CAMPUS DE FOZ DO IGUAÇU
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
MÉTODO COMPUTACIONAL PARA O CÁLCULO DE FLUXO DE POTÊNCIA
TRIFÁSICO A QUATRO FIOS
MARCIO ANDRÉ WATHIER
FOZ DO IGUAÇU
2013
MARCIO ANDRÉ WATHIER
MÉTODO COMPUTACIONAL PARA O CÁLCULO DE FLUXO DE POTÊNCIA
TRIFÁSICO A QUATRO FIOS
Trabalho de Conclusão de curso (TCC) apresentado
ao Curso de Engenharia Elétrica da Universidade
Estadual do Oeste do Paraná, como parte dos
requisitos para obtenção do título de Engenheiro
Eletricista.
Orientador: Professor Dr. Carlos Roberto Mendonça
Da Rocha
FOZ DO IGUAÇU
2013
RESUMO
WATHIER, M. A. (2013). Método computacional para o cálculo de fluxo de
potência trifásico a quatro fios. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação)
–
Curso de Engenharia Elétrica, Universidade Estadual do Oeste do Paraná
–
UNIOESTE, Foz do Iguaçu, 2013.
Um dos cálculos mais importantes relacionados a qualquer sistema de
potência é a determinação do estado da rede. Através disto, pode-se verificar
problemas de tensão, sobrecargas, cálculo das perdas visando o planejamento da
operação e expansão do sistema; estudo da tensão e dos reativos a fim de testar a
eficiência dos equipamentos; verificação da capacidade de transmissão com o
objetivo de conhecer os limites de transferência; determinação das perdas, entre
algumas outras grandezas de interesse.
Convencionalmente o estudo das redes de distribuição não modelam os
cabos de neutro e terra, em função disso, neste trabalho foi utilizada a metodologia
de Carson para que pudessem ser determinadas as correntes e tensões de neutro
considerando o terra como um condutor fictício. Considerando estas características,
o método adotado para a solução do fluxo foi o Backward-Forward Sweep.
O algoritmo computacional foi implementado usando a linguagem de
programação GAMS e aplicado a um sistema de distribuição teste IEEE 34 barras
amplamente utilizado na literatura especializada. Dentre os resultados obtidos ao fim
do trabalho, é apresentado o algoritmo computacional implementado, uma descrição
do sistema teste utilizado e os resultados obtidos com a simulação.
Palavras-chave: Algoritmos, Análise, Sistemas de Potência, Fluxo de
ABSTRACT
WATHIER, M. A. (2013). Método computacional para o cálculo de fluxo de
potência trifásico a quatro fios. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação)
–
Curso de Engenharia Elétrica, Universidade Estadual do Oeste do Paraná
–
UNIOESTE, Foz do Iguaçu, 2013.
One of the most important calculations relating to any power system is to
determine the grid situation. Through this, it is possible check voltage problems,
overload, loss calculation in order to plan the operation and expansion of the system;
study of voltage and reactive in order to test the efficiency of the equipment; verify
the transmission capacity in order to know the limits of transfer; determining losses,
among some other quantities of interest.
Conventionally the study of distribution grid do not model the neutral and
ground wires, based on this, the methodology used at this project is from Carson, so
it could be determined currents and neutral voltages considering the earth as a
fictitious conductor. Considering these characteristics, the method adopted for the
solution flow was the Backward-Forward Sweep.
The computational algorithm was implemented using the GAMS programming
language and applied to a distribution system test IEEE 34 bars widely used in the
specialized literature. Among the results obtained after the project, is presented
computational algorithm implemented, a description of the test system used and the
results obtained from the simulation.
LISTA DE FIGURAS
Figura 3.1 – Linha de Carson. ... 10
Figura 3.2 – Linha trifásica a quatro fios multi-aterrada. ... 12
Figura 4.1 – Modelagem da linha trifásica a quatro fios multi-aterrada. ... 15
Figura 4.2 – Numeração dos ramos para rede de distribuição radial. ... 17
Figura 5.1 – Interligações da Rede IEEE 34 Barras. ... 21
Figura 5.2 – Tensões de Fase no ramal principal da rede IEEE-34. ... 28
Figura 5.3 – Tensões do neutro no ramal principal da rede IEEE-34. ... 28
Figura 5.4 – Corrente nas fases no ramal principal da rede IEEE-34. ... 29
Figura 5.5 – Corrente de Linha do neutro do ramal principal rede IEEE-34. ... 29
Figura 5.6 – Diagrama de potências fase A. ... 31
Figura 5.7 – Diagrama de potências fase B. ... 32
LISTA DE TABELAS
Tabela 5.1 – Injeção de potência reativa pelo banco de capacitores. ... 20
Tabela 5.2 – Injeção de potências ativas e reativas nas barras. ... 21
Tabela 5.3 – Elementos da Matriz 4x4 (Ω) Rede IEEE 34 Barras Parte 1. ... 25
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
APPEEC
Asia-Pacific Power and Energy Engineering Conference
BFS
Backward-Forward Sweep
PQ
Barra de carga
PV
Barra de geração
Vθ
Barra de referência
GAMS
General Algebric Modelling System
LDA
Linhas de Distribuição Aéreas
NR
Newton-Raphson
SEP
Sistema Elétrico de Potência
SUMÁRIO
RESUMO... iii
ABSTRACT ... iv
LISTA DE FIGURAS ... v
LISTA DE TABELAS ... vi
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS ... vii
SUMÁRIO ... viii
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO ... 1
CAPÍTULO 2 – MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DO FLUXO DE POTÊNCIA ... 4
2.1.
