Aula 04 variavel aleatoria distribuicoes imprimir

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Universidade Federal de Alfenas - Instituto de Ciências Exatas

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1 _{Variável Aleatória}

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1 Variável Aleatória

2 _{Distribuições Discretas}

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Variável Aleatória

Definição

Variável aleatória é a função que associa um único número real a cada evento pertencente a uma partição do espaço amostral.

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1 Considere o experimento aleatório lançamento de 3

moedas. Seja X : número de ocorrências da face coroa.

Ω = {CCC, CKK , KCK , KKC, CCK , KCC, CKC, KKK } X Evento correspondente 0 A1= {KKK } 1 A2= {CKK , KCK , KKC} 2 A3= {CCK , KCC, CKC} 3 A4= {CCC} 5 / 36

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Associando probabilidades

1 _P(A 1) =P(X = 0) = 1 8 2 _P(A 2) =P(X = 1) = 3 8 3 _P(A 3) =P(X = 2) = 3 8 4 _P(A 4) =P(X = 3) = 1 8

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x 0 1 2 3 P(X = x ) 1 8 3 8 3 8 1 8 7 / 36

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Definição

Função de probabilidade é a função que associa a cada va-lor assumido pela variável aleatória discreta a probabilidade do evento correspondente, ou seja:

P(X = xi) =P(Ai), i = 1, 2, · · · , n

Observações:

1 _{P(X = x ) = p(x ).} 2 _{O conjunto (x}

i,p(xi)), para i = 1, · · · , n é chamado de

distribuição de probabilidades da variável aleatória X .

3

n

X

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1 _{Considere a variável aleatória X que tem função de}

probabilidade dada por P(X = j) = 1 2j, j = 1, 2, 3, · · · , n, · · · . Calcule: 1 P(X ser par) 2 P(X ≥ 3) 3 P(X ser múltiplo de 3) 9 / 36

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Definição

Seja X uma variável aleatória discreta. O valor esperado de X ou esperança matemática de X ou simplesmente média de X é definido por

E (X ) =X

i

xi· p(xi).

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1 _{Calcule o valor esperado da variável aleatória X : número}

de ocorrência da face cara no experimento aleatório lançamento de três moedas.

2 Suponha que um número seja sorteado de 1 a 10, inteiros

positivos. Seja X : o número de divisores do número sorteado. Calcule o número médio de divisores do número sorteado.

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Definição

Seja X uma variável aleatória discreta. A variância de X é ex-pressa por

VAR(X ) = E (X2) − [E (X )]2, em que E (X2_{) =}X

i

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1 _{Sejam X e Y variáveis aleatórias discretas com as}

seguintes probabilidades associadas:

x 0 1 2 P(X = x ) 1 8 6 8 1 8 y −2 −1 0 3 5 P(Y = y ) 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5

Calcule a média e a variância das variáveis aleatórias X e Y .

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Definição

Uma variável aleatória X é contínua em R se existir uma função f (x ) tal que as seguintes condições sejam satisfeitas:

1 _{f (x ) ≥ 0, ∀ x ∈ R}

2

Z ∞

−∞

f (x )dx = 1.

A função f (x ) é chamada de função densidade de probabilidade (f.d.p.)

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P(a ≤ X ≤ b) = Z b

a

f (x )dx .

(16)

Definição

Se X é uma variável aleatória contínua, então a esperança ma-temática de X é definida por

E (X ) = Z ∞

−∞

(17)

Se X é uma variável aleatória contínua, então a variância de X é definida por VAR(X ) = E (X2) − [E (X )]2, em que E (X2) = Z ∞ −∞ x2· f (x)dx. 17 / 36

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Distribuições Discretas

Sumário

1 Variável Aleatória

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Seja X uma variável aleatória cujos possíveis valores são repre-sentados por x1, x2, · · · ,xk. Dizemos que X segue o modelo

uniforme discreto se P(X = xj) =

1

k, ∀j = 1, 2, · · · , k .

Notação: X ∼ U_d[E ], em que E é o conjunto de seus valores.

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Exemplo

.

1 _{Uma rifa tem 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Uma}

pessoa tem os bilhetes consecutivos numerados de 31 a 35. Outra pessoa tem 5 bilhetes, com os números 16, 30, 48, 87 e 93. Quem tem maior possibilidade de ser

sorteado?

2 _{No experimento aleatório lançamento de um dado}

equilibrado, é observado a face que ocorreu. Seja X : Número da face voltada para cima.

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Se X ∼ Ud[E ], em que E = {x1,x2, · · · ,xk} então: E [X ] = 1 k k P i=1 xi Var [X ] = 1 k k P i=1 (xi − E[X ])2 21 / 36

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Modelo Bernoulli

Uma variável aleatória X segue o modelo Bernoulli se atribui 0 ou 1 à ocorrência de fracasso ou sucesso, respectivamente. Se p é a probabilidade de sucesso, então a função de probabilidade de uma variável aleatória com distribuição Bernoulli é expressa por

X 0 1

p_i 1 − p p

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.

