Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ensino Superior do Seridó
Curso de Licenciatura em Matemática
Teorema de Banach, sobre pontos …xos de
contrações
Artur Breno Meira Silva
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ensino Superior do Seridó
Curso de Licenciatura em Matemática
Teorema de Banach, sobre pontos
…xos de contrações
por
Artur Breno Meira Silva
sob orientação do
Prof. Dr. Adriano Thiago Lopes Bernardino
Dezembro de 2016 Caicó-RN
Agradecimentos
Agradeço aos meus pais, que são as pessoas mais importantes em minha vida, por estarem sempre presentes, me aconselhando, protegendo e incentivando.
Agradeço as amizades conquistadas na faculdade, em especial, do curso de matemática, por me proporcionarem momentos felizes.
Agradeço a todos os meus amigos residentes pela grande amizade formada nesses anos de curso e convivência na residência universitária, principalmente: Damião Xavier, Danilo Martins, Denir Azevedo, Dionísio Eulâmpio, Josenildo Lopes, Jucylânio Melo, Magno Maciel, Roberto Rocha, Rodrigo Medeiros e Ronillo Azevedo.
Agradeço a todos os professores que contribuíram para a construção do meu conhecimento. Destaco: Júlio Alves, Lourena Rocha, Luis Gonzaga e Thiago Bernardino, pois a matemática trabalhada por eles despertou em mim um desejo ainda maior de estudar e seguir essa área do conhecimento.
Agradeço ao meu orientador Porf. Dr. Adriano Thiago Lopes Bernardino pela paciência e dedicação no desenvolvimento desse trabalho e por todo apoio e orientação acadêmica.
Resumo
O objetivo deste trabalho é enunciar e demonstrar o Teorema de Banach, sobre pontos …xos de contrações, apresentando em seguida aplicações desse teorema na resolução de uma equação não linear e na importante demonstração do Teorema da Existência e Unicidade de solução do problema de valor inicial. Foram abordados conceitos essenciais para a compreensão do Teorema de Banach, tais como espaços métricos, sequências e convergência em espaços métricos, espaços métricos completo, contrações e pontos …xos de contrações.
Abstract
The objective of this work is to enunciate and demonstrate Banach ’s Theorem, about …xed points of contractions, then presenting applications of this theorem in the resolution of a nonlinear equation and in the important demonstration of the Existence and Uniqueness Theorem of solution of the initial value problem. Essential concepts for the understanding of the Banach’s Theorem, such as metric spaces, sequences and convergence in metric spaces, complete metric spaces, contractions and …xed points of contractions were discussed.
Sumário
1 Conceitos Básicos 1
1.1 Módulo de um número real . . . 1
1.2 Conjuntos limitados de números reais . . . 3
2 Espaços Métricos 6 2.1 De…nição e exemplos de espaços métricos . . . 6
2.2 Bolas . . . 11
2.3 Conjuntos limitados de um espaço métrico . . . 13
3 Funções Contínuas 15 3.1 De…nição e exemplos . . . 15
3.2 Continuidade uniforme . . . 16
4 Limites 18 4.1 Limites de sequências . . . 18
4.2 Sequência de números reais . . . 21
4.3 Sequências de funções . . . 21
5 Espaços Métricos Completos 23 5.1 Sequências de Cauchy . . . 23
5.2 Espaços métricos completos . . . 25
5.3 O método das aproximações sucessivas . . . 26
Introdução
Na matemática é bastante frequente a busca por soluções de problemas envolvendo equações. Na procura de uma solução ou da existência dela, podemos, em alguns casos, reduzir esses problemas em encontrar os pontos …xos de uma aplicação. Desse modo, precisamos saber em quais casos podemos utilizar os pontos …xos para garantir a existência de uma solução e, por isso, precisamos saber as hipóteses necessárias para que uma aplicação possua pontos …xos. Além disso, teoremas sobre pontos …xos são utilizados nas demonstrações de importantes teoremas matemáticos.
O Teorema de Banach, que apresentaremos e demostraremos neste trabalho, garante a existência e unicidade de soluções de determinadas equações, garante a existência de solução da equação integral e, como consequência, é de grande importância para a demonstração do teorema da existência e unicidade de soluções para um problema de valor inicial, além de sugerir um método para encontrar o ponto …xo de uma aplicação por meio de iterações.
O propósito deste trabalho é demonstrar o Teorema de Banach, sobre pontos …xos de contrações, e utilizá-lo na resolução de uma equação não linear e na demonstração de um teorema de existência e unicidade de soluções para um problema de valor inicial de primeira ordem.
Antes de começar o estudo de espaços métricos, faremos uma preliminar apresentando conceitos básicos sobre módulo de um número real, com suas propriedades, e conjuntos limitados de números reais.
No estudo dos espaços métricos, começaremos de…nindo esses espaços e dando alguns exemplos. Em seguida, faremos uma abordagem sobre funções contínuas em espaços métricos e mostraremos exemplos de funções uniformemente contínuas, em especial a aplicação lipschitziana.
Daremos continuidade ao trabalho com as sequências e convergências nos espaços métricos, de…niremos sequência de Cauchy e espaço métrico completo. No último capítulo, apresentaremos os métodos das aproximações sucessivas, de…nindo ponto …xo
e contração. Finalizaremos com o teorema principal deste estudo que é o Teorema de Banach, sobre pontos …xos de contrações, e aplicaremos esse resultado na resolução de uma equação não linear e na demonstração do teorema de existência e unicidade de soluções para um problema de valor inicial.
Capítulo 1
Conceitos Básicos
1.1
Módulo de um número real
Seja x 2 R. De…nimos o valor absoluto de x (ou módulo de x), denotado por jxj, como sendo:
jxj = (
x, se x 0; x, se x < 0. Proposição 1.1.1 Para quaisquer x; y; z 2 R, temos:
1) jxj 0; 2) jxj = 0 , x = 0; 3) jx yj = 0 , x = y; 4) jxj2 =jx2 j = x2; 5) jxj x; 6) jxyj = jxj jyj;
7) jx + yj jxj + jyj (Desigualdade triângular); 8) jxj = j xj;
9) jx zj jx yj + jy zj;
10) Se y > 0 então jxj < y , y < x < y.
Demonstração: 1) Seja x 2 R. Então x < 0 ou x 0. Se x < 0 então jxj = x > 0. Se x 0então jxj = x 0. Logo jxj 0para qualquer x 2 R.
2) ()) Seja jxj = 0. Suponhamos que x 6= 0, isto é, x < 0 ou x > 0. Se x < 0 então jxj = x > 0, e se x > 0 então jxj = x > 0. Ambos contradizem a hipótese. Logo
1.1. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL (() Se x = 0 então, por de…nição, jxj = x = 0.
3) Pelo item 2)
jx yj = 0 , x y = 0, x = y: 4) Como x2 0
para todo x 2 R, então pela de…nição de módulo jx2
j = x2.
Vejamos agora que jxj2 = x2.
Se x 0, então
jxj = x ) jxj2 = x2: Se x < 0, então
jxj = x ) jxj2 = ( x)2 = x2:
5) Se x 0, então pela de…nição de módulo x = jxj. Se x < 0, então pelo item 1) x <jxj.
6) Para provar que jxyj = jxj jyj, basta mostrar que estes dois números têm o mesmo quadrado, já que ambos são maiores do que ou igual à 0. Ora, o quadrado de jxyj é jxyj2 = (xy)2 = x2y2
, enquanto (jxj jyj)2 =jxj2jy2
j = x2y2.
7) Pelo item 4)
jx + yj2 = (x + y)2 = x2+ 2xy + y2. Agora pelos itens 5) e 6)
xy jxyj = jxj jyj : Assim
x2+ 2xy + y2 jxj2+ 2jxj jyj + jyj2 = (jxj + jyj)2,
isto é,
jx + yj2 (jxj + jyj)2 ) jx + yj jxj + jyj .
8) Se x = 0 então x = x, logo jxj = j xj. Se x > 0 então x < 0, e daí jxj = x = ( x) = j xj.
