UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA CURSO DE MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
EDNER ROBERTO DE CASTRO SILVA
ENGENHARIA ECONÔMICA:
ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS SOB A PERSPECTIVA DA TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS
São Paulo 2019
UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA CURSO DE MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
EDNER ROBERTO DE CASTRO SILVA
ENGENHARIA ECONÔMICA:
ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS SOB A PERSPECTIVA DA TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS
Dissertação submetida ao Programa de Pós-graduação em Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo como exigência parcial para obtenção do título de Mestre em Educação Matemática. Orientador: Prof. Dr. Luiz Gonzaga Xavier de Barros
São Paulo 2019
Silva, Edner Roberto de Castro
Engenharia Econômica: análise de livros didáticos sob a perspectiva da teoria dos registros de representações semióticas / Edner Roberto de Castro Silva – São Paulo, 2019.
147f.
Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) –
Universidade Anhanguera de São Paulo, SP, 2019.
Orientador: Prof. Dr. Luiz Gonzaga Xavier de Barros
1. Educação Matemática. 2. Registros de Representações Semióticas. 3. Ensino e Aprendizagem. 4. Engenharia Econômica. I. Programa de Pós-graduação em Educação Matemática. II. Universidade Anhanguera de São Paulo - UNIAN.
CDD 711.75 S579e
Dissertação apresentada como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Educação Matemática, na Universidade Anhanguera de São Paulo – UNIAN, à seguinte banca examinadora:
BANCA EXAMINADORA
_____________________________________________________ Prof. Dr. Luiz Gonzaga Xavier de Barros (Presidente – Orientador)
_____________________________________________________ Prof. Dr. Diego Fogaça Carvalho (1º Titular - Externo)
_____________________________________________________ Prof. Dr. Ruy Cesar Pietropaolo (2º Titular - Interno)
Dedico este trabalho aos meus queridos e amados pais, com os quais aprendi a perceber o quão importante é adquirir conhecimento nesta curta vida terrena. À minha querida esposa e aos meus abençoados filhos, os quais sempre me apoiaram neste caminho de busca constante pelo conhecimento e pensamento crítico matemático.
“É justo e necessário quando se identifica e aprende que a pesquisa científica é uma incansável busca pela sabedoria e conhecimento”.
RESUMO
Esta dissertação é o resultado de um trabalho de pesquisa para obtenção do título de Mestre em Educação Matemática no Programa de Pós-graduação da Universidade Anhanguera de São Paulo. Trata da análise, sob a perspectiva da Teoria dos Registros de Representações Semióticas de Raymond Duval, de dois livros didáticos de Engenharia Econômica. Para orientar esta pesquisa procurou-se seguir em linhas gerais as orientações da Metodologia da Análise de Conteúdo de Laurence Bardin. Na fase de pré-análise, foram estabelecidos os índices e as categorias a serem analisados nos livros escolhidos. Efetuadas as análises, a pesquisa revelou que as representações semióticas e suas transformações cognitivas são razoavelmente utilizadas nos livros analisados, embora uma das obras tenha se destacado pelo enfoque mais didático de apresentação dos conteúdos. A conclusão final foi de que as representações semióticas e suas transformações cognitivas representam um instrumento muito útil e importante no processo de ensino e aprendizagem de Engenharia Econômica.
Palavras-chave: Educação Matemática. Ensino e Aprendizagem de Engenharia Econômica. Teoria dos Registros de Representações Semióticas. Análise de Livros Didáticos.
ABSTRACT
This dissertation is the result of a research work to obtain the Master Degree in Mathematics Education from the Graduate Program of Anhanguera University of São Paulo. It deals with the analysis, from the perspective of Raymond Duval's Theory of Semiotic Representations Registers, of two textbooks of Economic Engineering. To guide this research, we sought to follow in general the guidelines of the Laurence Bardin’s Methodology of the Content Analysis. In the pre-analysis phase, the indexes and categories to be analyzed in the chosen books were established. In the analyses, the research revealed that the semiotic representations and their cognitive transformations are reasonably used in the analyzed books, although one of them was highlighted by the more didactic approach of the presentation of the contents. The final conclusion was that semiotic representations and their cognitive transformations represent a very useful and important instrument in the process of teaching and learning of Economic Engineering.
Keywords: Mathematics Education. Economic Engineering Teaching and Learning. Theory of Semiotic Representations Registers. Textbook Analysis.
AGRADECIMENTOS
Ao Professor Doutor Luiz Gonzaga Xavier de Barros, pelo trabalho de orientação gentil, paciente e extremamente profissional, por sempre me tratar como um verdadeiro amigo, pelas aulas de Álgebra que ministrou, pela incansável vontade em ajudar e também pela parceria constante na evolução desse trabalho acadêmico.
Ao Professor e Coordenador do curso Doutor Ruy Cesar Pietropaolo pelas contribuições extremamente valiosas durante a qualificação e também durante a condução do curso.
Ao Professor Doutor Diego Fogaça Carvalho pelas contribuições valiosas dadas na qualificação e também pela gentil aceitação em participar da banca examinadora.
Ao Corpo Docente em geral da Instituição por ter transformado a minha carreira profissional de maneira bastante proveitosa.
A Anhanguera Educacional pela bolsa de estudos fornecida durante esse processo de aprendizagem tão valioso.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Ceci n’est pas une pipe ______________________________________ 17 Figura 2 - O Gráfico _________________________________________________ 18 Figura 3 - Gráfico do montante em regime de juros simples em função dos períodos. _________________________________________________________________ 31 Figura 4 - Gráfico do montante em regime de juros compostos em função dos
períodos. _________________________________________________________ 34 Figura 5 - Fluxo de caixa apresentado graficamente ________________________ 38 Figura 6 - Exemplo de um fluxo uniforme com 10 períodos. __________________ 39 Figura 7 - Fluxo de caixa uniforme ______________________________________ 40 Figura 8 - Esquema do fluxo de caixa do contrato descrito. ___________________ 41 Figura 9 - Fluxo de caixa _____________________________________________ 43 Figura 10 - Fluxo de caixa ____________________________________________ 46 Figura 11 - Fluxo de caixa ____________________________________________ 47 Figura 12 - Fluxo de caixa ____________________________________________ 48 Figura 13 - Fluxo de caixa ____________________________________________ 51 Figura 14 - Fluxo de caixa ____________________________________________ 53 Figura 15 - VPL em função da taxa de juros ______________________________ 54 Figura 16 - Montante a Juros Composto numa calculadora HP-12C ____________ 56 Figura 17 - Livro 1 __________________________________________________ 75 Figura 18 - Representação em Língua Natural do objeto Montante em Juros
Compostos ________________________________________________________ 76 Figura 19 - Representação Gráfica do objeto Montante em Juros Compostos ____ 76 Figura 20 - Representações Gráfica e Algébrica do objeto Montante em Juros
Compostos ________________________________________________________ 77 Figura 21 - Uso de Tabelas ___________________________________________ 78 Figura 22 - Representação Algébrica do objeto Montante em Juros Compostos___ 79 Figura 23 - Representação Linguagem Computacional do objeto Montante em Juros Compostos ________________________________________________________ 80 Figura 24 - Tratamento de uma representação gráfica do item Montante em Juros Compostos ________________________________________________________ 81 Figura 25 - Conversão de uma representação em língua natural para uma
representação algébrica ______________________________________________ 82 Figura 26 - Conversão de uma representação em língua natural para uma
representação gráfica. _______________________________________________ 82 Figura 27 - Conversão de uma representação gráfica para uma representação
algébrica. _________________________________________________________ 83 Figura 28 - Conversão de uma representação algébrica para uma representação de linguagem computacional _____________________________________________ 83 Figura 29 - Exemplo de uma representação em língua natural de um Fluxo de Caixa _________________________________________________________________ 84 Figura 30 - Exemplo de uma representação tabular de um Fluxo de Caixa _______ 85 Figura 31 - Exemplo de uma representação tabular de um Fluxo de Caixa _______ 85 Figura 32 - Exemplo de uma representação gráfica de um Fluxo de Caixa _______ 85 Figura 33 - Exemplo de um tratamento de uma representação tabular do item Fluxo de Caixa __________________________________________________________ 86 Figura 34 - Exemplo de um tratamento de uma representação tabular do item Fluxo de Caixa __________________________________________________________ 87
