Insper Instituto de Ensino e Pesquisa
Programa de Mestrado Profissional em Economia
Max Eduardo Lazarini Wienandts
TESTANDO A EFICIÊNCIA DO MERCADO ACIONÁRIO
BRASILEIRO SEGUNDO AS RELAÇÕES DE VALOR
PRESENTE
São Paulo
2015
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Max Eduardo Lazarini Wienandts
Testando a eficiência do mercado acionário brasileiro segundo as
relações de valor presente.
Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Economia do Insper Instituto de Ensino e Pesquisa, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Economia.
São Paulo
2015
Área de concentração: Finanças
Orientador: Prof. Dr. Ricardo Dias de Oliveira Brito – Insper Instituto de Ensino e Pesquisa
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Wienandts, Max E. L.
Testando a eficiência do mercado acionário brasileiro segundo as relações de valor presente / Max Eduardo Lazarini Wienandts; orientador: Prof. Dr. Ricardo Dias de Oliveira Brito – São Paulo: Insper, 2015.
31 p.
Dissertação (Mestrado – Programa de Mestrado
Profissional em Economia. Área de concentração: Finanças) – Insper Instituto de Ensino e Pesquisa.
1. Hipótese de eficiência de mercado 2. Modelo de valor presente 3. Vetor autorregressivo 4. Razão dividendo preço
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FOLHA DE APROVAÇÃO
Max Eduardo Lazarini Wienandts
Testando a eficiência do mercado acionário brasileiro segundo as relações de valor presente
Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Economia do Insper Intituto de Ensino e Pesquisa, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Economia.
Área de concentração: Finanças
Aprovado em:
Banca Examinadora
Prof. Dr. Ricardo Dias de Oliveira Brito Orientador
Instituição: Insper Assinatura:
Prof. Dr. Marco Lyrio
Instituição: Insper Assinatura:
Prof. Dr. Rodrigo De Losso da Silveira Bueno
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Resumo
Wienandts, Max E. L. Testando a eficiência do mercado acionário brasileiro segundo as relações de valor presente. 2015. 31 p. Dissertação (Mestrado) – Insper Instituto de Ensino e Pesquisa, São Paulo, 2015.
Este trabalho testa a hipótese de eficiência de mercado utilizando um modelo de valor presente considerando retorno real esperado constante e excesso de retorno esperado constante. Este modelo, por meio de vetores autorregressivos, associa a razão dividendo preço com a expectativa futura de retorno real e a taxa de crescimento futura dos dividendos. Pela hipótese de eficiência de mercado, é esperado que a razão dividendo preço calculada seja igual à observada. Este estudo utiliza um índice “equal-weighted” com toda a base de dados de ações da Economática, compreendendo 554 empresas entre o primeiro trimestre de 1995 e o segundo trimestre de 2014. Os resultados rejeitam a hipótese de igualdade entre a razão dividendo preço calculada e a observada, tanto para retorno real esperado constante quanto para excesso de retorno esperado constante, indicando que, provavelmente, os retornos esperados são variáveis ao longo do tempo
Palavras-chave: Hipótese de eficiência de mercado, Modelo de valor presente, Vetor autorregressivo, Razão dividendo preço, Bovespa
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Abstract
Wienandts, Max E. L. Testing the efficiency of the Brazilian stock market under present value relationships. 2015. 31 p. Dissertation (Mastership) – Insper Instituto de Ensino e Pesquisa, São Paulo, 2015.
This workpaper tests the efficient market hypothesis using a present value model considering constant expected real returns and constant expected excess returns. This model takes form of an autoregressive vector and associates the dividend price ratio with the future expected real return and the growth rate of future dividends. Considering the efficient market hypothesis is expected that the calculated dividend price ratio be equal to the observed ratio. This study uses an equal-weighted index with the entire Economática database, comprising 554 companies from the first quarter of 1995 until the second quarter of 2014. The results reject the hypothesis of equality between the theoretical and the observed dividend price ratio, considering constant expected real returns and constant expected excess returns. This result implies that expected returns are time varying.
Keywords: Efficient market hypothesis, Present value model, Autoregressive vector, Ratio dividend price, Bovespa
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Sumário Executivo
Entender se o mercado é eficiente ou não e como é o comportamento do retorno dos ativos é de suma importância para investidores na bolsa de valores. Estes investidores precisam maximizar o lucro considerando o nível de risco que estão dispostos a tomar.
A definição da hipótese de eficiência de mercado vem do artigo de Fama (1970). Nele, o autor define que a eficiência de mercado implica, principalmente, que não é possível escolher um portfólio que gere consistentemente um retorno maior do que o esperado pelo modelo de risco. Desse modo, considerando que a hipótese de eficiência de mercado seja válida, é ideal investir por meio de uma gestão passiva. Por outro lado, caso se rejeite a hipótese de eficiência de mercado, é necessária uma gestão ativa para maximizar o lucro.
Caso a hipótese de eficiência de mercado seja válida e o retorno real esperado seja constante, o retorno real futuro deve ser imprevisível. Entretanto, considerando excesso de retorno esperado constante, é possível haver previsibilidade em um cenário que não rejeita a hipótese de eficiência de mercado.
Este estudo testa conjuntamente a hipótese de eficiência de mercado e um modelo de valor presente calculando a diferença entre o log dividendo e o log preço (denominado
spread) e comparando-o com o spread observado. Além disso, também é testado se é possível
modelar o retorno futuro no curto e no longo prazo por meio de uma regressão simples entre o retorno real e a razão dividendo preço.
O modelo de valor presente empregado, por meio de vetores autorregressivos, relaciona a razão dividendo preço com a expectativa de retorno real futura e com a taxa de crescimento futura dos dividendos. A vantagem desta abordagem é em razão do modelo, teoricamente, considerar a distribuição de todos os dividendos futuros e não somente a distribuição no próximo período. Isto implica que alterações temporárias na distribuição de dividendos não influenciam significativamente o preço.
Para realizar esta análise no Brasil, utilizou-se uma carteira teórica ponderando igualmente todas as ações já listadas na Bolsa de Valores de São Paulo (Bovespa), no período de janeiro de 1995 a junho de 2014, totalizando 554 empresas. Considerou-se retorno real
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esperado constante e excesso de retorno esperado constante em duas amostras diferentes, uma com dados trimestrais e outra com dados anuais.
