SINCRONIZAÇÃO DOS DISPAROS DE NEURÔNIOS ACOPLADOS CONSIDERANDO UMA CONFIGURAÇÃO MESTRE-ESCRAVO

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SINCRONIZAÇÃO DOS DISPAROS DE NEURÔNIOS ACOPLADOS

CONSIDERANDO UMA CONFIGURAÇÃO MESTRE-ESCRAVO

BURSTING SYNCHRONIZATION OF COUPLED NEURONS CONSIDERING A

MASTER-SLAVE CONFIGURATION

Marli Terezinha Van Kan1,*; Antonio Marcos Batista1,2; Kelly Cristiane Iarosz2; Robson Conrado Bonetti3

1*

Autora para contato: Universidade Estadual de Ponta Grossa – Departamento de Matemática e Estatística, Ponta Grossa – PR. e-mail: marlivk@gmail.com

2

University of Aberdeen - Institute for Complex Systems and Mathematical Biology – ICSMB – United Kingdon.

3

Universidade Estadual de Ponta Grossa – Programa de Pós-Graduação em Ciências/Física, Ponta Grossa – PR.

RESUMO

Este artigo apresenta a sincronização de disparos para neurônios de Hindmarsh-Rose acoplados unidirecionalmente de acordo com a configuração mestre-escravo. A sincronização pode ser associada a algumas patologias como Parkinson e epilepsias. Verificamos a sincronização dos disparos para um extenso intevalo da intensidade do acoplamento. Além disso, mostramos resultados para a entropia de Kolmogorov-Sinai. A entropia diminui para acoplamentos intensos, quando os neurônios estão sincronizados.

Palavras chave: neurônio; Hindmarsh-Rose; sincronização.

ABSTRACT

This paper presents the bursting synchronization for unidirectional coupled Hindmarsh-Rose neurons according to master-slave configuration. The synchronization may be associated with some

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2

pathological conditions like Parkinson's disease, and epilepsies. We verified bursting synchronization for wide intervals of the coupling strength. Moreover, we showed results for the Kolmogorov-Sinai entropy. The entropy decreases for strong coupling, when the neurons are synchronized.

Key words: neurons; Hindmarsh-Rose; synchronization.

1. INTRODUÇÃO

A neurociência é e ainda será uma das áreas mais promissoras da ciência nos 10 próximos anos (Lent, 2010; Cookson, 2011). Neste trabalho aborda-se o estudo da sincronização de disparos em um sistema formado por dois neurônios acoplados unidirecionalmente, sendo que foi escolhido o modelo neuronal de Hindmarsh-Rose (Hindmarsh, 1984) para as simulações.

1.1. NEURÔNIO

O principal ente deste trabalho é o neurônio, uma unidade morfofuncional do sistema nervoso que opera em conjunto com outros neurônios e com células de apoio chamadas gliais. Assim como as demais células o neurônio possui uma membrana plasmática que envolve um citoplasma contendo organelas com diferentes funções. O que o diferencia das demais células é sua morfologia adaptada para o processamento de informações (Lent, 2010).

Na Figura (1) pode-se observar a estrutura básica de um neurônio constituído basicamente de um corpo celular onde encontram-se o núcleo, o citoplasma, as organelas e o citoesqueleto. Um axônio, responsável pela condução dos impulsos elétricos. Dendritos e terminais do axônio que atuam como terminais de recepção e transmissão de estímulos nervosos, respectivamente.

Os pontos nos quais os neurônios e suas extensões fazem contato com outros neurônios são denominados sinapses. As sinapses podem ser elétricas ou químicas (Chialvo, 2004). Em sinapses químicas, a transmissão de um impulso envolve a liberação de neurotransmissores ou de

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3

mediadores químicos das células pré-sinápticas para as células pós-sinápticas, já nas sinapses elétricas o impulso elétrico passa diretamente de uma célula para outra (Bear, 2002).

FIGURA 1

Figura 1 – Representação esquemática de um neurônio com corpo celular, axônio, terminal de recepção e de

transmissão de estímulos nervosos (Adaptado de Levada, 1996).

As sinapses permitem que a informação, na forma de um pulso de potencial elétrico, o chamado potencial de ação, se propaguem por neurônios associados entre si com o objetivo de cumprir funções (Gerstner, 2002). Estes neurônios associados formam os chamados circuitos ou redes neurais (Lent, 2010).