Se x < 0 então x > 0, e daí jxj = x = j xj.
9) jx zj = jx y + y zj = j(x y) + (y z)j e pela desigualdade triângular j(x y) + (y z)j jx yj + jy zj .
1.2. CONJUNTOS LIMITADOS DE NÚMEROS REAIS Logo, jx zj jx yj + jy zj.
10) ()) Sejam y > 0 e jxj < y.
Se x 0 então x = jxj < y e, obviamente, y < x. Logo y < x < y. Se x < 0 então
x =jxj < y ) y < x; e, obviamente, x < y, logo y < x < y.
(() Seja y < x < y com y > 0. Se x 0 então jxj = x < y.
Se x < 0 então jxj = x, e como y < x, segue que y > x. Logo, jxj < y.
1.2
Conjuntos limitados de números reais
Os coneúdos desta seção foram retirados do livro [5].
Um conjunto X R diz-se limitado superiormente quando existir b 2 R tal que x b para todo x 2 X. Neste caso, diz-se que b é uma cota superior de X. Analogamente, diz-se que o conjunto X R é limitado inferiormente quando existe a2 R tal que a x para todo x 2 X. O número a chama-se então uma cota inferior de X. Se X é limitado superior e inferiormente, diz-se que X é um conjunto limitado. Observação 1.2.1 X ser um conjunto limitado signi…ca que X está contido em algum intervalo limitado [a; b] ou, equivalentemente, que existe k > 0 tal que para qualquer x2 X tem-se jxj k.
De…nição 1.2.2 Seja X R limitado superiormente e não vazio. Um número b 2 R chama-se supremo do conjunto X quando é a menor das cotas superiores de X. Mais explicitamente, b é o supremo de X quando cumpre as duas condições:
S1. Para todo x 2 X, tem-se x b;
S2. Se c 2 R é tal que x cpara todo x 2 X então b c. A condição S2 admite a seguinte reformulação:
S2’. Se c < b então existe x 2 X com c < x.
Com efeito, S2’diz que nenhum número real menor do que b pode ser cota superior de X. Às vezes se exprime S2’assim: para todo " > 0 existe x 2 X tal que b " < x.
Escreveremos b = sup X para indicar que b é o supremo do conjunto X. Analogamente,
1.2. CONJUNTOS LIMITADOS DE NÚMEROS REAIS De…nição 1.2.3 Se X R é um conjunto não vazio, limitado inferiormente, um número real a chama-se o ín…mo do conjunto X, e escreve-se a = inf X, quando é a maior das cotas inferiores de X. Isto equivale às duas a…rmações:
I1. Para todo x 2 X tem-se a x;
I2. Se c x para todo x 2 X então c a.
A condição I2 pode também ser formulada assim: I2’. Se a < c então existe x 2 X tal que x < c.
De fato, I2’ diz que nenhum número maior do que a é cota inferior de X. Equivalentemente: para todo " > 0 existe x 2 X tal que x < a + ".
Diz-se que um número b 2 X é o maior elemento (ou elemento máximo) do conjunto X quando b x para todo x 2 X. Isto quer dizer que b é uma cota superior de X, pertencente a X. Por exemplo, b é o elemento máximo do intervalo fechado [a; b] mas o intervalo [a; b) não possui maior elemento. Evidentemente, se um conjunto X possui elemento máximo este será seu supremo.
A a…rmação de que R é completo signi…ca que todo conjunto não-vazio, limitado superiormente, X R possui supremo b = sup X 2 R.
Resulta da de…nição que, em R, todo subconjunto não-vazio, limitado inferiormente, Y R, possui ín…mo. Com efeito, dado Y R, seja X = Y , isto é, X = f y; y 2 Y g. Como Y é limitado inferiormente existe b 2 R tal que b y para todo y 2 Y . Assim, b y para todo y 2 Y , ou seja, X é não-vazio e limitado superiormente; logo existe a = sup X. A…rmamos que a = inf Y. De fato, para todo y 2 Y temos que y a ) y a. Se a < c, então a > c e como a = sup X existe y 2 Y tal que y > c e daí y < c.
Será mostrado no Exemplo 5.2.1 um espaço métrico que não é completo.
Exemplo 1.2.4 O conjunto N R dos números naturais não é limitado superiormente. Com efeito, se N R fosse limitado superiormente, existiria c = sup N. Então c 1 não seria cota superior de N, isto é, existiria n 2 N com c 1 < n. Daí resultaria c < n + 1, logo c não seria cota superior de N, contradizendo a hipótese de c = sup N. Logo N não é limitado superiormente.
Exemplo 1.2.5 O ín…mo do conjunto X = f1=n; n 2 Ng é igual a 0. Com efeito, 0 é evidentemente uma cota inferior de X, pois 1=n > 0 para todo n 2 N. Basta então provar que nenhum c > 0 é cota inferior de X. Ora, dado c > 0, como N não é limitado superiormente, existe um número natural n > 1=c, donde 1=n < c. Logo, c não é cota inferior de X.
1.2. CONJUNTOS LIMITADOS DE NÚMEROS REAIS Corolário 1.2.6 Sejam X; Y conjuntos limitados superiormente (não vazios), com X + Y =fx + y; x 2 X; y 2 Y g, temos que sup(X + Y ) = sup X + sup Y .
Demonstração: Para mostrar essa igualdade, devemos mostrar que sup X + sup Y é uma cota superior de X + Y e que é a menor das cotas superiores.
Sejam X; Y limitados superiormente e não vazios. Dado c 2 (X + Y ) existem a 2 X e b 2 Y tais que c = a + b. Como a sup X e b sup Y, segue que
c = a + b sup X + sup Y, ou seja, sup X + sup Y é uma cota superior de X + Y .
Suponhamos que k seja outra cota superior de X + Y . Se k < sup X + sup Y então teríamos k sup X < sup Y, daí pela de…nição de supremo, existe y 2 Y tal que k sup X < y. Segue que k y < sup X e, portanto, existe x 2 X tal que k y < x, ou seja, k < x + y. Ora, x + y 2 (X + Y ), contradizendo a hipótese de que k é cota superior de X + Y . Logo sup X + sup Y é a menor das cotas superiores de X + Y e, portanto, sup(X + Y ) = sup X + sup Y .
Capítulo 2
Espaços Métricos
2.1
De…nição e exemplos de espaços métricos
De…nição 2.1.1 Uma metrica num conjunto M é uma função d : M M ! R, que associa a cada par ordenado de elementos x; y 2 M um número real d(x; y), chamado a distância de x a y, de modo que sejam satisfeitas as seguintes condições para quaisquer x; y; z2 M:
d1) d(x; x) = 0;
d2) Se x 6= y então d(x; y) > 0; d3) d(x; y) = d(y; x);
d4) d(x; z) d(x; y) + d(y; z):
De…nição 2.1.2 Um espaço métrico é um par (M; d), onde M é um conjunto e d é uma métrica em M .
Na maioria das vezes, salvo quando houver possibilidade de dúvida, diremos simplesmente "o espaço métrico M ", deixando subentendida qual a métrica d que está sendo considerada.
Os elementos de um espaço métrico podem ser de natureza bastante arbitrária: números, pontos, vetores, matrizes, funções, conjuntos, etc.
Lema 2.1.3 Se (M; d) é um espaço métrico, todo subconjunto S M pode ser considerado, de modo natural, como espaço métrico: basta considerar a restrição de d a S S, ou seja, usar entre os elementos de S a mesma distância que eles possuíam como elementos de M .
2.1. DEFINIÇÃO E EXEMPLOS DE ESPAÇOS MÉTRICOS Demonstração: Seja (M; d) um espaço métrico e S M. Assim, para todo x; y; z 2 S, temos que x; y; z 2 M. Como M é um espaço métrico e estamos usando entre os elementos de S a mesma distância que eles possuíam como elementos de M , segue que
d1) d(x; x) = 0;
d2) Se x 6= y então d(x; y) > 0; d3) d(x; y) = d(y; x);
d4) d(x; z) d(x; y) + d(y; z).