Para testar a hipótese de eficiência de mercado, por meio de um teste de Wald, verificou-se a igualdade entre o spread observado e o teórico, bem como foram analisadas a variância e a correlação entre eles. Em seguida, realizaram-se regressões simples entre o retorno acumulado futuro, considerando horizontes de tempo variados de um trimestre até três anos, e a razão dividendo preço.
Com 95% de confiança, rejeitou-se a hipótese de igualdade entre o spread observado e o teórico. Complementando, foi rejeitada a hipótese de igualdade entre a variância dos
spreads e a hipótese de que a correlação entre eles é igual a um.
Entretanto, encontrou-se evidência de previsibilidade do retorno acumulado utilizando a razão dividendo preço. Isto implica que, provavelmente, a rejeição do modelo de valor presente pode ser creditada a uma consideração imprópria do comportamento do retorno esperado. Pode ser mais apropriado substituir os pressupostos de retornos reais esperados constantes ou de excessos de retornos esperados constantes por um que considere retornos esperados variáveis ao longo do tempo.
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SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ... 9
2. REVISÃO DE LITERATURA ... 10
2.1. Literatura sobre o mercado americano ... 10
2.2. Literatura sobre o mercado brasileiro ... 11
3. METODOLOGIA ... 12 4. DESCRIÇÃO DA AMOSTRA ... 18 5. RESULTADOS ... 20 6. CONCLUSÃO ... 27 REFERÊNCIAS ... 29 APÊNDICE ... 31
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1. INTRODUÇÃO
Este trabalho tem como objetivo analisar a hipótese de eficiência de mercado dado um modelo de valor presente. Espera-se que o preço possa ser representado pelo valor presente do fluxo de caixa de um ativo. Isto implica que, considerando retorno real esperado constante, o retorno futuro deve ser imprevisível. Entretanto, considerando excesso de retorno esperado constante, é possível haver previsibilidade em um cenário que não rejeita a hipótese de eficiência de mercado.
A relevância deste estudo está em analisar a previsibilidade do retorno e a hipótese de eficiência de mercado conjuntamente. Por meio de um modelo de valor presente, são relacionadas as variações na razão dividendo preço com variações previsíveis na taxa de desconto e no crescimento do dividendo. Além disso, se analisa o fluxo de distribuição de todos os dividendos futuros e não somente a distribuição do período seguinte. Assim, alterações temporárias na distribuição de dividendos não influenciam significativamente no modelo.
Atualmente já existem estudos semelhantes a este, principalmente para o mercado americano. Fama e French (1988) encontram evidências de que a razão dividendo preço é um bom previsor para retornos futuros. Campbell e Shiller (1988a) se aprofundam no estudo, analisando não só se a razão dividendo preço é um bom previsor para o retorno, mas também se a razão dividendo preço se move de acordo com os fundamentos econômicos.
No mercado brasileiro também existem trabalhos semelhantes ao de Campbell e Shiller (1988a). Por exemplo, Anchite e Issler (2001), analisam os ativos do índice Bovespa; e Morales (2007), além do índice Bovespa, analisa um índice “value-weighted” com 131 ativos. Neste trabalho, será utilizada uma carteira teórica ponderando igualmente todas as ações já listadas na Bovespa no período de janeiro de 1995 a junho de 2014, totalizando 554 empresas. Serão utilizados dados de frequência trimestral e anual. Para testar a hipótese de eficiência de mercado, por meio de um modelo de valor presente utilizando vetores autorregressivos, será calculada a diferença entre o log dividendo e o log preço (denominado
spread) e comparado com o spread observado, também será comparada a variância e a
correlação entre os spreads. Complementando, serão realizadas regressões simples entre o retorno acumulado futuro, considerando horizontes de tempo variados de um trimestre até três anos, e a razão dividendo preço.
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Como resultado, foram obtidas três conclusões. Primeiro, a consideração de retornos reais constantes ou de excessos de retornos constantes não impactam significativamente os resultados. Segundo, pode-se rejeitar a hipótese de eficiência de mercado considerando o modelo de valor presente. Por último, existe evidência de previsibilidade do retorno acumulado futuro utilizando a razão dividendo preço.
A seguir, na seção 2, apresenta-se uma revisão bibliográfica mostrando estudos relevantes realizados nos mercados americano e brasileiro. A seção 3 exibe a metodologia aplicada explicando a teoria financeira e econométrica utilizada. A seção 4 explica a obtenção e o tratamento dos dados junto com os gráficos das séries e algumas estatísticas básicas. Na seção 5, são exibidos os resultados obtidos nos testes econométricos. Por último, a seção 6 apresenta as conclusões finais.
2. REVISÃO DE LITERATURA
2.1. Literatura sobre o mercado americano
Primeiramente, é interessante lembrar o estudo de Fama (1970) sobre a hipótese de mercados eficientes. Nele, o autor define que eficiência de mercado implica não ser possível obter ganhos superiores ao esperado pelo modelo de risco. O autor deduz que não existem evidências que provem a ineficiência do mercado.
Um importante estudo sobre o poder preditivo da razão dividendo preço é o de Fama e French (1988). Eles observam que, pela teoria de eficiência de mercado, considerando retorno esperado variável ao longo do tempo, os preços são baixos (altos) comparados com os dividendos quando a esperança de retorno futuro é alta (baixa). Analisando dados entre 1937 e 1986, os autores concluem que, quanto maior a janela de tempo do retorno, maior é sua previsibilidade.
Um estudo mais atual sobre o tema é o artigo de Cochrane (2011) que utiliza dados entre 1947 e 2009. Além de concluir que quanto maior a janela de tempo utilizada para acumular o retorno, maior é o poder preditivo da razão dividendo preço, o autor também conclui que a fonte principal de variações na razão dividendo preço é devido a variações no retorno futuro esperado.
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Entretanto, outros estudos similares obtiveram resultados opostos. Campbell e Shiller (1998), utilizando dados entre 1970 e 1997, não encontraram uma relação entre o retorno e a razão dividendo preço para os países europeus: França, Alemanha e Itália. Para o mercado americano, Lewellen (2004), utilizando dados entre 1973 e 2000, também não encontrou uma relação entre retorno e a razão dividendo preço.