Método de Gauss – Seidel ... 4
2.2.
Método de Newton-Raphson ... 5
2.2.1.
Método de NR desacoplado e desacoplado rápido ... 7
2.2.2.
NR aplicado a sistemas de distribuição ... 8
2.3.
Método de Backward-Forward Sweep ... 8
2.4.
Método de solução do fluxo escolhido ... 9
CAPÍTULO 3 – MODELAGEM TRIFÁSICA A QUATRO FIOS ... 10
3.1.
Sistema monofásico ... 10
3.2.
Sistema trifásico ... 12
CAPÍTULO 4 – FLUXO DE POTÊNCIA BACKWARD-FORWARD SWEEP ... 15
4.1.
Representação matricial ... 15
4.2.
Enumeração das camadas ... 16
4.3.
Cálculo do Fluxo de Potência ... 17
CAPÍTULO 5 – APLICAÇÕES E RESULTADOS ... 20
5.1.
Sistema teste IEEE-34 barras ... 20
5.2.
Cálculo das impedâncias das linhas ... 22
5.3.
Sistema de modelagem computacional GAMS ... 26
5.4.
Resultados Obtidos ... 27
CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES ... 34
REFERÊNCIAS ... 36
CAPÍTULO 1
1.
INTRODUÇÃO
A eletricidade se tornou a principal fonte de luz, calor e força utilizada no
mundo moderno. Atividades simples como assistir à televisão ou navegar na internet
são possíveis porque a energia elétrica chega até a sua casa. Fábricas,
supermercados, shoppings e uma infinidade de outros lugares precisam dela para
funcionar. A eletricidade é obtida a partir de outras fontes de energia como a
hidráulica, térmica, eólica, solar entre outras, uma infinidade de pesquisas são
desenvolvidas todos os dias com o intuito de melhorar ou ainda encontrar novas
fontes de obtenção dessa energia. A eletricidade chega aos consumidores do
mundo inteiro através do Sistema Elétrico de Potência (SEP).
O SEP é um conjunto de equipamentos que operam de maneira coordenada
com a finalidade de fornecer energia elétrica de forma ininterrupta aos
consumidores,
dentro
de
certos
padrões
de
qualidade
(confiabilidade,
disponibilidade), segurança e custos, com o mínimo impacto ambiental. Este sistema
é composto basicamente pela geração, transmissão e distribuição.
A geração (ou produção) de energia elétrica compreende todo o processo de
transformação de uma fonte primária (recurso natural) de energia em eletricidade
(forma secundária da energia). No Brasil, grande parte das geradoras se encontram
distantes dos centros consumidores em virtude de sua própria natureza, isso ocorre
pois mais de 80% da geração é feita por hidrelétricas.
Devido a esta característica a transmissão tem papel fundamental no SEP,
ela é responsável por ligar as grandes usinas de geração às áreas de grande
consumo. Em geral apenas poucos consumidores com um alto consumo de energia
elétrica são conectados às redes de transmissão onde predomina a estrutura de
linhas aéreas. A segurança é um aspecto fundamental para as redes de
transmissão. Qualquer falta neste nível pode levar a descontinuidade de suprimento
para um grande número de consumidores. O nível de tensão depende do país, mas
normalmente é estabelecido entre 220 kV e 765 kV.
A distribuição recebe a energia da rede de transmissão e sub-transmissão em
alta tensão e faz o rebaixamento do nível de tensão a valores entre 2,3 kV e 44 kV
para alimentar os consumidores industriais, comerciais e residenciais.
Um dos cálculos mais importantes relacionados a qualquer sistema é a
determinação do estado da rede. Dá-se o nome a este de cálculo do fluxo de
potência, que consiste essencialmente na determinação das tensões, módulos e
ângulos, em todas as barras ou nós do sistema, para uma determinada condição de
operação.