Quando isto é feito, S chama-se um subespaço de M e a métrica de S diz-se induzida pela de M . Esta ideia óbvia nos permite obter uma grande variedade de exemplo, considerando os diversos subconjuntos de um espaço métrico dado.
Exemplo 2.1.4 A métrica "zero-um". Qualquer conjunto M pode tornar-se um espaço métrico de maneira muito simples. Basta de…nir a métrica d : M M ! R pondo d(x; x) = 0 e d(x; y) = 1 se x6= y. De fato, para todo x; y; z 2 M,
d1) d(x; x) = 0 por de…nição;
d2) Se x 6= y então d(x; y) = 1 por de…nição. Logo d(x; y) > 0; d3) Se x 6= y, então d(x; y) = 1 = d(y; x);
d4) Para provar a quarta condição precisamos dividir em casos. Temos que pode ocorrer x = z ou x 6= z.
1) Se x = z então d(x; z) = 0, e pelas condições d1) e d2) da de…nição de métrica d(x; y) + d(y; z) 0. Logo d(x; z) d(x; y) + d(y; z);
2) Se x 6= z e:
2’) x = y então y 6= z. Assim, d(x; z) = d(y; z) = 1 e d(x; y) = 0. Portanto d(x; z) = 1 = 0 + 1 = d(x; y) + d(y; z);
2”) x 6= y então d(x; z) = 1 1 + d(y; z) = d(x; y) + d(y; z).
O espaço métrico que se obtém desta maneira é, naturalmente, bastante trivial, embora seja útil para contra exemplos.
Exemplo 2.1.5 Métrica usual da reta. A reta, ou seja, o conjunto R dos números reais, é o exemplo mais importante de espaço métrico. A distância entre dois pontos x; y 2 R é dada por d(x; y) =j x yj. As condições d1) a d4) resultam imediatamente das propriedades elementares do valor absoluto de números reais. De fato, para todo x; y; z2 R,
2.1. DEFINIÇÃO E EXEMPLOS DE ESPAÇOS MÉTRICOS d1) d(x; x) = jx xj = j0j = 0;
d2) Se x 6= y então d(x; y) = jx yj > 0;
d3) d(x; y) = jx yj = j (x y)j = jy xj = d(y; x); d4) d(x; z) = jx zj jx yj + jy zj = d(x; y) + d(y; z).
A menos que seja feita menção explícita em contrário, é ela que nos referimos sempre que considerarmos R como espaço métrico.
Exemplo 2.1.6 O conjunto Q dos números racionais com a métrica induzida pela reta é um espaço métrico. De fato, para todo x; y; z 2 Q, temos que x; y; z 2 R. Assim
d1) d (x; x) = jx xj = j0j = 0;
d2) Se x 6= y então d (x; y) = jx yj > 0;
d3) d (x; y) = jx yj = j (x y)j = jy xj = d (y; x); d4) d(x; z) = jx zj jx yj + jy zj = d(x; y) + d(y; z).
De…nição 2.1.7 Seja X um conjunto arbitrário. Uma função real f : X ! R chama-se limitada quando existir uma constante k = kf > 0 tal que jf (x)j k para todo
x2 X. Indicaremos com B(X; R) o conjunto das funções limitadas f : X ! R.
Proposição 2.1.8 A soma, a diferença e o produto de funções limitadas são ainda limitadas.
Demonstração: Sejam f; g 2 B(X; R). Então existem kf e kg positivos tais que
jf(x)j kf e jg(x)j kg para todo x 2 X.
Para todo x 2 X, temos que
j(f + g)(x)j = jf(x) + g(x)j : Pela propriedade do valor absoluto
jf(x) + g(x)j jf(x)j + jg(x)j kf + kg:
Logo, f + g é limitada. O caso f g é análogo. Para todo x 2 X, temos que
2.1. DEFINIÇÃO E EXEMPLOS DE ESPAÇOS MÉTRICOS
j(f g)(x)j = jf(x) g(x)j jf(x)j jg(x)j kf kg.
Logo, f g é limitada.
Observação 2.1.9 Dadas f; g 2 B(X; R) tem-se que sup(f + g) sup f + sup g. Com efeito, sejam f; g 2 B(X; R). Sabemos que f (x) sup f e g (x) sup g para todo x2 X. Daí,
f (x) + g (x) sup f + sup g para todo x 2 X.
Suponhamos que sup(f + g) > sup f + sup g, assim existe x0 2 X tal que
f (x0) + g (x0) > sup f + sup g. Absurdo! Logo sup(f + g) sup f + sup g.
Exemplo 2.1.10 Para f (x) = x2 e g (x) = x2 + 2x 1, temos sup f = sup g = 0 e sup(f + g) = 1=2, ou seja, sup(f + g) < sup f + sup g.
Exemplo 2.1.11 (Métrica do sup.) De…niremos agora uma métrica em B(X; R) pondo, para f; g 2 B(X; R) arbitrárias,
d(f; g) = sup
x2Xjf(x)
g(x)j . Vejamos que d é uma métrica.
Como d : B(X; R) B(X; R) ! R e R é completo, o supremo é atingido. Sejam (f1; g1) ; (f2; g2)2 B(X; R) B(X; R) com (f1; g1) = (f2; g2). Assim,
d (f1; g1) = sup x2Xjf
1(x) g1(x)j = sup x2Xjf
2(x) g2(x)j = d (f2; g2).
2.1. DEFINIÇÃO E EXEMPLOS DE ESPAÇOS MÉTRICOS d1) d(f; f ) = sup x2Xjf(x) f (x)j = sup x2Xj0j = 0;
d2) Se f 6= g então existe x0 2 X tal que f(x0)6= g(x0). Assim,
d(f; g) = sup
x2Xjf(x)
g(x)j jf(x0) g(x0)j > 0;
d3) Pela propriedade do valor absoluto d (f; g) = sup x2Xjf(x) g(x)j = sup x2Xj (f(x) g(x))j = sup x2Xjg(x) f (x)j = d(g; f ). d4) d(f; h) = sup x2Xjf(x) h(x)j = sup x2Xjf(x) g(x) + g(x) h(x)j . Pela desigualdade triângular
sup
x2Xjf(x)
g(x) + g(x) h(x)j sup
x2X
2.2. BOLAS Pela Observação anterior
sup x2X (jf(x) g(x)j + jg(x) h(x)j) sup x2Xjf(x) g(x)j + sup x2Xjg(x) h(x)j = d(f; g) + d(g; h). Portanto, d(f; h) d(f; g) + d(g; h). Logo d é uma métrica no conjunto B(X; R).
2.2
Bolas
Seja a um ponto no espaço métrico M . Dado um número real r > 0, de…nimos: De…nição 2.2.1 A bola aberta de centro a e raio r é o conjunto B(a; r) dos pontos de M cuja distância ao ponto a é menor do que r. Ou seja,
B(a; r) =fx 2 M; d(x; a) < rg.
De…nição 2.2.2 A bola fechada de centro a e raio r é o conjunto B[a; r], formado pelos pontos de M que estão a uma distância menor do que ou igual a r do ponto a. Ou seja
B[a; r] =fx 2 M; d(x; a) rg.
Exemplo 2.2.3 Com a métrica usual da reta, para todo a 2 R e todo r > 0, a bola aberta de centro a e raio r é o intervalo aberto (a r; a + r), pois a condição d(x; a) =jx aj < r equivale a r < x a < r, ou seja, a r < x < a + r.
Seja M um espaço métrico. Um ponto a 2 M chama-se um ponto isolado de M quando ele é uma bola aberta em M , ou seja, quando existe r > 0 tal que B(a; r) = fag. Isto signi…ca, evientemente, que, além do próprio a, não existem outros pontos de M a uma distância de a inferior a r.
Dizer que um ponto a 2 M não é isolado signi…ca, portanto, a…rmar que para todo r > 0pode-se encontrar um ponto x 2 M tal que d(a; x) < r.