Figura 35 - Exemplo de uma representação em língua natural de um Valor Presente Líquido ___________________________________________________________ 88 Figura 36 - Exemplo de uma representação algébrica de um Valor Presente Líquido _________________________________________________________________ 89 Figura 37 - Exemplo de uma representação gráfica de um Valor Presente Líquido 89 Figura 38 - Exemplo de uma representação em linguagem computacional de um Valor Presente Líquido _______________________________________________ 90 Figura 39 - Exemplo de uma conversão de uma representação em língua natural para uma representação algébrica ______________________________________ 91 Figura 40 - Exemplo de uma conversão de uma representação em língua natural para uma representação gráfica ________________________________________ 91 Figura 41 - Exemplo de uma conversão de uma representação gráfica para uma representação algébrica ______________________________________________ 92 Figura 42 - Exemplo de uma conversão de uma representação algébrica para uma representação de linguagem computacional ______________________________ 93 Figura 43 - Livro 2 __________________________________________________ 96 Figura 44 - Evolução do objeto Montante em juros simples ___________________ 98 Figura 45 - Representação Tabular (RT) da evolução do montante em juros simples num cheque especial ________________________________________________ 99 Figura 46 - Representações em juros simples cheque especial _______________ 99 Figura 47 - Representação Algébrica do objeto Montante em Juros Compostos__ 105 Figura 48 - Evolução do objeto Montante em regime de juros compostos _______ 105 Figura 49 - Expressão para Cálculo do capital inicial (PV) ___________________ 107 Figura 50 - Expressão para cálculo da taxa de juros (i) a partir do capital inicial __ 107 Figura 51 - Expressão para cálculo do número de períodos de tempo (n) _______ 108 Figura 52 - Expressão para cálculo da taxa de juros (i) _____________________ 108 Figura 53 - Taxas de juros equivalentes ________________________________ 109 Figura 54 - Transformação de taxas nominais em taxas efetivas _____________ 109 Figura 55 - Transformação de taxas efetivas em taxas nominais _____________ 110 Figura 56 - Capitais equivalentes ______________________________________ 111 Figura 57 - Operações com taxas compostas pós-fixadas ___________________ 113 Figura 58 - Juros compostos na calculadora HP-12C ______________________ 114 Figura 59 - Tratamento RLC objeto Montante juros compostos _______________ 116 Figura 60 - Exemplo de uma conversão de uma representação em língua natural para uma representação algébrica _____________________________________ 117 Figura 61 - Exemplo de uma conversão de uma representação em língua natural para uma representação gráfica _______________________________________ 117 Figura 62 - Exemplo de uma conversão de uma representação gráfica para uma representação algébrica _____________________________________________ 118 Figura 63 - Exemplo de uma conversão de uma representação língua natural para uma representação de linguagem computacional _________________________ 119 Figura 64 - conceito VPL livro 2 _______________________________________ 121 Figura 65 - Análise do VPL livro 2 _____________________________________ 122 Figura 66 - Exemplo VPL representação RLN ____________________________ 123 Figura 67 - Solução exemplo VPL utilizando RG e RA _____________________ 124 Figura 68 - VPL TIR TIJ na representação gráfica RG ______________________ 125 Figura 69 - TIR e TIJ na representação tabular ___________________________ 125 Figura 70 - Exemplo RLN para VPL ____________________________________ 126 Figura 71 - Representação linguagem computacional RLC do VPL ___________ 126 Figura 72 - Exemplo RLN para objeto TIR _______________________________ 127
Figura 74 - TIR com RLC ____________________________________________ 129 Figura 75 - Exemplo de VPL em uma conversão de uma representação em língua natural para uma representação algébrica _______________________________ 130 Figura 76 - Exemplo de VPL em uma conversão de uma representação em língua natural para uma representação gráfica _________________________________ 131 Figura 77 - Exemplo de um VPL em uma conversão de uma representação língua natural para uma representação de linguagem computacional _______________ 131
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Montante em Juros Simples __________________________________ 36 Tabela 2 - Montante em Juros Compostos________________________________ 37 Tabela 3 - Taxas e VPL ______________________________________________ 54 Tabela 4 - Quantidade de representações semióticas do item Montante em Juros Compostos ________________________________________________________ 80 Tabela 5 - Quantidade de conversões de representações semióticas do item
Montante em Juros Compostos ________________________________________ 84 Tabela 6 - Quantidade de representações semióticas do item Fluxo de Caixa
encontradas no Livro 1 _______________________________________________ 86 Tabela 7 - Quantidade de tratamentos de representações semióticas do item Fluxo de Caixa encontrados no Livro 1. _______________________________________ 87 Tabela 8 - Quantidade de conversões entre representações semióticas do item Fluxo de Caixa. _________________________________________________________ 88 Tabela 9 - Quantidade de representações semióticas do item Valor Presente Líquido encontradas no Livro 1. ______________________________________________ 90 Tabela 10 - Quantidade de conversões entre representações semióticas do item Valor Presente Líquido do livro 1 _______________________________________ 94 Tabela 11 - Total geral representações, tratamentos e conversões livro 1 _______ 95 Tabela 12 - Representações semióticas encontradas no item montante em juros simples __________________________________________________________ 101 Tabela 13 - Conversão de uma representação em língua natural para uma
representação algébrica _____________________________________________ 101 Tabela 14 - Conversão de uma representação em língua natural para uma
representação gráfica _______________________________________________ 102 Tabela 15 - Conversão de uma representação gráfica para uma representação
algébrica _________________________________________________________ 102 Tabela 16 - Conversão de uma representação algébrica para uma representação de linguagem computacional ____________________________________________ 103 Tabela 17 - Quantidade de conversões de representações do objeto montante em juros simples _____________________________________________________ 104 Tabela 18 - Quantidade de representações semióticas do item juros compostos encontradas no Livro 2 ______________________________________________ 115 Tabela 19 - Quantidade de conversões entre representações semióticas do item Montante em juros compostos ________________________________________ 120 Tabela 20 - Quantidade de representações semióticas do item VPL ___________ 129 Tabela 21 - Quantidade de conversões entre representações semióticas do item VPL ________________________________________________________________ 133 Tabela 22 - Total geral quantidade representações, tratamentos e conversões livro 2 ________________________________________________________________ 133 Tabela 11 Total geral quantidade representações, tratamentos e conversões no livro 1 _______________________________________________________________ 134 Tabela 22 - Total geral quantidade representações, tratamentos e conversões livro 2 ________________________________________________________________ 134
Quadro 1 – Tipos de Registros ... 22 Quadro 2 - BNCC – Competência Específica 3 Habilidades Esperadas ... 25 Quadro 3 - Representações semióticas do objeto montante em regime de juros simples. ... 57 Quadro 4 - Representações semióticas do objeto montante em regime de juros compostos. ... 59 Quadro 5 - Representações semióticas do objeto fluxo de caixa ... 61 Quadro 6 - Representações semióticas do objeto valor presente. ... 62 Quadro 7 - Representações semióticas do objeto valor presente em função de i .... 63 Quadro 8 - Representações semióticas do objeto valor presente líquido. ... 63 Quadro 9 - Representações semióticas do objeto taxa interna de retorno ... 65 Quadro 10 - Ranking dos 20 melhores cursos de engenharia do Brasil ... 70 Quadro 11 - Categorização dos índices estabelecidos para a análise do item 1 – Montante em regime de juros simples ... 72 Quadro 12 - Categorização dos índices estabelecidos para a análise do item 2 – Montante em regime de juros compostos ... 72 Quadro 13 - Categorização dos índices estabelecidos para a análise do item 3 – Fluxo de caixa ... 72 Quadro 14 - Categorização dos índices estabelecidos para a análise do item 4 – Valor Presente Líquido ... 73
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO... 14
CAPÍTULO 1 - TEORIA DOS REGISTROS DAS REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS... 16
1.1 REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS... 17
1.2 REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS... 20
CAPÍTULO 2 – ENGENHARIA ECONÔMICA... 23
2.1 JUROS... 28
2.2 FLUXO DE CAIXA... 38
2.3 VALOR PRESENTE LÍQUIDO...43
2.4 ENGENHARIA ECONÔMICA E CALCULADORAS ELETRÔNICAS... 55
2.5 ENGENHARIA ECONÔMICA E REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS... 56
CAPÍTULO 3 – METODOLOGIA... 67
3.1 METODOLOGIA DA ANÁLISE DE CONTEÚDO... 67
3.2 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS... 69
CAPÍTULO 4 – ANÁLISE DOS LIVROS... 74
CONSIDERAÇÕES FINAIS... 135
Sendo docente de Ensino Superior, em cursos de Engenharia, tenho trabalhado nos últimos anos na disciplina Engenharia Econômica. Nesse trabalho tenho vivenciado as dificuldades dos estudantes em relação aos processos de ensino e de aprendizagem da Matemática Financeira, conteúdo fundamental para discussão de problemas sobre viabilidade econômica e financeira de projetos de investimentos. O ensino desse conteúdo se reveste, em geral, de uma perspectiva exclusiva como ferramenta matemática e é tomado como conceito já conhecido no ensino médio.
