1. Matrizes 1.1 Definição de Matrizes. Matriz de ordem m por n é um quadro de m n elementos (números, funções, etc) dispostos em m linhas e n colunas.

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1. Matrizes

1.1 Definição de Matrizes

Tem-se, a seguir, uma matriz 𝐴, genérica: 𝐴 = [ 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ … 𝑎_1𝑛 … 𝑎_2𝑛 ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋮ … 𝑎𝑚𝑛 ] ou 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]_𝑚×𝑛 Notações: [ ], ‖ ‖ e ( )

Costuma-se denotar as matrizes por letras latinas maiúsculas: A, B, C, ...

Na matriz 𝐴, genérica, seus elementos são formados pela mesma letra minúscula de sua matriz com dois índices, o primeiro índice indica a linha e o segundo indica a coluna onde se encontra este elemento na matriz. Assim, por exemplo, o elemento 𝑎₂₁ está na 2ª linha e 1ª coluna.

Ex1: Determine a matriz 𝐴 = [𝑎_𝑖𝑗]

2×3 tal que 𝑎𝑖𝑗 = { 2𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 ≥ 𝑗 𝑖 − 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗 𝐴 = [3 −1 −2 5 6 −1] 1.2 Tipos de Matrizes

Os tipos de matrizes são de acordo com: o número de linhas ou de colunas; a relação entre o número de linhas e colunas; os tipos de elementos da matriz.

Seja uma matriz 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]_𝑚×𝑛.

1.2.1 Matriz coluna

É a matriz de ordem 𝑚 × 1 Ex: 𝐴 = [−2

7 ]

Matriz de ordem 𝑚 por 𝑛 é um quadro de 𝑚 × 𝑛 elementos (números, funções, etc) dispostos em 𝑚 linhas e 𝑛 colunas.

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1.2.2 Matriz linha

É a matriz de ordem 1 × 𝑛 Ex: 𝐴 = [0 −5 7]

1.2.3 Matriz Nula

É a matriz tal que 𝑎_𝑖𝑗 = 0, ∀ 𝑖, 𝑗

Ex: 𝐴 = [0 0 0 0 0 0]

1.2.4 Matriz quadrada

É uma matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas, ou seja, 𝑚 = 𝑛. Ex: 𝐴 = [

2 9 −3

−6 4 0

7 −1 5

]

Denominam-se elementos da diagonal principal aos elementos 𝑎𝑖𝑗 onde 𝑖 = 𝑗.

Denominam-se elementos da diagonal secundária aos elementos 𝑎_𝑖𝑗 onde 𝑖 + 𝑗 = 𝑛 + 1. Traço de uma matriz 𝐴, notação 𝑇𝑟(𝐴), é a soma dos elementos da diagonal principal. Ex: O traço da matriz 𝐴 do exemplo acima é 𝑇𝑟(𝐴) = 2 + 4 + 5 = 11

1.2.4.1 Matriz diagonal

É a matriz quadrada tal que 𝑎𝑖𝑗 = 0, para 𝑖 ≠ 𝑗

Ex: 𝐴 = [ 3 0 0 0 −7 0 0 0 4 ] 1.2.4.2 Matriz identidade

É a matriz quadrada tal que 𝑎_𝑖𝑗 = {1, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗 0, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗 Ex: 𝐴 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]

Obs.: Uma matriz identidade é comumente denotada por 𝐼 ou por 𝐼𝑛, onde 𝑛 indica a

ordem da matriz.

1.2.4.3 Matriz triangular superior É a matriz tal que 𝑎_𝑖𝑗 = 0, 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗 Ex: 𝐴 = [

6 3 7

0 3 −8

0 0 2

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1.2.4.4 Matriz triangular inferior

É a matriz tal que 𝑎𝑖𝑗 = 0, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗

Ex: 𝐴 = [ 5 0 0 −2 8 0 9 −1 3 ] 1.2.5 Matriz oposta

A matriz oposta da matriz 𝐴, indicada por −𝐴, é uma matriz cujos elementos são os opostos dos elementos da matriz 𝐴.

Ex: 𝐴 = [−2 0 3

5 −4 7] então −𝐴 = [ 2 0 −3

−5 4 −7]

1.3 Operações com Matrizes 1.3.1 Igualdade matricial

Sejam as matrizes 𝐴 = [𝑎_𝑖𝑗]

𝑚𝑥𝑛 e 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗]𝑚𝑥𝑛, de mesma ordem 𝑚𝑥𝑛 . Diz-se que as

matrizes 𝐴 e 𝐵 são iguais se, e somente se,

𝑎_𝑖𝑗 = 𝑏_𝑖𝑗, ∀ 𝑖, 𝑗 Ex: Calcule 𝑥 e 𝑦 sabendo-se que [5 𝑥 − 2 0

3𝑦 6 −1] = [

5 7 0

−𝑦 + 12 6 −1]

1.3.2 Adição de matrizes

Sejam as matrizes 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]_𝑚𝑥𝑛 e 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗]_𝑚𝑥𝑛, de mesma ordem 𝑚𝑥𝑛. A soma de 𝐴 e 𝐵

é uma matriz 𝐶 = [𝑐𝑖𝑗]_𝑚𝑥𝑛, indicada por 𝐶 = 𝐴 + 𝐵, tal que 𝑐𝑖𝑗= 𝑎𝑖𝑗+ 𝑏𝑖𝑗.

Ex: Seja 𝐴 = [2 −1 0 3 ] e 𝐵 = [ −5 −2 4 4 ], assim 𝐴 + 𝐵 = [2 −1 0 3 ] + [ −5 −2 4 4 ] = [ −3 −3 4 7 ] 1.3.2.1 Diferença de matrizes

A diferença entre 𝐴 e 𝐵, indicada por 𝐴 – 𝐵, é definida por 𝐴 + (−𝐵).

