos por equa¸cões (matriciais) do tipo

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), x0 = x(0) (1.1)

y(t) = Cx(t) + Du(t) (1.2)

onde A ∈ Rn×n_{, B ∈ R}n×m_{, C ∈ R}p×n _{e D ∈ R}p×m_{, x(t) ∈ R}n _´_{e o estado, u(t) ∈ R}m

´_{e a entrada e y(t) ∈ R}p _´_{e a sa´ıda. Sup˜}_{oe-se al´}_{em disso que u(.) ∈ U , conjunto das}

fun¸c˜_{oes R}+₀ _{→ R}m _{cont´ınuas aos peda¸cos. ´}_{E sabido que a solu¸c˜}_{ao completa da equa¸c˜}_ao

diferencial (1.1) ´e dada por

x(t) = eAtx0+

Z t

0

eA(t−τ )Bu(τ )dτ (1.3) e que a resposta deste sistema para um dado estado inicial x0 e entrada u(t), ´e dada

por

y(t) = CeAtx0+

Z t

0

CeA(t−τ )Bu(τ )dτ + Du(t) (1.4) onde eA(t−τ ) _´_{e a chamada matriz de transi¸c˜}_{ao associada a A.}

(15)

Note-se que ambas as express˜oes (1.3) e (1.4) compreendem duas componentes dis-tintas: uma que apenas depende do estado inicial, x0, promovendo a chamada evolu¸c˜ao

livre do sistema,

xl(t) = eAtx0

e consequente resposta ao estado inicial x0,

yl(t) = CeAtx0

e uma outra, resultante da actua¸cão de uma entrada u(t) partindo da condi¸cão inicial nula, x0 = 0, denominando-se por evolu¸cão for¸cada do sistema

xf(t) = Z t

0

eA(t−τ )Bu(τ )dτ e consequente resposta `a entrada u(t),

yf(t) = Z t

0

CeA(t−τ )Bu(τ )dτ + Du(t). (1.5) Na análise dos sistemas lineares de espa¸co de estados colocam-se questões funda-mentais como o estudo da influência da entrada no estado, da influência do estado na sa´ıda e do comportamento das solu¸cões das equa¸cões de estado em termos de cresci-mento. Estas questões estão relacionadas com as propriedades estruturais que a seguir se apresentam.

1.1 Atingibilidade e observabilidade

O conceito de atingibilidade está associado à influência que uma dada entrada u(t) pode ter sobre o vector estado x(t). Obviamente estará em causa a transferência do sistema de um estado para o outro. A atingibilidade de um sistema traduz a existência de uma entrada - sinal de controlo - que promova a transferência do estado nulo para um outro em tempo finito. Contrariamente à atingibilidade que não envolve a equa¸cão

(16)

1.1. ATINGIBILIDADE E OBSERVABILIDADE 3

de sa´ıda, a observabilidade está associada precisamente à influência do vector estado na sa´ıda e não envolve a açcão de qualquer entrada.

Defini¸c˜ao 1.1.1. Considere-se o sistema descrito pelas equa¸c˜oes (1.1) e (1.2). O estado x1diz-se um estado ating´ıvel no instante t1 se existirem um instante t1 > 0 finito e uma

entrada cont´ınua aos peda¸cos u(t) tal que a correspondente solu¸cão x(t) das equa¸cões de estado (1.1) e (1.2), com condi¸cão inicial x(0) = 0, satisfaz x(t1) = x1. O sistema

(A, B, C, D) ou simplesmente o par (A, B) diz-se ating´ıvel se qualquer estado x1 ∈ Rn

´e ating´ıvel.

Há dois critérios de atingibilidade que não poderiam deixar de constar neste tra-balho dada a sua aplica¸cão ao estudo das realiza¸cões nomeadamente das realiza¸cões equilibradas, objecto de estudo do terceiro cap´ıtulo. O primeiro critério aqui apresen-tado recorre à invertibilidade da matriz gramiano,

W_a2(0, t1) =

Z t1

0

eA(t1−τ )_BBT_eAT(t1−τ )_dτ.

Teorema 1.1.2. O par (A, B) é ating´ıvel se e só se a matriz W_a2(0, t1) é invert´ıvel,

∀t1 > 0.

Demonstra¸cão. Para demonstrar a necessidade da invertibilidade do gramiano suponha-se por hipótese que (A, B) é um par ating´ıvel e admita-se contrariamente ao que pre-tende mostrar que a matriz W2

a(0, t1) n˜ao ´e invert´ıvel, para um dado valor t1 > 0.

Ent˜ao, existe um vector estado xa∈ Rn n˜ao nulo tal que

0 = xT_aW_a2(0, t1)xa e portanto, 0 = Z t1 0 xT_aeA(t1−τ )_BBT_eAT(t1−τ )_x adτ = Z t1 0 xT_aeA(t1−τ )_B 2 dτ.

Como a fun¸cão integranda é uma fun¸cão cont´ınua não negativa segue-se que xT_aeA(t1−τ )_{B = 0, τ ∈ [0, t}

(17)

o que implica que

xT_aeAtB = 0, ∀t > 0. (1.6) Recorde-se que por hipótese o sistema é ating´ıvel, pelo que qualquer estado do sistema é ating´ıvel. Logo −xaé ating´ıvel e por isso existe uma entrada u(t) que conduz

o estado nulo ao estado −xa num determinado tempo t01. Pode ent˜ao escrever-se que

−xa= Z t0₁ 0 eA(t01−τ )_{Bu(τ )dτ} ou 0 = xa+ Z t0₁ 0 eA(t01−τ )_{Bu(τ )dτ.}

Multiplicando a express˜ao anterior, `a esquerda por xT

a obt´em-se,

0 = xT_axa+

Z t0₁

0

xT_aeA(t01−τ )_{Bu(τ )dτ.}

Atendendo a (1.6) conclui-se que

xT_axa = 0.

contrariando deste modo a hip´otese de que xa representa um vector n˜ao nulo de Rn.

Consequentemente, W2

a(0, t1) tem de ser invert´ıvel para qualquer t1 > 0.

Para mostrar a suficiência considere-se por hipótese que W_a2(0, t1) é invert´ıvel para

qualquer t1 > 0. Ent˜ao, dado um estado x1 ∈ Rn pode escolher-se uma entrada u(t)

definida por

u(τ ) = BTeAT(t1−τ )_W2

a(0, t1)−1x1. (1.7)

Tendo em considera¸cão que a solu¸cão completa da equa¸cão diferencial (1.1) é dada por (1.3), por aplica¸cão da entrada u o sistema é conduzido num tempo t1 do estado

nulo ao estado

x(t1) =

Z t1

0

(18)

Consequentemente atendendo a (1.7) resulta que, x(t1) = Z t1 0 eA(t1−τ )_BBT_eAT(t1−τ )_W2 a(0, t1)−1x1dτ = W2 a(0, t1)Wa2(0, t1)−1x1 = x1.

Deste modo se constata que foi poss´ıvel transferir o sistema do estado inicial nulo para o estado x1 num tempo t1. Dada arbitrariedade do estado x1 pode dizer-se que,

para qualquer estado x1, existe sempre uma entrada cont´ınua u(t) que conduz o sistema

do estado nulo ao estado x1 em tempo finito, pelo que o sistema ´e ating´ıvel.

Um segundo crit´erio tamb´em muito utilizado prende-se com a caracter´ıstica da chamada matriz de atingibilidade,

h

B AB · · · An−1B i

.

Teorema 1.1.3. O par (A, B) ´e ating´ıvel se e s´o se a matriz de atingibilidade n × nm verifica

rankhB AB · · · An−1_Bi_{= n.}

Demonstra¸c˜ao. Demonstrar este teorema equivale, atendendo ao Teorema 1.1.2, a de-monstrar que rankhB AB · · · An−1_Bi _{< n se e s´}_{o se, para algum t}

1 > 0, a matriz

W2

a(0, t1) não é invert´ıvel. Suponha-se então que rank

h

B AB · · · An−1_Bi _{< n.}

Assim, existe necessariamente um vector xa de Rn n˜ao nulo que verifica

xT_a hB AB · · · An−1_Bi _{= 0}

e portanto,

xT_aAkB = 0, para k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. De acordo com a teoria das fun¸c˜oes matriciais a matriz eA(t1−τ )_{, t}

1 > 0, τ ∈ [0, t1],

pode ser expressa como combina¸c˜ao linear das potˆencias A0_{, A}1_{, . . . , A}n−1 _{do seguinte}

modo, eA(t1−τ ) ₌ n−1 X k=0 αk(t1− τ )Ak

(19)

o que implica que xT_aW_a2(0, t1) = Z t1 0 xT_a "_n−1 X k=0 αk(t1− τ )AkB # BTeAT(t1−τ )_dτ = Z t1 0 "_n−1 X k=0 αk(t1− τ )xTaAkB # BTeAT(t1−τ )_dτ = 0

Pode pois constatar-se que existe um vector xa de Rn n˜ao nulo tal que

xT_aW_a2(0, t1) = 0

o que implica que W2

a(0, t1) n˜ao seja invert´ıvel, para qualquer t1 > 0.