Finalizando, Campbell e Shiller (1988a) analisam se a razão dividendo preço se move de acordo com os fundamentos econômicos. Porém, diferente de Fama e French (1988), eles consideram não só retorno esperado variável ao longo do tempo mas, também, a possibilidade de retorno real esperado constante e de excesso de retorno esperado constante.
Utilizando dados entre 1926 e 1986, os autores chegam a três conclusões. Primeiro, existe evidência de que o log da razão dividendo preço se move de forma racional considerando a esperança de crescimento dos dividendos. Segundo, as diversas formas de cálculo para a taxa de desconto não ajudam a explicar os movimentos nos preços dos ativos. Por último, existe uma parte substancial da variação no log da razão dividendo preço que não foi explicada.
2.2. Literatura sobre o mercado brasileiro
Para o mercado brasileiro, um importante estudo a ser citado é o de Anchite e Issler (2001). Os autores aplicam uma metodologia similar à utilizada por Campbell e Shiller (1988a), porém somente consideram a possibilidade de retorno real esperado constante e excesso de retorno esperado constante. Os autores realizam o estudo considerando o índice Bovespa entre 1986 e 1998.
Uma observação realizada por Anchite e Issler (2001) sobre os dividendos é a presença de sazonalidade. Eles apontam para o fato de existir uma concentração de distribuição de dividendos no segundo trimestre. Entretanto, como as técnicas de dessazonalização alocam parte dos dividendos de um período para o outro, isto muda a estrutura estocástica da série original inviabilizando, assim, o seu uso para modelos que testam a racionalidade. Com esta consideração, eles trabalham com a série de dividendos sem aplicar a dessazonalização.
Embora os autores não rejeitem a hipótese de eficiência de mercado considerando o modelo de valor presente, eles encontram resultados inconclusivos para os testes de
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casualidade de Granger, pois, os dados apresentaram causalidade bidirecional entre o spread ótimo e a diferença entre a taxa de retorno e o crescimento de dividendos.
Outro relevante trabalho sobre modelos de valor presente para o mercado acionário brasileiro é o de Morales (2007). Seu estudo é inovador no sentido de trabalhar não somente com o índice Bovespa, mas também por utilizar uma réplica do índice “value-weighted” do “Center for Research in Security Prices” (CRSP) construído com 131 ativos da Bovespa. Para realizar o estudo, o autor utiliza dados entre 1995 e 2005.
Morales (2007) rejeita o modelo de valor presente considerando taxa de retorno constante. Como este é um resultado diferente do encontrado anteriormente por Anchite e Issler (2001), o autor aponta para o fato do período escolhido, por Anchite e Issler (2001), possuir dois regimes inflacionários distintos no Brasil, antes e depois do Plano Real (1994). Estes regimes diferentes podem alterar substancialmente o padrão das séries de preços, dividendos e taxas de retorno.
Por outro lado, considerando excesso de retorno esperado constante, Morales (2007) não rejeita o modelo de valor presente. Ou seja, o modelo é consistente com a hipótese de mercados eficientes, o que suporta a gestão passiva em fundos de investimentos.
Considerando os trabalhos revisados, a importância do presente estudo para a literatura brasileira está na utilização de um índice que replica a metodologia do índice “equal-weighted” do CRSP e na quantidade de ativos analisados. A utilização do índice “equal-weighted” permite a utilização de todos os ativos que já fizeram parte do mercado acionário, assim, no total serão analisadas 554 empresas diferentes.
3. METODOLOGIA
Modelos de valor presente expressam o preço de um ativo em função dos fluxos de caixa futuro. É interessante observar que devem ser utilizados todos os fluxos de caixa futuro existentes e não somente o próximo fluxo em t + 1. Isto implica que uma alta momentânea nos dividendos tem pouca influência no preço da ação. Neste trabalho considerou-se como fluxo de caixa os dividendos e os juros sobre capital próprio.
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Para derivar o modelo de Campbell e Shiller (1988a), considerando que os preços e os dividendos seguem um processo exponencial, o retorno real de um ativo pode ser escrito como:
ℎ𝑡+1= 𝑙𝑜𝑔(𝑃𝑡+1+ 𝐷𝑡+1) − 𝑙𝑜𝑔(𝑃𝑡), (1)
em que:
𝑃𝑡 expressa o preço real do ativo em t; e
𝐷𝑡 expressa a distribuição de dividendos e juros sobre capital próprio, em valores reais,
ocorridas em t.
Rearranjando os termos e expressando os termos em log por letras minúsculas, tem-se:
ℎ𝑡+1 = 𝑙𝑜𝑔 �𝑃𝑡+1�1 + 𝐷𝑃𝑡+1 𝑡+1�� − 𝑝𝑡
ℎ𝑡+1= 𝑙𝑜𝑔�𝑃𝑡+1�1 + 𝑒𝑙𝑜𝑔(𝐷𝑡+1)−𝑙𝑜𝑔(𝑃𝑡+1)�� − 𝑝𝑡
ℎ𝑡+1= 𝑝𝑡+1− 𝑝𝑡+ 𝑙𝑜𝑔�1 + 𝑒𝑑𝑡+1−𝑝𝑡+1� (2)
A parte logarítmica da função pode ser aproximada utilizando uma função de Taylor de primeiro grau: 𝑓(𝑥𝑡+1) ≈ 𝑓(𝑥̅) + 𝑓′(𝑥̅)(𝑥𝑡+1− 𝑥̅). Sendo f(xt+1) = f(dt+1− pt+1), tem-se: 𝑓(𝑑𝑡+1− 𝑝𝑡+1) ≈ 𝑙𝑜𝑔�1 + 𝑒𝑑−𝑝������� + 𝑒𝑑−𝑝������� 1+𝑒𝑑−𝑝��������𝑑𝑡+1− 𝑝𝑡+1− 𝑑 − 𝑝�������� (3) Substituindo (3) em (2), tem-se: ℎ𝑡+1 ≈ 𝑘 + 𝜌(𝑝𝑡+1) + (1 − 𝜌)𝑑𝑡+1− 𝑝𝑡, (4) em que: k = −log(𝜌) − (1 −𝜌)log �1𝜌− 1�; 𝜌= 1+e1d−p������; e
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(d − p�������) expressa a média da razão dividendo preço.
