Ladrilhamentos e códigos perfeitos

CAMPINAS

Instituto de Matemática, Estatística e

Computação Científica

GABRIELLA AKEMI MIYAMOTO

Ladrilhamentos e códigos perfeitos

Campinas

2020

Ladrilhamentos e códigos perfeitos

Tese apresentada ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica da Uni-versidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Doutora em Matemática Aplicada.

Orientador: Marcelo Firer

Este exemplar corresponde à versão

final da Tese defendida pela aluna

Ga-briella Akemi Miyamoto e orientada

pelo Prof. Dr. Marcelo Firer.

Campinas

2020

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467

Miyamoto, Gabriella Akemi,

M699L MiyLadrilhamentos e códigos perfeitos / Gabriella Akemi Miyamoto. – Campinas, SP : [s.n.], 2020.

MiyOrientador: Marcelo Firer.

MiyTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Miy1. Ladrilhamento (Matemática). 2. Códigos corretores de erros (Teoria da informação). 3. Teoria da codificação. 4. Métricas sobre ordens parciais. 5. Empacotamento de esferas. I. Firer, Marcelo, 1961-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Tilings and perfect codes Palavras-chave em inglês:

Tiling (Mathematics)

Error-correcting codes (Information theory) Coding theory

Poset metrics Sphere packings

Área de concentração: Matemática Aplicada Titulação: Doutora em Matemática Aplicada Banca examinadora:

Marcelo Firer [Orientador] Cristiano Torezzan

Reginaldo Palazzo Júnior Luciano Panek

Fábio Happ Botler

Data de defesa: 26-03-2020

Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada

Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)

- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0001-8007-2722 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/7440603918937470

pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.

Prof(a). Dr(a). MARCELO FIRER

Prof(a). Dr(a). CRISTIANO TOREZZAN

Prof(a). Dr(a). REGINALDO PALAZZO JÚNIOR

Prof(a). Dr(a). LUCIANO PANEK

Prof(a). Dr(a). FÁBIO HAPP BOTLER

A Ata da Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria de Pós-Graduação do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Primeiramente, agradeço a Deus por ter me concedido saúde e energia necessá-rias para finalizar este trabalho.

Sou imensamente grata ao meu orientador Marcelo Firer pela orientação durante o doutorado e, também, por todos os ensinamentos e conversas, sejam eles sobre matemática, filmes, música, livros ou culinária.

Agradeço aos professores Cristiano Torezzan, Fábio Botler, Luciano Panek e Reginaldo Palazzo Jr. por terem aceitado o convite de participar da banca, pelos comentários e sugestões, os quais vieram agregar esta tese.

Agradeço com todo meu amor aos meus pais, Marilza e Tosimasa, e à minha irmã, Miyuke, pelo apoio durante todo este caminho. Sem vocês, sei que esse sonho não teria se concretizado.

Aos meus amigos e colegas do laboratório MDC, do Imecc, da igreja de Barão, da escalada e outros mais adquiridos durante todo este percurso. A vida é mais leve e mais alegre com vocês.

O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001 e também do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq, processo no 142460/2018-4.

pois a grande ideia é a de que, como o acaso efetivamente participa de nosso destino, um dos importantes fatores que levam ao sucesso está sob o nosso controle: o número de vezes que tentamos rebater a bola, o número de vezes que nos arriscamos, o número de oportunidades que aproveitamos. Pois até mesmo uma moeda viciada que tenda ao fracasso as vezes cairá do lado do sucesso.” (Leonard Mlodinow )

Neste trabalho, estudamos o modo de obter códigos perfeitos para métricas invariantes por translação e que respeitem o suporte de vetores (TS-métricas). A abordagem escolhida foi buscar por ladrilhamentos de Fn2, já existentes na literatura, e verificar se existe uma

TS-métrica para a qual o ladrilho básico é uma bola, originando, assim, um código perfeito. Se o ladrilho é uma bola para uma TS-métrica, dizemos que o código é TS-perfeito. Primeiramente, consideramos ladrilhamentos de Fn2, cujos ladrilhos possuem até oito

elementos (classificados na literatura) e determinamos quais destes ladrilhamentos geram códigos perfeitos. Na sequência, para os ladrilhamentos que originaram códigos perfeitos, classificamos todas as TS-métricas (a menos de equivalência) que os tornam códigos perfeitos. Construções para se obter novos códigos perfeitos a partir de códigos perfeitos já existentes são mostradas e, por último, consideramos quatro construções (duas de códigos perfeitos e duas de ladrilhamentos) presentes na literatura e determinamos quais determinam novos códigos TS-perfeitos.

In this work, we study how to obtain perfect codes for metrics that are translation-invariant and respect the support of vectors (TS-metrics). The starting point was to consider the literature about tilings of Fn2 and verify if there exists a TS-metric that turns the basic

tile into a ball, giving rise to a perfect code. We consider tilings of Fn2 where the tiles have

up to eight elements (classified in the literature) and determine which of these generates perfect codes. In the sequence, for tilings that give rise to perfect codes, we classify all TS-metrics (up to equivalence) that turn the tilings into perfect codes. Some constructions of how to obtain new perfect codes using known ones are shown and finally, we consider four constructions (two with perfect- codes and two with tilings) presented in the literature and determine which one may give rise to new TS-perfect codes.

Introdução . . . 11

1 PRELIMINARES . . . 14

1.1 TS-métricas . . . 14

1.1.1 Métricas posets . . . 16

1.1.2 Métrica combinatorial . . . 17

1.2 Códigos e códigos perfeitos . . . 18

1.3 Ladrilhos, ladrilhamentos e poliedrominós. . . 21

1.4 Concatenação de ladrilhamentos . . . 23

1.5 Ladrilhamentos e códigos perfeitos . . . 24

2 OBTENDO CÓDIGOS PERFEITOS USANDO LADRILHAMENTOS 27 2.1 Classificando ladrilhos pequenos que determinam códigos TS-perfeitos (grandes) . . . 27

2.2 Classificando ladrilhos de posto grande que determinam códigos TS-perfeitos . . . 31

2.3 _{Estendendo ladrilhamentos de F}s_{2 para F}n₂ . . . 32

2.4 Classificando as TS-métricas que tornam um ladrilhamento em um código perfeito . . . 33

3 CONSTRUÇÕES COM CÓDIGOS PERFEITOS . . . 38

3.1 Concatenação de códigos TS-perfeitos . . . 38

3.1.1 Concatenação de bolas: o caso das métricas combinatoriais . . . 45

3.2 _{Operações com códigos e ladrilhamentos: construções A, B, C e D} . 48 3.3 Ladrilhamentos de posto completo. . . 57

4 PERSPECTIVAS FUTURAS . . . 59

REFERÊNCIAS . . . 60

Introdução

O interesse primário deste trabalho é o estudo de códigos perfeitos, que podem ser definidos do seguinte modo: um código perfeito é um subconjunto de um espaço métrico para o qual existe uma constante real r, de modo que as bolas de raio r centradas nos elementos (palavras-código) do código particionam o espaço métrico, ou seja, cobrem-no e possuem interseção vazia. No contexto de códigos corretores de erros, o espaço métrico é usualmente um espaço vetorial sobre um corpo finito e a métrica mais comum é a métrica de Hamming, que simplesmente avalia o número de coordenadas distintas entre dois vetores. Neste contexto, códigos perfeitos têm sido amplamente estudados nas últimas décadas [27,34], mas, mesmo com todo o interesse que despertam, muito ainda há para se entender. Os principais resultados existentes são para códigos perfeitos binários na métrica de Hamming, que estabeleceu quais devem ser os parâmetros de um código Hamming-perfeito: os parâmetros de códigos de repetição, códigos de Hamming ou códigos de Golay [26,20]. É relevante notar que, mesmo os parâmetros dos códigos perfeitos binários sendo conhecidos, não há classificação dos códigos que realizam estes parâmetros. Considerando a métrica de Lee, outra métrica amplamente estudada, há diversos resultados acerca de códigos perfeitos [21, 22, 41], entretanto ainda não se tem uma caracterização completa dos parâmetros. A importância dos códigos perfeitos reside primariamente na condição de otimalidade imbuída na sua definição, como também pelos desafios teóricos interessantes que eles representam.