Reciprocamente, se a matriz W_a2(0, t1) n˜ao ´e invert´ıvel para um dado valor t1 > 0,

ent˜ao existe um vector n˜ao nulo xa tal que

xT_aW_a2(0, t1)xa= 0

o que implica que

xT_aeA(t1−τ )_{B = 0} _(1.8) atendendo a que xT aWa2(0, t1)xa = Z t1 0 xT_aeA(t1−τ )_BBT_eAT(t1−τ )_x adτ = Z t1 0 xT_aeA(t1−τ )_B 2 dτ. Note-se que, para τ = t1,

xT_aB = 0.

Por outro lado, derivando (1.8) k vezes em ordem a τ , resulta que para τ = t1,

(−1)kxT_aAkB = 0, k = 0, 1, 2, · · · , n − 1. Assim,

xT_a hB AB · · · An−1_Bi_{= 0}

(20)

Seguidamente passa-se ao estudo da observabilidade. O conceito de observabilidade envolve, como j´a foi referido, a influˆencia do vector estado na sa´ıda do sistema.

Defini¸cão 1.1.4. Considere-se o sistema descrito pelas equa¸cões (1.1) e (1.2). O estado x0 = x(0) diz-se um estado observável se existe um tempo t1 > 0 tal que, o

conhecimento da entrada u(t) e da sa´ıda y(t) em [0, t1] determina de forma ´unica o

valor do estado inicial x0 = x(0). O sistema (A, B, C, D) ou simplesmente o par (C, A)

diz-se observável se qualquer estado, x0 ∈ Rn é observável.

Por simplicidade considera-se o caso em que a entrada ´e nula. Isto n˜ao provoca perda de generalidade como se constata com o seguinte resultado.

Proposi¸cão 1.1.5. O par (C, A) é observável se e só se (C, A) é observável para a entrada nula.

Demonstra¸cão. Dizer-se que o par (C, A) é observável com entrada nula significa dizer-se que para qualquer estado x0 = x(0), existe um tempo t1 ≥ 0 tal que, sendo u(t) ≡ 0,

o conhecimento da sa´ıda y(t) em [0, t1] determina de forma ´unica o valor do estado

inicial x0 = x(0). Uma vez que a defini¸c˜ao de estado observ´avel considera uma qualquer

entrada do espa¸co de controlos então, é imediato que se (C, A) é observável então (C, A) é observável para a entrada nula. Resta então mostrar o rec´ıproco. A demonstra¸cão desta implica¸cão baseia-se na expressão da sa´ıda determinada a partir da fórmula da varia¸cão das constantes calculada em t1 ≥ 0,

y(t1) = CeAt1x0+

Z t1

0

CeA(t1−τ )_{Bu(τ )dτ.} _(1.9)

Quando a entrada ´e nula (1.9) pode ser reescrita como

y(t1) = CeAt1x0 (1.10)

e, se o sistema for observ´avel para aquela entrada, o conhecimento de y(t1) determina

univocamente x0.

Para uma entrada n˜ao nula, pode reescrever-se (1.9) como y(t1) −

Z t1

0

CeA(t1−τ )_{Bu(τ )dτ = Ce}At1_x

(21)

Assim, verifica-se que a resposta ao estado inicial nulo devida a uma dada entrada u, Z t1

0

CeA(t1−τ )_{Bu(τ )dτ}

pode ser calculada e subtra´ıda `a resposta completa, y(t1), sobrando apenas a resposta

`

a entrada nula. Considerando

y∗(t1) = y(t1) − Z t1 0 CeA(t1−τ )_{Bu(τ )dτ} pode escrever-se y∗(t1) = CeAt1x0.

Consequentemente torna-se óbvio que se é poss´ıvel calcular x(0) a partir de (1.10) também é poss´ıvel calcular x(0) a partir do conhecimento de y∗(t1) donde x0 é

ob-serv´avel.

Existindo esta equivalência entre os conceitos de sistema observável e sistema ob-servável para a entrada nula, pode sem perda de generalidade considerar-se sempre a entrada nula no estudo da observabilidade. Considere-se então daqui para a frente as equa¸cões de estado que descrevem a evolu¸cão livre do sistema:

˙x(t) = Ax(t), x0 = x(0)

y(t) = Cx(t).

Similarmente ao que foi desenvolvido para a atingibilidade, há também uma carac-teriza¸cão básica para a observabilidade em termos de uma matriz gramiano,

W_o2(0, t1) =

Z t1

0

eATτCTCeAτdτ.

Teorema 1.1.6. O par (C, A) é observável se e só se a matriz W2

o(0, t1) ´e invert´ıvel,

∀t1 > 0.

Demonstra¸c˜ao. Para demonstrar a suficiˆencia da invertibilidade de W2

o(0, t1) ,

suponha-se por hip´otese que a matriz W_o2(0, t1) ´e invert´ıvel para qualquer t1 > 0. Sabe-se que,

a resposta da sa´ıda ´e dada por

(22)

Multiplicando a express˜ao anterior `a esquerda por eAT_τ

CT _{resulta que,}

eATτCTy(τ ) = eATτCTCeAτx0.

Integrando a igualdade anterior em [0, t1] obt´em-se,

Z t1 0 eATτCTy(τ )dτ = Z t1 0 eATτCTCeAτx0dτ donde, Z t1 0 eAτCTy(τ )dτ = W_o2(0, t1)x0. (1.12)

Note-se que o primeiro membro da igualdade (1.12) é determinado à custa de y(t) e consequentemente (1.12) representa uma equa¸cão algébrica de variável x0. Assim, se a

matriz W2

o(0, t1) for invert´ıvel ent˜ao, x0´e univocamente determinado pelo conhecimento

de y em [0, t1] concluindo-se deste modo que (C, A) ´e observ´avel.

No que se refere `a demonstra¸c˜ao da necessidade suponha-se que W2

o(0, t1) n˜ao ´e

invert´ıvel para um dado t1 > 0. Ent˜ao, existe um vector estado xa ∈ Rn n˜ao nulo tal

que

0 = xT_aW_o2(0, t1)

o que implica que,

0 = xT_aW_o2(0, t1)xa. Consequentemente, 0 = Z t1 0 xT_aeATτCTCeAτxadτ = Z t1 0 Ce AT_τ xa 2 dτ.

Como a fun¸cão integranda é uma fun¸cão cont´ınua não negativa segue-se que,

CeAτxa= 0, τ ∈ [0, t1]. (1.13)

Mas, assim sendo,

y(τ ) = CeAτ(x0+ xa) = CeAτx0, τ ∈ [0, t1].

donde, x(0) = x0 + xa e x(0) = x0 produzem a mesma resposta `a entrada nula, facto

que contraria a observabilidade. Logo, a matriz W2

o(0, t1) tem de ser invert´ıvel para

(23)

O próximo Teorema constitu´ı um outro critério para a observabilidade frequente-mente utilizado. Este critério recorre à caracter´ıstica da chamada matriz de observa-bilidade,         C CA .. . CAn−1         .

Teorema 1.1.7. O par (C, A) é observável se e só se a matriz de observabilidade np×n verifica rank         C CA .. . CAn−1         = n.

Demonstra¸cão. A demonstra¸cão é similar à do Teorema 1.1.3.

Repare-se que (C, A) é observável se e só se (AT, CT) é ating´ıvel. Basta atender aos Teoremas 1.1.2 e 1.1.6 e ao facto de

rankh_CT _AT_CT _{· · · A}n−1T_CTi _{= rank}         C CA .. . CAn−1         .

1.2 Estabilidade

Nesta seçcão é estudada a estabilidade dos sistemas descritos pela equa¸cão linear de estado associada à entrada nula,

(24)

1.2. ESTABILIDADE 11

Defini¸cão 1.2.1. Diz-se que o sistema descrito por (1.14) é estável se, para todo x0 ∈ Rn, a solu¸cão x(t) satisfaz

lim

t→∞x(t) = 0.

´

E importante recordar que qualquer solu¸cão x(t) da equa¸cão (1.14) é da forma x(t) = eAtx0. Assim, lim t→∞x(t) = limt→∞e At_x 0

pelo que, o sistema associado à equa¸cão linear de estado (1.14) é estável se e só se eAt

converge para zero quando o tempo t tende para infinito.

Seguidamente é apresentado um critério básico para a estabilidade de um dado sistema descrito por (1.14).

Teorema 1.2.2. Um sistema descrito por (1.14) é estável se e só se todos os valores próprios da matriz A têm parte real negativa, isto é, os valores próprios de A pertencem ao conjunto C− := {s ∈ C : Re(s) < 0}. Neste caso, existem constantes m e α > 0 tais que,

keAt_{k ≤ me}−αt

para qualquer t ≥ 0.

