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A.1

Lema de Bour

Veremos agora o lema de Bour em H2 _{× IR que permite encontrar}

parˆametros naturais (s, τ ) de maneira que a m´etrica induzida se escreve da

forma ds2_{+ U}2_dτ2_{. Uma referˆencia para essa se¸c˜ao ´e [18].}

Teorema A.1 (Lema de Bour em H2_{× IR) Qualquer superf´ıcie que ´e}

invari-ante por screw motions pode ser parametrizada localmente por coordenadas naturais s, τ . Seja S uma tal superf´ıcie com l 6= 0 em H2 _{× IR. Ent˜ao existe}

uma fam´ılia a dois parˆametros F(m, l), m 6= 0, de superf´ıcies isom´etricas a S, que cont´em uma superf´ıcie de revolu¸c˜ao, dada por

m2_U2_{(s) = l}2 _{+ sinh}2_{ρ(s), (A-1)}

1 − ρ02_{(s) =} λ02sinh2ρ

l2_{+ sinh}2_{ρ + λ0}2_sinh2_ρ, (A-2)

ρ(s) = Z s m4_U2_U02 (m2_U2_{− l}2_)(m2_U2_{− l}2_{+ 1)}ds, (A-3) λ◦ ρ(s) = Z s (m2_U2_{− l}2 _{+ 1)(m}2_U2_{− l}2_{) − m}4_U2_U02 m2_U2_{− l}2 · mU m2_U2_{− l}2ds, (A-4) ψ(s, τ ) = τ m−l Z s (m2_U2_{− l}2_{+ 1)(m}2_U2_{− l}2_{) − m}4_U2_U02 m2_U2_{− l}2 · 1 mU(m2_U2_{− l}2₎ds. (A-5)

Al´em disso, dado a2 _{≤ 1, se m}2_a2 _{> l}2 _{e l}2 _{≤ 1, existe uma fam´ılia}

de screw motions isom´etricas com pitch l e curvatura de Gauss constante K = −a2_.

Prova. Superf´ıcies invariantes por screw motions em H2_{× IR s˜ao dadas por}

Imers˜oes M´ınimas e Conformes em M2_{× IR 108} X(ρ, ψ) =¡tanhρ 2cos ψ, tanh ρ 2sin ψ, λ(ρ) + lψ ¢ .

A m´etrica induzida ´e dada por

dx2 = (1 + λ02)dρ2+ 2lλ0dρdψ + (l2+ sinh2ρ)dψ2 (A-6)

Completando quadrado, temos que

dx2 _{= (1 + λ}02_)dρ2_{+ (l}2_{+ sinh}2_ρ) µ dψ2₊ 2lλ0dρdψ l2_{+ sinh}2_ρ ¶ = (1 + λ02_)dρ2_{+ (l}2_{+ sinh}2_ρ) ·µ dψ + lλ0dρ l2_{+ sinh}2_ρ ¶₂ − l2λ02dρ2 (l2_{+ sinh}2_ρ) ¸ = µ 1 + λ0₋ l2λ02 l2_{+ sinh}2_ρ ¶ dρ2_{+ (l}2_{+ sinh}2_ρ) µ dψ + lλ0dρ l2_{+ sinh}2_ρ ¶₂ = µ 1 + λ02sinh 2_ρ l2_{+ sinh}2_ρ ¶ dρ2 | {z } ds2 + (l2_{+ sinh}2_ρ) | {z } U2 µ dψ + lλ0dρ l2_{+ sinh}2_ρ ¶₂ | {z } dτ2

Assim, temos que

ds = s 1 + λ02sinh 2_ρ l2_{+ sinh}2_ρdρ (A-7) dτ = dψ + lλ0 l2_{+ sinh}2_ρdρ (A-8) Seja f : U1 −→ U2 (ρ, ψ) 7−→ ¡s(ρ, ψ), τ (ρ, ψ)¢ , a mudan¸ca da carta (ρ, ψ)

para a carta (s, τ ). Observe que ∂s

∂ρ = s 1 + λ 02_sinh2_ρ l2_{+ sinh}2_ρ e ∂s ∂ψ = 0, pois ρ n˜ao depende de ψ. Al´em disso, ∂τ ∂ρ = lλ0 l2_{+ sinh}2_ρ e ∂τ ∂ψ = 1. Assim, det Dψ = ∂s ∂ρ ∂s ∂ψ ∂τ ∂ρ ∂τ ∂ψ = s 1 + λ 02_sinh2_ρ l2_{+ sinh}2_ρ 6= 0.