As dificuldades encontradas pelos estudantes me provocaram uma inquietação em procurar entender como e o porquê elas ocorrem e, também, em procurar soluções para sanar essas dificuldades.
A Base Nacional Comum Curricular (BNCC), um documento de caráter normativo que define um conjunto orgânico e progressivo de aprendizagens essenciais que todos os alunos aprendizes devem desenvolver ao longo das etapas e modalidades da educação básica, sugere, mudanças na abordagem da Matemática Financeira. Entre elas está a valorização da utilização de representações semióticas no processo de ensino e aprendizagem dessa disciplina.
Com esta pesquisa, sob a perspectiva da Teoria dos Registros de Representações Semióticas (TRSS) de Raymond Duval (1993, 1995, 2003, 2009, 2011), investiguei como o conceito matemático de alguns itens relativos à Engenharia Econômica, tais como juros, montante, fluxo de caixa, valor presente líquido, são apresentados em livros didáticos adotados em cursos de graduação em Engenharia no Brasil.
Sendo este estudo de cunho qualitativo e quantitativo, para seu desenvolvimento procurei seguir as orientações básicas estabelecidas pela Metodologia da Análise de Conteúdo de Laurence Bardin.
No Capítulo 1 são apresentados os fundamentos da Teoria dos Registros de Representações Semióticas de Raymond Duval.
No Capítulo 2 é apresentada uma pequena história da Matemática Financeira e alguns conteúdos da disciplina Engenharia Econômica relacionados à Matemática e suas representações semióticas.
No Capítulo 3 é apresentada a Metodologia da Análise de Conteúdo de Bardin (2016) e são estabelecidos os procedimentos metodológicos que orientaram a pesquisa. Nesse capítulo, também foi estabelecido o objetivo geral e específico do trabalho.
No Capítulo 4 são apresentadas as análises do livro didático escolhido juntamente com a recomendação de um livro escolhido aleatoriamente que utiliza de representações semióticas bastante diferenciadas para a disciplina engenharia econômica abordada nesse trabalho.
Com esta pesquisa pretendo contribuir para um melhor entendimento do processo de ensino e aprendizagem da Engenharia Econômica.
TEORIA DOS REGISTROS DAS REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS
Os processos de ensino e aprendizagem se dão por meio da comunicação entre pessoas ou pela interação entre o livro didático e leitor. Em ambas situações, esses processos são mediados por representações semióticas. A construção do conhecimento é inteiramente pessoal e as ferramentas semióticas podem auxiliar nessa construção. Em particular, os processos de ensino e aprendizagem da Matemática dependem necessariamente das representações semióticas, pois os objetos de estudos da Matemática são abstratos.
Para Chauí (2000), as interpretações entre concreto e abstrato relativas ao conhecimento matemático têm consequências diretas na escolha das metodologias de ensino. O entendimento superficial desses conceitos pode conduzir a condutas didáticas limitadas, trazendo prejuízos para o nível de aprendizagem. A atuação pode se desenvolver supervalorizando-se a abstração e deixando-se à margem possíveis representações dos objetos da Matemática por objetos concretos ou, em sentido contrário, baseando-se apenas nos limites do cotidiano, refutando-se os aprofundamentos teóricos desse conhecimento. Propõe-se uma classificação dos objetos de estudo da Matemática em níveis de abstração a partir da possibilidade de representa-los por objetos concretos. Com isso, a escolha dos materiais didáticos para o processo de ensino de Matemática na Educação Básica dependerá do nível de abstração do objeto em estudo. Esse processo será legitimado a partir de metodologias que abarquem a dialética entre o concreto e o abstrato. Desse modo, o conhecimento matemático, que é abstrato, passa a fazer sentido para o aprendiz transformando-se num concreto cognitivo.
Por essa razão a Teoria dos Registros de Representações Semióticas (TRRS) é de grande valia e torna-se pertinente para desenvolver pesquisas em Educação Matemática.
1.1 REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS
A Teoria dos Registros de Representações Semióticas (TRRS) se apoia na Semiótica, que é, conforme Santaella (1995), uma ciência que tem por objetivo principal a investigação de todo tipo de linguagem, entendendo-se por linguagem, tudo que possibilita a comunicação.
São considerados os criadores da Semiótica: Charles Sanders Peirce (1839 – 1914), Ferdinand de Saussure (1857 – 1913) e Gottlob Frege (1848 – 1925).
Raymond Duval adaptou as linhas gerais da Semiótica e criou a TRRS, exposta no seu livro: Semiosis et Pensée Humaine. Registres sémiotiques et appprentissages intellectuels, Bern: Peter Lang, 1995.
Para Duval (1995), um sistema semiótico é um sistema de signos e símbolos com regras próprias e que permitem a comunicação, o tratamento e a objetivação da informação.
Uma representação semiótica de um objeto é uma cópia desse objeto, ou um sinal que remeta a uma lembrança desse objeto, construída com a utilização de signos de um determinado sistema semiótico, com parâmetros de significado e de funcionamento. Todas as representações semióticas têm forma e conteúdo. Elas podem ser desenhos, tabelas, fotos, imagens, gráficos, objetos, expressões, sons. É a forma da representação semiótica que determina qual o sistema semiótico a que ela está vinculada.
Um exemplo clássico de uma representação semiótica é a pintura de 1929 do pintor surrealista belga René Magritte (1898-1967), mostrada na Figura 1, chamado “A traição das imagens”, mas que é mundialmente conhecido como Ceci n’est pas
une pipe. Magritte mostra o óbvio: ele apresenta uma representação de um cachimbo
e não um cachimbo de fato.
Figura 1 - Ceci n’est pas une pipe
Fonte: http://g1.globo.com/pop-arte/blog/yvonne-maggie/post/isto-nao-e-um-cachimbo.html, acessado em 20/02/2019.
Na Matemática, o objeto “Função de Variável Real” pode ser representado de diversas maneiras, por exemplo:
1) “A função que a cada número real associa o seu quadrado” é uma representação que utiliza a língua natural para descrevê-la.
2) “f(x) = x2” é uma representação que utiliza símbolos algébricos para
descrevê-la.
3) O "gráfico” é uma representação que utiliza símbolos gráficos para descrevê-la.
Figura 2 – O Gráfico
Fonte: Autor
Tratando especificamente do pensamento de Duval (2009), do ponto de vista cognitivo, a atividade matemática se difere das demais áreas do conhecimento devido a questões de acessibilidade. Enquanto em outras áreas é possível acessar um objeto por meio de instrumentos, na Matemática é necessária a utilização de representações semióticas.
