MATEMÁTICA FINANCEIRA

FINANCEIRA

Entre as inúmeras aplicações da Matemática está a de auxiliar na resolução de problemas de ordem financeira, como cálculo do valor de prestações, pagamento de impostos, rendimento de poupança e outros. Veja um desses problemas:

Uma pessoa vai fazer uma compra no valor de R$ 4000,00, usando o que tem depositado numa caderneta de poupança, que está rendendo 1% ao mês. Ela quer saber, do ponto de vista financeiro, qual plano de pagamento é mais vantajoso:

 Pagar à vista

 Pagar em duas prestações iguais de R$ 2005 reais casa uma.

Estes e outros problemas serão estudados e resolvidos nesse capítulo.

Antes de começar os conteúdos de Matemática Financeira, é interessante ressaltar que todos os conteúdos aqui vistos dependerão de conceitos de porcentagem vistos na disciplina de Matemática Básica. Caso tenha dificuldade, revise as aulas de porcentagem ou consulte o professor.

Lucro e prejuízo são conceitos financeiros que envolvem, respectivamente, o ganho de dinheiro e a perda de dinheiro após uma determinada operação de compra ou de venda.

O lucro pode ser calculado por:

L = Preço de Venda – Preço de Custo Se L > 0, é lucro; se L < 0, chamamos de prejuízo. Vamos dar exemplos:

Um lojista adquiriu 3000 unidades de um produto no valor de 12000 reais. Após os pagamentos dos impostos e transporte, que totalizaram 20% do preço da mercadoria, calcule o valor unitário da

mercadoria para que este lojista obtenha 30% de lucro sobre o valor que ele adquiriu as mercadorias. O lojista teve 20% de custos sobre o preço de compra, então:

12000 1200 0  2 0

1 0 0 12000 2400 14400  Ele quer vender sua mercadoria com um lucro de 30%, então temos:

14400 1440 0  3 0

1 0 0 14400 4320 18720 Dividindo por 3000 para obter o custo unitário:

18720

R$ 6,24

3000



Este é o custo unitário.

Podemos também expressar o lucro em duas porcentagens diferentes: lucro sobre a venda (LV) e lucro sobre a compra (LC). Embora sejam porcentagens diferentes, expressam o mesmo valor absoluto.

lucro

lucro

LC

LV

custo

venda





Vamos a um exemplo:

Uma mercadoria foi comprada por R$ 500,00 e vendida por R$ 800,00. Pede-se:

a) o lucro obtido na transação;

b) a porcentagem de lucro sobre o preço de custo; c) a porcentagem de lucro sobre o preço de venda. a) O lucro nada mais é do que a diferença entre o preço de venda e o custo:

800 300 R$ 500, 00 L venda custo L      1 Introdução 2 lucro e prejuízo

Capítulo 6 – Matemática Financeira Álgebra II b) A porcentagem do lucro sobre o custo é:

300 500 0, 6 60% lucro LC custo LC LC     c) E sobre a venda é: 300 800 0, 375 37, 5% lucro LV venda LV LC     EXERCÍCIOS DE TREINO

1. (PUC-SP) O preço de venda de um bem de

consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é:

2. Um celular foi comprado por R$ 300,00 e

revendido posteriormente por R$ 340,00, qual a taxa percentual de lucro sobre o preço original?

3. (Cesgranrio-RJ) João vendeu dois rádios por

preços iguais. Um deles foi vendido com lucro de 20% sobre o preço de custo e o outro com prejuízo de 20% sobre o preço de custo. No total, em relação ao capital investido, João teve lucro ou prejuízo, de quanto?

A Matemática Financeira se preocupa muito com as variações dos valores ao longo do tempo. Em vários casos, o resultado não é tão óbvio quanto aparenta ser, ou até mesmo um negócio não é tão vantajoso quanto parece.

