Montagem e análise de uma indústria visando otimizar os lucros

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(1)Revista de Ciências Gerenciais Vol. XII, Nº. 15, Ano 2008. MONTAGEM E ANÁLISE DE UMA INDÚSTRIA VISANDO OTIMIZAR OS LUCROS. RESUMO Wilson C. Canesin da Silva Universidade Braz Cubas wilson_canesin@yahoo.com.br. Rogerio dos Santos Morais Faculdade Anhanguera de Jacareí rogeriosmorais@uol.com.br. O cenário empresarial para fazer frente à competição de mercado, necessita levar em conta todas as suas cartas e saber reservar os principais trunfos para serem gastos nos momentos mais oportunos, ou de maior crise. Não é só montar uma indústria, começar a fabricar e vender. Esse é o largo caminho que leva muitas microempresas à falência, tão logo elas abram suas portas. Além dos procedimentos convencionais de planejamento, de pesquisa de mercado, análise de competitividade, aceitabilidade do produto, custos de fabricação e comercialização, são necessários estudos de otimização da faixa de preços que se pode vender o produto, de forma a assegurar melhores lucros. Em certos casos, vendendo mais barato pode-se ter mais lucro do que vender mais caro. É importante conhecer essas ferramentas de análise para usá-las convenientemente durante a gestão da empresa. Palavras-Chave: Planejamento, gestão empresarial, otimização de lucros.. ABSTRACT The business scene to face the market competition, needs to take into account all the cards of its packs and know to reserve the main trumps card to expend at the most opportune moments, or of bigger crisis. It is not only to assemble an industry, to start manufacture and sell. This is the wide way that takes many microncompanies to the bankruptcy, as soon as they open its doors. Beyond the conventional procedures of planning, of marketing research, analysis of competitiveness, acceptability of the product, costs of manufacture and merchandizing, optimization studies are necessary of range of prices that is recommended to sell the product, seeking to assure better profits. In certain cases selling more cheap results more profit of which to sell more expensive. It is important to know these tools of analysis and conveniently to use them during the management of the company. Anhanguera Educacional S.A. Correspondência/Contato Alameda Maria Tereza, 2000 Valinhos, São Paulo CEP. 13.278-181 rc.ipade@unianhanguera.edu.br. Keywords: Market competition, marketing research, competitiveness, acceptability, optimization.. Coordenação Instituto de Pesquisas Aplicadas e Desenvolvimento Educacional - IPADE Artigo Original Recebido em: 29/05/2008 Avaliado em: 22/07/2008 Publicação: 28 de novembro de 2008 85.

(2) 86. Montagem e análise de uma indústria visando otimizar os lucros. 1.. INTRODUÇÃO Montar uma empresa e especificamente uma fábrica, não é só ter espírito empreendedor e gostar de assumir riscos. A introdução no mercado de um novo produto ou mesmo de um já consagrado requer uma sistemática pesquisa de mercado em várias etapas. A primeira fase da análise é a da competitividade. É necessária uma pesquisa de mercado bastante elaborada para verificar se já existem competidores de pequeno, médio ou grande porte na região. É importante avaliar quanto da fatia de mercado esses competidores poderão abarcar e qual o seu potencial de negociação. A segunda fase da pesquisa é a da aceitabilidade, se existe público consumidor para o produto na região, por exemplo, se ele é consumido por pessoas numa faixa etária, que percentual de pessoas nessa faixa etária existe na região, qual o grau de competitividade apresentado pelos produtos oferecidos pelos concorrentes. Depois vem a parte de custos de fabricação; verificar quais os custos do investimento, de matéria prima para a fabricação do produto, quais os custos fixos com maquinário, energia, salários, etc., e qual o preço médio unitário de oferta do produto no mercado. Em seguida tem-se a fase de comercialização. O produto com o preço médio calculado tem perspectivas de ser comercializado na região, frente aos competidores existentes? Quais são as estratégias de mercado, (MORAIS, 2007, p. 18-24) a serem adotadas para a inclusão do produto ou se ele tem de ser vendido fora e quais as condições logísticas envolvidas para a sua distribuição, comercialização e ou exportação. Fase de gestão; quando a empresa se mostrou viável na região e foi montada, começa a fase de gestão otimizada, com intuito de minimizar os custos e maximizar o lucro. Para exemplificar essa parte, tomar-se-á, o exemplo de uma fábrica fictícia e que fabrica um produto também fictício.. 2.. LEVANTAMENTO DOS CUSTOS DA EMPRESA Supondo-se uma pequena empresa com um investimento já feito em máquinas e que fabricará um determinado produto a um custo unitário de matéria prima e confecção de R$10,00. As despesas fixas de manutenção e funcionamento dessa hipotética empresa são listadas na tabela a seguir. Se o capital disponível dessa pequena fábrica for de R$42000,00. Revista de Ciências Gerenciais • Vol. XII, Nº. 15, Ano 2008 • p. 85-100.

