JUROS

O conceito de juro vem desde a época dos primeiros registros das civilizações antigas. Os primeiros indícios apontam para a Babilônia no ano 2.000 a.C., onde os juros refletiam a relação de pagamento pelo uso de sementes ou de outras conveniências emprestadas.

A taxa de juros (i) caracteriza o valor do aluguel do dinheiro por certo período de tempo, logo a taxa de juros é sempre um coeficiente que sempre se refere a determinada unidade de tempo. Podemos apresentar a taxa de juros i = Juros / Present Value (PV):

Boggiss (2015) define os juros como a remuneração do capital inicial ao longo do tempo. Dessa forma, o montante passa a ser o capital com os juros agregados, pode ser visto como uma função do tempo e fixada uma taxa de juros, o montante varia de acordo com o tempo. Por razões de ordem prática são adotados períodos de tempo, e, nesse caso, a variável tempo é visualizada como uma variável discreta.

No regime de capitalização a juros simples, o cálculo dos juros em cada período é realizado multiplicando-se a taxa de juros referente a esse período pelo valor do capital, também chamado de principal. Nos livros específicos de Matemática Financeira, costuma-se usar a sigla PV (present value = valor presente) para indicar o capital. Indicando por i, a taxa de juros referente a um período de tempo, ao final de um período, esse capital produzirá um juro J1 que se calcula pela seguinte fórmula:

J1 = PV . i

Ao final de dois períodos, esse capital produzirá um juro J2 dado por

J2 = PV . i + PV . i

Colocando-se PV.i em evidência, tem-se: = (PV . i).2

Ao final de n períodos, esse capital produzirá um juro Jn dado por:

Jn = PV . i + PV . i + ... + PV . i = (PV . i).n

De forma análoga, colocando-se PV.i em evidência, tem-se: Jn = (PV.i).n

Jn = PV . i . n

Percebe-se que no regime de capitalização a juros simples, a taxa de juros só incidesobre o capital inicial.

Exemplo 1:

Calcular o juro produzido por um capital de $100.000,00, aplicado à taxa de 9% ao mês no regime de juros simples ao final de dois meses.

Solução: Neste caso tem-se que: PV = $ 100.000,00, n = 2 e i = 9% a.m.

Lembrando que 9% = 0,09 (decimal), ao final de dois meses, o juro produzido será: J2 = ($100.000,00).(0,09).2 = ($9.000,00).2 = $18.000,00.

Costuma-se denotar o montante por FV (future value = valor futuro). Assim, no regime de capitalização a juros simples, o montante FV1, isto é, o montante ao final

de um período será:

FV1 = PV + PV . i

Colocando-se PV em evidência, tem-se: = PV . ( 1 + i )

Ao final de dois períodos, o montante FV2 será:

FV2 = FV1 + PV . i = (PV + PV . i) + PV . i = PV . ( 1 + i + i ) = PV . (1 + i.2)

E, após n períodos, o montante FVn será:

FVn = PV + PV . i . n

De forma análoga, colocando-se PV em evidência, tem-se:

Matematicamente, essa fórmula mostra que, no regime de capitalização a

juros simples, o montante FVn visto como função do tempo varia linearmente em

função do número n de períodos.

A Figura 3mostra o gráfico da função montante em regime de juros simples em função do tempo.

Figura 3 - Gráfico do montante em regime de juros simples em função dos períodos.

Fonte: Autor

Costuma-se também escrever FVn = PV . (1 + i . n). Nesse caso, o fator (1 + i

. n) é chamado de fator de capitalização no regime de juros simples após n períodos.

Exemplo 2:

Um investidor aplicou $20.000 à taxa de juros de 10% ao mês, no regime de juros simples. Calcule o montante no final do quinto mês.

Solução: PV = $20.000, i = 12% a.m. = 0,12 n = 5 meses

Assim após 5 meses o montante (FV5)será em regime de juros simples:

FVn = PV.(1 +i.n) FV5 = PV.(1 + i.5) FV5 = $20.000 . (1 + (0,12) . 5) FV5 = $20.000 . (1,6) = FV5 = $32.000

No regime de capitalização a juros compostos, o cálculo dos juros em cada período é realizado multiplicando-se a taxa de juros referente a esse período pelo valor do capital imediatamente anterior, ou seja, os juros compostos são rentabilizados cumulativamente.