A métrica de Hamming e a métrica de Lee são as principais métricas utilizadas no contexto de códigos corretores de erros, principalmente quando se trabalha com códigos binários (caso em que ambas coincidem). Além destas, códigos perfeitos foram explorados utilizando famílias de métricas posets, uma generalização da métrica de Hamming introdu-zida em [7], as quais possuem duas propriedades interessantes: invariância por translação e a propriedade de respeitar o suporte de vetores, isso garante que, ao adicionar erros, a distância não diminui (veja uma definição precisa na Seção 1.1). Chamaremos as métricas que possuem essas duas propriedades de TS-métricas. A propriedade de ser invariante por translação é perfeitamente adequada quando se trabalha com códigos lineares. Como exemplo, o resultado de que a distância mínima de um código é igual ao seu peso mínimo depende do fato do código ser linear e a métrica invariante por translação. A propriedade de respeitar o suporte de vetores é necessária para modelar um canal no qual, em cada bit, não podemos distinguir entre erros diferentes. Por exemplo, trabalhando com o canal binário, no qual os vetores assumem apenas os valores 0 ou 1, não é possível distinguir entre trocar 0 por 1 ou 1 por 0; de modo geral, se errarmos nas posições coordenadas

de posições I Ĺ J.

No caso das métricas posets, duas abordagens foram feitas para a obtenção de códigos perfeitos: uma delas consiste em fixar uma família particular de posets (cadeia, árvore uni-raiz ou hierárquico) e classificar todos os códigos perfeitos para essa família em particular, como feito em [31, 32, 36]; outra abordagem é considerar uma família conhecida de códigos e tentar classificar todas as métricas posets que tornam o código perfeito, abordagem adotada em [29, 30] e para poset-block em [3, 9].

Os dois embasamentos acima citados não são somente para o caso das métricas posets, mas também no caso geral, quando se busca por códigos perfeitos. A ideia do nosso trabalho é encontrar novos códigos perfeitos para TS-métricas utilizando um outro caminho, partindo de ladrilhamentos. Um ladrilhamento do cubo de Hamming (espaço binário n-dimensional Fn2) é um par pD, Cq de subconjuntos de modo que as cópias de D (o

ladrilho) transladadas pelos elementos de C (o código) cobrem o espaço sem sobreposição. A proposta básica é considerar ladrilhamentos conhecidos e verificar se existe uma TS-métrica para a qual o ladrilho D seja uma bola, resultando, assim, que o subconjunto

C é um código perfeito. Essa relação entre ladrilhamentos e códigos perfeitos é expressa

na Proposição 3, um resultado muito simples, contudo é a base fundamental da nossa abordagem.

Não existem muitos resultados sobre ladrilhamentos do cubo de Hamming. Em [8], os autores caracterizaram todos os parâmetros de ladrilhamentos para ladrilhos D com até oito elementos. Neste mesmo artigo, foi apresentada uma construção para se obter novos ladrilhamentos a partir de existentes usando a concatenação de conjuntos e uma outra construção para obter-se ladrilhamentos menores a partir de existentes utilizando uma projeção. Em [14], os autores apresentaram uma nova construção de ladrilhamentos, estendendo o ladrilhamento em uma dimensão. Recentemente, foram feitas algumas construções genéricas particionando o espaço binário [23,24], mostrando, dentre outras coisas, que qualquer subconjunto D Ă Fn2 pode ser mergulhado “isometricamente”

em FN2 (para N ě n suficientemente grande) de modo a ladrilhar F

N

2 por translações. Tais

construções, porém, não foram consideradas neste trabalho, pois, para esses conjuntos, nenhuma métrica que respeite suporte pode tornar os ladrilhos bolas. Para tanto, os artigos [8] e [14] são os pontos de partida deste trabalho.

Considerando [8], verificamos que existem 193 ladrilhamentos que realizam os parâmetros de ladrilhos com até 8 elementos e estes se dividem em 15 classes de equivalência (apresentadas no Apêndice A). Considerando as classes de equivalência, verificamos para quais existe uma TS-métrica que torna os ladrilhos em bolas métricas, obtendo, assim, novos códigos perfeitos. Para estes ladrilhos e estas métricas, classificamos (a menos de equivalência) todas as TS-métricas que tornam o ladrilhamento em um código perfeito. Para as construções de novos ladrilhamentos, assumimos que os ladrilhos já existentes

são bolas e encontramos TS-métricas novas (utilizando as antigas) que tornam o ladrilho concatenado uma bola métrica.

No trabalho de [14], além da construção de novos ladrilhamentos para parâme-tros específicos, os autores sumarizam quatro construções existentes na literatura, das quais duas são construções de novos códigos perfeitos a partir de códigos perfeitos existentes e as duas outras construções de novos ladrilhamentos a partir de um ladrilhamento conhecido. Para cada uma destas construções, verificamos a existência (ou não) de TS-métricas para as quais obtemos novos códigos perfeitos. No caso das construções que tratam de códigos perfeitos, como as construções foram feitas para a métrica de Hamming (que é uma TS-métrica), buscamos por outras TS-métricas para as quais os conjuntos apresentados em [14] são códigos perfeitos. Já no caso das construções de novos ladrilhamentos, supomos que os ladrilhamentos já existentes são códigos perfeitos e verificamos se existe uma TS-métrica que torna o novo ladrilhamento um código perfeito.

Este trabalho está organizado da seguinte maneira: no Capítulo1, introduzimos todos os conceitos, definições e resultados que serão utilizados ao longo do texto, dos quais: TS-métricas (Seção1.1); códigos e códigos perfeitos (Seção1.2); ladrilhos, ladrilhamentos e poliedrominós (Seção 1.3); concatenação de ladrilhamentos (Seção 1.4) e relação de ladrilhamentos e códigos perfeitos (Seção 1.5); no Capítulo 2, obtemos novos códigos perfeitos através de ladrilhamentos: na Seção 2.1, classificamos todos os ladrilhos pequenos (de até oito elementos) e buscamos por TS-métricas que tornam estes ladrilhos bolas, obtendo, assim, novos códigos perfeitos; na Seção 2.2, consideramos um resultado provado em [8] para ladrilhos de posto grande e verificamos sob quais condições tal ladrilho é uma bola; na Seção 2.3, construímos o processo para extensão de ladrilhamentos de um espaço de dimensão s para dimensão n ě s; na Seção 2.4, classificamos todas as TS-métricas que tornam um ladrilhamento em um código perfeito; no Capítulo 3, tratamos de construções com códigos perfeitos: na Seção 3.1, utilizamos as concatenações de ladrilhamentos, dadas em [8], para obter novos códigos perfeitos através da concatenação de códigos perfeitos já existentes, e, em alguns casos, para famílias de métricas particulares (como a métrica combinatorial, na Subseção 3.1.1); na Seção 3.2, utilizamos as quatro construções apresentadas em [14] e verificamos quais delas geram códigos perfeitos para alguma TS-métrica e, finalmente, na Seção 3.3, tratamos de um tipo especial de ladrilhamentos, os de posto completo.

1 Preliminares

Neste capítulo, introduziremos os conceitos básicos, definições e notações que serão utilizadas durante o decorrer deste trabalho: métricas invariantes por translação e que respeitam suporte (TS-métricas), juntamente com duas famílias conhecidas de TS-métricas (poset e combinatorial) na Seção 1.1; códigos perfeitos e códigos TS-perfeitos (Seção1.2);

ladrilhamentos de Fn2 e poliedrominós (Seção 1.3); concatenação de ladrilhamentos (Seção

1.4) e, por último, a relação entre ladrilhamentos e códigos perfeitos (Seção 1.5), em que apresentamos a relação entre ladrilhamentos e códigos perfeitos na Proposição 3.

1.1

TS-métricas

As TS-métricas satisfazem duas condições: são invariantes por translações e respeitam o suporte de vetores. Nesta seção, introduziremos estas definições juntamente com duas famílias conhecidas de TS-métricas.

Seja Fn2 o espaço vetorial n-dimensional de n-uplas sobre F2.

Uma função ω : Fn2 Ñ R é um peso, se ela satisfaz os seguintes axiomas:

1. ωpxq ě 0 para todo x P Fn2;

2. ωpxq “ 0 se e, somente se, x “ 0; 3. ωpx ` yq ď ωpxq ` ωpyq.