Demonstra¸cão. Para demonstrar este resultado recorre-se à transforma¸cão de Laplace. Recorde-se que

LeAt_{= (sI − A)}−1

.

Ora, sendo A uma matriz constante de dimens˜ao finita, (sI−A)−1tem todas as entradas racionais estritamente pr´oprias pelo que

(sI − A)−1 = N (s)/d(s)

onde d(s) é o polinómio m´ınimo múltiplo comum de entre todos os denominadores das entradas da matriz (sI − A)−1. Assim, cada entrada de N (s) tem grau inferior ao grau

(25)

de d.

Repare-se que

(sI − A)−1 = adj(sI − A) det(sI − A).

Especificamente, det(sI −A) é um polinómio de grau n em s e cada entrada de adj(sI − A) é um polinómio de grau não superior a n − 1. Suponha-se que

det(sI − A) = (sI − λ1)σ1(sI − λ2)σ2· · · (sI − λm)σm

onde λ1, λ2, ..., λms˜ao os valores pr´oprios de A e σ1, σ2, . . . , σm os correspondentes graus

de multiplicidade ( σ1+ σ2+ ... + σm = n). Ent˜ao,

(sI − A)−1 = m X k=1 σk X j=1 Wkj 1 (s − λk)j

onde cada Wkj ´e uma matriz n × n. Tomando a inversa da transforma¸c˜ao de Laplace

obt´em-se, eAt = m X k=1 σk X j=1 Wkj tj−1 (j − 1)!e λkt_.

Consequentemente eAt aproxima-se de zero quando t tende para infinito se Re(λj) < 0

para qualquer j.

Para demonstrar a implica¸c˜ao rec´ıproca note-se que nenhuma das matrizes Wkj ´e

a matriz nula pelo que a existˆencia de um valor pr´oprio λk com parte real positiva

implicaria que eAt se aproximasse de infinito quando t tende para infinito, pelo que se eAt _{tende para zero para qualquer estado x}

0 ∈ Rn uma vez que o sistema ´e est´avel por

hipótese, então todos os valores próprios de A terão de possuir parte real negativa. Para completar esta a demonstra¸cão basta verificar que

eAt = m X k=1 σk X j=1 tj−1 (j − 1)!e λkt_W kj ≤ m X k=1 σk X j=1 tj−1 (j − 1)! eλkt kW_kjk . Como, eλkt = eRe(λk)t eAt ≤ m X k=1 σk X j=1 tj−1 (j − 1)!e Re(λk)t_kW kjk

(26)

1.2. ESTABILIDADE 13

para qualquer t ≥ 0. Assuma-se ainda que, o sistema em causa é estável. Então rapidamente resulta que existem constantes m e α > 0 tais que,

eAt ≤ me

−αt

(27)

(28)

Cap´ıtulo 2

Realiza¸

c˜

ao de sistemas lineares

2.1 O problema da realiza¸

c˜

ao

A ênfase deste trabalho é colocada no estudo da realiza¸cão de sistemas lineares cont´ınuos invariantes no tempo. O problema da realiza¸cão de um sistema consiste na determina¸cão de um modelo de espa¸co de estados, conhecida a rela¸cão existente entre a entrada e a sa´ıda. Considere-se o modelo (A, B, C, D) descrito pelas suas equa¸cões lineares de estado

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), x0 = x(0) (2.1)

y(t) = Cx(t) + Du(t) (2.2)

onde A ∈ Rn×n_{, B ∈ R}n×m_{, C ∈ R}p×n _{e D ∈ R}p×m_{. Como se referiu no cap´ıtulo}

anterior quando a condi¸cão inicial é nula, isto é, x(0) = 0, a rela¸cão entre a entrada e a sa´ıda do sistema é dada por,

y(t) = Z t

0

CeA(t−τ )Bu(τ )dτ + Du(t). (2.3) Assim, quando o estado inicial é nulo a rela¸cão dinâmica entre u e y é caracterizada

(29)

pela fun¸c˜ao matricial

G(t) := CeAtB, (2.4)

denominada por resposta impulsional, juntamente com a matriz D. Repare-se que sendo conhecidas as equa¸cões de estado (2.1) e (2.2), a representa¸cão do sistema através da descri¸cão entrada-sa´ıda associada a (2.4) é imediata.

Alternativamente, pode ainda considerar-se a transformada de Laplace da matriz G(t) que se denomina por (matriz) fun¸cão de transferência. Com abuso de nota¸cão denota-se a matriz fun¸cão de transferência por G(s). Assim,

G(s) = C(sI − A)−1B.

Suponha-se agora que apenas se conhece a resposta impulsional G(t) de um sistema ou a sua fun¸cão de transferência G(s). Põe-se então o problema de determinar um mo-delo de espa¸co de estados (A, B, C) que produza a resposta dada. Este problema nem sempre é fácil de resolver. Conhecida a matriz resposta impulsional, G(t), a obten¸cão de um modelo de espa¸co estados correspondente não é imediata. Neste contexto duas questões podem ser colocadas. Será sempre poss´ıvel obter um modelo de espa¸co de estados a partir de G(t)? E, no caso de a resposta a esta questão ser afirmativa, como construir o tal modelo pretendido? Na verdade nem sempre é poss´ıvel obter um mo-delo de espa¸co de estados a partir do conhecimento de G(t). Para aprofundar estas questões, torna-se conveniente clarificar os conceitos de realiza¸cão associada a uma resposta impulsional e de resposta impulsional realizável.

Defini¸c˜ao 2.1.1. Um modelo (A, B, C) diz-se uma realiza¸c˜ao de G(t) se a matriz de resposta impulsional G(t) pode ser expressa como

G(t) = CeAtB.

Uma matriz de resposta impulsional G(t) ´e realiz´avel se existe um modelo (A, B, C), tal que G(t) = CeAt_{B. A ordem da realiza¸}_c˜_{ao de G(t) ´}_{e definida como sendo a dimens˜}_ao

(30)

2.1. O PROBLEMA DA REALIZAC¸ ˜AO 17

Pode também definir-se realiza¸cão associada a uma fun¸cão de transferência e fun¸cão de transferência realizável.

Defini¸cão 2.1.2. Um modelo (A, B, C) diz-se uma realiza¸cão de G(s) se a fun¸cão de transferência G(s) pode ser expressa como,

G(s) = C(sI − A)−1B.

Uma fun¸cão de transferência G(s) é realizável se existe um modelo (A, B, C), tal que G(s) = C(sI −A)−1B. A ordem da realiza¸cão de G(s) é definida como sendo a dimensão da matriz A.

Em geral a solu¸cão para o problema da realiza¸cão não é única podendo coexistir diferentes realiza¸cões subjacentes à mesma resposta impulsional. Por exemplo, modelos equivalentes para um mesmo sistema linear, embora possam ser distintos, caracterizam-se por aprecaracterizam-sentarem a mesma resposta impulsional, como caracterizam-se verá de seguida.

Defini¸cão 2.1.3. O modelo (A, B, C) de ordem n diz-se algebricamente equivalente ao modelo ( Â, ˆB, ˆC), também de ordem n, se existe uma matriz P invert´ıvel tal que os correspondentes estados x e ˆx estão relacionados por ˆx(t) = P−1x(t), isto é, ˆx representa x num outro sistema de coordenadas. Neste caso,

ˆ A = P−1AP ˆ B = P−1B ˆ C = CP.

Para designar esta equivalência usa-se habitualmente a seguinte nota¸cão (A, B, C) P−1 //( Â, ˆB, ˆC) .

Atendendo ao comportamento da matriz exponencial, os dois modelos equivalentes por ac¸c˜ao de uma mudan¸ca de coordenadas, P, verificam

(31)

e ˆ CeAtˆ_{B =}_ˆ _CP_ˆ −1_eAt_{P ˆ}_B = CP P−1eAtP P−1B = CeAt_B. Consequentemente, ˆ G(t) = G(t).

Conv´em salientar que existe a possibilidade de dois modelos de ordem distinta representarem a mesma resposta impulsional.

Exemplo 2.1.4. Considere-se a resposta impulsional

G(t) =   et 2et 0 4e2t  . O modelo (A, B, C) onde,

A =   1 0 0 2  , B =   1 2 0 4   e C = I2 ´

e uma realiza¸cão de ordem dois para G(t). Também o modelo ( Â, ˆB, ˆC) onde,

ˆ A =      1 0 0 0 2 0 0 0 2      , ˆB =      1 2 1 4 1 0      e ˆC =   1 0 0 0 1 −1   ´

e uma realiza¸c˜ao de G(t) mas tem ordem trˆes.

