Matheus Fernando Pereira
Estudo numérico da equação da difusão
unidimensional
Limeira
2014
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Faculdade de Tecnologia
Matheus Fernando Pereira
Estudo numérico da equação da difusão unidimensional
Dissertação apresentada à Faculdade de Tec-nologia da Universidade Estadual de Campi-nas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Tecnologia na área de Tecnologia e Inovação.
Orientador: Profa. Dra. Simone Andrea Pozza Co-orientador Prof. Dr. Varese Salvador Timóteo
Este exemplar corresponde à versão final da tese defendida pelo aluno Matheus Fernando Pereira, e orien-tada pelo Profa. Dra. Simone Andrea Pozza
Limeira
2014
Biblioteca da Faculdade de Tecnologia Felipe de Souza Bueno - CRB 8/8577
Pereira, Matheus Fernando,
P414e PerEstudo numérico da equação da difusão unidimensional / Matheus Fernando Pereira. – Limeira, SP : [s.n.], 2014.
PerOrientador: Simone Andrea Pozza. PerCoorientador: Varese Salvador Timóteo.
PerDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Tecnologia.
Per1. Equação da difusão. 2. Integração numérica. 3. Dispersão de poluentes. 4. Coeficiente de dispersão. I. Pozza, Simone Andrea,1976-. II. Timóteo, Varese Salvador,1972-. III. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Tecnologia. IV. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Numerical study of one-dimensional advection-diffusion equation Palavras-chave em inglês:
Advection-diffusion equation Numerical integration
Pollutant dispersion Dispersion coefficient
Área de concentração: Tecnologia e Inovação Titulação: Mestre em Tecnologia
Banca examinadora:
Simone Andrea Pozza [Orientador] Varese Salvador Timóteo
Vitor Rafael Coluci Edilson Ferreira Batista
Data de defesa: 17-12-2014
Programa de Pós-Graduação: Tecnologia
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Resumo
Diversas técnicas vêm sendo apresentadas para resolução da equação da difusão, a qual é empregada para estimativas da concentração de poluentes em função do espaço e do tempo, levando-se conta fatores como fonte emissora, condições meteorológicas, características do meio e velocidade em que o poluente é carreado. Neste estudo, foi empregado um algoritmo de passo variável para a resolução da equação da difusão unidimensional e avaliação da influência do parâmetro de heterogeneidade do meio, da velocidade do fluxo e do coeficiente de dispersão na variação da concentração de poluentes em função do espaço e do tempo. As simulações foram realizadas utilizando as mesmas condições iniciais e de contorno adotadas em dois estudos abordados recentemente na literatura, e de acordo com os resultados, verificou-se que características como meios de menor heterogeneidade, baixa velocidade inicial do fluxo e baixo coeficiente de dispersão implicam em menores valores de concentração, facilitando a dispersão de poluentes. O método utilizado é caracterizado pela rápida convergência, simplicidade do código e baixo tempo computacional, podendo ser utilizado como base para resolução da equação da difusão bi e tridimensional.
Palavras-chaves: Equação da difusão; integração numérica; dispersão de poluentes; parâ-metro de heterogeneidade do meio; coeficiente de dispersão.
Abstract
Several techniques have been employed for solving advection-diffusion equation, which is used to estimate pollutants concentration as function of time and space, taking account factors such as emission source, meteorological conditions, medium characteristics and the velocity in which pollutant is adduced. In this study, we used an adaptive-step algorithm for solving one-dimensional advection-diffusion equation, and evaluating the influence of medium inho-mogeneity parameter, flow velocity and dispersion coefficient in the pollutants concentration variation as function of space and time. Simulations were performed using the same initial and boundary conditions adopted in two recently published studies in the literature, and according to the results, it was found that characteristics such as medium of less inhomo-geneity, low initial flow velocity and low dispersion coefficient imply in lower concentration and facilitate pollutants dispersion. The method is characterized by rapid convergence, sim-plicity of the code and low computational time, and it can be used as a basis for solving the two and the three dimensional advection-diffusion equation.
Sumário
1 Introdução . . . . 1
1.1 Considerações gerais sobre poluição ambiental . . . 1
1.2 Descrição da equação da difusão e suas aplicações . . . 5
1.3 Modelos desenvolvidos para análise da dispersão de poluentes . . . 11
2 Descrição do método e etapas do projeto . . . . 19
2.1 Etapas para o desenvolvimento do projeto . . . 19
2.2 Método numérico . . . 20
2.3 Descrição dos cenários . . . 21
2.4 Validação do método . . . 22
2.5 Variáveis analisadas . . . 22
2.5.1 Parâmetro de heterogeneidade do meio . . . 22
2.5.2 Velocidade inicial do fluxo . . . 23
2.5.3 Coeficiente de dispersão . . . 23
3 Resultados e discussão . . . . 25
3.1 Validação do método . . . 25
3.2 Testes de convergência . . . 26
3.3 Aplicação do algoritmo para os cenários de dispersão . . . 28
3.4 Influência da heterogeneidade do meio na dispersão do soluto comparando valores de 𝑎 . . . . 30
3.4.1 Variação de 𝐶/𝐶0 em função da distância e do tempo . . . 30
3.4.2 Variação de 𝐶/𝐶0 em função do parâmetro de heterogeneidade do meio 31 3.5 Influência da velocidade inicial do fluxo na dispersão do soluto . . . 35
3.5.1 Variação de 𝐶/𝐶0 em função da distância e do tempo comparando valores de 𝑢0 . . . 35
3.5.2 Variação de 𝐶/𝐶0 em função da velocidade inicial do fluxo (𝑢0) . . . 35
3.6 Influência do coeficiente de dispersão (𝐷0) na dispersão do soluto . . . 38
3.6.1 Variação de 𝐶/𝐶0 em função da distância e do tempo comparando valores de 𝐷0 . . . 38
3.6.2 Variação de 𝐶/𝐶0 em função do coeficiente de dispersão (𝐷0) . . . . 39
4 Considerações finais e recomendações para trabalhos futuros . . . . 43
Referências . . . . 45
Dedico esta tese à minha família.
Agradecimentos
A Deus pela minha vida.
À minha orientadora, Profa Dra Simone Andrea Pozza, pela oportunidade, pelo apoio no projeto, pela confiança, pelos incentivos e pela paciência.
Ao meu co-orientador, Prof. Dr. Varese Salvador Timóteo, pelo apoio no projeto, es-pecialmente na área de simulação, pelo incentivo e pela paciência.
Aos examinadores, Prof. Dr. Vítor Rafael Coluci e Prof. Dr. Edilson Ferreira Batista, pela avaliação do trabalho.
Ao FAEPEX pelo apoio financeiro para participação no 17th PRES 2014 - "Confe-rence on Process Integration, Modelling and Optimisation for Energy Saving and Pollution Reduction".
Aos docentes da Faculdade de Tecnologia (FT) que contribuíram para minha forma-ção.
À secretaria da pós-graduação, pelo esclarecimento das dúvidas e pelo apoio.
À minha família, pelo amor, pelo apoio em todos os momentos, pela confiança, por tudo que eu tenho e pelo que sou.
Aos amigos, especialmente Luiza, Isabela, Aline, Jessie, Laurinda, Renata, Rafael e Vítor, pelo incentivo e apoio.
Aos colegas que conheci nas disciplinas cursadas durante o mestrado.