Uma métrica (ou distância) no conjunto Fn2 é uma função d : F

n

2ˆ F

n

2 Ñ R que

associa a cada par ordenado de elementos x, y P Fn2 um número real dpx, yq, satisfazendo

as seguintes condições:

1. dpx, xq ě 0 e dpx, yq “ 0 ô x “ y; 2. dpx, yq “ dpy, xq;

3. dpx, zq ď dpx, yq ` dpy, zq.

É imediato demonstrar que um peso ω determina uma métrica d, definindo-se

dpx, yq :“ ωpx ´ yq.

A métrica de Hamming, dada por

é um exemplo de métrica definida por peso (neste caso, o peso de Hamming), em que |X| é a cardinalidade do conjunto X.

Sejam ωH e dH o peso e a métrica de Hamming, respectivamente, a métrica

de Hamming possui duas propriedades importantes, que serão introduzidas nas próximas duas definições.

Definição 1. Uma métrica d : Fn2 ˆ F

n

2 Ñ R é invariante por translação se

dpx ` z, y ` zq “ dpx, yq, para todo x, y, z P Fn2.

É fácil ver que uma métrica é invariante por translação se, e somente se, é definida por um peso. De fato, se d é definida por um peso ω, temos que dpx ` z, y ` zq “

ωppx`zq´py`zqq “ ωpx´yq “ dpx, yq e, então, d é uma métrica invariante por translação.

Por outro lado, se d é uma métrica invariante por translação, temos que ωpxq :“ dpx, 0q é um peso, pois: i) ωpxq ě 0, já que dpx, 0q ě 0, para todo x; ii) ωpxq “ 0 ô x “ 0, pois

dpx, 0q “ 0 ô x “ 0; iii) ωpx`yq “ dpx`y, 0q “ dpx, yq ď dpx, 0q`dp0, yq “ ωpxq`ωpyq.

O suporte de um vetor x P Fn2 é o conjunto supppxq :“ ti P rns; xi ‰ 0u, em

que rns :“ t1, 2, . . . , nu. Com esta notação, podemos caracterizar o peso de Hamming como ωHpxq “ |supppxq|.

Definição 2. Uma função peso ω respeita o suporte de vetores se

supppxq Ď supppyq ùñ ωpxq ď ωpyq.

O peso de Lee é um exemplo de peso que não respeita o suporte de vetores. De fato, seja x “ p2, 3, 0, 0, 0q e y “ p1, 1, 1, 0, 0q, temos que supppxq Ă supppyq, mas

ωpxq “ 4 ą 3 “ ωpyq.

Uma métrica TS (ou TS-métrica) é uma métrica que satisfaz ambas as propriedades definidas acima, ou seja, é invariante por translação e respeita o suporte de vetores.

Neste trabalho, restringiremos-nos ao caso das TS-métricas, uma restrição que é razoável porque: 1) ser invariante por translação é uma propriedade chave para a decodificação de códigos lineares; 2) respeitar o suporte de vetores é uma propriedade que é relevante em teoria de códigos (especialmente para canais binários), uma vez que isso significa que a ocorrência de erros extras não leva a uma situação melhor, no sentido de que cometer um erro na i-ésima coordenada de uma mensagem não pode ser pior do que cometer dois erros, um na i-ésima e outro na j-ésima coordenada. Para sermos mais precisos, em um modelo de canal razoável, definido por uma distribuição de probabilidade em Fn2,

com probabilidade Probpxq de ocorrência de um erro x, temos que Probpxq ě Probpyq se supppxq Ă supppyq.

O conjunto T Spnq de todas as TS-métricas de Fn2 contém duas grandes famílias

usadas como “tijolos”, das quais é possível construir cada TS-métrica (para mais detalhes, veja [35]). Estas são as famílias de métricas posets e combinatoriais que introduziremos agora.

1.1.1

Métricas posets

Na sua generalidade, o peso e a métrica poset foram introduzidos por Brualdi et al. em [7].

Seja P “ pX, ĺq um conjunto parcialmente ordenado (poset), em que ĺ é uma ordem parcial no conjunto X. Como consideramos apenas conjuntos finitos sem perda de generalidade, assumimos que X “ rns. Um ideal em um poset P “ prns, ĺq é um subconjunto não vazio I Ď rns tal que, para a P I e b P rns, se b ĺ a, então b P I. Denotamos por xAy o ideal gerado por A Ď rns. Se A “ H, então xAy “ H.

Um elemento a de um ideal I Ď rns é dito ser um elemento maximal de I, se

a ĺ b, para algum b P I, implica que b “ a.

Dizemos que b cobre a, se a ĺ b, a ‰ b e não exista nenhum outro elemento

c P rns, tal que a ĺ c ĺ b. Se b cobre a, então pa, bq é chamado de par de cobertura.

Definição 3. [7_{] O P -peso de um vetor x P F}n₂ é definido por ωPpxq :“ |xsupppxqy|,

em que |A| é a cardinalidade de A.

O P -peso claramente respeita suporte, pois A Ď B implica xAy Ď xBy. A

P -métrica em Fn2 é a distância induzida por ωP: dPpx, yq :“ ωPpx ´ yq. Dizemos que dP

é uma métrica poset.

Exemplo 1. Consideramos em rns a estrutura poset trivial prns, ĺq: dados i, j P rns,

i ĺ j ðñ i “ j, temos que, para qualquer A Ă rns, xAy “ A, de modo que dP “ dH é a

métrica de Hamming.

É possível descrever geometricamente um poset usando o diagrama de Hasse. O diagrama de Hasse de um poset P “ prns, ĺq é um grafo orientado, com conjunto de vértices em rns e cujas arestas são os pares de cobertura px, yq em P . O diagrama de Hasse é, usualmente, representado assumindo que, dado um par de cobertura px, yq com

Por exemplo, considere r5s “ t1, 2, 3, 4, 5u e o poset P , dado pelas relações não triviais P : 1 ĺ 4, 2 ĺ 4, 3 ĺ 4, 3 ĺ 5. O diagrama de Hasse de P é dado por

1 2 3

4 5

Figura 1 – Diagrama de Hasse de P “ pr5s, ĺq.

Considerando os vetores x “ 00001 e y “ 00010, temos que x ´ y “ 00011, de modo que supppx ´ yq “ t4, 5u, xsupppx ´ yqy “ t1, 2, 3, 4, 5u e dPp00001, 00010q “ 5.

Um panorama recente sobre métricas posets no contexto de códigos corretores de erros pode ser encontrado em [17].

1.1.2

Métrica combinatorial

As métricas combinatoriais foram introduzidas por Gabidulin em [19] e genera-lizam uma série de outras métricas, definidas em contexto mais restrito (como métricas de bloco e métricas b-burst). Para mais detalhes, veja [5, 15, 40] ou um breve apanhado sobre estas métricas em [16].

Seja Pn “ tA; A Ă rnsu o conjunto das partes de rns. Dizemos que uma família

A Ă Pn é uma cobertura de um subconjunto X Ă rns se X Ă

ď

APA

A.

Definição 4. [19] Seja F uma cobertura de rns. O F -peso combinatorial ωF de x “

px1, . . . , xnq P Fn2 é definido por

ωFpxq :“ mint|A|; A Ă F , A é uma cobertura de supppxqu.

A função dFpx, yq :“ ωFpx ´ yq é uma distância, que define a métrica combinatorial.

Se considerarmos F “ tt1u, t2u, . . . , tnuu, temos que ωF “ ωH, ou seja, dF é a

métrica de Hamming.

Exemplo 2. Seja a cobertura F “ tt1, 2u, t2, 3u, t4uu de r4s. Sejam x “ 1100, y “ 1011 e z “ 1101. Temos, então, que

x ´ y “ 0111, y ´ z “ 0110 e z ´ x “ 0001

de modo que

segue que

dFpx, yq “ 2 e dFpy, zq “ 1 “ dFpz, xq.

Denotamos por Ppnq e Cpnq, respectivamente, os conjuntos de todas as métricas posets e combinatoriais em Fn2. Vale notar que Ppnq e Cpnq são ambos subconjuntos de

T Spnq.