FATOR DE ATUALIZAÇÃO

O fator de atualização (f) é a razão entre dois valores de uma grandeza em tempos diferentes (passado, presente ou futuro). O fator de atualização é a ferramenta mais indicada para quem

quer trabalhar com matemática financeira, seja na vida cotidiana, seja nos vestibulares.

Na divisão entre dois valores quaisquer, só existem três resultados possíveis. Ou resulta 1, ou maior que 1, ou menor que 1.

 Quando o resultado da divisão é igual a 1 significa que os dois valores são iguais, portanto, nenhum é maior ou menor que o outro. Um valor é 100% do outro. Por isso, diz-se que

f



1

é o valor neutro.

 No caso da divisão retornar um valor maior que 1, como por exemplo

A

1, 05

B



, podemos entender o resultado de duas maneiras diferentes, mas igualmente corretas, cujo uso depende do contexto:

a) A é 5% maior que B

b) A é 105% de B, portanto, 5% maior.  No caso de a divisão resultar um valor

menor do que 1, como por exemplo

0, 90

A

B



, também podemos entender o resultado de duas formas diferentes:

a) A é 10% menor que B b) A é 90% maior de B

Também aqui a escolha pela melhor interpretação depende do contexto.

Na prática, se a opção de interpretação for a, precisamos aprender a obter a taxa de variação (t) a partir do fator de atualização.

Se f > 1,

f

 

1

t

, então a taxa t é

t

 

f

1

. Se f < 1,

f

 

1

t

, então a taxa t é

t

 

1

f

. Ambas as taxas em números decimais. Assim, temos:

1, 05

1

1, 05 1

0, 05

5%

ou seja, 5% de aumento

f



    

t

f

t

 



0, 90

1

1 0, 90

0,10 10%

ou seja, 10% de desconto

f



     

t

f

t





AUMENTOS E DESCONTOS

Na comparação de dois valores diferentes da mesma grandeza, f > 1 significa aumento (ou acréscimo de valor) e f < 1 significa desconto (ou decréscimo de valor), pois o valor da grandeza variou no tempo e o valor anterior é a base de comparação. O fator f = 1 significa que não houve variação. Podemos calcular f como:

valor novo

valor velho

f



1

aumento

1

desconto

1

sem variação

f

f

f

 

 

 

AUMENTOS E DESCONTOS SUCESSIVOS

Para compor vários aumentos e/ou descontos sucessivos, basta multiplicar os vários fatores individuais e assim obter o fator “acumulado”:

1 2 3 4

...

acum

f

    

f

f

f

f

O fator acumulado é um fator de atualização e assim deve ser entendido. Vamos aos exemplos:

(Unesp – SP) Se a taxa de inflação de janeiro é de 6% e a de fevereiro 5%, então a taxa de inflação do período janeiro-fevereiro foi de quanto?

É muito tentador somar as duas taxas de inflação e responder que a taxa do período foi de 11%. Mas a inflação agiu sobre dois valores diferentes: a inflação de janeiro incidiu sobre os valores de dezembro e a de fevereiro incidiu sobre os valores de janeiro. Cabe então usarmos o fator acumulado.

Como a inflação trata-se de um aumento, então temos: Janeiro

t

₁



6%



0, 06

  

f

₁

1 0, 06 1, 06



Fevereiro

t

₂



5%



0, 05



f

₂

 

1 0, 05 1, 05



Logo, temos: 1 2 1, 06 1, 05 1,113 11, 3% acum acum acum f f f f f t       

(UEL – PR) Em uma liquidação os preços dos artigos de uma loja são reduzidos em 20% de seu valor. Terminada a liquidação, pretendendo voltar a seus valores originais, de que porcentagem devem ser acrescidos os preços da liquidação?