Além da sua produção num determinado sistema semiótico, uma representação semiótica pode sofrer duas transformações cognitivas: o tratamento e a conversão.
O tratamento de uma representação semiótica é uma transformação que acontece no próprio sistema semiótico em que a representação foi produzida. A representação de um objeto é transformada em outra representação do mesmo objeto, sem mudar a sua forma ou as operações pertinentes ao objeto matemático considerado. Ou seja, uma representação é transformada em outra, mas o sistema semiótico ao qual elas se vinculam se mantém.
A conversão de uma representação semiótica se dá entre sistemas semióticos distintos. A representação de um objeto é transformada em outra representação do mesmo objeto mudando a sua forma, portanto, mudando o sistema semiótico.
Um registro de representações semióticas é um sistema semiótico que permite que as representações semióticas vinculadas a ele possam sofrer as transformações cognitivas: produção, tratamento e conversão.
É importante salientar que todo registro é um sistema semiótico, porém nem todo sistema semiótico é necessariamente um registro. Por exemplo, o código Morse é um sistema semiótico que não é um registro semiótico porque não permite tratamentos e conversões de representações semióticas vinculadas a ele.
Duval (2009) afirma que é necessária uma abordagem cognitiva semiótica no ensino da Matemática, pois o objetivo não é formar grandes matemáticos e nem instrumentalizar os alunos com conceitos que só usem no futuro, mas sim contribuir para o desenvolvimento geral de suas capacidades de raciocínio, análise e visualização, para que sejam capazes de enfrentar um mundo cada vez mais competitivo e tecnológico. A abordagem por meio de representações semióticas possibilita ao aluno compreender e autocontrolar os diversos processos matemáticos.
O autor destaca a importância das representações semióticas para a evolução do pensamento matemático e a necessidade da exploração da variedade de representações semióticas, como figuras, as notações algébricas, as representações gráficas e da língua natural, na disciplina de Matemática.
Segundo Duval (2009), os objetos matemáticos, sendo abstratos, são acessíveis somente com o apoio de suas representações semióticas e destaca dois processos cognitivos ligados a essas representações: a semiósis, apreensão ou produção de uma representação, e a noésis, apreensão conceitual de um objeto. Duval afirma ainda que a semiósis e a noésis são inseparáveis, ou seja, não há noésis sem semiósis.
De acordo com Duval (2009), um registro é considerado monofuncional se os tratamentos realizados entre as representações desse registro ocorrerem de maneira algorítmica. Caso contrário, eles são classificados como multifuncionais. Se permitirem o discurso, são classificados como discursivos. Caso contrário, são considerados não discursivos. Assim os registros de representações semióticas são classificados em quatro tipos diferentes, de acordo com sua funcionalidade e discursividade:
• Registros da língua natural (discursivos e multifuncionais) • Registros figurais (não-discursivos e multifuncionais) • Registros simbólicos (discursivos e monofuncionais) • Registros gráficos (não-discursivos e monofuncionais)
Quadro 1 – Tipos de Registros
Fonte: Autor
Para Duval (2009), a principal característica da atividade matemática se encontra na simultaneidade de mobilização de pelo menos dois registros de representação, ou na possível troca de registro a qualquer momento. Ele afirma que a compreensão em Matemática se dá quando o sujeito é capaz de coordenar ao menos dois registros de representação semiótica.
O autor supracitado ressalta que, ao passar de um registro de representação a outro, não é somente mudar de modo de tratamento, é também explicar as propriedades ou os aspectos diferentes de um mesmo objeto. Ter dois tipos de registros diferentes ajuda a fazer a distinção entre o conteúdo de uma representação com o objeto representado, pois os registros de representação não são todos de mesma natureza. (Duval, 2009)
CAPITULO 2:
ENGENHARIA ECONÔMICA
O objetivo deste capítulo é apresentar noções de Engenharia Econômica e descrever alguns itens que são importantes no processo de ensino e aprendizagem dessa disciplina, que é apresentada em cursos de graduação de Engenharia, mas que também tem suas raízes no ensino médio.
A Base Nacional Comum Curricular (BNCC),
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/a-base, descreve em sua etapa 5, competências e habilidades esperadas para a Matemática. No subitem 5.2.1., MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS NO ENSINO MÉDIO: COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS E HABILIDADES, é descrita a Competência Específica 3:
Utilizar estratégias, conceitos, definições e procedimentos matemáticos para interpretar, construir modelos e resolver problemas em diversos contextos, analisando a plausibilidade dos resultados e a adequação das soluções propostas, de modo a construir argumentação consistente.
As habilidades indicadas para o desenvolvimento dessa competência específica estão relacionadas à interpretação, construção de modelos, resolução e formulação de problemas matemáticos envolvendo noções, conceitos e procedimentos quantitativos, geométricos, estatísticos, probabilísticos, entre outros.
No caso da resolução e formulação de problemas, é importante contemplar contextos diversos relativos tanto à própria Matemática, incluindo os oriundos do desenvolvimento tecnológico, como às outras áreas do conhecimento.
Não é demais destacar que, também no Ensino Médio, os estudantes devem desenvolver e mobilizar habilidades que servirão para resolver problemas ao longo de sua vida. Por isso, as situações propostas devem ter significado real para eles. Nesse sentido, os problemas cotidianos têm papel fundamental na escola para o aprendizado e a aplicação de conceitos matemáticos, considerando que o cotidiano não se refere apenas às atividades do dia a dia dos estudantes, mas também às questões da comunidade mais ampla e do mundo do trabalho.
Deve-se ressaltar que os estudantes também precisam construir significados para os problemas próprios da Matemática.
Para Dante (1998), resolver problemas, os estudantes podem, no início, identificar os conceitos e procedimentos matemáticos necessários ou os que possam ser utilizados na chamada formulação matemática do problema. Depois disso, eles precisam aplicar esses conceitos, executar procedimentos e, ao final, compatibilizar os resultados com o problema original, comunicando a solução aos colegas por meio de argumentação consistente e linguagem adequada.
No entanto, Dante (1998), ainda afirma que a resolução de problemas pode exigir processos cognitivos diferentes. Há problemas nos quais os estudantes deverão aplicar de imediato um conceito ou um procedimento, tendo em vista que a tarefa solicitada está explícita. Há outras situações nas quais, embora essa tarefa esteja contida no enunciado, os estudantes deverão fazer algumas adaptações antes de aplicar o conceito que foi explicitado, exigindo, portanto, maior grau de interpretação. Segundo Dante (1998), há ainda, problemas cujas tarefas não estão explícitas e para as quais os estudantes deverão mobilizar seus conhecimentos e habilidades a fim de identificar conceitos e conceber um processo de resolução. Em alguns desses problemas, os estudantes precisam identificar ou construir um modelo para que possam gerar respostas adequadas. Esse processo envolve analisar os fundamentos e propriedades de modelos existentes, avaliando seu alcance e validade para o problema em foco. Essa competência específica considera esses diferentes tipos de problemas, incluindo a construção e o reconhecimento de modelos que podem ser aplicados.
Convém reiterar a justificativa do uso na BNCC da expressão “Resolver e Elaborar Problemas” em lugar de “Resolver Problemas”. Essa opção amplia e aprofunda o significado dado à resolução de problemas. A elaboração pressupõe que os estudantes investiguem outros problemas que envolvem os conceitos tratados. Sua finalidade é também promover a reflexão e o questionamento sobre o que ocorreria se algum dado fosse alterado ou se alguma condição fosse acrescentada ou retirada. Cabe ainda destacar que o uso de tecnologias possibilita aos estudantes alternativas de experiências variadas e facilitadoras de aprendizagens que reforçam a capacidade de raciocinar logicamente, formular e testar conjecturas, avaliar a validade de raciocínios e construir argumentações.