2.2. BOLAS Exemplo 2.2.4 Seja Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g o conjunto dos números inteiros com a métrica induzida pela métrica usual da reta. Todo ponto n 2 Z é isolado pois, tomando r = 1, vemos que se x 2 Z é tal que x 2 B(n; 1), então jx nj < 1 e, portanto, x = n.
Exemplo 2.2.5 Seja P = f0; 1; 1=2; : : : ; 1=n; : : :g R, ainda com a métrica d(x; y) = jx yj. O ponto 0 não é isolado em P . Com efeito, dado qualquer r > 0, existe um número natural n tal que n > 1=r. Então 0 < 1=n < r e, portanto, 1=n é um ponto da bola B(0; r) , diferente do seu centro 0. Mas todo ponto 1=n é isolado em P . Com efeito, o ponto de P mais próximo de 1=n é 1=(n+1), cuja distância a 1=n é 1=n(n+1). Então, no espaço P , se tomarmos 0 < r < 1=n(n + 1), a bola aberta B(1=n; r) contém apenas o seu centro 1=n. Em particular, no subespaço P0 =f1; 1=2; : : : ; 1=n; : : :g, todo
ponto é isolado.
De…nição 2.2.6 Um espaço métrico M chama-se discreto quando todo ponto de M é isolado.
Por exemplo, um espaço com a mérica zero-um é discreto. Nos exemplos 2.2.4 e 2.2.5, Z e P0 são espaços discretos.
De…nição 2.2.7 Um subconjunto X M chama-se discreto quando o subespaço X (métrica induzida) é discreto. Isto signi…ca que, para cada x 2 X existe uma bola aberta B(x; r) tal que X \ B(x; r) = fxg.
Proposição 2.2.8 Dados os pontos a 6= b num espaço métrico M, sejam r > 0 e s > 0 tais que r + s d(a; b). Então as bolas abertas B(a; r) e B(b; s) são disjuntas.
Demonstração: Se existisse algum ponto x 2 B(a; r) \ B(b; s), teríamos d(a; x) < r e d(b; x) < s. Daí
d(a; b) d(a; x) + d(x; b) < r + s, um absurdo.
Corolário 2.2.9 Se r + s < d(a; b) então as bolas fechadas B[a; r] e B[b; s] são disjuntas.
2.3. CONJUNTOS LIMITADOS DE UM ESPAÇO MÉTRICO
2.3
Conjuntos limitados de um espaço métrico
Um subconjunto X de um espaço métrico M chama-se limitado quando existe uma constante c > 0 tal que d(x; y) cpara quaisquer x; y 2 X. O menor desses números c será chamado o diâmetro de X. Ora, dizer que x; y 2 X ) d(x; y) csigni…ca a…rmar que c é uma cota superior para o conjunto das distâncias d(x; y) entre os pontos de X. A menor das cotas superiores de um conjunto de números reais chama-se o supremo desse conjunto. Logo, podemos de…nir o diâmetro de um conjunto limitado X M como o número real
diam(X) = supfd(x; y); x; y 2 Xg:
Às vezes, para indicar que X não é limitado, escreve-se diam(X) = 1. Isto signi…ca que, dado arbitrariamente um número real c, podem-se obter pontos xc; yc 2 X tais
que d(xc; yc) > c.
Exemplo 2.3.1 Vendo R como um espaço métrico, podemos interpretar a de…nição de um conjunto limitado de números reais da seguinte forma: um subconjunto X R chama-se limitado quando existe uma constante c > 0 tal que para qualquer x 2 X tem-se d (x; 0) = jxj c.
Proposição 2.3.2 Se X é limitado e Y X então Y também é limitado, valendo diam(Y ) diam(X).
Demonstração: Como X é limitado então existe uma constante c > 0 tal que d(x; y) c para quaisquer x; y 2 X. Sejam x0; y0 2 Y . Como Y X, segue que
x0; y0 2 X, logo d(x0; y0) c. Vejamos agora que diam(Y ) diam(X). Suponhamos que diam(Y ) > diam(X), então diam(X) não é cota superior do conjunto A = fd(a; b); a; b 2 Y g. Isso quer dizer que existem y1; y2 2 Y tais que diam(X) < d(y1; y2).
Absurdo! Pois y1; y2 2 Y X e diam(X) d(x; y) para todo x; y 2 X.
Ao fazer considerações sobre o diâmetro de um conjunto X, convém supor que X6= ?. Isto será admitido implicitamente.
Exemplo 2.3.3 Toda bola B(a; r) é um conjunto limitado e seu diâmetro não excede 2r. Com efeito, dados x; y 2 B(a; r) temos d(x; a) < r e d(y; a) < r. Por de…nição d(x; y) d(x; a) + d(a; y). Portanto d(x; y) d(x; a) + d(a; y) < r + r = 2r.
Exemplo 2.3.4 Se X e Y são limitados então X [ Y é limitado. Com efeito, …xemos um ponto a 2 X e um ponto b 2 Y . (O resultado é óbvio se X = ? ou Y = ?.)
2.3. CONJUNTOS LIMITADOS DE UM ESPAÇO MÉTRICO Existe c > 0 tal que d(x; a) c e d(y; b) c para todo x 2 X e y 2 Y .Então, pondo k = 2c + d(a; b), temos, para x 2 X e y 2 Y arbitrários: d(x; y) d(x; a) + d(a; y) e d(a; y) d(a; b) + d(b; y), daí d(x; y) d(x; a) + d(a; b) + d(b; y) c + d(a; b) + c = k. A desigualdade d(x; y) k é evidente quando x; y 2 X ou x; y 2 Y . Logo vale d(x; y) k para x e y quaisquer em X [ Y , o que mostra que a reunião X [ Y é um conjunto limitado.
Observação 2.3.5 Aplicando este resultado n 1 vezes, concluímos que a reunião X1[ : : : [ Xn de n conjuntos limitados é um conjunto limitado.
Capítulo 3
Funções Contínuas
3.1
De…nição e exemplos
De…nição 3.1.1 Sejam M; N espaços métricos. Diz-se que a aplicação f : M ! N é contínua no ponto a 2 M quando, para todo " > 0 dado, é possível obter > 0 tal que d(x; a) < implica d(f (x); f (a)) < ".
Diz-se que f : M ! N é contínua quando ela é contínua em todos os pontos a 2 M. Equivalentemente, f : M ! N é contínua em a 2 M quando, dada qualquer bola B0 = B(f (a); ") de centro f (a), pode-se encontrar uma bola B = B(a; ), de centro a, tal que f (B) B0.
No importante caso particular em que M R e f : M ! R, dizer que f é contínua no ponto a 2 M signi…ca que para todo " > 0, existe > 0, tal que x 2 M e a < x < a + implicam f (a) " < f (x) < f (a) + ". Ou seja, f transforma os pontos de M que estão no intervalo aberto (a ; a + )em pontos do intervalo aberto (f (a) "; f (a) + ").
Observação 3.1.2 A noção de continuidade num ponto é local, isto é, depende apenas do comportamento de f nas proximidades do ponto.
Exemplo 3.1.3 Continuidade em espaços discretos. Se a 2 M é um ponto isolado, então toda aplicação f : M ! N é contínua no ponto a. Com efeito, dado " > 0, basta tomar > 0 tal que B(a; ) =fag. Então d(x; a) < ) x = a ) d(f(x); f(a)) = 0 < ". Em consequência, se M é discreto, toda aplicação f : M ! N é contínua.
3.2. CONTINUIDADE UNIFORME De…nição 3.1.4 Descontinuidade. Se f : M ! N não é contínua no ponto a, diz-se que f é descontínua nesse ponto. Isto signi…ca que existe " > 0 com a seguinte propriedade: para todo > 0, pode-se obter x 2 M tal que d(x ; a) < e d(f (x ); f (a)) ".
3.2
Continuidade uniforme
De…nição 3.2.1 Sejam M; N espaços métricos. Uma aplicação f : M ! N diz-se uniformemente contínua quando, para todo " > 0 dado, existir > 0 tal que, sejam quais forem x; y 2 M, d(x; y) < ) d (f (x) ; f (y)) < ".