Lista de ilustrações
Figura 1 – Perfis de temperatura e condições de estabilidade atmosférica. . . 4 Figura 2 – Comparação entre a concentração estimada com o modelo dos autores e
verificada no experimento de Copenhague. . . 9 Figura 3 – Metodologia de avaliação de dispersão de poluentes no ar. . . 12 Figura 4 – Principais etapas para a execução do projeto. . . 19 Figura 5 – Comparação nos resultados obtidos neste estudo (à esquerda) e em Savovic
e Djordjevich (2012) (à direita) para o cenário de dispersão em meio não homogêneo. . . 25 Figura 6 – Comparação nos resultados obtidos neste estudo (à esquerda) e em
Savo-vic e DjordjeSavo-vich (2012) (à direita) para o cenário de dispersão em meio homogêneo com fluxo uniforme e constante. . . 26 Figura 7 – Convergência da solução para o cenário de dispersão de soluto em meio
não homogêneo. . . 27 Figura 8 – Convergência da solução para dispersão de soluto em meio homogêneo em
fluxo uniforme e constante. . . 27 Figura 9 – Variação de 𝐶/𝐶0 em função da distância, para até 1 ano de emissão (à
esquerda) e para tempo variando de 1 a 2 anos (à direita) no cenário de dispersão em dispersão em meio não homogêneo. . . 29 Figura 10 – Variação de 𝐶/𝐶0 em função da distância, para até 1 ano de emissão (à
esquerda) e para tempo variando de 1 a 2 anos (à direita) no cenário de dispersão em dispersão em meio homogêneo com fluxo uniforme. . . 29 Figura 11 – Influência do parâmetro de heterogeneidade do meio na variação de 𝐶/𝐶0
em função da distância comparando valores de t variando de 0,1 a 2,0 anos. 32 Figura 12 – Variação de 𝐶/𝐶0 em função da distância e do tempo, comparando valores
de heterogeneidade do meio. . . 33 Figura 13 – Variação de 𝐶/𝐶0 em função do parâmetro 𝑎 comparando valores fixos de
𝑥 e de 𝑡. . . . 34 Figura 14 – Influência da velocidade inicial do fluxo na variação de 𝐶/𝐶0 em função
da distância comparando valores de t variando de 0,1 a 2,0 anos. . . 36 Figura 15 – Variação de 𝐶/𝐶0 em função da distância e do tempo, comparando valores
de velocidade inicial do fluxo. . . 37 Figura 16 – Variação de 𝐶/𝐶0 em função da variável 𝑢0 comparando valores fixos de
𝑥 e de 𝑡. . . . 38 xv
Figura 18 – Variação de 𝐶/𝐶0em função da distância e do tempo, comparando valores de coeficiente de dispersão. . . 41 Figura 19 – Variação de 𝐶/𝐶0 em função da variável 𝐷0 comparando valores fixos de
𝑥 e de 𝑡. . . . 42
Lista de abreviaturas e siglas
AERMAP AERMOD Terrain Pre-Processor
AERMET AERMOD Meteorological Pre-Processor
AERMOD AMS/EPA Regulatory Model
AERSURFACE AERMOD Surface Pre-Processor ALOHA Aeral Location of Hazardous Atmospheres B.V.2 Below-Cloud Beheng Version 2
CFD Computational Fluid Dynamic
CLP Camada Limite Planetária
DAUMOD Urban Atmospheric Dispersion Model EDPs Equações Diferenciais Parciais
ISC Industrial Source Complex
ISCST-3 Industrial Source Complex Short Time ISCLT-3 Industrial Source Complex Long Time
LES Large Eddy Simulations
MARPOL International Convention for the Prevention of Pollution From Ships
MIMO Modelo de Microescala
OILPOL International Convention for the Prevention of the Pollution of the Sea by Oil
RANS Reynolds Averaged Navier-Stokes REPLAN Refinaria do Planalto Paulista
US-EPA United States Environmental Protection Agency
1
1 Introdução
1.1
Considerações gerais sobre poluição ambiental
Após a emissão, os poluentes podem assumir diversos comportamentos, sendo influ-enciados pelas características da fonte, por fatores meteorológicos, pela topografia do terreno e pelo uso do solo. As variáveis em questão podem contribuir tanto para a acumulação de um determinado poluente quanto para a sua diluição no meio (LORA, 2002).
A distribuição espacial e temporal da concentração de poluentes atmosféricos baseia-se na equação da difusão (Equação 1.1), que consiste no cálculo da concentração em função da intensidade da fonte emissora, transporte por convecção em consequência do vento e da difusão molecular e turbulenta (LORA, 2002).
𝜕𝑐
𝜕𝑡 = 𝐸 + 𝐶 + 𝐷 , (1.1)
sendo:
𝜕𝑐
𝜕𝑡 = Variação da concentração em função do tempo;
𝐸 = emissão; 𝐶 = convecção; 𝐷 = difusão.
De acordo com o Decreto Estadual n∘ 8468/1976, que regulamenta a Lei Estadual n∘ 997/1976, Política Estadual do Meio Ambiente, considera-se poluente toda e qualquer forma de energia ou matéria lançada ou liberada nas águas, no ar ou no solo em desacordo com os padrões de qualidade estabelecidos na legislação ambiental ou que possam tornar os recursos ambientais impróprios, nocivos ou ofensivos à saúde; inconvenientes ao bem-estar público; danosos aos materiais, à fauna e à flora; prejudiciais ao uso e gozo da propriedade, bem como às atividades normais da comunidade (SÃO PAULO, 1976).
Em 1981, foi sancionada a Lei Federal n∘ 6938/1981, conhecida como Política Nacio-nal do Meio Ambiente, tendo como um dos objetivos a imposição ao poluidor e ao predador da obrigação de recuperar e/ou indenizar os danos causados e, ao usuário, da contribuição pela utilização dos recursos ambientais com fins econômicos. A partir desta lei, foi estabe-lecida, também, a obrigatoriedade do licenciamento ambiental para construção, instalação e funcionamento de estabelecimentos e atividades utilizadores de recursos ambientais efetiva ou potencialmente poluidores ou capazes, sob qualquer forma, de causar degradação ambiental
(BRASIL, 1981).
Em âmbito internacional, foram realizadas convenções como a OILPOL 54 (Conven-tion for the Preven(Conven-tion of the Pollu(Conven-tion of the Sea by Oil), Convenção Internacional para Prevenção da Poluição do Mar por Óleo, realizada pelo governo britânico em 1954 visando prevenir a contaminação por óleo transportado em navios, a MARPOL 73/78 (Internatio-nal Convention for the Prevention of Pollution From Ships), Convenção Internacio(Internatio-nal para Prevenção da Poluição por Navios, visando introduzir regras específicas para estender a pre-venção da poluição do mar às cargas perigosas ou equivalentes às dos hidrocarbonetos, e a Convenção Quadro das Nações Unidas sobre Mudanças do Clima, assinada em 1992, tendo como objetivo a estabilização das concentrações de gases de efeito estufa na atmosfera (CE-TESB, 2014).
Os poluentes atmosféricos podem ser divididos em primários, quando emitidos dire-tamente para a atmosfera, tais como dióxido de nitrogênio, monóxido de carbono, dióxido de enxofre e compostos orgânicos voláteis, ou secundários, quando formado por reações entre poluentes primários e componentes da atmosfera, na presença de luz solar, tais como o ozônio (CETESB, 2011). O material particulado, por sua vez, consiste em um uma mistura complexa de partículas extremamente pequenas e gotículas líquidas, formada por componentes como ácidos, compostos orgânicos, metais e poeira, sendo que as partículas podem ser classificadas como inaláveis, quando o diâmetro varia de 2,5 𝜇m a 10 𝜇m, ou finas, quando o diâmetro inferior a 2,5 𝜇m (KOLTUNIEWICZ, 2014).
Processos como desintegração de líquidos e sólidos na atmosfera ou a conversão de gases para partículas formam os aerossóis, ou seja, suspensão de pequenas partículas em gases. O termo aerossol é utilizado para descrever todo o sistema de pequenas partículas em suspensão no ar ou em outro gás (FRIEDLANDER, 2000).
As principais fontes antropogênicas de emissões atmosféricas são a queima de combus-tíveis, operações de aeronaves, a oxidação de minerais sulfurosos para a obtenção de cobre, chumbo e zinco e os processos de refino de petróleo (LORA, 2002). Como efeitos adversos à saúde ocasionados pelos poluentes atmosféricos, pode-se mencionar infecções pulmonares, doenças circulatórias, tosse, dor de cabeça e irritações severas os olhos, nariz e garganta (CETESB, 2011).
Segundo Ignotti et al. (2010), foi encontrada uma associação entre o número de doen-ças respiratórias, especialmente em idosos e criandoen-ças com idade inferior a 5 anos, e a emissão de materiais particulados finos, cujo diâmetro é inferior a 2,5 𝜇m, por meio da queima de biomassa na Amazônia. Os autores ressaltam que o material particulado fino tem um longo tempo de residência na atmosfera, podendo resultar em impactos ambientais de âmbito
con-1.1. Considerações gerais sobre poluição ambiental 3
tinental.
Amancio e Nascimento (2012) analisam os efeitos da exposição de indivíduos de mais de 50 anos no município de São José dos Campos entre os anos de 2003 e 2007 ao dióxido de enxofre, chegando à conclusão de que existe uma significativa associação entre a exposição e a taxa de mortalidade por doenças circulatórias.
A Organização Mundial de Saúde (OMS) estabeleceu em 1987 diretrizes de qualidade do ar, baseadas em evidências científicas atuais, tendo como intuito a redução dos impactos da poluição do ar sobre a saúde humana. A última atualização do documento foi realizada no ano de 2005, contemplando novos padrões de concentração para material particulado, ozônio, dióxido de nitrogênio e dióxido de enxofre (WHO, 2005).
A meteorologia está intimamente ligada à qualidade atmosférica, uma vez que os níveis de concentração de poluentes primários, a formação de poluentes secundários e o transporte dos mesmos para outras áreas e a remoção por precipitação, são fortemente influenciadas pelas condições meteorológicas (SEINFELD e PANDIS, 2006).
Os fluxos na atmosfera geralmente são turbulentos, ou seja, possuem características como o fato de serem irregulares, com os componentes de velocidade variando aleatoriamente com um tempo, tornando impossível a obtenção de valores exatos de velocidade na atmosfera. Pode adotar-se, portanto, um intervalo de tempo para cálculo de valores médios de velocidade média a partir de observações experimentais. A turbulência atmosférica é responsável pelo transporte de materiais, como vapor dágua, gases traçadores e aerossol, da superfície até a atmosfera, como um todo (SEINIELD e PANDIS, 2006). Os poluentes atmosféricos também podem ser arrastados por plumas convectivas provenientes de áreas com altitude mais elevada e serem difundidos para áreas mais baixas, em consequência deste fenômeno (FERNANDO et al., 2010).
Outro fator relevante para a dispersão dos poluentes é a variação de temperatura na atmosfera com a altitude, denominada taxa de lapso, a qual também determina a estabilidade atmosférica. Em uma atmosfera considerada neutra, há uma redução na temperatura de aproximadamente 1∘ C a cada 100 metros, o que é denominado gradiente adiabático seco, de modo a não haver alteração em um volume de ar em qualquer movimento vertical exercido sobre este (DERISIO, 2007). Quando a redução da temperatura em relação à altura é inferir ao gradiente adiabático seco, a atmosfera é considerada instável, o que favorece a dispersão, porém se a redução é inferior a essa taxa, as condições são estáveis. O aumento da temperatura em relação à altura caracteriza o fenômeno denominado Inversão Térmica, quando há uma camada de ar quente sobre outra de ar frio, dificultando a dispersão dos poluentes (Figura 1).
Figura 1 – Perfis de temperatura e condições de estabilidade atmosférica.
Fonte: Adaptado de CEZANA, 2007.
A equação também pode ser aplicada para dispersão em meio aquoso e no solo, adotando-se coeficientes relacionados à velocidade do fluxo e à dispersão, sendo este último proporcional à velocidade elevada a uma potência n, que pode variar de 1 a 2, da velocidade. (YADAV et al., 2012).
Nas águas superficiais e subterrâneas, a alteração na qualidade pode ser decorrente de fenômenos naturais, como escoamento superficial e infiltração no solo, e da atuação do homem, como na geração de despejos domésticos e industriais, havendo uma inter-relação entre o uso e ocupação do solo e a geração de focos alteradores da qualidade dos corpos d’água (VON SPERLING, 2005).
Cerca de 80% dos poluentes presentes nos mares e oceanos são provenientes de ati-vidades humanas como agricultura, urbanização e tecnologias diversas. Os poluentes antro-pogênicos mais comuns das águas superficiais são chumbo, cobre, cromo, cádmio, mercúrio e zinco, que são particularmente perigosos para corpos d’água com baixa velocidade de fluxo ou estagnados. Além dos danos ocasionados aos organismos presentes no corpo d’água, as substâncias tóxicas presentes podem ocasionar efeitos adversos à saúde humana, tais como câncer, doenças renais, doenças no sistema reprodutivo e leucemia (KOLTUNIEWICZ, 2014). Após o lançamento de um efluente com uma dada vazão em um rio, por exemplo, a pluma formada vai se expandindo ao longo da zona de mistura até atingir uma mistura completa, onde o efluente está praticamente diluído. Deste modo, o estudo da zona de mistura permite compreender o fluxo, a dispersão e a decomposição dos compostos presentes nos efluentes lançados em um corpo d’água (MARIANO et al., 2010). Heterogeneidade do meio e características do transporte do poluente em um campo de fluxo também são características que influenciam na dispersão (KUMAR et al., 2010).
1.2. Descrição da equação da difusão e suas aplicações 5
derrames acidentais podem resultar em contaminação de águas subterrâneas, sendo a quali-dade destas influenciadas pelas propriequali-dades do solo, condições geológicas e hidrogeológicas e natureza dos poluentes (KOLTUNIEWICZ, 2014). Considerando o contexto de dispersão em águas subterrâneas, as soluções analíticas para a equação da difusão estão disponíveis apenas para casos especiais e as soluções numéricas ainda precisam ser encontradas para problemas realísticos de engenharia (SAVOVIC e DJORDJEVICH, 2013).
Os principais processos de transporte de poluentes em solo também são a convecção e a difusão, sendo que o deslocamento ocorre da região de maior concentração a de menor concentração. Após o despejo, o poluente permeia por uma região insaturada do solo e após um determinado tempo, forma uma frente de avanço, podendo se acumular em região saturada ou atingir corpos d’água (FAVERO et al., 2007). O escoamento de massa de poluentes por unidade de área devido ao fluxo advectivo é influenciado pelo grau de saturação e pelas características da fonte geradora de poluição (adaptado de ZHANG et al., 2012).
1.2
Descrição da equação da difusão e suas aplicações
Após as partículas de um determinado poluente entrarem em contato com o ar, solo ou algum corpo d’água, incluindo águas subterrâneas, estas são transportadas por convecção e por difusão, fatores estes que interferem na variação da concentração em um determinado ponto e em um determinado tempo (DJORDJEVICH e SAVOVIC, 2012).
A concentração instantânea de poluentes na atmosfera segue uma abordagem euleri-ana, a qual adota um sistema de coordenadas fixo para análise do comportamento na atmos-fera, e é obtida por meio da equação da difusão, já apresentada de maneira simplificada na Equação 1 e escrita de forma vetorial na Equação 1.2 (GOUSSEAU et al., 2011). Trata-se de uma equação diferencial parcial parabólica utilizada para determinar níveis de concentração de poluentes em um determinado local, podendo ser aplicado em áreas como poluição atmos-férica, análise de dispersão em águas superficiais, mecânica do solo e engenharia de petróleo (SAVOVIC e DJORDJEVICH, 2012).
𝜕𝑐
𝜕𝑡 + ⃗𝑢 · ∇𝑐 = − ∇ · ⃗𝑞𝑚+ 𝑆𝑐, (1.2)
sendo:
𝜕𝑐
𝜕𝑡 = Variação da concentração em função do tempo;
𝐸 = emissão; 𝐶 = convecção; 𝐷 = difusão.
O termo relacionado à fonte emissora é obtido a partir do operador divergente da soma entre o fluxo médio de massa molecular, o fluxo convectivo e o fluxo turbulento, conforme Equação 1.3 (GOUSSEAU et al., 2011).
𝑆𝑐 = ∇ · ( ⃗𝑄𝑚+ ⃗𝑄𝑐+ ⃗𝑄𝑡); , (1.3)
sendo:
⃗
𝑄𝑚 = Fluxo de massa molecular médio;
⃗
𝑄𝑐 = Fluxo convectivo;
⃗
𝑄𝑡 = Fluxo de massa turbulento.
O fator convecção, por sua vez, é obtido a partir da associação entre o vetor veloci-dade do vento e o gradiente da concentração (GOUSSEAU et al., 2011). Para um sistema cartesiano, em que o eixo z é adotado como vertical, o fator convecção pode ser obtido pela Equação 1.4 (COSTA et al., 2012);
𝐶𝐶 = 𝑢 𝜕𝑐 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑐 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝑐 𝜕𝑧 (1.4) sendo: 𝐶𝐶 = convecção;
𝑢, 𝑤 e 𝑣 = componentes cartesianas do vento; 𝑐 = concentração.
O coeficiente de difusão D é caracterizado tanto pelo movimento browniano, que con-siste no movimento aleatório de partículas num fluido que ocorre em consequência do choque de todas as moléculas ou átomos presentes no fluido, quanto pela difusão das partículas do aerossol, ou seja, o transporte líquido das partículas em um gradiente de concentração. Trata-se da relação do fluxo J de partículas com o gradiente de concentração dn/dx (Eq. 1.5), Trata-sendo que quanto maior o seu valor, mais vigoroso é o movimento browniano e mais rapidamente ocorre o transporte de massa em um gradiente de concentração. (HINDS, 1998).
𝐽 = −𝐷 𝑑𝑛
𝑑𝑥 (1.5)
Em três dimensões, o fator de difusão pode ser escrito conforme Equação 1.6. A razão entre o fluxo de massa turbulento e o gradiente de concentração, também é denominado coeficiente de difusividade (COSTA et al., 2012):
𝐷 = 𝐾𝑥 𝜕𝑐 𝜕𝑥 + 𝐾𝑦 𝜕𝑐 𝜕𝑦 + 𝐾𝑧 𝜕𝑐 𝜕𝑧 (1.6) sendo: 𝐷 = difusão;
1.2. Descrição da equação da difusão e suas aplicações 7
𝐾𝑥,𝐾𝑦 e 𝐾𝑧 = componentes cartesianas do coeficiente de difusão;
𝑐 = concentração.
Savovic e Djordjevich (2012) empregam o método da diferença finita explícita para resolução da equação da difusão unidimensional (Equação 1.7), utilizando coeficientes va-riáveis em meios semi-infinitos para três situações de dispersão de soluto, dispersão em um meio não-homogêneo com fluxo constante, dispersão em meio homogêneo com fluxo contínuo e uniforme, e dispersão em meio não homogêneo com fluxo instável. A técnica em questão envolve a discretização do domínio e espacial e temporal e sua substituição por um domínio dividido em pontos em uma grade, a discretização das equações diferenciais parciais e a apli-cação de um algoritmo, adotando um nível de tempo anterior ao qual a solução é conhecida para o cálculo das derivadas espaciais. Os resultados obtidos pelos autores demonstraram concordância com soluções analíticas abordadas na literatura.
𝜕 𝜕𝑡𝑐(𝑥, 𝑡) = 𝜕 𝜕𝑥 [︃ 𝐷(𝑥, 𝑡) 𝜕 𝜕𝑥 − 𝑢(𝑥, 𝑡) 𝑐(𝑥, 𝑡) ]︃ , (1.7) sendo:
𝐶(𝑥, 𝑡)= Concentração do soluto na posição x ao longo da direção longitudinal no tempo t; 𝐷 = Coeficiente de dispersão;
𝑢 = velocidade do fluxo uniforme.
Savovic e Djordjevich (2013) também aplicam o método da diferença finita explícita para a resolução da equação da difusão unidimensional com coeficientes variáveis, para os cenários de dispersão em meio homogêneo e fluxo uniforme e dispersão em meio não homo-gêneo em fluxo não-uniforme. Para ambas as situações, os autores consideram que a fonte de poluição é eliminada após 1,8 ano, o que possibilitou a avaliação do tempo de recuperação para um domínio de fluxo contendo os poluentes. De acordo com o estudo, foi observada boa concordância entre o método utilizado e soluções analíticas abordadas na literatura.
Singh et al. (2012a) derivam uma solução analítica para análise da variação na con-centração de um contaminante no espaço e no tempo em um fluxo uniforme e unidimensi-onal de água subterrânea em meio poroso homogêneo. Os autores utilizaram a técnica da transformada de Laplace para a simulação de dois casos de dispersão, sendo um deles com concentração uniforme na fonte emissora e outra considerando tipo misto das condições de contorno. De acordo com os autores, a solução obtida para o segundo caso é mais realista que para o primeiro devido à inserção da combinação linear da concentração e de seu gradiente nas condições de contorno.
Outra solução para a equação da difusão unidimensional foi desenvolvida por Mazaheri et al. (2013), considerando a existência de várias fontes emissoras. Após a obtenção de uma
solução para as fontes pontuais de pulsos lineares utilizando a técnica da transformada de Laplace, foi aplicado o princípio da superposição para estender a solução derivada para várias fontes pontuais a partir de padrão de tempo arbitrário. Após realização de testes para fontes de pulso constante, liberação instantânea, fontes pontuais com decaimento exponencial em função do tempo, e várias fontes pontuais com padrões irregulares, os autores concluíram que a solução é adequada quando a mesma precisa ser estimada apenas em alguns pontos específicos e para grandes intervalos de tempo e espaço.
Kaabeche e Belbaki (2013) resolvem a equação da difusão unidimensional para inves-tigação do efeito de acoplamento da não-linearidade na dispersão do soluto e heterogeneidade química, utilizando o Método de Volumes Finitos para discretizar a equação diferencial par-cial. Observou-se que a variação da concentração de um soluto em função do tempo em um transporte interativo não linear é maior para meios homogêneos e que o comprimento de material poroso também influencia na dispersão.
Djordjevich e Savovic (2013) empregam o método da diferença finita explícita para a resolução da equação bidimensional da difusão com coeficientes variáveis, aplicando a téc-nica para demonstração do transporte de soluto nas direções longitudinal e transversal. Os autores, que já haviam aplicado o método para resolução da equação unidimensional, ado-tam os coeficientes 𝐷𝑥 e 𝐷𝑦 correspondentes aos parâmetros de dispersividade longitudinal e
transversal, respectivamente, e os coeficientes de velocidade do fluxo u(x,t) e y(y,t) no plano horizontal, conforme Equação 1.8.
𝜕 𝜕𝑡𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 𝜕 𝜕𝑥[𝐷𝑥(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑡) 𝜕𝑥 − 𝑢(𝑥, 𝑡) 𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑡)] + 𝜕 𝜕𝑦[𝐷𝑦(𝑦, 𝑡) 𝜕𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑡) 𝜕𝑥 − 𝑣(𝑦, 𝑡) 𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑡)] , (1.8)
Moreira et al. (2005) utilizam uma técnica analítica para a solução da equação da difusão, para fontes não-estacionárias de contaminação dentro da Camada Limite Planetária (CLP), a qual é limitada até uma altura 500 metros, onde ocorre a maioria dos fenômenos atmosféricos. Os autores empregam transformadas de Laplace nas variáveis de espaço (x) e tempo (t), obtida numericamente por meio do esquema quadrático de Gauss, ou seja, apro-ximação da integral definida de uma função obtida por meio do somatório com pesos dos valores assumidos pela função em pontos específicos do domínio, possibilitando estimativas tanto qualitativas quanto quantitativas na distribuição dos poluentes. Os resultados obtidos foram comparados com dados experimentais de dispersão de poluentes, por meio do emprego de hexafluoreto de enxofre (SF6) como traçador, ou seja, componente que permite a identifi-cação das taxas de ventilação e dos padrões de circulação do ar, no município de Copenhague
1.2. Descrição da equação da difusão e suas aplicações 9
na Dinamarca. Conforme Figura 2, utilizando dois pontos de quadratura, foi verificada a semelhança entre a concentração observada no experimento (Co) e estimada pelo modelo (Cp), com tempo computacional variando de 2 a 480 segundos.
Figura 2 – Comparação entre a concentração estimada com o modelo dos autores e verificada no experimento de Copenhague.
Fonte: Adaptado de MOREIRA et al., 2005.
Cassol et al. (2009) desenvolvem uma solução analítica utilizando transiente de dis-persão bidimensional de poluentes atmosféricos (Equação 1.9) aplicando técnicas de transfor-mação integral generalizada, uma expansão em série para a solução de equações diferenciais parciais. Nesse estudo, além das transformadas de Laplace, a técnica foi associada à diago-nalização de matrizes. 𝜕𝑐(𝑥, 𝑧, 𝑡) 𝜕𝑡 + 𝑢(𝑥, 𝑧) 𝜕𝑐(𝑥, 𝑧, 𝑡) 𝜕𝑥 + 𝑤(𝑥, 𝑧) 𝜕𝑐(𝑥, 𝑧, 𝑡) 𝜕𝑧 = 𝜕 𝜕𝑥(𝐾𝑥(𝑥, 𝑧) 𝜕𝑐(𝑥, 𝑧, 𝑡) 𝜕𝑥 ) + 𝜕 𝜕𝑥(𝐾𝑧(𝑥, 𝑧) 𝜕𝑐(𝑥, 𝑧, 𝑡) 𝜕𝑧 ) , (1.9)
com as seguintes condições:
sendo:
𝐶(𝑥, 𝑧, 𝑡) = Concentração do contaminante;
𝑈 (𝑥, 𝑧) = Velocidade do vento na direção longitudinal; 𝑊 (𝑥, 𝑧) = Direção do vento na direção vertical;
𝐾𝑥(𝑥, 𝑧) e 𝐾𝑧(𝑥, 𝑧) = Coeficientes de difusão;
𝐻 = Altura da Camada Limite Atmosférica.
Como principais vantagens do modelo aplicado por Moreira et al. (2005) e Cassol et al. (2009), podem-se mencionar o baixo tempo computacional em virtude da rápida convergência e o fato de levar em conta a variação local e temporal de parâmetros meteorológicos e, consequentemente, a variação nos padrões da concentração de poluentes.
Trabalho similar aos de Moreira et al. (2005) e Cassol et al. (2009) foi desenvolvido por Costa et al. (2012) que resolvem a equação da difusão para três dimensões analiticamente por meio da combinação da técnica da transformada de Laplace com a técnica da integração generalizada por meio da discretização da altura da CLP em n subintervalos, sendo calcu-lado um valor médio para o coeficiente de difusividade e para a velocidade do vento em cada sub-região. Os resultados também são comparados com o experimento de Copenhague, demonstrando a aplicabilidade do método proposto.
Tolmin et al. (2000) realizam duas abordagens para a resolução da equação da difusão em três dimensões (Equação 1.10), sendo que uma delas se restringe à solução da equação em duas dimensões e à utilização de malha triangular com camadas verticais, e a outra consiste na utilização de uma malha tridimensional não-estruturada, constituída por células tetraédricas. Os resultados se aproximaram da solução de referência em estudos de caso realizados pelos autores, os quais concluíram que o refinamento de malhas é fundamental para predição de concentrações locais. 𝜕𝐶𝑠 𝜕𝑡 = − 𝜕(𝑢 𝐶𝑠) 𝜕𝑥 − 𝜕(𝑣 𝐶𝑠) 𝜕𝑦 − 𝜕(𝑤 𝐶𝑠) 𝜕𝑧 + 𝜕 𝜕𝑥(𝐾𝑥 𝜕𝐶𝑠 𝜕𝑥 ) + 𝜕 𝜕𝑦(𝐾𝑦 𝜕𝐶𝑠 𝜕𝑦 ) + 𝜕 𝜕𝑧(𝐾𝑧 𝜕𝐶𝑠 𝜕𝑧 ) + 𝑅𝑠 (𝑐1, 𝑐2, ..., 𝑐𝑞) + 𝐸𝑠− (𝑘1𝑠+ 𝑘2𝑠) 𝐶𝑛 (1.10) em que:
x, y e z = Componentes cartesianas de distância;
𝐶𝑛 = Concentração do enésimo composto;
𝐾𝑥, 𝐾𝑦, 𝐾𝑧 = Coeficientes de difusividade turbulenta;
𝐾1𝑠 e 𝐾2𝑠 = Velocidade de deposição seca e úmida, respectivamente;
𝐻 = Altura da Camada Limite Atmosférica;
1.3. Modelos desenvolvidos para análise da dispersão de poluentes 11
𝑅𝑠 = Termo de reação química;
𝑐1, 𝑐2 e 𝑐𝑞 = Concentração das espécies 1, 2 e q, respectivamente.
1.3
Modelos desenvolvidos para análise da dispersão de poluentes
O principal modelo de solução simplificada para a equação da difusão existente atual-mente consiste no gaussiano, pelo qual, considera-se que a emissão de contaminantes ocorre a partir de uma fonte pontual e que a pluma, ou seja, a fumaça emitida, viaja com uma velocidade constante, igual à direção do vento e na mesma direção (LORA, 2002).
A concentração de poluentes provenientes de uma fonte pontual contínua é determi-nada pela equação básica da pluma (Equação 1.11) (MELO e MITKIEWICZ, 2002). Con-forme Figura 3, verifica-se que podem ser adotadas curvas gaussianas para representar o deslocamento de uma pluma em meio atmosférico.
𝐶 = 𝑄 2𝜋𝑈𝑠𝜎𝑦𝜎𝑧 exp ⎡ ⎣− 1 2 (︃ 𝑦 𝜎𝑦 )︃2⎤ ⎦ {︃ exp [︃ −1 2 (︂𝑍 − 𝐻 𝜎𝑧 )︂2]︃ + exp [︃ −1 2 (︂𝑍 + 𝐻 𝜎𝑧 )︂2]︃}︃ (1.11) em que:
𝐶 = concentração das emissões para um receptor localizado a x metros de distância de
pro-pagação dos ventos, y metros transversal à linha central da pluma e a z metros acima do solo;
𝑄 = taxa de emissão de poluentes (g/s);
𝑈𝑠 = velocidade média de poluentes para a altura de descarga (m/s);
𝑦 = distância do receptor à linha central da pluma na direção transversal (m); 𝑍 = distância do receptor à linha central da pluma na direção vertical (m); 𝜎𝑦 e 𝜎𝑧 = coeficientes de difusão nas direções transversal (y) e vertical (z) (m);
𝐻 = altura da linha central da pluma.
Um exemplo de modelo gaussiano desenvolvido pela US-EPA (United States Envi-ronmental Protection Agency), Agência de Proteção Ambiental dos Estados Unidos, normal-mente utilizado para estimar concentrações de poluentes primários devido a uma grande va-riedade de fontes associadas à indústria com características complexas consiste no Industrial Source Complex (ISC), o qual possui uma versão para estimativas de curto prazo (ISCST-3) e outra para estimar concentrações médias em períodos mais longos (ISCLT-3), podendo ser aplicado em áreas tanto urbanas quanto rurais (ALVARES JR et al., 2002).
Figura 3 – Metodologia de avaliação de dispersão de poluentes no ar.
Fonte: Adaptado de LISBOA, 2007.
O modelo AERMOD (AMS/EPA Regulatory Model), também desenvolvido pela US-EPA, por sua vez, delimita uma camada limite convectiva através do pré-processador AER-MET (AERMOD Meteorological Pre-processor) e supõe que a pluma é transportada por meio de porções definidas como superior e inferior. O modelo em questão considera três situações para o tratamento da pluma para fins de previsão da concentração de um determi-nado poluente, sendo elas a contribuição de fonte direta, a contribuição de fonte indireta e a contribuição que penetra além do topo da camada limite convectiva (BARBON, 2008).
Heckel e LeMasters (2011) utilizam o AERMOD para estimar a distribuição espacial de mercúrio elementar provenientes de uma caldeira a carvão em terrenos planos e complexos, adotando dados meteorológicos de 2004. Os pré-processadores AERMAP (AERMOD Terrain Pre-processor), AERSURFACE (AERMOD Surface Pre-processor) e AERMET foram utili-zados, respectivamente, para entrada das informações topográficas, obtenção da refletividade da superfície, denominado albedo, e determinação da estabilidade atmosférica, sendo que as estimativas de concentração foram obtidas a partir da combinação dos mesmos.
Como modelo urbano de dispersão atmosférica, destaca-se o DAUMOD (Urban At-mospheric Dispersion Model), que é válido para condições de estado estacionário. Assume-se que os poluentes são emitidos continuamente a partir de uma superfície e que não há trans-porte de massa no limite superior da pluma. Para o cálculo da concentração, o modelo utiliza como dados de entrada a distância em relação à fonte, a altura da pluma e um fator s, que depende da estabilidade atmosférica e da rugosidade da superfície. (MAZZEO e VENEGAS,
1.3. Modelos desenvolvidos para análise da dispersão de poluentes 13
2008).
Mazzeo e Venegas (2008) utilizam os modelos de dispersão atmosférica urbana DAU-MOD e o ISCT3 para indicar o número mínimo de estações de monitoramento em um sistema de vigilância da qualidade do ar em Buenos Aires, cujas emissões são provenientes, princi-palmente de usinas de energia e do tráfego das rodovias. Levando-se em conta os resultados e as restrições orçamentárias, os autores sugeriram a inserção de seis estações para tomada de medidas quando as concentrações superarem os valores de referência.
Leksmono et al. (2006) empregam o modelo ADMS-Urbano para a simulação de vinte cenários visando prever a concentração máxima anual de dióxido de nitrogênio em uma área de 1 km2 no Reino Unido, levando-se em conta a fonte emissora, os dados meteorológicos, os tipos de vias e o esquema de reações químicas empregado na relação entre óxidos de nitrogênio (NO𝑥) e dióxido de nitrogênio (NO2). Os resultados demonstraram uma forte influência na contribuição das fontes veiculares para a concentração de NO2 ao nível do solo, especialmente em ruas com elevada presença de edifícios verticais em ambos os lados, as denominadas "𝑠𝑡𝑟𝑒𝑒𝑡 𝑐𝑎𝑛𝑦𝑜𝑛𝑠".
Banerjee et al. (2011) desenvolvem um inventário de emissões para quantificação das emissões de dióxido de nitrogênio (NO2) provenientes de 18 indústrias e de fontes veiculares envolvendo um trecho de 1 Km no estado de Pantnagar, na Índia, e empregam o modelo ISCST-3 associado ao modelo gaussiano de origem finita para modelagem matemática visando definir medidas de controle a serem implementadas nas fontes de poluição.
Tang e Wang (2007) desenvolvem um protótipo de um sistema para modelagem da poluição sonora e atmosférica na península de Macao na China, integrando um modelo de ruído proveniente do tráfego, modelo operacional de poluição do ar, mapas digitais, modelo da paisagem urbana e Sistemas de Informação Geográfica. A região é dividida em quatro áreas, as quais possuem uso do solo e configuração das ruas e rodovias. Embora não tenham sido verificadas diferenças expressivas em relação às concentrações de CO entre os cenários, os autores observaram uma a influência considerável das ruas com elevada presença de edifícios verticais.
Assimakopoulos et al. (2003) também analisam o efeito das ruas com elevada pre-sença de edifícios verticais na dispersão de poluentes atmosféricos sob diversas configurações geométricas e alturas distintas das construções. Para as simulações foi aplicado o Modelo de Microescala (MIMO), desenvolvido pelo Instituto de Termodinâmica Técnica da Alemanha para a resolução das equações médias de Reynolds de conservação de massa, momento e energia, além de quantidades escalares, como a umidade e a concentração de poluentes. Por meio deste, observou-se que quanto menor a relação entre o comprimento das ruas (W) e a
altura das edificações (H), maiores os níveis de concentração.
Brandmeyer et al. (2009) desenvolvem um sistema de suporte em tomada de deci-sões referentes ao gerenciamento da qualidade do ar em Pequim, partindo de um inventário detalhando as características das fontes emissoras e dos poluentes emitidos. Para efeitos loca-lizados, o sistema utiliza Sistemas de Informação Geográfica integrado ao modelo AERMOD possibilitando a realização de simulações e a determinação de possíveis impactos potenci-ais em locpotenci-ais de interesse público, como escolas e hospitpotenci-ais. Os resultados desta modelagem contribuirão para tomadas de decisão sobre novas políticas relacionadas à qualidade do ar.
No Brasil, embora ainda exista um déficit nas pesquisas relacionadas ao tema, alguns estudos vêm sendo desenvolvidos, tais como o de Silva e Neto (2009), que consiste na aplicação do AERMOD para simulação de dispersão de material particulado, partículas totais em suspensão, dióxidos de enxofre e dióxidos de nitrogênio para uma única fonte localizada na região da Grande Vitória-ES. Levando-se em conta a predominância de ventos moderados, observou-se que a dispersão da maioria dos poluentes ocorre no sentido nordeste e que a instabilidade atmosférica favorece um maior deslocamento dos mesmos.
Curbani e Radaeli (2006) utilizam o modelo ALOHA (Aeral Location of Hazardous Atmospheres), programa destinado à modelagem de resíduos químicos para situações de emergência a partir de abordagem gaussiana, para quantificação dos impactos decorrentes de acidentes envolvendo vazamento de agentes químicos, contribuindo para tomadas de decisões, em situações críticas, de forma ágil e eficaz.
Melo e Mitikiewicz (2002) aplicam o modelo ISCT3 para avaliação na dispersão de material particulado na região do município de Ipatinga-MG, no complexo siderúrgico das Usinas Siderúrgicas de Minas Gerais S/A Usiminas, incluindo 52 fontes pontuais de poluição e 32 aéreas. O modelo foi validado a partir de levantamento de dados de monitoramento da qualidade do ar realizado pela empresa em sete receptores em áreas circunvizinhas ao complexo. Em geral, os resultados simulados nos pontos receptores atenderam aos padrões legais.
Silva (2006) simula a concentração na água da chuva de três espécies químicas (SO42−, NO3− e NH4+) removidas da atmosfera por precipitação na Bacia Amazônica, empregando um sistema de modelagem atmosférico regional e um modelo de remoção denominado "𝐵𝑒𝑙𝑜𝑤 - 𝐶𝑙𝑜𝑢𝑑 𝐵𝑒ℎ𝑒𝑛𝑔", Versão 2, (B.V. 2), modelo unidimensional que se baseia em uma série de equações para o cálculo das concentrações de espécies químicas no ar e na água da chuva, durante e após a remoção dos poluentes. O estudo envolveu campanhas intensivas de medições das concentrações e obtenção de dados meteorológicos, os quais foram utilizados como dados de entrada do modelo. Embora o modelo em questão tenha subestimado as concentrações das
1.3. Modelos desenvolvidos para análise da dispersão de poluentes 15
espécies na água da chuva em comparação às análises observacionais, o mesmo foi considerado satisfatório no que tange aos aspectos microfísicos das nuvens da região amazônica com bastante fidelidade, uma vez que foi observada bastante fidelidade entre o modelo proposto pela autora e os dados experimentais.
Outro exemplo de modelo é a Dinâmica de Fluidos Computacional (CFD - 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
𝐹 𝑙𝑢𝑖𝑑 𝐷𝑦𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐𝑠), que emprega a substituição do domínio espacial e temporal por um
domí-nio dividido em diversos pontos de uma grade ou células e níveis temporais para a resolução das Equações Diferenciais Parciais (EDPs), utilizando um algoritmo especificado. O CFD pode ser empregado em diversas áreas, tais como radiação, transporte de calor, fluxo em mais de uma fase, entre outros.
Siddiqui et al. (2012) empregam o CFD para desenvolvimento de um modelo de avali-ação de risco, considerando a liberavali-ação acidental de gases densos e tóxicos, como o gás cloro, no interior de uma indústria. A concentração de substâncias perigosas foi obtida a partir das equações do transporte escalar (Equação 1.12) e da conservação de espécies químicas. O fluxo foi considerado turbulento e foi adotado o modelo RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes), baseado na equação média de Reynolds, com o modelo de turbulência K- para as simulações.
𝜕
𝜕𝑡 (𝜌𝑌𝑖) + ∇ · (𝜌𝑢𝑌𝑖) = −∇𝐽𝑖+ 𝑆𝜑𝑖 , (1.12)
em que:
𝐽𝑖 = Fluxo de difusão da espécie i;
𝑌𝑖 = Fração de massa da espécie i;
𝜌 = Densidade (kg/m3);
𝑢 = velocidade (m/s); 𝑆𝜑𝑖 = Termo fonte.
Por meio das simulações, observou-se que a concentração de cloro atinge níveis críticos em um curto espaço de tempo e que poderiam ser adotadas medidas, como a indução do fluxo de ar para dentro do domínio e a ativação de um mecanismo de evacuação de emergência por meio do disparo de um alarme quando a concentração de cloro superar 20 ppm. O modelo desenvolvido foi validado por meio da comparação dos resultados com dados experimentais, demonstrando boa concordância qualitativa (SIDDIQUI et al., 2012).
Gousseau et al. (2011), por sua vez, utilizam o CFD para modelagem de dispersão de poluentes ao redor de construções isoladas no intuito de comparar o modelo RANS com outro modelo para escala maiores, denominado Large Eddy Simulation (LES) ou Simulações de Grandes Escalas a partir da equação da difusão. Os autores simulam dois cenários de transporte de poluentes, sendo um deles com a fonte localizada fora da construção emitindo
uma mistura de ar e metano a partir de uma chaminé, e outro com obstáculo cúbico em que é liberado gás hélio por um exaustor circular localizado no centro do telhado. Os resultados demonstraram que o método LES calcula mais precisamente os fluxos convectivos, enquanto que o modelo RANS é indicado para a reprodução do transporte por gradiente. (GOUSSEAU et al., 2011).
Antonioni et al. (2012) também empregam CFD para comparação dos modelos RANS e LES por meio da simulação de 3 cenários de dispersão em um canal de água. Foi constatado que para fluxos mais turbulentos, observados nas proximidades do campo de concentração, o modelo LES é mais preciso na previsão da distribuição de concentração, enquanto que para fluxos estáveis, como em áreas distantes do campo de concentração, os modelos RANS são mais precisos.
Os estudos, em geral, demonstraram que a escolha do modelo de turbulência depende de uma cuidadosa configuração do problema de dispersão, objeto do estudo, e que pequenas correções para modelos operacionais podem trazer uma grande melhoria na eficiência da estimativa de concentração (ANTONIONI et al., 2012).
Buccolieri et al. (2009) realizam ensaios de túnel de vento, empregando hexafluoreto de enxofre como traçador, e aplicam o CFD para análise da influência de árvores em ruas com alta presença de edifícios verticais na concentração de poluentes atmosféricos provenientes de emissões veiculares na área de pedestres. Os autores utilizaram duas paredes como referência, sotavento das edificações (parede A) e barlavento (parede B) das mesmas. Observou-se que com a presença de árvores, a concentração nas proximidades da parede A é consideravelmente maior, e na parede B é ligeiramente menor à observada na ausência de árvores, fato este que é explicado pelo fato das árvores agirem como obstáculo ao vento, reduzindo a diluição dos poluentes. Outras conclusões deste estudo foram que quanto maior a relação entre a largura da rua e a altura dos edifícios, e quanto maior a velocidade do vento, menor o efeito na concentração de poluentes no nível dos pedestres.
Trabalho similar é desenvolvido por Amorin et al. (2013), que empregam o CFD para análise da influência de árvores na dispersão de monóxido de carbono (CO) em área urbana devido à modificação induzida das características do vento. Foram realizadas simulações da qualidade do ar por dois períodos de 31 horas em áreas selecionadas de Lisboa e Aveiro, con-siderando duas distintas direções relativas do vento, sendo estas de 45∘ e paralela à avenida principal. Na situação de não-alinhamento da direção do vento em relação à rua, foi observado um aumento de 12% na concentração de monóxido de carbono devido à ação aerodinâmica das árvores nas taxas de trocas verticais de ar poluído com a atmosfera. Com a configuração alinhada, por sua vez, observou-se uma redução média de 16% na concentração, em
decor-1.3. Modelos desenvolvidos para análise da dispersão de poluentes 17
rência de uma maior ventilação. Os autores concluíram que a qualidade do ar urbano pode ser otimizada, baseando-se no conhecimento dos espaços verdes.
No Brasil, alguns estudos envolvendo a aplicação do CFD vêm sendo desenvolvidos, tais como de Modenesi et al. (2004), que analisa a dispersão de efluente da Refinaria do Planalto Paulista (REPLAN), da Petrobrás, no rio Atibaia, por meio de soluções numéricas de conservação da massa e da quantidade de movimento. Os autores observaram que o efluente está disperso em uma distância a 485 metros após o lançamento, onde a concentração se torna constante. Como principais vantagens, enfatizou-se a rapidez na realização das simulações e o fato de ser levado em conta a perda de substâncias volatilizadas quando exigido.
Cezana (2007) aplica métodos numéricos para análise de escoamento e de distribuição da concentração de poluentes em diversos pontos sob condições atmosféricas neutras, está-veis e instáestá-veis, em um terreno plano ao redor de um obstáculo cúbico isolado. O software comercial ANSYS-CGX foi utilizado para a simulação numérica baseada no modelo K-? pa-drão, o qual consiste basicamente na inserção de equações diferenciais para cálculo da energia cinética e sua dissipação, para a solução das equações de conservação da massa, momento e energia. Os resultados foram comparados com experimentos em campo e outras simulações, demonstrando grande precisão nas simulações de escoamento.
Enfim, diversos modelos de dispersão de poluentes vêm sendo desenvolvidos de modo a prover subsídios para avaliação de impactos ambientais e monitoramento da qualidade de recursos naturais, tais como água, ar e solo. A equação da difusão, utilizada como base para a maioria dos modelos existentes, pode ser aplicada em diversas áreas, como em estimativas de concentrações de poluentes atmosféricos, análise de dispersão em meio aquoso, mecânica dos solos e engenharia de petróleo (SAVOVIC e DJORDJEVICH, 2012).
Este trabalho propõe o emprego de um algoritmo de integração numérica com passo variável caracterizado pela flexibilidade e simplicidade do código para a resolução da equação da difusão unidimensional e avaliação da influência dos parâmetros de heterogeneidade do meio, velocidade do fluxo e coeficiente de dispersão na variação da concentração de poluentes em função do espaço e do tempo, visando contribuir para o planejamento da instalação de fonte de poluição e para minimização dos impactos ambientais decorrentes das emissões de substâncias na atmosfera ou em meio aquoso.
O presente estudo é dividido em 4 capítulos, com a seguinte estrutura:
- Capítulo 2: Descrição das etapas do estudo, do método utilizado, dos cenários simu-lados e das variáveis analisadas;
- Capítulo 3: Resultados e discussão, em que são apresentados testes de convergência, resultados obtidos para os cenários simulados, análise da influência das variáveis relacionadas
à heterogeneidade do meio, velocidade do fluxo e coeficiente de dispersão na variação da concentração de soluto em função do espaço e do tempo, e comparação com estudos abordados recentemente na literatura.
19
2 Descrição do método e etapas do projeto
2.1
Etapas para o desenvolvimento do projeto
Para o desenvolvimento do projeto foram levados em conta fatores que interferem na variação da concentração de poluentes em função do espaço e do tempo, tais como taxa de emissão, características e a velocidade no meio em que o poluente é carreado, concentração inicial do poluente e coeficiente de dispersão, sendo estes os dados de entrada para resolução da equação da difusão unidimensional (Equação 2.1). A Figura 4 apresenta de forma resumida as principais etapas para a obtenção dos resultados, os quais foram comparados com outros estudos abordados recentemente na literatura.
𝜕 𝜕𝑡𝑐(𝑥, 𝑡) = 𝜕 𝜕𝑥 [︃ 𝐷(𝑥, 𝑡) 𝜕 𝜕𝑥 − 𝑢(𝑥, 𝑡) 𝑐(𝑥, 𝑡) ]︃ , (2.1)
Embora existam métodos analíticos e estatísticos para a estimativa da concentração de poluentes como o método gaussiano, estes apresentam limitações como a impossibilidade da resolução de equações diferenciais parciais (EDPs) com termos não lineares. Quando as não-linearidades nas EDPs não podem ser desprezadas, é necessário o emprego de métodos numéricos para a obtenção de soluções (POTTER et al., 2004). Para dispersão de poluentes na atmosfera, por exemplo, que consiste em um sistema extremamente dinâmico, o emprego de métodos numéricos implica em resultados mais satisfatórios.
2.2
Método numérico
Para a análise da influência de cada variável da equação da difusão unidimensional nos níveis de concentração de poluentes, foi utilizado o software Wolfram Mathematica 9.0, que possibilitou a aplicação do algoritmo de integração numérica com passo variável (WOL-FRAM RESEARCH). Foram realizados testes de convergência para seleção do passo máximo permitido nas iterações, e empregado o algoritmo para resolução da Equação 1.7 com os mes-mos dados de entrada utilizados por Kumar et al. (2010) e Savovic e Djordjevich (2012) para simulação de dois cenários de dispersão, que serão descritos na sessão 2.3.
Trabalho semelhante foi desenvolvido por Bastani e Hosseini (2007), que propuseram um algoritmo de integração com passo de tempo variável, utilizando utilizados dois critérios diferentes de estimativa de erro para os termos de derivada e difusão da equação para a aproximação da solução de equações diferenciais ordinárias. O primeiro consiste na aplicação de uma técnica de seleção de passo de tamanho padrão, enquanto que o segundo consiste na introdução de um novo mecanismo de seleção de tamanho de passo com capacidade para lidar com as oscilações do caminho a ser integrado. De acordo com os autores, a técnica permite a obtenção de estimativas relativamente precisas para estatísticas de erros de truncamento local, possibilitando a seleção de um passo adequado para ser utilizado na integração.
González-Pinto e Pérez-Rodrigues (2012) também apresentam um código com passo de tempo variável nas iterações para equações parciais de reação e difusão, utilizando o método das diferenças finitas para discretização espacial e o método de duas fases da Radau IIA, que calcula dois possíveis comprimentos de passo com base no erro e na convergência, adotando o menor para a integração. Os autores concluem que embora o método possa ser aplicado para problemas de reação e difusão, o mesmo pode apresentar instabilidade quando trata-se de situações cujo domínio apresente três ou mais dimensões espaciais.
A aplicação de algoritmos com variação no passo de tempo utilizado nas iterações tem demonstrado ser mais eficiente que seus homólogos de passo fixo em termos de custo computacional, precisão e estabilidade (BASTANI e HOSSEINI, 2007).
2.3. Descrição dos cenários 21
2.3
Descrição dos cenários
Para a realização das simulações, foram utilizados mesmos dados de entrada dos ce-nários simulados por Kumar et al. (2010) e por Savovic e Djordjevich (2012), sendo eles dispersão em meio não-homogêneo e dispersão em meio homogêneo em um fluxo uniforme e constante.
Cenário 1 - Dispersão em meio não homogêneo
Para o caso de dispersão de soluto em meio não-homogêneo, semi-infinito e sem in-fluência da fonte para o tempo inicial, na presença de uma emissão contínua na origem do domínio, a variação da concentração em função do espaço e do tempo é descrita pela Equação 2.2, a qual foi obtida a partir da Equação 1.7 (SAVOVIC e DJORDJEVICH, 2012).
𝜕𝑐(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑡 = [(1 + 𝑎𝑥) (2𝑎𝐷0− 𝑢0] 𝜕𝑐(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑥 + 𝐷0 (1 + 𝑎𝑥) 2𝜕 2𝑐(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑥2 − 𝑢0 𝑎 𝑐(𝑥, 𝑡) (2.2) sendo:
𝑢0 = velocidade inicial do fluxo (km/ano);
𝐷0 = Coeficiente de dispersão (km2/ano);
𝑎 = Parâmetro de heterogeneidade do meio (km−1).
Para as simulações foram utilizados os mesmos dados de entrada adotados por Savovic e Djordjevich (2012) e por Kumar et al. (2010), ou seja, 𝑎 = 1,0 km−1,u0 = 0,6 km/ano, 𝑑0 = 0,71 km2/ano, valores que já haviam utilizados em experimentos anteriores. Foi adotada a distância de 20 km como ponto onde não há mais a influência da fonte emissora.
Foram realizados diversos testes para a obtenção da relação 𝐶/𝐶0 para tempo va-riando de 0,1 a 2,0 e para distância de até 8 quilômetros, utilizando os mesmos dados de entrada utilizado pelos autores.
Cenário 2 - Dispersão em meio homogêneo com fluxo uniforme e constante
Para o caso de dispersão de soluto em fluxo uniforme e constante, em meio homogêneo longitudinal semi-infinito e sem influência da fonte para o tempo inicial, na presença de uma emissão contínua na origem do domínio, obtém-se a seguinte forma da equação da difusão (Equação 2.3), obtida a partir da Equação 1.7 (SAVOVIC e DJORDJEVICH, 2012).
𝜕𝑐(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑡 = −𝑢0 𝜕𝑐(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑥 + 𝐷0𝐸𝑥𝑝(𝑚𝑡) 𝜕2𝑐(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑥2 (2.3)
em que:
𝑚 = Coeficiente proporcional a 𝑢2
0/𝐷0, com dimensão inversa ao tempo (ano−1) Foram utilizadas as seguintes condições de contorno pelos autores:
𝑐(𝑡, 0) = C0;
𝑐(0, 𝑥) = 0; 𝑐(𝑡, ∞) = 0.
Para as simulações foram utilizados os mesmos dados de entrada adotados por Savovic e Djordjevich (2012) e por Kumar et al. (2010), ou seja, 𝑎 = 1,0 km−1, 𝑢0 = 1,6 km/ano, 𝑑0 = 1,71 km2/ano, valores estes que também já haviam sido utilizados experimentos anteriores. Neste estudo, também foi adotada a distância de 20 km como ponto onde não há influência da fonte emissora. Foram realizados diversos testes para a obtenção da relação 𝐶/𝐶0 para tempo variando de 0,1 a 2,0 e para distância de até 8 quilômetros, utilizando os mesmos dados de entrada utilizado pelos autores.
2.4
Validação do método
Para validação do método, os resultados obtidos neste estudo com o algoritmo de integração numérica foram comparados aos obtidos por Kumar et al. (2010) com a técnica de transformada de Laplace e por Savovic e Djordjevich (2012) com o método da diferença finita explícita, utilizando as mesmas condições iniciais e de contorno para os dois cenários descritos na seção 2.3.
2.5
Variáveis analisadas
2.5.1
Parâmetro de heterogeneidade do meio
Levando-se em conta que no cenário 2 o meio é considerado homogêneo, a influência do parâmetro de heterogeneidade, relacionado à densidade do meio, foi analisada apenas para o cenário 1, comparando valores deste parâmetro. Neste estudo, foram comparados 6 valores do parâmetro a, sendo estes a=0,0 km−1, a=0,2 km−1, a=0,5 km−1, a=1,0 km−1, a=1,5 km−1 e a=2,0 km−1utilizando integração numérica com passo de 0,001 tanto para distância, quanto para o tempo.
Foi avaliada, também, a variação de 𝐶/𝐶0 em função da heterogeneidade do meio, testando valores de x entre 0 e 2 km e de t entre 0,1 e 2,0 anos, de modo a verificar onde há maior influência da heterogeneidade do meio, ou seja, da variação da densidade do meio no qual o poluente é carreado.
2.5. Variáveis analisadas 23
2.5.2
Velocidade inicial do fluxo
De modo análogo ao parâmetro de heterogeneidade do meio, foi analisada a variação de 𝐶/𝐶0 em função da distância e do tempo, comparando diversos valores de velocidade inicial do fluxo para o cenário 1, considerando os mesmos valores fixos de heterogeneidade do meio e coeficiente de dispersão adotados por Savovic e Dojordjevich (2012) e por Kumar et al. (2010).
Assim como na análise descrita na subseção 2.5.1, foi avaliada, também, a variação de
𝐶/𝐶0 em função da velocidade inicial do fluxo em que o soluto está sendo disperso, testando valores de x compreendidos entre 0 e 2 km e de t compreendidos entre 0,1 e 2,0 anos, de modo a verificar onde há maior influência da velocidade inicial do fluxo na concentração.
2.5.3
Coeficiente de dispersão
A influência da variável 𝐷0, correspondente ao coeficiente de dispersão, na variação da concentração em função do espaço e do tempo, também analisada para o cenário 1. Foram comparados 5 valores de 𝐷0 para avaliação da influência desta variável na equação da difusão unidimensional, considerando os mesmos valores fixos de heterogeneidade do meio e de velocidade inicial do fluxo adotados por Kumar et al. (2010) e por Savovic e Djordjevich (2012). Conforme descrito na sessão 1.3, este parâmetro é obtido com base no movimento de massa em um gradiente de concentração e no movimento browniano, sendo estimado com base em dados experimentais.
Assim como na análise descrita nas subseções 2.5.1 e 2.5.2 foi avaliada, a variação de
𝐶/𝐶0 em função do coeficiente de dispersão, testando valores de x entre 0 e 2 km e de t entre 0,1 e 2,0 anos, de modo a verificar onde há maior influência do coeficiente de dispersão na variação da concentração.
25
3 Resultados e discussão
3.1
Validação do método
O método utilizado neste estudo foi validado por meio da comparação com os re-sultados obtidos por Kumar et al. (2010) e por Savovic e Djordjevich (2012), adotando as mesmas condições iniciais e de contorno dos cenários descritos na seção 2.3. Observou-se um resultado muito similar aos obtidos pelos autores para ambos os cenários, conforme Figuras 5 e 6, diferindo apenas para distância próxima a 1 quilômetro.
Considerando que em uma das condições de contorno adotadas pelos autores, descritas na seção 2.3, a concentração corresponde a C0para qualquer valor de t no local da fonte (x=0), e em outra, a concentração equivale a 0 para qualquer distância quando t=0, o software interpreta que estas condições são conflitantes. Para contornar a inconsistência afetando de modo inexpressivo os resultados, foi inserida a função seno na condição de contorno para x=0 e t≥0, sendo utilizada a seguinte expressão: c(t,0) = c0 Sen(t). Deste modo, a diferença nos resultados para distâncias próximas a 1 quilômetro pode ser explicada pela adaptação realizada na condição de contorno para x=0.
Figura 5 – Comparação nos resultados obtidos neste estudo (à esquerda) e em Savovic e Djordjevich (2012) (à direita) para o cenário de dispersão em meio não homogêneo.
Para o cenário de dispersão em meio homogêneo, com fluxo uniforme, observou-se, assim como em Kumar et al. (2010) e em Savovic e Djordjevich (2012), que para distâncias mais próximas à fonte emissora, a relação 𝐶/𝐶0 é ligeiramente maior no segundo cenário,
caracterizado pela homogeneidade do meio.
Figura 6 – Comparação nos resultados obtidos neste estudo (à esquerda) e em Savovic e Djordjevich (2012) (à direita) para o cenário de dispersão em meio homogêneo com fluxo uniforme e constante.
3.2
Testes de convergência
Em um algoritmo de integração com passo variável, a seleção do tamanho do passo máximo permitido para as iterações é um fator determinante para a precisão dos resultados obtidos. Foram realizados testes de convergência utilizando diferentes valores de passo má-ximo permitido, utilizando as mesmas condições iniciais e de contorno adotadas por Kumar et al. (2000) e por Savovic e Djordjevich (2012) nos cenários descritos na seção 2.3.
Os resultados obtidos são apresentados nas Figuras 7 e 8, correspondentes aos cenários de dispersão de soluto em meio não homogêneo e de dispersão de soluto em meio homogêneo em fluxo uniforme e constante, respectivamente, onde é demonstrada a razão C(x,t) e C(0,t) em função da distância em relação à fonte emissora, adotando tempo de 0,1 ano para o primeiro cenário e de 0,05 para o segundo. Observa-se que para ambos os cenários, as soluções convergiram com a adoção do passo de 0,1 ano e 0,1 km, uma vez que as curvas se sobrepõe com a de 0,05 ano e 0,05 km. Visando assegurar a precisão dos resultados das simulações realizadas neste estudo, foi adotado como tamanho máximo do passo permitido 0,001 ano e 0,001 quilômetro para as simulações realizadas neste estudo. Utilizando o software Wolfram Mathematica, o tempo computacional para resolução da equação foi inferior a 5 segundos.
3.2. Testes de convergência 27
Figura 7 – Convergência da solução para o cenário de dispersão de soluto em meio não homogêneo.
Fonte: Pereira et al., 2014.
Figura 8 – Convergência da solução para dispersão de soluto em meio homogêneo em fluxo uniforme e constante.