A tabela A1, em apêndice, compara a média, desvio padrão e correlação do retorno exato com a aproximação do retorno da equação (4).
Isolando pt de (4) e resolvendo pt+1 recursivamente, tem-se:
𝑝𝑡 = 𝑘
1−𝜌+ 𝐸𝑡�∑ 𝜌𝑖[(1 − 𝜌)𝑑𝑡+1+𝑖− ℎ𝑡+1+𝑖] 𝑗
𝑖=1 � + 𝐸𝑡�𝜌𝑗𝑝𝑡+𝑗�. (5)
Considerando que j deve tender ao infinito, a última parte da equação (5) tende a zero:
𝑝𝑡 = 𝑘
1−𝜌+ 𝐸𝑡�∑ 𝜌𝑖[(1 − 𝜌)𝑑𝑡+1+𝑖− ℎ𝑡+1+𝑖] 𝑗
𝑖=0 �.
Reescrevendo em termos da razão dividendo preço, tem-se:
𝑑𝑡− 𝑝𝑡 = − 𝑘
1−𝜌+ 𝐸𝑡�∑ 𝜌𝑖[−∆𝑑𝑡+1+𝑖+ ℎ𝑡+1+𝑖] 𝑗
𝑖=0 �. (6)
A equação (6) é adequada quando os logs dos dividendos e os logs preços não são estacionários. Considerando que os logs retornos e as variações nos logs dividendos sejam estacionários, o log da razão dividendo preço também será estacionário. Desse modo, os logs preços e os logs dividendos são cointegrados.
Entretanto, Campbell e Shiller (1988a) apontam para o fato de (6) não possuir sentido econômico. Para obter um modelo econômico sobre a razão dividendo preço é necessário adicionar alguma restrição sobre o comportamento de ℎ𝑡. Em particular, pode-se supor que exista uma taxa de desconto real, obtida com informações disponíveis no final do período anterior, somada a uma constante que é igual ao retorno real. Ou seja:
𝐸𝑡(ℎ𝑡+1) = 𝐸𝑡(𝑟 𝑡+1) + 𝑐, (7)
em que:
𝑟 𝑡+1 expressa uma taxa de desconto real; e
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Desse modo, considerando as equações (6) e (7), é possível obter um modelo econômico da razão dividendo preço e que possa ser testado:
𝑑𝑡− 𝑝𝑡 = +𝑐−𝑘
1−𝜌+ 𝐸𝑡�∑ 𝜌𝑖[−∆𝑑𝑡+1+𝑖+ 𝑟𝑡+1+𝑖] j
i=0 � (8)
Para calcular ∆d com a razão dividendo preço e o retorno real do índice “equal-weighted”, é necessário utilizar a seguinte fórmula:
∆𝑑𝑡 = 𝑙𝑜𝑔 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎝ ⎜ ⎛𝐷𝑃𝑡𝑡 𝐷𝑡−1 𝑃𝑡−1 � ⎠ ⎟ ⎞ �𝑅𝑝+ 1� ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ , (9) em que: 𝑅𝑝= 𝑃𝑃𝑡−1𝑡 − 1.
A escolha do índice “equal-weighted” deve-se ao fato desta carteira sobrestimar a importância das empresas de menor porte na Bolsa de valores. Isto é importante pois as empresas de capital aberto são maiores do que a média da economia, o que subestima as empresas menores.
Para testar o modelo (8), Campbell e Shiller (1988a) propôs a utilização de um sistema de vetores autorregressivos (VAR). Um modelo VAR pode ser escrito como:
𝑥𝑡 = 𝐴𝑥𝑡−1+εt , (10)
em que:
𝐴 expressa a matriz de coeficientes do VAR:
𝐴 = � 𝐶11 𝐶12 𝐶13 𝐶14 1 0 0 0 𝐶31 𝐶32 𝐶33 𝐶34 0 0 1 0 �;
16 𝑥𝑡 = � 𝛿𝑡 𝛿𝑡−1 −∆𝑑𝑡 −∆𝑑𝑡−1
� (para expectativa de retorno real constante); ou
𝑥𝑡 = �
𝛿𝑡
𝛿𝑡−1
𝑟 𝑡 − ∆𝑑𝑡
𝑟 𝑡−1 − ∆𝑑𝑡−1
� (para expectativa de excesso de retorno constante); em que:
𝛿𝑡 = 𝑑𝑡− 𝑝𝑡; e
εt é um vetor de choques.
A equação (10) permite expressar uma previsão para mais de um período como:
𝐸�𝑥𝑡+𝑗� = 𝐴𝑗𝑥𝑡.
Definindo-se dois novos vetores e1′= [1 0 0 0] e e2′= [0 0 1 0] e acrescentando as restrições impostas pela equação (8), pode-se escrever:
δt = ∑ 𝜌ji=0 𝑖𝑒2′𝐴𝑖+1𝑥𝑡; ou 𝛿𝑡 = 𝑒2′𝐴(𝐼 − 𝜌𝐴)−1𝑥𝑡.
Também, pode-se escrever os logs das razões dividendo preço como:
𝑑𝑡− 𝑝𝑡 = 𝑒1′𝑥𝑡.
Desse modo, pode-se escrever as funções:
𝑒1′𝑥𝑡 =𝑒2′𝐴(𝐼 − 𝜌𝐴)−1𝑥𝑡; ou
𝑒1′=𝑒2′𝐴(𝐼 − 𝜌𝐴)−1; ou
𝑒1′(𝐼 − 𝜌𝐴) = 𝑒2′𝐴 (11)
Para testar a igualdade entre o spread estimado (δ′) e o observado(δ), será realizado um teste de Wald em (11).
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δ𝑡′ = 𝛼𝛿𝑡+ 𝛽∆𝑑𝑡−1+εt. (12) Caso δ𝑡′ esteja estimado corretamente, é esperado que o coeficiente angular 𝛼 seja igual a um e o coeficiente angular 𝛽 seja igual a zero.