Um fato interessante de se observar é que, quando comparamos as métricas posets e combinatoriais com a métrica de Hamming, existe um aumento do peso do vetor (no caso poset) e uma diminuição do peso (no caso combinatorial). Por exemplo, sejam

x “ 11001 P F52a família F “ tt1, 2u, t3u, t4u, t5uu e o poset dado pelas relações não triviais

P : 1 ĺ 4 ĺ 5. Então, ωHpxq “ 3, ωFpxq “ 2, ωPpxq “ 4 e, assim, ωFpxq ď ωHpxq ď ωPpxq.

Em outras palavras, as métricas poset e combinatorial expandem e contraem com relação a métrica de Hamming, respectivamente.

As métricas posets e combinatoriais são, relativamente, bem entendidas, no sentido de que vários conceitos básicos da teoria de códigos (tais como identidade de MacWilliams, propriedade de extensão de MacWilliams e a estrutura de um grupo de isometrias lineares) são bem exploradas e entendidas. Apesar de o fato de que qualquer métrica em T Spnq pode ser construída a partir destas duas famílias de métricas, a composição de duas destas métricas em [35] é feita com o uso de uma família de operadores chamados “somas condicionais”. Não utilizaremos estas somas condicionais em toda a sua generalidade, mas construções particulares aparecem nas seções2.3e3.1. A diversidade das somas condicionais não permite traduzir de modo imediato para T Spnq o conhecimento acumulado sobre métricas posets e combinatorias.

1.2

Códigos e códigos perfeitos

Códigos perfeitos é um tema bastante relevante dentro da teoria de códigos e eles têm sido amplamente estudado nas últimas décadas. Apesar de toda a atenção e pesquisa sobre o tema, ainda há muito o que descobrir. Para a métrica de Hamming, temos uma completa caracterização de códigos perfeitos binários. Para a métrica de Lee, poset e poset-block, alguns resultados são conhecidos. Neste trabalho, daremos enfoque nos códigos perfeitos em TS-métricas.

A seção está organizada da seguinte maneira: primeiramente, falaremos sobre códigos em geral, enunciando as principais definições e propriedades. A seguir, adentraremos no tema principal deste trabalho: os códigos perfeitos. Para mais detalhes sobre códigos, sugerimos [28] e os “surveys” [34] e [27].

Apresentaremos todas as definições assumindo que os códigos são subconjuntos de Fn2, um contexto mais restrito que o usual, mas suficiente para este trabalho. Em outras

palavras, consideraremos apenas códigos binários, de modo que muitas vezes omitiremos o qualitativo binário.

Definição 5. Um pn, M q código C é um conjunto não vazio C Ă Fn2 com |C| “ M

elementos. Se C é um subespaço vetorial k-dimensional de Fn2, dizemos que C é um rn,

ks-código linear, e, neste caso, temos que M “ 2k. Os elementos de C são chamados de

palavras-código.

Durante todo este trabalho, sempre que falarmos de um código C, assumiremos que C é linear, ou seja, C é um subespaço vetorial de Fn2.

Dada uma métrica d de Fn2, a distância mínima dminpCq de um código C é

a mínima distância entre duas palavras-código distintas

dmin :“ mintdpx, yq; x, y P C, x ­“ yu

e a bola de raio r e centro x é

Bdpx, rq :“ ty P Fn2; dpx, yq ď ru.

O raio de empacotamento RdpCq de um pn, M q código C, relativo a métrica

d, é

RdpCq :“ maxtr P rns; Bdpx, rq X Bdpy, rq “ H, para todo x, y P C, x ­“ yu.

Em outras palavras, particionando um espaço X em bolas de raio RdpCq, temos

que não existe nenhum elemento x P X contido em duas partições (bolas) distintas.

Proposição 1. [17_{] Seja d uma métrica de F}n₂. Dado um pn, M q código C, o raio de empacotamento satisfaz as seguintes desigualdades:

Z d_minpCq ´ 1 2

^

ď RdpCq ď dminpCq ´ 1,

, em que txu é o maior inteiro menor ou igual a x.

O raio de cobertura Rd,covpCq de um código C é o raio mínimo r tal que

cada x P Fn2 pertence a uma das bolas Bdpc, rq, ou seja,

Rd,covpCq :“ mintr ě 0;

ď

cPC

Bdpc, rq “ Fn2.u

Em outras palavras, se particionarmos um conjunto X em bolas de raio

Rd,covpCq, todo elemento x P X pertencerá a união das partições.

Quando o raio de cobertura é igual ao raio de empacotamento de C, temos o seguinte tipo de código especial.

Definição 6. Seja d uma métrica em Fn2. Dizemos que um código C Ď F

n

2 é um código

d-perfeito se RdpCq “ Rd,covpCq, ou seja, se os raios de empacotamento e de cobertura

coincidem. Se tivermos r “ RdpCq “ Rd,covpCq, salientamos o raio dizendo que C é

pd, rq-perfeito.

Definição 7. Dado um subconjunto S Ď Fn2, dizemos que S é uma TS-bola se S é uma

bola para alguma TS-métrica, ou seja, S “ Bdpx, rq, para algum x P S, r ą 0 e algum

d P T Spnq. Se C é um código pd, rq-perfeito para alguma métrica d P T Spnq, dizemos que ele é um código TS-perfeito. No caso em que o raio r (ou a métrica d) não é levado em consideração, dizemos, simplesmente, que C é d-perfeito (ou r-perfeito).

Exemplo 3. Seja D “ t0000, 1000, 0100, 0010, 1100, 1010u um conjunto. Considere o poset

P1 representado pelo diagrama de Hasse

1 2

3 4

Figura 2 – Diagrama de Hasse de P1 “ pr4s, ĺq

Então, temos que D “ Bd_P1p0, 2q. Note que P1 não é o único poset que torna

D uma bola. Se considerarmos P2 dado pelo diagrama de Hasse na Figura 3, temos que

D “ Bd_P2p0, 2q.

1 2

3 4

Figura 3 – Diagrama de Hasse de P2 “ pr4s, ĺq

Observamos que não existe métrica combinatorial dF para a qual tenhamos

BdFp0, rq “ D, pois 0001 R D e, para qualquer métrica combinatorial, devemos ter

ωFp0001q “ 1. Agora, seja D1 “ D Y t0001u “ t0000, 1000, 0100, 0010, 0001, 1100, 1010u.

Dada a cobertura F “ tt1, 2u, t1, 3u, t4uu, utilizando a métrica combinatorial definida por

F , temos que D1

1.3

Ladrilhos, ladrilhamentos e poliedrominós

Estamos interessados em construir códigos perfeitos utilizando ladrilhamentos do cubo de Hamming, por isso, se faz necessário o uso de algumas definições básicas sobre ladrilhamentos e poliedrominós.

O grafo de Hamming (ou cubo de Hamming) em Fn2 é um grafo regular

cujo conjunto de vértices V e o conjunto de arestas E é dado por: V “ tx, x P Fn2u e

E “ ttx, yu, x, y P Fn2, dHpx, yq “ 1u, ou seja, dois vértices estão conectados se a distância

de Hamming entre eles é igual a 1.

Um caminho em Fn2, com ponto inicial x e ponto final y, é uma sequência de

pontos γ : x0, x1, . . . , xt, em que x “ x0, y “ xt e dHpxi, xi`1q “ 1 para todo i ă t. O comprimento de γ é t, denotado por |γ| “ t. Um caminho γ é chamado de caminho geodésico ou geodésica se é um caminho de comprimento mínimo entre os pontos inicial

e final. É fácil ver que um caminho γ de x até y é uma geodésica se, e somente se,

dHpx, yq “ |γ|.

Abaixo, ilustramos o conceito de caminho geodésico em F32.

Figura 4 – Caminho não geodésico

Figura 5 – Caminhos geodésicos

Definição 8. Um conjunto D Ď Fn2 é um poliedrominó

1

se, para todo x, y P D, existe um caminho geodésico γ Ă D (possivelmente não único) conectando x a y.

1

A definição de poliedrominó usada aqui que não pôde ser encontrada na literatura. O termo adotado é um neologismo, misturando as propriedades de um poliominó, uma construção 2-dimensional conhecida e poliedro, uma generalização de polígono para dimensões maiores. Poderíamos ter adotado o termo policubo (encontrado em [1] e [39_{]), mas achamos o termo inapropriado já que, no espaço discreto F}n₂, não existe uma generalização satisfatória de um “cubo”.

