CONTEÚDO
CONTEÚDO
• Introdução
– Introdução, Objetivo e Histórico
• Conceitos Básicos
– Definição, Características e Formas de Imprecisão
•
•
Conjuntos
Conjuntos
Fuzzy
Fuzzy
– Propriedades, Formas de Representação e Operações
• Lógica Fuzzy
– Relações, Composições, Modus Ponens Generalizado
• Fuzzy Control
Variáveis Linguísticas
Variáveis Linguísticas
• Têm a função de fornecer uma maneira
sistemática para uma
caracteriza
caracteriza
ç
ç
ão
ão
aproximada de fenômenos complexos
aproximada de fenômenos complexos
ou
mal definidos
• Por exemplo:
temperatura;
idade.
Variáveis Linguísticas
Variáveis Linguísticas
• Variável linguística:
variável cujos
valores são nomes de conjuntos fuzzy
Exemplo:
temperatura
de um processo
120140160180200220240260280300320340360 100
Baixa Média Alta Muito Alta
pertinência
Temperatura
Variáveis Linguísticas
Variáveis Linguísticas
•
•
Formalismo
Formalismo
:
:
caracterizada por uma
quíntupla (N, T(N), X, G, M ), onde:
N: nome da variável
ex: temperatura
T(N): conjunto de termos de N, ou seja, o conjunto conjunto
de nomes dos valores linguísticos
de nomes dos valores linguísticosde N
{baixa, média, alta, muito alta}
X: universo de discursouniverso de discurso(espaço fuzzy completo de variação de uma variáveldo modelo)
Variáveis Linguísticas
Variáveis Linguísticas
G: regra sintática para gerar os regra sintática para gerar os valoresvaloresde Nde Ncomo uma composição de termos de TT((NN), conectivos ), conectivos lógicos, modificadores e delimitadores
lógicos, modificadores e delimitadores
temperatura não baixa temperatura não muito alta
M: regra semânticaregra semântica, para associar a cada valor gerado por G um conjunto fuzzy em X
associa os valores acima a conjuntos fuzzy cujas funções de pertinência exprimem seus significados
Funções de Pertinência
Funções de Pertinência
• Aos
termos
termos
de uma
variável linguística
variável linguística
(ou aos
seus
valores
valores
) faz-se corresponder conjuntos
fuzzy, definidos por suas
funções de pertinência
• Podem ter formas padrão ou definidas pelo
usuário
Funções de Pertinência
Funções de Pertinência
•
•
Contínuas:
Contínuas
:
podem ser definidas por meio de
funções analíticas
1)
))
(
(
1
(
)
(
=
+
−
b − Ax
a
x
c
µ
1 2 1 2 1 2)
)
2
(
9
1
(
)
(
)
)
5
,
0
(
9
1
(
)
(
)
9
1
(
)
(
− − −−
+
=
−
+
=
+
=
x
x
x
x
x
x
grande médio pequenoµ
µ
µ
Funções de Pertinência
Funções de Pertinência
•
•
Discretas:
Discretas
:
consistem em valores discretos
correspondendo a elementos (discretos) do
universo
{
}
{
}
{
0
;
0
;
0
;
0
0
,
3
;
0
,
7
;
1
}
)
(
3
,
0
;
7
,
0
;
1
;
7
,
0
;
3
,
0
;
0
;
0
)
(
0
;
0
;
3
,
0
;
7
,
0
;
1
;
7
,
0
;
3
,
0
)
(
=
=
=
x
x
x
grande médio pequenoµ
µ
µ
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
=
X
Funções de Pertinência
Funções de Pertinência
• Diferentes pessoas, ou grupos de
pessoas, podem definir funções de
pertinência (para um mesmo conjunto)
de forma diferente
• Exemplo: estatura de pessoas
CONJUNTOS FUZZY
CONJUNTOS FUZZY
• Conjuntos Crisp x Fuzzy
• Definição
• Representação
• Propriedades
•
•
Formatos
Formatos
• Operações
• Hedges
Funções de Pertinência
Funções de Pertinência
9
Linear
9 Trapezoidal
9 Triangular
9 Formato S
9 Formato Z
9 Formato PI
9 Gaussiana
9 Singleton
9 Irregulares
Formatos dos Conjuntos
Formatos dos Conjuntos
•
•
Linear:
Linear:
– É o conjunto mais simples, sendo uma
boa escolha na aproximação de
conceitos não bem compreendidos
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 µ (x) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