Sabe-se que um neurônio isolado exibe uma dinâmica complexa como resultado de interações não lineares comuns em processos celulares. Já, quando os neurônios se encontram acoplados em rede, um tipo de dinâmica coletiva surge e é conhecida como sincronização (Belykh, 2005).

1.2. SINCRONIZAÇÃO

A sincronização é o fenômeno que mostra a correlação da dinâmica de diferentes sistemas quando estes apresentam alguma forma de interação (Pikovsky, 2001), e é observada em sistemas naturais (Mirollo, 1990). Em neurociência, evidências experimentais indicam que a sincronização desempenha um papel importante na transmissão de informação. O estudo do potencial de ação e dos padrões de disparo de neurônios é útil na compreensão do mecanismo de codificação neural. A sincronização caótica em redes de neurônios é um problema em neurociência e investigações têm demonstrado que a sincronização de disparos tem relação com a doença de Parkinson e a epilepsia (Gray, 1994).

A sincronização caótica surge com a constatação que dois sistemas caóticos poderiam ter sua evolução temporal idêntica com um sinal de condução (Pecora, 1990). A dinâmica de um sistema é caótica se for aperiódica, limitada no espaço, e sensível às condições iniciais (Alligood,

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4

1996). Um sistema caótico é susceptível à sincronização a qual pode ser completa, sincronização de fase, sincronização com atraso, sincronização generalizada e sincronização de disparos (Pikovsky, 2001). Na sincronização completa devido a forte interação entre dois ou um número de sistemas com a mesma dinâmica e igual conjunto de parâmetros, as variáveis de estado dos sistemas individuais assumem o mesmo valor no mesmo instante de tempo. Em particular, neste trabalho, será evidenciada a sincronização de disparos, quando os neurônios começam e terminam os disparos simultaneamente. Um disparo é um potencial de ação seguido por um período de repouso.

Como citado no início, estudou-se a sincronização de disparos em um modelo com dois neurônios acoplados unidirecionalmente, um dos neurônios é chamado de mestre e o outro de escravo. Cada modelo neural fornece uma descrição da dinâmica do potencial de membrana de um neurônio, escolheu-se o modelo Hindmarsh-Rose (Hindmarsh, 1984) o qual é descrito por um sistema de três equações diferenciais de primeira ordem.

2. MODELO

O modelo Hindmarsh-Rose (HR) (Hindmarsh, 1982) foi desenvolvido a partir de uma modificação das equações de FitzHugh e Nagumo (FitzHugh, 1961; Nagumo, 1962) que por sua vez são equações provenientes da simplificação das equações do modelo de Hodgkin e Huxley (Hodgkin, 1952). O modelo HR (Hindmarsh, 1982) simula o potencial de ação por meio de duas equações diferenciais de primeira ordem e fornece o comportamento de pulsos rápidos. Tem a propriedade de que cada sequência de pulsos seja separada por intervalo de quiescência, sendo o modelo representado pelo conjunto de equações (1),

,

2 3

I

bx

ax

y

dt

dx

_

_

_

(1)

,

2

y

dx

c

dt

dy

_

_

(5)

5

onde a, b, c e d são parâmetros constantes, I corresponde a entrada de corrente na membrana do neurônio, x representa o potencial na membrana e y o conjunto de canais iônicos rápidos ligados ao transporte de sódio e potássio.

Em 1984, Hindmarsh e Rose aperfeiçoaram o modelo fazendo uma adaptação afim de que disparos caóticos fossem obtidos (Hindmarsh, 1984). Para produzir este efeito foi acrescentada uma corrente z no conjunto de equações (1) e o modelo passa a ser descrito por um sistema de três equações diferenciais de primeira ordem:

I

z

bx

ax

y

dt

dx

_

_

3

_

2

_

_

, (2)

y

dx

c

dt

dy

_

_

₂

_

, (3)







s

x

z



r

dt

dz

_

_

0 . (4)

Nas equações x representa o potencial na membrana, y representa a troca de íons através da membrana por meio de canais de transporte rápido e a variável z representa a troca por meio de canais de transporte lento. Os parâmetros a, c e d são considerados constantes, enquanto b é parâmetro do sistema. O parâmetro r governa o comportamento dos disparos, s o de adaptação e x0

define o potencial de repouso do sistema.