Figura A.1: Difeomorfismo f : U1 → U2

Assim, pelo teorema da fun¸c˜ao inversa f ´e um difeomorfismo entre U1 e

U2 e portanto X ◦ f−1 ´e uma parametriza¸c˜ao com coordenadas locais s, τ tal

que a m´etrica induzida ´e da forma

dx2 _{= ds}2_{+ U}2_dτ2_.

Agora, estamos interessados em um f´ormula expl´ıcita de uma superf´ıcie invariante por screw motions isom´etrica a S, pelas coordenadas locais s, τ , envolvendo uma simples express˜ao em termos de U e dos parˆametros l e m conforme enunciado do teorema. Note que podemos supor U > 0, j´a que assumimos ρ > 0.

Observe que ρ n˜ao depende de τ , pois ∂ρ

∂τ = ∂ρ ∂s ∂s ∂τ |{z} =0 = 0. Portanto, λ tamb´em n˜ao depende de τ , uma vez que λ = λ(ρ). Assim ρ = ρ(s) e U = U(s).

Usando A-7, segue que

ρ02₌ µ ∂ρ ∂s ¶₂ = l2+ sinh 2_ρ l2_{+ sinh}2_{ρ + λ}02_sinh2_ρ ⇓ 1 − ρ02₌ λ02sinh2ρ l2 _{+ sinh}2_{ρ + λ}02_sinh2_ρ

o que prova a equa¸c˜ao A-2 do teorema. Note que,

Imers˜oes M´ınimas e Conformes em M2_{× IR 110} U2_dτ2 _{= (l}2_{+ sinh}2_ρ) µ dψ + lλ 0_dρ l2_{+ sinh}2_ρ ¶₂ ⇓ Udτ = ± q l2_{+ sinh}2_ρ µ dψ + ld(λ ◦ ρ) l2_{+ sinh}2_ρ ¶ Da´ı, ∂ψ ∂τ = ± U p l2_{+ sinh}2_ρ, dψ ds = − l l2_{+ sinh}2_ρ d(λ ◦ ρ) ds ∂2_ψ ∂s∂τ = ∂2_ψ ∂τ ∂s = ∂ ∂τ = µ ∂ψ ∂s ¶ = 0 ⇓ ∂ψ ∂τ n˜ao depende de s. ⇓ ±p U l2_{+ sinh}2_ρ = 1 m, m 6= 0 ⇓ m2U2 = l2+ sinh2ρ(s) (A-9)

o que prova a equa¸c˜ao A-1 do lema.

Derivando a equa¸c˜ao A-1 com respeito `a s, obtemos

2m2_UU0 _{= 2 sinh ρ(s) cosh ρ(s)ρ}0_(s) ⇓ ρ02(s) = m 4_U2_U02 sinh2ρ(s)¡1 + sinh2ρ(s)¢ = m4_U2_U02 (m2_U2_{− l}2_)(m2_U2 _{− l}2_{+ 1)} ⇓ ρ(s) = Z s m4_U2_U02 (m2_U2 _{− l}2_)(m2_U2_{− l}2_{+ 1)}ds

portanto provamos a equa¸c˜ao A-3 do lema.

A equa¸c˜ao A-4 segue diretamente de A-2 e A-3. Lembre que ∂ψ ∂τ = ± U p l2_{+ sinh}2_ρ = 1 m, e ∂ψ ∂s = − l l2_{+ sinh}2_ρ(λ ◦ ρ(s)) 0 = −l m2_U2 s (m2_U2_{− l}2_{+ 1)(m}2_U2_{− l}2_{) − m}4_U2_U02 m2_U2_{− l}2 · mU m2_U2_{− l}2 Portanto, ψ(s, τ ) = τ m−l Z s (m2_U2_{− l}2_{+ 1)(m}2_U2_{− l}2_{) − m}4_U2_U02 m2_U2_{− l}2 · 1 mU(m2_U2_{− l}2₎ds, o que prova a equa¸c˜ao A-5.