µ (x) CrescenteCrescente DecrescenteDecrescente
x x
Formatos dos Conjuntos
Formatos dos Conjuntos
•
•
Trapezoidal:
Trapezoidal:
 Rápido processamento  Contém descontinuidades µ (x) 1.0 a a bb cc TrapTrap(x,a,b,c,d)(x,a,b,c,d) Trap
Trap(x,a,b,c,d) = 0(x,a,b,c,d) = 0 x x ≤≤aa 1 1 --(b (b --x)/(b x)/(b --a) a) a a <<x x ≤≤bb 1 1 b b <<x x ≤≤cc (d (d --x)/(d x)/(d --c)c) c c <<x x ≤≤dd 0 0 x x >>dd Variável Variável independente independente Parâmetros Parâmetros do formato do formato d d x
Formatos dos Conjuntos
Formatos dos Conjuntos
•
•
Triangular:
Triangular:
Mais simples que a TrapezoidalTRI (x,e,f,g) = 0 TRI (x,e,f,g) = 0 x x ≤≤ee 1 1 --(f (f --x)/(f x)/(f --e) e) e e <<x x ≤≤ff (g (g --x)/(g x)/(g --f) f) f f <<x x ≤≤gg 0 0 x x >>gg Variável Variável independente independente Parâmetros Parâmetros do formato do formato µ (x) 1.0 e e ff TRI (x,e,f,g) TRI (x,e,f,g) g g x
Formatos dos Conjuntos
Formatos dos Conjuntos
•
•
Formato S:
Formato S:
Equação Quadrática
µ (x) 1.0 a a bb cc S(x,a,b,c) S(x,a,b,c) dS/dx dS/dx S (x,a,b,c) = 0 S (x,a,b,c) = 0 x x ≤≤aa 2 [(x 2 [(x --a)/(c a)/(c --a )] a )] 22 a a ≤≤x x ≤≤bb 1 1 --2 [(x -2 [(x -c)/(c -c)/(c -a)] a)] 22b b ≤≤x x ≤≤cc 1 1 x x ≥≥cc Variável Variável independente independente Parâmetros Parâmetros do formato do formato x
Formatos dos Conjuntos
Formatos dos Conjuntos
•
•
Formato S com 2 parâmetros:
Formato S com 2 parâmetros:
µ (x) 1.0 a a S(x,a,b) S(x,a,b) dS/dx dS/dx S (x,a,b) = 0 S (x,a,b) = 0 x x ≤≤a a --bb [x [x --(a -(a -b)] b)] 22/ 2b/ 2b22 a -a -b b ≤≤x x ≤≤aa 1 1 --[(a + b) [(a + b) --x]x]22/ 2b/ 2b22a a <<x x ≤≤a + ba + b 1 1 x x >>a + ba + b Variável Variável independente independente Parâmetros Parâmetros do formato do formato b b x
Formatos dos Conjuntos
Formatos dos Conjuntos
•
•
Formato Z:
Formato Z:
Z (x,a,b) = 1 - S(x,a,b)
Z (x,a,b) = 1 Z (x,a,b) = 1 x x <<a -a -bb 1 1 --[x -[x -(a -(a -b)] b)] 22/ 2b/ 2b22a -a -b b ≤≤x x ≤≤aa [(a + b) [(a + b) --x]x]22/ 2b/ 2b22 a a <<x x ≤≤a + ba + b 0 0 x x >>a + ba + b Variável Variável independente independente Parâmetros Parâmetros do formato do formato µ (x) 1.0 a a Z (x,a,b) Z (x,a,b) b b x
Formatos dos Conjuntos
Formatos dos Conjuntos
•
•
Formato PI:
Formato PI:
Junção das curvas S e Z
PI (x,a,b) = S ( x, a PI (x,a,b) = S ( x, a --b/2, b/2) b/2, b/2) x x ≤≤a a Z (x, a + b/2, b/2) x Z (x, a + b/2, b/2) x ≥≥a a Variável independente Variável independente Parâmetros do formato Parâmetros do formato µ (x) a a b b PI (x,a,b) PI (x,a,b) x
Formatos dos Conjuntos
Formatos dos Conjuntos
• Gaussiana:
- distribuição normal- cai a zero para valores muito maiores ou muito menores do que a média µ (x) µ σ G (x,µ,σ) Ponto de Inflexão Ponto de Inflexão µ = média σ = desvio padrão x
(
)
( 2) 2 , , σ µσ
µ
= − − x e x GFormatos dos Conjuntos
Formatos dos Conjuntos
•
•
Sigmoidal
Sigmoidal:
:
S (x,a,b) = S (x,a,b) = Variável Variável independente independente Parâmetros Parâmetros do formato do formato x 1 ba
θ
θ
,
tg
~
µ ρ ) (1
1
b x ae
− −+
=
Formatos dos Conjuntos
Formatos dos Conjuntos
•
•
Singleton
Singleton
:
:
- na verdade não é um conjunto não é um conjunto fuzzyfuzzy- Simplifica os cálculos para produzir as saídas fuzzy. µ (x) a a 1.0 x 1 x = a Sgl (x,a) = 0 x ≠ a
Formatos dos Conjuntos
Formatos dos Conjuntos
•
•
Irregulares:
Irregulares:
- Ocasionalmente as formas padrões não conseguem capturar a semântica de umavariável Î representarepresentaçções arbitrões arbitrááriasrias.