Ilustramos conjuntos em F32 que são (ou não) poliedrominós.

Figura 6 – Conjuntos que não são poliedrominós. Os pontos dos conjuntos estão destacados com .

Figura 7 – Poliedrominós. Os pontos dos conjuntos estão destacados com .

O conceito de ladrilhamento é usado em vários contextos, sendo eles contínuos e discretos, em particular em teoria de grafos (veja [2, 25, 33]). Dado um grafo G e um subgrafo H de G, um H-ladrilhamento em G é uma coleção de cópias disjuntas de vértices de H em G. Em outras palavras, G é ladrilhado (coberto) por cópias disjuntas de H, todas as cópias idênticas ou isomorfas em algum aspecto relevante. A ideia de ladrilhamento para corpos finitos é bem similar a de teoria de grafos. A definição que adotamos para o caso particular de Fn2 considera a estrutura vetorial do espaço (consideramos cópias

transladadas de um ladrilho dado), porém, considerando o cubo de Hamming como um grafo, ela coincide com a definição mais usual de um grafo (veja referência [4]).

Definição 9. [6_{] Um ladrilhamento de F}n_{2 é um par pD, Cq, em que D, C Ď F}n₂ são subconjuntos, satisfazendo ď cPC pc ` Dq “ Fn2 e pc ` Dq X pc 1 ` Dq “ H, para todo c, c1 P C, c ‰ c1.

Apesar de o fato de que os conjuntos D e C são intercambiáveis, chamaremos

D um ladrilho (ou ladrilho básico) e C como o código, já que esse é o papel que eles

irão assumir no contexto de teoria dos códigos. Se D é um poliedrominó, dizemos que pD, Cq é um poli-ladrilhamento de Fn2.

Exemplo 4. Sejam D “ t000, 100, 010, 110u e C “ t000, 111u, então pD, Cq é um

Note que somente cópias transladadas de D são consideradas, o que é razoável no contexto de TS-métricas, dado que, neste caso, todas as cópias transladadas de um ladrilho são isométricas. Além disso, como veremos posteriormente, é razoável usar poliedrominós para ladrilhar Fn2.

Já que estamos trabalhando com TS-métricas, uma translação de um poliedro-minó é também um poliedropoliedro-minó, então podemos trocar um ladrilhamento pD, Cq por um ladrilhamento pD1_{, C}1

q em que D1 “ x ` D, C1 “ x ` C e 0 P D1X C1. Assim, daqui em diante, sem perda de generalidade, assumimos que 0 P D e 0 P C.

É fácil ver que, dado um ladrilhamento pD, Cq, temos que |D| ¨ |C| “ |Fn2|.

Uma maneira trivial (e não interessante) de obter um poli-ladrilhamento é con-siderar I Ď rns com DI “ tx “ px1, . . . , xnq; xi “ 0, @i P Iu e CI “ tx “ px1, . . . , xnq; xi “

0, @i P rnszIu.

Nossa principal referência é o trabalho [8, Cohen et al., 1995] que adota uma definição diferente, mas equivalente, de ladrilhamento. Usamos a notação 2D :“ D ` D “ tx ` y; x, y P Du.

Definição 10. [8_{] O par pD, Cq é um ladrilhamento de F}n_{2 se D`C “ F}n₂ e 2DX2C “ t0u, em que ambos D e C contém o elemento 0.

Mostraremos que estas duas definições são equivalentes.

Proposição 2. As Definições 9 e 10 são equivalentes.

Demonstração. Seja pD, Cq um ladrilhamento como definido na Definição 9, isto significa que pci` Dq X pcj` Dq “ H, para todo i ‰ j. Suponha que existe 0 ‰ y P 2D X 2C, ou seja,

existem x1, x2 P D e c1, c2 P C tal que x1` x2 “ c1 ` c2. Segue que c1´ x1 “ ´c2` x2

e, como estamos considerando o caso binário, temos que c1 ` x1 “ c2 ` x2, isto é,

c1` x1 “ c2` x2 P pc1` Dq X pc2` Dq. Como c1` c2 “ y ‰ 0 e a soma é binária, obtemos

que c1 ‰ c2, ou seja, uma contradição.

A recíproca segue analogamente.

1.4

Concatenação de ladrilhamentos

Apresentamos, nesta seção, a definição de concatenação de conjuntos (ou ladrilhamentos). Ela será uma ferramenta essencial na construção de códigos perfeitos de tamanho maior no Capítulo 3 e também será explorada na Seção2.3.

Dados a “ pa1, a2, . . . , anq P Fn2 e b “ pb1, b2, . . . , bmq P Fm2 , a concatenação

A Ď Fn2 e B Ď F m 2 , o conjunto A | B “ ta | b; a P A, b P Bu Ď F n`m 2 é a concatenação dos conjuntos A e B.

O posto rankpAq de um conjunto A Ď Fn2 é a dimensão do subespaço vetorial

gerado por A, ou seja,

rankpAq “ dimpspanpAqq.

O posto de um ladrilhamento pD, Cq é o posto do ladrilho, isto é, rankpD, Cq :“ rankpDq.

Dado um ladrilhamento pD, Cq de Fn2, dizemos que pD, Cq é um ladrilhamento

de posto completo de Fn2 se spanpDq “ spanpCq “ Fn2.

Dados dois ladrilhamentos pD1, C1q e pD2, C2q de Fn2 e F

m

2 , respectivamente,

foi provado em [8] que a concatenação pD1 | D2, C1 | C2q é também um ladrilhamento, se

rankpD1q “ n e rankpD2q “ m, então rankpD1 | D2q “ n ` m.

Sejam D1 “ t0, 1u e D2 “ t10, 01, 11u, temos que, a concatenação de D1 e D2

é dada por D “ $ ’ & ’ % 010 110 001 101 011 111 , / . /

-com rankpD1q “ 1, rankpD2q “ 2 e rankpD1 | D2q “ 3.

Como veremos no Capítulo 3, se pD1, C1q e pD2, C2q geram códigos perfeitos em

Fn2 e Fm2 , respectivamente, o ladrilhamento concatenado também gera um código perfeito

em Fn`m2 .

1.5

Ladrilhamentos e códigos perfeitos

Ladrilhamentos são estudados no contexto de teoria dos grafos e o cubo de Hamming Fn2 é um caso particular de grafo. Ladrilhamentos e códigos perfeitos são dois

problemas de pesquisa relevantes e, embora distintos, estão intimamente relacionados. Nesta seção, nosso objetivo é estabelecer a relação entre estes dois objetos, que será fundamental nos resultados obtidos e mostrados nos Capítulos 2e 3, pois eles dependem, inteiramente, desta relação.

Antes de continuarmos, precisamos de algumas notações. Denote por ei o vetor

(único no espaço binário) em Fn2 tal que supppeiq “ tiu e seja β “ te1, e2, . . . , enu a base usual de Fn2.

O nosso próximo resultado é fundamental para os próximos capítulos, pois é a partir dele que traçamos o caminho para achar novos códigos perfeitos, que, no nosso caso, é feito via ladrilhamentos. Em outras palavras, demonstraremos a conexão entre estas duas estruturas distintas.

Proposição 3. Dado um ladrilhamento pD, Cq de Fn2, suponha que D “ Bdp0, rq para

algum d P T Spnq, então: 1. D é um poliedrominó;

2. C é um código pd, rq-perfeito.

Demonstração. Observamos que a primeira parte da proposição demanda que a métrica

d respeite suporte, enquanto que, na segunda parte, demanda que d seja invariante por

translação.

1. Como D é uma d-bola para alguma métrica d P T Spnq, temos que, para cada x P D, se supppyq Ď supppxq, então y P D. Precisamos provar que existe um caminho

γ : x “ x0, x1, . . . xr´1, xr “ y, em que r “ dHpx, yq, com γ contido em D.

Se supppxq Ă supppyq o problema é trivial. Em cada passo, somente adicionamos um vetor diferente da base β que está contido em supppyqzsupppxq :“ tt1, t2, . . . , tru,

ou seja, definimos xi “ xi´1` eti.