O exemplo anterior justifica a importância de definir realiza¸cão de ordem m´ınima. Defini¸cão 2.1.5. Uma realiza¸cão (A, B, C) da resposta impulsional G(t) com ordem n, diz-se uma realiza¸cão de ordem m´ınima de G(t) se não existe qualquer outra realiza¸cão, ( Â, ˆB, ˆC), de G(t) de ordem ˆn < n.

(32)

Para que uma dada matriz resposta impulsional seja realizável é necessário, como se irá mostrar, que se verifiquem determinadas condi¸cões. Apresenta-se de seguida um critério que permite avaliar se uma dada matriz fun¸cão de transferência é realizável.

Teorema 2.1.6. A fun¸cão de transferência G(s) é realizável por um modelo (A, B, C) se e só se cada entrada de G(s) é uma fun¸cão racional estritamente própria.

Recorde-se que uma fun¸cão racional é estritamente própria se o grau do polinómio numerador é estritamente menor que o grau do polinómio denominador.

Demonstra¸cão. Se G(s) tem uma realiza¸cão (A, B, C) então, G(s) = C(sI − A)−1B. Como cada entrada de (sI − A)−1 é uma fun¸cão racional estritamente própria e com-bina¸cões lineares de fun¸cões racionais estritamente próprias são ainda fun¸cões racionais estritamente próprias, conclui-se que cada entrada de G(s) é uma fun¸cão racional es-tritamente própria. Para provar a condi¸cão rec´ıproca suponha-se que cada entrada de G(s), Gij(s), é uma fun¸cão racional estritamente própria. Considere-se, sem perda de

generalidade, que o denominador de cada Gij(s) é mónico, isto é, o coeficiente de maior

grau é um. Denote-se por d(s) o polinómio mónico m´ınimo múltiplo comum daqueles polinómios denominadores,

d(s) = sr+ dr−1sr−1+ · · · + d0.

Então, d(s)G(s) pode ser escrito como um polinómio em s cujos coeficientes são ma-trizes constantes p × m,

(33)

O modelo (A, B, C) onde, A =            0m Im 0m ... 0m 0m 0m Im ... 0m .. . ... ... ... ... 0m 0m 0m ... Im −d0Im −d1Im −d2Im ... −dr−1Im            B =            0m 0m .. . 0m Im            e C = h N0 N1 · · · Nr−1 i ´

e, como se irá mostrar de seguida, uma realiza¸cão de G(s) ficando deste modo de-monstrado que G(s) é realizável quando se trata de uma fun¸cão matricial estritamente própria. Considere-se a matriz mr × m,

Z(s) = (sI − A)−1B =         Z1(s) Z2(s) .. . Zr(s)         (2.5)

onde os blocos Zi(s), i = 1, 2, 3, . . . , r, s˜ao matrizes m × m.

Multiplicando (2.5) `a esquerda por (sI −A) obt´em-se, escrevendo o resultado em termos das submatrizes Zi(s),

Zi+1(s) = sZi(s), i = 1, 2, 3, . . . , r − 1 (2.6)

e

sZr(s) + d0Z1(s) + d1Z2(s) + · · · + dr−1Zr(s) = Im. (2.7)

Recorrendo a (2.6) pode reescrever-se (2.7) como Z1(s) =

1 d(s)Im.

(34)

Resolvendo agora em rela¸c˜ao a Z2(s), . . . , Zr(s) obt´em-se que

Zi(s) = 1 d(s)s i−1_I m. Consequentemente, Z(s) = 1 d(s)         Im sIm .. . sr−1_I m         .

Por fim, basta multiplicar por C `a esquerda, C(sI − A)−1B = 1

d(s)N0+ N1s + · · · + Nr−1s

r−1 = G(s)

e portanto, (A, B, C) é uma realiza¸cão de G(s), pelo que G(s) é realizável.

Se G(s) for uma fun¸cão de transferência racional própria, designando

D = lim

s→∞G(s)

verifica-se que G(s) − D é estritamente própria e por isso realizável por um modelo (A, B, C). Assim,

G(s) − D = C(sI − A)−1B portanto,

G(s) = C(sI − A)−1B + D.

Neste caso, diz-se que (A, B, C, D) é uma realiza¸cão de G(s). Como consequência imediata desta observa¸cão e do Teorema 2.1.6 obtém-se o resultado que se segue.

Corolário 2.1.7. A fun¸cão de transferência G(s) é realizável por um modelo (A, B, C, D) se e só se cada entrada de G(s) é uma fun¸cão racional própria.

(35)

2.2 Constru¸

c˜

ao de realiza¸

c˜

oes de ordem m´ınima

Nesta seçcão discute-se a constru¸cão e a caracteriza¸cão de representa¸cões de ordem m´ınima. Esta discussão impõe que inicialmente se estude as caracter´ısticas de uma sequência particular de matrizes que serão utilizadas posteriormente na resolu¸cão do problema da realiza¸cão.

Defini¸c˜ao 2.2.1. Chama-se matriz de atingibilidade de ordem j associada ao modelo (A, B, C) `a matriz

Qj =

h

B AB · · · Aj−1_Bi

e, matriz de observabilidade de ordem j associada à representa¸cão (A, B, C) à matriz

Rj =         C CA .. . CAj−1         .

Estas matrizes permitem definir os conceitos de ´ındice de atingibilidade e ´ındice de observabilidade.

Defini¸c˜ao 2.2.2. Chama-se ´ındice de atingibilidade do modelo (A, B, C) ao menor n´umero inteiro α tal que,

rankQα= rankQα+1.

Similarmente chama-se ´ındice de observabilidade do modelo (A, B, C) ao menor n´umero inteiro β tal que,

rankRβ = rankRβ+1.

As matrizes Qα e Rβ possuem importantes caracter´ısticas que s˜ao apresentadas no

Lema que se segue.

Lema 2.2.3. Se α ´e o ´ındice de atingibilidade e β o ´ındice de observabilidade do modelo (A, B, C) ent˜ao,

(36)

2.2. CONSTRUÇ ÃO DE REALIZAÇ ÕES DE ORDEM MÍNIMA 23

e

rankRi = rankRβ ∀i > β. (2.9)

Demonstra¸c˜ao. Sabe-se que

Qα = h B AB · · · Aα−1_Bi e Qα+1 = h B AB · · · AαB i .

Sendo α o ´ındice de atingibilidade tem-se que α ´e o menor inteiro tal que

rankQα = rankQα+1.

Donde, as colunas de Aα_{B s˜}_{ao combina¸c˜}_{oes lineares das colunas de B, AB, . . . , A}α−1_B.

Consequentemente, para j > α, AjB é também combina¸cão linear das colunas de B, AB, · · · , Aα−1_{B. Logo,}

rankQi = rankQα

para i > α.

Similarmente se mostra que, rankRi = rankRβ ∀i > β.

Repare-se que α e β n˜ao podem exceder o valor de n j´a que pelo Teorema de Cayley-Hamilton1_,

rankQr = rankQn para qualquer r ≥ n

e

rankRr = rankRn para qualquer r ≥ n.

O Lema que se segue evidencia a rela¸c˜ao existente entre as matrizes de atingibilidade e de observabilidade de determinada ordem de modelos algebricamente equivalentes.

1_{Este Teorema afirma que toda a matriz quadrada n × n satisfaz a sua equa¸}_c˜_{ao caracter´ıstica, pelo}

(37)

Lema 2.2.4. Se (A, B, C) é algebricamente equivalente ao modelo ( ¯A, ¯B, ¯C) através de uma mudan¸ca de coordenadas T então,

¯

Qi = T−1Qi para i = 1, 2, . . .

¯

Ri = RiT para i = 1, 2, . . .

e, α = ¯α e β = ¯β, onde α e β denotam respectivamente o ´ındice de atingibilidade e o ´ındice de observabilidade da representa¸c˜ao (A, B, C) e, ¯α e ¯β denotam respectivamente o ´ındice de atingibilidade e o ´ındice de observabilidade da representa¸c˜ao ( ¯A, ¯B, ¯C).

Demonstra¸cão. A primeira parte deste lema é facilmente verificável. Como,

(A, B, C) T−1 //( ¯A, ¯B, ¯C) , onde ¯ A = T−1AT, ¯B = T−1B e C = CT,¯ resulta que, ¯ Qi = h ¯ B A ¯¯B · · · A¯i−1_B_¯i = h T−1B T−1AB · · · T−1Ai−1B i = T−1Qi

(38)

2.2. CONSTRUÇ ÃO DE REALIZAÇ ÕES DE ORDEM MÍNIMA 25 e, ¯ Ri =         ¯ C ¯ C ¯A .. . ¯ C ¯Ai−1         =         CT CAT .. . CAi−1_T         = RiT.

Procede-se agora `a demonstra¸c˜ao de que α = ¯α e β = ¯β. Por um lado, atendendo ao que se acabou de provar sabe-se que

¯ Qα+1¯ = T−1Qα+1¯ e ¯ Qα¯ = T−1Qα¯. Logo, rank ¯Qα+1¯ = rankQα+1¯ e rank ¯Qα¯ = rankQα¯.

