2008/09
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PÊNDULO SIMPLES
1. Objectivo
Neste trabalho pretende-se:
• Comparar a precisão de diferentes processos de medida; • Linearizar uma expressão;
• Determinar a aceleração da gravidade.
2. Introdução
O pêndulo simples é um sistema constituído por uma massa pontual m, suspensa de um ponto por um fio inextensível e de massa desprezável quando comparada com m, e que oscila em torno desse ponto. Durante a oscilação, a massa descreve uma trajectória circular cujo raio é o comprimento l do pêndulo. O movimento não é uniforme porque nem o módulo nem a direcção e o sentido da velocidade são os mesmos em todos os pontos do seu percurso. Na figura está representado um pêndulo simples e as força a que fica sujeito, o seu peso Pr e a força de tensão do fio Tr'.
A equação vectorial do movimento do corpo é
(
t c)
R ma ma a F T Pr+ 'r = r = r = r + r (1)onde FrR é a força resultante e a aceleração do movimento. aar r e t arc são as componentes, tangencial e centrípeta, da aceleração. Notamos que a componente tangencial do peso e, consequentemente, a aceleração art está sempre dirigida no sentido do ponto de equilíbrio do pêndulo, este é também o sentido da diminuição do ângulo θ, onde θ é o ângulo definido entre a posição do pêndulo num dado instante e a direcção de equilíbrio do pêndulo.
Segundo as direcções normal e tangencial a equação (1) vem1:
c ma mg T'− cosθ= (1a) t ma mg θ= − sen (1b)
g é a aceleração da gravidade. A componente da aceleração segundo a direcção tangencial é obtida da variação do módulo da velocidade com o tempo
2 2 t t t t t s t v at d d d d d d d d d d d d θ = θ = = = l l (2)
Da presença de uma força tangencial resulta a variação do módulo da velocidade do pêndulo. A força central faz variar a direcção da velocidade mas não altera o seu módulo.
Substituindo em (1b) a expressão de obtida em (2), vem: at θ − = θ sen d d mg t ml 22 (3) ou, 0 2 2 = θ + θ sen d d l g t (4)
Para pequenos ângulos, senθ ≈ θ e vem:
0 2 2 = θ + θ l g t d d (5)
Uma solução desta equação é do tipo θ = θ0 sen(ωt + δ) onde δ e θ0 são obtidos das condições
iniciais; θ0 é a amplitude angular do movimento, δ a fase quando t=0 e ω a frequência angular do
movimento. Substituindo em (5) vem:
0 2 + = −ω θ θ l g (6) donde, l g = ω (7)
Usando ω = 2π/T, sendo T o período do movimento, vem
g
T =2π l (8)
Se não tivéssemos usado a aproximação dos pequenos ângulos, em vez de (8), teríamos obtido a relação + θ + π = ... 2 4 1 1 2 sen2 g T l (9)
3.
Para resolver antes da aula de realização do trabalho
1) Parta das expressões (8) e (9). Despreze os termos de ordem superior a sen2(θ/2) e determine o afastamento angular máximo que o pêndulo pode ter em relação à posição de equilíbrio para que seja válida a expressão (8) com um erro inferior a: a) 0.1%; b) 1%. 2) Calcule o afastamento horizontal que corresponde ao afastamento angular máximo para
um erro inferior a 0.1% quando o comprimento do pêndulo é de 45 cm. 3) Se t10 = 10 T for medido com um erro ∆t10 qual é o erro ∆T associado a T?
4) Admita como conhecido o valor de = g B ln 2
π
e de ∆B. Determine g e ∆g.4. Realização
experimental
Material: pêndulo, DataStudio, cronómetro, fita métrica, craveira.
4.1. Medição do período de um pêndulo. Precisão do processo de medida
Monte o pêndulo que lhe é fornecido, utilizando um comprimento de aproximadamente 45 cm. Coloque o sistema em oscilação, largando o corpo de uma posição correspondente a um pequeno desvio angular. Tomaremos como medida de precisão o limite superior do erro, calculado a partir dos maiores desvios em relação à média.