Evidentemente, toda aplicação uniformemente contínua é uma particular aplicação contínua, para a qual a escolha de a partir do " dado é idenpendente do ponto onde se analisa a continuidade. De fato, seja f : M ! N uma aplicação uniformemente contínua. Assim, para todo " > 0 dado, existe > 0 tal que, sejam quais forem x; y 2 M, d (x; y) < implica d (f (x) ; f (y)) < ". Logo, se a 2 M, então d (x; a) < implica d (f (x) ; f (a)) < ".
Exemplo 3.2.2 A função f : R ! R, de…nida por f (x) = x2, é contínua e não
é uniformemente contínua. De fato, dado " > 0 tomamos = min 1; " 2jaj + 1 . Assim, se jx aj < , então + a < x < + a, e como jaj a, jaj + a < x < + a +jaj , ou seja, jxj < jaj + jaj + 1.
3.2. CONTINUIDADE UNIFORME A partir daí jf (x) f (a)j = x2 a2 =jx aj jx + aj < jx + aj (jxj + jaj) < (2jaj + 1) ".
Logo, jx aj < ) jf (x) f (a)j < " e, portanto, f é contínua.
Vejamos que f não é uniformemente contínua. Se pegarmos y = x + n, então jf (x) f (y)j = j 2xn n2j = j2xn + n2j. Para qualquer " > 0, mesmo tomando n bem pequeno, podemos pegar um x grande de tal forma que j2xn + n2
j > ", isto é, dado " > 0, para todo > 0, mesmo se …zermos jx yj = jnj < dependendo do valor de x teríamos jf (x) f (y)j > ".
Exemplo 3.2.3 Dada f : M ! N, suponhamos que exista uma constante c > 0 (chamada constante de Lipschitz) tal que d(f (x); f (y)) c d(x; y) quaisquer que sejam x; y 2 M. Dizemos então que f é uma aplicação lipschitiziana. Neste caso, f é uniformemente contínua. De fato, se d (f (x) ; f (y)) c d (x; y) para quaisquer x; y 2 M, então dado " > 0, nós tomamos = "=c. De d (x; y) < segue-se d (f (x) ; f (y)) c d (x; y) < c = ".
Exemplo 3.2.4 Se f : M ! N é tal que d (f (x) ; f (y)) d (x; y) para qualquer x; y 2 M, dizemos que f é uma contração fraca. Neste caso f é lipschitziana (com c = 1) e portanto uniformemente contínua.
Capítulo 4
Limites
4.1
Limites de sequências
Uma sequência num conjunto M é uma aplicação x : N ! M. O valor que a sequência x assume no número n 2 N será indicado por xn, em vez de x(n), e
chamar-se-á o n-ésimo termo da sequência.
Usaremos as notações (x1; x2; : : : ; xn; : : :), (xn)n2N, ou (xn) para representar uma
sequência. Por outro lado, escreveremos fx1; x2; : : : ; xn; : : :g, fxn; n2 Ng ou x(N) para
indicar o conjunto dos valores, ou o conjunto dos termos da sequência. Este conjunto não deve ser confundido com a sequência.
Exemplo 4.1.1 Se de…nirmos x : N ! R pondo xn = ( 1)n, então obteremos
a sequência ( 1; 1; 1; 1; : : :), cujo conjunto de valores é f 1; 1g. Vemos assim que entre os termos xn da sequência pode ocorrer repetições, isto é, pode-se ter xm = xn
com m 6= n. Quando a aplicação x : N ! M for injetiva, ou seja, quando m 6= n ) xm 6= xn, diremos que (xn) é uma sequência de termos distintos, ou sem
repetições.
Uma subsequência de (xn)é uma restrição da aplicação n 7! xn a um subconjunto
in…nito N0 = fn
1 < n2 < : : : < nk < : : :g de N. A subsequência é indicada pelas
notações (xn1; xn2; : : : ; xnk; : : :), (xn)n2N0, (xnk)k2N ou, simplesmente, (xnk).
Exemplo 4.1.2 A sequência (4; 16; 64; : : : ; 4k; : : :)
é uma subsequência de (2; 4; 8; 16; : : : ; 2n
; : : :), na qual N0 é o conjunto dos números
4.1. LIMITES DE SEQUÊNCIAS De…nição 4.1.3 Uma sequência (xn) no espaço métrico M chama-se limitada quando
o conjunto dos seus termos é limitado, isto é, quando existe c > 0 tal que d(xm; xn) c
para quaisquer m; n 2 N.
Exemplo 4.1.4 Uma sequência constante (xn = a para todo n) ou, mais geralmente,
uma sequência que assume apenas um número …nito de valores, é evidentemente limitada.
Seja (xn)uma sequência num espaço métrico M . Diz-se que o ponto a 2 M é limite
da sequência (xn)quando, para todo número " > 0 dado arbitrariamente, pode-se obter
n0 2 N tal que n > n0 ) d(xn; a) < ". Escreve-se então a = lim xn, a = lim n xn ou
a = lim
n2Nxn. Diz-se também que xn tende para a e escreve-se ainda xn ! a.
Quando existe a = lim xn 2 M, diz-se que a sequência de pontos xn 2 M é
convergente em M , e converge para a. Se não existir lim xn em M , dizemos que a
sequência é divergente em M .
Exemplo 4.1.5 Toda sequência constante xn = a, é evidentemente convergente e
lim xn= a.
As considerações que se seguem visam a facilitar um entendimento melhor da de…nição de limite, bem como a estabelecer uma linguagem maleável para lidar com valores "grandes" da variável inteira n.
Seja X um conjunto de números naturais. Diremos que X contém números arbitrariamente grandes quando, para todo n0 2 N dado, pudermos encontrar n 2 X tal
que n > n0. Isto signi…ca que X é um subconjunto ilimitado de N e equivale também
a dizer que X é um conjunto in…nito de números naturais.
Diremos que o conjunto X N contém todos os números naturais su…cientemente grandes quando existe n0 2 N tal que n > n0 ) n 2 X. Isto equivale a dizer que o
complementar N X é …nito. Em particular, X é in…nito.
Seja (xn) uma sequência no espaço métrico M . Dizer que lim xn = a 2 M
signi…ca que, dada qualquer bola aberta B, de centro a, tem-se xn 2 B para todo
n su…cientemente grande.
Proposição 4.1.6 Toda sequência convergente é limitada.
Demonstração: Seja lim xn = a num espaço métrico M . Tomando " = 1, obtemos
4.1. LIMITES DE SEQUÊNCIAS está contido na reunião fx1; : : : ; xn0g [ B(a; 1) de dois conjuntos limitados, logo é
limitado. Segue da de…nição de sequência limitada que xn é limitada.
Proposição 4.1.7 (Unicidade do limite). Uma sequência não pode convergir para dois limites diferentes.
Demonstração: Seja (xn)uma sequência no espaço métrico M , e sejam a; b 2 M tais
que a = lim xn e b = lim xn. Dado arbitrariamente " > 0, existe n0 2 N tal que n >
n0 ) d(xn; a) < ". Existe também n1 2 N tal que n > n1 ) d(xn; b) < ". Tomemos
agora n 2 N maior do que n0 e do que n1, então d(a; b) d(a; xn) + d(xn; b) < 2".
Segue-se que 0 d(a; b) < 2" para todo " > 0. Isto acarreta d(a; b) = 0 e, portanto, a = b.
Segue-se da Proposição anterior que se num espaço métrico M tem-se lim xn= a2
M e xn6= a para todo n, então a sequência (xn)é divergente no espaço métrico M fag.
Com efeito, se existisse b 2 M fag tal que lim xn= b, então b 6= a e a sequência teria
dois limites distintos a; b 2 M.
Proposição 4.1.8 Se lim xn = a então toda subsequência de (xn) converge para a.