Como ¯α ´e o ´ındice de atingibilidade de ( ¯A, ¯B, ¯C) ent˜ao,

rank ¯Qα+1¯ = rank ¯Qα¯.

pelo que

(39)

donde ¯α ≥ α atendendo ao facto de α ser o ´ındice de atingibilidade de (A, B, C). Por outro lado

¯ Qα+1 = T−1Qα+1 e ¯ Qα = T−1Qα. Assim, rank ¯Qα+1 = rankQα+1 e rank ¯Qα = rankQα. pelo que rank ¯Qα= rank ¯Qα+1.

Uma vez que ¯α ´e o ´ındice de atingibilidade de ( ¯A, ¯B, ¯C) resulta que α ≥ ¯α. Deste modo conclui-se que α = ¯α como se pretendia.

De modo similar, mostra-se que β = ¯β.

Como consequˆencia do Lema 2.2.3 e dos crit´erios de atingibilidade (Teorema 1.1.3) e de observabilidade (Teorema 1.1.7), verifica-se o seguinte resultado.

Lema 2.2.5. Se α é o ´ındice de atingibilidade e β o ´ındice de observabilidade do modelo (A, B, C) então, tal representa¸cão é ating´ıvel se e só se

rankQα = n

e é observável se e só se

rankRβ = n.

Demonstra¸c˜ao. Atendendo a que α ≤ n, β ≤ n e ao Lema 2.2.3 tem-se que rankQn = rankQα

e

rankRn= rankRβ

(40)

O Teorema que se segue providencia a chamada decomposi¸c˜ao de atingibilidade de um sistema inicialmente dado.

Teorema 2.2.6. Seja α o ´ındice de atingibilidade do modelo (A, B, C). Se rankQα =

q ≤ n, então (A, B, C) é algebricamente equivalente a um modelo ( ¯A, ¯B, ¯C) onde, ¯ A =   ¯ A11 A¯12 0 A¯22   ¯ B =   ¯ B1 0   ¯ C = _C¯₁ _C¯₂ e ( ¯A11, ¯B1, ¯C1) de dimensão q é ating´ıvel.

Demonstra¸c˜ao. Considere-se uma matriz T1, n×q constitu´ıda por q colunas linearmente

independentes de Qα. Deste modo, as colunas de T1 formam uma base para o espa¸co

gerado pelas colunas de Qα. Considere-se ainda uma outra matriz T2, n × (n − q)

cujas colunas completam a base anteriormente referida em Rn_{. Ent˜}_{ao, verifica-se que}

a matriz T := hT1 T2

i

, n × n, tem caracter´ıstica n e por conseguinte ´e invert´ıvel. Esta matriz T permite definir o modelo ( ¯A, ¯B, ¯C) = (T−1AT, T−1B, CT ) pretendido. Note-se que Qα+1 =   h B AB · · · Aα−1_Bi | {z } Qα Aα_B  

e, rankQα+1 = rankQα. Consequentemente, rankQα+1 = q pelo que a matriz Qα+1

s´o tem q colunas linearmente independentes. Assim, sendo as q colunas de T1 colunas

de Qα+1 resulta que as colunas de T1 constituem uma base para o espa¸co gerado pelas

colunas de Qα+1. Como a matriz AT1 ´e constitu´ıda por colunas de Qα+1 as colunas de

AT1 s˜ao combina¸c˜oes lineares das colunas de T1 pelo que, existe uma matriz ¯A11 tal

que AT1 = T1A¯11. Assim, as primeiras q colunas de ¯A s˜ao dadas por

T−1AT1 = T−1T1A¯11=   Iq 0  A¯11 =   ¯ A11 0  

(41)

para alguma matriz ¯A11. Por conseguinte, ¯ A = T−1AT =   ¯ A11 A¯12 0 A¯22  . De modo an´alogo,

¯ B = T−1B = T−1T1B¯1 =   Iq 0  B¯1 =   ¯ B1 0  

uma vez que as colunas de B são colunas de Qα e por isso são combina¸cões lineares das

colunas de T1. Denote-se por ˆQαa matriz de atingibilidade de ordem α de ( ¯A11, ¯B1, ¯C1).

Ent˜ao, a partir da forma de ¯A e de ¯B e atendendo a que ¯A = T−1AT e ¯B = T−1B obt´em-se, ¯ Qα = T−1Qα =   ˆ Qα 0  . Consequentemente, rank ˆQα = rankQα = q,

pelo que, ( ¯A11, ¯B1, ¯C1) ´e ating´ıvel.

`

A semelhan¸ca do que acontece para a atingibilidade é também poss´ıvel construir a chamada decomposi¸cão de observabilidade para um sistema inicialmente dado.

Teorema 2.2.7. Seja β o ´ındice de observabilidade do modelo (A, B, C). Se rankRβ =

q ≤ n, então (A, B, C) é algebricamente equivalente a uma representa¸cão ( ¯A, ¯B, ¯C) onde, ¯ A =   ¯ A11 0 ¯ A21 A¯22   ¯ B =   ¯ B1 ¯ B2   ¯ C = _C¯₁ ₀

(42)

e ( ¯A11, ¯B1, ¯C1) de dimensão q é observável.

Demonstra¸cão. Esta demonstra¸cão é similar à demonstra¸cão do Teorema 2.2.6.

Muitas vezes dado um modelo inicial pretende-se determinar um outro do qual se possa isolar um subsistema simultaneamente ating´ıvel e observ´avel. O teorema que se segue evidencia a existˆencia e a forma de tal modelo.

Teorema 2.2.8. Sejam α e β, respectivamente, os ´ındices de atingibilidade e de obser-vabilidade associados a um modelo (A, B, C). Se rankRβQα = q ≤ n, ent˜ao (A, B, C)

´e algebricamente equivalente a um modelo ( ¯A, ¯B, ¯C) onde,

¯ A =      ¯ A11 0 A¯13 ¯ A21 A¯22 A¯23 0 0 A¯33      ¯ B =      ¯ B1 ¯ B2 0      ¯ C = _C¯₁ ₀ _C¯₂ (2.10)

e ( ¯A11, ¯B1, ¯C1) de dimensão q é ating´ıvel e observável. Mais ainda, se ¯δ e ¯γ são os

menores inteiros tais que rankR_δ¯Q¯γ = q, ent˜ao ¯γ e ¯δ s˜ao respectivamente os ´ındices

de atingibilidade e de observabilidade do modelo ( ¯A11, ¯B1, ¯C1) de dimens˜ao q .

Antes de proceder à demonstra¸cão deste teorema é necessário o conhecimento do seguinte lema auxiliar.

Lema 2.2.9. Dado um modelo (A, B, C) de ordem n, considerem-se as matrizes de atingibilidade de ordem α, Qα, e de observabilidade de ordem β, Rβ. Ent˜ao,

rankQα = n e rankRβ = n

(43)

Demonstra¸c˜ao. Suponha-se que,

rankQα = n e rankRβ = n.

Note-se que se rankQα = n ent˜ao existe uma matriz invert´ıvel U tal que,

QαU =

h In 0

i

e, se rankRβ = n ent˜ao existe uma matriz invert´ıvel V tal que

V Rβ =   In 0  . Portanto, V RβQαU =   In 0 0 0  .

Como V e U s˜ao matrizes invert´ıveis e RankIn= n resulta que rankRβQα = n.

Reciprocamente suponha-se que,

rankRβQα = n.

Ent˜ao,

rankQα ≥ n e rankRβ ≥ n.

Mas, a matriz Rβ s´o tem n colunas e a matriz Qα s´o tem n linhas. Assim,

rankQα = n e rankRβ = n.

Demonstra¸cão. (Do Teorema 2.2.8) A demonstra¸cão deste teorema baseia-se na aplica¸cão dos dois teoremas anteriores visando a constru¸cão de uma “dupla”decomposi¸cão que conduza à determina¸cão de um modelo dotado de um subsistema simultaneamente ating´ıvel e observável.

Pelo Lema 2.2.9 sabe-se que, se

(44)

ent˜ao,

rankQα = q1 < n ou rankRβ = q2 < n.

Trˆes situa¸c˜oes podem ser analisadas. Suponha-se em primeiro lugar o caso em que, rankQα = q < n e rankRβ = n.

Neste caso, a decomposi¸cão de observabilidade de (A, B, C) é o próprio modelo (A, B, C) pois o modelo (A, B, C) é por si observável (ver Teorema 1.1.7). Assim, para esta si-tua¸cão, a “dupla” decomposi¸cão consiste apenas na decomposi¸cão de atingibilidade sugerida pelo Teorema 2.2.6. Num segundo caso considere-se

rankQα = n e rankRβ = q < n.