Podemos facilmente deduzir o fator de atualização da liquidação:

1

1 0, 20

0,80

f

 



Para deduzir

f

₂ temos que ter consciência de que os valores após a liquidação têm de voltar aos mesmos valores que possuíam antes, ou seja, o fator acumulado deve permanecer inalterado:

1 2 2 2 2

1

0,80

1

0,80

1, 25

acum

f

f

f

f

f

f

 









Como

f

₂



1

, temos que:

2 2 1 2 1, 25 1 2 0, 25 25%

t  f   t   t  

Com isso, já somos capazes de resolver problemas gerais com porcentagens. Vamos aos exercícios: EXERCÍCIOS DE TREINO

4. (Unesp - SP) O dono de um supermercado

comprou de seu fornecedor um produto por x reais (preço de custo) e passou a revendê-lo com lucro de 50%. Ao fazer um dia de promoções, ele deu aos clientes do supermercado um desconto de 20% sobre o preço de venda deste produto. Pode-se afirmar que, no dia de promoções, o dono do supermercado teve, sobre o preço de custo, um lucro de quantos por cento?

Capítulo 6 – Matemática Financeira Álgebra II

5. Uma mercadoria custava R$ 80,00 e seu preço foi

aumentado em 5%. Se o novo preço sofrer um desconto de 5%, ela voltará a custar R$ 80,00? Calcule os preços com aumento e o desconto.

6. O mesmo modelo de geladeira está sendo

vendido em duas lojas do seguinte modo: na loja A, sobre o preço de R$ 800,00 há um desconto de 8%, na loja B, sobre o preço de R$ 820,00 há um desconto de 10%. Qual dessas ofertas é mais vantajosa?

7. Um comerciante comprou uma peça de tecido de

100 m por R$ 800,00. Se ele vender 40 m com lucro de 30% sobre o custo, 50 m com lucro de 10% sobre o custo e 10 m pelo preço de custo, qual será o lucro sobre o custo de toda a peça?

Vamos supor que uma pessoa aplique certa quantia (capital) em uma caderneta de poupança por um determinado período (tempo). A aplicação é como se ela estivesse fazendo um empréstimo ao banco. Então no fim desse período, essa pessoa recebe uma quantia (juros) como compensação. O valor dessa quantia é estabelecido por uma porcentagem (taxa

de juros). Ao final da aplicação, a pessoa terá em

sua conta a quantia correspondente a capital + juros (montante). Estes serão os termos mais utilizados nos próximos itens.

Os juros simples fazem referência a uma determinada taxa de juros que é sempre aplicada em relação ao capital inicial. Por exemplo, um capital aplicado à taxa de 2% ao mês, durante 5 meses, rende 10% do capital no final desses 5 meses, ou seja,

5 2%



. Veremos agora exemplos de como calcular com juros simples. Seguem as fórmulas para os juros simples:

j

  

C i t

M

 

C

j

Ou, resumindo em uma fórmula só:

M



C

(1

 

i t

)

Sendo M o montante, C o capital, i a taxa de juros , j os juros e t o período.

ATENÇÃO: a taxa de juros e o tempo devem fazer referência à mesma unidade de tempo – se a taxa está em % por meses, o tempo deverá ser em meses, por exemplo.

Lembre-se sempre de transformar as taxas de porcentagens para números decimais

Vamos a alguns exemplos:

Um capital de R$ 530,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual o valor do montante após cinco meses?

Aplicando na fórmula, temos:









(1 ) 530 1 0, 03 5 530 1 0,15 530 1,15 R$ 690, 50 M C i t M M M M           

Um capital de R$ 600,00, aplicado à taxa de 20% ao ano, gerou um montante de R$ 1080,00 após certo tempo. Qual foi esse tempo em meses?

(1

)

1080

600(1 0, 2 )

1080

1 0, 2

600

1,8 1

0, 2

0, 2

0,8

4

M

C

i t

t

t

t

t

t



 







 

 





Como a taxa estava em anos, o período de tempo calculado está em anos. Transformando em meses, temos: 4 anos = 48 meses.

