CONTEÚDO. Relações e Composições. Relações e Composições. Relações e Composições. O que é inferência?

(1)

CONTEÚDO

• Introdução

– Introdução, Objetivo e Histórico • Conceitos Básicos

– Definição, Características e Formas de Imprecisão • Conjuntos Fuzzy

– Propriedades, Formas de Representação e Operações

• Lógica Fuzzy

– Relações, Composições, Modus Ponens Generalizado • Fuzzy Control

Relações e Composições

•

• O que é inferência?

O que é inferência?

Premissa 1: Temperatura = 75°

Temperatura = 75°

Premissa 2: SE

SE

Temperatura

é

ALTA

ENTÃO

Vazão é

Vazão

é

grande

Conclusão:

Conclusão: Vazão = ?

Vazão = ?

Relações e Composições

Temperatura = 75°

Temperatura = 75° SE

SE TemperaturaTemperaturaé é ALTAALTA ENTÃO

ENTÃO Vazão Vazão éégrandegrande

Vazão = ? Vazão = ?

R2

R2ÖÖRelação de ImplicaçãoRelação de Implicação A

A ÆÆ BB

Composição das Relações Composição das Relações

R1 o R2

R1

R1ÖÖRelação simplesRelação simples (um conjunto

(2)

Relações e Composições

•

• Relações

Relações

Crisp

•

• Relações Fuzzy

Relações

Fuzzy

•

• Composições de Relações Crisp

Composições de Relações

Crisp

Composições de Relações

Composições de Relações Fuzzy

Fuzzy

Relações

Crisp

•

• Relação Crisp:

Relação Crisp:

– Representa a presençapresençaou ausênciaausênciade

associação

associação, interaçãointeraçãoou interconectividadeinterconectividade

entre elementos de dois ou mais conjuntos. Ð

• Relações Binárias:

Relações Binárias:

– aquelas que envolvem dois conjuntos XXe YY •

•R (X,Y)R (X,Y)

Relações

Crisp

Dados os universos Xe Y, a relação crisp

R definida emX x Y é um subconjunto do

produto cartesiano dos dois universos,

tal que R: X x Y→ {0,1} função característica ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ = contrário caso em 0 ) , ( se somente e se 1 ) , ( R y x y x f_R

Relações

Crisp

•

• OBSERVAÇÃO:

OBSERVAÇÃO:

– Como R (X,Y)R (X,Y)também é um conjuntoconjunto, todas as operações de conjuntos todas as operações de conjuntos crispcrisp podem ser aplicadas sem modificação.

(3)

Relações

Crisp

•

• Exemplo 1:

Exemplo 1:

– Seja XX= {-3, -2, -1,0, 1, 2, 3} – Seja Y Y = { 1, 2, 3, 4, 5}

– Qual a Relação R(X,Y) = {(x,y) / x R(X,Y) = {(x,y) / x ≥≥y}y}

–

–R(U,V) = { (1,1); (2,1); (3,1); (2,2); (3,2); (3,3)}R(U,V) = { (1,1); (2,1); (3,1); (2,2); (3,2); (3,3)}

Relações

Crisp

•

• Exemplo 2:

Exemplo 2:

– Seja XXo conjunto de todos os sistemas

contínuos, lineares de segunda ordem contínuos, lineares de segunda ordem

X = { x1, x2} = {sistema variante no tempo,

sistema invariante no tempo}

e

– Seja Y Y o conjunto dos pólospólosde tais sistemas

Y = {y1, y2} = {pólos no lado esquerdo do s-plano,

pólos no lado direito do s-plano}

Relações

Crisp

•

• Exemplo 2:

Exemplo 2:

– Relação de Estabilidade entre XXe YY

Ð Sistemas Estáveis Sistemas Sistemas Estáveis Estáveis

Sistemas Invariante no Tempo E

Pólos (no lado esquerdo do s-plano)

Sistemas Invariante no Tempo

E E Pólos

Pólos (no lado esquerdo do s(no lado esquerdo do s--plano)plano)

Relações

Crisp

•

• Exemplo 2:

Exemplo 2:

– Relação de Estabilidade entre XXe YY

Ð

R(U,V)

R(U,V)= {= {sistema invariante no tempo,sistema invariante no tempo, pólos no semi

pólos no semi--plano esquerdoplano esquerdo}}

x1 x₂ y1 y2 0 0 0 1 x1 x2 Y1 y2 MATRIZ RELACIONAL

(4)

Relações e Composições

•

• Relações

Relações

Crisp

•

• Relações

Relações

Fuzzy

•

• Composições de Relações Crisp

Composições de Relações

Crisp

•

• Composições de Relações Fuzzy

Composições de Relações

Fuzzy

Relações

Relações Fuzzy

Fuzzy

•

• Relação

Relação

Fuzzy

:

– Representa o grau de associaçãoassociação, interaçãointeração

ou interconectividadeinterconectividadeentre elementos de dois ou mais conjuntos fuzzy.