1.3.2.2 Propriedades da adição matricial

Sejam 𝐴, 𝐵 e 𝐶 matrizes de mesma ordem, tem-se: I) 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶

II) 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 III) 𝐴 + 0 = 0 + 𝐴 = 𝐴 IV) 𝐴 + (−𝐴) = −𝐴 + 𝐴 = 0

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1.3.3 Multiplicação de um escalar por uma matriz Seja 𝐴 = [𝑎_𝑖𝑗]

𝑚𝑥𝑛 e 𝑘 um número real (𝑘 ∈ ℝ), define-se 𝑘𝐴 por

𝑘𝐴 = [𝑘𝑎_𝑖𝑗] 𝑚𝑥𝑛 Ex: 10 [2 −1 0 5 4 0,9] = [20 40 ] Ex: 10 [2 −1 0 5 4 0,9] = [ 20 −10 0 50 40 9]

1.3.3.1 Propriedades de Multiplicação de um escalar por uma matriz Sejam 𝐴 e 𝐵 matrizes de mesma ordem e 𝛼 e 𝛽 escalares, tem-se: I) (𝛼𝛽)𝐴 = 𝛼(𝛽𝐴)

II) (𝛼 + 𝛽)𝐴 = 𝛼𝐴 + 𝛽𝐴 III) 𝛼(𝐴 + 𝐵) = 𝛼𝐴 + 𝛼𝐵 IV) 1𝐴 = 𝐴

1.3.4 Multiplicação matricial

A multiplicação matricial entre 𝐴 e 𝐵, denotada por 𝐴𝐵, só é possível se o número de colunas da primeira matriz 𝐴 é igual ao número linhas da matriz 𝐵.

Ex.: Sejam 𝐴 = [ 3 5 0 −2 1 1 ]

e

𝐵 = [

−2 1

0

1 −1

5 −2

3

]

, calcule

𝐴𝐵: 𝐴𝐵 = [ 3 5 0 −2 1 1 ] [

−2 1

0

1 −1

5 −2

3

]

=

[

−6

8

2 −1

4

]

1.3.4.1 Propriedades da multiplicação matricial

Sejam 𝐴, 𝐵 e 𝐶 matrizes que possibilitem a multiplicação matricial e 𝛼 ∈ ℝ, tem-se: I) (𝐴𝐵)𝐶 = A(𝐵𝐶) II) (𝐴 + 𝐵)𝐶 = AC + 𝐵𝐶 𝐶(𝐴 + 𝐵) = 𝐶𝐴 + 𝐶𝐵 III) (𝛼𝐴)𝐵 = A(𝛼𝐵) = 𝛼(𝐴𝐵) IV) 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴, em geral 1.3.5 Matriz transposta

A transposta de uma matriz 𝐴 = [𝑎_𝑖𝑗] de ordem 𝑚𝑥𝑛 é uma matriz de ordem 𝑛𝑥𝑚, denotada por 𝐴𝑡_{, definida por 𝐴}𝑡_{= [𝑎}

𝑗𝑖].

Ex: 𝐴 = [1 2 −1

0 5 8 ] assim 𝐴

𝑡_{= [} _]

1.3.5.1 Propriedades da matriz transposta I) (A + B)𝑡 _{= A}𝑡_{+ B}𝑡

II) (𝛼𝐴)𝑡_{= 𝛼A}𝑡_{, 𝛼 ∈ ℝ}

III) (A𝑡)𝑡 _{= 𝐴}

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1.3.5.2 Matriz simétrica

Uma matriz quadrada 𝐴 é dita simétrica se A𝑡= 𝐴 Ex: 𝐴 = [

4 −5 11 6

]

1.3.5.3 Matriz antissimétrica

Uma matriz quadrada 𝐴 é dita antissimétrica se A𝑡 = −𝐴 1.4 Matriz Inversa

Uma matriz quadrada 𝐵 é inversa de uma matriz 𝐴 de mesma ordem, denotada por 𝐵 = 𝐴, se 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼. Ex: A matriz 𝐵 = [2 1 5 3] é inversa de 𝐴 = [ 3 −1 −5 2 ], pois 𝐴𝐵 = [ 1 0 0 1] (verifique). 1.4.1.1 Propriedades de matriz inversa

I) (A−1₎−1_{= 𝐴} II) (𝛼𝐴)−1= 1 𝛼A −1_{, 𝛼 ∈ ℝ}∗ III) (A𝑡)−1 _{= (A}−1₎𝑡 IV) (AB)−1_{= B}−1_A−1 Exercício 1) Dadas as matrizes 𝐴 = [2 −2 3 0 ], 𝐵 = [ 4 −1 0 2 ] e 𝐶 = [ 0 1

2 3], determine 𝑋 tal que 3𝑋 + 𝐵 = 2𝐴 − 𝐶𝑡_. Resp.: 𝑋 = [ 0 − 5 3⁄ 5 3 ⁄ _{− 5 3}⁄ ] 2) Considere as matrizes 𝐴 = [ 3 0 −1 2 1 1 ], 𝐵 = [4 −1 0 2 ], 𝐶 = [ 1 4 2 3 1 5], 𝐷 = [ 1 5 2 −1 0 1 3 2 4 ], 𝐸 = [ 6 1 3 −1 1 2 4 1 3

]. Calcule os seguintes (quando possível). a) 𝐶𝐴 b) 𝑡𝑟(𝐷 − 3𝐸)

Resp.: a) [1 10