Neste segundo caso o modelo (A, B, C) é já ating´ıvel (ver Teorema 1.1.3). Conse-quentemente, a “dupla” decomposi¸cão pretendida consiste apenas na decomposi¸cão de observabilidade descrita pelo Teorema 2.2.7.

Por fim, pode considerar-se o caso em que,

rankQα = q1 < n e rankRβ = q2 < n.

Repare-se que neste caso o sistema (A, B, C) não é ating´ıvel nem é observável. Assim, é necessário recorrer de facto à “dupla” decomposi¸cão por forma a se determinar um sub-sistema de (A, B, C) simultaneamente ating´ıvel e observável. Proceda-se inicialmente, por exemplo, à decomposi¸cão de atingibilidade (Teorema 2.2.6). Assim, obtém-se um modelo algebricamente equivalente a (A, B, C)

(A, B, C) T−1 //( ˆA, ˆB, ˆC) , onde ˆ A =   ˆ A11 Aˆ12 0 Aˆ22  , B =ˆ   ˆ B1 0   e C =ˆ h ˆ C1 Cˆ2 i

com ( ˆA11, ˆB1, ˆC1) de ordem q1 e ating´ıvel. Consequentemente,

rankh_Bˆ₁ _Aˆ₁₁_Bˆ₁ _{· · ·} _Aˆq1−1

11 Bˆ1

i = q1.

(45)

Em seguida aplica-se o Teorema 2.2.7 ao modelo ( ˆA11, ˆB1, ˆC1) obtendo-se ( ˆA11, ˆB1, ˆC1) S₁−1 //_{( ˜}_A₁₁_{, ˜}_B₁_{, ˜}_C₁₎ onde ˜ A11=   ¯ A11 0 ¯ A21 A¯22  , B˜1 =   ¯ B1 ¯ B2   e C =˜ h ¯ C1 0 i

determinando-se deste modo um seu subsistema observ´avel, ( ¯A11, ¯B1, ¯C1), de dimens˜ao

¯

q. Verifica-se ent˜ao que

rank         ¯ C1 ¯ C1A¯11 .. . ¯ C1A¯q−111¯         = ¯q ≤ q1. Esquematicamente, (A, B, C) T−1 //( ˆA, ˆB, ˆC) S−1 ( ¯A, ¯B, ¯C) onde S−1 =   S₁−1 0 0 In−q1  .

(46)

Facilmente se verifica que o modelo ( ¯A, ¯B, ¯C) tem de facto a forma descrita em (2.10),

¯ A =   S₁−1 0 0 In−q1  T−1AT   S1 0 0 In−q1   =   S₁−1 0 0 In−q1  Aˆ   S1 0 0 In−q1   =   S₁−1 0 0 In−q1     ˆ A11 Aˆ12 0 Aˆ22     S1 0 0 In−q1   =     ˜ A11 z }| { S₁−1Aˆ11S1 S1−1Aˆ12 0 Aˆ22S1     =      ¯ A11 0 A¯13 ¯ A21 A¯22 A¯23 0 0 A¯33      , com   ¯ A13 ¯ A23  = S −1 1 Aˆ12 e ¯A33= ˆA22S1, ¯ B =   S₁−1 0 0 I  T−1B =   S₁−1 0 0 I     ˆ B1 0   =   S₁−1Bˆ1 0   =      ¯ B1 ¯ B2 0      , com   ¯ B1 ¯ B2  = S −1 1 Bˆ1,

(47)

¯ C = CT   S1 0 0 I   = h ˆ C1 Cˆ2 i   S1 0 0 I   = " ˆ C1S1 | {z } ˜ C1 ˆ C2 # = h_C¯₁ ₀ _C¯₂i, com h_C¯₁ ₀i= ˜C1 e ¯C2 = ˆC2,

e ( ¯A11, ¯B1, ¯C1) é ating´ıvel e observável. A observabilidade é imediata decorrente da

aplica¸cão do Teorema 2.2.7. Para verificar que o subsistema observável ( ¯A11, ¯B1, ¯C1) é

tamb´em ating´ıvel basta observar que,

rankh_B¯₁ _A¯₁₁_B¯₁ _{· · ·} _A¯α−1 11 B¯1 i = ¯q. ´ E j´a sabido que, rank ˆQα = rank h ˆ B1 Aˆ11Bˆ1 · · · Aˆα−111 Bˆ1 i = q1. Ora, rank ˆQα = rank h ˆ B1 Aˆ11Bˆ1 Aˆ112 Bˆ1 · · · Aˆα−111 Bˆ1 i = rankhS₁−1Bˆ1 S1−1Aˆ11S1S1−1Bˆ1 S1−1Aˆ211S1S1−1Bˆ1 · · · S1−1Aˆ α−1 11 S1S1−1Bˆ1 i = rankhB˜1 A˜11B˜1 A˜211B˜1 · · · A˜α−111 B˜1 i = rank     ¯ B1 ¯ B2     ¯ A11 0 ¯ A21 A¯22     ¯ B1 ¯ B2     ¯ A2 11 0 ∗ ∗     ¯ B1 ¯ B2   · · ·   ¯ Aα−1₁₁ 0 ∗ ∗     ¯ B1 ¯ B2     = rank     ¯ B1 A¯11B¯1 A¯112 B¯1 · · · A¯α−111 B¯1 ¯ B2 ∗ ∗ · · · ∗    .

(48)

Como, ¯B1 tem ¯q linhas e ¯B2 tem q1− ¯q se

rank     ¯ B1 A¯11B¯1 A¯112 B¯1 · · · A¯α−111 B¯1 ¯ B2 ∗ ∗ · · · ∗    = q1

ent˜ao, as ¯q primeiras linhas s˜ao linearmente independentes donde,

rankh_B¯₁ _A¯₁₁_B¯₁ _A¯2 11B · · ·¯ A¯ α−1 11 B¯1 i = ¯q.

Logo, ( ¯A11, ¯B1, ¯C1) de dimensão ¯q é também ating´ıvel.

Resta agora mostrar que ¯q = q. Para mostrar esta igualdade consideram-se as seguintes parti¸c˜oes das matrizes de atingibilidade de ordem α, Qα, e de observabilidade

de ordem β, Rβ, associadas ao modelo descrito em (2.10),

¯ Qα =      ¯ Qα1 ¯ Qα2 ¯ Qα3      e, ¯ Rβ = h ¯ Rβ1 R¯β2 R¯β3 i . ´

E claramente verdade que, ¯Qα1 e ¯Rβ1 correspondem exactamente `as matrizes de

atin-gibilidade de ordem α e de observabilidade de ordem β do modelo ( ¯A11, ¯B1, ¯C1)

respec-tivamente. Observe-se que

¯ Qα =           ¯ B1 ¯ B2 0           ¯ A11 0 A¯13 ¯ A21 A¯22 A¯23 0 0 A¯33           ¯ B1 ¯ B2 0      · · ·      ¯ Aα−1₁₁ 0 ∗ ∗ A¯α−1₂₂ ∗ 0 0 A¯α−1₃₃           ¯ B1 ¯ B2 0           =      ¯ B1 A¯11B¯1 · · · A¯α−111 B¯1 ¯ B2 ∗ · · · ∗ 0 0 · · · 0      =      ¯ Qα1 ¯ Qα2 ¯ Qα3     

(49)

e ¯ Rβ =                        h ¯ C1 0 C¯2 i h ¯ C1 0 C¯2 i      ¯ A11 0 A¯13 ¯ A21 A¯22 A¯23 0 0 A¯33      .. . h ¯ C1 0 C¯2 i      ¯ Aβ−1₁₁ 0 ∗ ∗ A¯β−1₁₁ ∗ 0 0 A¯β−1₃₃                             =         ¯ C1 0 C¯2 ¯ C1A¯11 0 ∗ .. . ... ... ¯ C1A¯ β−1 11 0 ∗         = h ¯ Rβ1 R¯β2 R¯β3 i . Consequentemente, ¯ RβQ¯α = h ¯ Rβ1 R¯β2 R¯β3 i      ¯ Qα1 ¯ Qα2 ¯ Qα3      = R¯β1Q¯α1+ ¯Rβ2Q¯α2+ ¯Rβ3Q¯α3.

Uma vez que ¯Rβ2 = 0 e ¯Qα3= 0 verifica-se que

¯

RβQ¯α = ¯Rβ1Q¯α1.

Por outro lado,

(50)

e portanto, pelo Teorema 2.2.4, ¯ RβQ¯α = Rβ(S−1T−1) −1 S−1T−1Qα = RβT SS−1T−1Qα = RβQα. Assim, rank ¯Rβ1Q¯α1= rankRβQα = q.

Contudo a atingibilidade e a observabilidade do modelo ( ¯A11, ¯B1, ¯C1) de dimens˜ao ¯q

implicam que

rank ¯Rβ1Q¯α1= ¯q.