A seguir, no Quadro 2, são exibidas as habilidades esperadas da Competência Específica 3, a qual trata de Matemática Financeira:
Quadro 2 - BNCC – Competência Específica 3 Habilidades Esperadas
(EM13MAT303) Interpretar e comparar situações que envolvam juros simples com as
que envolvem juros compostos, por meio de representações gráficas ou análise de planilhas, destacando o crescimento linear ou exponencial de cada caso.
(EM13MAT304) Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais
seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
(EM13MAT305) Resolver e elaborar problemas com funções logarítmicas nos quais seja
necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como os de abalos sísmicos, pH, radioatividade, Matemática Financeira, entre outros.
Fonte: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/l, acessado em 06/07/2019.
para o Ensino Médio.
A seguir destaco a presença da Semiótica na Competência 4:
Compreender e utilizar, com flexibilidade e precisão, diferentes registros de representação matemáticos (algébrico, geométrico, estatístico, computacional etc.), na busca de solução e comunicação de resultados de problemas. (BNCC, 2019)
Isso justifica a utilização da Teoria dos Registros de Representações Semióticas nesta pesquisa para a análise, a interpretação, a investigação e a compreensão de itens relacionados à disciplina Engenharia Econômica.
Atualmente, aceita-se a ideia de que a Engenharia Econômica faz parte das ciências das decisões sobre a viabilidade de projetos econômico-financeiros. Seu embasamento teórico vem da microeconomia e finanças e seu ferramental básico provém da Matemática Financeira.
Engenharia Econômica é a área da Engenharia que estuda a aplicação da análise e da síntese econômica ou matemática às decisões de engenharia. Pode ser também definida como um corpo de conhecimentos e técnicas envolvidas na avaliação do valor de mercadorias e serviços relativamente aos custos de projetos. Ela fornece métodos que permitem tomar decisões relacionadas à economia de forma a reduzir custos e/ou maximizar benefícios para alguma organização.
Nos problemas de Engenharia Econômica considera-se que todos os pagamentos ou séries de pagamentos futuros que reembolsem uma quantia presente com juros podem ter seus valores calculados para um mesmo instante por meio de fórmulas adequadas. Assim, é possível comparar alternativas de investimento com diferentes séries prospectivas de receitas e despesas utilizando os métodos da Engenharia Econômica.
O conhecimento desta área pode ser crucial para algumas decisões, tais como:
• Decisões “make or buy”: algumas empresas precisam decidir entre comprar certa peça ou fabricá-la em suas dependências. Para isso, é necessário, por exemplo, ter noções de payback e custos envolvidos na produção;
• Decisões de investimento: para avaliar investimentos usam-se, entre outros, os conceitos de taxa de retorno;
• Comparações de alternativas: há diferentes métodos para analisar e decidir entre projetos;
• Aquisição de equipamentos: ao decidir comprar ou não equipamentos, é útil saber não somente o preço, mas as taxas de depreciação dos produtos considerados;
Considerada uma das grandes áreas da Engenharia, principalmente Engenharia de Produção, a Engenharia Econômica é composta pelas gestões econômica, de custos, de investimentos e de riscos.
Pelos comentários anteriores, percebe-se que o domínio dos conteúdos da disciplina Matemática Financeira é de extrema relevância para a Engenharia Econômica, pois observa-se que o cálculo da melhor viabilidade econômica financeira em projetos de investimento é de extrema relevância no aspecto empresarial e profissional.
Sobre Matemática Financeira, Boggiss (2015, p. 17) afirma que ela trata essencialmente do estudo do valor do dinheiro no decorrer do tempo. Ou seja, parte-se do princípio de que determinada quantia, avaliada em qualquer moeda existente e em determinada data, tem um valor financeiro diferente se estiver em qualquer outra data. Assim, o caráter objetivo da Matemática Financeira é analisar operações de caráter financeiro que envolvam entradas e saídas de dinheiro ocorridas em momentos distintos.
Esses conceitos já eram conhecidos desde a Antiguidade. Várias tábuas usadas pelos sumérios mostram que eles já tinham familiaridade com recibos, faturas, juros simples e compostos, entre outros conceitos da Matemática Financeira. No museu do Louvre são exibidas tábuas sumérias de cerca de 1.700 a.C. tratando desses assuntos.
A seguir, serão destacados alguns conceitos básicos da Matemática Financeira, fundamentais no processo de ensino e aprendizagem da disciplina Engenharia Econômica.
2.1 JUROS
O conceito de juro vem desde a época dos primeiros registros das civilizações antigas. Os primeiros indícios apontam para a Babilônia no ano 2.000 a.C., onde os juros refletiam a relação de pagamento pelo uso de sementes ou de outras conveniências emprestadas.
A taxa de juros (i) caracteriza o valor do aluguel do dinheiro por certo período de tempo, logo a taxa de juros é sempre um coeficiente que sempre se refere a determinada unidade de tempo. Podemos apresentar a taxa de juros i = Juros / Present Value (PV):
Boggiss (2015) define os juros como a remuneração do capital inicial ao longo do tempo. Dessa forma, o montante passa a ser o capital com os juros agregados, pode ser visto como uma função do tempo e fixada uma taxa de juros, o montante varia de acordo com o tempo. Por razões de ordem prática são adotados períodos de tempo, e, nesse caso, a variável tempo é visualizada como uma variável discreta.
No regime de capitalização a juros simples, o cálculo dos juros em cada período é realizado multiplicando-se a taxa de juros referente a esse período pelo valor do capital, também chamado de principal. Nos livros específicos de Matemática Financeira, costuma-se usar a sigla PV (present value = valor presente) para indicar o capital. Indicando por i, a taxa de juros referente a um período de tempo, ao final de um período, esse capital produzirá um juro J1 que se calcula pela seguinte fórmula:
J1 = PV . i
Ao final de dois períodos, esse capital produzirá um juro J2 dado por
J2 = PV . i + PV . i
Colocando-se PV.i em evidência, tem-se: = (PV . i).2
Ao final de n períodos, esse capital produzirá um juro Jn dado por:
Jn = PV . i + PV . i + ... + PV . i = (PV . i).n
De forma análoga, colocando-se PV.i em evidência, tem-se: Jn = (PV.i).n
Jn = PV . i . n
Percebe-se que no regime de capitalização a juros simples, a taxa de juros só incidesobre o capital inicial.
Exemplo 1:
Calcular o juro produzido por um capital de $100.000,00, aplicado à taxa de 9% ao mês no regime de juros simples ao final de dois meses.
Solução: Neste caso tem-se que: PV = $ 100.000,00, n = 2 e i = 9% a.m.
Lembrando que 9% = 0,09 (decimal), ao final de dois meses, o juro produzido será: J2 = ($100.000,00).(0,09).2 = ($9.000,00).2 = $18.000,00.
Costuma-se denotar o montante por FV (future value = valor futuro). Assim, no regime de capitalização a juros simples, o montante FV1, isto é, o montante ao final
de um período será:
FV1 = PV + PV . i
Colocando-se PV em evidência, tem-se: = PV . ( 1 + i )
Ao final de dois períodos, o montante FV2 será:
FV2 = FV1 + PV . i = (PV + PV . i) + PV . i = PV . ( 1 + i + i ) = PV . (1 + i.2)
E, após n períodos, o montante FVn será:
FVn = PV + PV . i . n
De forma análoga, colocando-se PV em evidência, tem-se:
Matematicamente, essa fórmula mostra que, no regime de capitalização a
juros simples, o montante FVn visto como função do tempo varia linearmente em
função do número n de períodos.
A Figura 3mostra o gráfico da função montante em regime de juros simples em função do tempo.
Figura 3 - Gráfico do montante em regime de juros simples em função dos períodos.
Fonte: Autor
Costuma-se também escrever FVn = PV . (1 + i . n). Nesse caso, o fator (1 + i
. n) é chamado de fator de capitalização no regime de juros simples após n períodos.
Exemplo 2:
Um investidor aplicou $20.000 à taxa de juros de 10% ao mês, no regime de juros simples. Calcule o montante no final do quinto mês.