Demonstração: Seja N0 = fn1 < n2 < : : : < nk < : : :g um subconjunto in…nito
de N. Dado qualquer " > 0, existe n0 2 N tal que n > n0 ) d(xn; a) < ". Existe
também k0 2 N tal que nk0 > n0. Logo k > k0 ) nk > n0 ) d(xnk; a) < ". Portanto
lim
k!1xnk = limn2Nxn= a.
Corolário 4.1.9 Se lim xn = a então, para todo p2 N, tem-se lim
n xn+p = a.
Demonstração: Com efeito (xn+p)n2N= (x1+p; x2+p; : : :)é uma subsequência de (xn).
Proposição 4.1.10 Um ponto a, num espaço métrico M , é limite de uma subsequência de (xn) se, e somente se, toda bola aberta de centro a contém termos de xn com índices
n arbitrariamente grandes.
Demonstração: Se uma subsequência (xn1; xn2; : : : ; xnk; : : :) converge para a então,
dado " > 0, existe k0 2 N tal que k > k0 ) xnk 2 B(a; "). Logo toda bola
B(a; ") de centro a contém termos de xn com índeces arbitrariamente grandes, a
4.2. SEQUÊNCIA DE NÚMEROS REAIS condição, a bola B(a; 1) contém um termo xn1, a bola B(a; 1=2) contém um termo
xn2 com índice n2 > n1, e assim por diante: para todo k 2 N, podemos achar
xnk 2 B(a; 1=k) com nk > nk 1 > : : : > n2 > n1. Isto de…ne um subconjunto in…nito
N0 = fn
1 < n2 < : : : < nk < : : :g e uma subsequência (xnk) tal que d(xnk; a) < 1=k.
Segue-se que lim
k!1xnk = a.
4.2
Sequência de números reais
Uma sequência (xn) de números reais diz-se crescente quando se tem x1 < x2 <
: : : < xn < : : :, isto é , xn < xn+1 para todo n 2 N. Quando vale apenas xn xn+1, a
sequência diz-se não-decrescente. Analogamente se de…nem sequências decrescentes e não-crescentes. Uma sequência de um desses quatro tipos é chamada monótona. Proposição 4.2.1 Toda sequência monótona limitada de números reais é convergente: Demonstração: Para …xar as ideias, seja (x1 x2 : : : xn : : :) a sequência
limitada em questão. Tomemos a = sup
n2N
xn. A…rmamos que a = lim xn. Com efeito,
dado arbitrariamente " > 0, o número a ", sendo menor do que a, não pode ser cota superior do conjunto dos valores xn. Logo existe n0 2 N tal que a " < xn0 a.
Então n > n0 ) a " < xn0 xn a < a + " ) a " < xn < a + ". Isto conclui a
demonstração.
4.3
Sequências de funções
De…nição 4.3.1 Diremos que a sequência de aplicações fn : X ! M converge
uniformemente em X para a aplicação f : X ! M quando, para todo número real " > 0 dado, for possível obter n0 2 N tal que n > n0 ) d (fn(x) ; f (x)) < ", qualquer
que seja x 2 X.
Teorema 4.3.2 Sejam M; N espaços métricos. Se uma sequência de aplicações fn :
M ! N, contínuas no ponto a 2 M, converge uniformemente em M para uma aplicação f : M ! N então f é contínua no ponto a.
Demonstração: Para provar que f é contínua no ponto a, supomos dado " > 0 e escolhemos um número natural n tal que d (fn(x) ; f (x)) <
"
4.3. SEQUÊNCIAS DE FUNÇÕES Como fn é contínua no ponto a, existe > 0 tal que d (x; a) < em M implica
d (fn(x) ;6 fn(a)) <
"
3. Então, para todo x 2 M com d (x; a) < , temos: d (f (x) ; f (a)) d (f (x) ; fn(x)) + d (fn(x) ; fn(a)) + d (fn(a) ; f (a))
< " 3+ " 3+ " 3 = ".
Corolário 4.3.3 O limite uniforme de uma sequência de aplicações contínuas fn :
Capítulo 5
Espaços Métricos Completos
5.1
Sequências de Cauchy
De…nição 5.1.1 Uma sequência (xn) num espaço métrico M chama-se uma sequência
de Cauchy quando, para todo " > 0 dado, existir n0 2 N tal que m; n > n0 )
d(xm; xn) < ".
A …m de que uma sequência (xn)seja de Cauchy, é necessário e su…ciente que, para
cada " > 0 dado, exista n0 2 N tal que n > n0 ) d(xn; xn+p) < " qualquer que seja
p 2 N. (Basta chamar de n o menor dos números m; n da de…nição anterior e por m = n + p.)
Intuitivamente, os termos de uma sequência de Cauchy vão se tornando cada vez mais próximos uns dos outros, à medida que cresce o índice n.
Ser de Cauchy é uma propriedade intrínseca da sequência; depende apenas dos seus termos, mas não da existência de outros pontos no espaço (em contraste com a propriedade de ser convergente). Assim, se M N, uma sequência de pontos xn 2 M
é de Cauchy em M se, e somente se, é de Cauchy em N .
Quando os termos de uma sequência se aproximam de um ponto …xado, eles devem necessariamente aproximar-se uns dos outros.
Proposição 5.1.2 Toda sequência convergente é de Cauchy:
Demonstração: Se lim xn = a no espaço métrico M então, dado " > 0, existe n0 2 N
tal que n > n0 ) d(xn; a) < "=2. Se tomarmos m; n > n0 teremos
d(xm; xn) d(xm; a) + d(xn; a) <
" 2 +
" 2 = ".
5.1. SEQUÊNCIAS DE CAUCHY Logo, (xn) é de Cauchy.
Exemplo 5.1.3 Nem toda sequência de Cauchy é convergente. Para ver isto, tomemos uma sequência de números racionais xnconvergindo para um número irracional a. (Por
exemplo, x1 = 1; x2 = 1; 4; x3 = 1; 41; x4 = 1; 414; : : : ; com lim xn =
p
2.) Sendo convergente em R, segue-se da Proposição 5.1.2 que (xn) é uma sequência de Cauchy
no espaço métrico Q dos números racionais. Mas evidentemente (xn) não é convergente
em Q.
Proposição 5.1.4 Toda sequência de Cauchy é limitada.
Demonstração: Seja (xn) uma sequência de Cauchy no espaço métrico M . Dado
" = 1, existe n0 2 N tal que m; n > n0 ) d(xm; xn) < 1. Logo o conjunto
fxn0+1; xn0+2; : : :g é limitado e tem diâmetro menor do que ou igual a 1. Segue-se
que o conjunto dos valores da sequência
fx1; x2; : : : ; xn; : : :g = fx1; : : : ; xn0g [ fxn0+1; xn0+2; : : :g
é limitado. Portanto xn é limitada.
Exemplo 5.1.5 Nem toda sequência limitada é de Cauchy. O exemplo mais simples é dado por (1; 0; 1; 0; : : :) na reta. Embora limitada, esta sequência não é de Cauchy pois d(xn; xn+1) = 1 para todo n.
Proposição 5.1.6 Uma sequência de Cauchy que possui uma subsequência convergente é convergente (e tem o mesmo limite que a subsequência).
Demonstração: Sejam (xn) uma sequência de Cauchy no espaço métrico M e (xnk)
uma subsequência que converge para o ponto a 2 M. A…rmamos que lim xn= a. Com
efeito, dado " > 0, existe p 2 N tal que nk > p ) d(xnk; a) < "=2. Existe também
q 2 N tal que m; n > q ) d(xm; xn) < "=2. Seja n0 = maxfp; qg. Para todo n > n0
existe nk > n0 e então d(xn; a) d(xn; xnk) + d(xnk; a) < " 2+ " 2 = ". Logo lim xn= a.
5.2. ESPAÇOS MÉTRICOS COMPLETOS
5.2
Espaços métricos completos
Diz-se que o espaço métrico M é completo quando toda sequência de Cauchy em M é convergente.
Exemplo 5.2.1 O espaço Q dos números racionais não é completo. (Vide Exemplo 5.1.3.)