EXERCÍCIOS DE TREINO

8. Quanto rendeu a quantia de R$ 600,00, aplicada a

juros simples, com uma taxa de 2,5% ao mês, ao final de 1 ano e 3 meses?

9. Um capital de R$ 800,00, aplicado a juros simples

com uma taxa de 2% ao mês, resultou no montante de R$ 880,00 após um certo tempo. Qual foi o tempo da aplicação?

4 termos importantes da matemática financeira

10. Uma dívida de R$ 750,00 foi paga 8 meses após

ser contraída e os juros pagos foram de R$ 60,00. Sabendo-se que o cálculo foi feito usando juros simples, qual foi a taxa de juros?

11. Durante quanto tempo um capital deve ser

aplicado para que seu valor dobre, no sistema de juros simples, à taxa de 2% ao mês?

O sistema de juros compostos é o mais utilizado em transações bancárias e vendas a prestação. No sistema de juros compostos deve-se calcular os juros no fim de cada período, formando um montante sobre o qual se calcula os juros do mês seguinte, até esgotar o tempo da aplicação (é o que se chama de juros sobre juros). Para se calcular o montante produzido por um capital aplicado a uma determinada taxa durante um período de tempo pode ser calculado por:

(1

)

t

M



C



i

ATENÇÃO: a maioria dos casos de juros simples demanda o uso de calculadora. Nas provas e vestibulares, os cálculos que demandem calculadoras terão seus resultados dados.

Vejamos alguns exemplos:

Quanto receberá de juros, no fim de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia de R$ 6000,00, à taxa de 1% ao mês?

Aplicando na fórmula, temos:





6 6 (1 ) 6000(1 0, 01) 6000 1, 01 6369,12 t M C i M M M       

Observe que esse é o montante, e não a quantidade de juros. Para obter os juros basta subtrair o capital do montante.

6369,12 6000

R$ 369,12

j

M

C

j

j









 

O capital de R$ 2000,00, aplicado a juros compostos, rendeu, após 4 meses, juros de R$ 165,00. Qual foi a taxa de juros?

Nesse caso, não temos o montante. Mas o montante nada mais é do capital + juros. Então temos:









4 4 4 4 2000 165 2165 (1 ) 2165 2000(1 ) 2165 1 2000 1, 0825 1 1 1, 0825 1 1, 020015981 0, 020015981 2% t M C j M M C i i i i i i i i                    

Qual deve ser o tempo gasto para que a quantia de R$ 30000,00 gere o montante de R$ 32781,81, quando aplicada à taxa de 3% ao mês, no sistema de juros compostos?

Vamos aplicar a fórmula: (1 ) 32781,81 30000(1 0, 03) 32781,81 (1, 03) 30000 (1, 03) 1, 092727 t t t t M C i    

Observe que temos uma equação exponencial. Então usamos a operação contrária, o logaritmo. Pode-se aplicar o logaritmo de qualquer base, mas, para o uso em calculadora, usaremos o logaritmo na base 10.

log(1, 03)

log1, 092727

log1, 03

log1, 092727

log1, 092727

3 meses

log1, 03

t

t

t

t









 

6 juros compostos

Capítulo 6 – Matemática Financeira Álgebra II

Use calculadora, preferencialmente: EXERCÍCIOS DE TREINO

12. Resolva o exercício da introdução do capítulo. 13. Qual será o montante pelo capital de R$

20000,00, aplicado a juros compostos, à taxa de 20% ao ano, durante 6 meses?

14. Aplicando uma certa quantia na poupança, a

juros mensais de 1%, durante 2 meses, os juros obtidos são de R$ 600,00 (o sistema é de juros compostos). Qual é essa quantia?

15. Uma pessoa deseja aplicar R$ 10000,00 a juros

compostos, e no fim de 3 meses obter R$ 11248,64. Qual deve ser a taxa de juros?

