Teoria de Galois
Ana Cristina Vieira
Sandra Mara Alves Jorge
Hist´orico
Ana Cristina Vieira
• Gradua¸c˜ao: UFF - 1988 • Mestrado: UnB - 1991 • Doutorado: UnB - 1997
Sandra Mara Alves Jorge • Gradua¸c˜ao: UFJF - 1995 • Mestrado: UFMG - 1998 • Doutorado: UFMG - 2007
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Evariste Galois
Fran¸ca - 25 de outubro de 1811/31 de maio de 1832
• Contato com a Matem´atica: Com doze anos, Ga-lois foi para a escola no Liceu de Louis-le-Grand. L´a n˜ao encontrou nenhum curso de matem´atica. Somente aos dezesseis anos pˆode fazer seu primeiro curso de matem´atica e com dezessete anos publicou seu primeiro trabalho nos Annales de Gergonne.
• Decep¸c˜ao: Foi reprovado duas vezes no exame de admiss˜ao para a ´Ecole Polytechnique, os seus modos rudes e a falta de explica¸c˜oes na prova oral fizeram com que sua admiss˜ao fosse recusada.
• Progresso: Com dezessete anos, submeteu dois tra-balhos de pesquisa `a Academia de Ciˆencias. Cauchy ficou muito impressionado com o trabalho do jovem e o julgou capaz de participar na competi¸c˜ao pelo Grande Prˆemio de Matem´atica da Academia. Para isso, os dois trabalhos teriam que ser reapresentados na forma de uma ´unica tese.
• Suic´ıdio: Em julho de 1829, um jesu´ıta, contr´ario as id´eias republicanas do pai de ´Evariste, come¸cou uma campanha para depˆo-lo. Escreveu uma s´erie de ver-sos vulgares ridicularizando membros da comunidade e os assinou com o nome do velho Galois que n˜ao pode suportar a vergonha e se suicidou.
• Nova decep¸c˜ao: Galois voltou a Paris e juntou seus dois trabalhos num s´o e os enviou para o secret´ario da Academia, Joseph Fourrier. O trabalho de Galois n˜ao apresentava uma solu¸c˜ao para os problemas do quinto grau, mas oferecia uma vis˜ao t˜ao brilhante que Cauchy, o considerava como o prov´avel vencedor. Mas o tra-balho n˜ao ganhou o prˆemio e nem foi oficialmente in-scrito. Fourrier morrera algumas semanas antes da data da decis˜ao dos juizes, e embora um ma¸co de trabalhos tivesse sido entregue ao comitˆe, o de Galois n˜ao estava entre eles. O trabalho nunca foi encontrado e a injusti¸ca foi registrada por um jornalista francˆes.
• Pris˜ao: Em dezembro de 1830, o gˆenio contrariado tentou se tornar um rebelde profissional alistando-se na Artilharia da Guarda Nacional, acusado de conspira¸c˜ao Galois foi preso. Ficou na pris˜ao durante um mˆes e mergulhou num estado de depress˜ao, tentando suic´ıdio. Em mar¸co de 1832, um mˆes antes do final da senten¸ca, irrompeu uma epidemia de c´olera em Paris e os pri-sioneiros foram libertados.
• Romance: Galois envolveu-se com uma mulher mis-teriosa, chamada St´ephanie-F´elice Poterine du Motel. Stephanie j´a estava comprometida com um cidad˜ao um dos melhores atiradores da Fran¸ca e que descobriu a infidelidade de sua noiva. Furioso, n˜ao hesitou em de-safiar Galois para um duelo ao raiar do dia. Na noite anterior ao confronto, que ele acreditava ser a ´ultima oportunidade que teria para registrar suas id´eias no pa-pel, ele escreveu cartas para os amigos explicando as circunstˆancias.
• Teorema: Um de seus maiores temores era de que sua pesquisa, rejeitada pela Academia, se perdesse para sempre. Em uma tentativa desesperada de conseguir re-conhecimento, ele trabalhou a noite toda, escrevendo o teorema que, acreditava, explicaria o enigma da equa¸c˜ao do quinto grau. No final da noite, quando seus c´alculos estavam completos, ele escreveu uma carta explicativa ao seu amigo Auguste Chevalier, pedindo que, caso morresse, aquelas p´aginas fossem enviadas aos grandes matem´aticos da Europa.