1 _{Um exemplo clássico do modelo Bernoulli é o lançamento}

de uma moeda. Se a moeda for equilibrada, então P = 1 2.

2 _{Sabe-se que a eficiência de uma vacina é de 80%. Um}

grupo de três indivíduos é sorteado, dentre a população vacinada, e submetido a testes para averiguar se a imunização foi efetiva. Apresente a árvore de probabilidades para essa situação.

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Modelo Bernoulli (Valor esperado e variância)

1 _{Encontre o valor esperado e a variância de uma variável}

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Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com a mesma probabilidade de sucesso p. A variável aleatória X que conta o total de sucessos é denominada Bino-mial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é dada por P(X = x ) =n x px(1 − p)n−x, x = 0, 1, 2, · · · , n, em quen x = n! x !(n − x )!. Notação: X ∼ Binomial(n, p). 25 / 36

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Exemplo

.

1 _{Qual é a probabilidade de se obter 3 caras no lançamento}

de 5 moedas equilibradas?

2 _{Sabe-se que a eficiência de uma vacina é de 80%. Um}

grupo de três indivíduos é sorteado, dentre a população vacinada, e submetido a testes para averiguar se a imunização foi efetiva. Qual é a probabilidade de pelo menos dois indivíduos estarem imunizados?

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1 _{Três pacientes realizarão um exame para o diagnóstico de}

uma certa enfermidade. Tal exame possui somente dois resultados possíveis: positivo ou negativo. Sabe-se que apenas 10% da população apresenta essa enfermidade. Qual é a probabilidade de que:

1 Nenhum paciente tenha o resultado positivo?

2 Exatamente dois pacientes tenham o resultado negativo?

3 Pelo menos dois pacientes tenham o resultado positivo?

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Modelo Binomial (Valor esperado e variância)

Seja X ∼ Binomial(n, p).

1 _{E [X ] = np}

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Uma variável aleatória X tem distribuição Geométrica de parâ-metro p se a sua função de probabilidade tem a forma

P(X = x ) = p(1 − p)x, x = 0, 1, 2, · · · , 0 ≤ p ≤ 1.

Notação: X ∼ Geo(p).

Interpretação: Considerando p como a probabilidade de

sucesso, a variável aleatória X ∼ Geo(p) pode ser vista como o número de ensaios de Bernoulli que precedem o primeiro sucesso.

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Modelo Geométrico (Exemplo)

.

1 _{Uma linha de fabricação de um equipamento de precisão é}

interrompida ma primeira ocorrência de um defeito. A partir da manutenção, o equipamento tem probabilidade de 0,01 de apresentar defeito em um dia qualquer. Admita que o desempenho da máquina nos dias sucessivos seja independente e considere X a variável aleatória que conta o número de dias que antecedem a interrupção.

1 Qual é a probabilidade da interrupção ocorrer somente no sexto dia?

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Seja X ∼ Geo(p). 1 _{E [X ] =} 1 − p p = q p 2 _{Var [X ] =} 1 − p p2 = q p2 31 / 36

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Modelo Geométrico (Falta de memória da

geométrica)

Sejam X ∼ Geo(p) e m e n dois números inteiros positivos. Então

P(X ≥ m + n|X ≥ m) = P(X ≥ n).

Observação: O modelo geométrico é o único modelo discreto

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Uma variável aleatória X tem distribuição Poisson de parâmetro λse a sua função de probabilidade tem a forma

P(X = k ) = e

−λ_λk

k ! , em que e ≈ 2, 718281828459045

Notação: X ∼ Poisson(λ).

Interpretação: Considerando λ como o número de

ocorrências em um determinado intervalo, por meio da distribuição Poisson é possível calcular a probabilidade de k ocorrências no intervalo.

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Como encontrar λ?

1 _{Em um determinado cruzamento passam, em média, 4}

carros por minuto.

1 Se o intervalo de tempo a ser considerado no estudo for expresso em minutos, qual é o valor de λ?

2 Se o intervalo de tempo a ser considerado no estudo for expresso em horas, qual é o valor de λ?

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1 Em momentos de pico, um determinado hospital recebe,

em média, 120 pacientes por hora.

1 Qual a probabilidade do hospital receber 10 pacientes em dois minutos quaisquer seguidos do horário de pico? 2 O hospital pode atender até 3 pacientes por minuto. Qual a

probabilidade de ficarem pacientes sem atendimento imediato durante os horários de pico?

3 Qual a probabilidade de que, em um determinado minuto do horário de pico, não tenha nenhum paciente para ser atendido?

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Esperança e Variância

Seja X uma variável aleatória com distribuição Poisson com parâmetro λ.

E (X ) = λ