µ (x) µ (x)
Hora 10 20 30 4050 60708090100Idade Risco Alto de Dirigir Risco Alto de Dirigir Tráfego Intenso
Tráfego Intenso
9 10 111213 14 151617 18
CONJUNTOS FUZZY
CONJUNTOS FUZZY
• Conjuntos Crisp x Fuzzy
• Definição
• Representação
• Propriedades
• Formatos
•
•
Operações
Operações
• Hedges
Operações Conjuntos
Operações Conjuntos Crisp
Crisp
•
•
Função Característica:
Função Característica:
– determina se os indivíduos do conjunto
universal são
são
ou não membros
não membros
de um
certo conjunto A
conjunto A
•
•
4 Operações Básicas:
4 Operações Básicas:
– União, Interseção, Negação e União
Exclusiva
µ
µ
(x) = 0
(x) = 0
x
x
∉
∉
A
A
µ
•
•
Exemplo:
Exemplo:
X = {1,2,...20}
2 4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 19 20 1 2 3 5 8 13 20 1 3 5 7 11 13 17 S S11 1 3 5 SS22 13 1 2 3 5 7 8 11 13 17 20 2 7 8 11 17 20 União União todos os elementos de X que ∈ a S1ou a S2 Interseção Interseção todos os elementos de X que estão em S1e em S2 Complemento Complemento todos os elementos de X que ∉ S1Operações Conjuntos Ordinários
Operações Conjuntos Ordinários
União Exclusiva União Exclusiva S1⊕ S2= S1∪ S2- S1∩ S2
Definições e operações
Definições e operações
•
•
Conjunto Vazio
Conjunto Vazio
X
x
x
A
=
∅
se
e
somente
se
µ
A(
)
=
0
∀
∈
•
•
Complemento
Complemento
X
x
x
x
A A'(
)
=
1
−
µ
(
)
∀
∈
µ
Definições e operações
Definições e operações
•
•
Conjuntos iguais
Conjuntos iguais
X
x
x
x
B
A
=
se
e
somente
se
µ
A(
)
=
µ
B(
)
∀
∈
•
•
A subconjunto de B
A subconjunto de B
X
x
x
x
B
A
⊂
se
µ
A(
)
≤
µ
B(
)
∀
∈
Definições e operações
Definições e operações
•
•
Interseção
Interseção
-
-
Conjuntos ordinários
Contém todos os elementos que pertencem a A e a B
1
)
(
=
∩x
f
A B se x∈ A e x ∈ B se x∉ A ou x ∉ B0
)
(
=
∩x
f
A BX
x
x
f
x
f
x
f
A∩B(
)
=
A(
)
∧
B(
)
∀
∈
Definições e operações
Definições e operações
•
•
União
União
-
-
Conjuntos ordinários
Contém todos os elementos que pertencem a A ou a B
X
x
x
f
x
f
x
f
A∪B(
)
=
A(
)
∨
B(
)
∀
∈
Definições e Operações
Definições e Operações
• a exemplo dos conjuntos crisp, existem operações
para combinar e modificar os conjuntos fuzzy
As operações são aplicadas às funções de pertinência
• um certo elemento é membrode um conjunto fuzzy
– se está dentro do domíniodo conjunto
– se o grau de pertinênciaé > 0
– (se está acima do limite α-cut)
Operações Básicas
Operações Básicas
•
•
Interseção
Interseção
•
•
União
União
•
•
Complemento
Complemento
Operadores de
Operadores de Zadeh
Zadeh
•
•
Interseção:
Interseção:
– Em analogia com os conjuntos
ordinários, que utilizam o operador
AND
AND
, em conjuntos
conjuntos
fuzzy
fuzzy
geralmente
se utiliza o Mínimo
Mínimo
das Funções de
Funções de
Pertinência
Pertinência (operadores de
(operadores de
Zadeh
Zadeh
).