16. Após quanto tempo, à taxa de 4% ao mês, a

aplicação de R$ 1000,00 renderá juros de R$ 170,00 no sistema de juros compostos?

O valor de uma quantia depende da época à qual ela está referida.

Por exemplo, se meu dinheiro rende 1% ao mês, é indiferente pagar agora R$ 100,00 ou R$101,00 daqui a um mês. Por outro lado, é mais vantajoso pagar R$100,50 daqui a um mês do que pagar R$ 100,00 agora. E também, é mais vantajoso pagar R$ 100,00 agora do que R$ 102,00 daqui a um mês. Assim, a principal questão em Matemática Financeira é deslocar quantias no tempo.

VALOR ATUAL E VALOR FUTURO

Vimos em juros compostos que o valor de um capital se altera exponencialmente ao longo de um período de tempo a uma determinada taxa de juros. Mas os valores podem se alterar durante o tempo sob uma grande variedade de taxas: juros, inflação, valorização, etc.

Se chamarmos o valor atual de

C

₀ e o valor futuro depois de n períodos de tempo de

C

_n, à taxa de i%, temos a seguinte fórmula:





0 1

n n

C C i

Chamamos essa fórmula de fórmula fundamental

da equivalência de capitais.

Para obter o valor futuro, multiplicamos o atual por



1i



n.

Para obter o valor futuro, dividimos o futuro por



1i



n.

Rosângela tomou emprestado R$ 300.000,00 a juros mensais de 12%. Dois meses depois, pagou R$ 150.000,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou sua dívida. Qual é o valor desse último pagamento?

Observe que R$ 300.000,00 reais na data do empréstimo (data 0) têm o mesmo valor de R$ 150.000,00 depois de dois meses (data 2), mais um pagamento P na data 3.

Para resolver o exercício, basta colocar todos os valores numa mesma época. Vamos escolher a data 0. Os valores que Rosângela pagou são futuros à data 0:



 







2 3 3 150000 300000 1 0,12 1 0,12 150000 300000 1, 2544 _{1 0,12} 300000 119579, 08 1, 404928 180420, 92 1, 404928 R$ 253478,40 P P P P P           

Um fogão custa R$ 500,00. Se a inflação registrada nesse mês foi de 3%, quanto custará o fogão daqui a 4 meses, se a inflação se mantiver nesse nível? Queremos saber o valor futuro do fogão, que ficará mais “caro”. Então temos:













0 4 4

1

500 1 0, 03

500 1, 03

500 1,1255

R$ 562, 75

n n n n n n

C

C

i

C

C

C

C

















EXERCÍCIOS DE TREINO

17. Investindo um capital a juros mensais de 4%,

em quanto tempo você triplicará seu capital inicial?

18. Se a inflação anual de um certo país tem se

mantido na média de 6% ao ano, uma impressora de R$ 500,00 comprada hoje teria qual preço há 5 anos?

A Matemática Financeira nos ajuda a resolver problemas que até então pareciam muito óbvios de se resolver, ou até mesmo de fechar negócios que sejam mais prejudiciais do que aparentavam ser. Vejamos um exemplo de análise de um negócio e os demais exercícios deverão ser feitos em sala.

Helena tem duas opções de pagamento na compra de um televisor:

a) 3 prestações mensais de R$ 150,00 cada. b) 7 prestações mensais de R$ 65,00 cada.

A primeira prestação é paga no ato da compra nos dois casos. O dinheiro está rendendo 2% ao mês. Qual a melhor opção de compra?

As prestações serão fixas, mas os R$ 65,00 não terão o mesmo valor de compra mês após mês. Então precisamos comparar as duas opções de pagamento em relação a uma única data. Vamos escolher a data 2. Então temos: 2 150(1 0, 02) 150(1 0, 02) 150 150 147, 06 144,18 R$ 459, 06 a a a V V V          2 2 3 4

65

65

65(1, 02)

65(1, 02) 65

(1, 02)

(1, 02)

65

65

(1, 02)

(1, 02)

R$ 446, 43

b b

V

V



















A comparação pode ser feita usando qualquer data: o valor da condição b será sempre menor que o da condição a. Então, para Helena, a condição b é a mais favorável.