A – Utilização de um cronómetro comandado manualmente
1. Cada elemento do grupo determina o período de oscilação do pêndulo T a partir da medição do tempo que o pêndulo leva a efectuar 10 oscilações completas, t10 + ∆t10. Não é necessário
voltar a colocar o pêndulo a oscilar quando muda o elemento do grupo de trabalho que faz as medições.
2. Cada aluno repete a medição feita em 1. de modo que o grupo de trabalho obtenha 5 valores do tempo de 10 oscilações completas.
3. Construa uma tabela com os 5 valores obtidos por todos os elementos do grupo para t10.
Obtenha o valor médio e o maior desvio relativamente à média.
4. Compare a incerteza resultante da dispersão de valores (maior desvio relativamente à média) com a incerteza de cada medição associada à resolução experimental do cronómetro (erro de leitura). Apresente o resultado na forma t10 + ∆t10 onde t10 é o valor médio das 5 medições e
∆t10 é o maior valor entre a incerteza resultante da dispersão de valores e a incerteza de cada
medição associada à resolução experimental do cronómetro.
5. Discuta as fontes de erro que neste caso conduzem à dispersão de resultados. Qual considera ser a principal razão para a dispersão de valores obtidos?
6. Qual é a melhor estimativa de T + ∆T que conseguiu obter com este método manual?
B – Utilização de um cronómetro com sistema automático de aquisição
Sem alterar o comprimento do pêndulo, meça com a craveira o diâmetro da esfera suspensa e registe o resultado na forma d + ∆d. Tal como na experiência anterior coloque o sistema em oscilação, largando o corpo de uma posição correspondente a um pequeno desvio angular.
Use o sistema automático de registo do período e, a partir do registo de 50 valores, obtenha o período do pêndulo e a incerteza associada, T + ∆T. Para facilitar o seu trabalho configure o programa de aquisição de forma a mostrar as seguintes estatísticas: valores médio, mínimo e máximo, e nº de contagens.
Discuta qual dos dois processos de medida, manual ou automático, lhe permite ter mais precisão na determinação do período.
Observação: Preste atenção aos dados registados no computador. Para além do registo do período o sistema regista a velocidade do movimento do pêndulo na posição de equilíbrio do pêndulo. Como é calculada? Use o Datastudio para visualizar os dados que acabou de adquirir. Como varia no tempo o período do movimento? E a velocidade num dado ponto? Será este sistema conservativo? O que se passa entretanto com a amplitude do movimento?
4.2. Determinação de g e linearização de uma expressão
Para comprimentos do pêndulo entre cerca de 30 cm e 120 cm, com intervalos de 15 cm, efectue medições do período do pêndulo. Note que o comprimento do pêndulo é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de gravidade da massa suspensa.
1. Parta de um comprimento de fio próximo de 30 cm. Use a craveira para medir a altura da massa suspensa e registe o resultado na forma h + ∆h. Meça com todo o cuidado o comprimento do fio L + ∆L de modo a obter o comprimento l do pêndulo com a menor incerteza possível. Registe o comprimento do pêndulo na forma l + ∆l.
2. Coloque o sistema em oscilação, largando o corpo de uma posição que verifique as condições de validade da relação (8) com um erro inferior a 0.1%, e faça as medições do período do pêndulo com o sistema automático de medida. Registe no caderno os valores médio, mínimo e máximo do período em 10 oscilações e apresente o resultado na forma T + ∆T, onde ∆T é o maior desvio em relação ao valor médio.
4. Represente graficamente T = f(l). Observe atentamente o comportamento da variação de T com l. Note que a relação entre estas duas grandezas só numa observação descuidada pode ser tomada como linear, ela apresenta um desvio sistemático a essa mesma linearidade.
5. Na relação (8) comece por associar os factores constantes e aplique logaritmos. Obtém uma relação do tipo Y = AX + B. Identifique as variáveis X e Y e os parâmetros A e B.