• Reconhecimento: Passou-se uma d´ecada antes que os trabalhos de Galois fossem reconhecidos. Uma c´opia chegou `as m˜aos de Joseph Liouville em 1846. Liou-ville passou meses tentando interpretar seu significado. Finalmente ele editou os artigos e os publicou no pres-tigioso Journal de Mathematiques Pures e Appliqu´ees. A resposta dos outros matem´aticos foi imediata e im-pressionante. Galois tinha de fato formulado uma com-pleta explica¸c˜ao de como se poderia obter solu¸c˜oes para equa¸c˜oes do quinto grau. Primeiro Galois classificara todas as equa¸c˜oes em dois tipos: que podiam ser solu-cionadas e as que n˜ao podiam. Al´em disso, Galois exam-inou as equa¸c˜oes de grau mais alto do que cinco,podendo identificar as que tinham solu¸c˜oes. Era uma das obras-primas da matem´atica do s´eculo XIX, criada por um de seus mais tr´agicos her´ois.
Grupos × Corpos
(G, ·) ´e um grupo se G 6= ∅ e · : G × G → G (i)(a · b) · c = a · (b · c), ∀a, b, c ∈ G (associatividade)
(ii)∃e ∈ G tal que a · e = e · a, ∀a ∈ G (existˆencia de elemento neutro)
(iii)∀a ∈ G, ∃b ∈ G tal que a · b = b · a = e (existˆencia de inversos)
Se a · b = b · a (· ´e comutativa) ent˜ao G ´e grupo abeliano.
(K, +, ·) ´e um corpo se K 6= ∅ e + : K × K → K · : K × K → K (i) (K, +) ´e grupo abeliano
(i) (K∗, ·) ´e grupo abeliano
(iii) a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a, b, c ∈ K (· ´e distributiva com rela¸c˜ao a +)
Exemplos
1. (Z, +) ´e um grupo abeliano infinito.
2. (Z, +, ·) n˜ao ´e um corpo mas Q, R e C s˜ao corpos infinitos.
3. (M2×2(R), +) ´e grupo abeliano infinito.
4. GL2(R) = { A ∈ M2×2(R) | detA 6= 0 } ´e grupo n˜ao
abeliano.
5. Zn = {[0], [1], · · · , [n − 1]} (onde [a] ´e uma classe de restos m´odulo n) com as opera¸c˜oes [a]+[b] = [a+b] e [a] · [b] = [a · b] em Zn. Temos (Zn, +) ´e um grupo abeliano finito. Mas, (Z∗n, ·) ´e grupo se, e somente, se n = p ´e primo
6. Sim(X) = { f : X → X | f bijetora }, X 6= ∅, com opera¸c˜ao de composi¸c˜ao de fun¸c˜oes ´e o grupo de permuta¸c˜oes de X, em geral n˜ao abeliano.
Caso X = {1, 2, ..., n}, n ≥ 2 denotamos Sim(X) por Sn e o denominamos grupo sim´etrico de grau n.
Subgrupos
• Um subgrupo de um grupo G pode ser definido como um subconjunto n˜ao vazio H de G que ainda ´e um grupo com a mesma opera¸c˜ao definida em G.
Exemplos:
(1) Obviamente, Z ´e subgrupo de Q, Q ´e subgrupo de
R, etc.
(2) O conjunto das matrizes
a b 0 d ´e um subgrupo de GL2(R) = { A ∈ M2×2(R) | detA 6= 0 }. Um subgrupo
not´avel de GL2(R) ´e SL2(R) = { A ∈ M2×2(R)| detA =
1 }.
(3) Dado um subconjunto ∅ 6= X ⊂ G, definimos o subgrupo de G gerado por X, denotado por hXi, como a intersec¸c˜ao de todos os subgrupos de G que cont´em X. Observamos que hXi = { x±11 x±12 ...x±1s | xi ∈ X, s ≥ 0 }, onde interpretamos a express˜ao com s = 0 como sendo 1.
Se X = {x} (conjunto unit´ario) ent˜ao hXi = hxi ´e o subgrupo c´ıclico de G gerado pelo elemento x. O grupo G ´e dito c´ıclico se existe g ∈ G tal que G = hgi.
Teorema de Lagrange
Seja G um grupo finito e denote por |G| o n´umero de elementos de G (ordem de G). O teorema de Lagrange (1770) garante que se H ´e um subgrupo de G ent˜ao |H| divide |G|.
• a ≡H b (mod H) ⇔ ab−1 ∈ H (´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em G).
• Ha = { ha | h ∈ H } dita uma classe lateral (`a direita) de H em G.
• Se N g = gN , para todo g em G, dizemos que N ´e um subgrupo normal de G. Um grupo que n˜ao possui subgrupos normais pr´oprios n˜ao triviais ´e dito um grupo simples.
• Se N ´e subgrupo normal de G ent˜ao o conjunto G/N = { N a | a ∈ G } ´e um grupo com a opera¸c˜ao N a.N b = N ab, a, b ∈ G dito grupo quociente de G por N .
Subcorpos
• Um subcorpo de um corpo K pode ser definido como um subconjunto n˜ao vazio F de K que ainda ´e um corpo com as mesmas opera¸c˜oes definidas em K (neste caso, K ´e dito ser uma extens˜ao de F ).