Solução: PV = $20.000, i = 12% a.m. = 0,12 n = 5 meses
Assim após 5 meses o montante (FV5)será em regime de juros simples:
FVn = PV.(1 +i.n) FV5 = PV.(1 + i.5) FV5 = $20.000 . (1 + (0,12) . 5) FV5 = $20.000 . (1,6) = FV5 = $32.000
No regime de capitalização a juros compostos, o cálculo dos juros em cada período é realizado multiplicando-se a taxa de juros referente a esse período pelo valor do capital imediatamente anterior, ou seja, os juros compostos são rentabilizados cumulativamente.
Do mesmo modo, indicando por PV, o capital inicial, e por i, a taxa de juros referente a um período de tempo, ao final de um período, esse capital produzirá um juro J1 que se calcula pela seguinte fórmula:
J1 = PV . i
O montante FV1 será dado por FV1 = PV + J1 = PV + PV . i = PV . (1 + i)
Ao final de dois períodos, o montante:
FV2 = FV1 + FV1 . i = FV1. (1+i) = PV . ( 1+ i). (1 + i) = PV . (1 + i)2.
Ao final de n períodos, produzirá um montante FVn dado pela seguinte fórmula:
FVn = PV. (1 + i )n
Matematicamente, essa fórmula mostra que, no regime de capitalização a juros compostos, o montante FV, visto como função do tempo, varia exponencialmente em função do número n de períodos. O número (1 + i)ⁿ é chamado o fator de capitalização no regime de juros compostos após n períodos.
A Figura 4mostra o gráfico da função montante em regime de juros compostos em função do tempo.
Figura 4 - Gráfico do montante em regime de juros compostos em função dos períodos.
Fonte: Autor
Observamos que a curva desse gráfico se comporta de forma exponencial, observando que se inicia de um valor PV e em outro período o valor FV em função do período n, lembrando que a forma exponencial é uma característica específica para o Juros Compostos.
Exemplo 3:
Calcule o montante de uma capitalização a juros compostos, de um capital de R$ 1.000,00 a uma taxa de 4% ao mês ao final de 5 meses.
Solução:
Solução: PV = $1.000, i = 4% a.m. = 0,04 e n = 5 meses Assim após 5 meses o montante será
FV5 = PV.(1 + i )5
FV5 = $1.000 . (1 + 0,04)5
FV5 = 1.000 . 1,21665
FV5 = 1.216,65
Para efeito de comparação de juros simples e juros compostos, apresento abaixo as tabelas 1 e 2 que identificam as diferenciações do montante ao longo do período de tempo no caso de juros e no caso de juros compostos.
Tabela 1 - Montante em Juros Simples
Mês Capital inicial Juros Montante final
1 R$ 5.000,00 5000*3%=150 R$ 5.150,00 2 R$ 5.150,00 150 R$ 5.300,00 3 R$ 5.300,00 150 R$ 5.450,00 4 R$ 5.450,00 150 R$ 5.600,00 5 R$ 5.600,00 150 R$ 5.750,00 6 R$ 5.750,00 150 R$ 5.900,00 7 R$ 5.900,00 150 R$ 6.050,00 8 R$ 6.050,00 150 R$ 6.200,00 9 R$ 6.200,00 150 R$ 6.350,00 10 R$ 6.350,00 150 R$ 6.500,00 11 R$ 6.500,00 150 R$ 6.650,00 12 R$ 6.650,00 150 R$ 6.800,00 Fonte: Autor
Tabela 2 – Montante em Juros Compostos
Mês Capital inicial Juros Montante final
1 R$ 5.000,00 5000*3%=150 R$ 5.150,00 2 R$ 5.150,00 R$ 154,50 R$ 5.304,50 3 R$ 5.304,50 R$ 159,14 R$ 5.463,64 4 R$ 5.463,64 R$ 163,91 R$ 5.627,54 5 R$ 5.627,54 R$ 168,83 R$ 5.796,37 6 R$ 5.796,37 R$ 173,89 R$ 5.970,26 7 R$ 5.970,26 R$ 179,11 R$ 6.149,37 8 R$ 6.149,37 R$ 184,48 R$ 6.333,85 9 R$ 6.333,85 R$ 190,02 R$ 6.523,87 10 R$ 6.523,87 R$ 195,72 R$ 6.719,58 11 R$ 6.719,58 R$ 201,59 R$ 6.921,17 12 R$ 6.921,17 R$ 207,64 R$ 7.128,80 Fonte: Autor
Analisando as Tabelas 1 e 2, verificamos que a diferença básica entre os juros simples e compostos está na coluna dos juros, e observando que a partir do segundo mês a coluna de juros e montante final se diferenciam entre as duas tabelas.
2.2 FLUXO DE CAIXA
O fluxo de caixa é um instrumento de gestão financeira referente ao fluxo do dinheiro no caixa de uma empresa, ou seja, ao montante de dinheiro recebido e pago por uma empresa durante um período de tempo definido, algumas vezes ligado a um projeto específico. É uma das ferramentas essenciais para analisar e medir a viabilidade econômica e financeira de um projeto econômico.
Uma das maneiras mais comuns para apresentar um fluxo de caixa é por meio de um esquema no qual são mostradas as transações financeiras em um período de tempo. O tempo é representado na horizontal dividido pelo número de períodos relevantes para análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo.
Figura 5 - Fluxo de caixa apresentado graficamente
Fonte: Autor
O fluxo de caixa apresentado na Figura 5 descreve uma situação em que, fixada uma unidade monetária, no período inicial 0 foi feito um pagamento de 100 unidades, no final do período 1 foi feito um pagamento de 250 unidades, no final do período 2 foi feito realizado um recebimento de 150 unidades, no final do período 3 foi realizado um recebimento de 450 unidades, no final do período 4 foi feito um pagamento de 350 unidades e no final do período 5 foi realizado um recebimento de 300 unidades.
Um fluxo de caixa é chamado um fluxo (ou uma série) uniforme quando os períodos são fixos e os valores de entrada ou de saída permanecem constantes.
A Figura 6 mostra um fluxo uniforme com 10 períodos:
Figura 6 – Exemplo de um fluxo uniforme com 10 períodos.
Fonte: Autor
Tem-se aqui outro exemplo de um fluxo de caixa uniforme:
Figura 7 – Fluxo de caixa uniforme
Um casal decidiu fechar um contrato com uma construtora para a aquisição a prazo de uma residência que custa $300.000,00 à vista. As condições contratuais acordadas para o pagamento em parcelas foram as seguintes:
1) A taxa de juros compostos i = 5% ao mês;
2) Três parcelas intermediárias posteriores a data do contrato, sendo o valor de cada intermediária $35.000 no prazo de 6, 12, 18 meses da assinatura do contrato.
3) Prazo de 24 meses e pagamentos mensais (PMT) de $17.382,14
Fonte: Boggiss (2015, p. 93)
Essa situação pode também ser apresentada por meio do esquema do fluxo de caixa exibido na Figura 8:
Figura 8 – Esquema do fluxo de caixa do contrato descrito.
Fonte: Boggiss, 2015.
Os valores de um fluxo de caixa não podem ser somados ou subtraídos diretamente, pois eles estão em tempos distintos e podem variar com o tempo. Eles devem ser trazidos para uma mesma data, e aí ter-se-á uma equivalência que permitirá operá-los. Essa equivalência damos o nome de equivalência de capitais.
O valor presente PV (present value) significa o valor necessário na data inicial para que, considerando os juros ocorridos, se transforme no capital que se terá no futuro.
Analogamente, o valor futuro FV (future value) será o valor em que se transformará o capital inicial após os juros.
Ambos estão relacionados pela fórmula FV = PV . (1 + i)n, em que i é a taxa
de juros no regime composto e n é o número de períodos considerados, ou equivalentemente:
PV = FV / (1 + i)n. Exemplo 4:
O valor futuro FV de um capital de $1.000 aplicado durante 5 meses a uma taxa de 2% ao mês será:
FV = PV.(1 + i)n
FV = (1.000) . (1,02)5
FV = 1.104,08.