Também será testado se a variância do log da razão dividendo preço estimado dividido pelo log da razão dividendo preço observado é igual a um. Ou seja, se:
𝑉𝑎𝑟�𝛿′�
𝑉𝑎𝑟(𝛿) = 1. (13)
Além disso, será testado se a correlação entre o log da razão dividendo preço estimado e o log da razão dividendo preço observado é igual a um. Ou seja, se:
Corr(δt′, δt) = 1. (14) Para verificar se o pressuposto de retorno real constante é válido, será testada a regressão:
ℎ𝑡 = 𝛼𝛿𝑡−1+ 𝛽∆𝑑𝑡−1+ 𝑐 +εt, (15)
em que:
ℎ𝑡expressa o retorno real.
Caso o retorno real seja constante, é esperado que os dois coeficientes angulares de (15) sejam iguais a zero.
Para verificar se o pressuposto de retorno real constante é válido, será testada a regressão:
ℎ𝑡= 𝛼𝛿𝑡−1+ 𝛽(𝑟 𝑡− ∆𝑑𝑡)+ 𝑐 +εt, (16)
em que:
ℎ𝑡expressa o excesso de retorno.
Caso o excesso de retorno seja constante, é esperado que os dois coeficientes angulares de (16) sejam iguais a zero.
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Por último, será analisado se a razão dividendo preço é um bom previsor do retorno acumulado futuro e se seu poder preditivo aumenta de acordo com o aumento do horizonte de tempo (k) do estudo. Para isto, será realizada uma regressão simples entre o log retorno acumulado futuro e a razão dividendo preço:
𝑟𝑡+1+𝑘 = 𝛼 + 𝛽𝐷𝑡
𝑃𝑡+εt. (17)
Para a amostra trimestral, k assumirá os valores de: 1, 4, 8, 12 (trimestres). Para a amostra anual, k assumirá os valores: 1, 2, 3 (anos).
4. DESCRIÇÃO DA AMOSTRA
Para realizar este trabalho, considerou-se todos os ativos do tipo preferencial (PN) e ordinária (ON) disponíveis no sistema Economática desde primeiro de janeiro de 1995 até trinta de junho de 2014. Foram coletadas informações de preço, dividendo, juros sobre capital próprio e, para a taxa livre de risco, considerou-se a taxa CETIP. Para obter taxas reais dos dados, utilizou-se o índice de preços ao consumidor amplo (IPCA).
Como proventos, foram considerados os dividendos e os juros sobre capital próprio estruturados trimestralmente e anualmente, sem sobreposição de dados. Desse modo, tem-se um banco de dados com 78 trimestres e outro com 19 anos.
Entre o período de primeiro de janeiro de 1995 e trinta de junho de 2014 a Bovespa registrou 852 ativos do tipo ON ou PN. Para trabalhar com todas as observações, criou-se um índice igual ao “equal-weighted” do CRSP.
Muitos destes 852 ativos somente passaram a ser negociados depois de 1995 e, também, muitos deles deixaram de ser negociados antes do período final do estudo. Desse modo, somente considerou-se um ativo depois de ter ocorrida a primeira compra e venda dele e deixou-se de considerá-lo depois de sua última negociação no mercado.
Além disso, o índice “equal-weighted” deve ser construído considerando o número de empresas e não a quantidade de ativos no mercado. Isto implica que é necessário tratar as empresas detentoras de ativos dos tipos ordinária e preferencial simultaneamente. Desse modo, construiu-se um novo ativo auxiliar que, para as empresas que possuíam ações ON e PN,
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soma a razão dividendo preço ou o retorno de cada ativo e o divide por dois. Assim, de uma amostra de 852 ativos, terminou-se com uma de 554 empresas.
Considerando estes tratamentos, estudou-se um total de 554 empresas, resultando em uma média de 335 empresas em cada um dos 78 períodos, sendo que o período com o menor número de observações possui 303 empresas e o maior possui 367. Para o índice anual, foram consideradas em média 337 empresas nos 19 períodos, sendo 309 e 367 observações nos períodos com menor e maior número de empresas respectivamente. A seguir exibem-se os gráficos das séries estudadas:
Gráfico 1 – Log retorno real trimestral. Gráfico 2 – Log excesso de retorno trimestral.
Gráfico 3 - Razão dividendo preço trimestral. Gráfico 4 – Log retorno real anual.
-0.30 -0.20 -0.10 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 19 95 19 96 19 97 19 99 20 00 20 01 20 02 20 04 20 05 20 06 20 07 20 09 20 10 20 11 20 12 20 14 -0.40 -0.30 -0.20 -0.10 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 19 95 19 96 19 97 19 99 20 00 20 01 20 02 20 04 20 05 20 06 20 07 20 09 20 10 20 11 20 12 20 14 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 19 95 19 96 19 97 19 99 20 00 20 01 20 02 20 04 20 05 20 06 20 07 20 09 20 10 20 11 20 12 20 14 -0.60 -0.40 -0.20 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 19 96 19 98 20 00 20 02 20 04 20 06 20 08 20 10 20 12
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Gráfico 5 – Log excesso de retorno anual. Gráfico 6 - Razão dividendo preço anual.
Apesar de existirem dados disponíveis para períodos anteriores a 1995, devido a dificuldade de aplicar os tratamentos para a alta inflação e para os diversos planos econômicos ocorridos no Brasil, eles não foram utilizados neste estudo.
A tabela 1 mostra um descritivo das séries:
Tabela 1 - Descritivo das amostras.
Estatísticas básicas
Data e período
Estatística Variáveis trimestrais 2T1995-2T2014 Variáveis anuais 1995-2013
Δp média 0,2052 0,2120 Desvio padrão 0,3030 0,2797 Δd média 0,1100 0,0776 Desvio padrão 0,9447 0,3832 δ média -2,3314 -2,2455 Desvio padrão 0,9977 0,7634
Nota: Para os cálculos destas estatísticas, as variáveis trimestrais foram anualizadas.
5. RESULTADOS
Foram analisadas duas amostras diferentes para a realização dos testes econométricos. A primeira possui variáveis trimestrais entre o segundo trimestre de 1995 até o segundo trimestre de 2014 e a segunda possui variáveis anuais de 1995 até 2013.