O cálculo de fluxo de potência tem como principal objetivo a determinação do
estado da rede e da distribuição dos fluxos. Através disto, pode-se verificar
problemas de tensão, sobrecargas, cálculo das perdas visando o planejamento da
operação e expansão do sistema; análise de contingências para verificar o efeito de
saídas de linhas, transformadores e geradores; estudo da tensão e dos reativos a
fim de testar a eficiência dos equipamentos; verificação da capacidade de
transmissão com o objetivo de conhecer os limites de transferência; avaliação de
segurança para verificar as medidas em situações de emergência, entre algumas
outras grandezas de interesse. O problema do fluxo de potência pode ser formulado
por um sistema de equações e inequações algébricas não lineares correspondentes
às leis de Kirchhoff e um conjunto de restrições operacionais da rede e de seus
componentes (PANTUZI, 2006) (MONTICELLI, 1983).
Grande parte dos estudos do fluxo de potência aplicados a transmissão fazem
algumas considerações para tratar as cargas equilibradas em um sistema
monofásico, isso é feito para facilitar os cálculos que apresentam resultados muito
próximos dos reais. Quando aplicados a distribuição estas considerações podem
afetar os resultados, pois geralmente a distribuição, opera situações de desequilíbrio
entre as fases como resultado da configuração das cargas.
A maior parte dos programas de fluxo de potência são implementados para
analisar sistemas trifásicos a três fios, onde os efeitos do cabo neutro e do
aterramento são transferidos as fases através da redução de Kron. Esse
procedimento apresenta bons resultados para sistemas equilibrados, porém quanto
maior o desequilíbrio mais os resultados divergem do real (GARCIA, FERRAZ e
BRETAS, 2010). Isso ocorre, pois em situações de desequilíbrio a corrente do
neutro pode chegar a ser maior que as correntes de fase. Esse desequilíbrio é
prejudicial para a operação do sistema, confiabilidade e segurança. O cabo neutro e
o sistema de aterramento são uma parte importante dos sistemas de distribuição e
devem ser considerados nos estudos de fluxo de potência.
As correntes do neutro podem interferir com os sistemas de comunicação,
aumentar as perdas dos sistemas e diminuir a sensibilidade dos relés de falta à
terra. O conhecimento das correntes e tensões no neutro é fundamental para um
bom estudo do planejamento da operação e expansão dos sistemas de distribuição
(PIZZALI, 2003).
Para que se possam estudar os efeitos do neutro, o trabalho proposto
implementou um algoritmo em GAMS que calcula o fluxo de potência trifásico a
quatro fios, considerando as três fases, um cabo neutro e um cabo terra fictício,
através do método de varredura.
Este trabalho está organizado da seguinte forma:
No capítulo 2 é feita uma revisão bibliográfica dos principais métodos de
resolução do fluxo de potência em redes de transmissão e distribuição, destacando
as principais características de cada método.
No capítulo 3 apresenta-se a metodologia adotada por Carson para
modelagem de linhas com retorno pela terra.
No capítulo 4 é detalhado o método de fluxo de potência Backward-Forward
Sweep aplicado a um sistema de distribuição trifásico a quatro fios multi-aterrado
com retorno pelo neutro, método que será implementado computacionalmente na
plataforma GAMS.
No capítulo 5 destaca-se as principais características do sistema teste ao qual
este estudo foi aplicado e uma discussão dos resultados obtidos através do
algoritmo.
No capítulo 6 são feitas as considerações finais e conclusões
CAPÍTULO 2
2.
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DO FLUXO DE POTÊNCIA
O cálculo do fluxo de potência consiste em se resolver um sistema de
equações não lineares através de métodos numéricos, apesar de se tratar de um
problema de fácil resolução para pequenos sistemas, a expansão do problema a
grandes redes de distribuição ou transmissão tornam estes cálculos bastante
complexos. Com o avanço computacional, estes métodos de resolução foram
evoluindo e novos métodos puderam ser aplicados (GÓMEZ-EXPÓSITO, CONEJO
e CAÑIZARES, 2011). A seguir são apresentadas algumas metodologias para
resolução do fluxo de potência.
2.1. Método de Gauss – Seidel
Gauss
– Seidel é um método iterativo baseado na matriz admitância (Y). O
método é de fácil entendimento, porém sua aplicação é bastante trabalhosa devido
ao lento processo de convergência. Muitas vezes este método não apresenta bons
resultados para sistemas reais mais complexos que apresentam características
como: compensação série e shunt, linhas de extra alta tensão, capacitâncias
grandes e junção de impedâncias série muito grandes ou pequenas. Entre as
vantagens deste método podem ser considerados os pequenos números de cálculos
por iteração e de elementos na somatória e a pouca memória necessária quando
tratado computacionalmente (CASTRO, 2010). Devido a sua simplicidade, ainda é
bastante utilizado para fins acadêmicos, pois sua aplicação facilita o entendimento
dos processos iterativos.