)
.
X
x
x
x
x
A B B A∩(
)
=
µ
(
)
∧
µ
(
)
∀
∈
µ
Operadores de
Operadores de Zadeh
Zadeh
•
•
União:
União:
– Em analogia com os conjuntos crisp,
que utilizam o operador OR
OR
, em
conjuntos
conjuntos
fuzzy
fuzzy
geralmente se utiliza
o Máximo
Máximo
das Funções de Pertinência
Funções de Pertinência
(operadores de
(operadores de
Zadeh
Zadeh
)
).
.
X
x
x
x
x
A B B A∪(
)
=
µ
(
)
∨
µ
(
)
∀
∈
µ
Operadores de
Operadores de Zadeh
Zadeh
•
•
Complemento:
Complemento:
– Em analogia com os conjuntos crisp, o
complemento do conjunto fuzzy A (~A)
contém TODOS os elementos que não
estão em A.
– Em conjuntos
conjuntos
fuzzy
fuzzy
geralmente se
utiliza:
µ
~A
(x) = 1 -
µ
A(x)
∀x ∈ X
µ
µ
~A~A(x) = 1
(x) = 1
-
-
µ
µ
AA(x)
(x)
∀
∀
x
x
∈
∈
X
X
Supondo conjuntos normalizados!!
Supondo conjuntos normalizados!!
Propriedades
Propriedades
Utilizando os operadores (de Zadeh)
max
e
min
para a
união
e
interseção
fuzzy
,
verificam-se as seguintes propriedades:
A
A
'
)'
=
(
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
∪
=
∩
A
A
A
A
A
A
Propriedades
Propriedades
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∪
=
∪
∩
=
∩
A
B
B
A
A
B
B
A
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∪
∪
=
∪
∪
∩
∩
=
∩
∩
)
(
)
(
)
(
)
(
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
Propriedades
Propriedades
⎩
⎨
⎧
∪
∩
∪
=
∩
∪
∩
∪
∩
=
∪
∩
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
C
A
B
A
C
B
A
C
A
B
A
C
B
A
Demonstração de (1):))
(
)
(
(
))
(
(
)
(
(
))
(
)
(
(
)
(
x
x
x
x
x
x
x
C A B A C B Aµ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
∧
∨
∧
=
∨
∧
Para cada uma das situações seguintes, verificam-se os resultados correspondentes:
(considerando-se os cálculos como feitos “elemento a elemento”)
Propriedades
Propriedades
C C B C A B B C B A A A B A C A A A B C A A C A B A A A C A B A A B A C B A A C Bd
q
c
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
=
⇒
>
>
=
⇒
>
>
=
⇒
>
>
=
⇒
>
>
=
⇒
>
>
=
∨
=
∧
∨
∧
=
∧
=
∨
∧
⇒
>
>
.
.
.
)
(
)
(
)
(
Propriedades
Propriedades
C
A
C
B
B
A
⊂
e
⊂
⇒
⊂
se
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∩
=
∪
∪
=
∩
' ' ' ' ' ')
(
)
(
B
A
B
A
B
A
B
A
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
∩
∪
=
∪
∩
A
B
A
A
A
B
A
A
)
(
)
(
Propriedades
Propriedades
Observando que as funções de
pertinência dos conjuntos
vazio
e
universo
são
0
e
1
:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
∪
=
∩
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
∅
∪
∅
=
∅
∩
X
X
A
A
X
A
e
A
A
A
Propriedades
Propriedades
Conjuntos
ordinários
:
X
A
A
A
A
∩
'=
∅
e
∪
'=
Conjuntos
fuzzy
:
X
A
A
x
x
x
A
A
x
x
x
' A A A A ' A A A A≠
∪
⇒
≠
−
∨
=
∅
≠
∩
⇒
≠
−
∧
=
∪ ∩1
))
(
1
(
)
(
)
(
0
))
(
1
(
)
(
)
(
' 'µ
µ
µ
µ
µ
µ
Operações Conjuntos
Operações Conjuntos Fuzzy
Fuzzy
•
•
Lei da Não Contradição:
Lei da Não Contradição:
Î
Î
INVÁLIDA!!