(3) Wilson C. Canesin da Silva, Rogério dos Santos Morais. conclui-se que ela teria que começar com a fabricação de no máximo 2500 unidades mensais, como será justificado mais adiante.. 2.1. Tabela de custos fixos da empresa Para se escrever a equação de custos, despesas e custos passam a ser sinônimos. Com base nas pesquisas e analises anteriores e objetivando dar um exemplo bem prático, considerase que a pequena fábrica, tomada como modelo, se assemelha a muitas outras e, portanto, apresenta os gastos padrões que são listados na seguinte tabela dos custos fixos. Tabela 1. Custos fixos da empresa. Tipo. Valor (R$). Finalidade. Salários de Empregados. 8 000,00. Empregados de manufatura. Diversos. 4 000,00. Materiais de uso geral. Água e energia. 1 200,00. Uso geral. Telefone. 500,00. Outros. 3 000,00. Custo Fixo Total. 16 700,00. idem Combustível CF (Custos Fixos). 2.2. Elaboração da equação de custos O custo unitário do produto, como já mencionado, levantado pela pesquisa de preços de mercado, custo de matéria prima e manufatura foi de C1= R$ 10,00. Como o custo total é definido como sendo o custo fixo (CF) mais o custo variável, a equação do custo total do produto para fabricar “q” unidades resulta em:. C(q ) = CF + 10.q .. 2.3. Cálculo da capacidade de fabricação Se a empresa pode disponibilizar de um capital de R$ 42000,00 utilizando a equação do custo, pode-se calcular a quantidade que se pode fabricar, da forma: 42000= 16700 + 10.q resulta em q = 2530 unidades ou 2500 unidades redondas.. 2.4. Estimativa de custo médio Se a quantidade a ser fabricada é de 2500 unidades, o seu custo de fabricação é de:. C (2500) = 16700 + 10 × 2500 .. Revista de Ciências Gerenciais • Vol. XII, Nº. 15, Ano 2008 • p. 87 de 16.

(4) 88. Montagem e análise de uma indústria visando otimizar os lucros. Para se ter uma estimativa de como se deveria vender o produto, utiliza-se custo total para 2500 unidades e calcula-se o custo médio (Cm), dividindo-se o custo total (C) pelo número de unidades fabricadas, ou seja, 2500 obtendo-se:. Cm =. 3.. C(q ) 41700 = = 16,7 ≈ R $17,00 . q 2500. SIMULAÇÃO DO LUCRO PARA DETERMINAR O PREÇO INICIAL DE VENDA Lembrando que a receita total (R) é dada pelo produto do preço pela quantidade vendida (demanda) e o lucro é definido pela diferença entre a receita e o custo, ou seja:. L = R −C. Supondo que o preço de venda seja inicialmente de R$ 17,00, constrói-se uma tabela de custo, receita e lucro para o produto considerando a fabricação das 2500 unidades. Tabela 2. Simulação do lucro. Quantidade(q). Preço (p). R = p.q. C = CF+10.q. L = R-C. 2500. 19. 47500. 41700. 5800. 2500. 21. 52500. 41700. 10800. 2500. 23. 57500. 41700. 15800. 2500. 25. 62500. 41700. 20800. 2500. 28. 70000. 41700. 20800. 2500. 30. 75000. 41700. 33300. A tabela mostra que o produto deve ser vendido por um preço acima de R$ 17,00 para ter lucro, mas um lucro mais significativo só aparece para os preços acima de R$21,00. O preço ideal de vendas vai ser determinado mais adiante, através de procedimentos de otimização.. 3.1. Tabela de demanda em função do preço Tendo em vista as informações obtidas pela simulação anterior, os vendedores são orientados para iniciar as vendas nas lojas, com os preços mostrados na tabela a seguir e as demandas correspondentes aparecem na coluna da direita.. Revista de Ciências Gerenciais • Vol. XII, Nº. 15, Ano 2008 • p. 85-100.