(Basta atender aos Lemas 2.2.5 e 2.2.9). Consequentemente, q = ¯q.

Falta apenas mostrar que se ¯γ e ¯δ s˜ao os menores inteiros que verificam

rankR_δ¯Q¯γ = q (2.11)

ent˜ao ¯γ e ¯δ s˜ao os ´ındices de atingibilidade e de observabilidade do modelo ( ¯A11, ¯B1, ¯C1)

de dimens˜ao q.

Suponha-se que ¯γ não é o ´ındice de atingibilidade de ( ¯A11, ¯B1, ¯C1). Então, existe

um inteiro ¯γ com ¯¯ γ ≤ ¯¯ γ tal que,

rankQ¯¯γ = rankQγ+1¯¯ .

(Obviamente, rankQ¯γ = rankQγ¯¯). Assim,

Q¯γ =

h

Qγ¯¯ | combina¸c˜oes lineares de colunas de Q¯¯γ

i

= hQγ¯¯ | Qγ¯¯L

i .

(51)

Logo, q = rankR¯_δQγ¯ = rankR¯_δ h Q¯¯γ | Q¯¯γL i = rank h R_δ¯Q¯¯γ | R_δ¯Q¯¯γL i = rankR¯_δQγ¯¯ h I L i = rankR¯_δQγ¯¯ h I L i   I −L 0 I   = rankR¯_δQγ¯¯ h I 0 i = rankR¯_δQγ¯¯.

Assim, ¯γ e ¯δ n˜ao seriam os menores inteiros que verificam (2.11), uma vez que ¯δ e ¯

¯

γ com ¯¯γ < ¯γ também verificam (2.11). Pode então concluir-se que ¯γ é o ´ındice de atingibilidade do modelo ( ¯A11, ¯B1, ¯C1).

Analogamente se mostra que ¯δ ´e o ´ındice de observabilidade do modelo ( ¯A11, ¯B1, ¯C1).

Recorde-se que a resposta impulsional G(t) para qualquer t ∈ R+0 foi definida como

sendo a matriz

G(t) = CeAtB.

Assim, G(t) é anal´ıtica e por isso infinitamente diferenciável, donde é poss´ıvel definir a matriz (ip) × (jm), Γij(t) =          G(t) d dtG(t) ... dj−1 dtj−1G(t) d dtG(t) d2 dt2G(t) ... dj dtjG(t) .. . ... ... ... di−1 dti−1G(t) di dtiG(t) ... di+j−2 dti+j−2G(t)          onde, i, j ∈ N e t ≥ 0. Repare-se que

(52)

onde Qj e Ri s˜ao respectivamente as matrizes de atingibilidade de ordem j e de

obser-vabilidade de ordem i. Para t = 0

Γij(0) = RiQj =: Γij.

Através desta matriz é poss´ıvel estabelecer a conexão existente entre os conceitos de atingibilidade, observabilidade e minimalidade.

Teorema 2.2.10. Seja (A, B, C) um modelo de ordem n, com ´ındices de atingibilidade e observabilidade α e β, respectivamente. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

1. (A, B, C) ´e ating´ıvel e observ´avel. 2. rankΓβα = n.

3. (A, B, C) ´e uma realiza¸c˜ao de ordem m´ınima.

Demonstra¸cão. A demonstra¸cão deste Teorema segue a seguinte sequência. Em pri-meiro lugar prova-se a equivalência 1 ⇔ 2, em segundo lugar estuda-se 3 ⇒ 2 e final-mente, 2 ⇒ 3. A equivalência entre 1 e 2 é consequência imediata do Lema 2.2.9 e dos Teoremas 1.1.3 e 1.1.7. A implica¸cão 3 ⇒ 2 prova-se por contraposi¸cão. Suponha-se então que 2 não se verifica, isto é,

rankRβQα 6= n.

Como a matriz Rβ s´o tem n colunas e a matriz Qα s´o tem n linhas, sabe-se que

rankRβQα ≤ n,

logo, se rankRβQα = q 6= n ´e porque rankRβQα < n e por conseguinte a realiza¸c˜ao

(A, B, C) n˜ao ´e de ordem m´ınima atendendo ao Teorema 2.2.8. De facto, verifica-se que o modelo ( ¯A11, ¯B1, ¯C1), de menor ordem, q < n, referido neste teorema possui a

mesma resposta impulsional que (A, B, C). Uma vez que

eAt¯ = ∞ X k=0 1 k! ¯ Aktk e A¯k =      ¯ Ak 11 0 ∗ ∗ A¯k₂₂ ∗ 0 0 A¯k 33      ,

(53)

verifica-se que, G(t) = CeAtB = Ce¯ At¯ _B¯ = C¯ ∞ X k=0 1 k! ¯ AktkB¯ = ∞ X k=0 1 k!t kh_¯ C1 0 C¯2 i      ¯ Ak₁₁ 0 ∗ 0 A¯k 22 ∗ 0 0 A¯k₃₃           ¯ B1 ¯ B2 0      = ∞ X k=0 1 k!t kh_¯ C1A¯k11 0 ∗ i      ¯ B1 ¯ B2 0      = ∞ X k=0 1 k!t k_¯ C1A¯k11B¯1 = C¯1 ∞ X k=0 1 k! ¯ Ak₁₁tkB¯1 = C¯1e ¯ A11t_B¯ 1.

Finalmente resta mostrar a implica¸c˜ao 2 ⇒ 3. Suponha-se que

rankRβQα = n

e que, (A, B, C) é uma realiza¸cão de G(t), mas não de ordem m´ınima. Então, existe um modelo ( ¯A, ¯B, ¯C) de dimensão ¯n com ¯n < n que realiza a matriz de resposta impulsional G(t). Como ( ¯A, ¯B, ¯C) de ordem ¯n e (A, B, C) de ordem n realizam a mesma matriz de resposta impulsional,

(54)

Uma vez que ¯Rβ tem apenas ¯n colunas pois

¯ Rβ =         ¯ C ¯ C ¯A .. . ¯ C ¯Aβ−1         conclui-se que rank ¯Rβ ≤ ¯n. Consequentemente, rankRβQα = rank ¯RβQ¯α ≤ ¯n < n o que contradiz 2.

Como consequˆencia imediata deste teorema surge o seguinte corol´ario.

Corol´ario 2.2.11. Denotando por α e β os ´ındices de atingibilidade e de observabili-dade associado ao modelo (A, B, C) e sendo ¯γ e ¯δ os primeiros inteiros tais que,

rankR¯_δQγ¯ = rankRβQα= q ≤ n,

então, as realiza¸cões de ordem m´ınima de G(t), também realizada pelo modelo (A, B, C) de ordem n, têm ordem q, ´ındice de atingibilidade ¯γ e ´ındice de observabilidade ¯δ.

O problema da realiza¸cão pode ser colocado em termos dos coeficientes da expansão em série de potências de G(t) em t = 0,

G(t) = ∞ X i=0 1 i! di dtiG(t)|t=0t i_. As matrizes p × m G0, G1, G2, . . . onde Gi = di dtiG(t)|t=0, i = 0, 1, . . . (2.12)

(55)

são denominadas por parâmetros de Markov correspondentes à resposta impulsional G(t). Obviamente se G(t) é realizável por meio do modelo (A, B, C), então a sequência de parâmetros de Markov pode ser expressa na forma,

Gi = CAiB, i = 0, 1, . . . , (2.13) j´a que Gi = di dtiG(t)|t=0= CA i_eAt_B| t=0 = CAiB.

Os parâmetros de Markov podem também ser determinados a partir da fun¸cão de transferência G(s), transformada de Laplace de G(t). É poss´ıvel verificar que

G0 = sG(s) − L d dtG(t) (2.14) e que para i = 1, 2, 3, . . . Gi = s " siG(s) − i X j=1 si−jGj−1 # − L d i+1 dti+1G(t) . (2.15)

Para confirmar a igualdade (2.14) basta observar que, L_d dtG(t) (s) = Z ∞ 0 e−st d dtG(t)dt = G(t)e−st|∞ 0 − Z ∞ 0 −se−stG(t)dt = G(t)e−st|∞ 0 + s Z ∞ 0 e−stG(t)dt | {z } L[G(t)]=G(s) = lim t→∞G(t)e −st | {z } 0 −e−s.0_{G(0) + sG(s)} = −G(0) + sG(s) = −G0+ sG(s).

A igualdade (2.15) será de seguida demonstrada por indu¸cão. Em primeiro lugar procede-se à demonstra¸cão da igualdade para i = 1. Por (2.12) sabe-se que,

G1 =

d

(56)

Ent˜ao, primitivando por partes,

L d 2 dt2G(t) (s) = Z ∞ 0 e−st d 2 dt2G(t)dt = Z ∞ 0 e−st d dt d dtG(t) dt = e−st d dtG(t)| ∞ 0 − Z ∞ 0 −s.e−st d dtG(t)dt = e−st d dtG(t)| ∞ 0 + s Z ∞ 0 e−st d dtG(t)dt | {z } L   d dtG(t)  (s)=−G(0)+sG(s) = lim t→∞e −st d dtG(t) − d dtG(t)|t=0+ s(−G(0) + sG(s)) = 0 − d dtG(t)|t=0 | {z } G1 +s(−G(0) + sG(s)) = −G1+ s(sG(s) − G0).