A dinâmica do potencial de membrana x para diferentes valores da corrente I aplicada e valores de parâmetros a = 1, b = 3, c = 1, d = 5, r = 0,006, s = 4 e x0 = - 1,6 é exibida na Figura

(2). Na Figura (2a) apresenta-se soluções do modelo HR, onde o potencial de ação vai para um valor constante, em (2b) tem-se disparos periódicos, em (2c) apresentam-se disparos caóticos e em (2d) mostram-se disparos periódicos.

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6

Figura 2 – Séries temporais para o potencial de ação de acordo com as equações (2), (3) e (4), considerando

a = 1, b = 3, c = 1, d = 5, r = 0,006, s = 4 e x0 = - 1,6. Também foram considerados os seguintes valores

para corrente: (a) I = 1,3, (b) I = 2,0, (c) I = 3,2, (d) I = 3,5.

Estes comportamentos dinâmicos podem ser caracterizados por meio de intervalos de tempo entre picos consecutivos. Os intervalos de tempo são conhecidos como intervalos entre picos e é nesta estrutura de intervalos entre picos que os neurônios codificam a informação (Sejnowski, 1995). Portanto, são considerados observáveis relevantes para a dinâmica neuronal. Desta forma, para se ter uma visão geral da transição entre os regimes de disparo do modelo HR, utiliza-se o diagrama de bifurcações, onde são mostrados os intervalos entre picos consecutivos dados por

n

t







_₁ em função da corrente I, que é o parâmetro de controle do modelo. O diagrama de bifurcações fornece informações sobre as soluções do sistema de acordo com a variação do parâmetro de controle do modelo. Outros conhecimentos sobre os comportamentos dinâmicos do modelo HR podem ser obtidos por meio do cálculo dos expoentes de Lyapunov.

Definida uma trajetória por meio do modelo HR, pode-se analisar o que ocorre com uma trajetória vizinha desta. Os expoentes de Lyapunov fornecem a taxa da média com que as trajetórias se aproximam ou se afastam no espaço de estados. Quando a evolução de duas trajetórias muito próximas, para um determinado conjunto de parâmetros, divergem exponencialmente, o sistema é caótico. Por definição, os expoentes de Lyapunov são dados pela equação (5)

v

DF

n

n n k

ln

.

1 lim

 





, (5)

em que DFn é a matriz jacobiana no n-ésimo instante de tempo, v corresponde a direção tangente à trajetória no espaço de estados. Calculando-se os logaritmos dos autovalores da matriz produto de n matrizes jacobianas obtém-se os expoentes de Lyapunov.

Para um sistema com N equações o espectro de expoentes de Lyapunov é formado por N expoentes, os quais são ordenados de modo decrescente, 1 > 2 > ... N. Um ou mais expoentes de

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7

O algoritmo de Wolf (Wolf, 1985) é uma das formas utilizada para calcular numericamente os expoentes de Lyapunov de um conjunto de equações diferenciais. Os expoentes de Lyapunov k,

k = 1, 2, 3 do sistema Hindmarsh-Rose de equações (2), (3) e (4) foram calculados utilizando o algoritmo de Wolf. O espectro de expoentes de Lyapunov foi determinado em função da corrente no intervalo de interesse e exibido na Figura (3). Pode-se observar que existem valores para a corrente I que pertencem ao intervalo [2,9 - 3,4] para a qual o sistema possui um expoente de Lyapunov positivo. Na Figura (3a), o expoente de Lyapunov máximo é positivo indicando comportamento caótico sendo máx = 0,0367 para a corrente I = 3,3. O valor do expoente de Lyapunov máximo está

associado à direção de maior divergência de duas trajetórias inicialmente próximas no espaço de estados. A Figura (3b) mostra o diagrama de bifurcação do modelo Hindmarsh-Rose da equação (2), focando o intervalo onde existem disparos caóticos.

FIGURA 3

Figura 3 – Em (a) está representado o maior expoente de Lyapunov do modelo Hindmarsh-Rose em função

da corrente I, enquanto que em (b) está o diagrama de bifurcação do modelo Hindmarsh-Rose (2), de intervalo entre picos em função da corrente.

A partir do estudo de um neurônio por meio do modelo de Hindmarsh-Rose, será mostrado que o comportamento de sincronização de disparos pode ser obtido por um acoplamento unidirecional entre dois neurônios.

