,4,4,4,4:PG   ,32,2,6,18:PG 

(1)

VESTIBULAR: RESUMOS PROFESSOR: WALTER TADEU

MATEMÁTICA I

Progressão Geométrica

A taxa de variação i de uma grandeza, que passa do valor a para o valor b, é definida por a

a i b . Isto significa a razão entre o aumento da grandeza e se valor inicial. A expressão pode ser escrita como:

) i 1 .(

a b i.

a a b i.

a a

b        .

Exemplo. Um determinado produto que custava R$150,00 sofreu um aumento de 20%. Qual o novo preço?

Solução.

b 150 1.( )2,0 150 ( )2,1 $R 180 00, )

novo preço (b

2,0

% 20 ) aumento de taxa (i

00, 150

$R ) antigo preço (a







 



 





Uma Progressão Geométrica é a sequência numérica na qual é constante o quociente da divisão de cada termo, a partir do segundo, pelo antecedente. Esse quociente é constante e representado por q e chamado de razão.

Exemplos. 1) PG:(1, 2, 4, 8, 16, ...) -> cada termo vale o dobro do anterior. A razão é ... 2 2

4 1

q 2    .

Repare que a taxa de variação é constante: ... 1

4 4 8 2

2 4 1

1

i 2       e que q = 1 + 1.

2) 



 



 ,

3 ,2 2 , 6 , 18 :

PG -> cada termo vale a terça parte do anterior. Logo a razão é

3 ... 1 6 2 18

q 6    . Repare que a taxa de variação é constante:

3 ... 2 2

3 2 2 6

6 2 18

18 i 6    

 



^e

que 



 





 3

1 2

q _.

OBS: Quando a razão é menor que 1, a progressão geométrica é decrescente.

3) ^PG^:



⁴^,⁴^,⁴^,⁴^,_



-> todos os termos são iguais. Logo a razão é ... 1 4

q 4   . Repare que a taxa

de variação é constante e nula: 0 4

4

i 4  e que ^q^¹^⁰.

OBS: Quando a razão é igual 1, a progressão geométrica é constante.

Em vista dos exemplos anteriores, podemos definir também uma progressão geométrica de razão q = (1 + i) como sendo uma sequência numérica cuja taxa de variação é constante e igual a i.

Exemplos. 1) “Um produto teve seu aumento triplicado. Qual foi a taxa de aumento?”

Resposta: Preço novo = 3.Preço antigo = (1 + 2).Preço antigo. Logo a taxa é i = 2 -> 200%.

2) Progressão Geométrica de razão q = 1,1 é a sequência com taxa de variação de i = 0,1 = 10%.

3) Progressão Geométrica de razão q = 0,8 é a sequência com taxas de variação de i = – 0,2 = – 20%.

(2)

No caso não houve aumento e sim decréscimo.

Termo Geral de uma Progressão Geométrica: Considere a PG genérica da forma (a1, a2, a3, ... , an, ...) cuja a razão é q.

Temos que:

 

1 n 1 n 3 1 2 1 3 4

2 1 1 2 3

1 2 1

q.

a a q.

a q.

q.

a q.

a a

q.

a q.

q.

a q.

a a

q.

a a a







 





 











Relação entre a Progressão Geométrica e a Função Exponencial Uma função f:ℝ→ℝ^*+ chama-se função

exponencial quando existe um número real a, com a > 0 e a ≠ 1, tal que:

f(x) = a^x, para todo x ∈ ℝ.

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o anterior por uma constante q chamada razão da PG.

Conforme termo geral: an = a1∙q^n-1, com n ∈ ℕ. (com o primeiro termo sendo a1)

OBS: Quando o problema apresentado envolver o domínio ℕ, pode-se utilizar qualquer uma das relações. Quando a situação envolver o domínio ℝ, não se pode utilizar a progressão geométrica.

• Na função exponencial, o termo geral vale para todo x ∈ ℝ.

• Na progressão geométrica, o termo geral vale para todo n ∈ ℕ, uma vez que estamos considerando uma PG cujo primeiro termo é a1.

Exemplo (Exponencial): O valor de um automóvel daqui a t anos é dado pela lei V = 20000.(0,9)^t (em dólares). Calcule o valor desse automóvel daqui a 4 anos.

Solução: Utilizando t = 4 na fórmula, vem: V = 20000.(0,9)⁴ => V = 20000.(0,6561) => V = 13.122

Exemplo (Progressão Geométrica): O valor inicial do automóvel é de V = 30000 dólares.

O valor do automóvel, em função do tempo em anos após sua compra, forma uma PG decrescente:

(27000, 24300, 21870,...), em que a1 = 27.000 e q = 0,9.