(5) Wilson C. Canesin da Silva, Rogério dos Santos Morais. Tabela 3. Demanda em função do preço (R$). Meses. Preço (unidades). o. Demada(unidades). 3 mês. 21. 2400. 2o mês. 27. 1904. 30. 1600. o. 1 mês. De posse desses dados e usando o método dos mínimos quadrados, (MEDEIROS, 2006, p. 88) constrói-se a curva de demanda do produto, colocando os dados em ordem crescente de p (preço) e decrescente de q (demanda).. 3.2. Método dos mínimos quadrados para ajustar a curva de demanda Dada a demanda em função do preço, calcula as colunas auxiliares mostradas na tabela, e em seguida calcula os valores médios do preço e a da demanda e finalmente os coeficientes da equação. Tabela 4. Ajuste por mínimos quadrados. Preço (p). Demanda (D). p.D. P2. 21. 2400. 50400. 441. 27. 1904. 51408. 784. 30. 1600. 48000. 900. ∑ p = 78. ∑ D = 5904. ∑ pD = 149808. ∑p. 2. = 2070. N = 3 número de dados obtidos (linhas). Preço médio. pm = ∑p / 3 = 78/3 =26.. Demanda média Dm = ∑D /3 = 1968. Cálculo dos coeficientes “a” e “b” da equação de demanda: a=. ∑ p.D − N.p .D ∑ p − N.(p ) m. 2. m. m 2. =. 149808 − 3 × 26 ×1968 = −88 2070 − 3.(26)2. ,. b = Dm − a.pm = 1968 - (-88).26 = 4256.. 3.3. Equação de demanda do produto Os valores obtidos para “a” e “b” permitem escrever a curva (reta) de demanda desse bem de consumo da forma apresentada na Figura 1:. Revista de Ciências Gerenciais • Vol. XII, Nº. 15, Ano 2008 • p. 89 de 16.

(6) 90. Montagem e análise de uma indústria visando otimizar os lucros. q. 4256. q = - 88 p + 4256 Sendo 0 < p < 48. 48. p. e 0 < q < 4256. Figura 1. Curva de demanda.. Ou seja, o intervalo de preços de venda desse produto é de 0 a 48 e o intervalo de demanda (quantidade) é de 0 a 4256.. 3.4. Início da fase de otimização do lucro - expressão da receita total Sabendo-se que receita total (R) das vendas do bem de consumo, é o produto do preço de venda pela demanda (q), então a equação da receita é:. R = p.q .. 3.5. Expressão do lucro total Tendo as equações do custo total e da receita total, escreve-se a equação do lucro total (L) que é a diferença entre a receita e o custo total, (WEBER, 1951):. L = R −C. Com a substituição dos valores de R e C em L:. L = p.q − CF − C1.q , onde C1 é o custo unitário e q = a.p + b, que substituindo em L, resulta:. L(p) = a.p 2 + (b − a.C1).p − CF − b.C1 . Substituindo-se os valores, a = -88, b = 4256, C1 = 10 e CF = 16700, obtém-se a equação:. L(p) = −88.p 2 + 5136.p − 59260 , que é a expressão do lucro total em função do preço, para o caso em estudo.. Revista de Ciências Gerenciais • Vol. XII, Nº. 15, Ano 2008 • p. 85-100.

(7) Wilson C. Canesin da Silva, Rogério dos Santos Morais. 3.6. Cálculo dos pontos de nivelamento É interessante saber quais são os pontos de nivelamento para esse bem de consumo. Os pontos de nivelamento (break even) do produto são, segundo Leithold (1996), os preços em que o lucro é zero (L= 0), ou seja, onde começa e onde termina o lucro. Tais pontos representam também o menor e o maior preço que se pode vender o produto para não se ter prejuízo. Nos pontos de nivelamento a receita é igual ao custo total, ou seja, o lucro é zero (L = 0). Igualando a zero a equação do lucro tem-se:. − 88.p 2 + 5136.p − 59260 = 0 . Resolvendo a equação do 2º grau obtém-se as duas raízes ou pontos de nivelamento: p1= 15,83 e p2 = 42,53. Isso significa que, os preços de venda devem estar entre esses dois valores para se ter lucro. Como a curva do lucro é simétrica por ser uma parábola, o preço que leva ao lucro máximo vai ser a média aritmética desses dois preços, isto é, R$ 29,18. As quantidades vendidas correspondentes a esses preços podem ser calculadas usando a expressão da demanda construída para esse produto, ou seja: q = – 88p + 4256, e são: q1 = – 88. 15,83 + 4256 = 2863, q2 = – 88.42,53 + 4256 = 513, q0 = - 88.29,18 + 4256 = 1688. A última linha corresponde à quantidade vendida que resulta em lucro máximo. O cálculo do preço que conduz ao lucro máximo poderia também ser feito, de uma forma mais geral e que serve para funções simétricas ou não, pela teoria dos máximos e mínimos, conforme Stewart (1999, p. 100-200) derivando o lucro e igualando a zero, da forma:. LT ′(p) = −176.p + 5136 = 0 . Resolvendo a equação, encontra-se: p0 = 29,18 como sendo o preço ideal de venda. Nem é preciso verificar se essa quantidade corresponde a um máximo porque o coefi-. Revista de Ciências Gerenciais • Vol. XII, Nº. 15, Ano 2008 • p. 91 de 16.

(8) 92. Montagem e análise de uma indústria visando otimizar os lucros. ciente do segundo grau na equação do lucro é negativo e resultará sempre em segunda derivada negativa, que caracteriza um ponto de máximo. Assim, concluiu-se que preço ideal é o de R$ 29,18 que corresponde a uma demanda de 1688 unidades fabricadas e resulta em lucro máximo, e que está dentro da capacidade da pequena empresa.. 3.7. Cálculo do valor do lucro máximo Vendendo-se 1688 unidades mensais ao preço de R$ 29,18, o lucro máximo da empresa será: LT(29,18) = (R$) 15 679.. 3.8. Gráfico do lucro total do produto Este gráfico do lucro, na Figura 2, foi confeccionado em função do preço “p” de venda do produto, e é fácil de verificar que os preços que dão lucro maior do que zero, pontos de nivelamento, são entre p = 15,80 e p = 42,50 (R$). O preço que corresponde ao lucro máximo de R$ 15 679,00 é o p= R$ 29,20.. Figura 2. Lucro em função do preço.. Lucro satisfatório Como nem sempre se pode vender o produto no preço que conduz ao lucro máximo, porque a concorrência pode estar vendendo o produto a um preço menor, por exemplo R$26,00, nesse caso, vendendo-se o produto nesse preço o lucro cairia para R$ 14 788,00.. Revista de Ciências Gerenciais • Vol. XII, Nº. 15, Ano 2008 • p. 85-100.