EXERCÍCIOS DE TREINO

19. Noemi tem duas opções de pagamento na

compra de uma moto usada: 4 prestações mensais de R$ 1500,00; ou 9 prestações mensais de R$ 700,00. Nos dois casos, a 1ª prestação é paga no ato da compra. Sabendo que o dinheiro de Noemi rende 3% ao mês, qual a melhor opção para ela?

20. Michele comprou uma calça em 4 vezes (1 + 3)

de R$ 35,00 e Jaqueline comprou uma calça idêntica em outra loja em 3 vezes (0 + 3). Sabendo que se o dinheiro de Michele no banco rende 1,2% ao mês e o de Jaqueline rende 1% ao mês, qual das duas fez melhor negócio?

21. Todo início de ano, o brasileiro que possui

automóvel deve pagar o IPVA. Certo ano, o governo ofereceu as seguintes condições de pagamento: - cota única com desconto de 3,5% a pagar em janeiro.

- cota única sem desconto a pagar em fevereiro - 3 parcelas iguais, a pagar em janeiro, fevereiro e março.

Supondo que uma pessoa possuía dinheiro para pagar nas três possibilidades numa aplicação financeira que rendia 1,2% ao mês e que o IPVA devido estava no valor de R$ 900,00, qual das opções era a mais vantajosa?

Capítulo 6 – Matemática Financeira Álgebra II

LISTA DE EXERCÍCIOS

Resolva, onde for necessário, com calculadora.

1. Amélia fixou em 18% o lucro sobre o preço

de aquisição de uma mercadoria. Sabendo que ela custou R$250,00, por quanto deverá ser vendida?

2. Em janeiro, Fernando ganhava um salário

de R$600,00. Nos meses de fevereiro, março e abril seu salário foi aumentado em 5%, 8% e 4%, respectivamente. Quanto Fernando passou a ganhar em abril?

3. (Fuvest - SP) Um comerciante deu um

desconto de 20% sobre o preço de venda de uma mercadoria e, mesmo assim, conseguiu um lucro de 20% sobre o preço que pagou por ela. Se o desconto não fosse dado, seu lucro bruto, em porcentagem seria:

a) 40% b) 45% c) 50% d) 55% e) 60%

4. Ao comprar um carro, após um ano, o valor

desse carro diminui 15% em relação ao seu preço original. Daí em diante o valor diminui 15% em relação ao ano anterior.Se um carro 0 km custa R$ 12.000,00 qual será o seu valor aqui a 2 anos?

5. Um capital de R$ 3000,00 foi aplicado a

juros simples da seguinte maneira: uma parte A, por 4 meses a taxa de 2,5% a.m. e a outra, B, por 5 meses à taxa de 3% a.m.. Ao final, as duas aplicações renderam os mesmos juros. A diferença A - B é igual a:

a) R$ 600,00 b) R$ 200,00 c) R$ 400,00 d) R$ 500,00 e) R$ 700,00

6. (ITA-SP) Uma loja oferece um computador e

uma impressora por R$ 3.000,00 à vista, ou por 20% do valor à vista como entrada mais um pagamento de R$2.760,00 após 5 meses. Qual a taxa de juros simples cobrada?