Todo espaço M com a métrica zero-um é completo. De fato, sejam M um espaço com a métrica zero-um e (xn) uma sequência de Cauchy em M . Assim, dado " = 1,
existe n0 2 N tal que n > n0 ) d(xn; xn+p) < 1 qualquer que seja p 2 N. Como d
é a métrica zero-um, segue que d(xn; xn+p) = 0 e, portanto, xn = xn+p qualquer que
seja p 2 N, ou seja, a partir de um certo índice n0 a sequência (xn) é constante. Desse
modo, existe a 2 M tal que n > n0 ) xn = a. Dado " > 0 qualquer, temos que
n > n0 ) d (xn; a) = 0 < ". Portanto lim xn= a.
Nem todo espaço métrico discreto, porém, é completo, como se vê tomando P = f1; 1=2; : : : ; 1=n; : : :g, onde xn = 1=n fornece uma sequência de Cauchy que não
converge em P .
Diremos que uma métrica d, num espaço M , é uniformemente discreta quando existir " > 0 tal que x; y 2 M, d(x; y) < " ) x = y. Neste caso, se (xn) é uma sequência de
Cauchy em M , existe n0 tal que m; n > n0 ) d(xm; xn) < " ) xm = xn. Assim, toda
sequência de Cauchy num espaço uniformemente discreto é constante a partir de um certo índice n0, e portanto convergente. Tais espaços são completos.
Exemplo 5.2.2 Tomando-se P = f1; 1=2; : : : ; 1=n; : : :g, primeiro com sua métrica usual e depois com a métrica zero-um, obtemos duas métricas tais que P é completo em relação a uma delas porém não em relação à outra.
A proposição seguinte, devida a Cauchy, estabelece o exemplo mais importante de espaço métrico completo.
Proposição 5.2.3 A reta é um espaço métrico completo.
Demonstração: Seja (xn) uma sequência de Cauchy em R. Pondo, para cada
n 2 N, Xn = fxn; xn+1; : : :g, temos X1 X2 : : : Xn : : : e, pela Proposição
5.1.4, os conjuntos Xn são limitados. Seja an = inf Xn(n = 1; 2; 3 : : :). Então
5.3. O MÉTODO DAS APROXIMAÇÕES SUCESSIVAS existe o número a = lim an. A…rmamos que a = lim xn. Para provar isto, basta mostrar
que a é limite de uma subsequência de (xn), ou seja, que dados arbitrariamente " > 0
e n1 2 N, podemos obter n > n1 tal que xn 2 (a "; a + "). (Vide proposição 5.1.6 e
Proposição 4.1.10). Ora, sendo a = lim an, existe m > n1 tal que a " < am < a + ".
Como am = inf Xm, existe n > m (e portanto n > n1) tal que am xn < a + ", isto é,
xn 2 (a "; a + ").
5.3
O método das aproximações sucessivas
Um ponto …xo de uma aplicação f : M ! M é um ponto x 2 M tal que f(x) = x. Exemplo 5.3.1 A aplicação f : R ! R, dada por f(x) = x2, tem dois pontos …xos,
a saber 0 e 1. Os pontos …xos de uma função real de variável real f são abscissas dos pontos do plano em que o grá…co intersecta a diagonal y = x.
De…nição 5.3.2 Sejam M; N espaços métricos. Uma aplicação f : M ! N chama-se uma contração quando existir uma constante c, com 0 c < 1, tal que d(f (x); f (y)) c d(x; y) para quaisquer x; y2 M.
Proposição 5.3.3 Seja f : I ! R uma função real derivável no intervalo I. Se existir uma constante c tal que jf0(x)j c < 1 para todo x2 I, então f é uma contração.
Essa proposição é consequência do Teorema do Valor Médio de Lagrange, o que se distância do foco do trabalho. Portanto, o interessado na demonstração desse resultado veja referência [4], seção 4, p. 96-98.
Teorema 5.3.4 Teorema de Banach, sobre pontos …xos de contrações. Se M é um espaço métrico completo, toda contração f : M ! M possui um único ponto …xo em M . Mais precisamente, se escolhermos um ponto qualquer x0 2 M e pusermos
x1 = f (x0); x2 = f (x1); : : : ; xn+1 = f (xn); : : : a sequência (xn) converge em M e
a = lim xn é o único ponto …xo de f .
Demonstração: Admitamos, por enquanto, que a sequência (xn) convirja para um
ponto a 2 M. Então, como f é contínua, temos f(a) = f(lim xn) = lim f (xn) =
lim xn+1 = a, logo a é ponto …xo de f . Mostremos agora que f não admite dois pontos
5.4. ALGUMAS APLICAÇÕES 0 c < 1, para x; y 2 M quaisquer, então d(a; b) = d(f(a); f(b)) c d(a; b), donde (1 c) d(a; b) 0. Como 1 c > 0e d(a; b) 0, então (1 c) d(a; b) = 0, concluímos que d(a; b) = 0, ou seja, a = b. Só nos resta, portanto, mostrar que (xn) converge em
M, e como M é completo, basta mostrar que (xn) é uma sequência de Cauchy em M .
Ora,
d(x1; x2) = d(f (x0); f (x1)) c d(x0; x1);
d(x2; x3) = d(f (x1); f (x2)) c d(x1; x2) c2 d(x0; x1)
e, em geral, temos d(xn; xn+1) cn d(x0; x1) para todo n 2 N. Segue-se que, para
n; p2 N quaisquer: d(xn; xn+p) d(xn; xn+1) + d(xn+1; xn+2) + : : : + d(xn+p 1; xn+p) [cn+ cn+1+ : : : + cn+p 1] d(x0; x1) = = cn[1 + c + : : : + cp 1] d(x0; x1) c n 1 c d(x0; x1): Como lim n!1c n = 0, concluímos que (x
n) é uma sequência de Cauchy em M , o que
completa a demonstração.
5.4
Algumas aplicações
A elaboração do exemplo a seguir foi baseda nas referências [1] e [2].
Exemplo 5.4.1 Dada f : R ! R de…nida por f (x) = x cos (cos x), podemos considerar a função : R ! R de…nida por = cos (cos x). Como R é um espaço métrico completo, se for uma contração, podemos utilizar o Teorema do Ponto Fixo de Banach para encontrar a solução da equação não linear f (x) = 0, já que isso implica em x = cos(cos x) = (x). Então o nosso problema se resume a encontrar o ponto …xo da função .
Vejamos que é uma contração. Temos que 0(x) = sen (cos x) senx, e j 0(x)j = jsen (cos x) senxj < 1
2 < 1,
para todo x 2 R. Logo, pela Proposição 5.3.3, é uma contração. Portanto, a equação não linear x = cos (cos x) possui uma única solução em R.
5.4. ALGUMAS APLICAÇÕES O teorema sugere criar a sequência xn+1 = (xn), e escolhendo x0 = 0; 5 como a
aproximação inicial obtemos:
x1 = cos (cos 0; 5) = 0; 6390124941
x2 = cos(cos 0; 6390124941) = 0; 6947780267
x3 = cos (cos 0; 6947780267) = 0; 7191654459
x4 = cos (cos 0; 7191654459) = 0; 7300810631
x5 = cos (cos 0; 7300810631) = 0; 7350063090
Após 30 iterações chegamos ao resultado, com precisão de 10 casas decimais, x = 0; 7390851332.
O Teorema de Banach, sobre pontos …xos de contrações, pode ser utilizado para provar a existência e a unicidade da solução de um problema de valor inicial.
Para demonstrar o teorema da existência e unicidade precisamos primeiramente enunciar alguns lemas que, por não ser o foco do estudo feito nesse trabalho, não serão demonstrados.
Lema 5.4.2 Um conjunto X R é compacto (fechado e limitado) se, e somente se, toda sequência de pontos em X possui uma subsequência que converge para um ponto de X.
Demonstração: Ver referência [4].