Se supppxq Ę supppyq, então, para cada ti P supppxqzsupppyq, temos que dHpy, x ` etiq “ dHpx, yq ´ 1 e dHpx, x ` etiq “ 1. Assim, escolhemos t1 P supppxqzsupppyq e

o vetor x1 “ x0` et1.

Observe que, em ambos os casos, temos x1 P D, desde que supppx1q Ă supppyq ou

supppx1q Ă supppxq com x, y P D e assumimos que D é bola de uma métrica que

respeita suporte.

Agora, procedemos como anteriormente, considerando x1 ao invés de x0. Seja x2 “

x1`et2, em que t2 P supppyqzsupppxq se supppx1q Ă supppyq e t2 P supppx1qzsupppyq.

Como em cada passo temos que dHpxi, yq ă dHpxi`1, yq, obtemos um caminho

geodésico de x para y contido em D e, portanto, D é um poliedriminó.

2. Temos que D é uma bola e como d é uma métrica invariante por translação, c ` D também é uma bola. Como o par pD, Cq é um ladrilhamento de Fn2 e c ` D é uma

bola para todo c P C, então, C é um código pd, rq-perfeito.

No caso em que as condições da proposição acima são verdadeiras, dizemos que o ladrilhamento pD, Cq determina um código TS-perfeito.

A recíproca do item 1 da Proposição 3 nem sempre é válida, isto é, dado um poliedrominó D, não podemos garantir que D será uma bola métrica. Por exemplo, considere D “ t000, 100, 110, 111u. É fácil ver que D é um poliedrominó, contudo D

não pode ser uma TS-bola, pois suppp010q Ă suppp110q, mas como 110 P D e 010 R D, temos que ωp010q ą ωp110q e, assim, não existe d P T Sp3q que torne D uma bola. Este argumento é fundamental para verificarmos quando um ladrilho (ou poliedrominó) é uma TS-bola e será explorado com mais detalhes na Seção 2.1.

Observação 1. Assumindo que d seja uma métrica que respeita suporte, temos que

Bdp0, rq é estrelada no centro 0, no sentido de que, dado x P Bdp0, rq, cada um caminho

geodésico conectando x a 0 está contido em Bdp0, rq. Como a métrica é invariante por

translação, o mesmo é verdade para cada bola métrica Bd, ou seja, cada caminho geodésico

conectando um ponto da bola ao seu centro está contido em Bd. Observe que a bola métrica

não é convexa, no sentido de que ela não é estrelada em todo o ponto, isto é, podemos ter que, dado x, y P Bdp0, rq, existe um caminho geodésico conectando x a y que não esteja

contido em Bdp0, rq. Um exemplo simples é considerar ωH e dH, sendo o peso e a métrica

de Hamming, respectivamente, então ωHpe1q “ ωHpe2q “ 1, mas o caminho geodésico

γ : e1, e1` e2, e2 não está contido em BdHp0, 1q.

Observação 2. Dado um ladrilhamento pD, Cq de Fn2, temos que |D| ¨ |C| “ |F

n

2| “ 2

n

. Dentro do nosso contexto, em que consideramos apenas códigos lineares, se k “ dimpCq, obtemos que |D| “ 2n´k, ou seja, a cardinalidade do ladrilho deve ser uma potência de 2.

Exemplo 5. Considere o código de repetição C “ t0, 1u, em que 1 “ 11 ¨ ¨ ¨ 1. Temos

que C é um código dH-perfeito (relativo a métrica de Hamming) para todo n ímpar. Se

P “ prns ĺq é qualquer poset tendo um único elemento maximal, então C é um código dP-perfeito (independentemente de n). Se assumirmos que o elemento maximal é i0 P rns,

então BdPp0, n ´ 1q “ tx P F n

2; xi0 “ 0u e BdPp1, n ´ 1q “ tx P F n

2; xi0 “ 1u são duas

bolas métricas disjuntas. É importante observar que, como já vimos, C pode ser um código pdH, rHq-perfeito e também, ser um código pdP, rPq-perfeito para uma métrica poset

diferente. Neste caso, entretanto, rH ‰ rP. No nosso exemplo do código de repetição, temos

que rH “

Z n ´ 1 2

^

, enquanto rP “ n ´ 1.

Observe que, como existe a relação entre ladrilhamentos e códigos perfeitos (quando o ladrilho D é uma bola, C é um código perfeito), não precisamos, necessariamente, buscar por um código perfeito dada uma TS-métrica d. Ao invés disso, buscamos por ladrilhamentos e verificamos para quais TS-métricas d o ladrilho D é uma bola, tornando, assim, C um código perfeito.

A partir de agora, no decorrer deste trabalho, a menos que se diga o contrário, sempre que nos referirmos a uma métrica d, estamos assumindo que d P T Spnq.

2 Obtendo códigos perfeitos usando

ladrilha-mentos

Como mencionado na Seção 1.5, dado um ladrilhamento pD, Cq, buscamos TS-métricas d, tais que D “ Bdp0, rq, tornando C um código perfeito. Pouco se sabe

sobre ladrilhamentos no cubo de Hamming Fn2. Não existe uma completa classificação

e caracterização destes ladrilhamentos. Nossa principal referência é o trabalho [8], em que os autores classificaram ladrilhos de Fn2 que são “pequenos” (e aqui pequeno significa

|D| ď 8) ou de posto completo. Observamos que, como um ladrilhamento pD, Cq satisfaz |D| ¨ |C| “ 2n por um ladrilho “pequeno”, queremos dizer um ladrilho com cardinalidade 1, 2, 4 ou 8. Este capítulo é baseado na Proposição3(relação entre ladrilhamentos e códigos perfeitos, Seção 1.5) e no trabalho de [8].

Na Seção 2.1, consideramos todas as classes de equivalência de ladrilhamentos pD, Cq, em que |D| “ 8, os quais foram caracterizados em [8, Seção 4] e determinamos quais dos ladrilhos D é bola de alguma métrica, originando, assim, um código TS-perfeito C; na Seção 2.2, apresentamos uma condição necessária e suficiente para que um ladrilhamento de posto grande (como apresentado em [8]) seja uma TS-bola; na Seção 2.3, dado um ladrilhamento pD, Cq, com D, C Ď Fm2 , mostramos como simples concatenações

resultam em ladrilhamentos pD˚_{, C}˚

q com D˚, C˚

Ď Fn`m2 , |D| “ |D ˚

| e, usando uma TS-métrica d de Fm2 que torna C um código perfeito, definimos uma métrica d

˚

em Fn`m2

faz o mesmo com C˚_{; finalmente, na Seção 2.4, classificamos todas as TS-métricas que}

tornam D uma bola, ou equivalentemente, tornam C um código perfeito.

2.1

Classificando ladrilhos pequenos que determinam códigos

TS-perfeitos (grandes)

Nesta seção, listaremos todos os ladrilhos D pequenos (|D| “ 2, 4 ou 8) que podem dar origem a TS-bolas. Começaremos fornecendo um exemplo que mostra diversas maneiras de tornar um ladrilho em uma bola métrica. A seguir, na Proposição4, exibiremos os ladrilhos com 2 ou 4 elementos e as respectivas TS-métricas que os tornam uma bola. Os ladrilhos com cardinalidade igual a 8 estão listados nas Tabelas 1, 2e3. Para cada um desses ladrilhos, fornecemos a métrica que torna C um código perfeito ou um contraexemplo que mostra que não existe TS-métrica d, tal que D “ Bdp0, rq.

Exemplo 6. Seja D₀ “ t0, e1, e2, e1` e3u um ladrilho de F32. Não existe d P T Sp3q, tal

considerarmos D1 “ t0, e1, e2, e1` e2u, este critério de exclusão (por respeito a suporte)

não se aplica e, de fato, existem TS-métricas que tornam D1 uma bola métrica. Os posets

P1, P2 e P3, representados, respectivamente, pelos diagramas de Hasse na Figura6, tornam

D1 uma bola de raio 2 e, mais ainda, estes são todas as métricas dP P P p3q que tornam

D1 uma bola métrica.

2 1 3 1 2 3 2 1 3

Figura 8 – Diagramas de Hasse de P1, P2 e P3.