-0.60 -0.40 -0.20 0.00 0.20 0.40 0.60 19 96 19 98 20 00 20 02 20 04 20 06 20 08 20 10 20 12 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 19 96 19 98 20 00 20 02 20 04 20 06 20 08 20 10 20 12
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Para a amostra trimestral, foram realizados dois modelos de vetores autorregressivos. Um modelo com somente uma defasagem e outro com quatro defasagens. O modelo com quatro defasagens, além de ser o mais adequado economicamente, por representar a utilização de um ano de informações, também é o modelo mais adequado econometricamente, indicado pelos testes de Critério de Informação de Akaike (AIC), Critério de Informação Bayesiano ou de Schwarz (SC) e Estatística de Hannan-Quinn (HQ).
Para a amostra anual, realizou-se um modelo com uma defasagem e outro com duas. Não foram utilizadas mais defasagens devido ao pouco número de observações.
A tabela 2 mostra os resultados do modelo trimestral com uma defasagem:
Tabela 2 - Testes considerando retorno real trimestral esperado constante.
Testes considerando retorno real trimestral esperado constante
Variável dependente Variáveis explicativas
Variáveis trimestrais
2T1995-2T2014 𝛿𝑡−1 ∆𝑑𝑡−1 R quadrado Ajustado
Significância conjunta dos coeficientes
Regressões entre retorno e informação
ℎ𝑡 -0,0044 0,0077 0,0058 0,8100 (0,0152) (0,0122) ℎ𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜,𝑡 0,0020 0,0055 0,0059 0,8047 (0,0016) (0,0129) Estimação do VAR 𝛿𝑡 0,2719 -0,0951 0,0532 0,1184 (0,1381) (0,1113) ∆𝑑𝑡 -0,7324 -0,0873 0,4197 0,0000 (0,1413) (0,1139)
Implicação da estimação VAR
𝛿𝑡 ∆𝑑𝑡−1 𝛿𝑡′ 0,0504 0,0390 (0,0256) (0,0196) 𝑉𝐴𝑅(𝛿𝑡′) 𝑉𝐴𝑅(𝛿𝑡) 0,0532 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝛿𝑡′, 𝛿𝑡) 0,2306 0,0000 [0,01;0,43] Teste de Wald: 𝛿𝑡′= 𝛿𝑡 0,7966
Nota: Para as regressões, os valores entre parênteses representam o desvio padrão dos estimadores. Nos testes de significância conjunta é apresentado o valor p, sendo a hipótese nula representando se os coeficientes da regressão são iguais a zero. Abaixo do valor da razão entre as variâncias das razão dividendo preço estimado e observado, é apresentado o valor p, sendo a hipótese nula: 𝑉𝐴𝑅(𝛿𝑡′) = 𝑉𝐴𝑅(𝛿𝑡). Abaixo do valor da correlação entre δt′e δttem-se o intervalo de confiança. Por fim, tem-se o valor p do teste de Wald que possui como hipótese nula: 𝛿𝑡′= 𝛿𝑡.
Observa-se pela tabela 2 que não se rejeita a hipótese nula de que os coeficientes angulares da regressão ht em δt−1e ∆dt−1 são iguais a zero. Antes de afirmar que os retornos sejam constantes, é necessário confirmar este resultado com a regressão utilizando quatro defasagens.
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Considerando que para esta amostra o teste de significância conjunta dos coeficientes do vetor autorregressivo, na regressão δt contra δt−1e ∆dt−1, não rejeita a hipótese de que os coeficientes sejam iguais a zero, não é adequada a análise dos outros testes econométricos.
A tabela 3 apresenta os resultados para a amostra anual:
Tabela 3 - Testes considerando retorno real anual esperado constante.
Testes considerando retorno real anual esperado constante Variável dependente Variáveis explicativas Variáveis anuais
1995-2013 𝛿𝑡−1 ∆𝑑𝑡−1
R quadrado
Ajustado Significância conjunta dos coeficientes
Regressões entre retorno e informação
ℎ𝑡 0,0908 0,2273 0,1736 0,2632 (0,0925) (0,1982) ℎ𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜,𝑡 0,1598 0,2176 0,2982 0,0838 (0,0854) (0,1945) Estimação do VAR 𝛿𝑡 0,7212 -0,1013 0,6121 0,0000 (0,1536) (0,2959) ∆𝑑𝑡 -0,1880 0,1260 0,1373 0,2584 (0,1291) (0,5066)
Implicação da estimação VAR
𝛿𝑡 ∆𝑑𝑡−1 𝛿𝑡′ 0,6114 0,0264 (0,1303) (0,2298) 𝑉𝐴𝑅(𝛿𝑡′) 𝑉𝐴𝑅(𝛿𝑡) 0,6120 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝛿𝑡′, 𝛿𝑡) 0,7823 0,3360 [0,48;0,92] Teste de Wald: 𝛿𝑡′ = 𝛿𝑡 0,0270
Nota: Para as regressões, os valores entre parênteses representam o desvio padrão dos estimadores. Nos testes de significância conjunta é apresentado o valor p, sendo a hipótese nula representando se os coeficientes da regressão são iguais a zero. Abaixo do valor da razão entre as variâncias das razão dividendo preço estimado e observado, é apresentado o valor p, sendo a hipótese nula: 𝑉𝐴𝑅(𝛿𝑡′) = 𝑉𝐴𝑅(𝛿𝑡). Abaixo do valor da correlação entre δt′e δttem-se o intervalo de confiança. Por fim, tem-se o valor p do teste de Wald que possui como hipótese nula: 𝛿𝑡′= 𝛿𝑡.
Observa-se pela tabela 3 que os coeficientes angulares da regressão ht em δt−1e ∆dt−1 são iguais a zero. Isto pode ser um indício de que os retornos sejam constantes.
Considerando cinco por cento de significância, o teste de Wald rejeita a hipótese de igualdade entre a razão dividendo preço estimada e observada. Além disso, caso o spread observado fosse igual ao estimado, seria de se esperar que a regressão da razão dividendo preço estimado (δt′) em δt e ∆dt−1, possuísse o primeiro coeficiente angular igual a um e o segundo igual a zero. Entretanto, o coeficiente angular de δt é menor do que um.
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O teste de variância mostra que o spread observado oscila mais do que uma vez e meia do que o spread estimado. Também, pode ser observado que a correlação entre os spreads é diferente de um.
Considerando o reduzido número de observações, é adequado confirmar estes resultados testando um modelo com dados trimestrais e quatro defasagens.