O equacionamento para utilização do método é:
( )
(
( )∑
( )∑
( ))
(2.1)
Onde:
– É a tensão na barra k;
– É o número da iteração;
– É a admitância correspondente à linha entre a barra k e n;
– É o número total de barras do sistema;
Este processo iterativo é repetido quantas vezes forem necessárias até que
os valores das tensões atinjam a precisão desejada.
2.2. Método de Newton-Raphson
O método de Newton-Raphson (NR) foi originalmente aplicado a sistemas de
transmissão por (TINNEY e HART, 1967). A partir de então, o método ganhou ampla
aceitação para tratamento de sistemas de transmissão por sua robustez e
possibilidade de implementar códigos em diversas linguagens de programação. Este
método se utiliza da expansão em séries de Taylor para equações não lineares.
Basicamente são consideradas quatro variáveis (potência ativa e reativa injetadas,
tensão e ângulo) em cada barra do sistema (MONTICELLI e GARCIA, 2003). Neste
método, as barras do sistema são classificadas como:
Barra PQ
– Denominada barra de carga, com a específica potência
ativa e reativa na barra;
Barra PV
– Denominada barra de geração, pois são conhecidas a
potência ativa e a magnitude de tensão;
Barra Vθ – Esta barra é considerada a referência, pois é fixada a
magnitude de tensão e o seu ângulo a fim de equilibrar a injeção de
potência ativa e reativa nesta barra com as demandas de potência e as
perdas do sistema (KEYHANI, 2011).
O método de NR baseia-se no fluxo de potência ativa e reativa em cada
barra, num processo iterativo em que o desvio dos valores de referência é calculado
em cada iteração através de equacionamento das potências:
∑
(
)
(2.2)
∑
(
)
(2.3)
Nas expressões, o índice “esp” indica valores especificados de potência ativa
e reativa, G e B são a condutância e a susceptância entre as barras i e j calculadas
na matriz de admitância Y e é o número de barras PQ e PV do sistema. Por
definição, as barras de carga ou PQ têm definidos os valores de P e Q, assim os
valores de
e tendem a zero na solução. O mesmo acontece para das
barras de geração ou PV.
Para determinar os valores de
e
, é necessário fazer uso da matriz
Jacobiana para encontrar novos valores de
e através da equação matricial
(2.4) em cada iteração.
[
] [
] [
]
(2.4)
Os elementos H, N, M e L que representam a matriz Jacobiana possuem
dimensões que variam de acordo com o número de barras PQ e PV do sistema.
Estes elementos representam a sensibilidade das potências ativas e reativas em
relação aos ângulos e tensões.
O método de NR é o mais utilizado nos estudos de sistemas de transmissão
por permitir o tratamento de sistemas de grande porte e pelas características de
convergência, geralmente atingida em até cinco iterações independente do tamanho
do sistema (LI, LUO, et al., 2011). A desvantagem deste método se dá ao fato de
utilizar muita memória de armazenamento e tempo computacional, pois se deve
inverter a matriz Jacobiana no processo (CASTRO, 2010). Além disso, a matriz
Jacobiana pode se tornar mal condicionada quando aplicada a sistemas de
distribuição como é demonstrado na subseção 2.2.2.
2.2.1. Método de NR desacoplado e desacoplado rápido
Tanto o método de NR convencional quando o desacoplado (STOTT, 1972) e
o desacoplado rápido (STOTT e ALSAÇ, 1974), fazem uso da matriz Jacobiana no
processo iterativo. A diferença entre os métodos está na simplificação da matriz
Jacobiana para otimização dos cálculos, facilitando assim as contas e reduzindo o
uso da memória de armazenamento e tempo computacional, problema que o
método de NR convencional apresentava.
No NR Desacoplado assume-se que a sensibilidade da potência ativa em
relação ao ângulo (H) é muito maior do que em relação à tensão (N), em contra
partida a sensibilidade da potência reativa em relação à tensão (L) é muito maior do
que em relação ao ângulo (M). Dessa forma, os elementos N e M da matriz
Jacobiana são aproximados à zero.
No método NR Desacoplado Rápido são introduzidas as seguintes
aproximações:
a)
é muito próximo de um;
b)
é, em magnitude, muito maior que
;
c)
é, em magnitude, muito maior que
.
Assim a matriz Jacobiana é simplificada ainda mais reduzindo-se os termos
de H e L a constantes, fazendo-se com que a mesma não necessite ser recalculada
a cada iteração e reduzindo-se ainda mais o uso da memória computacional. Porém
as aproximações (a) e (b) só são válidas para sistemas de extra alta tensão e ultra
alta tensão, pois em geral, a reatância da linha é da ordem de 20 vezes maior do
que a resistência da mesma. Já a aproximação (c) é válida, pois as reatâncias shunt
são muito maiores que as reatâncias série.