INVÁLIDA!!
–
A
A
∩
∩
~A
~A
≠
≠
φ
φ
•
•
Lei da Exclusão Mútua:
Lei da Exclusão Mútua:
Î
Î
INV
INV
Á
Á
LIDA!!
LIDA!!
–
–
A
A
∪
∪
~A
~A
≠
≠
U
U
Lei da Não
Lei da Não-
-Contradição
Contradição
Ex. 1:
Ex. 1:Quais os membros que são de MEIAMEIA--IDADEIDADE
e nãonão--MEIAMEIA--IDADEIDADEao mesmo tempo? Ex. 2:
Ex. 2:Quais os membros que são ALTOSALTOSe nãonão--ALTOSALTOS
ao mesmo tempo?
INTERSEÇÃO
INTERSEÇÃO
c
c
Caso Crisp:
Caso Crisp:
Conjunto ALTO
Conjunto ALTO Conjunto MEIAConjunto MEIA--IDADEIDADE
30
25 35 40 45 50 55 1.65
INTERSEÇÃO
INTERSEÇÃO
c
c
Caso
Caso Fuzzy
Fuzzy:
:
Conjunto ALTO
Conjunto ALTO Conjunto MEIAConjunto MEIA--IDADEIDADE
30
25 35 40 45 50 55 1.65
1.60 1.701.751.80 1.85 1.90
Lei da Não
Lei da Não-
-Contradição
Contradição
NOME IDADE
µ
M-I(x)
µ
~M-I(y)
FUZZY
Abel
36
.92
.08
.08
José
58
0
1
0
Carlos
64
0
1
0
João
32
.47
53
.47
Pedro
40
1
0
0
Tiago
22
0
1
0
Felipe
47
.74
.26
.26
André
25
.10
.90
.10
– Quais os membros que são de MEIAMEIA--IDADEIDADEe
não
não--MEIAMEIA--IDADEIDADEao mesmo tempo?
Lei da Não
Lei da Não-
-Contradição
Contradição
NOME IDADE
µ
M-I(x)
µ
~M-I(y)
FUZZY
Abel
36
.92
.08
.08
José
58
0
1
0
Carlos
64
0
1
0
João
32
.47
53
.47
Pedro
40
1
0
0
Tiago
22
0
1
0
Felipe
47
.74
.26
.26
André
25
.10
.90
.10
4 membrostêm grau de pertinência diferente de zero
para ambosos conjuntos Meia-Idade e não-Meia-Idade – Quais os membros que são de MEIAMEIA--IDADEIDADEe
não
não--MEIAMEIA--IDADEIDADEao mesmo tempo?
NOME ALTURA
µ
ALTO (y)µ
~ALTO (y)FUZZY
Abel
1.70
.84
.16
.16
José
1.75
.92
.08
.08
Carlos
1.65
.68
.32
.32
João
1.78
.96
.04
.04
Pedro
1.77
.94
.06
.06
Tiago
1.60
.39
.61
.39
Felipe
1.73
.90
.10
.10
André
1.75
.92
.08
.08
Lei da Não
Lei da Não-
-Contradição
Contradição
– Quais os membros que são ALTOSALTOSe nãonão--ALTOS ALTOS
NOME ALTURA
µ
ALTO (y)µ
~ALTO (y)FUZZY
Abel
1.70
.84
.16
.16
José
1.75
.92
.08
.08
Carlos
1.65
.68
.32
.32
João
1.78
.96
.04
.04
Pedro
1.77
.94
.06
.06
Tiago
1.60
.39
.61
.39
Felipe
1.73
.90
.10
.10
André
1.75
.92
.08
.08
Lei da Não
Lei da Não-
-Contradição
Contradição
TODOSos membros têm grau de pertinência diferente de zero para ambosos conjuntosALTO e não-ALTO
– Quais os membros que são ALTOSALTOSe nãonão--ALTOS ALTOS
ao mesmo tempo?
Lei da Exclusão Mútua
Lei da Exclusão Mútua
NOME IDADE µM-I (x) µ~M-I (y) FUZZY
Abel 36 .92 .08 .92 José 58 0 1 1 Carlos 64 0 1 1 João 32 .47 53 .53 Pedro 40 1 0 1 Tiago 22 0 1 1 Felipe 47 .74 .26 .74 André 25 .10 .90 .90
– Quais os membros que são de MEIAMEIA--IDADEIDADE
ou nãonão--MEIAMEIA--IDADEIDADEao mesmo tempo?