Solução. Como o termo geral é an = a1 ∙ q^n-1, com n ∈ ℕ, na PG temos: a4 = 27.000 ∙ (0,9)³ => a4 = 19683.

(3)

Propriedade de uma PG: Em toda Progressão Geométrica, não nula, (PG), cada termo, excluindo-se os extremos, é média geométrica entre o seu antecedente e o seu consequente: ak 



ak_1

 

.ak_1



.

Exemplo: ^PG^:



²^,⁶^,¹⁸^,⁵⁴^,



⁶ ⁽¹⁸^).(²⁾  ³⁶^;¹⁸  ⁽⁶^).

 

⁵⁴  ³²⁴^;^etc.

Interpolação de uma Progressão Geométrica (P.A.): Interpolar ou inserir “k” meios geométricos entre dois extremos a1 e an, significa formar uma P.G de n = k + 2 termos onde a1 e an são os extremos.

Exemplo: Inserir entre 1/4 e 8, nove meios geométricos positivos. Haverá 11 termos (9 + 2). Temos:











 













 ^ ,1, 2, 2,2 2,4,4 2,8

2 , 2 2 ,1 4 , 2 4 : 1 PG 2 2 q 32 q

q 4. 8 1 q

4.

8 1 ¹¹¹ ¹⁰ ¹⁰ ¹⁰ ⁵

.

Soma dos termos uma Progressão Geométrica finita: Considerando os termos da PG finita com n elementos, temos: Sn a1a2 a3 ...an_2an_1an

.

Escrevendo em função de a1 e q, vem:

n 1 1n 1 1n 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 n n

n 1 1n 1 3 1 2 1 1 n

1n 1 2n 1 3 1 2 1 1 1 n

q.a q.a q.a ...

q.a q.a q.a q.a q.a q.a a S.q S

q.a q.a ...

q.a q.a q.a qS

q.a q.a ...

q.a q.a q.a a S























 

















 



.

Simplificando e colocando em evidência, temos:

   

q 1

q 1 S a

q . a a q 1 S

n 1 n n 1 1

n 

 









.

Exemplo: Numa PG a soma do 2º termo com o 5º termo é 84 e a soma do 3º termo com o 6º termo é 252.

Calcule a soma dos cinco primeiros termos.

(4)

Solução:

     

 

  ^{ } ₁₂₁

2 242 2 2431.1 31 S,Logo 31.1

1a 84a84 84a81 a384 )3.(a)3 .(a)ii

84 3q 252 qq.a qqq.a 252q qq.a

84q q.a 252q.

q.aa aq.a q.aa

84q.a q.aa q.a q.aa )i

5 5

1 1 1 1 4 1 1

4 1

4 1 4 1

4 1 5 1 2 5 1 16

2 13

4 1 4 1 15 12

 

 



 



 











 

 



 





 

 



 







 

 







 

 



.

Soma dos termos uma Progressão Geométrica infinita: Considere a PG infinita com ^q ^¹.

Temos: ¹ ^q  ^q²  ^q³  ^q^... ^qⁿ^¹ ^qⁿ. Como an  a1.qⁿ^¹, os valores de an vão diminuindo e se tornando cada vez menores. Então quando o número de termos aumenta infinitamente, lim an = 0.

Temos:

   

q 1

a q

1 q ).

0 ( a q 1

q . a a q

1

q . q . a a q

1 q . a a q 1

q 1

S a ¹ ⁿ ¹ ¹

1 n 1 1 n 1 1 n 1

 



 



 



 



 



  ^



.

Produto dos primeiros termos uma Progressão Geométrica: Escrevendo o produto dos n termos numa ordem e depois invertendo a ordem, temos:

          _n ² ₁ _n ₁ _n ₁ _n ₁ _n _n ₁ _n ⁿ

1 2 3 2n 1n n n

n 1n 2n 3 2 1

n P a.a a. .a. a.a .... a.a P a.a

a.a .a ...

a.

a.a P

a.

a...

a.a .a

P    

 





 



.

Outra expressão para o produto é:

     

2 1ⁿ ⁿ⁽ⁿ²¹⁾ n

1 2 n 2 1 1 n n 1 2 1

n n 1

n

a . a a . a . q a . q a . q

P

 



 



^.

Relação entre PA. PG e Matemática Financeira: Fundamentalmente, Matemática Financeira estuda os procedimentos utilizados em pagamentos de empréstimos, bem como os métodos de análise de investimentos em geral.

Capital (C): qualquer valor monetário que uma pessoa empresta ou investe durante certo tempo. Também chamado Capital Inicial, Principal, Valor Presente ou Atual.

(5)

Juro (J): Remuneração oriunda do empréstimo de capital, uma vez que o emprestador deixa de usar o valor emprestado (Capital) durante certo tempo e, também em função da perda do poder aquisitivo do dinheiro pela inflação.