Ambos os métodos, otimizam o uso da memória computacional e os cálculos
do fluxo de potência consideravelmente, porém estas aproximações restringem
ainda mais sua aplicação e não resolvem o problema de mal condicionamento da
Jacobiana para a aplicação em sistemas de distribuição.
2.2.2. NR aplicado a sistemas de distribuição
Apesar do método de NR ser amplamente utilizado em sistemas de
transmissão, na distribuição este método pode apresentar alguns problemas quando
a reatância das linhas for menor do que a sua resistência, podendo-se assim levar a
matriz Jacobiana a tornar-se mal condicionada durante o cálculo iterativo (LIU,
SALAMA e MANSOUR, 2002).
Para solucionar este problema (ZHANG e CHENG, 1997) propuseram a
fatoração da matriz Jacobiana em um produto de matrizes UDU
T, onde D é a matriz
diagonal, U é a matriz triangular superior e U
Tsua transposta. Estas modificações da
Jacobiana tornam o método de NR muito robusto e eficaz quando aplicados a
sistemas de distribuição, porém, ao aumentar o número de matrizes no processo de
fatoração, o problema no uso da memória computacional se agrava, ainda mais se
tratando de sistemas trifásicos.
2.3. Método de Backward-Forward Sweep
O método Backward-Forward Sweep (BFS) também chamado de método de
varredura proposto por (CHENG e SHIRMOHAMMADI, 1995) utiliza o princípio das
leis de Kirchhoff de corrente e de tensão, onde inicialmente obtém-se a potência
ativa e a potência reativa de cada nó e do sistema. Com estes dados é possível
estimar o fluxo de corrente das barras finais para a barra de referência (backward).
Em seguida calculam-se as magnitudes e os ângulos de tensão a partir da barra de
referência, onde a tensão é conhecida e subtrai-se a queda de tensão em cada
barra até chegar às extremidades (forward).
A vantagem deste método é sua simplicidade e facilidade para ser
programado, pois se utiliza apenas de cálculos algébricos, podendo assim trabalhar
as variáveis na forma complexa. Apesar de o método apresentar excelentes
resultados quando aplicados a sistemas radiais, é justamente ai que se encontra sua
principal desvantagem, pois pode ser aplicado apenas a sistemas radiais e
combinados (levemente malhados). Isso acontece porque o método faz uso de
cálculos unidirecionais para determinar as correntes (backward) e as tensões
(forward).
2.4. Método de solução do fluxo escolhido
Como visto anteriormente, todos os métodos possuem vantagens e
desvantagens dependendo da sua aplicação. O método de Gauss-Seidel se mostrou
pouco eficaz com o decorrer dos anos, principalmente com o surgimento do método
de NR. Este por outro lado pode ser problemático quando aplicado a sistemas
radiais, apesar de já existirem adaptações neste método para sistemas radiais. O
mesmo se torna pouco atrativo computacionalmente pelo auto consumo da memória
computacional, ainda mais se for aplicado a um sistema trifásico, objeto deste
estudo, quando comparado ao método BFS.
Como o sistema em estudo se trata de uma rede da rede tensão do sistema
de distribuição primário, onde se encontram apenas barras de carga, o método
escolhido foi o de BFS que é de fácil programação e apresenta ótimos resultados
com pouco uso de memória computacional. Este método será explorado com mais
detalhes no capítulo quatro.
CAPÍTULO 3
3.
MODELAGEM TRIFÁSICA A QUATRO FIOS
Para modelar o sistema trifásico a quatro fios (com presença do neutro) com
retorno pelo terra e determinar as impedâncias, foi utilizado a metodologia descrita
por Carson (CARSON, 1926).
3.1. Sistema monofásico
Para este sistema, se considera o terra como um condutor único paralelo ao
solo por onde é conduzida uma corrente I
acom retorno através do circuito g-g’
(Figura 3.1). Este condutor possuir resistividade uniforme com raio médio geométrico
de um metro e de extensão infinita.
Figura 3.1 – Linha de Carson.
Fonte: Adaptado de (PIZZALI, 2003).
Pelo esquema de Carson podemos definir que:
[
] [
] [
̅
̅
̅
̅
] [
]
(3.1)
(
) ( ̅
̅
̅
)
(3.2)
E considerando-se que a condição de conexão é (
)
( ̅
̅
̅
)
(3.3)
̅
̅
̅
(3.4)
Pode ser observado que
é composto por três componentes sendo
̅
a
impedância própria da linha e ( ̅
̅
) a correção pela presença do terra, sendo
̅
a impedância própria do solo e ̅
é a impedância mútua. Ao considerar o solo
um condutor perfeito, Carson estabeleceu que estas impedâncias podem ser
determinado por (3.5) (3.6) e (3.7) respectivamente.