3. DISCUSSÕES E RESULTADOS

3.1. MODELO DE HINDMARSH-ROSE COM ACOPLAMENTO MESTRE-ESCRAVO

Uma forma de estudar a sincronização de sistemas caóticos é por meio do formalismo mestre-escravo de Pecora e Carroll (Pecora, 1990), que consiste em um acoplamento unidirecional. Quando o acoplamento é unidirecional, a sincronização é alcançada como resposta da ação de uma

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8

força externa, ou seja, o sistema mestre ajusta o sistema escravo. A dinâmica do sistema escravo é alterada pela influência do sistema mestre. Um esquema do acoplamento unidirecional pode ser observado na Figura (4).

FIGURA 4

Figura 4 – Representação esquemática de um acoplamento unidirecional mestre-escravo.

O sistema com dois neurônios conectados via acoplamento unidirecional na configuração mestre-escravo pode ser expresso reescrevendo as equações (2), (3) e (4) com índices distintos representando o sistema mestre e o sistema escravo:

1 1 2 1 3 1 1 1

_y

_ax

_bx

_z

_I

dt

dx

_

_

_

_

_

, 1 2 1 1

_c

_dx

_y

dt

dy

_

_

, (6)





1 0



1



1

_r

_s

_x

_z

dt

dz





, e



₁ ₂



2 2 2 2 3 2 2 2

_y

_ax

_bx

_z

_I

_x

dt

dx

_

_

_

_

_

_

_

, 2 2 2 2

_c

_dx

_y

dt

dy

_

_

, (7)







2 0 2



2

_r

_s

_x

_z

dt

dz

_

_

.

O neurônio mestre de índice 1 dirige o neurônio escravo de índice 2. O contrário não é permitido, sendo que essa restrição é feita quando é inserido no modelo o acoplamento unidirecional .(x1 - x2). A intensidade de acoplamento  é um número no intervalo [0, 1]. O

estímulo externo utilizado é a corrente I, a qual serve como parâmetro de controle. Quando a corrente assume determinado valor, o neurônio pode exibir disparos periódicos ou disparos

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9

caóticos. Neste estudo, a corrente I foi fixada no valor 3,2 onde o modelo descreve uma evolução caótica.

Para valores da intensidade de acoplamento  pequeno não ocorre sincronização de disparos. O neurônio mestre dispara em intervalos de tempo diferentes do neurônio escravo e as amplitudes dos disparos são diferentes. Para valores maiores da intensidade de acoplamento , os dois neurônios na configuração mestre-escravo apresentam sincronização completa que é interpretada como a igualdade das variáveis de estado enquanto evoluem no tempo, como pode ser observado na Figura (5).

FIGURA 5

Figura 5 - Respostas dos potenciais de ação do mestre (preto) e do escravo (vermelho) em

função do tempo considerando a intensidade de corrente I = 3,2 para dois valores de intensidade de acoplamento (a)  = 0,2 e (b)  = 0,95.

A existência de sincronização completa implica em um erro de sincronização e(t) = 0, sendo e(t) definido como e(t) = [x1(t) - x2(t)]. Para que uma transmissão de informação, baseada em

sincronização de caos, ocorra com sucesso é necessário que o erro de sincronização seja minimizado a fim de que o desempenho do sistema seja eficiente. Visando caracterizar a sincronização em função do parâmetro de acoplamento foi utilizada a média temporal do erro







1 (

)

(

2 1

t

e

t

m

e

.

Foi considerado que a sincronização ocorre para

e

(

m

)



0 ,

001

. Na Figura (5) pode-se observar que, para uma extensa faixa de valores de , os dois neurônios na configuração mestre-escravo apresentam valores diferentes para as variáveis de estado tornando a média muito superior ao valor de tolerância 0,001, enquanto que para  = 0,95, o valor da média entre as variáveis torna-se aproximadamente igual a zero. Portanto, obtorna-servou-torna-se que ocorre a sincronização caótica a partir do valor  = 0,95. O espaço de estados do sistema mestre-escravo possui 6 dimensões com

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10

coordenadas x1, y1, z1, x2, y2, z2 e quando o sistema mestre-escravo está sincronizado, a evolução

deste acontece em uma dimensão menor, isto é, dimensão igual a 3.

FIGURA 6

Figura 6– Intensidade de acoplamento mestre-escravo no modelo HR em função da média do módulo da

diferença entre as trajetórias de x1 e x2.