Seguidamente prova-se que

Gi+1= s " si+1G(s) − i+1 X j=1 si+1−jGj−1 # − L d i+2 dti+2G(t) (2.16)

admitindo por hip´otese de indu¸c˜ao,

Gi = s " siG(s) − i X j=1 si−jGj−1 # − L d i+1 dti+1G(t) . (2.17)

(57)

Assim, L d i+2 dti+2G(t) (s) = Z ∞ 0 e−st d i+2 dti+2G(t)dt = Z ∞ 0 e−st d dt di+1 dti+1G(t) dt = e−st d i+1 dti+1G(t)| ∞ 0 − Z ∞ 0 −se−st d i+1 dti+1G(t)dt = e−st d i+1 dti+1G(t)| ∞ 0 + s Z ∞ 0 e−st d i+1 dti+1G(t)dt | {z } L   di+1 dti+1G(t)  (s) = −d i+1 dti+1G(t)|t=0+ s " −Gi+ s " siG(s) − i X j=1 si−jGj−1 ## = −Gi+1− sGi+ s " si+1_{G(s) −} i X j=1 si+1−jGj−1 # = −Gi+1+ s " si+1G(s) − i X j=1 si+1−jGj−1− Gi # = −Gi+1+ s " si+1_{G(s) −} i+1 X j=1 si+1−jGj−1 # . Repare-se tamb´em que,

lim s→∞L d dtG(t) (s) = lim s→∞ Z ∞ 0 e−st d dtG(t)dt = Z ∞ 0 lim s→∞e −st d dtG(t)dt = 0

uma vez que

lim

s→∞e −st d

(58)

2.2. CONSTRUÇ ÃO DE REALIZAÇ ÕES DE ORDEM MÍNIMA 45 para t ∈ [0, ∞[. Consequentemente, lim s→∞L d dtG(t) (s) = −G0 + lim s→∞sG(s)

o que implica que,

G0 = lim

s→∞sG(s).

Para Gi com i = 1, 2, 3, ..., verifica-se que

Gi = lim s→∞s " siG(s) − i X j=1 si−jGj−1 # .

Basta atender `a express˜ao (2.15) e ao facto de, analogamente ao caso i = 0, se verificar que lim s→∞L di+1 dti+1G(t) (s) = 0.

Recorde-se que G(s) só é realizável por um modelo (A, B, C) se for uma fun¸cão racional estritamente própria, atendendo ao Teorema 2.1.6. Para cada entrada de G(s) a divisão do polinómio numerador pelo denominador origina uma série de potências em s−1, pelo que G(s) se pode escrever como

G(s) = ˜G0s−1+ ˜G1s−2+ ˜G2s−3+ · · · . Repare-se que, ˜ G0 = lim s→∞sG(s) = G0 ˜ G1 = lim s→∞s [sG(s) − G0] = G1 ˜ G2 = lim s→∞ss 2_{G(s) − sG} 0 − G1 = G2

e assim sucessivamente. Assim, a sequência de parâmetros de Markov surge como a sequência dos coeficientes matriciais na expressão,

G(s) = G0s−1+ G1s−2+ G2s−3+ · · · . (2.18)

Deste modo, o desenvolvimento de G(s) em série de potências de s−1 constitu´ı um método alternativo para determina¸cão dos parâmetros de Markov. Atendendo a (2.18),

(59)

o problema da realiza¸cão pode ser tratado com base na sequência dos parâmetros de Markov. Note-se que a matriz, Γij = RiQj com i, j = 1, 2, 3, · · · , é dada por

Γij =         G0 G1 · · · Gj−1 G1 G2 ... Gj .. . ... · · · ... Gi−1 Gi · · · Gi+j−2         . (2.19)

Esta matriz ´e usualmente denominada por matriz de Hankel de ordem i, j (por blocos) correspondente a G(t) e G(s).

O estudo das caracter´ısticas da matriz de Hankel associada a uma determinada matriz de resposta impulsional G(t), ou matriz de transferência G(s), conduz a um importante critério para a constru¸cão de realiza¸cões de ordem m´ınima, de seguida apresentado.

Teorema 2.2.12. A resposta impulsional G(t), p × m anal´ıtica, admite uma realiza¸c˜ao se e s´o se existem inteiros l, k e n com l, k ≤ n tais que

rankΓlk= rankΓl+1,k+j = n, j = 1, 2, . . . . (2.20)

Demonstra¸cão. Suponha-se por hipótese que existem inteiros l, k e n com l, k ≤ n que verificam (2.20) e proceda-se à constru¸cão de uma realiza¸cão de dimensão n. Considere-se da matriz de Hankel por blocos, Γlk,

Γlk =         G0 G1 · · · Gk−1 G1 G2 · · · Gk .. . ... ... ... Gl−1 Gl · · · Gl+k−2         .

Uma vez que, por hip´otese, Γlk tem caracter´ıstica n, esta matriz possui n linhas

linearmente independentes. Sejam i1, ..., in os ´ındices das primeiras n linhas de Γlk

nestas condi¸c˜oes.

Considere-se as matrizes Hk e Hks definidas do seguinte modo: Hk ´e a submatriz

(60)

pelas suas linhas i1 + p, . . . , in+ p. Como Γlk é submatriz de Γl+1,k, também Hk é

submatriz de Γl+1,k. Al´em disso, por 2.20, as suas linhas geram o espa¸co das linhas de

Γl+1,k e, em particular, as linhas de Hks, pelo que existe uma matriz A, n × n, tal que

H_ks= AHk. (2.21)

Do mesmo modo, as linhas de Γ1,k s˜ao combina¸c˜oes lineares das de Hk, pelo que, existe

uma matriz C, p × n, tal que

Γ1k = CHk. (2.22)

Seja agora B a matriz constitu´ıda pelas m primeiras colunas de Hk. Verifica-se que

(A, B, C) constitui uma realiza¸c˜ao para a resposta impulsional G. Para mostrar que de facto isso acontece, defina-se de um modo geral as matrizes Hj, j = 1, 2, 3, . . .

como sendo constitu´ıdas pelas linhas i1, . . . , in de Γlj. Note-se que, se j < k, Hj ´e

uma submatriz de Hk, enquanto que, se e j > k, Hj ´e uma extens˜ao daquela matriz.

Defina-se ainda H_js de forma an´aloga a H_ks. ´E claro que, H_js = AHj, se j ≤ k.

Por outro lado, se j > k, as n linhas de Hj, que s˜ao linearmente independentes, geram

as linhas de H_js, pelo que existe uma matriz ˜A tal que H_js = ˜AHj.

Uma vez que Hs

k e Hk s˜ao submatrizes de Hjs e Hj respectivamente, isto implica que

H_ks= ˜AHk.

Mas, atendendo a (2.21) e ao facto de que as linhas de Hk serem linearmente

indepen-dentes, isto implica que ˜A = A. Conclui-se ent˜ao que

H_js= AHj para j = 1, 2, 3, . . . . (2.23)

Analogamente se conclui que

(61)

Repare-se ainda que H1 = B; Hj = h B H_j−1s i para j = 2, 3, . . . . (2.25) dado que as matrizes Γl+1,k possuem um estrutura de Hankel por blocos. Conjugando

as igualdades (2.23), (2.24) e (2.25) obt´em-se que Γ1j =

h

CB CAB · · · CAj−1_Bi _{para j = 1, 2, 3, . . . .}

Uma vez que

Γ1j =

h

G0 G1 · · · Gj−1

i

para j = 1, 2, 3, . . . isto permite finalmente concluir que

Gj = CAjB para j = 0, 1, 2, 3, . . . ,

e portanto (A, B, C) ´e de facto uma realiza¸c˜ao de G(t).

Reciprocamente suponha-se que existe uma realiza¸cão para a resposta impulsional G(t). Então, existe uma realiza¸cão de ordem m´ınima, n. Consequentemente, pelo Teorema 2.2.10

rankΓβα = n,

onde α e β s˜ao os ´ındices de atingibilidade e de observabilidade. Como

Γβ+1,α+j = Rβ+1Qα+j

pelo Lema 2.2.3 conclui-se que

rankΓβ+1,α+j = n = rankΓβα.

Logo (2.20) verifica-se com l = α e k = β.

O Teorema anterior permite a constru¸cão de realiza¸cões de ordem m´ınima para uma resposta impulsional G(t). O exemplo que se segue esclarece, deste modo, a importância deste teorema.