–

–Exemplos:Exemplos: x é muito maior quemuito maior quey y é bem próximo debem próximo dex z é muito mais alto quemuito mais alto quey

Se x é grandegrandeEntão y é pequenopequeno

Relações

Relações Fuzzy

Fuzzy

A relação fuzzyR (X,Y)é um conjunto fuzzy caracterizado pela função de pertinência

µ_R(x,y) x∈ X e y∈ Y

R (X,Y) = { [(x,y) , µR(x,y)] / (x,y) ∈ X x Y}

Relações

Relações Fuzzy

Fuzzy

•

• OBSERVAÇÃO:

OBSERVAÇÃO:

– Como as relações as relações fuzzyfuzzysão também

conjuntos

conjuntos fuzzyfuzzy, as operações com as operações com essas relações

essas relações podem ser definidas utilizando os operadores de UNIÃO, UNIÃO, INTERSEÇÃO

(5)

Relações

Relações Fuzzy

Fuzzy

•

• EXEMPLO 1:

EXEMPLO 1:

– Seja XXe YYconjuntos de números reais –

–R (X,Y)R (X,Y)= o alvo xxestá próximopróximodo alvo yy µ µPrPróóximoximo( |x ( |x --y| ) = my| ) = mááx [ 5 x [ 5 --|x |x --y| , 0 ]y| , 0 ] 5 5 µ (x) 1 5 |x - y|

Relações

Relações Fuzzy

Fuzzy

• Exemplo 2:

X = {x1, x2, x3} = {8, 2, 10} Y = {y1, y2, y3, y4} = {2, 0, 4, 3}

R (X,Y)= xé muito maiordo que y

x1 x2 x₃ y1 y2 y3 y4 0.8 1 0.5 0 0.4 0 0.7 0 0.7 1 0.9 0.8 µmm(x,y) =

Relações Fuzzy

Exemplo 3: X = {x1,x2} = {Fortaleza, Florianópolis}

Y = {y1,y2, y3} = {Porto Alegre, Criciúma, Curitiba}

R: "muito próxima

".

Relações Fuzzy

Matriz Relacional

para o caso

crisp

y1 y2 y3

Porto Alegre Criciúma Curitiba

x1 Fortaleza 0 0 0

(6)

Relações Fuzzy

Matriz Relacional

para o caso

fuzzy

y1 y2 y3

Porto Alegre Criciúma Curitiba

x1 Fortaleza 0,1 0,2 0,3

x2 Florianópolis 0,8 1 0,8

Relações e Composições

•

• Relações

Relações

Crisp

•

• Relações Fuzzy

Relações

Fuzzy

•

• Composições de Relações

Composições de Relações

Crisp

•

• Composições de Relações Fuzzy

Composições de Relações

Fuzzy

Composição de Relações

• Representa um papel muito importante

em sistemas de inferência fuzzy

Composições

Crisp

•

• Seja

Seja

P (X,Y)

e

Q (Y, Z)

duas relações

crisp

nos espaços

X x Y

e

Y x Z

,

respectivamente.

•

• Composição R (X,Z) das relações

Composição R (X,Z) das relações

crisp

P e Q

Ô

)

,

(

)

,

(

)

,

(

X

Z

P

X

Y

Q

Y

Z

R

=

_o

(7)

Composições

Crisp

R(X, Z) = P(X,Y)

{

Q(Y, Z)

R(X, Z) = P(X,Y)

{{

Q(Y, Z)

R (X, Z)

é um subconjunto de X x Z

é um subconjunto de

X x Z

tal que:

(x,z)

∈ R (X, Z)

se e somente se existir

pelo menos um y

∈ Y tal que

(x,y)

∈ P e (y,z) ∈ Q

(x,z)

∈

R (X, Z)

se e somente se existir

pelo menos um

pelo menos um y

y

∈

Y

tal que

(x,y)