A partir do modelo HR acoplado unidirecionalmente determinou-se os expoentes de Lyapunov do sistema mestre-escravo. A matriz Jacobiana para o sistema mestre-escravo é dada por























r

rs

dx

bx

ax

r

rs

dx

bx

ax

0

1

2

0

1

2

3

0

1

2

0

1

2

3

2 2 2 2 1 1 2 1



.

Os expoentes de Lyapunov foram obtidos por meio de aproximação numérica utilizando o algoritmo de Wolf (Wolf, 1985). O espectro de expoentes de Lyapunov é composto por seis expoentes. Um expoente k > 0 implica em um atrator caótico (Eckmann, 1985). Os expoentes de

Lyapunov caracterizam a estabilidade das soluções do modelo estudado. A estabilidade é uma característica importante no sistema no sentido da capacidade do modelo retornar ao estado de equilíbrio após perturbações.

Uma medida útil neste estudo é a entropia de Kolmogorov-Sinai que considera a média de todos os expoentes de Lyapunov positivos e refere-se ao grau de caoticidade no sistema mestre-escravo abordado. Calculou-se a entropia em função do acoplamento  no intervalo 0 ≤  ≤ 1 para o valor da corrente I = 3,2. Existe um valor  de valor 0,45 para o qual a entropia de Kolmogorov-Sinai alcança um valor máximo de 0,0148. Pode-se verificar na Figura (7) que aumentando-se a intensidade do acoplamento, o valor da entropia Kolmogorov-Sinai oscila em torno de 0,0125 e na

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sequência vai tornando-se menor e próximo de zero, indicando que o sistema entra em um regime de sincronização de caos.

FIGURA 7

Figura 7– Representação da Entropia Kolmogorov-Sinai em função da intensidade de acoplamento

para I = 3,2, possibilitando a observação do grau de caoticidade no sistema mestre-escravo.

4. CONCLUSÕES

Neste trabalho investigou-se o fenômeno da sincronização de dois neurônios acoplados unidirecionalmente na configuração mestre-escravo considerando o modelo neuronal proposto por Hindmarsh e Rose.

Pode-se verificar a sincronização de disparos de dois neurônios para um conjunto de valores da intensidade de acoplamento, sendo que foi utilizado como diagnostico o erro de sincronização. A sincronização de caos ocorre quando o sistema apresenta uma forte intensidade de acoplamento na configuração mestre-escravo.

Além disso, calculou-se a entropia de Kolmogorov-Sinai. Esta entropia diminui quando a intensidade do acoplamento aumenta, mostrando que também pode ser utilizada como diagnóstico de sincronização de caos. Os resultados apresentados mostram-se importantes para a compreensão da dinâmica de neurônios acoplados unidirecionalmente e também da sincronização de caos em redes neurais.

Agradecimentos

A realização do trabalho foi possível devido ao auxílio financeiro das seguintes agências: CNPq, CAPES e Fundação Araucária.

5. REFERÊNCIAS

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2. COOKSON, C. Science’s 10 hottest fields. Financial Times Magazine. Disponível em: http://www.ft.com/intl/cms/s/2/bedd6da8-9d37-11e0-997d-00144feabdc0.html#axzz2ZJpwXurg acesso em: 17/07/2013.

3. LEVADA, M. M. O., WALCIR, J., PIVESSO, M. S. G. Apontamentos Teóricos de Citologia,

Histologia e Embriologia. São Paulo: Catálise Editora, 1996.

4. CHIALVO, D. R. Critical brain networks. Physica A, v. 340, p. 756-765, 2004.

5. BEAR, M. F.; CONNORS, B. W.; PARADISO, M. A. Neuroscience: exploring the brain. v. único, 3 ed. Philadelphia: Lippincott Williams & Wilkins, 2002. 928 p.

6. GERSTNER, W. M., KISTLER, W. Spiking neuron models. v. único, 4 ed. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. 480 p.

7. IZHIKEVICH, E. M. Dynamical systems in neuroscience: The geometry of excitability and bursting. MIT Press, Cambridge, 2007.

8. PECORA, L. M., CARROLL, T. L. Synchronization in chaotic systems. Physical Review Letters. v. 64, 8, p. 821-825, 1990.

9. PIKOVSKY, A., ROSEMBLUM, M., KURTHS, J. Synchronization: A universal of concept in

nonlinear sciences. Cambridge University Press, Cambridge, England, 2001.