Lembramos da Observação 2que, para definir um código perfeito, a cardinali-dade de um ladrilho deve ser uma potência de 2. Iniciaremos considerando as possibilicardinali-dades de ladrilhos “muito pequenos”, ou seja, ladrilhos com 21 “ 2 ou 22 “ 4 elementos.

Proposição 4. Seja B “ Bdp0, rq Ď Fn2 uma TS-bola com 2 ou 4 elementos. Então, B é

um dos seguintes conjuntos:

B1 “ t0, eiu ,

B2 “ t0, ei, ej, eku , para i, j, k distintos,

B3 “ t0, ei, ej, ei` eju , i ‰ j.

Demonstração. Dado um subconjunto I Ă rns, definimos eI :“

ÿ

iPI

ei. Se B “ Bdp0, rq é

uma bola métrica centrada em 0 para alguma métrica respeitando suporte e x P B, então, a condição de respeitar suporte garante que eI P B para cada I Ď supppxq. Segue que,

para k “ |B|, temos que k ě 2|supppxq|_{, para todo x P B. Em particular, para k “ 2, temos}

que |supppxq| ď 1 e, para k “ 4, obtemos que |supppxq| ď 2 para x P B.

Então, para k “ 2, devemos ter que 0 ‰ x P B implica x “ ei para algum

i P rns e B assemelha-se a B1.

Agora, para k “ 4, se ei ` ej P B, a condição de respeitar suporte exige

que ei, ej P B, então, temos que B se assemelha a B3. Se não existe vetor x P B com

|supppxq| “ 2, a única opção restante é |supppxq| “ 1; então, x “ ei, para algum i P rns e,

assim, temos o caso B2.

Note que, se a condição de respeitar suporte não fosse exigida, existiriam outros poliedrominós com dois ou quatro elementos. Por exemplo, D “ t0, ei, ei` ej, ei` ej` eku

Em [8_{], os autores consideram ladrilhamentos pD, Cq de F}n₂, assumindo que |D| “ 8. Em [8, Seção 4], considerando o posto do ladrilhamento (que pode ser 3, 4, 5, 6 ou 7), os autores determinam os pesos de Hamming dos oito vetores do ladrilho (na realidade 7, pois é sempre considerado que 0 P D). Os ladrilhos em si não são listados, porém, por meio de sua caracterização, é possível obter um total exato de 193 ladrilhos diferentes. Muitos destes ladrilhos, contudo, são equivalentes, podendo ser obtidos uns por meio dos outros, simplesmente permutando coordenadas (transformações que são isometrias da métrica de Hamming). Mais precisamente, dois ladrilhos D1, D2 Ď Fn2 são

ditos equivalentes se existe uma permutação σ P Sn, tal que σpD1q “ D2, em que a ação

ocorre nas coordenadas de cada elemento do ladrilho: para x “ px1, x2, . . . , xnq, temos

σpxq “ pxσp1q, xσp2q, . . . , xσpnqq. Analisando cuidadosamente cada caso e encontrando uma

permutação apropriada, é possível reduzir a lista para 15 classes de equivalência, as quais serão apresentadas na próxima proposição. A demonstração é longa (considera os 193 casos), embora seja simples, consistindo essencialmente em apresentar a permutação σ que leva cada ladrilho em um representante escolhido de classe. Por ser uma simples verificação de 193 casos, omitimos aqui esta demonstração, que é apresentada no Apêndice: a lista dos 193 ladrilhos possíveis, juntamente com a descrição de cada uma das 15 classes de equivalência dos ladrilhos e as permutações que tornam os ladrilhos equivalentes.

Proposição 5. Cada ladrilho D apresentado em [8] com |D| “ 8 é equivalente a um dos ladrilhos nas Tabelas 1, 2 e 3.

A demonstração é simples, porém longa, por isso, optamos por colocá-la no Apêndice: mostramos a lista dos 193 casos possíveis, cada um dos 15 representantes das classes de equivalência dos ladrilhos e as permutações que tornam os ladrilhos equivalentes. A proposição a seguir garante que, se quisermos determinar quais dos 193 ladrilhos apresentados em [8] gera um código TS-perfeito, é suficiente verificar somente para os 15 casos apresentados nas Tabelas 1, 2e 3.

Proposição 6. Sejam D um ladrilho e σ P Sn uma permutação de n e seja σpxq “

pxσp1q, . . . , xσpnqq. Então, D “ Bdp0, rq se, e somente se, σpDq “ Bdσp0, rq, em que dσ é a métrica determinada pelo peso ωσ, definida por ωσpxσp1q, . . . , xσpnqq :“ ωpx1, . . . , xnq.

Demonstração. A demonstração é imediata, já que dσ é, por definição, uma TS-métrica

Posto Elementos Contra-exemplo 4 0, e1, e2, e3, e4, e1` e2, e1` e3, e1 ` e2` e3 e2` e3 4 0, e1, e2, e3, e4, e1` e2, e1` e2` e3, e1` e2` e4 e1` e3 4 0, e<sub>1</sub>, e2, e3, e4, e1` e2` e3, e1` e2` e4, e1` e3` e4 e1` e2 4 0, e1, e2, e3, e4, e1` e3, e1` e2` e3, e1` e2` e4 e2` e4 5 0, e1, e2, e3, e4, e5, e1` e2` e3, e1` e2 e1` e3 5 0, e1, e2, e3, e4, e5, e1` e2` e3, e4` e5 e1` e2 5 0, e1, e2, e3, e4, e5, e1` e2` e3, e1 ` e2` e4 e1` e2 6 0, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e1` e2 ` e3 e1` e2 6 0, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e1` e2` e3 ` e4` e5` e6 e1` e2

Tabela 1 – Ladrilhos do tipo 1

A Tabela 1 contém todos os ladrilhos que nenhuma TS-métrica torna uma bola. Observamos que se D “ Bdp0, rq é uma bola para alguma TS-métrica e x P Bdp0, rq,

então y P Bdp0, rq, para todo y P Fn2, tal que supppyq Ď supppxq. Este argumento simples,

já utilizado no Exemplo 6, torna possível eliminar todos os 9 ladrilhos da Tabela 1, já que eles não satisfazem esta condição. Como um exemplo, considere o ladrilho

D “ t0, e1, e2, e3, e4, e1` e2, e1` e3, e1` e2` e3u,

que está contido na primeira linha da tabela. Note que supppe2` e3q Ă supppe1` e2` e3q,

mas e2` e3 R D, o que leva a uma contradição: se D fosse uma bola métrica, deveríamos

ter ωpe2` e3q ď ωpe1` e2` e3q. Em cada linha da tabela, na última coluna, apresentamos

um vetor que mostrará uma contradição similar, como mostrado no exemplo.

Ladrilho Posto Elementos Raio Relações não triviais do poset

D3

1 3 0, e1, e2, e3, e1`e2, e1`e3, e2`e3, e1`e2`e3 3 P1: 1ĺ2ĺ3,

D7

1 7 0, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 1 –

Tabela 2 – Ladrilhos do tipo 2

Ladrilho Posto Elementos Raio Métrica combinatorial

D14 4 0, e1, e2, e3, e4, e1` e2, e1` e3, e1` e4 1 F1“ tt1, 2u, t1, 3u, t1, 4uu D<sub>2</sub>4 4 0, e1, e2, e3, e4, e1` e2, e1` e3, e2` e3 1 F2“ tt1, 2u, t1, 3u, t2, 3u, t4uu D₁5 5 0, e1, e2, e3, e4, e5, e1` e2, e1` e3 1 F3“ tt1, 2u, t1, 3u, t4u, t5uu D6

1 6 0, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e1` e2 1 F4“ tt1, 2u, t3u, t4u, t5u, t6uu

Tabela 3 – Ladrilhos do tipo 3

Os 6 ladrilhos restantes estão contidos nas Tabelas 2e 3. Eles estão denotados por Ds_j, em que s “ rankpDjq e j são simplesmente um índice de contagem. Estes seis

ladrilhos geram códigos perfeitos já que os ladrilhos básicos são, de fato, bolas de uma TS-métrica: os ladrilhos na Tabela 2 são bolas de alguma métrica poset, enquanto que os ladrilhos na Tabela 3 são bolas para métricas combinatoriais. A demonstração deste fato é apenas a verificação de que a estrutura poset ou de cobertura apresentadas na última coluna de cada tabela torna o ladrilho uma bola de raio r, em que r é apresentado

na penúltima coluna. Ressaltamos que podem existir outras TS-métricas que tornam os ladrilhos contidos nas Tabelas 2 e 3em bolas, assim como discutido no Exemplo 3.