(9) Wilson C. Canesin da Silva, Rogério dos Santos Morais. Mas suponha-se que este empresário quer vencer a concorrência e conclui que para ele um lucro satisfatório já seria da ordem de R$ 14000,00. Qual seria então o preço de venda? Se o lucro de R$ 14000,00 for satisfatório para essa pequena empresa, substituindo-se esse valor na expressão do lucro:. L(p) = −88.p 2 + 5136.p − 59260 = 14000 . E resolvendo essa nova equação tem-se que os preços do intervalo para o lucro satisfatório: p1 = 24,8 e p2 = 33,54, que resultam no lucro satisfatório estipulado, dentro da região retangular no gráfico.. Gráfico do lucro satisfatório. Figura 3. Lucro satisfatório em função do preço.. A região de preços entre R$ 24,80 e 33,50 do retângulo corresponde ao lucro satisfatório, da ordem de R$ 14 000,00. Se o produto for vendido no preço mais baixo (R$24,80), ele terá mais aceitação porque está abaixo da concorrência, mas em compensação sua demanda sobe para 2074 unidades. Se o produto for vendido a R$ 33,50 sua demanda será menor (1308 unidades), mas a receita será maior, o que mantém o lucro estipulado, entretanto, ele está vendendo bem mais caro do que a concorrência que foi suposta R$ 26,00. É importante visualizar também, como o lucro varia em função da quantidade vendida, assim, escrevendo o lucro em função da quantidade (demanda), tem-se:. L(q ) = R − C = p.q − CF − C1.q .. Revista de Ciências Gerenciais • Vol. XII, Nº. 15, Ano 2008 • p. 93 de 16.

(10) 94. Montagem e análise de uma indústria visando otimizar os lucros. Mas q = a.p+b, então explicitando o preço, tem-se p =(q-b)/a, que substituindo na expressão do lucro obtém-se:. q2 b L ( p) = − ( + C1).q − CF . a a Ou ainda, usando-se os valores de “a” e “b”, C1 e CF já calculados obtém-se:. q 2 3276.q L (q ) = − − − 16700 . 88 88 O gráfico dessa equação é mostrado a seguir na Figura 4 e apresenta também, a região de lucro satisfatório, em torno de R$ 14 000,00, com demandas de 1308 até 2074 unidades.. Gráfico do lucro satisfatório para a demanda. Figura 4. Lucro satisfatório em função do preço.. A faixa de demanda para os preços de lucro satisfatório, é (1308 a 2074), que corresponde á faixa de preços de R$ 24,80 a 33,50. Se a escolha for de R$24,80 para vencer a concorrência, isso corresponde a q = 2074 unidades e o custo para isso seria de C =37440 (R$), o que seria abaixo do limite disponível para custos da empresa, que é R$ 41700,00. O ideal para essa empresa seria fabricar mais de um produto e não se preocupar em vencer a concorrência, uma vez que esse produto teve boa aceitação (demanda) e, portanto, pode ser vendido num preço mais próximo do preço de máximo.. Revista de Ciências Gerenciais • Vol. XII, Nº. 15, Ano 2008 • p. 85-100.

(11) Wilson C. Canesin da Silva, Rogério dos Santos Morais. É claro que se a empresa fabricasse mais de um produto, essa otimização também poderia ser feita, mas teria de se aplicar a teoria de máximos e mínimos para funções de várias variáveis, com é mostrado na segunda parte desse trabalho.. 4.. SEGUNDA PARTE. 4.1. Empresa com múltiplos produtos As pessoas não familiarizadas com matemática podem ir para o resumo que aparece no final, que é simples de entender e aplicar. A seguir é feito um desenvolvimento teórico para uma fábrica que trabalha com três produtos diferentes e quer maximizar seus lucros nas vendas de cada produto. Para esse caso, lembrando que o custo fixo pode ser alterado, as expressões de demanda, receita e custos individuais de cada produto são os mostrados na Tabela 5. Tabela 5. Empresa com múltiplos produtos. q1 = a1.p1 + b1. R1 = p1.q1. Cindiv1. = C1.q1. q2 = a2.p2 + b2. R2 = p2.q2. Cindiv2. = C2.q2. q3 = a3.p3 + b3. R3 = p3.q3. Cindiv3. = C3.q3. 4.2. Exemplo de uma empresa com múltiplos produtos A expressão do lucro para múltiplos produtos pode ser escrita, então, na forma: 3. 3. L = R − C = ∑ R i − ∑ C indiv − CF i =1. i =1. ,. L = p1 .q 1 + p 2 .q 2 + p 3 .q 3 − C1 .q 1 − C 2 .q 2 − C 3 .q 3 − CF . Substituindo as demandas dadas na tabela, na expressão do lucro, obtém-se após algumas manipulações matemáticas,. L( p1 , p2 , p3 ) = a1 p12 + a2 p22 + a3 p32 + (b1 − a1.C1 ). p1 + (b2 − a2 .C2 ). p2 + (b3 − a3 .C3 ). p3 − A. Onde, A = C1.b1 + C2.b2 + C3.b3 + CF é uma constante. Os pontos extremos (máximos ou mínimos), no caso serão só de máximos porque os coeficientes a1, a2, a3 da demanda são sempre negativos, o que conduz a derivadas segunda negativas e portanto, pontos só de máximo. Assim, os pontos ou preços que conduzem a lucros máximos são. Revista de Ciências Gerenciais • Vol. XII, Nº. 15, Ano 2008 • p. 95 de 16.

(12) 96. Montagem e análise de uma indústria visando otimizar os lucros. dados pelas derivadas parciais primeiras, (HAZZAN; MORETTIN; BUSSAB, 1993, p. 106) em relação a p1, p2 e p3, igualadas a zero, ou seja:. a .C − b1 ∂L = 2.a 1 .p1 + b1 − a 1 .C1 = 0 ou p1 = 1 1 , 2.a 1 ∂ p1. a .C − b 2 ∂L = 2.a 2 .p 2 + b 2 − a 2 .C 2 = 0 ou p 2 = 2 2 , ∂ p2 2.a 2 a .C − b 3 ∂L = 2.a 3 .p 3 + b 3 − a 3 .C 3 = 0 ou p 3 = 3 3 . 2.a 3 ∂ p3 Esses são os preços otimizados, ou seja, os que dão o lucro máximo, e se substituídos nas equações de demanda conduzem às quantidades (demandas) dos três produtos, que devem ser vendidas para se ter lucro máximo. Essas quantidades são:. q1 =. a .C + b 3 a 1 .C1 + b1 a .C + b 2 ; q2 = 2 2 ; q3 = 3 3 . 2 2 2. Entretanto, pode acontecer que os custos para fabricar todas essas quantidades estejam acima do limite de custos da empresa, e essa não poderá atender a essas demandas. Nesse caso seria necessário fabricar um pouco menos de cada uma até se ter o limite máximo de custos da empresa. Essa quantidade a ser diminuída das demandas pode ser obtida, subtraindo de cada quantidade q1, q2 e q3, um valor k de forma a se ter o custo limite da empresa na forma:. C lim = (q 1 − k ).C1 + (q 2 − k ).C 2 + (q 3 − k ).C 3 + CF . Efetuando as multiplicações tem-se:. C lim = q 1 .C1 + q 2 .C 2 + q 3 .C 3 + k.(C1 + C 2 + C 3 ) + CF , ou com C = q 1 .C1 + q 2 .C 2 + q 3 .C 3 + CF , é o custo com as quantidades otimizadas, então:. k=. C − C lim , C1 + C 2 + C 3. onde k é o fator de adequação da produção com os requisitos de limite de capital para custos da empresa. Nada impede, no entanto, de se optar por fatores de adequação diferentes para cada produto fabricado. É óbvio que se o custo de fabricação das demandas otimizadas for igual ao custo limite da empresa, o k vai ser nulo.. Revista de Ciências Gerenciais • Vol. XII, Nº. 15, Ano 2008 • p. 85-100.