7. Uma pessoa compra um objeto pagando

duas prestações mensais fixas de R$121,00 e sem entrada. Se o juro da loja é de 10% ao mês, o valor a compra à vista seria de:

a) R$ 190,00 b) R$ 200,00 c) R$ 210,00 d) R$ 220,00 e) R$ 230,00 8. (FGV - SP) Em três bimestres consecutivos,

um indivíduo obteve reajustes salariais de 20% por bimestre. Seu aumento acumulado no semestre foi de:

a) 60% b) 68,4% c) 72,8% d) 78,2% e) 81,4%

9. (Unicamp) Um lojista que comercializa

carros usados destina 5% do preço de venda de cada veículo para investimento em propaganda. Do valor restante, após a redução dos 5%, ele deduz o preço da compra do veículo, determinando assim o seu lucro bruto. Com base nessas informações, determine:

a) qual deverá ser o preço de venda de um

caro comprado por R$ 19.000,00 , sendo que se pretende obter com essa venda um lucro bruto de 15% sobre o preço de compra.

b) qual foi o preço de compra de um carro

vendido com um lucro bruto de R$ 3.000,00, que corresponde a 20% do preço de venda.

10. (FGV - SP) Carlos adquiriu um aparelho de

TV em cores dando uma entrada de R$ 200,00, mais uma parcela de R$ 450,00 dois

meses após a compra. Sabendo que o preço à vista do aparelho é R$ 600,00:

a) Qual a taxa mensal de juro simples do

financiamento?

b) Após quantos meses da compra deveria

vencer a parcela de R$ 450,00, para que taxa de juro simples do financiamento fosse de 2,5% ao mês?

11. (UFJF - MG) Sabe-se que, se depositarmos

R$ 1000,00 em uma caderneta de poupança, ao final de n meses, teremos a quantia C, dada por C1000 1, 02





n. Daí podemos concluir que: a)





1,02 1,02 log log 1000 1, 02 C n  b)





1, 02 1000 0, 02 C n   c) _1,02





1, 02 1000 log 0, 02 C n   d) log_1,02 1000 C n e)





1000 1, 02 C n 

12. Uma loja oferece duas formas de pagamento

para seus clientes: à vista ou em duas parcelas iguais. A loja anuncia, na sua vitrine, um vestido por um preço total de R$ 200,00 para pagamento em duas vezes, sendo R$ 100,00 no ato da compra e R$ 100,00 30 dias após essa data. Para pagamento a vista, a loja oferece um desconto de 10% sobre o preço total de R$ 200,00 anunciado na vitrine.

Considerando o preço a vista como o preço real do vestido, a taxa de juros cobrada pela loja no pagamento em duas vezes é:

a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 30%

13. (UFMG) Um capital de R$ 30.000,00 foi

dividido em duas aplicações: a primeira pagou uma taxa de 8% de juros anuais; a outra aplicação, de risco, pagou uma taxa de 12% de juros anuais. Ao término de um ano, observou-se que os lucros obtidos em ambas as aplicações foram iguais. Assim sendo, a diferença dos capitais aplicados foi de:

a) R$ 8.000,00 b) R$ 4.000,00 c) R$ 6.000,00 d) R$ 10.000,00

14. (Fuvest - SP) João, Maria e Antônia tinham,

juntos, R$ 100.000,00. Cada um deles investiu sua parte por um ano, com juros de 10% ao ano. Depois de creditados seus juros no final desse ano, Antônia passou a ter R$ 11.000,00 mais o dobro do novo capital de João. No ano seguinte, os três rein-vestiram seus capitais, ainda com juros de 10% ao ano. Depois de creditados os juros de cada um no final desse segundo ano, o novo capital de Antônia era igual à soma dos novos capitais de Maria e João. Qual era o capital inicial de João?

a) R$ 20.000,00 b) R$ 22.000,00 c) R$ 24.000,00 d) R$ 26.000,00 e) R$ 28.000,00

15. (UFF - RJ) O salário de Marisa correspondia

a 25% do salário de Leila, até que, em dezembro de 2000, Marisa recebeu um aumento salarial de 60%, permanecendo inalterado o salário de Leila. Indicam-se os salários atuais de Marisa e Leila, respectivamente, por M e L. Desse modo, M é igual a qual porcentagem de L?