Do mesmo modo, indicando por PV, o capital inicial, e por i, a taxa de juros referente a um período de tempo, ao final de um período, esse capital produzirá um juro J1 que se calcula pela seguinte fórmula:

J1 = PV . i

O montante FV1 será dado por FV1 = PV + J1 = PV + PV . i = PV . (1 + i)

Ao final de dois períodos, o montante:

FV2 = FV1 + FV1 . i = FV1. (1+i) = PV . ( 1+ i). (1 + i) = PV . (1 + i)2.

Ao final de n períodos, produzirá um montante FVn dado pela seguinte fórmula:

FVn = PV. (1 + i )n

Matematicamente, essa fórmula mostra que, no regime de capitalização a juros compostos, o montante FV, visto como função do tempo, varia exponencialmente em função do número n de períodos. O número (1 + i)ⁿ é chamado o fator de capitalização no regime de juros compostos após n períodos.

A Figura 4mostra o gráfico da função montante em regime de juros compostos em função do tempo.

Figura 4 - Gráfico do montante em regime de juros compostos em função dos períodos.

Fonte: Autor

Observamos que a curva desse gráfico se comporta de forma exponencial, observando que se inicia de um valor PV e em outro período o valor FV em função do período n, lembrando que a forma exponencial é uma característica específica para o Juros Compostos.

Exemplo 3:

Calcule o montante de uma capitalização a juros compostos, de um capital de R$ 1.000,00 a uma taxa de 4% ao mês ao final de 5 meses.

Solução:

Solução: PV = $1.000, i = 4% a.m. = 0,04 e n = 5 meses Assim após 5 meses o montante será

FV5 = PV.(1 + i )5

FV5 = $1.000 . (1 + 0,04)5

FV5 = 1.000 . 1,21665

FV5 = 1.216,65

Para efeito de comparação de juros simples e juros compostos, apresento abaixo as tabelas 1 e 2 que identificam as diferenciações do montante ao longo do período de tempo no caso de juros e no caso de juros compostos.

Tabela 1 - Montante em Juros Simples

Mês Capital inicial Juros Montante final

1 R$ 5.000,00 5000*3%=150 R$ 5.150,00 2 R$ 5.150,00 150 R$ 5.300,00 3 R$ 5.300,00 150 R$ 5.450,00 4 R$ 5.450,00 150 R$ 5.600,00 5 R$ 5.600,00 150 R$ 5.750,00 6 R$ 5.750,00 150 R$ 5.900,00 7 R$ 5.900,00 150 R$ 6.050,00 8 R$ 6.050,00 150 R$ 6.200,00 9 R$ 6.200,00 150 R$ 6.350,00 10 R$ 6.350,00 150 R$ 6.500,00 11 R$ 6.500,00 150 R$ 6.650,00 12 R$ 6.650,00 150 R$ 6.800,00 Fonte: Autor

Tabela 2 – Montante em Juros Compostos

Mês Capital inicial Juros Montante final

1 R$ 5.000,00 5000*3%=150 R$ 5.150,00 2 R$ 5.150,00 R$ 154,50 R$ 5.304,50 3 R$ 5.304,50 R$ 159,14 R$ 5.463,64 4 R$ 5.463,64 R$ 163,91 R$ 5.627,54 5 R$ 5.627,54 R$ 168,83 R$ 5.796,37 6 R$ 5.796,37 R$ 173,89 R$ 5.970,26 7 R$ 5.970,26 R$ 179,11 R$ 6.149,37 8 R$ 6.149,37 R$ 184,48 R$ 6.333,85 9 R$ 6.333,85 R$ 190,02 R$ 6.523,87 10 R$ 6.523,87 R$ 195,72 R$ 6.719,58 11 R$ 6.719,58 R$ 201,59 R$ 6.921,17 12 R$ 6.921,17 R$ 207,64 R$ 7.128,80 Fonte: Autor

Analisando as Tabelas 1 e 2, verificamos que a diferença básica entre os juros simples e compostos está na coluna dos juros, e observando que a partir do segundo mês a coluna de juros e montante final se diferenciam entre as duas tabelas.