Lema 5.4.3 Seja f : ! R uma função contínua num aberto do plano (x; y). Então, uma função diferenciável : I ! R é uma solução do problema de valor inicial
y0 = f (x; y) , y (x0) = y0
se, e somente se, for uma solução da equação integral y (x) = y0+
Z x x0
f (s; y (s)) ds; x2 I.
Demonstração: A demonstração desse resultado pode ser feita pelo Teorema Fundamental do Cálculo.
5.4. ALGUMAS APLICAÇÕES Lema 5.4.4 Seja f : ! R uma função contínua de…nida em um aberto do plano (x; y) e tal que a derivada parcial fy : ! R seja também contínua. Dado
um subconjunto limitado 0 0 , existe uma constante K > 0 tal que
jf (x; y1) f (x; y2)j Kjy1 y2j
para todos (x; y1) ; (x; y2)2 0.
Demonstração: Ver referência [3].
A demonstração do teorema abaixo foi feita tomando como base o livro [3].
Teorema 5.4.5 (Existência e Unicidade.) Seja f : ! R uma função contínua de…nida num aberto do plano (x; y). Suponhamos que a derivada parcial com relação à segunda variável, fy : ! R, seja contínua também. Então, para cada (x0; y0)2 ,
existem um intervalo aberto I contendo x0 e uma única função diferenciável : I ! R
com (x; (x)) 2 , para todo x 2 I, que é solução do problema de valor inicial
y0 = f (x; y) (5.1) y (x0) = y0. (5.2)
Demonstração: A solução , pelo Lema 5.4.3, deve ser solução da equação integral y (x) = y0+
Z x x0
f (s; y (s)) ds; x2 I. (5.3) Vamos trabalhar na resolução da equação integral (5.3). Dado (x0; y0)2 , tomemos a
e b positivos tais que o retângulo
B = B (a; b; x0; y0) = f(x; y) ; jx x0j a e jy y0j bg
esteja contido em . Como, por de…nição, f é contínua e B é compacto (isto é, fechado e limitado), temos que f é limitada em B; seja
M = supfjf (x; y)j ; (x; y) 2 Bg . Sejam
0 < a min a; b M
5.4. ALGUMAS APLICAÇÕES e
Ja o intervalo fechado [x0 a; x0+ a].
Seja C o conjunto de todas as funções contínuas g : Ja ! R tais que g (x0) = y0 e
jg (x) y0j b; ou seja, as funções contínuas cujos grá…cos passam pelo ponto (x0; y0)
e que estejam contidos no retângulo B.
Vejamos que C, com a métrica do sup, é completo.
Seja (gn) uma sequência de cauchy em C, então dado " > 0 existe n0 tal que
n; m > n0 ) d (gn; gm) = supfjgn(x) gm(x)j ; x 2 Jag < ".
Para x0 2 J
a, qualquer, a sequência de números reais gnx0 com gnx0 = gn(x0) é de
cauchy. De fato, dado " > 0 se n; m > n0, então
jgn(x0) gm(x0)j supfjgn(x) gm(x)j ; x 2 Jag < ",
ou seja,
d (gn(x0) ; gm(x0)) < ".
Como R é completo, a sequência gnx0 converge em R. Logo, qualquer que seja x0 2 Ja,
existe ax0 = lim gnx0. Seja
g : Ja! R
de…nida por
g (x) = lim gnx,
temos que g está bem de…nida, pois o lim gn existe para todo x 2 Ja e esse limite é
único. Desse modo, para todo real " > 0 dado, existe n0 2 N tal que
n > n0 ) d (gn(x) ; g (x)) < ".
Logo gn ! g uniformemente em C e, pelo Corolário 4.3.3, g é contínua. Temos, ainda,
que a sequência gnx0 é constante e gnx0 = y0. Logo
g (x0) = lim gn(x0) = y0.
E como o intervalo
5.4. ALGUMAS APLICAÇÕES é compacto e a sequência (gnx) tem pontos em A para todo x 2 Ja, então, pelo Lema
5.4.2, (gnx) possui uma subsequência que converge para um a 2 A e como (gnx) é
de cauchy segue, pela Proposição 5.1.6, que (gnx) converge para a. Assim, para todo
x2 Ja,
g (x) = lim gn(x)2 A
o que implica que
jg (x) y0j b.
Concluímos que g 2 C e, portanto, C é completo.
Voltemos para à consideração da equação integral (5.3). Consideremos a função de…nida em C e que a cada y 2 C associa a função
g (x) = y0+
Z x x0
f (s; y (s)) ds. Dados x1; x2 2 Ja quaisquer, vale (ver referência [4])
jg (x1) g (x2)j = Z x1 x0 f (s; g (s)) ds Z x2 x0 f (s; g (s)) ds = Z x1 x0 f (s; g (s)) ds + Z x0 x2 f (s; g (s)) ds = Z x1 x2 f (s; g (s)) ds Z x1 x2 jf (s; g (s))j ds e, por de…nição, Z x1 x2 jf (s; g (s))j ds Z x1 x2 M ds = M (x1 x2) Mjx1 x2j ou seja, d (g (x1) ; g (x2)) M d (x1; x2).
5.4. ALGUMAS APLICAÇÕES Logo, g (x) é lipschitziana e, consequentemente, contínua para x 2 Ja. Temos também
que g (x0) = y0 e que jg (x) y0j = Z x x0 f (s; g (s)) ds Mjx x0j por x 2 Ja o jx x0j a Mjx x0j M a b e consequentemente g 2 C. Logo :C ! C.
Assim, a equação integral (5.3) pode ser escrita na forma funcional
y = (y). (5.4) Portanto, as soluções de (5.3) são os pontos …xos de . Se for uma contração, então pelo Teorema de Banach, sobre pontos …xos de contrações, a equação (5.4) possui solução e ela é única.
Só nos resta mostrar que é uma contração. j (g1) (x) (g2) (x)j = Z x x0 f (s; g1(s)) ds Z x x0 f (s; g2(x)) ds = Z x x0 [f (s; g1(s)) f (s; g2(x))] ds (5.5) Z x x0 jf (s; g1(s)) f (s; g2(x))j ds (5.6)
usando o Lema 5.4.4, existe K > 0 tal que
jf (s; g1(s)) f (s; g2(x))j Kjg1(s) g2(s)j obtendo Z x x0 jf (s; g1(s)) f (s; g2(x))j ds Z x x0 Kjg1(s) g2(s)j ds
5.4. ALGUMAS APLICAÇÕES e como jg1(s) g2(s)j d (g1; g2) Z x x0 Kjg1(s) g2(s)j ds Z x x0 Kd (g1; g2) ds = Kd (g1; g2) (x x0) Kd (g1; g2)jx x0j Kad (g1; g2) e daí d ( (g1) ; (g2)) Kad (g1; g2).
Concluímos que é uma contração se Ka < 1. Logo basta tomar a < K1. E o Teorema 5.4.5 …ca demonstrado com I = (x0 a; x0+ a).
Referências Bibliográ…cas
[1] BARROS, Cícero Demétrio Vieira de. O Teorema do Ponto Fixo de Banach e algumas Aplicações. João Pessoa: Universidade Federal da Paraíba, 2013.
[2] EQUAÇÕES não lineares. Disponível em: <http://www.mat.ufrgs.br/~guidi/grad/ MAT01032/calculo_numerico.cap2.pdf>. Acesso dia 28 de novembro de 2016. [3] FIGUEIREDO, Djairo Guedes de. Equações diferenciais aplicadas. 3a Ed.Rio de
Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 2008.
[4] LIMA, Elon Lages. Análise Real: funções de uma variável. Vol I. 10a. Ed. Rio de
Janeiro. IMPA, 2010.
[5] LIMA, Elon Lages. Curso de análise. Vol. 1. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 2002.
[6] LIMA, Elon Lages. Espaços Métricos. Rio de Janeiro. Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPq, 1977.
[7] Midterm solutions. Disponível em: <https://web.math.princeton.edu/~mdamron/ teaching/F12/MAT_215_Midterm_solutions.pdf>. Acesso dia 18 de maio de 2016.