As tabelas 4 e 5 apresentam os modelos utilizando uma e quatro defasagens para a amostra trimestral e uma e duas defasagens para a amostra anual. O primeiro modelo considera retorno real esperado constante e o segundo considera excesso de retorno esperado constante, ou seja, utilizou-se como variável explicativa ∆dt−1, para o primeiro modelo, e rt−1− ∆dt−1, para o segundo modelo.
Tabela 4 - Testes considerando de retorno real esperado constante e excesso de retorno esperado constante para a amostra trimestral.
Testes considerando retorno real esperado constante e excesso de retorno esperado constante
Modelo 1 Modelo 2
(expectativa de retorno real constante) (expectativa de excesso de retorno constante)
Defasagem utilizada Defasagem utilizada
1 4 1 4 Variáveis trimestrais 2T1995-2T2014 ℎ𝑡 0,8100 0,0193 0,4668 0,0307 ℎ𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜,𝑡 0,8047 0,0031 0,6610 0,0070 Teste de Wald: 𝛿𝑡′ = 𝛿 𝑡 0,7966 0,0002 0,6479 0,0007 𝑉𝐴𝑅(𝛿𝑡′) 𝑉𝐴𝑅(𝛿𝑡) 0,0532 0,4325 0,0543 0,4442 0,0000 0,0005 0,0000 0,0007 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝛿𝑡′, 𝛿𝑡) 0,2306 0,6576 0,2329 0,6665 [0,01;0,43] [0,50;0,77] [0,01;0,44] [0,52;0,78]
Nota: Para o modelo 1 ℎt e ℎaproximado,t representam o retorno real e a aproximação do retorno real, para o modelo 2 estas variáveis representam excesso de retorno e aproximação do excesso de retorno. Os valores da primeira e segunda linha representam o valor p do teste de significância conjunta, sendo a hipótese nula representando se os coeficientes da regressão são iguais a zero. Em seguida tem-se o valor p do teste de Wald que possui como hipótese nula: 𝛿𝑡′= 𝛿𝑡. Após, tem-se o teste de variância, abaixo do valor da razão entre as variâncias das razão dividendo preço estimado e observado, é apresentado o valor p, sendo a hipótese nula: 𝑉𝐴𝑅(𝛿𝑡′) = 𝑉𝐴𝑅(𝛿𝑡). Por fim, tem-se o valor da correlação entre 𝛿𝑡′e 𝛿𝑡 seguido de seu intervalo de confiança.
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Tabela 5 - Testes considerando retorno real esperado constante e excesso de retorno esperado constante para a amostra anual.
Testes considerando retorno real esperado constante e excesso de retorno esperado constante
Modelo 1 Modelo 2
(expectativa de retorno real constante) (expectativa de excesso de retorno constante)
Defasagem utilizada Defasagem utilizada
1 2 1 2 Variáveis anuais 1995-2013 ℎ𝑡 0,2632 0,3071 0,3885 0,4107 ℎ𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜,𝑡 0,0838 0,1527 0,1881 0,2448 Teste de Wald: 𝛿𝑡′ = 𝛿𝑡 0,0270 0,2279 0,1011 0,0550 𝑉𝐴𝑅(𝛿𝑡′) 𝑉𝐴𝑅(𝛿𝑡) 0,6120 0,5933 0,6137 0,5958 0,3360 0,3228 0,3387 0,3266 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝛿𝑡′, 𝛿𝑡) 0,7823 0,7703 0,7834 0,7719 [0,48;0,92] [0,44;0,92] [0,49;0,92] [0,45;0,92]
Nota: Para o modelo 1 ℎt e ℎaproximado,t representam o retorno real e a aproximação do retorno real, para o modelo 2 estas variáveis representam excesso de retorno e aproximação do excesso de retorno. Os valores da primeira e segunda linha representam o valor p do teste de significância conjunta, sendo a hipótese nula representando se os coeficientes da regressão são iguais a zero. Em seguida tem-se o valor p do teste de Wald que possui como hipótese nula: δt′= δt. Após, tem-se o teste de variância, abaixo do valor da razão entre as variâncias das razão dividendo preço estimado e observado, é apresentado o valor p, sendo a hipótese nula: VAR(δt′) = VAR(δt). Por fim, tem-se o valor da correlação entre δt′e δt seguido de seu intervalo de confiança.
Importante observar que, considerando o teste LM e o teste Ljung-Box-Pierce multivariado ajustado, somente as regressões com uma defasagem para a amostra trimestral apresentam indícios de autocorrelação nos resíduos.
Nota-se pelas tabelas 4 e 5 que a utilização de retornos reais constantes, modelo 1, ou excessos de retornos constantes, modelo 2, não implicam em alterações significativas nos resultados.
Os gráficos abaixo representam o desvio da média do spread estimado contra o observado:
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Gráfico 7 - Modelo 1, com 1 defasagem, trimestral. Gráfico 8 - Modelo 1, com 4 defasagens, trimestral.
Gráfico 9 - Modelo 2, com 1 defasagem, trimestral. Gráfico 10 - Modelo 2, com 4 defasagens, trimestral.
Gráfico 11 - Modelo 1, com 1 defasagem, anual. Gráfico 12 – Modelo 1, com 2 defasagens, anual.
-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 19 95 19 96 19 98 19 99 20 00 20 01 20 03 20 04 20 05 20 06 20 08 20 09 20 10 20 11 20 13 20 14 Estimado Observado -2.00 -1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 19 96 19 97 19 98 20 00 20 01 20 02 20 03 20 05 20 06 20 07 20 08 20 10 20 11 20 12 20 13 Estimado Observado -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 19 95 19 96 19 98 19 99 20 00 20 01 20 03 20 04 20 05 20 06 20 08 20 09 20 10 20 11 20 13 20 14 Estimado Observado -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 19 96 19 97 19 98 20 00 20 01 20 02 20 03 20 05 20 06 20 07 20 08 20 10 20 11 20 12 20 13 Estimado Observado -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 19 97 19 98 19 99 20 00 20 01 20 02 20 03 20 04 20 05 20 06 20 07 20 08 20 09 20 10 20 11 20 12 20 13 Estimado Observado -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 19 98 19 99 20 00 20 01 20 02 20 03 20 04 20 05 20 06 20 07 20 08 20 09 20 10 20 11 20 12 20 13 Estimado Observado
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Gráfico 13 - Modelo 2, com 1 defasagem, anual. Gráfico 14 - Modelo 2, com 2 defasagens, anual.