Montante (M): Representa a soma do capital (C) com os juros(J) capitalizados durante um certo período de tempo. Também denominado Valor Futuro ou Valor de Resgate.

Taxa de Juros (i): Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual sobre o capital.

Regime de Capitalização Simples: Quando os rendimentos são devidos única e exclusivamente sobre o principal, ao longo dos períodos de tempo a que se referir uma determinada taxa i de juros. O juro gerado em cada período é constante e igual ao capital vezes a taxa. O montante a juros simples evolui segundo uma progressão aritmética cujo primeiro termo é C e a razão é C.i, isto é, evolui linearmente.

Portanto, o montante (M) e o juro (J), ao fim de n períodos, serão: M = C.(1 + n.i) e J= C.i.n.

Exemplo. Um capital inicial de R$100,00 é aplicado numa instituição financeira à taxa de juros simples de 20% ao mês, ou seja, o valor do capital é alterado a cada mês com um aumento de 20% em relação ao capital inicial. A sequência de valores do capital, a cada mês, forma uma:

a) PA de razão 0,2 b) PG de razão 20 c) PA de razão 20 d) PG de razão 1,2

Solução: Temos que R$100,00 é o valor do capital inicial. Como, 20% de 100 é 0,2×100 = 20, a sequência de valores (veja a tabela) é uma progressão aritmética (sequência linear), pois, cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior somado de um número fixo (que no caso é 20).

Fim do 1º mês Fim do 2º mês Fim do 3º mês Fim do 4º mês E assim por diante

R$120,00 R$140,00 R$160,00 R$180.00 . . .

Portanto, temos uma Progressão Aritmética de razão (ou diferença) r = 20. Logo, (C) é a alternativa correta.

Regime de Capitalização Composto: O capital investido ou emprestado será acrescido do rendimento de juros, compondo um novo principal, o qual no período seguinte será acrescido de rendimento de juros, e assim sucessivamente. O Montante a juros compostos evolui segundo uma progressão geométrica cujo primeiro termo é C e a razão é 1+i, isto é, evolui exponencialmente.

O termo (1+i)ⁿ é denominado fator de acumulação de capital. Observe que os juros não são constantes, eles variam conforme o período. Logo, o juro acumulado em n períodos, pode ser obtido da seguinte forma:

Como M = C + J e M = C(1 + i)ⁿ, então J = C.(1 + i)ⁿ − C = C.[(1 + i)ⁿ −1]

Ocorrendo a hipótese das taxas serem variáveis, a expressão do montante a juros compostos será:

M = C (1 + i1) (1 + i2) . ... . (1 + in)

Exemplo. Um capital inicial é aplicado numa instituição financeira à taxa de juros compostos de 20% ao mês.

ou seja, o valor do capital aplicado é alterado a cada mês com um aumento de 20% em relação ao mês anterior. A sequência de valores do capital, a cada mês, forma uma:

a) PA de razão 0,2 b) PG de razão 20 c) PA de razão 20 d) PG de razão 1,2

Solução: Pela Matemática Financeira, aumentar um valor em 20% é o mesmo que multiplicar este valor por 1,2. Seja R$100,00 o capital inicial. A sequência de valores (veja a tabela) é uma progressão geométrica (sequência exponencial), pois, cada termo, a partir segundo, é igual ao termo anterior multiplicado por um número fixo (que no caso é 1,2).

Pagamentos em parcelas iguais: Um valor a vista V deve ser pago em n parcelas iguais a sendo a taxa de juros igual a i. Considere V1, V2,..., Vn os valores atualizados em cada período. Sendo P o valor da parcela, temos:

(6)

     

   

 

     

 

ⁿ

  

ⁿ

 ^{ }

ⁿ

^{ }

ⁿ

n n

n

n n n

n n

n

n 3

n 2 3

2 1

i 1 . 1

.i . V i

1 . 1 i 1

.i . P V

1ou i 1

i 1 .i . P V i .1 i 1

1 i P 1 V

i i .1 i 1

i 1 1 i 1 V P i

1 i

i 1

i 1 1 i 1

P V i

1 i 1 1

i 1 1

1 i 1

P V i 1

1 1

i 1 1

1 i 1

P V

) PG ( i Soma 1

... P i 1

P i

1 P i 1 V P ...

V V V V



   





 





 

 



 









 



 

 



 









 









 









 









 



 

 





 











  



 







 

 



 







.

Referências: - Matemática para o Ensino Médio, VII – Miguel Jorge, Ralph Teixeira, Thales do Couto e Felipe Silva.

- Progressões e Matemática Financeira – Morgado, Wagner, Zani