∈

P

e

e (y,z)

(y,z)

∈

Q

Composições

Crisp

•

• Exemplo:

Exemplo:

x x11 x x22 x x33 y y₁1 y y22 y y₃3 y y44 z z₁1 z z22 z z₃₃ z z44 P (U,V) P (U,V) Q (V,W)Q (V,W) x x₁1 x x₂2 x x33 z z₁1 z z22 z z₃₃ z z44 R(U,W) = P (U,V) ° Q (V,W) R(U,W) = P (U,V) ° Q (V,W)

Composições

Crisp

•

• Composição MÁX

Composição MÁX

-

MÍN:

•

• Composição MÁX

Composição MÁX

-

PRODUTO:

A operação realizada para se obter acomposição

das relaçõespode serrepresentada por:

))]} , ( ), , ( ( [ ), , {( ) , ( ) , (x z f x z x z max min f x y f y z f _P _Q y Q P R = o = ))]} , ( ) , ( [( ), , {( ) , ( ) , (x z f x z x z max f x y f y z f _P _Q y Q P R = o =

• Exemplo (caso crisp):

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 ) , ( 3 2 1 4 3 2 1 x x x Y X P y y y y ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 ) , ( 4 3 2 1 4 3 2 1 y y y y Z Y Q z z z z ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 ) , ( 3 2 1 4 3 2 1 x x x Z X R z z z z

Composições

Crisp

x1 x2 x₃ z1 z2 z₃ z4 R(X,Z) = P (X,Y) ° Q (Y,Z)

(8)

Exemplificando para o cálculo do elemento (x1,z2)de R(no exemplo): 0 )]} 0 , 0 , 0 , 0 [ ), , {( ) , ( )]} 0 , 1 ( ), 1 , 0 ( ), 0 , 1 ( ), 0 , 0 ( [ ), , {( ) , ( ))]} , ( ), , ( ( )), , ( ), , ( ( )), , ( ), , ( ( )), , ( ), , ( ( [ ), , {( ))]} , ( ), , ( ( [ ), , {( ) , ( ) , ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 1 2 3 3 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = = = = = = max z x z x f min min min min max z x z x f z y f y x f min z y f y x f min z y f y x f min z y f y x f min max z x z y f y x f min max z x z x f z x f R R Q P Q P Q P Q P Q P y Q P R o

Composições

Crisp

_{Composições}

_Crisp

•

• Em Em composições composições crispcrispse obtém o se obtém o mesmo mesmo resultado

resultadopara para MÁXMÁX--MÍNMÍNe e MÁXMÁX--ProdutoProduto

•

• Cada elemento de Cada elemento de R(X,Y)R(X,Y)pode ser obtido pode ser obtido

por meio da

por meio da multiplicaçãomultiplicaçãodas matrizes das matrizes P(X,Y)

P(X,Y)e e Q(Y,Z)Q(Y,Z)observandoobservando--se que:se que: – cada multiplicação deve ser efetuada com o

operador adequado: mínimo mínimo ou produtoproduto

– cada adiçãodeve ser efetuada com o operador máximo

máximo

Relações e Composições

•

• Relações

Relações

Crisp

•

• Relações Fuzzy

Relações

Fuzzy

•

• Composições de Relações Crisp

Composições de Relações

Crisp

•

• Composições de Relações

Composições de Relações

Fuzzy

Composições

Composições Fuzzy

Fuzzy

Composiçãofuzzy faz-se uma

generalização do caso não-fuzzy

)] , ( ) , ( [ ) , ( ) , (x z x z sup _P x y _Q y z y Q P R

µ

= _o = ∗

• a norma-t é usualmenteo minou o produto

(9)

Composição de Relações

Interpretação gráfica: Interpretação gráfica: µP(x,y) µ

µPP((xx,,yy)) µµµQQ_Q(((y,z)y,zy,z))

x

x∈∈XX yy∈∈YY zz∈∈ZZ _µ_µ P

P °°QQ((x,zx,z))

Obs.: o procedimento de “multiplicação de matrizes” aplica-se também ao caso fuzzy

Composição de Relações

• Exemplo 1:

• Estudantes:

X = {Maria, João, Pedro}

• Características de cursos

Y = {teoria, aplicação, hardware, programação}

• Cursos

Z = {lógica fuzzy, controle fuzzy, redes neurais, sistemas especialistas}

Composição de Relações

• Exemplo 1 (continuação):