Observa-se pela tabela 4 que os coeficientes angulares da regressão ℎt em δt−1e ∆dt−1, diferente da regressão anual, são diferentes de zero. Ou seja, não se pode afirmar que os retornos ou excessos de retornos são constantes.
Para as regressões trimestrais com quatro defasagens, a cinco por cento de significância, os testes de Wald rejeitam a hipótese nula de igualdade entre os spreads. Os testes de variância também rejeitam a hipótese de que a variância da razão dividendo preço estimada é igual a observada e a correlação entre os dois é estatisticamente diferente de um.
Para os testes com a amostra anual, apesar dos testes de Wald possuírem resultados diferentes para os modelos um e dois, com uma ou duas defasagens, os resultados dos testes de variância e de correlação são constantes. Em todos os modelos, com amostra anual, o
spread observado oscila mais do que o estimado e a correlação entre os spreads é diferente de
um.
Os resultados mostram evidências para a rejeição da hipótese de eficiência de mercado considerando modelos de valor presente com retornos reais esperados constantes ou excessos de retornos esperados constantes. Ainda pode ser que os retornos esperados sejam variáveis ao longo do tempo e que é possível modelar o retorno futuro. A tabela 6 mostra a regressão do log retorno futuro acumulado em k períodos sobre a razão dividendo preço para as amostras trimestrais. -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 19 97 19 98 19 99 20 00 20 01 20 02 20 03 20 04 20 05 20 06 20 07 20 08 20 09 20 10 20 11 20 12 20 13 Estimado Observado -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 19 98 19 99 20 00 20 01 20 02 20 03 20 04 20 05 20 06 20 07 20 08 20 09 20 10 20 11 20 12 20 13 Estimado Observado
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Tabela 6 - Regressão simples entre o retorno acumulado e a razão dividendo preço para as amostras trimestrais.
Horizonte k Variáveis trimestrais 2T1995-2T2014 1 4 8 12 Beta estimado 0,0359 0,4302 0,6027 0,8743 R quadrado 0,0006 0,0183 0,0184 0,0259 Valor p 0,8287 0,2533 0,2661 0,2005
Para as regressões trimestrais, não se rejeita a hipótese de que o coeficiente angular da razão dividendo preço seja igual a zero. Entretanto, observa-se um aumento no beta estimado e no R quadrado à medida que se aumenta o horizonte de tempo k.
A tabela 7 mostra os resultados das regressões para a amostra anual:
Tabela 7 - Regressão simples entre o retorno acumulado e a razão dividendo preço para a amostra anual.
Horizonte k Variáveis anuais 1995-2013 1 2 3 Beta estimado 0,9303 1,3117 1,6188 R quadrado 0,2060 0,2308 0,2565 Valor p 0,0672 0,0596 0,0541
Nas regressões anuais, a hipótese nula, de que o coeficiente angular é igual a zero, é rejeitada. Ainda mais, os valores do coeficiente angular e do R quadrado aumentam quando k aumenta.
Considerando que existe previsibilidade de retorno utilizando a variável de razão dividendo preço e a rejeição da hipótese de eficiência de mercado com modelos de valor presente com retornos reais esperados constantes ou excessos de retornos esperados constantes, é possível que os retornos esperados sejam variáveis ao longo do tempo.
6. CONCLUSÃO
Neste trabalho estudou-se a hipótese de eficiência de mercado considerando um modelo de valor presente. Por meio de vetores autorregressivos, construiu-se um modelo de valor presente para a razão dividendo preço considerando retorno real esperado constante e excesso de retorno esperado constante. Também considerou-se duas amostras diferentes para o estudo, uma utilizando dados trimestrais e outra dados anuais, ambas iniciando em 1995.
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Primeiramente foi observado que a consideração de retornos reais esperados constantes ou excessos de retornos esperados constantes não apresentam alterações significativas nos resultados.
Os testes realizados rejeitaram o modelo de valor presente considerando a hipótese de eficiência de mercado. Considerando cinco por cento de significância, nos modelos trimestrais com quatro defasagens, os testes de Wald rejeitam a hipótese nula de igualdade entre os
spreads observado e estimado.
No estudo realizado com a amostra anual, apesar de não rejeitar a hipótese de igualdade entre os spreads observado e estimado em todos os modelos, rejeitou-se a igualdade entre suas variâncias e a correlação entre eles é estatisticamente diferente de um. Isto implica que, provavelmente, a não rejeição da hipótese nula do teste de Wald é devida ao baixo número de observações que aumenta a variância dos estimadores e, assim, aumenta a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula inadequadamente (erro tipo 2).
Para averiguar que estes resultados não são devido a algum pressuposto incorreto do modelo de valor presente, testou-se a previsibilidade do retorno futuro acumulado em horizontes de tempo variando de um trimestre a três anos. Encontrou-se que o coeficiente angular da razão dividendo preço é estatisticamente igual a zero para as regressões trimestrais. Entretanto, para os modelos anuais foram encontrados indícios de previsibilidade de retorno.
Este resultado implica que as considerações de retornos reais esperados constantes ou excessos de retornos esperados constantes são inapropriadas. Como próximos passos, é adequado estudar a hipótese de eficiência de mercado dado o modelo de valor presente considerando retornos esperados variados. Por exemplo, pode ser que, ao considerar que o retorno esperado varie de acordo com a esperança de consumo futuro, não se rejeite a hipótese nula de igualdade dos coeficientes no teste de Wald.
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30
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APÊNDICE
Tabela A1 - Comparação entre o retorno exato e do retorno aproximado.
Comparação entre o retorno exato e do retorno aproximado Data e período Retorno exato aproximado Retorno Erro Variáveis trimestrais 2T1995-2T2014 Média 0,0513 0,0125 0,0388 Desvio padrão 0,1124 0,1188 -0,0064 Correlação 1,0000 0,9757 0,0243 Variáveis anuais 1995-2013 Média 0,2120 0,1341 0,0779 Desvio padrão 0,2797 0,2797 0,0000 Correlação 1,0000 0,9659 0,0341