Como uma consequência, temos que:

Teorema 1. Um ladrilho D Ď Fs2 de posto s, s “ 3, 4, 5, 6 ou 7 e cardinalidade 8 é

uma bola métrica de alguma TS-métrica se, e somente se, é equivalente a algum ladrilho apresentado nas Tabelas 2 ou 3.

Devido a Proposição 3, o Teorema 1 sobre ladrilhamentos pode ser escrito novamente como um resultado sobre a existência de códigos perfeitos.

Teorema 2. Dado um ladrilhamento pD, Cq de Fs2, em que D possui posto s, s “ 3, 4, 5, 6

ou 7 e cardinalidade 8, o código C é um código TS-perfeito se, e somente se, D é equivalente a algum ladrilho apresentado na Tabela 2 ou na Tabela 3.

Demonstração. Segue diretamente do Teorema 1e da Proposição 3.

Observação 3. Os ladrilhos D listados nas Tabelas 2 e 3 são considerados como subcon-juntos de Fs2, em que s “ rankpDq. Na Seção 2.3, mostraremos um processo de extensão

para Fn2, n ě s.

2.2

Classificando ladrilhos de posto grande que determinam

códi-gos TS-perfeitos

Na seção anterior, apresentamos ladrilhos pequenos do espaço binário. Apesar de o fato de que os ladrilhos possuíam posto completo em sua dimensão s, o posto, geralmente, era pequeno, já que rankpDq ď |D|´1. Agora, daremos uma condição necessária e suficiente para um ladrilho de posto n e cardinalidade n ` 2 determinar um código TS-perfeito. Para isso, usamos a proposição provada em [8, Proposição 4.5] que afirma que um conjunto

Dnpxq “ tei; i P rnsu Y t0, xu, para algum x P Fn2 com ωHpxq ě 2, é um ladrilho se, e

somente se, ωHpxq R tn ´ 1, n ´ 2u. Determinamos uma condição necessária e suficiente

para que Dn defina um código TS-perfeito.

Proposição 7. Suponha que pDnpxq, Cnpxqq é um ladrilhamento de Fn2. Então, existe uma

TS-métrica que o torna um código perfeito se, e somente se, ωHpxq “ 2.

Demonstração. Se ωHpxq ą 2, então Dnpxq não pode ser uma bola em uma métrica

que respeita suporte, já que, neste caso, existiria algum subconjunto A Ď supppxq com 1 ă |A| ă ωHpxq e o vetor xA:“

ÿ

iPA

Para ωHpxq “ 2, temos que x “ ej ` ek, para algum j ‰ k. Definindo

F “ ttiu; i P rnsu Y tj, ku, temos que Dnpxq “ BdFp0, 1q e, pela Proposição3, segue que

pDnpxq, Cnpxqq é um código dF-perfeito.

2.3

_{Estendendo ladrilhamentos de F}

_{para F}

Na Seção 2.1_{, consideramos ladrilhamentos pD, Cq de F}s₂, em que s “ rankpDq. Como Fs2 pode ser visto como um subespaço linear de F

n

2, para n ě s, podemos

estendê-lo em um ladrilhamento pD˚_{, C}˚

q de Fn2. Denote por 0l o elemento nulo de Fl2 e seja

D˚

“ D | 0n´s e C˚ “ C | Fn´s2 . Como pode ser encontrado em [8], temos que pD ˚_{, C}˚

q é um ladrilhamento de Fn2. Observamos que, já que estamos concatenando D com o

espaço nulo, a cardinalidade e o posto de D˚ _{são os mesmos que os de D (|D}˚

| “ |D| e rankpD˚

q “ rankpDq). Vista como construção de código, esta não é uma situação muito interessante. Na Seção 3, todavia, apresentaremos algumas concatenações não-triviais. Por esta razão, veremos aqui que uma TS-métrica d que torna pD, Cq em um código perfeito pode ser estendida para fazer o mesmo no código concatenado, ou seja, podemos estendê-la para uma TS-métrica d˚ _{que torna D}˚ _{uma bola métrica B}

d˚p0, rq em Fn₂.

Teorema 3. Dado D “ Bdp0, rq, d P T Spsq e n ě s, existe d˚ P T Spnq, tal que

D˚

“ Bd˚p0, rq.

Demonstração. Dado um peso ω em Fs2, seja M pωq “ maxtωpxq; x P Du. Defina, para

x P Fn2, n ě s, ωn,spxq “ $ & % ωpxq se supppxq Ď rss M pωq ` 1 caso contrário.

Não é difícil ver que ωn,spxq é um peso. Sejam d e dn,s as métricas determinadas

por ω e ωn,s, respectivamente. É fácil ver que d respeita o suporte de vetores se, e somente

se, dn,s respeita suporte. Além disso,

Bdn,sp0, rq “ Bdp0, rq | t0n´su

para cada r ď M pωq. Em outras palavras, se pD, Cq determina um código TS-perfeito, então pD˚_{, C}˚

q também o faz.

Exemplo 7. Considere o ladrilho D “ t0000, 1000, 0100, 0010, 0001, 1100, 1010, 1001u

listado na Tabela3. Note que rankpDq “ 4 e, para C “ t0000, 1111u, temos que pD, Cq é um poli-ladrilhamento de F42. Mais ainda, considerando a cobertura F “ tt1, 2u, t1, 3u, t1, 4uu,

temos que D “ BdFp0, 1q.

Usando o Teorema 3, a partir de pD, Cq, obtemos a extensão pD˚_{, C}˚

q que

estendemos a bola em F42 para uma bola em F

n

2, tornando C ˚

um código perfeito de Fn2. Se

considerarmos n “ 6, temos que

D˚ “ BdFp0, 1q | 02 “ $ ’ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ ’ % 000000 000100 100000 110000 010000 101000 001000 100100 , / / / / . / / / /

-O ωn,s-peso, neste caso, é dado por

ω6,4pxq “ $ & % ωpxq se supppxq Ď r4s 1 ` 1 “ 2 caso contrário.

Note que, para todo x P F62, tal que supppxq Ę r4s, temos que ωn,spxq “ 2.

Como D é bola, temos que ωn,spxq ď 1, para todo x, tal que supppxq Ď r4s.

Por esta razão, D˚

“ Bdn,sp0, 1q.

Observação 4. Nos dois casos considerados na Tabela 2, em que as métricas foram determinadas por um poset P de rss, é possível estendê-las para uma métrica definida por um poset P˚ _{de rns, levando a uma construção mais natural, como segue: P}˚

1 é definido

pelas relações (não-triviais) 1 ĺ 2 ĺ 3 e 3 ĺ i para todo i ą 3. O poset P2˚ é definido

pelas relações (não-triviais) i ĺ j para todo i ď 7 ă j. Na verdade, estes são os conjuntos minimais de relações (não-triviais) que um poset precisa satisfazer para estender as métricas posets originais. Minimal no sentido de que outras relações podem ser adicionadas para i, j ą 3 (no caso de P1) ou i, j ą 7 (no caso de P2), mas essas são obrigatórias. Isto

fornece uma classificação de todas as extensões posets que fazem isso. No caso em que a métrica d é uma métrica combinatorial (os casos na Tabela 3), as possíveis extensões para uma métrica d˚ _{que tornem D}˚ _{uma bola métrica jamais se realizarão como uma métrica}

combinatorial, pois, considerando um peso combinatorial ωF, temos que ωFpeiq “ 1 para

todo vetor básico ei.

2.4

Classificando as TS-métricas que tornam um ladrilhamento em

um código perfeito

Nesta seção, classificamos as TS-métricas que tornam um ladrilhamento em um código perfeito (Teorema 4). Relembramos que, se pD, Cq determina um código perfeito, por definição, existe d P T S que torna D uma bola métrica. Na realidade, existem infinitas métricas (considere, por exemplo, qualquer múltiplo positivo de d). Então, quando queremos classificar todas as métricas, devemos considerar uma relação de equivalência adequada. A relação de equivalência mais natural no contexto de teoria de códigos é dizer