6. Na tabela, tome os logaritmos de T e de l e, em seguida, faça a representação gráfica de lnT = f(lnl). Compare a representação log-log com a representação em escala linear obtida anteriormente. O que pode concluir desses resultados?
7. Ajuste uma recta aos pontos experimentais lnT = f(lnl). Obtenha os parâmetros do ajuste e as correspondentes incertezas. No Excel, ao adicionar a linha tendência com a equação no gráfico apenas obtém os valores de A e B. Para obter o valor de ∆B deverá escolher o menu “Tools”, “Data analysis” e “Regression”. Esta opção só aparece quando se selecciona os dois “Analysis Toolpak” no menu “Add-Ins”. 8. A partir dos valores dos parâmetros ajustados determine a aceleração da gravidade, g + ∆g.
Compare o valor determinado com o valor adoptado para aceleração da gravidade padrão: g = 9.80665 m/s². Qual terá sido a principal fonte de erro? Note que um pequeno afastamento entre g medido e g tabelado indica grande rigor na determinação.
9. Compare também o valor do parâmetro A com o valor esperado de acordo com a identificação feita em 6.
FORMULAS PARA A PROPAGAÇÃO DE ERROS
Limite superior do erro: dadas as quantidades A±∆A, B±∆B e uma constante α : o se X = A+B ou X = A−B então ∆X =∆A+∆B o se Y =αA então ∆Y =α∆A o se Z = AB ou B A Z = então B B A A Z Z ∆ + ∆ = ∆
Adenda
Obtenção das equações de movimento do pêndulo
Supomos o pêndulo simples representado na figura. rr é o vector posição da massa m do pêndulo suspensa do ponto O e de comprimento r = rr . urr é o vector unitário da direcção de rr e ur é o θ vector unitário perpendicular a rr e dirigido no sentido do crescimento de θ.
Os vectores unitários urr e ur acompanham o pêndulo no seu movimento. Começamos por θ exprimir urr eurθ nos vectores unitários do eixo dos xx e dos yy, urx eury, respectivamente.
y x y x y x r u u u u u u u u r r r r r r r r θ + θ = θ − θ = π−θ − π−θ = θ cos sen cos sen sen cos 2 2 (A1)
Vamos exprimir o vector velocidade vr nos vectores unitários urr eurθ.
( )
t u r t u r u t r t u r t r v r r r r d d d d d d d d d dr r r r r r= = = + = (A2)porque no pêndulo r é constante. De (A1) obtemos
(
)
θ θ = θ θ + θ = u t t u u t u y x r r r r r d d d d sen cos d d (A3)Substituindo (A3) em (A2) chegamos a θ θ = u t r vr r d d (A4) Derivando, o vector velocidade agora obtido, em ordem ao tempo, encontramos o vector aceleração,
t u t r u t r t v a d d d d d d d d θ θ θ + θ = = r r r r 2 2 (A5) Usando (A1) obtemos
(
)
θ − = θ θ + θ − = θ t u t u u t u r y x d d d d cos sen d dr r r r (A6) que substituímos em (A5) e vem(
ur)
at ac t r u t r t v ar r r −r = r +r θ + θ = = θ 2 2 2 d d d d d d (A7) Da equação vectorial (1)(
t c)
R ma m a a F T Pr+ 'r = r = r = r +rdecompondo Pr e 'Tr segundo as direcções de ur e e usando (A7), obtemos r urθ
t c r r r a m u t mr u mg a m u t mr u mg u T r r r r r r r = θ = θ − = θ − = θ + − θ θ 2 2 2 ) ( ' d d sen d d cos (A8)
Como esperávamos a componente centrípeta da aceleração ar tem sempre sentido contrário a c urr
como se vê pela 1ª equação (A8). A componente tangencial da aceleração ar tem sentido contrário t a ur , isto é, aponta na direcção da posição de equilíbrio do pêndulo eθ 2θ2 <0
t d d
. Na forma escalar as equações (A8) vêm:
2 2 2 ' t mr mg t mr mg T d d sen d d cos θ = θ − θ − = θ + − (A9)