Exemplos:
(1) R ´e subcorpo de C.
(2) Q ´e subcorpo de Q(√2) = {a + b√2 | a, b ∈ Q}.
(3) Em geral, Q(√p) = {a + b√p | a, b ∈ Q} onde p ´e um primo, ´e uma extens˜ao de Q.
• Quest˜ao: Podemos “identificar” as extens˜oes Q(√2) e Q(√3) de Q?
Isomorfismos de Corpos
• Uma aplicac˜ao ψ : K → L entre dois corpos K e L ´e dita um homomorfismo se
ψ(a + b) = ψ(a) + ψ(b) e ψ(a.b) = ψ(a).ψ(b) para todo a, b ∈ K.
• Se um homomorfismo ψ for bijetor, dizemos que ψ ´e um isomorfismo de K em L e denotamos por K ∼= L. • Um isomorfismo ψ : K → K ´e dito um automorfismo de K. Exemplos: (1) Considerando o corpo K = a 0 0 a | a ∈ R , temos K ∼= R.
(2) Considerando o corpo R×R com as opera¸c˜oes (a, b)+ (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc), temos R × R =∼ C.
(3) ϕ : Q(√2) → Q(√2) tal que ϕ(a + b√2) = a − b√2 ´e um automorfismo.
F -automorfismos
Note que ϕ : Q(√2) → Q(√2) definida por ϕ(a + b√2) = a − b√2 ´e tal que ϕ(c) = c, ∀c ∈ Q.
Tamb´em temos que φ : C → C definida por φ(a + bi) = a − bi ´e um automorfismo tal que φ(c) = c, ∀c ∈ R.
• Se K ´e uma extens˜ao de F e ψ : K → K ´e um au-tomorfismo que fixa pontualmente os elementos de F (isto ´e, ψ(c) = c, ∀c ∈ F ) ent˜ao dizemos que ψ ´e um F -automorfismo de K.
• Denotamos por GalFK o conjunto de todos os F -automorfismos de K.
• GalFK ´e um grupo sob a opera¸c˜ao de composi¸c˜ao de fun¸c˜oes dito grupo de Galois de K sobre F.
O grupo GalFK e ra´ızes de polinˆomios
• F [x] Anel dos polinˆomios na indeterminada x com co-eficientes no corpo F
• Dado um elemento u ∈ F ´e uma raiz de um polinˆomio f (x) = α0 + α1x + · · · + αnxn em F [x], se a fun¸c˜ao poli-nomial induzida f : F → F se anula em u, ou seja, α0 + α1u + · · · + αnun = 0.
• Teorema: Seja f (x) um polinˆomio n˜ao constante em F [x]. Ent˜ao existe uma extens˜ao K de F que cont´em uma raiz de f (x).
• Teorema: Seja K uma extens˜ao de F e f (x) ∈ F [x]. Se u ∈ K ´e uma raiz de f (x) e ψ ∈ GalFK ent˜ao ψ(u) tamb´em ´e uma raiz de f (x).
Corpos intermedi´arios
• Se K ´e uma extens˜ao de F e L ´e um corpo tal que F ⊂ L ⊂ K ent˜ao L ´e dito um corpo intermedi´ario da extens˜ao.
Exemplos:
(1) R ´e um corpo intermedi´ario da extens˜ao C de Q. (2) Q(√2) = {a + b√2 | a, b ∈ Q} ´e um corpo inter-medi´ario da extens˜ao R de Q.
• Teorema: Seja K uma extens˜ao de F e seja H um subgrupo de GalFK. Considere
EH = {a ∈ K | σ(a) = a, para todo σ ∈ H}. Ent˜ao, EH ´e um corpo intermedi´ario da extens˜ao.
Exemplos
• J´a vimos que GalRC = {Id, φ}, onde φ(a + bi) = a − bi. Portanto, os ´unicos subgrupos de G = GalRC s˜ao G e H = {Id}. Deste modo,
EH = C e EG = R.
• Apesar do exemplo anterior, n˜ao ´e sempre verdade que para G = GalFK temos EG = F (quer dizer, o corpo fixado por GalFK nem sempre ´e F ).
Exemplo: Considere a extens˜ao de Q:
Q( 3 √ 2) = {a + b√3 2 + c( 3 √ 2)2 | a, b, c ∈ Q}.
Note que todo elemento do grupo de Galois de Q(√3 2) sobre Q deve levar √3
2 em uma raiz de f (x) = x3 − 2. Mas √3
2 ´e a ´unica raiz real de f (x). Assim, se σ ∈ GalQQ(√3
2) ent˜ao σ(√3
2) = √3
2 e com isso, σ(u) = u para todo u ∈ Q(√3
2), ou seja, GalQQ(√3 2) = {Id}. Logo, o corpo fixado de GalQQ(√3
2) ´e Q(√3 2).