– Interesse dos estudantes, em termos das características dos cursos:

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 5 , 0 9 , 0 5 , 0 5 , 0 0 1 , 0 1 1 , 0 8 , 0 1 2 , 0 ) , ( João Maria Pedro Y X P p h a t

Composição de Relações

• Exemplo 1 (continuação): – Características dos cursos:

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 8 , 0 5 , 0 1 , 0 0 7 , 0 3 , 0 0 8 , 0 8 , 0 1 2 , 0 1 , 0 6 , 0 5 , 0 1 ) , ( p h a t Z Y Q SE RN CF LF

(10)

Composição de Relações

• Exemplo 1 (continuação):

– A composição (max-min) pode servir de auxílio aos estudantes na escolha dos cursos:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

1

8 ,

0

9 ,

0

5 ,

0

5 ,

0

6 ,

0

5 ,

0

1

8 ,

0

8 ,

0

1

2 ,

0 João

Maria

Pedro

Q

P

SE

RN

CF

LF

o

Obs: ao contrário deste exemplo, a composição max-produto

geralmente não produz o mesmo resultado!

Composição de Relações

• Exemplo 2:

x

xé é muito maiordo quedo queyy E E yyé é muito próximode de z

X = { x1, x2, x3} Y = { y1, y2, y3, y4}

Z = {z1, z2, z3} µ µ_{mm °}_mm_°_mp_mp((x,zx,z))= ?= ? µmm(x,y) µmp(y,z)

Composição de Relações

• Exemplo 2 (continuação): x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 0.8 1 0.1 0 0.8 0 0.7 0 0.7 1 0.9 0.8 µmm(x,y) = y1 y2 y3 y 0.4 0.9 0.3 0 0.4 0 0.8 0.5 0.9 µmp(y,z) = 0.5 0.7 0.6 x1 x2 x 0.42 0.72 0.35 0 0.32 0 0.56 0.81 0.63 Composiçãomax-produto x1 x₂ x3 0.6 0.8 0.5 0 0.4 0 0.7 0.9 0.7 Composiçãomax-min z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3 Relações dadas:

Composição de Relações

µR(z,w) µ µRR((z,wz,w)) µP(x,y) µ

µPP((x,yx,y)) µµµQQ_Q(((y,z)y,zy,z))

w w∈∈W_{W µ}_µ P P °°Q Q °°RR((x,w)x,w) µP ° Q(x,z) µ µP P °°QQ((x,zx,z)) µµµRR_R(((z,w)z,wz,w)) w w∈∈W_{W µ}_µ P P °°Q Q °°RR((x,wx,w)) x x∈∈XX yy∈∈YY zz∈∈ZZ x x∈∈XX zz∈∈ZZ • • Três relações:Três relações:

(11)

Composição de Relações

Caso especial: P é um conjunto fuzzyapenas

em vez de tem-se , o que é

equivalente a se ter X = Y

)

,

(

x

y

P

µ

_P

( x

)

)] , ( ) ( [ ) (z sup _P x _Q x z x R

µ

= ∗

Obs.: resultado fundamental para sistemas de inferência fuzzy!

Composição de Relações

µP(x,y) µ

µPP((x,yx,y)) µµµQQ_Q(((y,z)y,zy,z)) x x∈∈XX yy∈∈YY zz∈∈ZZ µ µP P °°QQ((x,z)x,z) µP(x) µ µPP((xx)) µµµQQ_Q(((x,z)x,zx,z)) x x ∈∈XX x x ∈∈XX zz∈∈ZZ µ µP °P °QQ((z)z) X X = = YY Interpretação gráfica: Interpretação gráfica:

Composição de Relações

• Exemplo:

xé mediamente grandeE zé muito menordo que x

µmg(x) = {0,3; 0,7; 1; 0,7; 0,3} x1 x2 x₃ x4 x5 0.3 0.2 0.1 0.3 0.7 0.8 0.6 0.8 1 µmm(x,z) = 0.8 1 1 z1 z2 z3 z4 X = { x1, x2, x3, x4, x5} = {5, 10, 15, 20, 25} Z = {z1, z2, z3, z4} = {1, 2, 3, 4} 1 1 1 0 0.2 0.4 0.6 1 µR(z) = {1/1; 0,8/2; 0,7/3; 0,6/4} Composiçãomax-min