10. GRAY, C. M. Synchronous oscillations in neuronal systems: Mechanisms and functions. Journal of Computational Neuroscience, v. 1, p. 11-38, 1994.

11. ALLIGOOD, K. T.; SAUER, T. D.; YORKE, J. A. Chaos: an Introduction to Dynamical

Systems. New York: Springer-Verlag, 1996.

12. MIROLLO, R. E., STROGATZ, S. H. Synchronization of pulse-coupled biological

oscillators. SIAM J.Appl.Math. v. 50, p. 1645-1662, 1990.

13. HINDMARSH, J. L., ROSE, R. M. A model of neuronal bursting using three coupled first

(13)

13

14. HODGKIN, A. L., HUXLEY, A. F. A quantitative description of membrane current and its

application to conduction and excitation in nerve. Journal of Physiology, v. 117, p. 500-544,

1952d.

15. HINDMARSH, J. L., ROSE, R. M. A model of the nerve impulse using two first-order

differential equations. Nature, v. 296, 162, 1982.

16. THOMPSON, S. H., SMITH, S. J. Depolarizing after potentials and burst production in

molluscan pacemaker neurones. J. Neurophysiol., New York, v. 39, p. 153-161, 1976.

17. FITZHUGH, R. Impulses and physiological states in the theoretical models of nerve

membrane. Biophysics Journal, 1,45-465, 1961.

18. NAGUMO, J., ARIMOTO, S., YOSHIZAWA, S. An active pulse transmission line

simulating nerve axon. Proceeding of Institute of Radio Engineers. v. 50, p. 2061-2070, 1962.

19. SEJNOWSKI, T. J. Time for a new neural code? Nature. v. 376, p. 21-22, 1995.

20. WOLF, A., SWIFT, J. B., SWINNEY, H. L.,VASTANO, J. A. Determining Lyapunov from a

times-series. Physica D, Amsterdam, v. 16, p. 285-317, 1985.

21. ECKMANN, J. P., RUELLE, D. Ergodic theory of chaos and strange attractors. Rev.Mod. Phys., Minneapolis, v. 57, p. 617-656, 1985.

ENDEREÇO PARA CORRESPONDÊNCIA

Professor Dra. Marli Terezinha Van Kan Departamento de Matemática e Estatística Av. General Carlos Cavalcanti, 4748 Ponta Grossa - Paraná - CEP 84030-000

Telefones para contato: (42) 3220-3289 / (42) 3220-3050 e-mail: marlivk@gmail.com

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14 INFORMAÇÕES DOS AUTORES

1, * - Nome completo: Marli Terezinha Van Kan

Filiação institucional: Universidade Estadual de Ponta Grossa Departamento: Departamento de Matemática e Estatística Função ou cargo ocupado: Docente

Titulação: http://lattes.cnpq.br/9084962278594894

Endereço completo para correspondência: Avenida General Carlos Cavalcanti, 4748 – Ponta Grossa – Paraná – CEP 84030-000

Telefones para contato: (42) 3220-3289 / (42) 3220-3050 e-mail: marlivk@gmail.com

1, 2 - Nome completo: Antonio Marcos Batista

Filiação institucional: Universidade Estadual de Ponta Grossa Departamento: Departamento de Matemática e Estatística Função ou cargo ocupado: Docente

Titulação: http://lattes.cnpq.br/2701382557962687

Telefones para contato: (42) 3220-3289 / (42) 3220-3050 e-mail: antoniomarcosbatista@gmail.com

2 - Nome completo: Kelly Cristiane Iarosz Filiação institucional: University of Aberdeen

Institute for Complex Systems and Mathematical Biology (ICSMB) Função ou cargo ocupado: Pós-doutoranda CNPq - Brasil

(15)

15 Titulação: http://lattes.cnpq.br/8926756641425188

Telefones para contato: (42) 3220-3289 / (42) 3220-3050 e-mail: kiarosz@gmail.com

3 - Nome completo: Robson Conrado Bonetti

Filiação institucional: Universidade Estadual de Ponta Grossa Departamento: Pós-Graduação em Ciências/Física

Função ou cargo ocupado: Aluno de pós-graduação/Doutorado Titulação: http://lattes.cnpq.br/1347462747657438

Telefones para contato: (42) 3220-3289 / (42) 3220-3050 e-mail: rcbonetti@gmail.com