(13) Wilson C. Canesin da Silva, Rogério dos Santos Morais. Recalculando as demandas que cumprem o limite de custo da empresa, obtémse: ∗ q 1∗ = q 1 − k ; q 2 = q 2 − k ; q ∗3 = q 3 − k .. Os novos preços correspondentes a essas demandas são:. p1∗ = (q1∗ − b1 ) / a 1 ; p ∗2 = (q ∗2 − b 2 ) / a 2 ; p ∗3 = (q ∗3 − b 3 ) / a 3 . O novo lucro da empresa, em função de seu limite de capital será calculado nes∗. ∗. ∗. ses novos preços, ou seja, L = L(p1 , p 2 , p 3 ) . Esse lucro não é o máximo, mas é o melhor que o capital da empresa possibilita. Tabela 6. Quadro resumo de todos os resultados.. Demandas. Receitas. Custos Individuais. q1 = a1.p1 + b1. R1 = p1.q1. Cindiv1. = C1.q1. q2 = a2.p2 + b2. R2 = p2.q2. Cindiv2. = C2.q2. q3 = a3.p3 + b3. R3 = p3.q3. Cindiv3. = C3.q3. Expressão do Lucro em função do preço. L(p1 , p 2 , p 3 ) = a 1p12 + a 2 p 22 + a 3 p 32 + (b1 − a 1 .C1 ).p1 + (b 2 − a 2 .C 2 ).p 2 + (b 3 − a 3 .C3 ).p 3 − A A = C1.b1 + C2.b2 + C3.b3 + CF Preços otimizados. p1 =. a1 .C1 − b1 2.a1. p2 =. p3 =. a3 .C 3 − b3 2.a3. q3 =. a 3 .C 3 + b 3 2. a 2 .C 2 − b2 2.a 2. Demandas calculadas com os preços otimizados. q1 =. a 1 .C1 + b1 2. q2 =. a 2 .C 2 + b 2 2. Cálculo do custo total para essas demandas otimizadas C = C1.q1 + C2.q2 + C3.q3 + CF Se o custo com as demandas otimizadas for superior ao disponível da empresa, é necessário calcular o fator “k” de adequação das demandas para que a produção respeite o limite disponível da empresa. C − C lim k= C1 + C 2 + C 3 Recálculo das demandas e preços que satisfazem o vinculo de custo. q1∗ = q1 − k. q ∗2 = q 2 − k. q ∗3 = q 3 − k. p1∗ = (q1∗ − b1 ) / a 1. p ∗2 = (q ∗2 − b 2 ) / a 2. p ∗3 = (q ∗3 − b 3 ) / a 3. Cálculo do lucro real L = L(. p1∗ , p 2∗ , p 3∗ ) vinculado ao orçamento da empresa.. Revista de Ciências Gerenciais • Vol. XII, Nº. 15, Ano 2008 • p. 97 de 16.

(14) 98. Montagem e análise de uma indústria visando otimizar os lucros. 4.3. Exemplo com dados numéricos Para exemplificar melhor a teoria desenvolvida, considere-se que a empresa estudada na parte I resolveu fabricar mais dois produtos. Seu capital disponível para custos continua R$ 41 700,00 e o custo fixo subiu para R$ 25000,00. O primeiro produto manteve o custo unitário e os novos produtos têm custos unitários que são mostrados a seguir juntamente com suas respectivas demandas que foram obtidas como exemplificado na parte I. q1 = -88.p1 + 4256 C1=10 (R$), q2 = -70.p2 + 3000 C2 =7 (R$), q3 = - 50.p3 + 2500 C3 = 5 (R$). Calcula-se diretamente como seriam os preços otimizados para esses produtos:. p1 =. a 1 .C1 − b1 − 88.10 − 4256 = = 29,18 , 2.a 1 2.(−88). p2 =. a 2 .C 2 − b 2 − 70.7 − 3000 = =24,92, 2.a 2 2.(−70). p3 =. a 3 .C 3 − b 3 − 50.5 − 2500 = = 27,50. 2.a 3 2.(−50). Seguindo a seqüência do quadro, calculam-se as demandas correspondentes:. q1 =. a 1 .C1 + b1 − 88.10 + 4256 = = 1688, 2 2. q2 =. a 2 .C 2 + b 2 − 70.7 + 3000 = = 1255, 2 2. q3 =. a 3 .C 3 + b 3 − 50.5 + 2500 = = 1125. 2 2. A seguir calcula-se o custo de fabricação dessas quantidades:. C = q 1 .C1 + q 2 .C 2 + q 3 .C 3 + CF = 10.1688 + 7.1255+ 5.1125 +25000 = 56290 (R$). Note que esse custo superou ou limite da empresa que é de R$ 41700, portanto é a empresa não vai poder operar nos preços e demandas otimizados e é necessário calcular o fator de adequação de custos (k).. k=. C − C lim 56290 − 41700 = = 663,18 ≈ 663 unidades. C1 + C 2 + C 3 10 + 7 + 5. Revista de Ciências Gerenciais • Vol. XII, Nº. 15, Ano 2008 • p. 85-100.