Observe que se as equa¸c˜oes A-3, A-4 e A-5 ocorrem para algum l ≥ 0,

ent˜ao elas ocorrem para qualquer ˜l no intervalo [0, l], isto porque (m2_U2_{− l}2₊

1)(m2_U2_{− l}2_{) − m}4_U2_U02 _{≥ 0. Logo encontramos uma fam´ılia F(m, l), m 6= 0,}

de superf´ıcies isom´etricas a S contendo uma superf´ıcie de revolu¸c˜ao (l = 0). Fazendo η =

Z 1

U(s)ds a m´etrica induzida fica da seguinte forma dx2 _{= U}2_(dη2_{+ dτ}2_).

Dessa forma ´e f´acil ver que a curvatura de Gauss K de uma screw motion ´e dada por

K = −U

00

U .

Note que se K = −a2_{, com 0 < a}2 _{≤ 1, ent˜ao}

Imers˜oes M´ınimas e Conformes em M2_{× IR 112}

a2 ₌ U00

U ⇒ U

00_{− a}2_{U = 0,}

cuja solu¸c˜ao ´e U(s) = cosh(as). Mais ainda, se m2_a2 _{> l}2 _{e l ≤ 1, ent˜ao}

m2_U2 _{− l}2 _{> 0 e (m}2_U2 _{− l}2_{+ 1)(m}2_U2 _{− l}2_{) − m}4_U2_U02 _{≥ 0 para qualquer}

s. Portanto, podemos definir uma superf´ıcie screw motion com curvatura

gaussiana constante dada por K = −a2_{, que satisfaz as equa¸c˜oes A-3, A-4}

e A-5.

¥

Corol´ario A.2 Seja S uma superf´ıcie screw motion com curvatura m´edia H em H2_{× IR parametrizada por coordenadas naturais s, τ . Temos que}

(i) Se 1 − 4H2 _{> 0, ent˜ao} (m2U2−l2+1)12 = √ d2_{+ 1 − 4H}2 1 − 4H2 ·cosh ¡√ 1 − 4H2_(s−s 0) ¢ + 2dH 1 − 4H2 (A-10) (ii) Se H = 1 2 (necessariamente d < 0), ent˜ao (m2U2− l2 + 1)12 = Ãr −d 2 (s − s0) !₂ −d 2_{+ 1} 2d (A-11)

(iii) Se 1 − 4H2 _{< 0 (necessariamente d}2_{+ 1 − 4H}2 _{> 0), ent˜ao}

(m2U2−l2+1)12 = √ d2_{+ 1 − 4H}2 4H2_{− 1} ·cos ¡√ 4H2_{− 1(s−s0)}¢₊ 2dH 1 − 4H2 (A-12)

Prova. Para demonstra¸c˜ao do corol´ario veja [18]. ¥

Corol´ario A.3 Quaisquer duas imers˜oes screw motions isom´etricas m´ınimas em H2_{× IR ou S}2_{× IR s˜ao associadas. Quando o espa¸co ´e H}2_{× IR, o caten´oide}

´e conjugado a um helic´oide de pitch l < 1.

Prova. De acordo com o corol´ario A.2 quaisquer duas fam´ılias de imers˜oes

screw motions isom´etricas m´ınimas em H2_{× IR deve satisfazer}

m2_U2 _{= l}2_{+ d}2 ₋d2+ 1 2 µ 1 − cosh¡2(s − s0) ¢¶ .

Cada superf´ıcie de tal fam´ılia tem o mesmo valor absoluto da fun¸c˜ao de Hopf, e ent˜ao elas s˜ao associadas. De fato, vimos que a fun¸c˜ao de Hopf ´e constante dada por

4φ = l2− d2

m2 + i 2l

m2d.

Com estas duas ´ultimas f´ormula, segue que a superf´ıcie conjugada a um

caten´oide ´e um helic´oide com pitch menor que 1. ¥