Exemplo 5:
O valor presente PV de um capital que aplicado durante 12 meses a uma taxa de 2% ao mês passou a valer $1.902,36 é: PV = FV / (1 + i)n PV = (1.902,36)/(1,02)12 PV = $1.500,00.
2.3 VALOR PRESENTE LÍQUIDO
O valor presente líquido (VPL) de um fluxo é a soma de todos os valores presentes de todas as entradas e saídas do fluxo. Analogamente, o valor futuro líquido (VFL) de um fluxo é a soma de todos os valores futuros de todas entradas e saídas do fluxo.
Por exemplo, se considerarmos uma taxa de 2% ao período no fluxo apresentado na Figura 9:
Figura 9 – Fluxo de caixa
Fonte: Autor
Então o valor presente VPL será:
VPL = -X0 / (1+i)0 - X1 / (1+i)1 + X2 / (1+i)2 + X3 / (1+i)3 - X4 / (1+i)4 + X5 / (1+i)5
VPL = -100 - 250/(1,02)+ 150/(1,02)2 + 450/(1,02)3 - 350/(1,02)4 +300/(1,02)5
VPL = 171,50.
Enquanto o valor futuro VFL será:
VFL = -X0.(1+i)5 - X1.(1+i)4 + X2.(1+i)3 + X3 / (1+i)2 - X4 / (1+i)1 + X5 / (1+i)0
VFL = -100 x (1,02)5- 250 x (1,02)4 +150 x (1,02)3 + 450 x (1,02)2 – 350 x 1,02+300
VFL = 189,35
A taxa interna de retorno (TIR) é uma taxa de desconto hipotética que, quando aplicada a um fluxo de caixa, faz com que a soma dos valores das saídas, trazidos ao valor presente, seja igual à soma dos valores das entradas, também trazidos ao valor presente.
A taxa mínima de atratividade (TMA) é uma taxa de juros que representa o mínimo que um investidor se propõe a ganhar quando faz um investimento, ou o máximo que uma pessoa se propõe a pagar quando faz um financiamento.
O VPL é uma ferramenta fundamental para a tomada de decisões econômicas em projetos.
Quando o VPL é nulo, significa que o valor das saídas atualizado para data inicial é igual ao que o valor das entradas atualizado para a data inicial. Neste caso tem-se TIR = TMA, isto é, a taxa interna de retorno equivale à taxa mínima de atratividade, e, para o investidor, tanto faz aplicar o investimento no projeto ou investi-lo no mercado financeiro.
Quando o VPL é positivo, significa que o valor das saídas atualizado para data inicial é menor do que o valor das entradas atualizado para a data inicial. Neste caso tem-se TIR > TMA, isto é, a taxa interna de retorno do projeto é maior do que a taxa mínima de atratividade, e, para o investidor, é mais vantajoso investir o capital no projeto do que aplicá-lo no mercado financeiro.
Quando o VPL é negativo, significa que o valor das saídas atualizado para data inicial é maior do que o valor das entradas atualizado para a data inicial. Neste caso tem-se TIR < TMA, isto é, a taxa interna de retorno do projeto é menor do que a taxa mínima de atratividade, e, para o investidor, é mais vantajoso aplicar o capital no mercado financeiro do que investir o capital no projeto.
Exemplo 6:
Seja um projeto econômico, cujo fluxo de caixa prevê um desembolso inicial de R$ 10.000,00 e um benefício futuro de R$ 24.883,20 após 5 anos. Sabendo que a Taxa Mínima de Atratividade é de 20% ao ano, verificar a viabilidade do projeto.
Resolução: O fluxo de caixa desse projeto é apresentado na Figura 10:
Figura 10 – Fluxo de caixa
Fonte: Autor
O VPL é dado por:
VPL = -10.000 + (24.883,20)/(1 + 0,20)5
VPL = -10.000 + 10.000 VPL = 0
Assim, como o VPL = 0, tanto faz investir nesse projeto econômico ou deixar o valor do investimento aplicado com rentabilidade da TMA.
24.883,20
0
1
2
3
4
5
i = 20%a.a.
10.000
Exemplo 7:
Seja um projeto econômico cujo fluxo de caixa prevê um desembolso inicial de R$ 8.000,00 e um benefício futuro de R$ 24.883,20 após 5 anos. Sabendo que a Taxa Mínima de Atratividade é de 20% ao ano, verificar a viabilidade do projeto.
Resolução: O fluxo de caixa desse projeto é apresentado na Figura 11:
Figura 11 – Fluxo de caixa
Fonte: Autor O VPL é dado por VPL = -8.000 + (24.883,20)/(1 + 0,20)5 VPL = -8.000 + 10.000 VPL = 2.000
24.883,20
0
1
2
3
4
5
i = 20%a.a.
8.000
Assim, como o VPL > 0, o investidor ficará atraído para investir nesse projeto de investimento, pois a taxa interna de retorno (TIR) é maior que a taxa mínima de atratividade (TMA), e, assim sendo, a rentabilidade do projeto é a melhor opção de investimento.
Exemplo 8:
Seja um projeto econômico cujo fluxo de caixa prevê um desembolso inicial de R$ 14.000,00 e um benefício futuro de R$ 24.883,20 após 5 anos. Sabendo que a Taxa Mínima de Atratividade é de 20% ao ano, verificar a viabilidade do projeto.
Resolução: O fluxo de caixa desse projeto pode ser visto na Figura 12:
Figura 12 – Fluxo de caixa
Fonte: Autor
24.883,20
0
1
2
3
4
5
i = 20%a.a.
14.000
O VPL é dado por
VPL = -14.000 + (24.883,20)/(1 + 0,20)5
VPL = -14.000 + 10.000 VPL = - 4.000
Assim, como o VPL < 0, o investidor ficará atraído para investir no mercado financeiro, pois a taxa interna de retorno (TIR) é menor que a taxa mínima de atratividade (TMA) e, assim sendo, a rentabilidade do projeto é a pior opção de investimento.
O método do VPL, caracteriza-se, essencialmente, pela transferência de todas as variações de caixa esperadas para o instante presente, descontadas à TMA, isto é, seria o transporte para a data zero de um diagrama de fluxo de caixa de todos os recebimentos e desembolsos esperados, descontados à taxa de juros considerada. Assim, fica aqui mencionado o quão importante foi compreender o valor montante de juros simples e compostos, bem como a ideia de fluxo de caixa antes de entender o real valor do VPL, pois valores de entrada de caixa e saída de caixa tem representatividade diferentes ao longo do tempo, evidentemente que, desde que se têm envolvidas no negócio receitas e despesas, entradas e saídas de caixa. Em termos de análise, serão consideradas interessantes as alternativas de ação cujos VPL’s sejam positivos ou nulos, sendo mais interessantes os de maior VPL+. Isso porque esse valor positivo representará a quantidade de dinheiro que foi ganho, em dinheiro de hoje, além da expectativa. Um VPL- para um fluxo de caixa que tenha receitas e despesas envolvidas, significará que aquele negócio possui uma remuneração aquém da expectativa, ou ainda, que aquele negócio paga aquela quantidade de dinheiro, em dinheiro de hoje, a menos do que se gostaria.
Um VPL nulo demonstrará que aquele investimento paga exatamente a TMA, portanto, também poderá ser considerado interessante. Se utilizarmos esse método para analisar projetos que envolvam apenas custos, as alternativas de ação que nos interessarão serão aquelas que nos levarão mais próximo de um custo zero.
Existem bibliografias que tratam de temas como - Análise de Alternativas Econômicas e alertam, quando temos diversas alternativas econômicas, há a necessidade de compará-las a fim de selecionarmos a mais conveniente.