(15) Wilson C. Canesin da Silva, Rogério dos Santos Morais. Assim as demandas devem ser subtraídas desse fator para se ajustarem aos custos da empresa e os preços correspondentes recalculados. Tabela 7. Quadro de valores.. q1∗ = q1 − k. = 1688 – 663 = 1025. p1∗ = (q1∗ − b1 ) / a 1 =(1025-4256)/(-88)=36,7. q ∗2 = q 2 − k. = 1255 -663 = 592. p ∗2 = (q ∗2 − b 2 ) / a 2 =(592-3000)/(-70)=34,4. q ∗3 = q 3 − k. = 1125 – 663 = 462. p ∗3 = (q ∗3 − b 3 ) / a 3 =(462-2500)/(-50)=40,8. Recalculando-se o custo com as demandas ajustadas pelo fator de adequação (k) tem-se:. C = q 1 .C1 + q 2 .C 2 + q 3 .C 3 + CF = 10.1025 + 7.592+ 5.462 +25000 = 41704 (R$). A pequena diferença de R$ 4,00 se deve a arredondamento do valor de k. O lucro real calculado com os preços ajustados para as demandas adequadas ao orçamento da empresa é:. L(p1∗ , p ∗2 , p ∗3 ) = 40134 (R$). Enquanto que o lucro nos preços de máximo é:. L(p1 , p 2 , p 3 ) = 60192 (R$).. 5.. CONCLUSÃO Por não ter o capital disponível para fabricar as quantidades demandadas, o empresário deixou de ganhar R$ 20000,00 a mais. Apesar disso, o aumento na fabricação de mais dois produtos, aproveitando o capital disponível, resultou num aumento substancial de seu lucro, de R$ 15000,00 para R$ 40000,00 quase triplicando. Se o empresário optasse por fazer um empréstimo bancário para poder atender a demanda, a diferença de capital que foi de R$ 14590,00, a um juro de 2,5% ao mês daria R$ 18237,50, o que ainda daria mais R$1762,50 de lucro. Portanto, a taxa teria de ser menor de 2,5% para compensar o empréstimo. O procedimento exposto para 3 produtos, pode facilmente ser generalizado para qualquer quantidade de produtos fabricados, apenas escrevendo a receita total como uma somatória das diversas receitas e os custos também como somatórias dos diversos custos. É possível também considerar custos unitários variáveis, ou funções de custo de grau. Revista de Ciências Gerenciais • Vol. XII, Nº. 15, Ano 2008 • p. 99 de 16.

(16) 100. Montagem e análise de uma indústria visando otimizar os lucros. maior, como por exemplo, terceiro ou quarto grau. Os pontos de nivelamento para n variáveis são os zeros dessa função que no caso é uma superfície n-dimensional. Os métodos de otimização apresentam uma clara vantagem na abordagem dos lucros da empresa, tornando visível as faixas de preços que se pode vender os produtos, de forma a se obter maiores lucros. Possibilitam também, maior clareza nas estratégias de venda do produto.. REFERÊNCIAS HAZZAN, Samuel; MORETTIN, Pedro A.; BUSSAB, Wilton O. Cálculo das funções de várias variáveis. 2. ed. São Paulo: Atual, 1993. LEITHOLD, Louis. Matemática aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Harba, 1966. MEDEIROS DA SILVA, Sebastião; MEDEIROS DA SILVA, Elio; MEDEIROS DA SILVA, Ermês; Matemática para os cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2006. MORAES, Rogério dos Santos; CANESIN DA SILVA, Wilson C. A importância da análise das estratégias dos concorrentes. Revista de Ciências Gerencias. Anhanguera Educacional. v. XI, n. 13, 2007. ISSN 1415-6571. STEWART, James. Cálculo. 4. ed. São Paulo: Pioneira, 1999. WEBER, Jean. Matemática para Economia e Administração. Harper & Row do Brasil, 1981.. Revista de Ciências Gerenciais • Vol. XII, Nº. 15, Ano 2008 • p. 85-100.

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