Lei da Exclusão Mútua
Lei da Exclusão Mútua
Nem TODOS os membros têm grau de pertinênciaum
para a uniãodos conjuntos Meia-Idadee não-Meia-Idade NOME IDADE µM-I (x) µ~M-I (y) FUZZY
Abel 36 .92 .08 .92 José 58 0 1 1 Carlos 64 0 1 1 João 32 .47 53 .53 Pedro 40 1 0 1 Tiago 22 0 1 1 Felipe 47 .74 .26 .74 André 25 .10 .90 .90
– Quais os membros que são de MEIAMEIA--IDADEIDADE
ou nãonão--MEIAMEIA--IDADEIDADEao mesmo tempo?
Lei da Exclusão Mútua
Lei da Exclusão Mútua
NENHUM dos membros têm grau de pertinência igual a um para a uniãodos conjuntos ALTOe não-ALTO
NOME ALTURA µALTO (y) µ~ALTO (y) FUZZY
Abel 1.70 .84 .16 .84 José 1.75 .92 .08 .92 Carlos 1.65 .68 .32 .68 João 1.78 .96 .04 .96 Pedro 1.77 .94 .06 .94 Tiago 1.60 .39 .61 .61 Felipe 1.73 .90 .10 .90 André 1.75 .92 .08 .92
– Quais os membros que são ALTOSALTOSou
não
Operadores
Operadores Fuzzy
Fuzzy
–
–
operadores de
operadores de
Zadeh
Zadeh
;
;
–
–
operadores Compensatórios;
operadores Compensatórios;
–
–
Operadores
Operadores
T
T
-
-
norm
norm
e
e
T
T
-
-
conorm
conorm
.
.
Operadores Compensatórios
Operadores Compensatórios
• Utilizam formas alternativas
alternativas
às de Zadeh
para as operações com conjuntos;
•
•
Compensatórios
Compensatórios
porque atuam de forma
a compensar os operadores rígidos
operadores rígidos
de
MÍN e MÁX de Zadeh.
ª
ªDesprezam as informações
Desprezam as informações
contidas na outra variável!
contidas na outra variável!
Operadores Compensatórios
Operadores Compensatórios
Operadores Alternativos
Operadores Alternativos
Transformações Transformações Aritméticas Simples Aritméticas Simples • •ProdutoProduto • •MédiaMédia ••Soma LimitadaSoma Limitada
•
•Diferença LimitadaDiferença Limitada
• •...... Transformações Funcionais Transformações Funcionais mais Complexas mais Complexas • • YagerYager
Transformações Aritméticas
Transformações Aritméticas
•
•
Interseção:
Interseção:
Operador Interseção
Zadeh
Mín [µ
A(x), µ
B(x)]
Média
[µ
A(x) + µ
B(x)] / 2
Produto
µ
A(x) * µ
B(x)
Diferença Limitada
(Lukasiewicz)
Máx [0 , µ
A(x) + µ
B(x) –1]
INTERSEÇÃO
INTERSEÇÃO
•
•
Exemplo:
Exemplo:
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
0.00
0.25
0.25 0.25 0.25 0.25
0.50
0.25
0.50 0.50 0.50
0.75
0.25
0.50
0.75 0.75
1.00
0.25
0.50
0.75
1.00
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
0.00
0.25
0.25
0.50
0.25
0.50
0.75
0.25
0.50
0.75
1.00
0.25
0.50
0.75
1.00
OperadorOperador ZadehZadeh
MÍN MÍN Diferença Limitada Diferença Limitada Máx [0, Máx [0, µµAA(x) + (x) + µµBB(x) (x) --1]1]
Transformações Aritméticas
Transformações Aritméticas
•
•
União:
União:
Operador União
Zadeh
Máx [µ
A(x), µ
B(x)]
Média
{2 * mín[µ
A(x), µ
B(x)] + 4 *
máx[µ
A(x), µ
B(x)]} / 6
Soma Probabilística [
µ
A(x) + µ
B(x)] – [µ
A(x) * µ
B(x)]
Soma Limitada
Mín [1 , µ
A(x) + µ
B(x)]
UNIÃO
UNIÃO
•
•
Exemplo:
Exemplo:
OperadorOperador ZadehZadeh
MÁX MÁX Soma Limitada Soma Limitada Mín [1, Mín [1, µµAA(x) + (x) + µµBB(x)](x)]
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
0.25
0.25 0.25
0.50
0.75
1.00
0.50
0.50 0.50 0.50
0.75
1.00
0.75
0.75 0.75 0.75 0.75
1.00
1.00
1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
0.00
0.25
0.50 0.75
1.00
0.25
0.25
0.50
0.75
1.00 1.00
0.50
0.50
0.75
1.00 1.00 1.00
0.75
0.75
1.00 1.00 1.00 1.00
1.00
1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
Transformações Funcionais
Transformações Funcionais
•
•
Funções
Funções Yager
Yager:
:
– Os operadores compensatórios
anteriores envolvem simples
manipulações algébricas
manipulações algébricas
– Os operadores
operadores
Yager
Yager
envolvem uma
família parametrizada
INTERSEÇÃO
INTERSEÇÃO
T(x,y) = 1
T(x,y) = 1
-
-
MÍN { 1,[(1
MÍN { 1,[(1
-
-
x)
x)
pp+ (1
+ (1
-
-
y)
y)
pp]
]
1/p 1/p}p
}p
>
>
0
0
UNIÃO
UNIÃO
C(x,y) = MÍN [1, (
C(x,y) = MÍN [1, (
x
x
pp+
+
y
y
pp)
)
1/p 1/p] p
] p
>
>
0
0
Operadores
Operadores Fuzzy
Fuzzy
•
•
Para esses dois contextos, tem
Para esses dois contextos, tem-
-se
se
os seguintes tipos de operadores
os seguintes tipos de operadores
:
:
–
–
operadores de
operadores de
Zadeh
Zadeh
;
;
–
–
operadores Compensatórios;
operadores Compensatórios;
–
–
Operadores
Operadores
T
T
-
-
norm
norm
e
e
T
T
-
-
conorm
conorm
.
.
Operadores
Operadores
•
•
Generalização
Generalização
operadores
norma
norma
-
-
t
t
e
co
co
-
-
norma
norma
-
-
t
t
(
norma
norma
-
-
s
s
)
)
• Operações binárias de [0,1] x [0,1] → [0,1], tal que, ∀x, y, z, w ∈ [0,1], determinadas propriedades são
Operadores T
Operadores T-
-
NORM
NORM
•
•
Definição:
Definição:
– Seja T
T
uma função de duas variáveis x
x
e y
y
no intervalo [0,1]. Se, para qualquer x
x
, y
y
, e z
z
em [0,1], as seguintes condições forem
satisfeitas
Î
T
T
é dita uma operação T
T
-
-
norm
norm
c T(x,1) = x d T(0,0) = 0
e Se x ≤ x’, então T(x,y) ≤ T(x’,y) f T(x,y) = T(y,x) g T(T(x,y),z) = T(x,T(y,z)) monotônica monotônica comutativa comutativa associativa associativa
Norma
Norma-
-t
t
As seguintes propriedades são satisfeitas:
x
y
y
x
∗
=
∗
)
(
)
(
x
∗
y
∗
z
=
x
∗
y
∗
z
z
y
w
x
z
w
y
x
≤
,
≤
,
então
∗
≤
∗
se
x
x
x
∗
0
=
0
e
∗
1
=
Operadores T
Operadores T-
-
NORM
NORM
•
•
Exemplos:
Exemplos:
Mínimo
Mínimo
Produto
Produto
Lukasiewicz
Lukasiewicz
T
T
-
-
norm
norm
degenerada
degenerada
M (x,y) = mín (x,y) M (x,y) = mín (x,y) P (x,y) = x * y P (x,y) = x * y W (x,y) = máx (0, x + y W (x,y) = máx (0, x + y --1)1) x, se y = 1 x, se y = 1 Z (x,y) = y, se x = 1 Z (x,y) = y, se x = 1 0, caso contrário 0, caso contrário
Operadores T
Operadores T
-CONORM
-
CONORM
•
•
Definição:
Definição:
– Seja S
S
uma função de duas variáveis x
x
e y
y
no
intervalo [0,1]. Se, para qualquer x
x
, y
y
, e z
z
em
[0,1], as seguintes condições forem satisfeitas
Î
S
S
é dita uma operação T
T
-
-
conorm
conorm
c S(x,0) = x d S(1,1) = 1
e Se x ≤ x’, então S(x,y) ≤ S(x’,y) f S(x,y) = S(y,x) g S(S(x,y),z) = S(x,S(y,z)) monotônica monotônica comutativa comutativa associativa associativa
Co
Co
-norma
-
norma-
-t
t
As seguintes propriedades são satisfeitas:
x
y
y
x
⊕
=
⊕
)
(
)
(
x
⊕
y
⊕
z
=
x
⊕
y
⊕
z
z
y
w
x
z
w
y
x
≤
,
≤
,
então
⊕
≤
⊕
se
1
1
e
0
=
⊕
=
⊕
x
x
x
Operadores T
Operadores T
-CONORM
-
CONORM
•
•
Exemplos:
Exemplos:
Máximo
Máximo
Soma Probabilística
Soma Probabilística
Soma Limitada
Soma Limitada
T
T
-
-
conorm
conorm
degenerada
degenerada
M (x,y) = máx (x,y) M (x,y) = máx (x,y) P* (x,y) = x + y P* (x,y) = x + y --x * yx * y W* (x,y) = mín (1, x + y) W* (x,y) = mín (1, x + y) x, se y = 0 x, se y = 0 Z* (x,y) = y, se x = 0 Z* (x,y) = y, se x = 0 1, caso contrário 1, caso contrário
Outras Operações Básicas
Outras Operações Básicas
•
•
A é subconjunto de B
A é subconjunto de B
Î
A
A
⊆
⊆
B
B
–
µ
A(x) ≤ µ
B(x)
∀ x ∈ X
•
•
A
A é
é
igual a B
igual a B
Î
A = B
A = B
–
µ
A(x) = µ
B(x)
∀ x ∈ X
•
•
A
A é
é
subconjunto pró
subconjunto pr
óprio de B
prio de B
Î
A
A
⊂
⊂
B
B
–
µ
A(x) ≤ µ
B(x)
∀ x ∈ X
–
µ
A(x) < µ
B(x)
para pelo menos 1
elemento de X
Propriedades de Conjuntos
Propriedades de Conjuntos
Fuzzy
Fuzzy
•
•
Dominância:
Dominância:
–
µ (x) ∪ 1 = 1
–
µ (x) ∪ 0 = µ (x)
–
µ (x) ∩ 1 = µ (x)
–
µ (x) ∩ 0 = 0
1
1
Î função de
pertinência com
µ
(x) = 1
∀ x ∈ X
0
0
Î função de
pertinência com
µ
(x) = 0
∀ x ∈ X
Propriedades de Conjuntos
Propriedades de Conjuntos
Fuzzy
Fuzzy
•
•
Associatividade:
Associatividade:
–µA(x) ∪ [µB (x) ∪ µC(x) ] = [µA(x) ∪ µB(x) ] ∪ µC(x) –µA(x) ∩ [µB (x) ∩ µC(x) ] = [µA(x) ∩ µB(x) ] ∩ µC(x) Ex: HOTEx: HOT ∩∩(WARM (WARM ∩∩COOL) = (HOT COOL) = (HOT ∩∩WARM) WARM) ∩∩COOLCOOL
Propriedades de Conjuntos
Propriedades de Conjuntos
Fuzzy
Fuzzy
•
•
Comutatividade:
Comutatividade:
–µA(x) ∪ µB (x) = µB(x) ∪ µA(x) –µA(x) ∩ µB (x) = µB(x) ∩ µA(x) Ex: HOTEx: HOT ∩∩COOL = COOL COOL = COOL ∩∩ HOTHOT
Propriedades de Conjuntos
Propriedades de Conjuntos
Fuzzy
Fuzzy
•
•
Distributividade
Distributividade:
:
µA(x) ∪ [µB (x) ∩ µC(x) ] = [µA(x) ∪ µB(x) ] ∩ [µA(x) ∪ µC(x)] µA(x) ∩ [µB (x) ∪ µC(x) ] = [µA(x) ∩ µB(x) ] ∪ [µA(x) ∩ µC(x)] Ex: HOTEx: HOT ∩∩(WARM (WARM ∪∪COOL) = COOL) =
(HOT
(HOT ∩∩WARM) WARM) ∪∪(HOT (HOT ∩∩COOL)COOL)
Propriedades de Conjuntos
Propriedades de Conjuntos
Fuzzy
Fuzzy
•
•
De Morgan:
De Morgan:
–µA(x) ∪ µB (x) = µA(x) ∩ µB(x) –µA(x) ∩ µB (x) = µA(x) ∪ µB(x)Ex: NOT (HOT