̅
(
)
(3.5)
̅
(
)
(3.6)
̅
√
⁄
(3.7)
sendo:
a resistência do cabo da fase “a” em Ω/km;
a altura do cabo “a” em metros;
a resistividade do solo;
a frequência;
̅
a impedância mútua entre a fase “a” e o terra;
o raio médio geométrico do cabo da fase a em metros.
A principal contribuição de Carson é que podemos modelar a linha sem ser
desconsiderado os efeitos do terra, tratando-o como um condutor fictício.
3.2. Sistema trifásico
Para representar as impedâncias de uma linha trifásica a quatro fios com
presença do cabo neutro e retorno pelo terra (Figura 3.2), procede-se similarmente à
metodologia usada para a linha de Carson.
Figura 3.2 – Linha trifásica a quatro fios multi-aterrada.
Fonte: Adaptado de (PIZZALI, 2003).
A matriz 5x5 a seguir apresenta a impedância própria
̅
e as mútuas da
terra ( ̅
̅
̅
̅
) além das impedâncias próprias e mútuas das fases a, b, c
e neutro.
[ ̅
]
[
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
]
(3.8)
A partir das equações de Carson e considerando o solo como um condutor
perfeito. Pode-se assim determinar a impedância própria da fase “a” como:
̅
(
e a impedância mútua entre as fases “a” e “b” como:
̅
(
√
(
)
√
(
)
)
(3.10)
Sendo
a distância horizontal entre as fases “a” e “b”.
Para obter as impedâncias próprias e mútuas da terra no sistema
representado na Figura 3.2, seguimos o mesmo procedimento abordado para o
sistema monofásico. Assim as quedas de tensão podem ser determinadas por:
[
]
[
]
[
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
]
[
]
(3.11)
Considerando então que
(
) pois as fases estão
aterradas no mesmo ponto e que
. Subtrai-se a quinta linha de (3.11) da
primeira para obter:
(
) ( ̅
̅
̅
)
( ̅
̅
̅
̅
)
( ̅
̅
̅
̅
)
( ̅
̅
̅
̅
)
(3.12)
Como a condição de conexão é que (
) temos:
(3.13)
Comparando a equação (3.12) com (3.13) temos:
̅
̅
̅
(3.14)
̅
̅
̅
̅
(3.15)
̅
̅
̅
̅
Os termos ̅
e ̅
( )de (3.11), onde i representa as fases e o neutro da rede,
podem ser determinados pelas equações (3.6) e (3.7).
Este processo é repetido analogicamente para as fases “b”, “c” e “n” para
obter a matriz 4x4 (3.16) que representa as impedâncias próprias e mútuas das
fases e do neutro corrigidas pela presença do condutor terra.
[
] [
] [
]
(3.16)
CAPÍTULO 4
4.
FLUXO DE POTÊNCIA BACKWARD-FORWARD SWEEP
Neste capítulo é apresentado o método de fluxo de potência trifásico em
tempo real de sistemas de distribuição. O método de fluxo de potência trifásico BFS
foi originalmente proposto por (CHENG e SHIRMOHAMMADI, 1995). A modelagem
matricial 3x3 das linhas é estendida para uma modelagem 5x5, caso onde são
representados o neutro e o terra explicitamente. O caso em estudo apresenta um
sistema a quatro fios com neutro isolado onde os efeitos do terra foram transferidos
para as fases. Assim, a representação do problema se da através de uma
modelagem matricial 4x4.
4.1. Representação matricial
Este é o caso mais complexo para estudo do fluxo, cada nó ou ramo na rede
é numerado por um único índice, sem considerar o número de fases desse nó ou
ramo. A modelagem da linha de distribuição trifásica a quatro fios multi-aterrada,
para um ramo qualquer é mostrada na Figura 4.1.
Figura 4.1 – Modelagem da linha trifásica a quatro fios multi-aterrada.
Fonte: Adaptado de (PANTUZI, 2006).
onde:
as correntes no ramo l;
( )
( )
as impedâncias de aterramento dos nós i e j;
( )
( )
as tensões do neutro dos nós i e j.
Considerando que neste estudo o cabo terra é fictício, a matriz impedância
4x4 série
do ramo l é representada a seguir.
[
] [
]
(4.1)
Se qualquer fase ou neutro do ramo não existir, a linha e coluna
correspondentes passam a conter elementos iguais à zero.
4.2. Enumeração das camadas
Para aplicar o método de varredura em um sistema de distribuição, divide-se
o sistema em camadas, onde a primeira camada consiste nos ramos que saem da
subestação e conectam as próximas barras ou nós do sistema, a camada seguinte é
então formada pelos ramos que saem das barras ou nós que compõem a camada
anterior e conectam as próximas barras do sistema. O número de camadas de um
sistema está diretamente relacionado ao tamanho do ramal principal do mesmo
como mostra a Figura 4.2.
Com a numeração das camadas, os nós extremos e os caminhos à jusante e
à montante são facilmente identificados, melhorando o desempenho numérico e
facilitando a aplicação do método BFS. Durante o processo computacional de
numeração das camadas, é possível ainda identificar quantas fases existe em cada
ramo do sistema.
Figura 4.2 – Numeração dos ramos para rede de distribuição radial.
Fonte: Adaptado de (PANTUZI, 2006).
4.3. Cálculo do Fluxo de Potência
A presença de barras PQ (cargas modeladas com potência constante) torna a
rede não linear, fazendo com que o processo de resolução seja iterativo. Para
representar estas cargas, utiliza-se o modelo de potência constante onde as tensões
de fase mudam a cada interação e a potência aparente permanece constante.
Dessa forma as correntes das cargas são dadas por:
(
)
|
|
|
|
|
|
(
)
|
|
|
|
|
|
(4.2)
(
)
|
|
|
|
|
|
Como a potência das cargas é conhecida, pode-se determinar as injeções de
correntes nas barras assumindo inicialmente uma tensão de um p.u. para todo
sistema e nas demais assume-se o valor da iteração anterior. Posteriormente são
obtidos os fluxos de corrente nas linhas começando pelas mais distantes da
subestação até as mais próximas dela (backward). Usando as correntes nas linhas,
é iniciado o processo à jusante onde são calculadas tensões em todos os nós
começando pela subestação em direção aos nós mais distante (forward). Estes três
passos que serão demonstrados a seguir deverão ser repetidos até que a
convergência seja atingida.
Cálculo nodal da corrente para os nós
[
]
[
(
⁄
)
( )(
⁄
)
( )(
⁄ )
( )(
)]
[
] [
]
( )(4.3)
sendo:
as injeções de correntes no nó i;
as injeções de potência conhecidas no nó i;
as tensões no nó i;
as admitâncias próprias dos elementos shunt no nó i;
a admitância mútua entre os elementos shunt
e no
nó i ( );
a admitância de aterramento no nó i;
número da iteração.
Etapa Backward - cálculo das correntes nos ramos
Começando a partir do ramo na última camada e seguindo-se em direção do
nó principal, a corrente no ramo é:
[
]
( )[
]
( )∑ [
]
( )(4.4)
Etapa Forward – cálculo das tensões para os nós
Começando da primeira camada em direção à última, a tensão no nó é:
[
]
( )[
]
( )[
] [
]
( )(4.5)
Critério de convergência
Ao fim da iteração verificam-se os erros entre as potências calculadas e as
conhecidas de cada nó para todas as fases através das equações (4.7):
( )
( )
(
( ))
|
|
( )
( )
(
( ))
|
|
(4.7)
( )
( )
(
( ))
|
|
Caso a parte real ou imaginária de qualquer erro de potência é maior que o
critério de convergência, os passos 1 a 3 são repetidos até alcançar a convergência.
CAPÍTULO 5
5.
APLICAÇÕES E RESULTADOS
Neste capítulo é apresentado o sistema teste IEEE 34 barras ao qual será
aplicado o método de resolução do fluxo de potência apresentado nos capítulos
anteriores e implementado em GAMS. Os resultados do calculo de fluxo são
apresentados e seus resultados discutidos.
5.1. Sistema teste IEEE-34 barras
O sistema-de distribuição de energia elétrica utilizado, foi adaptado do
sistema teste IEEE 34 barras (IEEE DISTRIBUTION PLANNING WORKING GROUP
REPORT, 1991) visto na Figura 5.1, será utilizado como objeto deste estudo.
Localizado no estado norte americano do Arizona ele incorpora todas as possíveis
configurações práticas e características de carga de um sistema real. A tensão
nominal do alimentador é de 24,9 kV, e a tensão de referência no nó principal é de
25,647 kV, a distribuição é feita por Linhas de Distribuição Aéreas (LDA) de bitolas
CAA #1/0, CAA #2 e CAA #4 com uma relação X/R entre 0,68 e 1,81. Suas
principais características são:
Muito longo e com carregamento médio;
Carregamento nas barras com cargas distribuídas (Tabela 5.2);
Capacitores em paralelo nas barras 28 e 33 (Tabela 5.1).
Tabela 5.1 – Injeção de potência reativa pelo banco de capacitores.
Fonte: Adaptado de (IEEE DISTRIBUTION PLANNING WORKING GROUP REPORT, 1991).
Barra
Qca (kVAr)
Qcb (kVAr)
Qcc (kVAr)
Figura 5.1 – Interligações da Rede IEEE 34 Barras.
Fonte: Adaptado de (IEEE DISTRIBUTION PLANNING WORKING GROUP REPORT, 1991).
Tabela 5.2 – Injeção de potências ativas e reativas nas barras.
Fonte: Adaptado de (IEEE DISTRIBUTION PLANNING WORKING GROUP REPORT, 1991).
Barra
Pa (kW)
Qa (kVAr)
Pb (kW)
Qb (kVAr)
Pc (kW)
Qc (kVAr)
1
0,0
0,0
15,0
7,5
12,5
7,0
2
0,0
0,0
15,0
7,5
12,5
7,0
3
0,0
0,0
8,0
4,0
0,0
0,0
4
0,0
0,0
8,0
4,0
0,0
0,0
8
0,0
0,0
2,5
1,0
0,0
0,0
9
17,0
8,5
0,0
0,0
0,0
0,0
10
0,0
0,0
22,5
11,0
2,0
1,0
11
84,5
43,5
0,0
0,0
0,0
0,0
12
3,5
1,5
0,0
0,0
2,0
1,0
13
0,0
0,0
20,0
10,0
0,0
0,0
14
67,5
35,0
0,0
0,0
0,0
0,0
15
13,5
6,5
12,0
6,0
25,0
10,0
16
0,0
0,0
2,0
1,0
0,0
0,0
19
3,5
1,5
1,0
0,5
3,0
1,5
21
6,5
3,0
8,5
4,5
9,5
5,0
22
150,0
75,0
150,0
75,0
150,0
75,0
23
10,0
5,0
17,5
9,0
61,5
31,0
24
0,0
0,0
1,0
0,5
0,0
0,0
25
43,0
27,5
35,0
24,0
96,0
54,5
26
4,5
2,5
0,0
0,0
0,0
0,0
27
24,0
12,0
16,0
8,5
21,0
11,0
28
139,5
107,5
147,5
111,0
145,0
110,5
29
0,0
0,0
14,0
7,0
0,0
0,0
30
18,0
11,5
20,0
12,5
9,0
7,0
31
0,0
0,0
24,0
11,5
0,0
0,0
32
0,0
0,0
14,0
7,0
0,0
0,0
33
20,0
16,0
31,5
21,5
20,0
16,0
5.2. Cálculo das impedâncias das linhas
Para resolver o fluxo de potência, é necessário determinar as matrizes
impedâncias de cada trecho do sistema para apresenta-las como dado de entrada
no algoritmo desenvolvido. Como forma de exemplificar os cálculos, será
demostrado com detalhes o processo de obtenção das matrizes 5x5 e 4x4
correspondente ao treco 0 – 1 da Figura 5.1.
[ ̅
]
[
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
]
O sistema IEEE estudado utilizada cabos ACSR #2 6/1 que possui uma
resistência de 1,0501173
Ω/km. As distâncias verticais e horizontais das fases e o
neutro são:
d
ab= 0,7620 m
d
ac= 1,3716 m
d
an= 0,4572 m
d
bc= 2,1336 m
d
bn= 1,2192 m
d
cn= 0,9144 m
h
a= h
b= h
c= 8,5344 m
h
n= 7,3152 m
A partir destes dados obtemos um raio médio geométrico de 1,274E-06 km, e
assim podemos calcular as impedâncias próprias das fases e neutro utilizando (3.9).
̅
̅
̅
(
)
̅
̅
̅
( )
( ) (
(
)
)
̅
̅
̅
̅
( )
( ) (
(
)
)
̅
As impedâncias mútuas das fases e do neutro são determinadas por (3.10).
̅
( ) (
√( )
( )
√( )
( )
)
̅
̅
( ) (
√( )
( )
√( )
( )
)
̅
̅
( ) (
√( )
( )
√( )
( )
)
̅
̅
( ) (
√( )
( )
√( )
( )
)
̅
̅
( ) (
√( )
( )
√( )
( )
)
̅
̅
( ) (
√( )
( )
√( )
( )
)
̅
Para determinar a impedância própria e a impedância mútua do solo usamos
as equações (3.6) e (3.7) respectivamente, Assim temos:
̅
( ) (
)
̅
̅
( )
√
⁄
̅
( )
√
⁄
̅
( )
√
⁄
̅
( )
√
⁄
Como a matriz impedância se trata de uma matriz simétrica, não é necessário
calcular os demais elementos, assim temos:
[ ̅ ] [ ]
Multiplicando pelo comprimento 0,7864 km equivalente ao trecho 0 – 1 temos:
[ ̅ ] [ ]
Como neste estudo estamos tratando um sistema a quatro fios com o cabo
neutro isolado, porém sem desconsiderar os efeitos que o condutor terra provoca na
rede. Transferimos os efeitos do condutor fictício terra às fases e ao condutor neutro
para montar a matriz 4x4 utilizando as equações (3.14) e (3.15). Assim temos:
