EXP 05.INTEGR-DIF (1)

EC1 - LAB - CIRCÚITOS INTEGRADORES E DIFERENCIADORES

Prof: MASSIMO ARGENTO

CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS INICIAIS: Imaginemos um circuito composto por uma série R-C, alimentado por uma tensão do tipo: A . H(t), e ainda consideremos que no instante 0- o capacitor possuía uma tensão residual inicial V0 . Mostramos abaixo o circuito, bem como o seu equivalente em domínio “S”; Vamos determinar a tensão sobre o resistor e sobre o capacitor. Temos

+ -+ -+ Vo Vo C SC + -A S 1 S I(S) A.H(t) iv (t)_C Iv (t)R IVR IVC + -+

-O equacionamento fornece: I(S) =

1 SRC V A C SC 1 SRC S V A SC 1 R S V S A O O O + − ⋅ = + − = + − ; Como : VR(S) = R.I(S) ⇒ VR(S) = RC / 1 S V A RC RC 1 SRC V A RC O O + − ⋅ = + − ⋅ ; ou ainda: VR(S) = RC / 1 S V A _O + − ; como VC(S) = V (S) S A R − teremos : VC(S) = RC / 1 S V A S A O + − − ; Antitransformando VR(S) e VC(S) e denominando o

produto RC =

τ

, iremos ter :

VR(t) = ( A - V0)e- t /τ ; vC(t) = A - ( A - Vo ) e- t /τ

Que são as Equações Gerais da carga ou descarga de um circuito R-C , onde τ é denominado de constante de tempo do circuito, e representa em termos físicos o tempo necessário à carga , ou à descarga do capacitor.

ANÁLISE DOS RESULTADOS OBTIDOS:

a) Fazendo a constante de tempo : τ pequena :

Se fizermos τ suficientemente pequeno, significará que o capacitor levará pouco tempo para se carregar, e para se descarregar totalmente. Vamos então em primeira análise supor que V0 = 0 ; teremos:

VR(t) = A .e- t /τ ; vC(t) = A - A.e- t /τ ; ( Com: vC (t) + vR(t) = A )

Em t = 0 teremos : VR(t) = A e vC(t) = 0 ; Após um certo tempo t >> τ concluiremos que: VR(t) ≅ 0 e vC(t) = A . Em termos de diagrama no tempo poderemos visualizar:

iv (t)g Iv (t)C Iv (t)R A A A It0 It0 It0

Se ainda, num determinado instante t0, onde percebemos que vR(t) = 0, e que vC(t) = A , fizermos: A = 0 , perceberemos que o capacitor irá se descarregar a partir de uma tensão inicial : V0 = A ; em termos de equações teremos

(supondo como ponto de partida agora o momento t0 ):

VR(t) = - A .e- t /τ ; vC(t) = A e- t /τ ; ( Com: vC (t) + vR(t) = 0 )

Em termos de diagrama no tempo poderemos visualizar: iv (t)g Iv (t)C Iv (t)R A A A - A It0 It0 It0

Se alimentarmos então o circuito, com uma onda quadrada de período suficientemente grande, e tomarmos a tensão sobre o resistor, facilmente perceberemos que a forma de onda da tensão sobre o mesmo nos lembra a derivação das função H(t ) , - H(t - T/2) , + H( t - T) , etc. (lembre-se que a derivada de H(t) é δ(t)) . Em resumo:

CIRCUITO DIFERENCIADOR:

• A tensão deverá ser tomada sobre o resistor:

+

-C

Iv (t)_R

• A constante de tempo RC = τ deverá ser muito menor do que o período da função a ser diferenciada ( na prática fazemos τ ≤

10 T

) ; visualizando a diferenciação no caso de termos uma onda quadrada como sendo a tensão de entrada: iv (t)g Iv (t)C Iv (t) = v (t) DiferenciadaR g A A A - A T 3T 2 2 T 2T _It It It

Para medirmos a constante de tempo, bastará ampliar um ciclo da tensão sobre o resistor durante uma “descida” ou uma “subida” por exemplo. Lembrando que a tensão sobre o resistor é dada por : VR(t) = ± A .e- t /τ , se fizermos t =

τ

teremos VR(t) = ± A .e- 1 ⇒ VR(t) = ± A . 0,368 ; ou seja: a constante de tempo é o tempo necessário para que a tensão sobre o resistor se torne aproximadamente 37% da amplitude Máxima; Visualizando:

Iv (t)R A - A It i

τ

i

τ

b) Fazendo a constante de tempo : τ Grande :

Se fizermos τ suficientemente Grande, significará que o capacitor leva muito tempo para se carregar, e para se descarregar totalmente . Supondo que a tensão de entrada continue sendo uma onda quadrada poderemos raciocinar em termos de que a carga e a descarga total não são atingidas (não há tempo suficiente para tal) . Nestas condições facilmente percebemos que ao tensão no capacitor irá se situar entre um valor Máximo e um valor Mínimo após alguns ciclos:

iv (t)g Iv (t)C A T 3T 2 2 T 2T _It It Vmáx Vmín

Em termos de equacionamento, após alguns ciclos, ou ainda após o regime ter sido atingido concluiremos que:

a) Na carga: Sai do valor Vmín e “quer ir” para o valor de “A” ;

b) Na descarga: Sai do valor Vmáx, e “quer ir para o valor de 0 ; portanto: Carga: vC(t) = A - ( A - Vmin ) e- t /τ

Descarga: vC(t) = Vmáx e- t /τ

Mas : Na carga : Quando: t = T/2 ⇒ vC(t) = Vmáx ; e ainda : Na descarga: Quando: t = T/2 ⇒ vC(t) = Vmín ; portanto:

Vmáx = A - ( A - Vmin ) e- T / 2τ

_{e ainda :}

_{Vmín = Vmáx e}- T / 2τ _{; logo:}

Vmáx(1 - e- T /τ ) = A ( 1 - Ae- T / 2τ

₎

_{⇒ Vmáx = A} τ − τ − − − T 2 T e 1 e 1 ou ainda, fatorando-se o denominador: Vmáx = A τ − + 2 T e 1 1 ; substituindo-se para determinar Vmín tem-se: Vmín = A τ − τ − + 2 T 2 T e 1 e ; logo a tensão de

pico a pico sobre o capacitor será dada por: VC ( P P ) = Vmáx - Vmín

VC ( P P ) = A τ − + 2 T e 1 1 - A τ − τ − + 2 T 2 T e 1 e ⇒ VC ( P P ) = A τ − τ − + − 2 T 2 T e 1 e 1 ;

Note que quanto maior for

τ

melhor será o efeito de integração, porém menor será a tensão de pico sobre o capacitor;

Escrevendo-se “A” como sendo o valor pico a pico da tensão de entrada , em onda quadrada ; ou seja: A = VE P P iremos ter:

VC ( P P ) = VE P P τ − τ − + − 2 T 2 T e 1 e 1 ⇒ VC ( P P ) (1 + e- T / 2τ _{) = V} E ( P P ) (1 - e- T / 2τ ) ⇒ e- T / 2τ _{( V} E ( P P ) + VC ( P P )) = VE ( P P ) - VC ( P P ) ⇒ e- T / 2τ = ) PP ( C ) PP ( E ) PP ( C ) PP ( E V V V V + − ⇒ τ − 2 T = Ln ) PP ( C ) PP ( E ) PP ( C ) PP ( E V V V V + − ⇒ τ 2 T = Ln ) PP ( C ) PP ( E ) PP ( C ) PP ( E V V V V − + ; e finalmente :

τ

= ) PP ( C ) PP ( E ) PP ( C ) PP ( E V V V V n L 2 T − + ⋅ Em resumo: CIRCUITO INTEGRADOR:

+

- C

Iv (t)C

If(t) = If(t) If(t) dt

• A constante de tempo RC = τ deverá ser muito maior do que o período da função a ser integrada ( na prática fazemos τ ≥ 10T ) ; visualizando a integração no caso de termos uma onda quadrada como sendo a tensão de entrada: iv (t)g Iv (t) = v (t) IntegradaC g A T 3T 2 2 T 2T _It It Vmáx Vmín VE(PP) VC(PP)

• Para medirmos a constante de tempo, bastará medirmos a tensão de pico a pico de entrada, e a tensão pico a pico sobre o capacitor; como já anteriormente visto, determinamos a constante de tempo pela fórmula:

τ

= ) PP ( C ) PP ( E ) PP ( C ) PP ( E V V V V n L 2 T − + ⋅

c) ESTUDO DE ATENUADOR COMPENSADO:

Consideremos o circuito abaixo, onde queremos determinar a relação a tensão de saída Vs em função da tensão de entrada Ve :

Vs Ve Temos: Vs = Ve . 2 1 2 Z Z Z + ; sendo : Z1 = SR C 1 R SC 1 R SC 1 R 1 1 1 1 1 1 1 + = + ⋅ ; analogamente teremos: 1 C SR R Z 2 2 2

2 = ₊ ; portanto iremos ter:

Vs = Ve 1 C SR R 1 C SR R 1 C SR R 2 2 2 1 1 1 2 2 2 + + + + ⋅ ; se fizermos na expressão : R1C1 = R2C2

notaremos que o efeito capacitivo será anulado, ou seja: Vs =

2 1 2 R R R Ve + ⋅ e

a expressão se torna um divisor resistivo ; nestes condições a tensão de saída será diretamente proporcional à tensão de entrada sem nenhuma distorção; visualizando o circuito teremos:

Vs =

Ve Ve

Note que C1 com R2 forma um diferenciador, ao passo que R1 com C2 forma um integrador ; tal montagem é utilizada na prática na ponta de prova do osciloscópio, quando não se quer distorção no sinal de entrada.

PARTE EXPERIMENTAL: a) CIRCUITO DIFERENCIADOR: Monte o circuito abaixo:

Gerador de Onda Quadrada Entrada Vertical 10KpF 10KΩ

METODOLOGIA: Variar a freqüência do gerador de onda quadrada, até obter na tela do osciloscópio uma forma de onda correspondente à diferenciação da onda quadrada – OBS: Note que quanto mais baixa a freqüência, ou quanto maior o período da onda quadrada melhor será o efeito de diferenciação.

Ajustar então a varredura e o ganho do osciloscópio de modo a se obter na tela do mesmo, uma boa forma de se fazer a leitura da constante de tempo. Faça a medida conforme visto anteriormente:

Iv (t)R A - A It i

τ

i

τ

Comparar o valor teórico de

τ

, com o valor medido.

b) CIRCUITO INTEGRADOR: Monte o circuito abaixo:

Gerador de Onda Quadrada Entrada Vertical “Y” Entrada Vertical “X” 10KpF 10KΩ

METODOLOGIA: Variar a freqüência do gerador de onda quadrada, até obter na tela do osciloscópio uma forma de onda correspondente à integração da onda quadrada – OBS: Note que quanto mais alta a freqüência, ou quanto menor o período da onda quadrada melhor será o efeito de integração.

Ajustar então a varredura e o ganho do osciloscópio de modo a se obter na tela do mesmo, uma boa forma de se fazer a leitura da constante de tempo. Faça a medida conforme visto anteriormente; ou seja : Meça a tensão de pico a pico sobre o capacitor, a tensão pico a pico da onda quadrada, e ainda meça o seu período : iv (t)g Iv (t) C A T It It Vmáx Vmín VE(PP) VC(PP)

Determine

τ

pela da formula anteriormente vista:

τ

=

) PP ( C ) PP ( E ) PP ( C ) PP ( E V V V V n L 2 T − + ⋅

Comparar o valor teórico de

τ

, com o valor medido.

c) ATENUADOR COMPENSADO: Monte o circuito abaixo:

Gerador de Onda Quadrada Entrada Vertical PLAQUETA DÉCADA CAPACITIVA

METODOLOGIA: Monte o circuito acima com valores adequados de R1, R2 e C2 e um certo valor de C ajustado na Década Capacitiva;(Discuta com o professor). Variar a freqüência do gerador de onda quadrada, até obter na tela do osciloscópio uma forma de onda não quadrada, mas sim distorcida.

Vá alterando então a capacitância da Década capacitiva, até se verificar o efeito de compensação; ou seja : que sem a alteração da freqüência, mas sim pela alteração da capacitância, a forma de onda vista no osciloscópio torne a ser quadrada novamente. Quando isto ocorrer, verifique se realmente: R1C1 = R2C2

RELATÓRIO:

Apresente detalhadamente e conceitualmente, todos os passos e medidas de cada item da experiência, bem como os comentários sobre os valores obtidos experimentalmente.Comente eventuais discrepâncias