Os principais métodos de análises de alternativas econômicas são:
1. Método do Valor Presente Líquido 2. Método do Valor Futuro Líquido 3. Método do Valor Uniforme Líquido 4. Método do Benefício
5. Método da Taxa Interna de Retorno 6. Método do Prazo de Retorno
Alguns livros mencionam ainda que desde que sejam tomados os devidos cuidados de uniformidade de considerações, os métodos darão os mesmos resultados. Assim sendo, passo a comentar um exemplo aplicado ao Valor Presente Líquido (VPL):
Um equipamento é comprado por $100.000,00 e guardado sem uso durante dois anos, após os quais, é vendido por $110.000,00. As despesas anuais totalizaram $5.000,00. Sendo 15%a.a. taxa mínima de atratividade, qual foi o valor presente líquido do investimento?
Resolução do problema:
Para maior clareza, façamos a representação gráfica apresentada na Figura 13:
Figura 13 – Fluxo de caixa
0 1 2 110.000
100.000
Despesa = 5.000 I = 15% a.a.
Fonte: Autor
Calculemos o valor presente líquido de todos os elementos envolvidos nesse fluxo de caixa.
VPL = -100.000 – 5.000/ (1+0,15)1 - 5.000/ (1+0,15)2 + 110.000/ (1+0,15)2
VPL = -100.000 -4.347,83 – 3.780,72 + 83.175,80 VPL = - 108.128,55 + 83.175,80
Se tivermos várias alternativas, devemos selecionar aquela que apresentar o valor mais conveniente para o problema em questão. Se o problema for escolher um equipamento, deverá ser escolhido aquele que oferecer menor custo. Se o problema for selecionar o melhor investimento, deverá ser escolhido aquele que oferecer a melhor rentabilidade.
Ambos os casos equivalem a escolher a alternativa que apresentar o maior valor presente líquido, ou seja, o maior valor algébrico, da soma de todos os valores presentes, considerando-se adotada a convenção de que qualquer dispêndio (saída de caixa) tem sinal negativo, bem como qualquer receita (entrada de caixa) tem sinal positivo.
Se escrevermos o VPL em função da taxa de juros i do projeto proposto num fluxo de caixa, poderemos desenhar a curva do VPL em função da taxa i. A taxa interna de retorno (TIR) será o valor de i onde o gráfico corta o eixo horizontal, e isso permitirá descobrir quais taxas mínimas de atratividades (TMA) são interessantes para o projeto ser viável.
Exemplo 9:
Determinar quais taxas mínimas de atratividade permitem que o um projeto econômico, cujo fluxo de caixa prevê um desembolso inicial de R$ 10.000,00 e um benefício futuro de R$ 24.883,20 após 5 anos, seja viável.
Resolução: O fluxo de caixa desse projeto pode ser visto na Figura 14:
Figura 14 – Fluxo de caixa
Fonte: Autor
E a fórmula do VPL em função da taxa de juros é
VPL = -10.000 + 24.883,20/(1+i)5
Cujo gráfico é mostrado na Figura 15 abaixo:
24.883,20
0
1
2
3
4
5
Figura 15 – VPL em função da taxa de juros
Fonte: Autor
A partir desse gráfico podemos construir a Tabela 3:
Tabela 3 – Taxas e VPL Taxa VPL 0 14.880 5 9.494 10 5.448 15 2.369 20 0 25 -1.847 Fonte: Autor VPL em função da taxa i VPL 14.880 9.494 5.448
TIR (Taxa Interna Retorno) 2.369
0 5 10 15 20 25 taxa % i
Para i = 20%, o VPL = 0. Conclui-se a TIR vale 20% e, portanto, o projeto é viável para TMA menor que 20% ao ano.
2.4 ENGENHARIA ECONÔMICA E CALCULADORAS ELETRÔNICAS
Com o avanço da tecnologia, novas ferramentas têm sido incorporadas aos cálculos referentes aos itens da Engenharia Econômica. Um exemplo disso, é a calculadora HP-12C, muito utilizada por profissionais da área de Economia e Finanças.
A HP-12C não possui uma das principais teclas de calculadoras algébricas comuns, que é a tecla de igualdade. A inexistência dessa tecla faz com que a HP-12C operacionalize com uma lógica matemática diferente da usual, a chamada lógica RPN (Reverse Polish Notation). Enquanto que em uma operação algébrica comum os operandos devem ser intercalados por operadores, na lógica RPN os operandos devem ser colocados primeiramente e, depois, devem ser colocados os operadores. Dessa forma. a tecla [ENTER] é o principal mecanismo para a operação da HP-12C. A utilização dessa ferramenta tecnológica faz com que apareçam outras representações dos itens relacionados à Engenharia Econômica. A Figura 16 mostra uma representação obtida por meio de uma HP-12C para o item Montante a Juros Compostos:
Figura 16 - Montante a Juros Composto numa calculadora HP-12C f 2 f CLEAR REG = 0,00 10.000 CHS PV = -10.000,00 5 i = 5,00 10 n = 10,00 FV = 16.288,95 Fonte: Autor
2.5 ENGENHARIA ECONÔMICA E REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS
Nesta seção, os itens destacados na seção anterior serão apresentados sob a perspectiva dos registros de representações semióticas.
2.5.1 Montante em regime de juros simples
Para o montante em regime de juros simples, foram identificadas algumas representações semióticas. O Quadro 3 mostra um exemplo delas.
Quadro 3 - Representações semióticas do objeto montante em regime de juros simples. EXEMPLO REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA REGISTRO Representação R1 Um capital PV de $500,00 é aplicado num investimento a 2% ao mês durante 6 meses em regime de juros simples. Qual o montante ao final desse período? REPRESENTAÇÃO NA LÍNGUA NATURAL (RLN) LÍNGUA NATURAL Representação R2 FV = PV . (1+i.n) FV = 500 . (1 + (0,02).6) FV = 500 . (1,12) FV = 560 REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA (RA) ALGÉBRICO Representação R3 FV = 500 . (1 + 0,02).n) FV = 500 + 10.n REPRESENTAÇÃO GRÁFICA CARTESIANA (RG) GRÁFICO Representação R4 N FV 0 500 1 510 2 520 3 530 REPRESENTAÇÃO TABULAR (RT) TABULAR FV
Montante FV nos Juros Simples
560
500
5 560 Representação R5 500 ENTER 0,02 ENTER 6 x = 0,12 x = 60 500 + = 560 REPRESENTAÇÃO EM LINGUAGEM COMPUTACIONAL (RLC) LINGUAGEM COMPUTACIONAL Fonte: Autor
Observamos que as transformações de R1 para R2, R3, R4 e R5 (e vice-versa)
são todas conversões.
2.5.2 Montante em regime de juros compostos
Para o montante em regime de juros compostos foram identificadas algumas representações semióticas. O Quadro 4 mostra um exemplo delas.
Quadro 4 - Representações semióticas do objeto montante em regime de juros compostos. EXEMPLO REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA REGISTRO Representação R1 Um capital PV de $500,00 é aplicado num investimento a 2% ao mês durante 6 meses em regime de juros compostos. Qual o montante ao final desse período? REPRESENTAÇÃO NA LÍNGUA NATURAL (RLN) LÍNGUA NATURAL Representação R2 FV = PV . (1 + i)ⁿ FV = 500 . (1 + 0,02)6 FV = 563,08 REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA (RA) ALGÉBRICO Representação R3 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA (RG) GRÁFICO Representação R4 n FV 0 500 1 516,7 2 540,5 3 557,3 4 561,2 5 563,8 REPRESENTAÇÃO TABULAR (RT) TABULAR
FV Montante FV nos Juros Compostos
563,08
500
f 2 f CLEAR REG = 0,00 10.000 CHS PV = -10.000,00 5 i = 5,00 10 n = 10,00 FV = 16.288,95 REPRESENTAÇÃO LINGUAGEM COMPUTACIONAL (RLC) LINGUAGEM COMPUTACIONAL Fonte: Autor
Observamos que todas as transformações de R1 para R2, R3, R4 OU R5 (e
vice-versa) são todas conversões.
2.5.3 Fluxo de caixa
Para o fluxo de caixa foram identificadas algumas representações semióticas. O Quadro 5 mostra um exemplo delas:
